Theorieabschnitte der VL

Vorlesung theoretische Physik C
Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
WS 07/08
Skript Physik C
Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
UPB WS 07/08
Inhaltsverzeichnis
1 Experimentelle Befunde
1.1
1.2
3
Quanteneigenschaften des Strahlungsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1
Strahlung eines schwarzen Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.3
Compton-Effekt (1922) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Welleneigenschaften der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Grundbegriffe der Quantenmechanik (heuristisch)
10
2.1
Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2
Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3
Unbestimmtheitsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4
Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.5
Operatoren und Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.6
3 Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3 Schrödinger-Gleichung
17
3.1
Heuristische Begründung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2
Stationäre Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.3
Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.4
Einfache 1D-Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.4.1
Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.4.2
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4 Einführung in die Axiomatik der Quantenmechanik
36
4.1
Der Hilbert-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.2
Operatoren im Hilbert-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.3
Dirac-Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.4
Darstellungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2
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4.5
Meßprozeß in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.6
Zeitliche Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.6.1
Zeitentwicklungsoperatoren und Bilder . . . . . . . . . . . . . . .
53
Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.7.1
Vertauschbare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.7.2
Nichtvertauschbare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.7
5 Harmonischer Oszillator
59
5.1
Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
5.2
Grundzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5.3
Eigenwertspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.4
Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
6 Zentralfeld
67
6.1
Erinnerung: klassisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
6.2
Drehimpulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
6.3
Das Wasserstoffproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
7 Implikationen der QM
83
7.1
Determinismus und Lokalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
7.2
Theorie verborgener Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
7.3
Realitätsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
8 Nährungsmethoden
8.1
8.2
90
Zeitunabhängige Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
8.1.1
Störungstheorie 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
8.1.2
Störungstheorie 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
8.1.3
Störungstheorie mit Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
8.1.4
Beispiel: Starkeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Zeitabhängige Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
8.2.1
Beispiel: "Fermi’s golden rule" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3
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Einführung in die Quantenmechanik
1 Experimentelle Befunde
1.1 Quanteneigenschaften des Strahlungsfeldes
1.1.1 Strahlung eines schwarzen Körpers
Definition: Ein schwarzer Körper absobiert die gesamte, auf ihn einfallende elektromagnetische Strahlung.
Nährungsweise Realisierung: Hohlkörper mit Loch
Wir stellen die Temperatur T ein und messen für feste Frequenz die aus dem Loch
abgestrahlte Intensität.
plausibel: S(ω, T ) ∝ w(ω, T ) .. Energiedichte des e.m. Feldes im Hohlraum
allgemein gilt: w(ω, T ) = n(ω, T ) · (ω, T )
mit n=Dichte der Eigenschwingungen bezogen auf ein Frequenzintervall, dN = n(ω) · dω
.. Anzahl der Schwingungen in (w, ω + dω), gilt: n(ω) =
ω2
π 2 c3
und mit =mittlere Energie der Eigenschwingung ω bei Temperatur T
=
R0
∞
dEp(E)E
mit p(E) = Wahrscheinlichkeit, daß die Mode ω angeregt ist
4
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E = Energie einer Mode ω (Eigenschwingung des Kastens)
anschaulich klar
p(E) = Z
|0
z }| {
e−βE
∞
mit β =
0
e−βE dE 0
{z
}
1
kT
N ormierung auf 1
R
Z ∞
Ee−βE dE
∂
e−βE dE
⇒ (ω, T ) = R −βE 0 0 = − ln
∂β
e
dE
0
=−
(Kettenregel)
∂
1
∂
1
ln =
lnβ = = kT
∂β β
∂β
β
D.h. im Mittel trägt jede Mode ω mit kT zur Gesamtenergie bei. (Analogie zur mittleren
Energie pro mech. Freiheitsgrad, Gleichverteilungssatz, IX.3 in Physik A) Damit:
w(ω, T ) = n(ω) · (ω, T ) =
ω2
kT
π 2 c3
Strahlungsformel von Rayleigh-Jeans
Ist das Ergebnis sinnvoll? Nein! Die Gesamtenergie des Strahlungsfeldes im Hohlkörper
divergiert!
