AF. Aktive Filter

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AF1
AF. Aktive Filter
AF.1 Allgemeines
• "Aktiv" , weil zur Realisierung der Übertragungsfunktion neben den Elementen R und C auch aktive Elemente (--> Verstärker, Gyratoren, NIC) benötigt werden. Meist Verwendung von O.P. Manchmal auch diskrete Transistorverstärker.
• Bevorzugter Frequenzbereich: mHz.......einige 100 kHz. Darüber sind RLC-Schaltungen günstiger.
• Mit digitalen Signalprozessoren lassen sich sehr genaue und stabile hochpolige Filter bauen.
Nachteil: Hoher Aufwand.
AF.2 Arten von Filtern (lineare Filter)
ideal
real
TD
|v|
|v|
Durchlass Sperr
1
fg f (log)
TD Gruppenlaufzeit
1
fg f (log)
fg f (log)
Abb. AF1: Idealer und realer Tiefpaß
fg f (log)
AF.2.1 Übertragungsfunktion eines Tiefpasses n-ter Ordung
Einen TP n-ter Ordnung kann man sich aus n entkoppelten TP 1. Ordnung zusammengesetzt vorstellen:
1
=
(AF1)
A( P) =
(1+ K1P)(1+ K2P) ...(1+ KnP)
1
1
=
=
2
3
1+ c 1P+ c 2P2+ c 3P3
| für n= 3 1+ (K1+ K2+ K3)P+ (K1 K3+ K2 K3+ K1K2)P + K1K2K3P
Hierin ist P die normierte komplexe Frequenz.
ω
P = j Ω = j ω ; bzw. p = jω = P ωg
g
Verallgemeinert ensteht die Übertragungsfkt. eines TP n-ter Ordung mit n als höchster Potenz von P:
1
A( P) =
1+ c 1P+ c 2P2+ ....c n Pn
(AF2)
In der Praxis werden Filter höherer Ordung aus Filtern erster und zweiter Ordnung zusammengesetzt. Deshalb
wird das Nennerpolynom in Faktoren zerlegt, die jeweils einem Filter 1. bzw. 2. Ordnung entsprechen.
A( P) =
A01 A02 A03
( 1+ a1 P)(1+ a2P+ b2P2)( 1+ a3 P+ b3P2)
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(AF3)
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AF2
Teilfilter
E
1.Ordnung
A( P) =
2.Ordnung
2.Ordnung
A01 A02 A03
(1+ a1 P)(1+ a2P+ b2P2)(1+ a3 P+ b3P2)
A
Teilfilter
Gesamtfilter 5. Ordung
• Die Teilfilter entsprechen weder in Grenzfrequenz noch in der Filtercharakteristik dem
Gesamtfilter. Erst die Zusammenschaltung
ergibt die Gesamteigenschaften.
Abb.AF2: Zusammengesetztes Filter
Reihenfolge der Einzelfilter:
Bemessungsgesichtspunkt
Frequenzgang
Aussteuerbarkeit
Reihenfolge
beliebig
Grenzfrequenz der Teilfilter zum Eingang hin
abnehmend anordnen
Grenzfrequenz der Teilfilter zum Ausgang hin
abnehmend anordnen
Rauschen
• Die Koeffizienten ai und bi werden aus Filtertabellen entnommen (siehe später)
• Dieses Prinzip der Filteraufteilung ist für alle Filterarten und -Charakteristiken anwendbar.
AF.2.2 Tiefpaß 1. Ordnung
Mit ωg =
z. B. RC-Glied.
Entkopplungsverstärker
Ao
R
U1
A( P) =
1
RC
A0
1+ P
Betrag: | A( P) | =
(AF4)
A0
1
 1+ Ω2 2


U2
C
und j ω = p = P ωg wird
Verstärkungsabfall im Sperrbereich:
20dB
Dekade
Abb. AF3: RC-Tiefpaß
AF.2.3 Tiefpaß 2. Ordnung
Die auf ωg normierte Form der Übertragungsfunktion des TP. 2. Grades wird verglichen mit der unnormierten
Form.
Normiert:
A( p) =
A0
1+ aP+ bP2
mit p = Pωg , a,b = Filterkoeffizienten
(AF5a)
mit ωo = Kennfrequenz , Qi = Polgüte
(AF5b)
Unnormiert:
A( p) =
A0
p
p2
+ 2
1+
Qi ω0 ω0
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AF3
Durch Koeffizientenvergleich und Einsetzen von p = Pωg ist abzulesen:
ωg
p
aP=
−−−−>a=
Qi ω0
Qi ω0
 p 2
 ωg  2
b P2 =  ω  − − − − > b =  ω 
 0
 0
Daraus errechnet sich für die normierte Kennfrequenz:
ωo
1
1
Ω0 = ω = b =
(AF6a)
g

√
a Qi
und für die Polgüte:
b
√
(AF6b)
Qi =
a
Der Betrag der Verstärkung errechnet sich zu
Ao
ω
| A( p) | =
mit Ω = ω (ist nicht auf ω0 bezogen!)
(AF6c)
g
2
2
2 4

√
1+ ( a − 2b)Ω + b Ω
1
1− 2 ≈ ω0 für ausreichend große Güte.
Die maximale Amplitudenüberhöhung tritt auf bei ωm = ω0 √

2Q
ωm
1
1
1
1
1− 2 = b √
1− 2
bzw: Ωm = ω =

√

g

√
aQi
2Q
2Q
Durch Einsetzen in (AF6c) wird nach Rechnung:
| A( p) max | =
log |A|
Ao
1
1
− 4
√
2
Qi
≈ Ao Qi
( für Qi ≥ 3 Fehler < 3% )
4Qi
(AF6d)
A(p)max
Ao
3dB
Die Übertragungsfunktion A( P) =
12 dB/Oktave
g
Abb. AF4: Güte und Peaking
P1
1/b
-a
2b
2
a  a 
1 2
 − 
P1,2 = −
± 
2 b   2 b
b
liefert für Schaltungen mit nur einer Art von Blindwiderständen nur
b . Die Pole liegen dann auf
dann eine reelle Lösung, wenn a ≥ 2√
der reelen Achse der P - Ebene. Dabei ist keine größere Polgüte als
Qi = 0,5 zu erreichen.
j
Im
1+ aP+ bP2
1
(log) mit den Polstellen
m
A0
b
√
1
=
;
2δ
a
a ≥ 2√
b wird : Qi ≤ 0,5
Polgüte: Qi =
komplexe Frequenzebene
mit
P- Ebene
auf Grenzfreq. norFür Schaltungen 2. Ordnung mit höherem Qi muß ein konjumiert
giert
komplexes Polpaar entstehen.
r
P2
Abb. AF4a: Pole für Nenner 2. Ordnung
1
 1  a  2 2
a
 
P1,2 = −
± j − 
2 b  b  2 b 
(AF7)
Die Realisierung solcher Schaltungen ist nur durch die Verwendung von Blindwiderständen verschiedenen Vorzeichens (RLC-Schaltungen) oder durch aktive RC-Schaltungen erreichbar.
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AF4
AF.2.4 Sperrdämpfung und Ordnungszahl
Um eine bestimmte Sperrdämpfung zu erreichen, bedarf es eines Mindestwerts der Ordungszahl.
Überschlägige Berechnung:
Im asymptotischen Bereich der Ü-Funktion gilt: Ω > > 1 ; d.h. es überwiegen die Terme mit der höchsten
Ordnungszahl.
 A0  2
A0
A20
ω
f
2
z.B. für TP 1. Ordung: A( P) =
und | A( P) | =
≈  Ω  . Wobei Ω = ω = .
2
g
1+ jΩ
f


