Die Balmer-Serie des Wasserstoffs

Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
1 Motivation
Ziel dieses Demonstrationsversuchs ist die Aufnahme der Balmer-Serie atomaren Wasserstoffs mit Hilfe einer sog. Balmer-Lampe. Weiter sind durch quantitative Auswertung der
Spektren die jeweiligen Wellenlängen zu bestimmen, was die Bestätigung der sog. BalmerSerienformel erlaubt. Der Studierende soll die Besonderheiten von Emissionsspektren
atomarer Systeme anhand des Aufbaus der Elektronenhülle sowie des Bohrschen Atommodells begreifen und dieses aus der Sicht der modernen Physik beurteilen.
2 Einleitung
Bei der optischen Wahrnehmung unserer Umwelt sind dem Menschen im makroskopischen
wie im mikroskopischen Bereich Grenzen gesetzt. Will man Gegenstände, die kleiner als 0,1
mm sind, beobachten, benötigt man ein Lichtmikroskop. Ein Eindringen in die Mikrowelt ist
mit Rastertunnelmikroskopen möglich, die die Beobachtung von Atomen auf einer Metalloberfläche erlauben. Atomare Bausteine, also Elektronen, Protonen oder Neutronen, können
jedoch auf keinen Fall direkt aufgelöst werden.
Viele Erkenntnisse über Atome und ihre Bestandteile stammen aus Experimenten über das
Verhalten von Materie unter bestimmten Versuchsbedingungen. Um die experimentellen
Ergebnisse deuten zu können, entwickelt(e) man Vorstellungen vom Aufbau der Atome. Es
ist wichtig zu begreifen, dass ein solches Modell kein reales Abbild eines Atoms sein muss,
sondern nur das Zustandekommen eines bestimmten Versuchsergebnisses zu erklären hat.
Liegen also neue Erkenntnisse vor, die sich mit einem vorhandenen Modell nicht deuten
lassen, muss dieses erweitert oder eventuell ein völlig neues Modell entwickelt werden. Auf
diese Weise sind im Laufe der Zeit verschiedene Atommodelle entstanden, die teilweise nur
noch historische Bedeutung besitzen. Der Begriff „Atom“ leitet sich von dem griechischen
Wort „atomos“ für „unteilbar“ ab. Im theoretischen Teil wollen wir alte, überkommene
Atommodelle überspringen und gleich mit dem „Kern-Hülle-Modell“ nach Ernest Rutherford
(1871-1937) beginnen.
3 Theoretischer Teil
3.1
3.1.1
Kern und Elektronenhülle
Das Kern-Hülle-Modell
Der englische Physiker Rutherford bestrahlte eine dünne Goldfolie (etwa 500 nm ≡ 2000
Atomlagen dick) mit α-Strahlen (Helium-Kerne, Masse 4u (siehe Tab. 1), 2 positive Elementarladungen) und fand, dass nahezu alle α-Teilchen ungehindert die Metallfolie durchdringen.
Nur ein sehr geringer Anteil wurde deutlich abgelenkt. Rutherford folgerte, dass α-Teilchen
abgelenkt werden, wenn sie in die Nähe von positiv geladenen Teilchen gelangen, und schloss
daher, dass die gesamte positive Ladung und fast die ganze Masse eines Gold-Atoms in einem
winzigen Bereich im Zentrum des Atoms, dem Atomkern, vereinigt sein müssen. Die positive
1
Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
Ladung des Atomkerns wird durch die negativ geladenen Elektronen ausgeglichen, die sich in
einem kugelförmigen Raum, der Elektronenhülle, die den Kern umgibt, bewegen.
3.1.2
Der Atomkern
Der Kern ist im Vergleich zum gesamten Atom sehr klein, sein Durchmesser beträgt etwa ein
1
100000 vom Durchmesser des gesamten Atoms. Heutiger Wissensstand ist, dass der Kern eines
Atoms aus positiv geladenen Protonen und ungeladenen Neutronen besteht. Die Kernbausteine Proton und Neutron bezeichnet man als Nukleonen (nucleus, Kern (lat.)) (siehe Bild 1). Die
Masse eines Protons und eines Neutrons beträgt jeweils ungefähr 1 u (siehe Tab. 1). u ist die
sog. atomare Masseneinheit, die als 112 der Masse des Kohlenstoff-Isotops 12C definiert ist:
1u = 1,6605655 ( 86 )⋅10−27 kg .
Atomkerne verschiedener Atomsorten (Elemente) unterscheiden sich in der Protonenzahl, die
auch als Ordnungszahl bezeichnet wird. Betrachtet man die Elemente im Periodensystem, so
nimmt die Protonenzahl von links nach rechts innerhalb der Perioden jeweils um einen Zähler
zu. Der Kern des Wasserstoff-Atoms besteht nur aus einem Proton, der des Heliums aus 2
Protonen und 2 Neutronen. Isotope eines Elementes unterscheiden sich in der Neutronenzahl,
was zu unterschiedlicher Nukleonenzahl und Masse des Atomkerns führt. Zur Kennzeichnung
eines Atoms und seines Kerns wird die in Bild 1 erläuterte Schreibweise verwendet. Wegen
der geringen Masse der Elektronen (siehe Tab. 1) ist die Masse des Atomkerns nahezu
identisch mit der Masse des gesamten Atoms.
