V11 Elastizität und Federschwingungen

V11 Elastizität und Federschwingungen
Elastische Eigenschaften beobachtet man bei der Dehnung von Sehnen und Muskelfasern
sowie von arteriellen Gefäßwänden. Häufig liegt dem elastischen Verhalten zumindest
näherungsweise ein lineares Kraftgesetz zugrunde. Bei schwingungsfähigen Systemen führt
dieses Gesetz zum Auftreten harmonischer, d.h. rein sinusförmiger Schwingungen. Diese
Schwingungsform ist für alle periodischen Schwingungsvorgänge (Schallschwingungen,
elektromagnetische Schwingungen) von grundlegender Bedeutung.
1 Theoretische Grundlagen
Elastisches Verhalten
Ein fester Körper, der sich unter dem Einfluss äußerer Kräfte verformt, heißt elastisch, wenn
er seine ursprüngliche Gestalt nach Wegnahme der äußeren Kräfte wieder annimmt. In einem
elastischen Körper treten als Folge der äußeren Kräfte innere Gegenkräfte auf, sog.
Rückstellkräfte, die mit der Stärke der äußeren Kräfte anwachsen und ihnen entgegen
gerichtet sind. Diese Rückstellkräfte sorgen für die Wiederherstellung der ursprünglichen
Form des Körpers nach Wegfall der äußeren Kräfte.
Die Schraubenfeder und das lineare Kraftgesetz
Wir untersuchen im folgenden ein besonders einfaches Modell eines elastischen Körpers,
nämlich eine gerade Schraubenfeder (Spiralfeder). Die Schraubenfeder besitze die Länge l0
und sei an ihrem oberen Ende fest aufgehängt, so dass ihre Achse senkrecht verläuft. Die
Achse der Feder betrachten wir im Folgenden als x-Achse, die positive Halbachse möge nach
oben zeigen. Mit l seien Längen, also nur positive Größen bezeichnet, dagegen ist x eine
Koordinate und kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen.
Wir dehnen jetzt die Feder nach unten, also in Richtung der negativen x-Achse, bis die Länge
der Feder l1 beträgt, womit sich die Dehnung ergibt:
x = l0 - l1 .
Um diese Dehnung zu erzeugen, muss man am unteren Ende eine senkrecht nach unten
gerichtete Kraft F auf die Feder ausüben. Führt man solche Dehnungsexperimente für
verschieden große Kräfte F durch, so stellt sich heraus, dass die Dehnung x der angreifenden
Kraft proportional ist:
F=D·x.
(1.1)
Gl.(1.1) nennt man das HOOKEsche Gesetz. Die Proportionalitätskonstante D, deren Einheit
1 Newton/Meter ist, heißt allgemein Richtgröße, also gilt:
D 
F
.
x
(1.1a)
Im Fall einer Schraubenfeder nennt man D auch Federkonstante. Die Federkonstante
beschreibt das elastische Verhalten der Feder:
Je größer D ist, desto 'steifer' (härter) ist die Feder.
V11.1
Auf die von außen angreifende Kraft F reagiert die Feder mit einer gleich großen,
entgegengesetzt gerichteten Rückstellkraft FR :
FR =  D · x .
(1.2)
Zum Minuszeichen in Gl.(1.2): Kräfte sind Vektoren, was man im allgemeinen durch einen
Pfeil über F bzw. FR andeutet. Da wir aber nur Kräfte längs der Achse der Feder, also längs
der x-Achse, betrachten wollen, können wir auf die Pfeile verzichten, müssen aber bei
einander entgegengesetzt gerichteten Kräften mit Vorzeichen arbeiten. Das Minuszeichen in
Gl.(1.2) besagt also, dass die Rückstellkraft FR stets der Längenänderung x, der Federdehnung
oder -Stauchung, entgegenwirkt.
Von einem System, für das die Gl.(1.2) gilt, sagt man: Das System gehorcht einem linearen
Kraftgesetz. Die Gültigkeit des linearen Kraftgesetzes ist begrenzt. Bei zu großen äußeren
Kräften nimmt die Länge mehr als proportional zur Kraft zu. Außerdem treten Dehnungen
auf, die über die Elastizitätsgrenze des Systems, in unserem Fall über die der Feder,
hinausgehen. Es kommt zu unelastischen Verformungen; d.h. nach Wegfall der äußeren
Kräfte geht die Feder nicht auf ihre ursprüngliche Länge l0 zurück. Bei noch größeren äußeren
Beanspruchungen kann die Feder sogar reißen. Man gibt daher bei einer Schraubenfeder nicht
nur die Federkonstante D an, sondern auch die maximale äußere Kraft, bei der die Feder sich
noch elastisch verhält.
Das Dehnungsverhalten gummielastischer Stoffe
Wird ein Muskel durch äußere Krafteinwirkung passiv gedehnt, so zeigt er in seinen
elastischen Eigenschaften gewisse Ähnlichkeiten mit dem Dehnungsverhalten eines
Gummibandes.
Abb. 1.1 Elastisches Verhalten eines Gummibandes
In Abb.1.1 ist dazu ein typisches Dehnungs-Zugkraft-Diagramm für vulkanisierten Gummi
dargestellt. Bereits bei sehr kleinen Kräften wird der durch die gestrichelte Linie markierte
Verlauf des linearen Kraftgesetzes verlassen. Die Kurve steigt zunächst steiler an, d.h. mit
zunehmender Kraft wird die Längenänderung größer. Im oberen Kraftbereich wird der
Anstieg der Kurve dann wieder geringer: Ein bereits gedehntes Gummiband wird also bei
weiterer Zugbelastung immer weniger elastisch. In vergleichbarer Weise verhält sich ein
angespannter Muskel weitaus weniger elastisch als im Ruhezustand.