g
1+ Ω
Für ein Filter n-ter Ordnung gilt verallgemeinert : | A( P) | ≈
A0
A0
(AF8)
Ωn
 A0 
log  
 A
n≈
log Ω
Benötigte Ordungszahl:
A
fg
f (log)
f
(AF9)
Beispiel: Ein TP mit fg = 2,4 kHz soll bei f = 6 kHz eine Dämpfung
von a= 40 dB aufweisen.
log 100
n=
= 5,02 − − − − > 5.Ordung
6
log( )
2,4
Abb. AF5: Sperrdämpfung und Ordungszahl
AF.2.5 Filtercharakteristik
Abb. AF6: RLC-TP 2.Grades
Frequenzgang
|A(f)|
Je nach Wahl der Elemente
R,L,oder C kann
-bei gleichem fg der Frequenzgang des Filters
verschieden sein.
R
L
C
fo
f (log)
Außer der Ordnungszahl eines TP ist auch seine Charakteristik festzulegen!
Unterscheidung der 3 wichtigsten optimierten Filtercharakteristiken:
Filtercharakteristik
Eigenschaften
Bessel- Charakteristik
(auch ThomsonApproximation)
Butterworth
Gruppenlaufzeit über weiten Übertragungsbereich konstant---> optimale
Impulsübertragung.
Übergang zum Sperrbereich nicht so scharf wie bei den folgenden Charakteristiken
Frequenzgang im Durchlaßbereich über möglichst weiten Bereich horizontal, knickt
kurz vor fg scharf ab. ("maximal flach")
Überschwingen der Sprungantwort beträchtlich, erhöht sich mit zunehmender
Ordnungszahl
Tschebyscheff
Abfall oberhalb von fg am steilsten, im Durchlaßbereich welliger Verlauf des
Amplitudengangs . (Tschebyscheff-F mit Welligkeit 0 geht in Butterworth über)
Überschwingen der Sprungantwort noch stärker als bei Butterworth.
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AF5
Neben den angegebenen Filtercharakteristiken (Approximationen) sind noch andere gebräuchlich:
• Inverse Tschbyscheff-Charakteristik: Im Durchlassbereich maximal flache und im Sperrbereich
gleichmäßig wellige Amplitudencharakreristik.
• Elliptische (Cauer-) Charakteristik: Im Durchlass- wie im Sperrbereich gleichmäßige Welligkeit der Amplitudencharakreristik.
Mit einer gegebenen Schaltung ist mit entsprechender Dimensionierung jede Charakteristik zu erzielen. (Bei
aktiven Schaltungen durch entsprechende Bemessung der R’s, C’s und der Verstärkung der akt. Elemente)
In Abb. AF7 sind die Unterschiede von Sprungantwort und Amplitudengang von TP-Filtern 4. Ordnung und
unterschiedlicher Charakteristik zu erkennen.
Legende zu Abb. AF7:
1: passiver TP
2: Bessel-TP
3: Butterworth-TP
4: Tschebyscheff-TP mit 0,5 dB Welligkeit im
Durchlaßbereich
5: Tschebyscheff-TP mit 3 dB Welligkeit im
Durchlaßbereich
Abb. AF7: Sprungantwort und Ampl.-Gang von TP’s 4. Grades
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AF6
AF.2.6 Optimierte Tiefpässe
AF.2.6.1 Butterworth-TP
|A|/dB
0
Optimierungsgesichtspunkt: A(P) soll unterhalb ωg möglichst horizontal verlaufen und erst
kurz vor ωg scharf abknicken.
A0
A( P) =
1+ c 1P+ c 2P2+ ....c n Pn
n=1
-10
-20
2
-30
4
-40
6
-50
-60
0.1
0.3
1
3
10
30
Abb: AF8: Amplitudengang von Butterworth-Tiefpässen
A2o
2
Betragsquadrat:  A( P)  =
(AF10)
1+ B2 Ω2+ B4 Ω4+ ....+ B2n Ω2n
• Der Optimierungsgesichtspunkt wird am besten erfüllt, wenn möglichst nur die höchste Potenz von Ω in
die Rechnung eingeht. Daraus folgt die Bedingung:
2
Ao
 A( P)  2 =


1+ B2n Ω2n
Bei Ω = 1 (normierte Grenzfrequenz) soll | A(P)| um 3 dB abgenommen haben.
 A( P)  2


 Ao  2
A20
A20
eingesetzt:
=
=  √2 
− − − > B2n = 1
2
1+ B2n

für Ω= 1 
• somit gilt beim Butterworth-TP:
2
Ao
 A( P)  2 =
(AF11)


1+ Ω2n
Der Koeffizientenvergleich mit dem Betragsquadrat der Ü-Fkt. eines allgemeinen TP liefert die Koeffizienten.
Für einen TP 2. Ordnung entsteht entspr. Gln. (AF12):
| A( P) | 2 =
A20
(AF11a)
1+ ( a21− 2b1) Ω2+ b21 Ω4
und der Koeffizientenvergleich mit (AF11) ergibt:
a21− 2b1 = 0
und b21 = 1.
Daraus erhält man die Koeffizienten ai und bi für die Schaltungsdimensionierung. Die Koeffizienten beziehen sich
auf Gln. (AF3).
Ordnungszahl n
1
2
Koeffizient ai
1
2
√
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Koeffizient bi
0
1
allgemein
a21 = 2 b1
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AF7
AF.2.6.2 Tschebyscheff-Tiefpässe
Bei Tschebyscheff-TP schwankt die Verstärkung im Durchlaßbereich in Wellen gleichen Ausschlags, ab f> fg sinkt
die Verstärkung monoton ab.
Die Grundlage der Berechnung ist das Tschebyscheff-Polynom, welches für jede Ordnungszahl ein bestimmtes
Polynom liefert: (Hier bis n= 4)
Ordnungszahl
n= 1
n= 2
Polynom
T1( x) = x
T2( x) = 2x2− 1
schwankt für
0≤ x≤ 1
n= 3
T3( x) = 4x3− 3x
zwischen
4
Das Betragsquadrat der Ü-Fkt. eines Tschebyscheff-TP lautet:
k A20
| A( x) | 2 =
1+ ε2 T2n( x)
k wird so gewählt, daß | A( x= 0) | 2 = A20
2
T4( x) = 8x − 8x + 1 0....1 bzw. -1....0
n= 4
Der Verlauf wird von der Ordnungszahl abhängig:
Ordnungszahl
gerades n
Schwankungsbereich der Verstärkung
schwankt zwischen A0 und A0 √

1+ ε2
ungerades n
schwankt zwischen A0
• Die Ordnungszahl gibt an, wie
oft die Extremalwerte berührt
werden, bevor der untere
Grenzwert erreicht ist.
• Je steiler der Abfall im Sperrbereich desto größer die Wellingkeit im Durchlaßbereich.
• Steilheit des Abfalls mit ε stufenlos einstellbar. Dimensionierung meist nach Tabellenwerten mit festen Abstufungen der Welligkeit.
und
A0 ⁄ √