Tabelle 1: Ladung ( e = 1, 6021892 ( 46 ) ⋅10−19 C )
Masse von Elementarteilchen
Elementarteilchen
Proton
Neutron
Elektron
3.1.3
Ladung (e)
Masse (u)
−1
0
+1
1,007276
1,008665
0,0005486
Bild 1: Kennzeichnung eines Atoms
und seines Kerns durch Angabe der
Protonen- und Nukleonenzahl
Die Elektronenhülle
Im letzten Abschnitt standen der Atomkern und die ihn aufbauenden Komponenten im
Vordergrund. Für den Chemiker ist jedoch in erster Linie die Elektronenhülle und ihr Aufbau
von Interesse, da ein Zusammenhang besteht zwischen stofflichen Veränderungen bei
chemischen Reaktionen und Veränderungen in der Elektronenhülle. Da sich ein Elektron in
der Hülle bewegt (das erkannte bereits Rutherford), besitzt es sowohl kinetische als auch
potentielle Energie. Je weiter das Elektron im Mittel vom Kern entfernt ist, desto größer ist
seine potentielle Energie. Erkenntnisse über den Aufbau der Elektronenhülle gehen auf
Atomspektren zurück (siehe Kap. „Balmer-Serie“), deren Besonderheiten uns noch beschäftigen werden.
Zerlegt man weißes Sonnenlicht durch eine Prisma (ein Körper aus einem lichtbrechenden
Stoff, der von zwei ebenen, nicht parallelen Flächen begrenzt wird), so erhält man ein
kontinuierliches Spektrum: in einem Spektroskop zeigen sich solche Spektren als Farbbänder,
2
Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
bei denen die Farben kontinuierlich nacheinander in der Reihenfolge ihrer Wellenlänge λ
erscheinen. Neben der Wellenlänge λ , d. h. die Strecke zwischen Wellenberg und dem
nächsten Wellenberg, wird eine Welle durch ihre Frequenz ν (Anzahl der Schwingungen pro
Sekunde) charakterisiert. Es gilt der folgende Zusammenhang ( c0 ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit):
ν=
c0
λ
.
(1)
Kurzwelliges, ultraviolettes Licht ist besonders energiereich, rotes Licht ist energieärmer als
blaues Licht. Die auf Max Planck zurückgehende Beziehung zwischen Energie E und
Frequenz ν bzw. Wellenlänge λ verdeutlicht das Gesagte:
E = h ⋅ν = h ⋅
c0
(2)
λ
h = 6, 626176(36) ⋅10−34 Js ist das Plancksche Wirkungsquantum.
3.2
3.2.1
Wasserstoffspektrum und das Bohrsche Atommodell
Die Balmer-Serie
Bereits 1859 zeigten Gustav Kirchhoff und Robert Bunsen mit Hilfe eines Prismenspektrographen, dass Atome nur Licht einer ganz bestimmten Wellenlänge λ absorbieren
oder emittieren können. Diese diskontinuierlichen Absorptions- bzw. Emissionsspektren sind
für jedes Atom charakteristisch und eindeutig.
Johann Jakob Balmer gelang es 1885 mit Hilfe der Spektroskopie, auf rein empirischem Weg
das Emissionsspektrum des H-Atoms durch eine einfache Formel zu beschreiben. Er stellte
fest, dass das Spektrum aus einer Serie von Linien besteht, deren Frequenzen ν n → m sich wie
folgt quantitativ beschreiben lassen:
1⎞
⎛ 1
− 2 ⎟.
(3)
2
⎝m n ⎠
Für die Balmer-Serie gilt: m = 2 und n = 3, 4,5,… (Lyman und Paschen bestätigten die obige
Formel, indem sie weitere Serien von Linien für m =1 und m = 3 fanden, die im UV-
ν n → m = RH c0 ⎜
(UltraViolett)
bzw.
im
IR(InfraRot)
Bereich
liegen).
7
−1
RH = 1, 0967758 (1) ⋅10 m ist die sogenannte Rydberg-Konstante.
Die
Konstante
Kennzeichnend für die Balmer-Serie ist, dass die Frequenzen für n = 3, 4,5, 6 im sichtbaren
Bereich, also zwischen ∼400 nm und ∼800 nm, liegen und damit relativ einfach nachgewiesen
werden können. Man bezeichnet diese Wellenlängen mit Hα , H β , H γ und H δ . Bild 2 zeigt
das kontinuerliche Spektrum weißen Lichts sowie das Linienspektrum der Balmer-Serie
atomaren Wasserstoffs. Zusätzlich sind die Elektronenübergänge der verschiedenen Serien
des Wasserstoff angegeben.