V11.2
System Masse-Schraubenfeder als schwingungsfähiges
Gebilde
Wir befestigen eine Schraubenfeder an ihrem oberen Ende an einer Stativstange, so dass sie
senkrecht nach unten hängt. An das untere Ende der Feder hängen wir einen Körper der
Masse m, Abb.1.2. Teil (1). Auf die Feder wirkt dadurch senkrecht nach unten die
Gewichtskraft G =  m · g der Masse m. Sie verursacht eine Dehnung der Feder mit der
Federkonstanten D um die Länge x, die gegeben ist durch:
Fg =  m g = D · x .
(1.3)
Die Länge der Feder vergrößert sich also von l um x auf l0 , wobei sich x aus Gl.(1.3) ergibt:
x
Damit wird:
mg
.
D
(1.3a)
l0  l  x  l 
mg
.
D
(1.4)
Abb. 1.2 Gleichgewichtslage (1) der Masse m; Auslenkung aus dieser Lage mit der
Federlänge l0 nach unten (2) bzw. nach oben (3)
.
Wir betrachten von jetzt an diesen Zustand l0 , bei dem die Rückstellkraft der Feder
entgegengesetzt gleich der Gewichtskraft G = m · g der Masse m ist, als neue
Gleichgewichtslage unseres Systems aus Masse und Schraubenfeder. Dementsprechend
wählen wir das untere Ende der Schraubenfeder in dieser Gleichgewichtslage als neuen
Nullpunkt der x-Achse (Abb.1.2).
Wir betrachten nun die Teile (2) und (3) der Abb.1.2: Wir lenken das System Masse - Feder
aus seiner Gleichgewichtslage x = 0 (Teil (1)) um eine Strecke vom Betrage x0 nach unten aus
V11.3
(Teil (2)), indem wir von Hand eine entsprechende Kraft F = D · x0 nach unten auf die Masse
m ausüben. Dadurch entsteht in der Feder eine entgegengesetzt, also nach oben gerichtete,
gleich große Rückstellkraft FR =  D · x0 .
Wenn wir jetzt den Körper loslassen, also die äußere Kraft wegnehmen, die für die
Auslenkung des Systems aus seiner Gleichgewichtslage um die Strecke x0 verantwortlich
war, geschieht folgendes:
Infolge der Rückstellkraft der Feder wird die Masse m beschleunigt nach oben, in Richtung
auf die Gleichgewichtslage x = 0 hin, bewegt. Wegen der Trägheit der Masse m bewegt sie
sich über die Gleichgewichtslage hinweg weiter nach oben, und zwar um die gleiche Strecke
x0 , um welche die Feder anfänglich nach unten ausgelenkt war. Während dieser Bewegung
ändert sich die Rückstellkraft der Feder folgendermaßen: Bis zum Erreichen der
Gleichgewichtslage x = 0 nimmt die nach oben gerichtete Rückstellkraft stetig ab und wird
beim Erreichen von x = 0 ebenfalls gleich Null.
Bei der anschließenden trägheitsbedingten Weiterbewegung der Masse nach oben verkürzt
sich die Länge der Feder gegenüber der Länge l0 im Gleichgewichtsfall, die Feder wird
gestaucht. Auf diese Stauchung antwortet das System mit einer Rückstellkraft, die jetzt nach
unten gerichtet ist, also der Aufwärtsbewegung der Masse m entgegenwirkt. Diese nach unten
gerichtete Rückstellkraft nimmt proportional zur Größe der Stauchung zu (lineares
Kraftgesetz!), bis sie bei einer Stauchung um x0 der anfänglich bei der Dehnung um x0
entstandenen Rückstellkraft entgegengesetzt gleich ist (Abb.1.2. Teil (3)).
Die Bewegung der Masse m zwischen den Auslenkungen der Feder von x = x0 bis x = +x0
(Stellungen (2) und (3) in Abb.1.2.) vollzieht sich so: Vom Augenblick des Loslassens bei
x = x0 nimmt die Geschwindigkeit der Masse nach oben vom Anfangswert Null an ständig
zu. Ihren höchsten Wert erreicht sie beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage x = 0
(Stellung (1) in Abb.1.2.). Von da ab verringert sich die Geschwindigkeit stetig, bis sie bei
x = +x0 wieder den Wert Null erreicht. Damit ist der Bewegungsablauf aber nicht
abgeschlossen. Wegen der nach unten gerichteten Rückstellkraft kehrt sich die Bewegung um,
die Masse m bewegt sich mit zunehmender Geschwindigkeit nach unten in die Richtung der
Gleichgewichtslage x = 0, über diese hinaus mit abnehmender Geschwindigkeit bis zur
Auslenkung x = x0 und kehrt dort wieder um. Die Masse m führt unter dem Einfluss der sich
nach Größe und Richtung ändernden Rückstellkraft der Feder Schwingungen aus.
