Modal Logik - Hochschule Ravensburg
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Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modal Logik Arne Usadel Hochschule Ravensburg-Weingarten January 21, 2007 Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Inhaltsverzeichnis 1 Was ist Modal Logik und Einfuehrung 2 Formalisierung 3 Modallogische Folgerungen Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren 4 Semantik Modalsysteme Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Was ist modale Logik Was heisst ”modal” Wozu braucht man eigentlich Modallogik? Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Was ist modale Logik Was heisst ”modal” Wozu braucht man eigentlich Modallogik? Folgerung der Modalbegriffe ”moeglich” und ”notwendig” Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Was ist modale Logik Was heisst ”modal” Wozu braucht man eigentlich Modallogik? Folgerung der Modalbegriffe ”moeglich” und ”notwendig” Er regnet im Gegensatz zu ”Moeglicherweise regnet es” Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Was ist modale Logik Was heisst ”modal” Wozu braucht man eigentlich Modallogik? Folgerung der Modalbegriffe ”moeglich” und ”notwendig” Er regnet im Gegensatz zu ”Moeglicherweise regnet es” Alle Kreise sind rund im Gegensatz zu ”Notwendigerweise sind alle Kreise rund” Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Was ist modale Logik Was heisst ”modal” Wozu braucht man eigentlich Modallogik? Folgerung der Modalbegriffe ”moeglich” und ”notwendig” Er regnet im Gegensatz zu ”Moeglicherweise regnet es” Alle Kreise sind rund im Gegensatz zu ”Notwendigerweise sind alle Kreise rund” Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Die zugrunde liegende Intuition Zusaetzliche Aussagendimension durch moeglich und notwendig Wenn eine Aussage moeglich sein soll muss eine Situation wahr sein Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Die zugrunde liegende Intuition Zusaetzliche Aussagendimension durch moeglich und notwendig Wenn eine Aussage moeglich sein soll muss eine Situation wahr sein Ist etwas in jeder Situation wahr, so ist diese Aussage notwendig Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Die zugrunde liegende Intuition Zusaetzliche Aussagendimension durch moeglich und notwendig Wenn eine Aussage moeglich sein soll muss eine Situation wahr sein Ist etwas in jeder Situation wahr, so ist diese Aussage notwendig Moegliche Aussage: ”Manche Menschen haben gruene Haut” Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Die zugrunde liegende Intuition Zusaetzliche Aussagendimension durch moeglich und notwendig Wenn eine Aussage moeglich sein soll muss eine Situation wahr sein Ist etwas in jeder Situation wahr, so ist diese Aussage notwendig Moegliche Aussage: ”Manche Menschen haben gruene Haut” Notwendige Aussage: ”Kreise sind rund” oder auch ”Junggesellen sind unverheiratet” Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Die zugrunde liegende Intuition Zusaetzliche Aussagendimension durch moeglich und notwendig Wenn eine Aussage moeglich sein soll muss eine Situation wahr sein Ist etwas in jeder Situation wahr, so ist diese Aussage notwendig Moegliche Aussage: ”Manche Menschen haben gruene Haut” Notwendige Aussage: ”Kreise sind rund” oder auch ”Junggesellen sind unverheiratet” Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Das three wise men Rtsel Drei weise Personen sitzen sich in einem Kreis gegenueber. Es ist allen bekannt, dass es drei rote und zwei weie Huete gibt. Eine vierte Person setzt den drei weisen Personen nun jeweils einen der fnf Huete auf den Kopf. Die Weisen koennen jeweils die Huete der beiden anderen Weisen sehen, jedoch nicht ihren eigenen Hut. Nun wird reihum jede der drei weisen Personen gefragt ob sie wei, welche Farbe ihr Hut hat. Die ersten beiden Personen sind nicht in der Lage, diese Frage zu beantworten. Daraufhin kann jedoch die dritte Person sagen, dass sie einen roten Hut traegt. Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Auffassung in der Modallogik In der Modallogik spricht man statt von moeglichen oder vorstellbaren Situationen von ”moeglichen Welten” Die tatsaechliche Welt, in welcher wir leben, ist dabei eine moegliche Welt Eine Aussage ist moeglich, wenn sie in einer moeglichen Welt wahr ist und notwenig, wenn sie in allen moeglichen Welten wahr ist Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Formalisierung ♦p −→ Es ist moeglich, dass p p −→ Es ist notwendig, dass p Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Modaloperatoren und Negation Unterschied ¬p und ¬ p Beispiele Es ist nicht moeglich, dass Sokrates Schuster ist bzw. Es ist moeglich, dass Sokrates kein Schuster ist Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Modaloperatoren und Negation Unterschied ¬p und ¬ p Beispiele Es ist nicht moeglich, dass Sokrates Schuster ist bzw. Es ist moeglich, dass Sokrates kein Schuster ist Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussagen mit dem Moeglichkeitsoperator lassen sich in Aussagen mit dem Notwendigkeitsoperator uebersetzen und auch umgekehrt. Aussage ”Es ist moeglich, dass Sokrates kein Schuster ist”, gleichbedeutend mit ”Es ist nicht notwendig, dass Sokrates kein Schuter ist” und ”Es ist nicht moeglich, dass Sokrates ein Elefant ist” bzw ”Es ist notwendig, dass Sokrates kein Elefant ist” Formalisierung ♦¬p ist aequivalent zu ¬p ¬♦p ist aequivalent zu ¬p Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage ”Es ist moeglich, dass Sokrates Schuster ist”, gleichbedeutend mit ”Es ist nicht notwendig, dass Sokrates kein Schuster ist” und ”Es ist notewndig, dass Sokrates ein Mensch ist” bzw ”Es ist nicht moeglich, dass Sokrates kein Mensch ist” Formalisierung ♦p ist aequivalent zu ¬¬p p ist aequivalent zu ¬♦¬p Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage Aus ”Es ist moeglich, dass Sokrates ein Schuster ist oder es ist moeglich, dass er ein Schreiner ist folgt ”Es ist moeglich, dass Sokrates ein Schuster oder ein Schreiner ist” Aus ”Es ist notwendig, dass alle Kreise rund sind und es ist notwendig, dass alle Dreiecke eckig sind” folgt ”Es ist notwendig, dass alle Kreise rund und alle Dreiecke eckig sind” Formalisierung ♦p ∨ ♦q ist aequivalent zu ♦(p ∨ q) p ∧ q ist aequivalent (p ∧ q) Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage Aus ”Es ist moeglich, dass Sokrates ein Schuster ist oder es ist moeglich, dass er ein Schreiner ist folgt ”Es ist moeglich, dass Sokrates ein Schuster oder ein Schreiner ist” Aus ”Es ist notwendig, dass alle Kreise rund sind und es ist notwendig, dass alle Dreiecke eckig sind” folgt ”Es ist notwendig, dass alle Kreise rund und alle Dreiecke eckig sind” Formalisierung ♦p ∨ ♦q ist aequivalent zu ♦(p ∨ q) p ∧ q ist aequivalent (p ∧ q) Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage Aus ”Es ist moeglich, dass Sokrates sowohl Schuster als auch Schreiner ist.” folgt ”Es ist moeglich, dass er Schuster ist und es ist auch moeglich, dass es Schreiner ist” ”Es ist moeglich, dass die Anzahl der Planeten gerade ist, es ist auch moeglich, dass sie ungerade ist” widerspricht sich mit ”Es ist moeglich, dass sie Anzahl der Planeten gerade als auch ungerade ist” Formalisierung ♦(p ∧ q) folgt ♦p ∧ ♦q aber aus ♦p ∧ ♦q folgt nicht ♦(p ∧ q) Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage Aus ”Es ist moeglich, dass Sokrates sowohl Schuster als auch Schreiner ist.” folgt ”Es ist moeglich, dass er Schuster ist und es ist auch moeglich, dass es Schreiner ist” ”Es ist moeglich, dass die Anzahl der Planeten gerade ist, es ist auch moeglich, dass sie ungerade ist” widerspricht sich mit ”Es ist moeglich, dass sie Anzahl der Planeten gerade als auch ungerade ist” Formalisierung ♦(p ∧ q) folgt ♦p ∧ ♦q aber aus ♦p ∧ ♦q folgt nicht ♦(p ∧ q) Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage Aus ”Es ist notwendig, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, oder notwendig, dass Sokrates ein Schuster ist” folgt ”Es ist notwendig, dass es unendlich viele Primzahlen gibt oder dass Sokrates Schuster ist” ”Es ist notwendig, dass Frank mindestens 75 kg wiegt oder schwerer ist als 75kg” widerspricht sich mit ”Es aber weder notewndig, dass er 75kg wiegt, noch notewndig, dass er schwerer ist als 75kg” Formalisierung p ∨ q folgt (p ∨ q) aber aus (p ∨ q) folgt nicht p ∨ q Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage Aus ”Es ist notwendig, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, oder notwendig, dass Sokrates ein Schuster ist” folgt ”Es ist notwendig, dass es unendlich viele Primzahlen gibt oder dass Sokrates Schuster ist” ”Es ist notwendig, dass Frank mindestens 75 kg wiegt oder schwerer ist als 75kg” widerspricht sich mit ”Es aber weder notewndig, dass er 75kg wiegt, noch notewndig, dass er schwerer ist als 75kg” Formalisierung p ∨ q folgt (p ∨ q) aber aus (p ∨ q) folgt nicht p ∨ q Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Barcan-Formeln ∃x♦Fx folgt ♦∃xFx ♦∃xFx folgt ∃x♦Fx gilt als umstritten Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Barcan-Formeln ∃x♦Fx folgt ♦∃xFx ♦∃xFx folgt ∃x♦Fx gilt als umstritten ∀xFx folgt ∀xFx Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Barcan-Formeln ∃x♦Fx folgt ♦∃xFx ♦∃xFx folgt ∃x♦Fx gilt als umstritten ∀xFx folgt ∀xFx ∀xFx folgt ∀Fx gilt als umstritten Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Barcan-Formeln ∃x♦Fx folgt ♦∃xFx ♦∃xFx folgt ∃x♦Fx gilt als umstritten ∀xFx folgt ∀xFx ∀xFx folgt ∀Fx gilt als umstritten aus ♦∀xFx folgt ∀xFx aber nicht umgekehrt Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Barcan-Formeln ∃x♦Fx folgt ♦∃xFx ♦∃xFx folgt ∃x♦Fx gilt als umstritten ∀xFx folgt ∀xFx ∀xFx folgt ∀Fx gilt als umstritten aus ♦∀xFx folgt ∀xFx aber nicht umgekehrt aus ∃xFx folgt ∃xFx aber nicht umgekehrt Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Barcan-Formeln ∃x♦Fx folgt ♦∃xFx ♦∃xFx folgt ∃x♦Fx gilt als umstritten ∀xFx folgt ∀xFx ∀xFx folgt ∀Fx gilt als umstritten aus ♦∀xFx folgt ∀xFx aber nicht umgekehrt aus ∃xFx folgt ∃xFx aber nicht umgekehrt Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modalsysteme Die formale Semantik der Modallogik bezeichnet man nach dem Logiker Saul Kripke oft als ”Kripke-Semantik”. Bei dieser handelt es sich um die Formalisierung der sogenannten ”moeglichen Welten”. Kripke Semantik Menge der moeglichen Welten Zugaenglichkeitsrelationen zwischen den Welten Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modalsysteme Die formale Semantik der Modallogik bezeichnet man nach dem Logiker Saul Kripke oft als ”Kripke-Semantik”. Bei dieser handelt es sich um die Formalisierung der sogenannten ”moeglichen Welten”. Kripke Semantik Menge der moeglichen Welten Zugaenglichkeitsrelationen zwischen den Welten Interpretationsfunktion - UEbersetzung der Aussagenveriablen in ”wahr” oder ”falsch” Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modalsysteme Die formale Semantik der Modallogik bezeichnet man nach dem Logiker Saul Kripke oft als ”Kripke-Semantik”. Bei dieser handelt es sich um die Formalisierung der sogenannten ”moeglichen Welten”. Kripke Semantik Menge der moeglichen Welten Zugaenglichkeitsrelationen zwischen den Welten Interpretationsfunktion - UEbersetzung der Aussagenveriablen in ”wahr” oder ”falsch” Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modalsysteme ¬p ist wahr in w, wenn p falsch ist, sonst falsch p ∧ q ist wahr in w, wenn p und q beide wahr sind, sonst falsch Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modalsysteme ¬p ist wahr in w, wenn p falsch ist, sonst falsch p ∧ q ist wahr in w, wenn p und q beide wahr sind, sonst falsch ♦p ist wahr in w, wenn es eine von w aus zugaengliche Welt v gibt und p in v wahr ist, sonst falsch Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modalsysteme ¬p ist wahr in w, wenn p falsch ist, sonst falsch p ∧ q ist wahr in w, wenn p und q beide wahr sind, sonst falsch ♦p ist wahr in w, wenn es eine von w aus zugaengliche Welt v gibt und p in v wahr ist, sonst falsch p ist wahr in w, wenn fuer alle von w aus zugaenglichen Welten v gilt, dass p in v wahr ist, sonst falsch Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modalsysteme ¬p ist wahr in w, wenn p falsch ist, sonst falsch p ∧ q ist wahr in w, wenn p und q beide wahr sind, sonst falsch ♦p ist wahr in w, wenn es eine von w aus zugaengliche Welt v gibt und p in v wahr ist, sonst falsch p ist wahr in w, wenn fuer alle von w aus zugaenglichen Welten v gilt, dass p in v wahr ist, sonst falsch Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Name K T D B S4 S5 Modalsysteme Axiome (p → q) → (p → q) K + p → p K + p → ♦p T + p → ♦p T + p → p T + ♦p → ♦p Arne Usadel Zugaenglichekeitsrelation beliebig reflexiv seriell ∀w ∃v (wRv ) reflexiv und symmetrisch reflexiv und transitiv reflexiv, transitiv und symmetrisch Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modalsysteme Wozu Modallogik? Anwendungsgebiete Ursprung hat die Modallogik in der Philosophie und wird dort hauptsaechlich verwendet. Zur Modellierung von Halbwissen auch in Agentensystemen eingesetzt Arne Usadel Modal Logik Was ist Modal Logik und Einfuehrung Formalisierung Modallogische Folgerungen Semantik Modalsysteme Fragen Vielen Dank fuer die Aufmerksamkeit ! Fragen ? Arne Usadel Modal Logik