3
Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
Bild 2: Kontinuierliches Spektrum des weißen Lichts (a)) sowie das Linienspektrum atomaren Wasserstoffs (b)) im sichtbaren Bereich. Unten sind die entsprechenden Elektronenübergänge (Emissionen) im Wasserstoff-Atom gezeigt (c)).
3.2.2
Das Bohrsche Atommodell
Nach dem Bohrschen Atommodell, dass Bohr 1913 ausgehend vom Rutherfordschen KernHülle-Modell entwickelte, besteht das Wasserstoffatom aus einem positiv geladenen Proton
als Kern, um den sich das negativ geladene Elektron auf einer Keplerbahn bewegt. Nach der
klassischen Elektrodynamik müsste ein solches Gebilde jedoch Energie abstrahlen (oszillierender Hertzscher Dipol), d. h. das Elektron würde ständig Energie verlieren und schließlich
in den Kern stürzen. Atome könnten somit überhaupt nicht existieren. Zusätzlich könnte ein
derartiges Gebilde gemäß der klassischen Elektrodynamik nur eine monochromatische
Frequenz abstrahlen, nie jedoch mehrere unterschiedliche, diskrete Frequenzen.
4
Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
Auf der Basis der Experimente, die im letzten Kapitel angesprochen wurden, und den
Arbeiten Plancks zur Quantelung der Energie, stellte Bohr folgende Postulate auf, die mit der
klassischen Elektrodynamik jedoch unvereinbar sind und die er auch nicht weiter begründete:
1. Für jedes Atom gibt es eine Anzahl stationärer Zustand En , in denen das Atom nicht
strahlt.
2. Atome können Energie dann aufnehmen (Absorption) oder abgeben (Emission), wenn das
betreffende Atom von einem Zustand in einen anderen übergeht.
3. Ist dieser Übergang mit Absorption oder Emission von Strahlung verbunden, dann gilt für
die Frequenz der betreffenden Strahlung
1
(4)
( Em − En ) mit n, m =1, 2,3,… ,
h
d. h. das Atom absorbiert oder emittiert bei Übergang vom Energiezustand Em nach En
ν nm =
ein Lichtquant der entsprechenden Energie.
4. Der Bahndrehimpuls der stationären Elektronenbahnen darf nur ganze Vielfache von
h / ( 2 π ) annehmen (er ist somit gequantelt):
| p |=
nh
2π
mit n = 1, 2,3,…
(5)
Aus den Bohrschen Postulaten lassen sich mit Hilfe der klassischen Mechanik die Resonanzfrequenzen des Wasserstoffatoms berechnen. Das soll im folgenden abgeleitet werden.
Das Elektron der Ladung e befindet sich auf einer Kreisbahn mit Radius r um den Atomkern. Zentrifugalkraft (sie ist der Zentripedalkraft entgegengesetzt) und Coulombkraft sind im
Gleichgewicht:
e2
4π ε 0 r 2
= me r ω
e2
⇔ r =
4 π ε 0 me ω 2
2
3
(6)
ε 0 ist die elektrische Feldkonstante ( = 8,854187818 ( 71) ⋅10−12 A s V -1 m -1 ), me die Elektronenmasse und ω die Winkelgeschwindigkeit. Weiter ergibt sich:
| p | = me r 2 ω =
nh
.
2π
(7)
Daraus ergibt sich, dass der Bahnradius des Elektrons nur diskrete Werte annehmen kann.
Umformen nach ω und Einsetzen in obige Gleichung liefert:
ε 0 h2
rn = n
.
π me e 2
2
(8)
Die Zahl n heißt Hauptquantenzahl, und es gilt n ≥1 . r1 ,der kleinsten Radius, wird als BohrRadius bezeichnet und beträgt 52,92 pm. Die Energie des n -ten Zustands ergibt sich als
Summe der potentiellen und kinetischen Energie:
En = E pot + Ekin = −
e2
4 π ε 0 rn
+
5
m e4
1
me rn2 ω 2 = − 2 e 2 2 .
2
8ε0 h n
(9)
Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
Die Energie ist somit diskret, d. h. gequantelt, und in diesem Fall allein von der Hauptquantenzahl n bestimmt. Für die Frequenz eines abgestrahlten Lichtquants bei Änderung des
Energiezustands gilt also:
ν nm =
me e 4 ⎛ 1
1⎞
− 2⎟
2 3 ⎜
2
8ε0 h ⎝ m n ⎠
(10)
me e 4
stimmt jedoch nur
8 ε 02 h3
ungefähr mit der Rydberg-Konstante RH überein. Exakte Übereinstimmung erhält man erst,
Das entspricht der empirischen Formel nach Balmer, der Vorfaktor
wenn die Bewegung von Atomkern und Elektron um den gemeinsamen Schwerpunkt
⎛ m
⎞
berücksichtigt wird. Der resultierende Korrekturfaktor ⎜1 + e
( m p ist die Masse des
m p ⎟⎠
⎝
Protons) ergibt schließlich den richtigen Wert für RH . Nach dem Bohrschen Atommodell
entspricht die Balmer-Serie dem Übergang vom dritten, vierten, fünften usw. Energieniveau
auf das zweite Energieniveau (siehe Bild 2).