Dieses Feder-Masse-Modell ist ein einfacher Oszillator. Die Schwingungen unseres
speziellen Systems werden als Federschwingungen bezeichnet. Wir haben den
Schwingungsvorgang dadurch ausgelöst, dass wir das System aus seiner Gleichgewichtslage
ausgelenkt und dann freigegeben haben.
Wir haben jetzt noch zu untersuchen, wie die Auslenkung der Masse aus der
Gleichgewichtslage von der Zeit abhängt, und wie sich die Schwingungsdauer T unserer
Federschwingung aus der Federkonstante D der Schraubenfeder und der Masse m des
angehängten Körpers ergibt. Unter der Schwingungsdauer T versteht man die Zeit, in der sich
die Masse m von ihrer tiefsten Auslenkung x = x0 über den Umkehrpunkt bei x = +x0 wieder
bis zu ihrem Ausgangspunkt bei x = x0 bewegt hat, also in Abb.1.2. von der Stellung (2)
über (3) zurück zu (2), also allgemein die Zeit einer geschlossenen Schwingungsperiode.
Das lineare Kraftgesetz und die harmonische Schwingung
Wir fragen nach der sogenannten Schwingungsgleichung für unsere Federschwingungen, d.h.
wir suchen eine Funktion x(t), die uns für jeden Zeitpunkt t die Auslenkung x des Systems
V11.4
Masse-Feder aus der Gleichgewichtslage x = 0 liefert. Diese Funktion x(t) muss zwei
Eigenschaften besitzen:
1.) x(t) kann nur Werte zwischen +x0 und x0 annehmen. Die Strecke x0 war ja die maximale
Auslenkung, die wir unserem System bei der Anregung der Schwingungen mitgegeben hatten.
2.) x(t) muss eine mit der Schwingungsdauer T periodische Funktion sein. Das bedeutet, dass
nach jedem Zeitraum T die Auslenkung x wieder den gleichen Wert haben muss. Es muss
also für n = 1, 2, 3... gelten:
x(t + T) = x(t + 2 ·T) = ... = x(t + n ·T) = x(t) .
(1.5)
Gl.(1.5) ist eine Bedingung, die für jede periodische Bewegung, sei es eine Schwingung oder
eine gleichförmige Drehbewegung, gültig sein muss. Wir nehmen das Ergebnis der folgenden
Betrachtungen vorweg und behaupten: Die gesuchte Funktion x(t) ist eine Sinusfunktion, bzw.
die Abhängigkeit der Auslenkung x von der Zeit t ist sinusförmig.
Die Sinusfunktion f() = sin() ist eine periodische Funktion mit der Periode 2. Wir geben,
wie das in der Physik im Gegensatz zur Trigonometrie üblich ist, das Argument  nicht im
o
Gradmaß, sondern im Bogenmaß an. 2 entspricht also 360 im Gradmaß. Es gilt demnach für
n = 1, 2, 3, ... :
sin( + 2) = sin( + n ·2) = sin() .
(1.6)
Wenn wir nun eine sinusförmige Schwingung x(t) mit der Schwingungsdauer T beschreiben
wollen, ist zweierlei notwendig: Zum einen muss im Argument der Sinusfunktion die Zeit t
auftreten. Zum andern muss x(t) nicht periodisch mit 2, sondern periodisch mit der
Schwingungsdauer T sein. Außerdem ist zu beachten, dass das Argument der Sinusfunktion
eine dimensionslose, d.h. eine nicht mit physikalischen Einheiten behaftete Zahl sein muss.
(Letzteres gilt nicht nur für die Sinusfunktion, sondern für alle Winkelfunktionen ebenso wie
z.B. für die Exponential- oder die Logarithmusfunktion.) Diese Bedingungen können wir
folgendermaßen erfüllen: Zunächst drücken wir die Zeit t in Bruchteilen der
Schwingungsdauer aus, indem wir t/T schreiben.
Wenn wir für t und T die gleiche Zeiteinheit, also etwa Sekunden, verwenden, ist t/T eine
reine Zahl, die Zeiteinheiten haben sich herausgekürzt. Die Periodizität mit T erhalten wir
ganz zwanglos dadurch, dass wir t/T mit 2 multiplizieren und dieses Produkt als Argument
in
die
Sinusfunktion
einsetzen:
t

(1.7)
sin  2   .
T

Nach Ablauf der Schwingungsdauer, also für t = T, wird t/T = 1, und Ausdruck (1.7) nimmt
den Wert sin(2) an. Nach n Schwingungsdauern T, n = 2, 3, .., wird t/T = n und Ausdruck
(1.7) zu sin(n·2). Dann folgt aus Gl.(1.6) für ein beliebiges Argument  der Sinusfunktion:
t 
t 


sin    2    sin    n  2   .
T
T


(1.8)
Damit haben wir unser Ziel erreicht: Im Argument der Sinusfunktion tritt die Zeit t explizit
auf, das Argument ist - infolge der Division durch T - eine reine Zahl und die Sinusfunktion
ist - infolge der Multiplikation mit 2 - periodisch mit der Schwingungsdauer T. Als letztes
multiplizieren wir Gl.(1.8) noch mit x0 . Dann nimmt die periodische Funktion:
t 

(1.9)
x ( t )  x 0  sin    2   .
T

Werte zwischen +x0 und x0 an, da der Wertebereich der Sinusfunktion zwischen +1 und 1
liegt.