Z
W (T ) =
Z
dV
kT
dωw(ωT ) = V · 2 3
π c
Z
|0
∞
ω 2 dω
{z }
∞
Das heißt, wir müssen jedem Hohlkörper mit endlichem Volumen V eine unendlich große
Energie zuführen, um ihn um eine endliche Temperatur ∆T zu erwärmen.
⇒ Widerspricht der Alltagserfahrung und dem experimentellem Befund! =
ˆ "UltraviolettKatastrophe"
5
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Lösung: Planck’sche Quantenhypothese (um 1900)
Energie einer Eigenschwingung im Hohlraum kann nur diskrete Werte annehmen.
→ n = n~ω mit n ∈ N und ~ =
1
· 4, 13 · 10−15 eV s
2π
Wahrscheinlichkeit, daß im Hohlraum bei der Temperatur T die Mode mit der Frequenz
ω die Energie n = n~ω hat:
e−βn
∞
X
e−βn
p(n ) =
mit β =
1
kT
|n=0 {z }
sinnvolle Normierung
mittlere Energie einer Mode mit der Frequenz ω
P∞
X
X
∂
∂
n e−βn
−βn
−β~ωn
=
−
=
−
ln
e
ln
e
(ω, T ) = Pn=0
∞
−βn
∂β
∂β
n=0 e
=−
1
~ω
∂
ln
=
∂β 1 − e−β~ω
eβ~ω − 1
w(ω, T ) = n(ω) · (ω, T ) =
ω2
π 2 c3
~ω
~ω
e kT −1
Planck’sche Strahlungsformel
Das heißt, wir können Experimente beschreiben, wenn wir annehmen, daß die Energie
einer Eigenschwingung ω nur diskrete Werte annehmen kann. n = n~ω, Widerspruch
zur klassischen Elektrodynamik (Physik B), wo wir ∝ |E|2 ∝ |B|2 hatten, also kontinuierliche Werte.
6
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1.1.2 Photoeffekt
Wie bestrahlen eine Metallplatte mit UV-Licht und messen dann die kinetische Energie
der austretenden Elektronen; experimentelle Befunde (Hertz 1887):
1. Nur für ω ≥ ω0 werden Elektronen emittiert. ω0 hängt nicht von der Intensität der
Strahlung des Lichts I ab, aber vom Material der Platte.
2. Für ω ≥ ω0 gilt, daß die Anzahl der Elektronen proportional zur Intensität des
Lichts I ist.
3. Für ω ≥ ω0 ist Ekin proportional zu ω und nicht proportional zur Intensität des
Lichts I.
klassische Elektrodynamik: Ekin ∝ I
Einstein: Lichtquantenhypothese (1905)
Strahlungsfeld der Frequenz ω besteht aus Lichtquanten (Photonen) der Energie ~ω.
Die Absorption eines Lichtquants erhöht die Energie der Metallelektronen um ~ω, wird
teilweise benötigt um die Austrittsarbeit aufzubringen. Der Rest geht in die kinetische
Energie:
Ekin = T = ~ω − WA
mit WA = materialspezifische Austrittsarbeit
Anzahl e− ∝ Anzahl Photonen =
ˆ Intensität
⇒ das erklärt 1., 2. und 3.!
1.1.3 Compton-Effekt (1922)
Erklärung durch Existenz von Lichtquanten, die elastisch mit den Elektronen des Metalls
wechselwirken. Es gelten Energie- und Impulserhaltung.
⇒ Frequenzänderung zwanglos erklärt!
7
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Impuls der Photonen? (Physik A, VIII.3.2.)
m0 c2
E=q
mit v = c, E endlich
v2
1 − c2
⇒ m0 = 0 keine Ruhemasse
E=
p
E
~ω
m0 c4 + p2 c2 hier speziell m0 = 0 ⇒ p =
=
c
c
Elektrodynamik (Physik B, V.2.2) Dispersionsrelation für em. Wellen im Vakuum
ω = ck mit k =
2π
λ
...Wellenzahl, Strahlrichtung fällt mit Wellenvektor zusammen
⇒ p~ = ~~k
Der Compton-Effekt zeigt also, daß das Strahlungsfeld nicht nur quantisiert Energie aufnimmt oder abgibt, sondern daß die Lichtquanten selbst Teilchencharakter (wie Impulse)
haben.