Zwar liefert das Bohrsche Atommodell ein Ergebnis, das mit dem Experiment übereinstimmt,
jedoch gelang dies nur unter Verletzung elementarer Gesetze der klassischen Physik. Außerdem funktioniert das Modell nach Bohr nur für das H-Atom, nicht jedoch bei Mehrelektronenatomen. Das Modell kann auch nicht erklären, warum Atome überhaupt stabil sind, denn
ein sich auf einer Kreisbahn um den Kern bewegendes Elektron stellt eine beschleunigte
Ladung dar, die nach den Gesetzen der Elektrodynamik Strahlung abgeben müsste und damit
kontinuierlich Energie verlöre. Eine Abschätzung zeigt, dass ein Atom nur etwa 10−8
Sekunden existieren könnte.
3.3
Der Beginn der Quantenmechanik
Bis etwa 1900 glaubte man, dass die klassische Physik die Natur vollständig und in sich
konsistent beschreiben könne. Es wurde zwischen Strahlung und Materie unterschieden.
Materie bestand aus genau lokalisierbaren Teilchen, deren Bewegungen durch die Newtonsche Mechanik exakt beschrieben und vorhergesagt werden konnten, während Strahlung
durch die elektromagnetische Theorie von Maxwell abgedeckt war, die Erkenntnisse von
Coulomb, Ampère, Gauss, Volta und Faraday in sich vereinigte. Mit Hilfe dieser Theorie
sagte Maxwell die Existenz elektromagnetischer Wellen voraus, die 1887 durch die Entdeckung der Radiowellen bestätigt wurde. Strahlung kann nach dem klassischen Bild der Physik
nicht lokalisiert werden, sondern besitzt Wellencharakter und wird durch die Komponenten
des elektrischen und magnetischen Feldes an jedem Ort des Raumes charakterisiert. Die
Wellennatur des Lichts war durch die Fresnelschen Interferenz-experimente und die Youngschen Beugungsversuche bewiesen. Es gab zwar ungeklärte Phänomene (wie z. B. die
Schwarzkörperstrahlung), jedoch reichten diese nicht aus, das Formelgebäude der klassischen
Physik und den sich daraus ableitbaren Determinismus in Frage zu stellen. Vielmehr meinte
man, durch eine Verfeinerung der mathematischen Methoden die bestehenden Probleme lösen
zu können.
6
Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
Das Zeitalter der Quantenmechanik beginnt im Jahre 1900. Max Planck stellt die fundamental
neue Hypothese auf, dass Oszillatoren eines „schwarzen Körpers“ nur diskrete Energieniveaux annehmen und Licht nur in Energieeinheiten der Größe E = hν emittieren können
(Schwarzkörperstrahlung). ν ist die Oszillatorfrequenz, und h stellt das Plancksche Wirkungsquantum, eine neue Fundamentalkonstante der Physik, dar. Damit war das Frequenzspektrum der Strahlung heißer Körper durch die Annahme einer sog. Energiequantelung
erklärt.
Einen weiteren Hinweis auf die Quantisierung der Energie ergab der photoelektrische Effekt,
der 1905 von Albert Einstein erklärt wurde. Einstein fand, dass die maximale kinetische
Energie eines Elektrons, das durch ein Photon der Energie hν aus einer Metalloberfläche
herausgeschlagen wird, durch folgende Beziehung beschrieben wird:
Tmax = hν − φ ( M ) .
(11)
Die Größe φ ( M ) ist die Austrittsarbeit, die für das entsprechende Metall M charakteristisch
ist und durch die Tiefe des Potentialtopfs U 0 sowie die Fermi-Energie EF bestimmt ist:
φ ( M ) = U 0 − EF .
(12)
Ein direkter Beweis, dass sich ein Lichtquant (Photon) unter Umständen wie ein Teilchen
verhält, wurde 1922 experimentell von Compton gefunden. Photonen haben, wie aus der
Relativitätstheorie von Einstein abgeleitet werden kann, einen Impuls der Größe p = h .
λ
Stößt ein Photon mit einem freien Elektron zusammen, so überträgt es einen Teil seiner
Energie und damit seines Impulses auf das Elektron. Die Wellenlänge des Photons nach dem
Stoß wird mit λ ′ bezeichnet. Mit Hilfe des Energie- und Impulserhaltungssatzes kann dann
folgende Gleichung für den Compton-Effekt abgeleitet werden ( θ ist der Streuwinkel, um den
das Photon aus seiner ursprünglichen Bahn abgelenkt wird):
λ′ − λ =
h
(1 − cos θ ) .
me c0
(13)
Der Nachweis des Compton-Effekts sowie des photoelektrischen Effekts zeigen, dass Licht
aus Photonen besteht, die sich wie Teilchen mit genau definierter (gequantelter) Energie
verhalten. Licht, also Strahlung, ist damit auch Materie und besitzt korpuskularen Charakter.