1+ ε2
|A|
Ao
|A|
2
4
2
5
3
1
Ao
4
3
1
n=5
n=4
x
x
1
1
Abb. AF9: Welligkeit beim Tschebyscheff-TP
AF.2.6.3 Bessel-Tiefpaß
Optimierungsgesichtspunkt:
Optimales Rechteckübertragungsverhalten. Erreichbar durch möglichst frequenzunabhängige Gruppenlaufzeit
unterhalb der Grenzfrequenz fg , d.h die Phasenverschiebung muß frequenzproportional sein.
Verfahren am TP 2. Ordnung erläutert:
A0
A0
=
A( P) =
2
1+ a1P+ b1P
1+ ja1Ω− b1Ω2
| A( P) | 2 =
daraus entsteht für den Betrag:
A20
1+ ( a21− 2b1) Ω2+ b21 Ω4
a1Ω
Im
= − arctan
Phase: ϕ = − arctan
Re
1− b1Ω2
− dϕ
Gruppenlaufzeit: tgr =
wird normiert auf die Periodendauer bei ωg
dω
tgr
ωg dϕ
− 1 dϕ
1
=
tgr ωg = −
=
Normierte Gruppenlaufzeit: Tgr =
Tg 2π
2π d Ω
2π dω
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(AF12)
(AF13)
Tg =
1 2π
=
fg ωg
(AF14)
(AF15)
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AF8
mit Gln. (AF13) wird:
Tgr =
a1(1+ b1Ω2)
1
2π 1+ ( a21− 2b1)Ω2+ b21Ω4
(AF16)
Für Frequenzen weit unterhalb von fg gilt Ω < < 1. Damit geht Term mit Ω4 nicht mehr ein. Es wird
Tgr =
2
1+ b1Ω2
a1 .
1 a1(1+ b1Ω )
=
2π 1+ ( a21− 2b1)Ω2 2π 1+ ( a21− 2b1)Ω2
(AF17)
Die Gruppenlaufzeit wird von Ω unabhängig, wenn
b1 = a21− 2b1 bzw.
a21 = 3 b1
(AF18)
1
(3-dB-Grenze) . Dies liefert aus Gln AF(12) : a21− 2b1+ b21 = 1
2
und man kann mit Gln. (AF18) die Koeffizienten für einen Bessel-TP 2. Ordnung berechnen:
Zugleich muß bei Ω = 1 gelten: | A( P) | 2 =
a1 = 1.3616
b1 = 0.6180
(AF19)
• Bei Besselfiltern erfahren Signale unterschiedlicher Frequenz ein Minimum an Zeitverschiebung im
Durchlaßbereich. Sie sind deshalb vorteilhaft bei oberwellenhaltigen Signalen.
Amplitudengang der Verstärkung von Bessel-Tiefpässen
n-ter Ordnung
Frequenzgang der Gruppenlaufzeit von TP-Filtern 4. Ordnung.
Graph 1: Passiver TP
Graph 2: Bessel-TP
Graph 3: Butterworth-TP
Graph 4: Tschb.-TP, Well. 0.5 dB
Graph 5: Tschb.-TP, Well. 3 dB
Graph 6: Allpaß
Abb. AF10: Frequenzgang u. Gruppenlaufzeit
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AF9
AF.2.7. Hochpaßfilter
Die Übertragungsfunktion eines Hochpasses entsteht durch Spiegelung eines TP an der Grenzfrequenz fg .
|A|
Tiefpaß - Hochpaß - Transformation:
Ao
A
3dB
1
Ω−−−> Ω
1
P− − − >
P
A0 − − − > A∞
TP
HP
fg
Es war: ATP
( P) =
f (log)
(A∞ ist die Verst. bei f = ∞ )
A0
(Tiefpaß)
Πi (1+ ai P+ bi P2)
Abb. AF11: Zur TP-HP-Transformation
Nach Transformation wird für den äquivalenten Hochpaß:
A∞
ai bi
Πi  1+ + 2 
P P
Ansonsten Berechnung wie beim Tiefpaß!
AHP
( P) =
(AF20)
AF.2.8 Benutzung von Filtertabellen.
Wie unter AF.2.1 erwähnt, werden TP und HP höherer Ordnung meist aus Filtern 1. und 2. Ordnung zusammengesetzt.
A( P) =
Teilfilter
A01 A02 A03
( 1+ a1 P)(1+ a2P+ b2P2)(1+ a3 P+ b3P2)
Die Indices i= 1, 2, ....,m der Koeffizienten entsprechen den Teilfiltern 1, 2, ...,m.
E
1. Teilfilter
i=1
2.Teilfilter
3. Teilfilter
i=2
i=3
A
Gesamtfilter n. Ordung
Abb. AF12: Aufspaltung in Teilfilter
• Die zur Berechnung der Bauelemente der Filter benötigten Koeffizienten ai und bi sind den nachstehend
wiedergegebenen, stark verkürzten Tabellen zu entnehmen. Umfangreichere Tabellen unter < 1> .
• Die Umsetzung der Koeffizienten in Bauelementewerte hängt von der jeweils gewählten Schaltung ab
und wird in Kap. AF.3 erläutert.
• Für die Berechnung der Elemente der Teilfilter ist die Grenzfrequenz fg des Gesamtfilters einzusetzen. Die in den Tabellen angegebene fgi der Teilfilter ist nur als Hilfsangabe für das Austesten der Einzelstufen vorgesehen.
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AF10
AF.2.9 Filtertabellen (gekürzt)
AF.2.9.1 Filter mit kritischer Dämpfung (Gauß-Typ)
n
1
2
3
4
5
6
i
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
ai
1.0000
1.2872
0.5098
1.0197
0.8700
0.8700
0.3856
0.7712
0.7712
0.6999
0.6999
0.6999
bi
0.0
0.4142
0.0
0.2599
0.1892
0.1892
0.0
0.1487
0.1487
0.1225
0.1225
0.1225
fgi/fg
1.0
1.0
1.961
1.262
1.480
1.480
2.593
1.669
1.669
1.839
1.839
1.839
bi
0.0
0.6180
0.0
0.4772
0.4889
0.3890
0.0
0.4128
0.3245
0.3887
0.3505
0.2756
fgi/fg
1.0
1.0
1.323
1.414
0.978
1.797
1.502
1.184
2.138
1.063
1.431
2.447
bi
0.0
1.0
0.0
1.0
1.0
1.0
0.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
fgi/fg
1.0
1.0
1.0
1.272
0.719
1.390
1.0
0.859
1.448
0.676
1.0
1.479
(td + tr ) fg n
Qi
0.516
0.5
0.537
0.657
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
AF.2.9.2 Besselfilter
n
1
2
3
4
5
6
i
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
ai
1.000
1.3617
0.7560
0.9996
1.3397
0.7743
0.6656
1.1402
0.6216
1.2217
0.9686
0.5131
(td + tr ) fg n
Qi
0.539
0.58
0.681
0.69
0.52
0.81
0.778
0.56
0.92
0.51
0.61
1.02
(td + tr ) fg n
Qi
0.570
0.71
0.836
1.0
0.54
1.31
1.09
0.62
1.62
0.52
0.71
1.93
AF.2.9.3 Butterworth-Filter
n
1
2
3
4
5
6
i
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
ai
1.0000
1.4142
1.0
1.0
1.8478
0.7654
1.0
1.6180
0.6180
1.9319
1.4142
0.5176
FH Regensburg, FB Elektrotechnik, Prof. Haggenmiller
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MO/AF/Hg
AF11
AF.2.9.3 Tschebyscheff-Filter mit 0.5 dB Welligkeit
n
1
2
3
4
5
6
i
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
ai
1.0000
1.3614
1.8636
0.6402
2.6282
0.3648
2.9236
1.3025
0.2290
3.8645
0.7528
0.1589
bi
0.0
1.3827
0.0
1.1931
3.4341
1.1509
0.0
2.3534
1.0833
6.9797
1.8573
1.0711
fgi/fg
1.0
1.0
0.537
1.335
0.538
1.419
0.342
0.881
1.480
0.366
1.078
1.495
AF.2.9.4 Tschebyscheff-Filter mit 3 dB Welligkeit
n
i
ai
bi
1
1
1.0000
0.0
2
1
1.0650
1.9305
3
1
3.3496
0.0
2
0.3559
1.1923
4
1
2.1853
5.5339
2
0.1964
1.2009
5
1
5.6334
0.0
2
0.7620
2.6530
3
0.1172
1.0686
6
1
3.2721
11.6773
2
0.4077
1.9873
3
0.0815
1.0861
n
i
ai, bi
fgi/fg
Qi
(td + tr )
fgi/fg
1.0
1.0
0.299
1.396
0.557
1.410
0.178
0.197
1.500
0.379
1.086
1.489
(td + tr ) fg n
Qi
0.589
0.86
0.997
1.71
0.71
2.94
1.362
1.18
4.54
0.68
1.81
6.51
(td + tr ) fg n
Qi
0.589
1.30
0.997
3.07
1.08
5.58
1.382
2.14
8.82
1.04
3.46
12.78
=
=
=
=
Ordnungszahl des Filters
Nummer des Teilfilters
Koeffizienten des i-ten Teilfilters
Grenzfrequenz des Teilfilters i bezogen
auf die Grenzfrequenz des Gesamtfilters
= Polgüte des Teilfilters i.
= auf Tg = 1/fg normierte Verzögerungsund Anstiegszeit des Gesamtfilters
Beispiel:
Für einen Bessel - TP 5. Ordnung sind die Filterkoeffizienten zu ermitteln.
Bessel, n= 5:
i - tes Filter
1
2
3
ai
0.6656
1.1402
0.6216
bi
0.0
0.4128
0.3245
Ordnungszahl des Teilfilters
1.Ordnung
2. O.
2. O.
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AF12
AF.2.10 Bandpaß
Ein Bandpaß kann als Reihenschaltung eines TP und eines HP dargestellt werden.
ABP = ATP . AHP
(AF21)
Bandbreite: B = ∆ f = fT− fH
fT fH
Mittenfrequenz: fm = 
√
fm
Güte: Q =
B
|A|
3dB
TP
(meist auch f0 )
(AF22a)
(AF22b)
(AF22c)
HP
• Fallen fT und fH zusammen, entsteht ein selektives Filter
• Sind die Frequenzgänge des HP und des TP symmetrisch zueinander, spricht man von Schwingkreisverhalten.
B
fH
fm
fT
f (log)
Abb: AF13: Frequenzgang eines Bandpasses
Selektives Filter 2. Ordnung (Schwingkreis)
Serienschaltung je eines TP und HP 1. Ordnung:
A∞
A0
ATP
und
AHP
durch Multiplikation der Frequenzgänge entsteht:
( P) =
( P) =
1+ a1P
a1
1+
P
A0 A∞
P
a1
αP
Übertragungsfunktion eines Schwingkreises
=
A( P) =
2
1+ βP+ P2
a1+ 1
2
1+
P+ P
a1
p
Hierbei wird p auf die Resonanzfrequenz ω0 normiert: P = ω ; bzw. p = ω0 P
0
(AF23)
Die Bedingung, daß an den Grenzfrequenzen fgu, fgo die Verstärkung um 3 dB abgesunken sein muß, liefert :
f0
1
=
Güte des Kreises
(AF24)
Q= β
fgo − fgu
α
Ar = β
= Verstärkung bei Resonanzfrequenz
(AF25)
f0
B=
= Bandbreite
(AF26)
Q
B
β=
= normierte Bandbreite
(AF27)
f0
Gln. (AF24, 25) in Gln. (AF23) ergibt:
Ar
P
β Ar P
Q
A( P) =
=
(AF28)
1
1
1+ P+ P2 1+ P+ P2
Q
Q
• Gln.(AF28) liefert den unmittelbaren Zusammenhang zwischen Frequenzgang und den charakteristischen Größen Q und Ar eines selektiven Filters.
Betrag der Verstärkung eines selektiven Filters:
Ar
Ω
ω
Q
|
| A( P) =
mit
Ω= ω
1
0
 1+ Ω2( 1 − 2) + Ω4 2