V11.5
Gl.(1.9) ist die Gleichung einer sinusförmigen Schwingung der Schwingungsdauer T. Wir
führen noch einige in der Schwingungslehre übliche Bezeichnungen ein: Die momentane
Auslenkung x(t) zum Zeitpunkt t heißt Elongation. Den Betrag x0 der maximalen Auslenkung
nennt man die Amplitude der Schwingung. Das Argument der Sinusfunktion, also den
Ausdruck (+ 2· t/T), bezeichnet man als die Phase der Schwingung zum Zeitpunkt t.
Demnach ist  die Phase der Schwingung für t = 0. Durch geeignete Wahl des Beginns der
Zeitmessung kann man erreichen, dass = 0 wird. Man beginnt dazu mit der Zeitmessung in
dem Augenblick, in dem das schwingende System den Gleichgewichtszustand x = 0 erreicht
hat. Den Kehrwert der Schwingungsdauer T nennt man die Frequenz  der Schwingung
(kleines griechisches Ny). Die Frequenz gibt die Anzahl der Schwingungen in der Zeiteinheit
an, ihre Einheit ist 1 Hertz, abgekürzt 1 Hz:
1 Hz 
1
.
Sekunde
Das 2-fache von  bezeichnet man als Kreisfrequenz  (kleines griechisches Omega):
  2  
2 
.
T
(1.10)
Mit Gl.(1.10) schreibt sich Gl.(1.9) demnach:
x(t) = x0 · sin(·t + ) .
(1.11)
Eine sinusförmige Schwingung in Form von Gl.(1.9) bzw. Gl.(1.11) wird auch als
harmonische Schwingung bezeichnet.
Zum Schluss müssen wir noch die eingangs aufgestellte Behauptung beweisen, dass es sich
bei den Federschwingungen tatsächlich um harmonische Schwingungen von der Form
Gl.(1.9) bzw. Gl.(1.11) handelt. Bei diesem Beweis wird sich über den Spezialfall der
Federschwingungen hinaus folgendes allgemeine Gesetz ergeben:
Jede mechanische Anordnung, für die ein rücktreibendes lineares Kraftgesetz
FR = D · x gilt, führt bei entsprechender Anregung harmonische
Schwingungen der Form x(t) = x0 · sin(·t +) aus.
'Entsprechende Anregung' bedeutet, dass wir das System so aus seiner Gleichgewichtslage
auslenken, dass die Schwingungen nur längs einer Geraden, in unserem Fall längs der
x-Achse, erfolgen, wie es in Abb.1.2. dargestellt ist.
Wir gehen vom linearen Kraftgesetz FR = D · x aus. Die Kraft bewirkt am Körper der Masse
m die Beschleunigung a:
F=m·a.
(1.12)
Die Beschleunigung ihrerseits ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit, im Falle
einer Bewegung längs der x-Achse also:
a = x  ( t ) ,
(1.13)
bzw. in Differentialquotientenschreibweise:
a
d 2 x(t)
.
dt 2
V11.6
(1.13a)
Einsetzen des linearen Kraftgesetzes und der Beschleunigung führt auf
m · a = FR
(1.14a)
m · x  ( t ) = D · x(t) ,
(1.14b)
bzw. durch Auflösung nach x  ( t ) :
x" (t)  
D
 x(t) .
m
(1.14c)
Gl.(1.14) ist ein Zusammenhang zwischen einer zeitabhängigen Funktion, x(t), und ihrer
zweiten Ableitung nach der Zeit, x  ( t ) . Einen solchen Zusammenhang nennt man eine
Differentialgleichung. Die Lösung der Differentialgleichung (1.14) läuft auf die Frage hinaus:
Ist uns eine Funktion x(t) bekannt, deren zweite Ableitung der Funktion selbst proportional
ist, und bei der der Proportionalitätsfaktor eine negative Zahl ist (D und m sind positive
Zahlen)? Es stellt sich heraus, dass die oben eingeführte Funktion (1.11)
x(t) = x0 · sin(t + ) genau diese Eigenschaft besitzt. Um das zu zeigen, müssen wir die 1.
und 2. Ableitung der Sinusfunktion kennen und die Kettenregel der Differentialrechnung
anwenden können.
Es gilt:
f(z)  sin(z)

f' (z)  cos(z)

f" (z)  - sin(z) ,
Mit zweimaliger Anwendung der Kettenregeln und der Kenntnis, dass ein konstanter Faktor
vor einer Funktion beim Differenzieren erhalten bleibt (a, k und c sind Konstanten):
f (z) 
f' (z) 
a  sin (k  z  c)
k  a  cos (k  z  c)
(1.15)
f"(z)   k  a  sin (k  z  c)   k  f (z)
2
2
Wenn wir entsprechend die zweite Ableitung der Funktion x(t) bilden, ergibt sich also
ausgehend von der Funktion (1.11):
x(t)  x0  sin( ω  t   
x'(t)  ω  x0  cos( ω  t   
x''(t)   ω²  x0  sin( ω  t   
(1.16)
x''(t)    2  x (t )
Damit hat x(t) = x0 · sin(t + ) genau die Eigenschaft, die für die Funktion x(t) in unserer
Differentialgleichung (1.14) verlangt wurde, wenn wir nur noch
2 
D
m
(1.17)
setzen. Das heißt: Die Gleichung (1.11) der harmonischen Schwingung ist eine Lösung der
Differentialgleichung (1.14), die ihrerseits ja nur eine ausführlichere Schreibweise des
linearen Kraftgesetzes Gl.(1.2) ist. Damit ist unsere obige Behauptung bewiesen, dass ein
System, das dem linearen Kraftgesetz gehorcht, eine harmonische Schwingung ausführen
kann.