Wesentlich für die moderne Physik ist aber die Wellennatur der Materie, die erst im Jahre
1927 experimentell von Davisson und Germer durch Elektronenbeugung an Einkristallen
entdeckt wurde. Drei Jahre zuvor hatte de Broglie bereits postuliert, dass jedem bewegten
Teilchen mit Impuls p eine Welle zugeordnet werden kann, die die Wellenlänge λ = h
p
besitzt. Doppelspaltexperimente mit Elektronen zeigen das für die damalige (und vielleicht
auch für die heutige) Zeit verblüffende Resultat eines klassischen Interferenzmusters mit
Minima und Maxima der Elektronenverteilung auf dem Beobachtungsschirm. Die Wellenlänge eines Strahls von Elektronen mit dem Impuls p kann damit aus dem Interferenzmuster am
Doppelspalt bestimmt werden. Die Entdeckung der Elektronen als Teilchen in Kathodenstrahlen gelang J. J. Thomson bereits 1897. Damit war der Welle-Teilchen-Dualismus der Materie
7
Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
formuliert, der schließlich zu den Postulaten der Quantenmechanik und der mathematischen
Formulierung der Quantentheorie durch Heisenberg und Schrödinger führte.
Der Welle-Teilchen-Dualismus führt bereits qualitativ zur Heisenbergschen Unschärferelation. Man fragt sich, ob der Ort eines Teilchens, das Wellencharakter besitzt, exakt
bestimmt werden kann. Ein lokalisiertes Wellenpaket (Einhüllende) kann durch Überlagerung
sehr vieler Wellen mit verschiedenen Wellenlängen erhalten werden. Fast überall löschen sich
die Wellen durch Interferenz aus, nur in einem bestimmten Bereich, der sich mit der Zeit
bewegt erfolgt Verstärkung. Wenn nun jeder Wellenlänge gemäß der de Broglie-Beziehung
ein Impuls p = h zugeordnet werden kann, bedeutet dies, dass eine Impulsverteilung
λ
vorliegt, die desto breiter ist, je genauer der Ort des Wellenpakets bestimmt werden soll.
Allgemein konnte Werner Heisenberg zeigen, dass bestimmte Paare von Observablen
(Meßgrößen wie z. B. Ort und Impuls) nicht gleichzeitig exakt bestimmt werden können. Für
den Impuls und den Ort eines Teilchens kann die Heisenbergsche Unschärferelation also wie
folgt formuliert werden:
Es ist unmöglich, den Ort und den Impuls eines Teilchens gleichzeitig exakt zu bestimmen
bzw. zu kennen.
Diese Aussage wird durch die Formel
h
,
2 4π
∆ x : Ortsunschärfe,
∆ p :Impulsunschärfe;
∆ x⋅∆ p ≥
=
(14)
ausgedrückt.
Es ist wichtig zu begreifen, dass die Unschärferelation nicht eine Unzulänglichkeit der
Messung oder der Messapparatur widerspiegelt, sondern eine grundlegende Eigenschaft der
Materie beschreibt, die aus den Postulaten der Quantenmechanik resultiert. Sie widerspricht
dem klassischen Kausalitätsprinzip und bedeutet eine Zäsur im Weltbild der Physik.
Wir wollen noch einmal die Unschärferelation aufgreifen und eine Art Gedankenexperiment
machen. Für ein ruhendes Teilchen gilt ∆ p = 0 , d. h. seine Impulsunschärfe ist null. Nun
wollen wir mit Hilfe eines Mikroskops den Ort des Teilchens bestimmen, was bestenfalls mit
einer Genauigkeit geschehen kann, die von der Größenordnung der Wellenlänge des benutzten Lichts ist. Für die Ortsunschärfe gilt also: ∆ x ≈ λ . Da aber ∆ p = 0 ist, wäre das Produkt
∆ x ⋅ ∆ p gleich Null, und es läge eine Verletzung der Unschärferelation vor! Ist das tatsächlich der Fall, oder haben wir einen Fehler gemacht? Zur Ortsbestimmung müssen wir Licht
benutzen, und die Quantenmechanik zeigt, dass Licht quantisiert ist und aus Photonen mit
dem Impuls p = h besteht. Um das Teilchen nachweisen zu können, muss mindestens eines
λ
der Photonen aus dem konvergierenden Lichtstrahl hinter einer Sammellinse an dem Teilchen
entweder gestreut oder von ihm absorbiert werden. Der Impulsübertrag an das Teilchen muss
8
Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
h
λ betragen. Das Teilchen hat dann eine Impulsunschärfe ∆ p ≥ λ zu dem
Zeitpunkt, an dem sein Ort mit einer Unschärfe ∆ x ≈ λ bestimmt worden ist. Multiplikation
also mindestens h
der beiden Unschärfen ergibt
∆ x⋅∆ p ≥ λ ⋅
h
λ
= h.
(15)
Das stimmt mit der obigen Gleichung (bis auf einen Faktor 4) überein. An diesem Beispiel
sieht man, dass die Quantenmechanik in sich widerspruchsfrei ist.