Q2
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(AF29)
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AF13
AF.2.11 Bandsperre
• Die Addition der Übertragungsfunktionen eines TP und eines HP ergeben eine Bandsperrenfunktion.
|A|
B
Ao
Abb. AF14a:
Enstehung einer Bandsperre
TP
3dB
E
+
A
HP
HP
TP
f1
f2
fm
f0
f (log)
Abb. AF14: Ü-Funktion einer Bandsperre
Man definiert wieder:
Bandbreite: B = ∆f =
Mittenfrequenz: fm =
f2− f1
f0 = √

f1 f2
f0
Unterdrückungsgüte: Q =
B
(AF30a)
(AF30b)
(AF30c)
Mit einem TP und einem HP jeweils 2. Ordnung mit f1 = f2 = f0 entsteht ein
selektives Sperrfilter oder Notch-Filter 2. Ordnung.
Frequenzgang eines Notch-Filters 2. Ordnung:
A( P) =
α(1+ P2)
1+ β P+ P2
mit: α = A0 = A(Ω= 0)
(AF31)
Ähnlich wie beim selektiven Filter 2. Ordnung errechnen sich:
1
β 1
Ω1| 2 = ± +  β2− 4 2
(AF32)
2 2
f0 1
=
Q=
AF(33)
B β
Die Unterdrückungsgüte gibt an, wie schmal der Sperrbereich ist, aber nicht wie groß die Sperrdämpfung bei
der Sperrfrequenz f0 ist. Die Sperrdämpfung ist im Idealfall unendlich, in der Praxis aber von der Genauigkeit der
Schaltelemente eines Sperrfilters abhängig.
A( P) =
A0( 1+ P2)
1
1+ P+ P2
Q
| A( P) | =
(AF34)
A0(1− Ω2)
2 1
 1+ Ω ( − 2) +

Q2
1
(AF35)
Ω4 2

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AF14
AF.2.12 Allpaß-Filter (AP)
Allpässe übertragen alle Frequenzanteile mit konstanter Verstärkung aber einer frequenzabhängigen Phasenverschiebung. Hauptanwendung sind Signalverzögerung und Phasenentzerrung oder -Verschiebung.
Das Merkmal der Übertragungsfunktion eines Allpasses ist, dass Nenner- und Zählerpolynom konjugiert komplex
aufgebaut sind, weshalb der Betrag der Ü-Funktion frequenzunabhängig konstant bleibt.
Auch bei Allpässen werden Filter höherer Ordung sinnvollerweise nach dem Prinzip von Kap. AF.2.1 aus Filtern
1. und 2. Ordung aufgebaut. Der grundsätzliche Rechnungsgang wird an einem Allpass 2. Ordnung gezeigt:
In der Ü-Funktion eines TP 2. Ordnung wird der Zähler durch den konjugiert komplexen Nenner ersetzt. Vergleiche
Rechnung beim Bessel-Tiefpass in Kap. AF.2.6.3. es entsteht die
Übertragungsfunktion eines Allpasses 2. Ordnung:
1− ja1Ω− b1Ω2 √
1− 2bΩ2+ b2Ω4+ a2Ω2 e− jβ

=
=
= 1. e− j2β
2
2 4
2 2 + jβ
1+ a1P+ b1P2 1+ ja1Ω− b1Ω2 √

1− 2bΩ + b Ω + a Ω e
a1Ω
mit der Phase ϕ = − 2β = − 2 arctan
1− b1Ω2
− dϕ
1 2π
Gruppenlaufzeit: tgr =
wird normiert auf Tg = = ω
g
fg
dω
tgr
ωg d ϕ
− 1 dϕ
1
Normierte Gruppenlaufzeit: Tgr =
=
= tgr.fg =
tgr ωg = −
=
Tg
2π
2π dω
2π dΩ
A( P) =
1− a1P+ b1P2
a1(1+ b1Ω2)
1
=π
1+ (a21− 2b1)Ω2+ b21Ω4
Bei tiefen Frequenzen wird die normierte Gruppenlaufzeit
a1
1
Tgr0 = π (für AP 2. Ordnung), sonst allgemein: Tgr0 = π ∑ai
(AF 36)
(AF 37)
(AF 38)
(AF 38a)
i
Für die Anwendung zur Signalverzögerung muß gelten:
• Verstärkung frequenzunabhängig (erfüllt!)
• Gruppenlaufzeit im Übertragungsfrequenzbereich konstant.
Besselfilter erfüllen die Bedingung einer frequenzunabhängigen Gruppenlaufzeit am besten, daher kann deren
Optimierungsalgorithmus angewendet werden.
Umnormierung: Der Begriff der Grenzfrequenz als 3-dB-Abfall der Verstärkung verliert hier seinen Sinn, daher
werden die Filterkoeffizienten so berechnet, dass bei der "Grenzfrequenz" fg (Ω = 1) die Gruppenlaufzeit auf das
1
-fache des Werts bei tiefen Frequenzen abgesunken ist.
2
√
Tgr0
bei f = fg .
Verkürzte Tabelle mit Koeffizienten für Allpässe normiert auf Tgr =
2
√
n
1
2
3
4
5
i
1
1
1
2
1
2
1
2
ai
0,6436
1,6278
1,1415
1,5092
2,3370
1,3506
1,2974
2,2224
bi
0
0,8832
0
1,0877
1,4878
1,1837
0
1,5685
Tgr0
0,2049
0,5181
0,8437
Vollständige Tabelle in < 1>
1,1738
1,5060
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AF15
3
1,2116
1,2330
Zahlenbeispiel:
Ein Signal mit einem Frequenzspektrum von
0 - 2,4 kHz soll um tgr0 = 0,45 ms verzögert werden.
Der gesamte Allpass muss eine normierte Gruppenlaufzeit von
Tgr0 = tgr0.fg = 0,45 ms.2,4kHz = 1,08 haben.
--> Man benötigt einen Allpass 4.Ordnung mit der
Grenzfrequenz
Abb.15: Gruppenlaufzeit eines AP der Ordnung n
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fg =
T(gr4)0 1,1738
=
= 2,6kHz .
tgr0 0,45ms
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AF16
AF.3 Realisierung aktiver RC- Filter mit Operationsverstärkern
Das Berechnungsprinzip ist stets gleich:
• Aufstellen der Übertragungsfunktion der in Frage kommenden Schaltung
• Normierung auf kleinste Potenz von P
• Koeffizientenvergleich mit der in Kap. AF.2.xx für die entsprechenden Filtertypen hergeleiteten oder angegebenen Normalform der Übertragungsfunktion.
• Entnahme der Filterkoeffizienten ai, bi aus den Tabellen
• Berechnung der Schaltelemente
AF.3.1 Aktive Filterschaltungen 1. Ordnung
AF.3.1.1 Tiefpaß 1. Ordnung
C
R1
A( P) =
(− )R2
(− )R2
1
1
=
R1 1+ R2 pC
R1 1+ R2 P ωg C
(AF39)
R2
Koeffizientenvergleich mit (AF4):
1 = ωg R2C
Ue
und
| A0 | =
R2
R1
Ua
Abb. AF16: Aktiver TP 1. Ordnung
daraus folgt bei Vorgabe von fg , C und A0:
R2 =
1
2πfg C
und
R1 =
1
2πfg C | A0|
(AF40a,b)
AF.3.1.2 Hochpaß 1. Ordnung
Ähnliche Rechnung liefert:
C
R1
1
2πfg C
R2 = | A∞ | R1
R1 =
R2
Ue
(AF41a)
(AF41b)
Ua bei Vorgabe von fg , C und A∞ .
Abb. AF17: Aktiver HP 1. Ordnung
Beispiel zur Ermittlung der Beziehungen (AF41a,b)
R2
R2
−
A∞
R1
R1
R2
A( P) = −
= −
=
wird verglichen mit (AF20): AHP
( P) =
1
1
1
 1+ ai 
1+
R1+
1+