Sozusagen als Nebenprodukt der Beweisführung erhalten wir außerdem zwei wichtige
Aussagen über unsere Federschwingungen:
V11.7
1.) Aus Gl.(1.17) folgt, wie die Schwingungsdauer T von der Federkonstanten D der Feder
und der Masse m des an die Feder angehängten Körpers abhängt. Aus der Definition Gl.(1.10)
der Kreisfrequenz und Gl.(1.17) folgt:
4 2
D
  2  .
T
m
2
(1.18)
Auflösung nach T ergibt:
T  2 
m
D
(1.19)
Die Schwingungsdauer T wird größer, wenn wir m vergrößern. Sie wird umso kleiner, je
größer D, also je steifer die Feder ist.
2.) Die Schwingungsdauer T hängt nur von m und D ab. Sie ist unabhängig von der
Amplitude x0 der Schwingung; x0 kommt in Gl.(1.19) für T nicht vor.
Zwei Schlussbemerkungen
Gedämpfte Schwingung
Die Amplitude x0 der Federschwingung ist in Wirklichkeit keine Konstante, sondern nimmt
mit der Zeit langsam ab, d.h. die Schwingung ist gedämpft. Der Grund ist die durch Reibung
hervorgerufene Umwandlung der mechanischen Schwingungsenergie in Wärme.
Messverfahren
Zur Bestimmung der Federkonstanten D sollen an die Feder nacheinander die Massen m, 2.m,
3.m, ..... , 10.m angehängt werden. Bewirkt die Masse m nach Gl.(1.3a) eine Dehnung der
Feder um den Längenbetrag
mg
d 
,
D
so folgen für die Massen n · m, n = 2, 3 , ... , 10, die Dehnungen
nd 
nmg
,
D
solange die Feder im Gültigkeitsbereich des HOOKE'schen Gesetzes bleibt.
Im Versuch bedeutet das, dass die Differenz zweier aufeinander folgender Zeigerablesungen
am unteren Ende der Feder jeweils
d = ln - ln-1
für n = 1, 2, ... , 10 ergibt. Aus m und d (bzw. im Versuch aus dem Mittelwert über 10
d-Werte) erhält man dann nach Gl.(1.3a) für die Federkonstante:
D 
mg
.
d
V11.8
(1.20)
Übungsfragen
1) Welche Eigenschaften hat ein elastischer Körper?
2) Wie lautet das HOOKsche Gesetz für einen elastischen Körper, der sich nur in einer
Richtung dehnen oder stauchen lässt?
3) Welche Verhaltensweisen können elastische Körper außerhalb der Grenzen zeigen, in
denen das lineare Kraftgesetz Gültigkeit besitzt?
4) Wie lautet die Schwingungsgleichung einer Masse m, die unter den Einfluss eines
linearen Kraftgesetzes FR =D  x zu harmonischen Schwingungen in x-Richtung
angeregt wurde?
5) Welche Bedeutung haben die Begriffe Kreisfrequenz, Amplitude und Phase?
Was versteht man unter einer gedämpften Schwingung?
V11.9
V11.10
2 Der Versuch
Versuchsaufbau und -durchführung sind einfach und übersichtlich. Die Aufgabe der
Studenten ist es, die Messungen mit größtmöglicher Präzision durchzuführen. Die
Genauigkeit der Messergebnisse und die konsistente Anwendung der Fehlerrechnung spielen
eine entsprechende Rolle bei der Vergabe des Haupttestats.
Aufgabenstellung
Bestimmung der Federkonstanten einer Spiralfeder
Wenn man an eine Feder eine Masse m anhängt, beobachtet man eine Dehnung x der Feder,
die durch die Gewichtskraft Fg = m · g der Masse hervorgerufen wird. Führt man diesen
Versuch mehrmals durch, so erhält man einen Mittelwert d für die Dehnung, und damit nach
Gl.(1.3) einen Mittelwert D für die Federkonstante:
D 
mg
.
x
(2.1)
Auf diese Weise ist die Federkonstante entweder für eine weiche oder eine steife Feder zu
bestimmen. (Siehe dazu Abschnitt 1.6.2.)
Elastizitätsmessung an einem Latexring
Bei dieser Aufgabe ist die Längenänderung eines Gummirings mit zunehmender Zugkraft zu
messen. Die Ergebnisse werden in ein Dehnungs-Zugkraft-Diagramm gemäß Abb.1.1.
eingetragen. Eine Anstiegsgerade im Koordinatenursprung soll die Abweichungen vom
linearen Kraftgesetz deutlich machen. Die reziproke Steigung dieser Geraden liefert eine
Größe, die mit der Federkonstanten nach Gl.(2.1) vergleichbar ist. Am Ende der
Versuchsreihe ist zu überprüfen, ob der Gummiring nach der Dehnungsbelastung wieder in
seine ursprüngliche Länge zurückkehrt.
Bestimmung der Schwingungsdauer
Für die ausgewählte Feder sind nach der Bestimmung der Federkonstanten D für jeweils eine
Masse m die Schwingungsdauer T zu messen und mit dem nach
T  2 
m
D
(2.2)
berechneten Wert zu vergleichen.