Wie verträgt sich nun das Bohrsche Atommodell mit der Heisenbergschen Unschärferelation?
Wir rekapitulieren und erkennen, dass das Modell nach Bohr präzise, gleichzeitige Aussagen
über Bahn bzw. Ort und Impuls (Geschwindigkeit) eines Elektrons erlaubt (mit anderen
Worten: die Bewegung des Elektrons ist durch eine klassische Bahnkurve beschrieben) und
damit falsch sein muss, da es der Heisenbergschen Unschärferelation widerspricht! Das
Dilemma besteht also darin, dass das Bohrsche Atommodell zwar das Wasserstoffspektrum
richtig beschreibt, jedoch weder mit der klassischen Elektrodynamik noch der Quantenmechanik in Einklang zu bringen ist. Wir benötigen also ein widerspruchsfreies Atommodell!
Die Tatsache, dass kleinste Teilchen immer auch Welleneigenschaft zeigen, legt die Möglichkeit nahe, ihre Verhalten mit Gleichungen zu beschreiben, die auch zur Darstellung anderer
Arten von Wellen verwendet werden. Man geht von einer Wellenfunktion Ψ aus, die von den
Raumkoordinaten ( x, y, z ) und der Zeit t abhängt. Zur Beschreibung stationärer Vorgänge (z.
B. Elektronen im ungestörten Atom) braucht die Zeitabhängigkeit von Ψ nicht berücksichtigt
zu werden. Bei einer Welle Ψ , die sich mit der Geschwindigkeit v dreidimensional im
leeren Raum ausbreitet, lässt sich die Änderung von Ψ als Funktion von x, y, z und t durch
eine Differentialgleichung zweiter Ordnung beschreiben. Die zeitunab-hängige Amplitude der
Welle wird durch die sog. Amplitudenfunktionψ dargestellt:
⎛ ∂2
4π 2
∂2
∂2 ⎞
⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ψ = − 2 ψ
λ
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
(16)
Diese Gleichung gilt für beliebige dreidimensionale Wellen. Will man nun eine für kleinste
Teilchen wie z. B. Elektronen gültige Wellengleichung erhalten, ersetzt man die Wellenlänge
λ durch die de Broglie-Beziehung λ = h
:
(m ⋅ v)
⎛ ∂2
∂2
∂2 ⎞
4π 2 m 2 v 2
ψ =0
⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ψ +
h2
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
2
Die kinetische Energie der Partikel m ⋅ v
2
(17)
ist gleich der Differenz zwischen Gesamtenergie
2
E und der potentiellen Energie V , so dass man durch Substitution von m ⋅ v
2
mit E − V
schließlich die von Schrödinger 1926 eingeführte Schrödinger-Gleichung erhält:
⎛ ∂2
∂2
∂2 ⎞
8π 2 m
+
+
+
ψ
( E − V )ψ = 0
⎜ 2
2
2 ⎟
h2
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
9
(18)
Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
Die Gleichung beschreibt das Verhalten von Mikropartikeln, insbesondere von Elektronen in
Atomen und Molekülen vollständig. Die Schrödinger-Gleichung verbindet die Amplitudenfunktion ψ des Elektrons bzw. eines Teilchens mit seiner Energie und den Raumkoordinaten,
die zur Beschreibung des Systems notwendig sind. ψ selbst besitzt keine anschauliche
Bedeutung und ist nicht beobachtbar (keine Observable). Im Gegensatz dazu bildet der
Ausdruck | ψ |2 dx dy dz ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, das betreffende Elektron in
einem Volumenelement dx dy dz anzutreffen (Bornsche Interpretation der Wellenfunktion
ψ ). | ψ |2 gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an, d. h. den zeitlichen Durchschnitt der
Ladungsverteilung, wie sie aus der Bewegung des Elektrons resultiert.
Die Beschreibung des Verhaltens eines Teilchens mittels einer Wellengleichung darf nicht zu
der falschen Vorstellung verleiten, das betreffende Teilchen „sei eine Welle“ oder bewege
sich wellenförmig; vielmehr eröffnet ψ die Möglichkeit, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
eines Teilchens berechnen zu können. Nach der Unschärferelation lassen sich nur Aussagen
über den mehr oder weniger „wahrscheinlichen“ Ort eines Teilchens, jedoch nicht über die
Art seiner Bewegung machen. Die Schrödinger-Gleichung lässt sich nicht streng deduktiv
ableiten, sie ist nicht „begründbar“, sondern eher die Folge der Anwendung der de BroglieBeziehung auf ein sich bewegendes Teilchen. Die Richtigkeit der Gleichung wird quasi durch
die Übereinstimmung theoretischer Ergebnisse mit experimentellen Beobachtungen untermauert.
