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Gegeben sei eine ungedämpfte und ungestörte Feder. Sie (d.h. die Auslenkung der Feder) genüge
dem Gesetz
mẍ + kx = 0,
wobei m die Masse und k die Federkonstante ist.
1. Von der Feder wissen wir, dass sie um x = 10cm ausgedehnt wird, sofern eine Kraft F von
0, 5N = 0, 5 kgs2m auf sie ausgeübt wird. Wie lautet die Federkonstante k?
2. An der entspannten Feder werde jetzt eine Masse von m = 200g befestigt, außerdem werde
die Feder um x0 = 5cm ausgedehnt und dann einfach losgelassen. Wie groß ist die Schwingungsdauer T und die Frequenz ν = T1 der schwingenden Feder?
(Bemerkung: die Schwingungsdauer einer Funktion wie z.B. sin(ωt) ist T = 2π
ω )
3. Unter obigen Voraussetzungen: Wie lautet das Weg–Zeit–Gesetz x(t)?
Lösung.
Gesucht: Auslenkung x(t)
x
Gegeben sei eine ungedämpfte und ungestörte Feder. Sie (d.h. die Auslenkung der Feder) genüge
dem Gesetz
mẍ + kx = 0,
wobei m die Masse und k die Federkonstante ist.
1. Federkraft nach Hookeschem Gesetz.
F = kx ⇒ 0.5N = k · 0.1m ⇒ k = 5
kg
.
s2
2. An der entspannten Feder werde jetzt eine Masse von m = 200g befestigt, außerdem werde
die Feder um x0 = 5cm ausgedehnt und dann einfach losgelassen.
mẍ + kx = 0 ⇒ 0.2ẍ + 5x = 0 ⇒ ẍ + 25x = 0.
Allgemeine Lösung
p(λ) = λ2 + 25 = 0 ⇒ λ1,2 = ±5i ⇒ x(t) = c1 cos(5t) + c2 sin(5t) .
Die Schwingungsdauer ist T =
2π
5 s
und die Frequenz ν =
5 −1
.
2π s
3. Es ist x(0) = 0.05m und ẋ(0) = 0, da die Feder lediglich losgelassen wird.
ẋ(t) = −5c1 sin(5t) + 5c2 cos(5t).
Setze t = 0.
x(0)
ẋ(0)
= c1
= 5c2
=
=
0.05
0
Das Weg–Zeit–Gesetz lautet
x(t) = 0.05 cos(5t)
1