pCR1
pC
P ωg CR1
P
und liefert dann:
R2
1
1
A∞ = (− )
und ai =
=
= 1 (s. Filtertab. n= 1)
R1
ωg CR1 2πfgCR1
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AF17
AF.3.1.3 Allpass 1. Ordnung
Allpässe werden - neben anderen Schaltungskonzepten - meist aus passiven oder aktiven Brückenschaltungen
entwickelt.
R1
R1
R1 U-
R1
Ua
Ue
Ue
R
C
Ua
R U+ C
Abb. 18: Passiver und aktiver Allpass 1. Ordnung
Berechnung der Übertragungsfunktion der aktiven Schaltung:
1
1
1
pC
U− = ( Ue+ Ua)
U+ = Ue
= Ue
1+ pCR
2
1
R+
pC
Die Bedingung U+ = U− liefert nach Rechnung:
Ua 1− pCR
=
A( p) =
Ue 1+ pCR
p
Normiert auf ωg
mit P = ω wird die Übertragungsfunktion:
g
1− ωg P.C.R 1− j Ωωg .C.R
=
A( P) =
1+ ωg P.C.R 1+ jΩωg .C.R
Der Koeffizientenvergleich mit Gln.(AF36) liefert:
a1
(daraus Berechnung von R bei vorgegebenem C)
a1 = ωg RC − − > RC =
2πfg
Gruppenlaufzeit bei tiefen Frequenzen:
Tgr0 a1
tgr0 =
= 2.RC
=
πfg
fg
Frequenzabhängige Phase (aus Gln.(AF38a):
f
ϕ = − 2 arctan (a1 ) = − 2 arctan (2πf RC)
fg
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(AF42a,b)
(AF43)
(AF44)
(AF45)
(AF46)
(AF47)
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AF18
AF.3.2 Aktive Filterschaltungen 2. Ordnung
Es bestehen grundsätzlich mehrere Möglichkeiten zur Realisierung von Filten 2. Ordnung. Als günstige Lösungen
hinsichtlich Schaltungsaufwand und Empfindlichkeit auf Änderung der Werte der Bauelemente haben sich
Schaltungen erwiesen mit
• Einfachgegenkopplung
• Mehrfachgegenkopplung
• Einfachmitkopplung (sog. SALLEN-KEY-Schaltung)
Sallen-Key-Prinzip wird am häufigsten verwendet. ---> hier behandelt.
AF.3.2.1 Allgemeine Einfachmitkopplung (Sallen-Key-Schaltung)
Durch die Gegenkopplung mit Ro wird die Verstärkung des O.P. auf
einen bestimmten Wert eingestellt.
Z3
Ue
Z1
Ua
Z2
Die Analyse ergibt für die Übertragungsfunktion:
(k-1)Ro
A( P) =
Z4
Ro
k Z3 Z4
Z1Z3+ Z2Z3+ Z2Z1+ Z4Z3+ Z4Z1(1− k)
(AF48)
Abb. AF19: Allgem. Einfachmitkopplung
AF.3.2.2 TP 2. Grades mit Einfachmitkopplung
C3
Ue
R1
Ua
R2
• Es ist zu beachten, daß die Eingänge des O.P. einen Gleichstrompfad vorfinden, über den die Eingangsruheströme
fließen können! Im vorliegenden Fall darf die Signalquelle Ue
den Gleichstrom nicht sperren.
(k-1)Ro
man setzt Z3 =
C4
Ro
1
pC3
und Z4 =
1
pC4
und erhält mit p = ωg P:
Abb. AF20: TP 2.Grades
A( P) =
k

1+ ωg P R1C4+ R2C4+ (1− k) R1C3 + ω2g P2 R1R2C3C4
Häufig setzt man k= 1 (Spannungsfolger), dann kann auch ein Emitterfolger verwendet werden.
1
A( P) =
1+ ωg PC4 (R1+ R2)+ ω2g P2 R1R2C3C4
Koeffizientenvergleich mit Gln.(AF5): ATP
( P) =
A0 = 1,
a = ωg C4(R1+ R2)
A0
1+ aP+ bP2
und b = ω2g R1R2C3C4
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(AF49)
(AF50)
liefert:
(AF50a)
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AF19
Daraus errechnen sich die Widerstände:
1
aC3+  a2C23− 4bC3C4 2
R1 =
2ωg C3C4
(AF51a)
1
aC3−  a2C23− 4bC3C4 2
R2 =
2ωg C3C4
(AF51b)
• Damit reele Werte für R1,2 enstehen, muß gelten:
In der Praxis soll
C3 4b
≥ 2
C4
a
(AF51c)
C3
nur wenig größer als die Bedingung sein!
C4
Sonderfall: C3 = C4 = C
und R1 = R2 = R
A( P) =
C
k
1+ ωg P RC ( 3− k)+ (ωg P) 2 R2C2
Ue
R
Ua
R
Durch Koeffizientenvergleich mit A(TP
P) =
(k-1)Ro
a = ωg RC (3− k) ---> ωg RC =
C
Ro
Abb. AF21: Sonderfall d. Sallen-Key-TP
 a 2
b = ω2g R2C2 = 

 3− k 
a
A0 = k bzw. k = 3− √
b
(AF52)
A0
1+ aP+ bP2
wird:
a
3− k
(AF53a,b)
• Das Verhältnis von a/b ist nur mehr von der Wahl der Verstärkung k abhängig. Die Filtercharakteristik
kann allein durch k festgelegt werden !
Bessel
1.3616
0.6180
1,268
a
b
k = Ao
Butterworth
1.4142
1
1,5857
C
ungedämpft (schwingt)
---> 0
---> ∞
---> 3
Filtercharakteristik nicht von R und C abhängig. Grenzfrequenz
durchstimmbar, ohne die Filtercharakteristik zu ändern.
R
Ue
Tscheby. 2dB
1.1813
1.7774
2,114
Ua
R
Beispiel:
0.586 Ro
C
Ro
Abb. AF22: Abstimmbarer Butterworth-Tiefpaß
Der nebenstehende abstimmbare Butterworth-TP 2. Ordnung
benötigt bei fg = 2.4 kHz und einem gewählten C = 10 nF
Widerstände im Wert von
a
=
R=
(3− k) 2πfg C
√2
=
= 6.631KΩ
1
( 3− 1.5857) 2π 2.4 .103 10 . 10− 9 F
s
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AF20
AF.3.2.3 HP 2.Grades mit Einfachmitkopplung
Durch Einsetzen entsprechender Schaltelemente in die Grundschaltung von Abb. AF18 entsteht ein HP 2. Ordnung.
R3
Ue C1
Ua Die Herleitung der Dimemsionierungs-Beziehungen wird nur skizziert.
C2
Genaueres im Anhang zu diesem Kapitel.
(k-1)Ro
R4
A(P) =
Ro
(AF54)
Koeffizientenvergleich mit Gln. (AF20) liefert:
Abb. AF23: HP 2. Grades
k = |A∞ |
k
1− k 
1  1
1
1
1
1+
+
+