Im Prinzip sind unendlich viele Amplitudenfunktionen ψ möglich, die der besagten Schrödinger-Gleichung gehorchen. Da wir dem Quadrat von ψ aber eine bestimmte Bedeutung
beimessen, sind nur diejenigen ψ -Funktionen physikalisch sinnvoll, die gewisse Bedingungen erfüllen. So muss ψ eine stetige Funktion sein und überall einen einzigen,
endlichen Wert besitzen. Wäre ψ an irgendeinem Punkt „unendlich“, so wäre die Wahrscheinlichkeit, das Elektron dort anzutreffen, unendlich groß, was der Unschärferelation
widerspräche. Rechnungen zeigen, dass die Gesamtenergie E eines gebundenen Elektrons
nur ganz bestimmte Werte annehmen kann, welche durch entsprechende ψ -Funktionen (sog.
Eigenfunktionen) festgelegt sind. Die Quantelung der Energiezustände, also die Existenz
bestimmter, ausgewählter Energiezustände, ergibt sich damit als mathematische Notwendigkeit und muss nicht – wie beim Bohrschen Atommodell - ad hoc eingeführt werden. In
gleicher Weise erzwingen Randbedingungen eines schwingenden Systems (z. B. die Länge
der Saite) Schwingungen mit ganz bestimmten Freqenzen. Anders ausgedrückt heißt das, dass
zur Beschreibung stationärer Teilchen nur stehende Wellen erlaubt sind.
Zuletzt bleibt zu erwähnen, dass die konsequente Anwendung der Schrödinger-Gleichung auf
das Wasserstoff-Atom zu den gleichen, von der Hauptquantenzahl n abhängigen Energiewerten En führt, wie sie bereits aus der Bohrschen Theorie bekannt sind. Die SchrödingerGleichung eröffnet damit den Zugang zu einem widerspruchsfreien Atommodell, das jedoch
gegenüber dem Modell nach Bohr nur wenig anschaulich ist.
10
Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
4 Experimenteller Teil
4.1
Balmer-Lampe
Die Balmer-Lampe (siehe Bild 3) ist eine wechselstrombetriebene Gasentladungsröhre mit
Wasserdampffüllung. Die abgeschmolzene Röhre wird durch einen an hygroskopischer
Grundlage gebundenen Wasservorrat mit Wasserdampf versorgt. Die Wassermoleküle werden
durch die elektrische Entladung in atomaren Wasserstoff und Hydroxyl-Radikale aufgespalten. Eine hochtemperaturbeständige Kapillare im Innern der Lampe zwingt die Entladung
auf einen engen Raum, so dass dort eine hohe Konzentration an atomarem Wasserstoff
entsteht, der für die intensiven Balmer-Spektrallinien verantwortlich ist; störende Banden
verursacht durch molekularen Wasserstoff treten nicht auf.
Bild 3: Aufbau der Balmer-Lampe mit Kennzeichnung der Komponenten
Eine oxidierende Substanz, unterstützt von geeigneten Katalysatoren, sorgt dafür, dass
während des Betriebs gebildeter Wasserstoff zu Wasser oxidiert wird, so dass im Innern der
Röhre ein Wasserkreislauf stattfindet. Während des Kreislaufs kommt es zur Ablagerung rotbrauner Metalloxide, die sich jedoch nicht im kapillaren Teil der Röhre störend bemerkbar
macht.
11
Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
4.1.1
•
•
Manipulationen an der Balmer-Lampe ohne ausdrückliche Anweisung durch den
Versuchsbetreuer sind verboten!
Ein Anfassen der heißen Balmer-Lampe hat zu unterbleiben!
4.1.2
•
•
•
•
•
4.2
Sicherheitshinweise zur Balmer-Lampe
Inbetriebnahme der Balmer-Lampe und Betriebshinweise
Schalter am Hochspannungs-Netzgerät auf „Ein“ schalten. Die Balmer-Lampe sollte
sofort zünden.
Für ein stabiles Brennen der Balmer-Lampe ist eine bestimmte Betriebstemperatur (ca.
55°C, gemessen am Aluminium-Sockel) erforderlich. Bei zu niedriger Betriebstemperatur
können Entladungen außerhalb der Kapillare (siehe Bild 3) auftreten, was zu einem flackernden Betrieb der Lampe führt. Sorgen sie für ein stabiles Brennen (stabile Entladungsbedingungen), indem sie die Balmer-Lampe 10-15 Minuten vor dem Experiment
einschalten!
Kommt es infolge hoher Umgebungstemperaturen zu zu hohen Betriebstemperaturen (>
70°C), so kann die Balmer-Lampe (nach längerer Betriebsdauer) unter Umständen erlöschen. Schalten Sie die Lampe aus und warten Sie bis sie sich abgekühlt hat. Danach sollte die Balmer-Lampe wieder normal weiterzubetreiben sein.
Betreiben sie die Balmer-Lampe nur in vertikaler Lage, mit dem Aluminium-Sockel nach
unten.
Beim Betrieb ist gelegentlich im Mittelteil der Kapillare die gelbe Natrium-Linie zu
beobachten. Hier empfiehlt es sich, die oberen bzw. unteren Randzonen der Kapillare zu
beobachten bzw. für das weitere Experimentieren zu verwenden, wo die störende gelbe
Linie nicht in Erscheinung tritt.