Durchführung
Die zwei Federn sind an einer Stativstange befestigt. Die Dehnung der Federn wird mit einem
mm-Maßstab mit beweglichem Zeiger gemessen. Welche der beiden Federn zu Ihrem
Messprogramm gehören soll, erfahren Sie bei der Einweisung am Versuchstage.
Die Federkonstanten D
Zunächst wird die Lage l0 der Unterseite der Öse am unteren Ende der Feder bestimmt,
Abb.2.1. Dann werden der Reihe nach 10 Massen an die Feder gehängt und die zugehörige
Dehnung der Feder gemessen, indem die Lage ln der Unterseite der Öse abgelesen und
protokolliert wird, Abb.2.1.
V11.11
Achtung: Gehen Sie beim Anhängen und Abnehmen der Massenstücke vorsichtig vor, damit
sich nicht einzelne Massenstücke lösen und zu Boden fallen.
Bei der weichen Feder wird mit m = 0,050 kg begonnen, die angehängten Massen werden
dann jeweils um 0,050 kg bis auf 10·m = 0,500 kg erhöht. Die Reihenfolge der
anzuhängenden Massen ist in Spalte 1 des Messprotokollschemas angegeben. Die Lage l der
Federöse für die einzelnen Belastungen wird bestimmt, indem Sie die Zeigerspitze vorsichtig
unter die Unterseite der Öse bringen. Die Oberseite des Zeigers muss die Unterseite der Öse
gerade berühren. Achten Sie darauf, dass Sie dabei nicht das Federende durch den Zeiger
anheben!
Die Ablesung von l soll auf 0,5 mm genau erfolgen: Nur wenn die Zeiger-Oberkante exakt
mit einem Millimeterstrich der Skala des Maßstabs übereinstimmt, wird z.B. l = 32,20 cm
oder l = 32,30 cm protokolliert. Liegt die Oberkante des Zeigers zwischen diesen beiden mmStrichen, wird x = 31,25 cm protokolliert. (Eine genauere Angabe durch Schätzung von
Zehntelmillimeter ist wegen der endlichen Dicke des Zeigers nicht sinnvoll.)
x
Abb. 2.1. Prinzip der ersten Messung
Bei der steifen Feder wird mit m = 0,200 kg begonnen, die angehängten Massen werden
dann um jeweils 0,200 kg bis auf 10·m = 2,000 kg erhöht. Die Reihenfolge der
anzuhängenden Massen ist wiederum in Spalte 1 des Messprotokollschemas angegeben. Die
l-Werte werden wie oben beschrieben bestimmt und auf 0,5 mm genau protokolliert. Auch
hier ist darauf zu achten, dass die Feder nicht von der Zeigerspitze angehoben wird. Bei
beiden Federn nimmt die Dehnung d bei einer zusätzlichen Belastung mit 0,05 bzw. 0,2 kg
um größenordnungsmäßig 2 cm zu.
Das Dehnungs-Kraft-Diagramm eines Latexrings:
Der Gummiring ist wie die beiden Federn mit seinem oberen Ende an der Stativstange fixiert.
An seinem unteren Ende ist vor der ersten Messung der s-förmige Metallhaken einzuhängen,
um den Ring in die gestreckte Ausgangsform zu ziehen. Die Unterseite der Gummischlaufe
definiert den Bezugspunkt für die Größe l0 und die Messwerte ln des gedehnten Gummibands.
Verwenden Sie denselben Gewichtssatz, der für die steife Feder vorgesehen war.
V11.12
Die Schwingungsdauer von Federschwingungen:
Bei der weichen Feder wird für die angehängte Masse m = 0,500 kg dreimal die Dauer von 50
Federschwingungen bestimmt. Beim Auslenken der Feder ist darauf zu achten, dass die Feder
nicht zu seitlichen ('tanzenden') Schwingungen angeregt wird. Die Feder mit der angehängten
Masse muss also so genau wie möglich senkrecht nach unten ausgelenkt werden, und zwar
um ungefähr 3 bis 4 cm. Warten Sie zwei Schwingungen ab, dann starten Sie die Stoppuhr
und beginnen gleichzeitig mit der Zählung der Schwingungen und zwar bei 'Null'. Die drei so
erhaltenen Werte von 50·T sollen untereinander um nicht mehr als maximal 0,20 s differieren.
Gegebenenfalls müssen die Messungen von 50·T ein- oder zweimal wiederholt werden! Bei
der steifen Feder bestimmen Sie genau wie oben dreimal 50·T für m = 1,5 kg (1 kg-Stück +
500 g-Stück) mit der gleichen Genauigkeit (maximale Abweichung: 0,20 s). Bei dieser Feder
genügt zur Anregung der Schwingungen eine Anfangsauslenkung von 1,5 bis 2 cm.
Die Messprotokolle
Messungen zur Bestimmung von D
Tragen Sie die Zahlenwerte in Spalte 1 erst am Versuchstage in Ihre vorbereitete Tabelle ein.
weiche Feder
1
anzuhängende
Massen
2
[kg]
---
0
oder
steife Feder
3
4
1
anzuhängende
Massen
l
l
[cm]
[cm]
[kg]
l0
---
---
2
0
0,05
m1
0,2
m2
0,1
2 m1
0,4
2 m2
0,15
0,6
0,2
0,8
0,25
1,0
0,3
1,2
0,35
1,4
0,4
1,6
0,45
1,8
0,5
10 m1
2,0
3
4
l
l
[cm]
[cm]
l0
---
10 m2
*Die l-Werte in Spalte 4 sind Differenzen jeweils zweier benachbarter l-Werte aus der
Spalte 3, d.h. sie geben an, um wie viel sich die Feder gedehnt hat, wenn sie mit einer
zusätzlichen Masse von 50 g (weiche Feder) bzw. 0,200 kg (steife Feder) belastet worden ist.