8
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1.2 Welleneigenschaften der Materie
Exp.: Elektronenstrahlen werden am Gitter gebeugt, das heißt, die Elektronen zeigen
Wellencharakter
⇒ De Broglies Materiewellen (1925) verallgemeinern die Ausdrücke für das Photon aus
1.1.3 und ordnen jedem Teilchen mit der Energie E und Impuls p~ eine Welle mit Frequenz
ω und Wellenvektor ~k zu:
ω=
E ~
p~
,k =
~
~
Zunächst schematisch, eindimensional; früher: ebene Welle mit Frequenz ω und Wellenzahl k
Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) A ∈ C
↓
i
= Ae ~ (px−Et)
Intensität: I = Ψ∗ Ψ → |A|2
räumlich und zeitlich konstant, schwer mit Teilchen zu assoziieren
⇒ betrachten Wellenpaket
1
Ψ(x, t) = √
2π~
∞
Z
i
ϕ(p)e ~ (ex−Et) dp
−∞
r
mit ϕ(p) =
4
2α −α(p−p0 )2
e
π
Das bedeutet eine Überlagerung von ebenen Wellen mit ähnlichen Impulsen p ≈ p0 ,
daher auch ähnliche Energien, entwickelbar in Taylor-Reihe
1
E = E(p0 ) + E 0 (p0 )(p − p0 ) + E 00 (p0 )(p − p0 )2 + ...
2
R∞
√
2
oben einsetzen und integrieren ( −∞ e−x dx = π) ergibt:
Ψ(x, t) = e|
i
(p x−E(p0 )t)
~ 0
{z
}·
r
4
ebene Welle |
α
2π~2
s
0
2
(x−E (p0 )t)
− 2
1
4~ (α+ i E 00 (P0 )t)
2~
+e
α + 2~i E 00 (p0 )t
{z
}
zeit-und ortabhängiger Amplitudenfaktor
9
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Intensität des Wellenpakets
0
2
(x−E (p0 )t)
− 2
α
1 ( 1 E 00 (p )t)2 )
2~ (α+ α
0
2~
I(x, t) =
·e
1
00
2
2
2
2π~ (α + ( 2 ~E (p0 )t) )
↓
Maximum bewegt sich mit E 0 (p0 ) nach rechts
d~ω dω dE =
=
= vg ..Gruppengeschwindigkeit (Physik A, IX.2)
E (p0 ) =
dp p0
d~k k0
dk k0
0
nichtrelativistisches, freies Teilchen hat
E = E0 +
p2
p0
→ E0 =
2m
m
das heißt, Gruppengeschwindigkeit =
ˆ Teilchengeschwindigkeit
Damit scheint Wellenfunktion zur Beschreibung von Teilchen zunächst geeignet! Problem: Breite des Wellenpakets!
(x−E(p0 )0 t)2
mit I(x, t) = c(t)e− 2∆x2
q
1
mit ∆x = 2α
(4~2 α2 + E(p0 )002 t2 ) .. zeitabhängige Breite des Wellenpakets
√
mit ∆x0 = ∆x(t = 0) = 2~2 α folgt:
s
∆x(t)
E 00 (p0 )2 t2
= 1+
∆x0
2α∆x20
2
p
speziell: E = E0 + 2m
→ E 00 (p0 ) =
s
∆x(t)
t2
⇒
= 1+
∆x0
2m2 α∆x20
1
m
Das bedeutet ein sehr schnelles Zerfließen von leichten (m → 0) Teilchen! ⇒ Wellenpaket
kaum als (mikroskopisches) Teilchen interpretierbar!