Versuchsaufbau und Durchführung
Bauen Sie die in Bild 4 dargestellte Anordnung zunächst ohne Gitter (dispersives Element)
auf. Das Wasserstoffspektrum kann nur in einem abgedunkelten Raum beobachtet werden.
Bild 4: Versuchsaufbau mit Komponenten zur Beobachtung des Wasserstoffspektrums. Bei
der Justierung kann die Skalierung auf der optischen Bank zu Hilfe genommen werden.
12
Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
Bilden Sie die Balmer-Lampe mit Hilfe der Sammellinse f = 50 mm ( f ist die Brennweite)
scharf auf die Mitte des zunächst noch geschlossenen Spaltes ab. Öffnen Sie den Spalt und
bilden Sie ihn mittels der Sammellinse f = 100 mm scharf auf den transparenten Schirm ab.
In einem völlig verdunkelten Raum sollte die mattierte Seite des Schirms der Lichtquelle
zugewandt sein. Bauen Sie dann das Gitter im Halter in die in Bild 4 dargestellte Anordnung
ein. Der Spalt sollte so weit geöffnet werden, dass ein Kompromiss zwischen Helligkeit und
Auflösung zustande kommt. Betrachtet man nun die Balmer-Serie auf der der Strahlungsquelle abgewandten Seite des Schirms, so sollten symmetrisch um das Zentrum (sog. WeißlichtPosition, also das Beugungsmaximum 0. Ordnung) in abnehmendem Abstand zur zentralen
Linie rote, türkisfarbene und blaue Hα -, H β - und H γ -Linien zu beobachten sein.
4.3
Auswertung
Bild 5 zeigt, welche geometrischen Größen für die Auswertung wichtig sind. L ist der
(senkrechte) Abstand des Rowland-Gitters vom Schirm, x der jeweilige Abstand der Linien
der Balmer-Serie zum Zentrum.
Bild 5: Geometrie der Linien der Balmer-Serie auf dem Schirm, die die Bestimmung von φ
erlaubt. Das Zentrum stellt das Beugungsmaximum 0. Ordnung dar, während die Hα -, H β und H γ -Linien Beugungsmaxima 1. Ordnung sind.
Die Kopie des Rowland-Gitters wirkt wie sehr viele, äquidistante Spalte und bildet ein
Beugungsgitter. Zylinderwellen, die aus den einzelnen Spalten hervorquellen, verschmelzen
in einigem Abstand zu einer Wellenfront, die in der ursprünglichen Ausbreitungsrichtung
weitergeht (Beugungsmaximum 0. Ordnung). Auch in anderen Richtungen laufen Wellenfronten, nämlich in solchen Richtungen, aus denen gesehen jeder Spalt um λ , 2λ ,3λ , …
weiter entfernt ist als sein Nachbar. Für die Richtungen φm der Beugungsmaxima
m. Ordnung (siehe Bild 5) gilt:
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Die Balmer-Serie des Wasserstoffs
mλ
d
λ : Wellenlänge
sin φm =
(19)
1
mm
600
Bild 5 zeigt, wie der Beugungswinkel φ aus x und L ermittelt werden kann:
d : Gitterkonstante =
tan φ =
x
L
⎛ x⎞
und damit φ = arctan ⎜ ⎟ .
⎝ L⎠
(20)
Damit können jetzt die Wellenlängen der Hα -, H β - und H γ -Linien für m = 1 wie folgt
berechnet werden:
⎛
⎛ x ⎞⎞
⎝ ⎠⎠
λ = d ⋅ sin ⎜ arctan ⎜ ⎟ ⎟ .
L
⎝
4.4
(21)
Aufgaben
1. Bauen Sie den Versuch „die Balmer-Serie des Wasserstoffs“ auf.
2. Bestimmen Sie die Wellenlängen der Hα -, H β - und H γ -Linien (die violette H δ -Linie
liegt mit einer Wellenlänge von 410,17 nm zwar innerhalb des sichtbaren Bereichs, kann
aber vermutlich nur mit optimalen optischen und spektroskopischen Geräten beobachtet
werden).
3. Berechnen Sie die Wellenlängen der Hα -, H β - und H γ -Linien mit Hilfe der BalmerSerienformel und vergleichen Sie die theoretisch berechneten Werte mit Ihren experimentellen Ergebnissen.
4. Diskutieren Sie das Bohrsche Atommodell aus der Sicht der modernen Physik bzw. der
Quantenmechanik.
a) Nach dem Bohrschen Atommodell bewegt sich das Elektron der Ladung e auf einer
Kreisbahn mit Radius r um den Atomkern, die Bewegung lässt sich also durch eine
Bahnkurve beschreiben. Wie verträgt sich diese Aussage mit der Quantenmechanik?
b) Die Schrödinger-Gleichung beschreibt das Wasserstoffatom als dreidimensionales
Gebilde in Funktion der Ortskoordinaten x, y, z . Vergleichen Sie mit dem Bohrschen
Atommodell.
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