V11.13
Dehnungsmessungen am Latexring
Die Dehnung des Gummibands wird durch Anhängen geeigneter Massestücke in Schritten
von 0,1 kg gemessen, was einer Schrittweite der entsprechenden Gewichtskraft von 0,981
Newton entspricht. In Spalte 2 der Tabelle ist die daraus resultierende Zugkraft F in Newton
eingetragen. Zum Abschluss dieser Messreihe ist zu überprüfen, ob nach maximaler Dehnung
des Latexrings eine unelastische Verformung zu beobachten ist, indem die Länge l0 mit der
Ausgangsbelastung durch den Metallhaken neu bestimmt wird.
1
2
3
4
anzuhängende
Massen
[kg]
Fg
[N]
l
[cm]
x = l  l0
[cm]
(Metallhaken)
0
l0
0
0,1
0,981
0,2
1,962
0,3
2,943
0,4
3,924
0,5
4,905
0,6
5,886
0,7
6,867
0,8
7,848
0,9
8,829
1,0
9,810
1,1
10,791
1,2
11,772
1,3
12,753
Man beachte, dass bei dieser Messung in Spalte 4 die Längenänderung x in Bezug auf die
Ausgangslänge l0 zu berechnen ist. Entsprechend ist die Zugkraft F als diejenige Kraft
definiert, die die gesamte Längenänderung x hervorruft.
V11.14
Messungen der Schwingungsdauern T
Die Messungen von 50·T werden so oft wiederholt, bis man drei Werte erhalten hat, die sich
untereinander um nicht mehr als 0,20 Sekunden für die harte Feder bzw. 0,4 Sekunden für die
wiche Feder unterscheiden. Die so erhaltenen drei Werte werden zur Auswertung benutzt, die
Werte mit größeren Abweichungen werden weggelassen, sind aber im Protokoll enthalten.
weiche Feder
oder
m = 0,5 kg
50 T [s]
steife Feder
m = 1,5 kg
T [s]
50 T [s]
T [s]
Die Werte von 50 ·T werden auf 1/100 sec genau protokolliert; die daraus ermittelten TWerte werden zunächst auf 4 Stellen nach dem Komma berechnet.
Achtung !
Unmittelbar nach den Versuchen zur Dehnung und zur Bestimmung der
Schwingungsdauern sind die angehängten Massen von den Federn bzw. dem
Latexring abzunehmen. Geschieht das nicht, kann es zu unelastischen
Verformungen kommen!
Auswertung und Fehlerrechnung
Die Federkonstanten
Die d-Werte in der Spalte 4 des Messprotokolls erhalten wir aus Spalte 3, indem wir die
Differenz zweier benachbarter l-Werte bilden. Aus den so erhaltenen 10 x-Werten wird der
Mittelwert x und der mittlere absolute Fehler x berechnet. (Taschenrechner mit
'statistischen Funktionen' benutzen!) Wir erhalten also x  x :
x = ( .... ± .... ) cm
Beachten Sie dabei die Regeln 1, 2 und 3 der Fehlerrechnung, insbesondere und während der
gesamten Auswertung die Regel 1 !
V11.15
V11.16
Dann wird der prozentuale Fehler von d berechnet:
𝑝 𝑥 = 100 ∙
∆𝑥
𝑥
%
(2.4)
Zur Berechnung der Federkonstanten muss 𝑥 in Metern vorliegen, also Umrechnung von cm
in m:
𝑥 = ⋯ [𝑚]
(2.5)
Damit erhält man nach Gl.(2.1) die Federkonstanten in Newton/Meter:
𝐷=
𝑚 ∙𝑔
(2.6)
𝑥
2
mit g = 9,81 m/s .
Auf wie viele Stellen ist 𝐷 anzugeben?
Zunächst ist nur der prozentuale Fehler von D bekannt: Er ist nämlich gleich dem
prozentualen Fehler von d (m und g sind als Konstanten vorgegeben!):
p(D) = p(x) = .. [%]
(2.7)
Zur Bestimmung der physikalisch sinnvollen Stellenzahl von D braucht man aber die
absoluten Fehler von D. Man erhält sie aus den prozentualen Fehlern nach Gl.(2.7) der
Fehlerrechnung (auf zwei signifikante Stellen zu runden!):
∆𝐷 = 𝐷 ∙
𝑝(𝐷)
𝑁
100%
𝑚
(2.8)
Dann wird (wieder nach Regel 3 der Fehlerrechnung) die Stellenzahl von 𝐷 bestimmt, indem
deren Wert auf diejenige Stelle abgerundet werden, die der zweiten Stelle des jeweiligen
absoluten Fehlers D entspricht. Jetzt können wir als Ergebnis schreiben:
𝐷=⋯
𝑁
𝑚
± 𝑝 𝐷 [%]
(2.9)
Frage:
Welche Aussage über die Gültigkeit des HOOKEschen Gesetzes gewinnt man aus
den Messreihen?