+
ωg P  R4C1 R4C2 R3C1  P2ω2g C1C2R3R4
und
R4 C2 C1 ωg 2(1− k)b − R4 a C1C2 ωg + C1+ C2 = 0
2
2
Daraus errechnen sich die Widerstände für k ≠ 1 :
1
aC1 ±  a2C21− 4bC1(1− k)(C1+ C2)  2
R4 =
2C1C2 ωg b(1− k)
und
R3 =
1
b ω2g
C1C2R4
(AF55a,b)
Die häufige Spezialisierung k = 1 vereinfacht die Dimensionierungsbeziehungen zu:
R4 =
C1+ C2
a ωg C1C2
und R3 =
a
b ωg ( C1+ C2)
(durch Einsetzen in Gln.(AF54))
(AF56a,b)
Die Werte für a, b werden wieder aus den Filtertabellen entnommen.
AF.3.2.4 Selektives Filter
Erweiterte Grundschaltung der Einfachmitkopplung :
Z3
Z1
Ue
Ua
Z2
(k-1)Ro
Z5
Z4
Ro
Abb. AF24: Erweiterung der
Einfachmitkopplung
A( P) =
kZ3Z4Z5
Z1Z2Z3+ Z1Z3Z4+ Z1Z3Z5+ Z2Z3Z5+ Z4Z3Z5+ Z1Z2Z5+ Z1Z4Z5(1− k)
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(AF57)
05.2002
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Durch Einsetzen der Schaltelemente in Gln. (AF57) erhält man die
Übertragungsfunktion des Selektiven Filters:
R
R
Ua
C
Ue
(k-1)Ro
2R
C
AF21
Ro
Abb. AF25: Selektives Filter 2. Ordnung
A( P) =
k RC ω0 P
(AF58)
1 + ω0 RC(3− k) P+ ω20 R2C2P2
Ar
P
Q
K-vergleich mit Gln. (AF28) A( P) =
1
1+ P+ P2
Q
1
(ω0 RC) 2 = 1 ---> ω0 =
RC
liefert:
Die Ü-Fkt. vereinfacht sich durch Einsetzen in (AF58) zu:
kP
A( P) =
(AF59)
(AF60)
1+ ( 3− k)P+ P2
und weiter durch Vergleich:
α
k
1
und Ar = β =
Q=
3− k
3− k
(AF61)
• Vorteil: Güte Q ist unabhängig von ω0 durch k einstellbar
• Nachteil: Ar und Q sind voneinander abhängig.
• Bei k = 3 Selbsterregung ( Q− − − > ∞ ). Bei hohen Güten kritisch einzustellen.
Eine weitere sehr vorteilhafte Schaltung für ein selektives Filter ist die Mehrfachgegekopplung:
Für die Dimensionierung gelten die Beziehungen:
R1
R5
C
R3
C
Abb. AF.26: Selektives Filter mit
Mehrfachgegenkopplung
(AF62ff)
1
2
1  R1+ R5 