Ausweg: Born’sche Wahrscheinlichkeitsinterpretation (1925)
bisher: I(x, t) = Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t) .. Intensität, wenig plausibel
jetzt: Ψ(x, t) ist "Führungsfeld" für die Teilchen, bestimmt die Wahrscheinlichkeit zum
Zeitpunkt t das Teilchen in [x, x + dx] zu finden:
dW (x, t) = Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t)dx = Ψ(x, t)2 dx = ω(x, t)dx
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mit ω .. Wahrscheinlichkeitsdichte
Teilchen muß irgendwo sein → Normierungsbedingung
Z
Z ∞
dxΨ∗ (x, t)Ψ(x, t) = 1
dW (x, t) =
−∞
2 Grundbegriffe der Quantenmechanik (heuristisch)
2.1 Erwartungswerte
Führungsfeld Ψ(x, t) erlaubt nur Wahrscheinlichkeitsaussagen, bzw. Aussagen über den
Mittelwert vieler gleichartiger Experimente.
↓ Anzahl der Experimente → ∞
Erwartungswert berechnet aus Ψ(x, t)
Bsp.:
• Erwartungswert des Ortes x eines Teilchens
Z ∞
Z ∞
2
dx x |Ψ(x, t)| =
dx Ψ∗ (x, t) x Ψ(x, t)
x̄ =
−∞
−∞
• Erwartungswert einer beliebigen Funktion f (x)
Z ∞
¯
dx Ψ∗ (x, t) f (x) Ψ(x, t)
f=
−∞
Zeitliche Änderung des Ortserwartungswertes?
Z
Z
∗
x̄˙ = dx Ψ̇ (x, t) x Ψ(x, t) + dxΨ∗ (x, t) x Ψ̇(x, t)
jetzt speziell Wellenpaket
Z ∞
i
1
Ψ(x, t) = √
ϕ(p)e ~ (px−Et) dp
2π~ −∞
Z ∞
i
1
i
Ψ̇(x, t) = √
dp ϕ(p) − E e ~ (px−Et)
~
2π~ −∞
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für freies, nichtrelativistisches Teilchen: E =
p2
2m
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+ E0 o.v.a.A.
|{z}
=0
∞
i
i p2
1
dp ϕ(p) −
e ~ (px−Et)
Ψ̇(x, t) = √
~ 2m
2π~ −∞
Z
∞
i
1
i~ d2
dp ϕ(p) e ~ (px−Et)
=√
2
2π~ 2m dx −∞
i~ d2
=
Ψ(x, t)
2m dx2
Z
damit:
i~
mx̄˙ = −
2
Z
dx
2
Z
d2 ∗
i~
d
∗
Ψ (x, t) x Ψ(x, t) +
dxΨ x
Ψ(x, t)
dx2
2
dx2
Überwälzen des Differentialoperators:
Z
Z
h 0
i∞
0
∗00
∗
− dx Ψ∗ (x Ψ)0
dx Ψ x Ψ = Ψ x Ψ
{z −∞}
|
=0 (Normierbarkeit
∗
∞
(x Ψ)0 ]−∞
Z
= [−Ψ
+ dx Ψ∗ (x Ψ)00
|
{z
}
=0
Z
Z
∗
0 0
= dx Ψ (Ψ + x Ψ ) = dx Ψ∗ (Ψ0 + Ψ0 + x Ψ00 )
Oben einsetzen → 2.Abl. heben sich auf; damit:
Z ∞
d
˙
dxΨ∗ (x, t) Ψ(x, t)
mx̄ = p̄ = −i~
dx
−∞
Z ∞
~ d
d.h. p̄ =
dx Ψ∗ (x, t)
Ψ(x, t)
i dx
−∞
Z ∞
vorhin x̄ =
dx Ψ∗ (x, t) x Ψ(x, t)
−∞
Ähnliche Struktur, falls wir p̂ =
~ d
i dx
als Impulsoperator definieren; entsprechend ist:
x̂ = x der Ortsoperator
Allgemein werden Erwartungswerte einer physikalischen Größe A in der QM als
R∞
Ā = −∞ dxΨ∗ (x, t) Â Ψ(x, t)
berechnet, wobei  der der Größe A zugeordnete Operator ist.
Bemerkung: Die Übersetzung von physikalischen Größen in Operator ist oft nichttrivial!