Das elastische Verhalten des Latexbandes
Tragen Sie am PC die 13 Wertepaare von x und F aus der Tabelle in Abschnitt 2.3.2 in ein
Dehnungs-Kraft-Diagramm mit der Dehnung auf der Abszisse (horizontale Achse) und der
Kraft auf der Ordinate (vertikale Achse) ein und verbinden Sie die Messpunkte unter
Verwendung eines Kurvenlineals mit einer glatten Kurve.
Zeichnen Sie vom Koordinatenursprung aus nach Augenmaß eine Anstiegsgerade ein, die
dem Verlauf der Messkurve bis etwa zum zweiten Messpunkt (0,2 kg) folgen sollte. Zeichnen
Sie ein möglichst großes Steigungsdreieck ein und bestimmen Sie die Federkonstante des
Latexbandes DL aus der Anstiegsgeraden mittels Längendifferenz x und der Kraftdifferenz
F auf drei signifikante Stellen:
DL 
F  N 
 x  cm 
Diese Größe DL beschreibt die Elastizität des Latexbandes im Bereich kleiner
V11.17
(2.10)
V11.18
Dehnungskräfte, wo noch in guter Näherung ein lineares Kraftgesetz zu beobachten ist.
Die Schwingungsdauern
Aus den jeweiligen drei gemessenen Werten von T für beide Federn berechnen wir die
Mittelwerte und die absoluten Fehler T, sowie anschließend die prozentualen Fehler:
𝑇𝑚𝑒𝑠𝑠 = … . ±. . . . 𝑠
p(𝑇𝑚𝑒𝑠𝑠 ) = .. [%]
(2.11)
Achten Sie wieder auf die richtige Angabe der Stellenzahl von T, die von der Größe der
betreffenden absoluten Fehler abhängt!
Nun sollen diese gemessenen Werte der Schwingungsdauern mit denjenigen Werten
verglichen werden, die nach der Theorie aus den Werten von D und m zu erwarten sind. Das
sind diejenigen Werte, die sich aus Gl.(2.2) ergeben. Wir berechnen also aus den gemessenen
Werten der Federkonstanten und den jeweiligen Massen:
𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜 = 2 ∙ 𝜋
𝑚
𝐷
[𝑠]
(2.13)
Es stellt sich die Frage, auf wie viele Stellen diese zwei Schwingungsdauern abzurunden sind.
In dem Ausdruck (2.13) ist D die einzig fehlerbehaftete Größe. Den prozentualen Fehler von
D haben wir berechnet. Da D unter einer Quadratwurzel steht, und da eine Quadratwurzel in
1/2
Potenzschreibweise die Form (...)
besitzt, folgt aus dem Fehlerfortpflanzungsgesetz
(Abschnitt 3.2. der Fehlerrechnung), dass der prozentuale Fehler von 𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜 gleich der Hälfte
des prozentualen Fehlers der Federkonstante D ist:
1
𝑝(𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜 ) = ∙ 𝑝 𝐷
2
(2.14)
Daraus berechnen wir den absoluten Fehler ∆𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜 (2 signifikante Stellen!):
∆𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜 = 𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜 ∙
𝑝(𝑇𝑡ℎ 𝑒𝑜 )
100%
𝑠
(2.15)
Mit Hilfe der absoluten Fehler ist für beide Federn 𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜 auf die richtige Stellenzahl zu
runden. Als Ergebnis schreiben wir:
𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜 = ... [s] ± p(𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜 ) [%]
(2.16)
.
Die gemessenen und die aus den Federkonstanten berechneten Werte für die
Schwingungsdauern werden ein wenig voneinander abweichen. Abgesehen von den
Messfehlern bei T und D ist ein weiterer Grund für eine Abweichung der, dass bei der
Ableitung des Ausdrucks (2.1) stillschweigend vorausgesetzt wurde, dass die Masse der
Feder als verschwindend klein gegenüber dem Wert der angehängten Masse m angesehen
werden kann, was in Wahrheit nicht zutrifft.
V11.19
Überprüfen Sie anhand der Bedingungen (2.17), ob Ihre Ergebnisse im Sinne der
Fehlerrechnung physikalisch signifikante Abweichungen zeigen, d.h. ob die auf verschiedene
Weise bestimmten Schwingungsdauern 𝑇 bzw. 𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜 innerhalb ihrer Fehlerintervalle
übereinstimmen:
𝑇 − 𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜 < ∆𝑇 + ∆𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜
(2.17)
Frage: Kann die Federmasse bei der Berechnung der Schwingungsdauern vernachlässigt
werden? Treffen Sie für beide Federn eine begründete Aussage.
V11.20
V11.21
3 Protokoll
Am Ende des Versuchs sind hier alle Ergebnisse zusammenzufassen:
50 T [s]
Messungen der Schwingungsdauern T
m=
Feder (Bitte ankreuzen):
weich
hart
𝐷
𝑝 𝐷
∆𝐷
𝐷
𝑇𝑚𝑒𝑠𝑠
𝑝(𝑇𝑚𝑒𝑠𝑠 )
∆𝑇𝑚𝑒𝑠𝑠
𝑇𝑚𝑒𝑠𝑠
𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜
𝑝(𝑇𝑚𝑒𝑠𝑠 )
∆𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜
𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜
𝑇 − 𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜
∆𝑇 + ∆𝑇𝑡ℎ𝑒𝑜
𝐷𝐿𝑎𝑡𝑒𝑥 =
V11.22
T [s]