Resonanzfrequenz
C  R1R3R5 
R3
Verstärkung bei ω0
Ar =
2R1
ω0 R3C
Q=
Güte
2
ω0 =
B=
1
πR3C
Bandbreite
Vorteile:
• ω0, Ar, Q frei wählbar
• C ist wählbar
• ω0 ist durch Variation des Widerstands R5 durchstimmbar, ohne Äenderung von B und Ar.
Nachteil:
• Um die Schleifenverstärkung der Gegenkopplung groß gegen 1 zu halten muß A0 > > 2Q2 sein.
( A0= Leerlaufverst. des O.P. bei der Arbeitsfrequenz)
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AF22
AF.3.2.5 Sperrfilter (Notch-Filter)
Neben der grundsätzlichen Möglichkeit, Sperrfilter durch Zusammenschltung von HP- und TP-Filtern zu bauen,
ist die häufigste Schaltung das Doppel-T-Filter.
.1 Das passive Doppel-T-Filter.
R1
Ue
Die Analyse liefert Polynome 3. Grades, die durch die ReduktionsbezeR1R2
hung R3(C1+ C2) = C3
auf Polynome 2. Grades reduziert werR1+ R2
den können. Für die optimale Dimensionierung
R
C3 = 2C ; C1 = C2 = C ; R3 =
; R1 = R2 = R wird:
2
1+ P2
(AF63 ff)
A( P) =
1+ 4P+ P2
Q = 0,25 maximale Unterdrückungsgüte
1
ω0 =
Sperrfrequenz
RC
Verstärkung bei tiefen Frequenzen
A0 = 1
R2
Ua
C3
C2
C1
R3
Abb. AF27: Passives Doppel-T-Filter
• Für eine höhere Unterdrückungsgüte als 0,25 ist ein aktives Sperrfilter nötig!
.2 Aktives Doppel-T-Filter in Sallen-Key-Schaltung
2C
R
R
Ua
Ue
(k-1)Ro
C
C
Ro
R/2
Abb. AF28: Aktives Notchfilter
Übertragungsfunktion:
k(1+ P2)
A( P) =
1+ 2(2− k)P+ P2
(AF64 ff)
1
Unterdrückungsgüte
2(2− k)
1
ω0 =
Sperrfrequenz
RC
Verstärkung bei tiefen Frequenzen
A0 = k
Q=
Es besteht ebenso die Möglichkeit, Rückkopplung und Masseanschluß an den T-Elementen zu vertauschen.
Für gute Sperrdämpfung müssen die Werte von R und C sehr
genau sein.
.3 Notchfilter aus Bandpaß (sel. Filter 2. Ordnung) und Subtrahierer
BP
E
Die allgemeine Übertragungsfunktion eines Notch 2. Ordnung
(Gln. AF34) kann wie folgt zerlegt werden:
A0
P
A0 1+ + P2 −
P
Subtrahierer
A0(1+ P2)
Q
Q
=
A( P) =
N
1
1+ P+ P2
Q
A
A0
P
Q
= A0 −
Bandpaß
(AF65)
P
1+ + P2
Q
Dies wird von einer Schaltung gem. Abb. AF29 realisiert.
Abb. AF29: Notchfilter 2.Ordnung
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AF23
AF.3.2.6 Allpass-Filter 2. Grades
.1 Erweiterte Brückenschaltung mit Mehrfachgegenkopplung ähnlich wie in Kap. AF.3.1.2
Weitere Schaltungsvarianten und Übertragungsfunktionen
in < 8 > .
Ua
Ue
Abb. 30: Allpass mit Mehrfachgegenkopplung
.2 Allpass aus Bandpass (sel. Filter 2. Ordnung) und Subtrahierer (s. auch Kap. AF.3.2.5.3 Sperrfilter)
Stellt man am Subtrahierer die Verstärkung am nichtinvertierenden
Eingang auf 1 ein, entsteht die Übertragungsfunktion
Subtrahierer
Ar .
P
Ua
Q
A( P) =
(AF66)
= 1−
Ue
P
A
1+ + P2
Q
Mit Ar = 2 (Resonanzverstärkung des sel. Filters 2. Ordnung) ist:
BP
E
P
2P
P
1− + P2
+ P2−
Q
Q
Q
=
P
P
1+ + P2
1+ + P2
Q
Q
1+
Abb. AF31: Allpass 2.Ordnung
A( P) =
(AF67)
Dies ist die Ü-Funktion eines Allpasses 2. Ordnung, allerdings normiert auf die Resonanzfrequenz des sel. Filters
p
zweiter Ordnung P = ω .
0
Tgr 0
abgesunken ist), entsteht:
Normiert man die p auf die Grenzfrequenz des Allpasses (ωg , bei der Tgr auf
2
√
p
p
P∗ = ω =
und P = m.P∗
(AF68a)
g
m ω0
Damit wird die Übertragungsfunktion auf die Grenzfrequenz des Allpasses normiert:
A( P) =
1−
mP∗
+ m2P∗ 2
Q
mP∗
1+
+ m2P∗ 2
Q
Durch Koeffizientenvergleich erhält man:
fg
fg
b1
m √
m
a1 = ; b1 = m2 und für den Bandpass: f0 =
= ; Q=
=
a1
a1
Q
b1 m
√
Gesamtverst. im invertierenden Pfad: A i = -2
nichtinvertierenden Pfad: A n = + 1
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(AF68b)
(AF69ff)
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AF24
AF.3.3 Entwurf aktiver Filter nach dem Analogrechner-Verfahren
(Zustands-Variablen-Verfahren)
Mit dieser Entwurfsmethode ist (nahezu) jede Übertragungsfunktion zu realisieren. Als Bausteine werden die aus
der Analogrechentechnik bekannten Integratoren und Summierer bzw. Subtrahierer verwendet.
AF.3.3.1 Elemente
a ) Invertierender Integrator
Darstellung im Stromlaufplan
R/k
Symboldarstellung in Analogrechentechnik
C
Ue
k
- 1/P
Ue
Ua
Ua
Abb. AF32: Einfach-Integrator
Die Einführung eines Gewichtungsfaktors k ergibt folgende Schreibweise:
A( p) =
Ua
= −
Ue
1
 R
pC  
 k
Ua = −
mit p = ωg P und ωg =
A( P) = −
1
(bei | Ap | = 1 ) wird
RC
k
Ue
P
oder aufgelöst in die Komponenten
1
Ua = ( Ue) (k) (− ) ( )
P
k
k
= −
ωg PCR
P
(AF71 ff)
(AF70 ff)
b) Invertierend summierender Integrator
k1 = 1
Ue1
R
Ue1
C
Ue2
Ue2
k2
Ue3
k3
R/k2
Ua
Ue3
k 1 =1
- 1/P
Ua
R/k3
Abb. AF33: Summierender Integrator
Die Ausgangsspannung schreibt man im State-Variable-Verfahren
Ua = − Ue1
k2
k3
1
− Ue3
− Ue2
P
P
P
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(AF72)
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AF25
c) Invertierer, invertierender Summierer
R/k
R
Ue
k
-
Ue
Ua
Ua
Abb. AF34: Invertierer
Ua = − kUe
(AF73 )
Ue1
R/k1
k1=1
-
Ue1
R
Ue2
R/k2
Ua
Ue2
k2
-
Ue3
k3
+
Ua
Ue3
R/k*
R
Abb. AF35: Invertierender Summierer und Subtrahierer
Ua = − k1 Ue1 − k2 Ue2 + k3 Ue3 ;
1
∗
k
=
1 k1 k2
−1
+
+
k3 k3 k3
(AF74)
AF.3.3.2 Synthese einer Schaltung bei gegebener Übertragungsfunktion
Arbeitsschritte:
1) Angabe der Übertragungsfunktion möglichst in Normalform
2) Ausmultiplizieren der Übertragungsfunktion
3) Gleichung ggf. durch höchste Potenz von P dividieren, um Ausdrücke der Art
1
1
oder 2 zu erhalten.
P
P
4) Ordnen, daß links vom Gleichheitszeichen nur mehr "Ua" zu stehen kommt.
5) Realisierung und Zusammensetzen der Summanden der rechten Gleichungsseite.
Beispiel: Selektives Filter 2. Ordnung
Ua
αP
=
1) Übertragungsfunktion:
Ue
1+ βP+ P2
2) Ausmultiplizieren:
3) Division mit P2 :
4) Ordnen:
Ua+ Ua β P+ UaP2 = Ue α P
Ua Ua β
α
+
+ Ua = Ue
2
P
P
P
Ua
β
α
Ua = − 2 − Ua + Ue
P
P
P
5) Realisieren:
1. Summand: −
Ua
2
P
= Ua (−
1
1
) (− ) (− 1)
P
P
Realisierung:
-
- 1/P
- 1/P
Ua
Term 1
(Ua)
Abb. AF36
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2. Summand: − Ua
AF26
β
1
= β Ua (− )
P
P
Realisierung:
- 1/P
Ua
Term 2
Abb. AF37
(Ua)
3. Summand: Ue
α
1
= − Ue α (− )
P
P
Realisierung:
- 1/P
Ua
Term 3
-Ue
Abb. AF38
Zusammenfassen der Funktionen:
-
- 1/P
- 1/P
-Ue
Ua
-
Abb: AF39: Selektives Filter in Symboldarstellung
Realisierung als Stromlaufplan:
-Ue
R/
R
R
R
C
R
C
R
Ua
Abb. AF40: Schaltung eines selektiven Filters
α
1
1
Gemäß Kap. AF.2.11 gilt: Q = β ; Ar = β ; ω0 =
RC
Damit lassen sich bei Vorgabe von z.B. Q, Ar, C und ω0 die Widerstände berechnen.
Alle Filter 2. Ordnung weisen gleiche Nennerpolynome auf; deshalb sind die Schaltungen sehr ähnlich, nur die
Einkopplung von Ue ist unterschiedlich. Daraus lassen sich leicht sog. Universalfilter entwickeln.
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AF27
AF.3.3.3 Universalfilter 2. Ordnung
R1
Ue
R2
R2
R1
Rf
Rf
C
C
Rq
Rv
Notch
HP
BP
TP
Abb. AF41: Beispiel eines Universalfilters 2. Ordnung
R1
 bi
√
1
; Qi =
; RQ = Qi R2 ; RV = 0
= Polgüte
A ⁄∞ Qi
ai
2πRf C
R1
1
; RQ = Q R2 ; RV = 0
( für Notch ⁄ BP )
BP, Notch: f0 =
A ⁄∞
2π Rf C
HP, TP: fg =
(AF75)
AF(76)
• Je nach Auskopplung von Ua wirkt die Schaltung als TP,HP,BP,Notch.
• Nachteil: Wenn das Filter seine Universalität behalten soll, sind keine beliebig großen Güten mehr zu erreichen.
• Universalfilter werden als handelsübliche Analogbausteine angeboten.
Abb. AF42 zeigt ein Beispiel für ein
handelsübliches Universalfilter.
In Abb. AF43 ist eine Beschaltungsmöglichkeit als sog. BI-QUAD-Filter
gezeigt.
Die Beschaltung und die Dimensionierung der externen Bauelemente sind
den Applikationsmitteilungen der Hersteller zu entnehmen.
Abb. AF42: Handelsübliches Universalfilter
Abb. AF43: Universalfilter in BI-QUAD-Schaltung
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AF28
AF.3.4 Berechnungsbeispiele
1. Beispiel: Es ist ein Tiefpaß 4. Ordnung mit Butterworth-Charakteristik für fg = 1 kHz und A0= 1 mit
Operationsverstärkern aufzubauen. Als Schaltung ist die Einfach-Mitkopplung mit Spannungsfolger zu verwenden.
Lösung:
Es werden 2 TP zweiter Ordnung verwendet.
C31
1
R11
R21
C32
R12
3
2
R22
7
6
C41
5
C42
8
O.P.:TL082
Abb. AF44: Butterworth-TP 4. Ordnung
Koeffizienten aus Filtertabelle:
b1= 1
1. Filter
a1= 1.8478
b2= 1
2. Filter
a2= 0.7654
Für die Berechnungen wird die Grenzfrequenz des Gesamtfilters eingesetzt.
Berechnung des 1. Filters:
Da es leichter ist, auch nicht normgerechte Widerstandswerte zu realisieren, werden zuerst die Kapazitäten
bestimmt. Zur Abschätzung der Größenordnung setzt man Widerstandswerte in der Nähe von 10 kΩ an.
Gln. (AF41a) liefert:
1.85
= 14.7 nF
gewählt: C41 = 15 nF
a1 = ωg C4(R1+ R2) ---> C41 ≈
2 π 103 20k
4b1
4
mit Gln. (AF42c) wird: C31 ≥ C41 2 = 15 nF
≥ 17.6 nF
gewählt: C31 = 18 nF
(1.8478) 2
a1
Genaue Widerstandswerte:
1
a1C31+  a21C231− 4b1C31C41 2