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2.2 Impulsdarstellung
Z
∞
(2.1) p̄ =
~ d
Ψ(x, t)
i dx
dx Ψ∗ (x, t)
−∞
gehen jetzt zur Fouriertransformation von Ψ(x, t) über:
Z ∞
i
1
Ψ(x, t) = √
dp ϕ(p, t)e ~ px
2π~ −∞
einsetzen liefert:
Z
1
p̄ =
2π~
Z
Z
i
i 0
~ d
ϕ(p0 , t)e ~ p x
dp0 ϕ∗ (p, t) e− ~ px
i dx
Z
Z
Z
i 0
i
1
=
dx dp dp0 ϕ∗ e− ~ px p0 ϕ e ~ p x
2π~
Z
Z
Z
dx i (p0 −p)x
1
0 ∗
0
0
e~
= dp dp ϕ (p, t) p ϕ(p , t)
2π
~
|
{z
}
dx
dp
δ(p−p0 )
damit
Z
∞
p=
∞
Z
∗
dp |ϕ(p, t)|2 p
dp ϕ (p, t) p ϕ(p, t) =
−∞
−∞
vgl mit
Z
∞
x=
Z
∗
∞
dx Ψ (x, t) x Ψ(x, t) =
−∞
dx |Ψ(x, t)|2 x
−∞
legt die Interpretation von ϕ(p, t) als Wahrscheinlichkeitsamplitude im Impulsraum nahe.
Das heißt die Wahrscheinlichkeit, daß ein Teilchen einen Impuls aus [p, p + dp] hat, ist
|ϕ(p, t)|2 dp.
Bezeichnungen:
• Ψ(x, t) .. Zustandsfunktion in Ortsdarstellung
• ϕ(p, t) .. Zustandsfunktion in Impulsdarstellung
• p̂ = p .. Impulsoperator in Impulsdarstellung
• x̂ = x .. Ortsoperator in Ortsdarstellung
• p̂ =
~ d
i dx
.. Impulsoperator in Ortsdarstellung
d
• x̂ = − ~i dp
.. Ortsoperator in Impulsdarstellung → (Übung)
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2.3 Unbestimmtheitsrelation
(1.2) Wellenpaket Ψ(x, t) =
√1
2π~
R
i
ϕ(p) e ~ (px−Et) dp
mit Gaußförmiger Impulsverteilung
r
2α −α(p−p0 )2
e
π
r
2α −2α(p−p0 )2
∗
e
⇒ ϕ (p) ϕ(p) =
π
Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch um p = p0 zentriert!
ϕ(p) =
4
Varianz
(∆p)2 = (p − p0 )2 =
1
4α
für diese Impulsverteilung, früher (1.2) die Ortswellenfunktion berechnet, gilt:
Ψ∗ (x, 0)Ψ(x, 0) = √
1
x2
2π~2 α
e− 2~2 α
d.h Gaußverteilung im Ortsraum mit Mittelwert x̄ = 0 und der Varianz
(∆x)2 = (x − x)2 = ~2 α
Das heißt durch Variation von α können wir entweder (∆x)2 oder (∆p)2 minimieren,
jedoch nicht beide. Es gilt also:
(∆x)2 · (∆p)2 =
~2
4
Demnach können wir nicht gleichzeitig Ort und Impuls des Wellenpakets messen. Mit der
Zeit (t > 0) fließt das Wellenpaket (im Ort) auseinander, während die Impulsverteilung
konstanst bleibt (vgl. 1.2), demnach gilt
14
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(∆x)2 · (∆p)2 ≥
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~2
4
Heisenbergsche
Unbestimmtheitsrelation(HUR)
Damit verliert der klassische Bahnbegriff in der Quantenmechanik seinen Sinn!