 =
R11 =
2ωg C31C41
1.8478 18 19− 9 +  (1.8478 18 19− 9) 2 − 4 . 18 10−
=
4 π 103 . 15 10− 9 . 18 10− 9
Das Minuszeichen vor der Klammer liefert:
9.
0.5
15 10− 9
= 11.313kΩ
R21 = 8.293 kΩ
Berechnung des 2. Filters:
Größenordnung R1, R2 = 10 k
0.7654
= 6.09nF
2π 1000 . 20k
C42 4b2 6.8 nF . 4
=
= 46 nF
C32 ≥
0.76542
a22
C42 ≈
Ähnlich wie für Filter 1 errechnen sich:
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gewählt: C42 = 6.8 nF
gewählt: C32 = 47 nF
R12 = 9.944 kΩ
R22 = 7.97 kΩ
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AF29
Damit ergibt sich folgende dimensionierte Schaltung, die mit PSPICE simuliert wurde:
18n
1
11.31k
8.29k
47n
3
7.97k
9.94k
2
7
6
15n
5
O.P.:TL082
6.8n
8
Abb. AF45: Dimensionierter Butterworth-TP 4. Ordnung
Steuerdatei zur Simulation:
Butterworthfilter 4.O. Sallen-Key 1 kHz A0= 1
.options nopage nomod limpts 1000
r11 1 2 11.313k
r21 2 3 8.293k
c31 2 5 18n
c41 3 0 15n
r12 5 6 9.944k
r22 6 7 7.97k
c32 6 8 47n
c42 7 0 6.8n
xop1 3 5 9 10 5 tl082
xop2 7 8 9 10 8 tl082
*
Vplus 9 0 dc 15
vminus 10 0 dc -15
vin 1 0 ac 10m sin(0 1V 800Hz)
*
.ac dec 20 1 1meg
* .tran 30u 3m 0 30u
.lib opnom.lib
.probe
.end
Butterworth-filter 4.O. Sallen-Key 1 kHz A0=1
Date/Time run: 05/23/100 09:54:10
Temperature: 27.0
0
Filter 2
Filter 1
-40
-80
Gesamtfilter
-120
-160
1.0h
10h
100h
vdb(8)-vdb(5) db(v(5)/v(1))
1.0Kh
10Kh
db(v(8)/v(1))
Frequency
100Kh
1.0Mh
Abb. AF46: Frequenzgang des Butterworth-TP 4. Ordnung
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AF30
2. Beispiel: Dimensionierung eines Filters nach Zustandsvariablenverfahren gemäß Schaltung Abb. AF40
Vorgaben: Q = 50; Ar = 5; f0 = 1kHz; C = 15 nF
Daraus berechnen sich die Werte:
1
R=
= 10.6 kΩ
3
2π 10 15 . 10− 9
1
1
1
; α = Ar .β =
β=
=
10
Q 50
R
R
α = 106.1 kΩ
β = 530.5 kΩ
-Ue
R/
R
R
R
C
C
R
R
Abb.AF47: Beispiel eines sel. Filters 2. Ordung für 1 kHz
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Ua
Steuerdatei:
selfi2 selektives Filter 2. Ordnung AnalogrechVerf.
.options nopage
r2 5 6 10.61k
r1 6 7 10.61k
r3 5 4 10.61k
r4 1 2 106.1k
r5 2 3 10.61k
r6 2 7 530.5k
c1 3 4 15n
c2 2 7 15n
vin 1 0 ac 10m
xop1 0 6 10 11 5 tl082
xop2 0 4 10 11 3 tl082
xop3 0 2 10 11 7 tl082
.lib lstnw.lib
.ac lin 100 500 2000
.probe
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AF31
3. Beispiel: Es soll ein Allpass 2. Grades mit fg = 1kHz und einer normierten Gruppenlaufzeit v. Tgr0 = 0,5181 aus
einer Kombination eines sel. Filters 2. Ordnung mit einem Subtrahierer aufgebaut werden.
---> Koeffizienten: a1 = 1,6278;
b1 = 0,8832
R
R
Rb
Ra
Als selektives Filter 2. Ordnung wird
die Schaltung gemäß Abb. AF25 verwendet.
C
(k-1)Ro
C
Rc
2R
Ua
Ue
Ro
Vorgewählte Bauelemente: C = 10 nF;
Ra = 10 kΩ .
Ra
Subtrahierer
sel. Filter 2. Grades
Abb. 48: Allpass 2. Ordnung
Sel. Filter:
Gln. (AF59ff) und AF(69ff) liefern:
fg
b1
√

√
0,8832
1
− − − > R=
=
= 14,96kΩ
f0 =
=
2πRC m
2πfg C 2π .1kHz.10nF
a1
√b1
1
= 1,2679
=
Q=
− − − > k = 3−
a1
(3− k)
b1
√
k
Ar =
= k Q = 0,732
3− k
Subtrahierer: Es müssen die Bedingungen von Gln. (AF69ff) eingehalten werden. Für die Berechnung werden
die Ergebnisse einer Übungsaufgabe aus dem Fach Schaltungstechnik herangezogen.
Für den invertierenden Pfad gilt:
Ar
− Ra
Ai = Ar .
= − 2 ; − − − > Rb = Ra
= 3,66kΩ
2
Rb
Für den nichtinvertierenden Pfad gilt:
Ra (Ra+ Rb )
Ra
( Ra+ Rb )− Ra = 27,3kΩ
An =
= + 1 ; − − − > Rc =
Rb (Ra+ Rc )
Rb
Mit dieser Dimensionierung wird nebenstehende Schaltung simuliert:
14.96k
14.96k
3
1
10n
5
4
10n
3.66k
10k
6
e=1,268
7
29.92k
e=10 5
27.32k
10k
Der Nichtinvertierer des Sel. Filters wird
durch einen idealen Verstärker mit dem
Verstärkungsfaktor k = 1,268 modelliert, und beim Subtrahierer ein id. O.P.
2 mit der Leerlaufverstärkung 105 verwendet.
Simulationsergebnisse umseitig!
Abb. 49: Dimensionierter Allpass 2. Grades
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AF32
Abb. 50: Frequenzgang eines Allpasses 2. Grades
Die Ergebnisse der Simulation decken sich mit der Rechnung:
Die Gruppenlaufzeit bei tiefen Frequenzen ist: tgr0 =
a1
1,6278
= .
= 518 us (Sim. -Ergebnis: 518 us).
π fg π 1kHz
tgr 518us
= 366,38us abgesunken sein. (Sim.-Ergebnis: 366,41us).
=
√2
2
√
Der Verstärkungsbetrag ist 1,0 frequenzunabhängig. (Sim.-Ergebnis: 1,00).
Bei fg muss tgr auf
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AF33
AF.A. Anhang zu Kapitel MO/AF
AF.A.1 Herleitung der Ü-Funktion einer Bandsperre 2. Grades
Ein Sperrfilter 2. Ordnung entsteht durch Parallel-Schaltung je eines HP und TP 2. Ordnung.
TP
E
TP: ATP
( P) =
A
+
HP
HP:
Abb. AF.51: Entstehung einer Bandsperre
AHP
( P)
A0
(AF77)
1+ aP+ bP2
A∞ 2
A∞
β P
=
=
α β
α
1
1+ + 2
1+ β P+ β P2
P P
(AF78)
Für ein symmetrisches Sperrfilter müssen HP und TP spiegelbildlich liegen.
DerKoeffizientenvergleich liefert:
A∞
α
1
a = β ; b = β ; A0 = β ;
außerd em muß b ei Symmetrie A0 = A∞ sein . Dar au s fo lg t :
Dies in Gln. (AF64,65) eingesetzt ergibt die Übertragungsfunktion
β= 1; b = 1; α= a
ABS
( P) =
A∞ P2
A0(1+ P2)
+
=
1+ aP+ 1P2 1+ aP+ 1P2 1+ aP+ P2
A0
(AF79)
AF.A.2 Herleitung der Ü-Funktion der erweiterten Einfachmitkopplung
Z1
Ue
Z3
Ua
i3
Ua
Z2
Z1
(k-1)Ro
Z5
Z3
i
i=0
2
Ue
Z4
Ro
Abb. AF52: Erweiterte Einfachmitkopplung
i1
Z2
Z5
i5
Z4
Ua
k
Abb: AF53: Ersatzbild zu Abb. AF40
A: i1+ i3 = i5+ i2
B: Ue = i1Z1+ i5Z5
Ua
− i2Z2 = 0
C: i5Z5−
k
Ua
D:
= i2Z4
k
E: − Ua+ i3Z3+ i2(Z2+ Z4) = 0
Z2 
Ua  1
 +

k  Z5 Z4 Z5 
Ua
Ua
−
( Z2+ Z4)
i2 aus Gln.(D) in (E) liefert: (E’): i3 =
Z3 kZ4Z3
Z2
Ua 
Ue−
1+ 
k
Z4
i5 aus Gln.(C’) in (B) liefert: (B’): i1 =
Z1
i2 aus Gln.(D) in (C) liefert: (C’): i5 =
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alle Ströme in (A):
Ua 
Z2
Ue−
1+ 
k
Z4
+
Z1
geordnet:
Ua  − 1 Z2 k

− + −
k  Z1 Z4 Z3
AF34
Z2  Ua
Ua
Ua
Ua  1
(Z2+ Z4) =
−
+
 +
Z3 kZ4Z3
k  Z5 Z4 Z5  kZ4
Ue
Z2
Z2
1 1
1
− − −
−  = −
Z4Z3 Z3 Z5 Z4Z5 Z4 
Z1
Nach Umstellung:
kZ3Z4Z5
Ua
= A( P) =
Ue
Z1Z2Z3+ Z1Z3Z4+ Z1Z3Z5+ Z2Z3Z5+ Z4Z3Z5+ Z1Z2Z5+ Z1Z4Z5( 1− k)
(AF80)
• Mit dieser Beziehung sind die Übertragungsfunktionen aller Filterschaltungen mit Einfachmitkopplung durch Einsetzen der jeweiligen Schaltelemente abzuleiten.
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