Bem.:
• HUR hier speziell für gaußförmige Wellenpakete gezeigt, sie gilt jedoch allgemein
• hier speziell für Unbestimmtheit von Ort und Impuls, aber analoge Beziehungen
für alle physikalischen Größen A, B deren zugeordnete Operatoren Â, B̂ nicht vertauschen. (Vertauschen heißt ÂB̂ = B̂ Â)
2.4 Vertauschungsrelationen
Ortsdarstellung → x̂ = x; p̂ =
~ d
i dx
[p̂, x̂] := p̂x̂ − x̂p̂ .. Kommutator
Berechnung durch Anwendung auf beliebige Funktion h(x):
[p̂, x̂] h(x) =
=
⇒ [p̂, x̂] =
~ d
~ d
(xh(x)) − x
h(x)
i dx
i dx
~
{h + xh0 − xh0 }
i
~
= h(x)
i
~ˆ
I 6= 0, Orts-und Impulsoperator vertauschen nicht
i
2.5 Operatoren und Observable
(früher, 2.1):
Z
∞
x̄ =
−∞
Z
dx Ψ∗ (x, t) |{z}
x Ψ(x, t)
=x̂
∞
p̄ =
dx Ψ∗ (x, t)
−∞
~ d
Ψ(x, t)
i
dx
| {z }
=p̂
15
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verallgemeinert auf beliebige Potenzen von x̂ und p̂, d.h.
Z ∞
dx Ψ∗ (x, t) x̂n Ψ(x, t)
x¯n =
−∞
p¯n =
Z
∞
dx Ψ∗ (x, t) p̂n Ψ(x, t)
−∞
Jede beliebige analytische Funktion f (x) bzw. g(x) kann in eine Taylorreihe entwickelt
werden:
f (x) =
∞
X
fn x n
n=0
⇒ Erwartungswerte von f (x̂) bzw. g(p̂) gegeben durch
Z
¯
f = dx Ψ∗ (x, t)f (x̂)Ψ(x, t)
Z
ḡ =
dx Ψ∗ (x, t)f (p̂)Ψ(x, t)
Bsp.: Gesamtenergie eines konservativen Systems
E = |{z}
T + |{z}
V = const.
2
=V (x)
p
= 2m
Operator der Gesamtenergie (Hamiltonoperator) gegeben durch:
Ĥ =
p̂2
+ V (x̂)
2m
speziell in Ortsdarstellung
Ĥ = −
~2 d2
+ V (x)
2m dx2
oder in Impulsdarstellung
p2
Ĥ =
+V
2m
~ d
−
i dp
Jeder meßbarer, physikalischer Größe (d.h. Observablen) A entspricht ein Operator Â
in der Quantenmechanik.
Bem.:
• einfacher Fall (s.oben): A(x, p) = f (x) + g(p) → Â = f (x̂) + g(p̂)
16
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• komplizierter: f (x) · g(p)
Bsp.: xp →
x̂p̂+p̂x̂
2
Operator wird so gewählt, daß er konsistent mit Theorie und verfügbaren Experimenten
ist.
2.6 3 Dimensional
für 3D-Probleme
• Ortsdarstellung
~x
~x → ~xˆ = ~x; p~ → p~ˆ = ~i ∇
• Impulsdarstellung
~ p ; p~ → p~ˆ = p~
~x → ~xˆ = − ~i ∇
Zusammenhang zwischen Zustandsfunktion im Orts-und Impulsdarstellung durch 3DFT:
Ψ(x̄, t) =
ϕ(p̄, t) =
Z Z Z
1
(2π~)
3
2
Z Z Z
1
(2π~)
3
2
i
d3 p̄ e ~ p̄ x̄ ϕ(p̄, t)
i
d3 x̄ e− ~ p̄ x̄ Ψ(p̄, t)
Erwartungswerte
f¯ =
Z
d3 x̄Ψ∗ (x̄, t)f (x̄)Ψ(x̄, t)
Z
d3 p̄ϕ∗ (p̄, t)f (x̄ˆ)Ψ(p̄, t)
=
Vertauschungsrelationen
[p̂α , x̂β ] =
~
δαβ mit α, β = x, y, z
i
17
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3 Schrödinger-Gleichung
3.1 Heuristische Begründung
bisher:
• in manchen Experimenten (Elektronen-Beugung) scheint Materie Wellencharakter
zu haben
• Zuordnung von Welleneigenschaften durch die de Broglie-Relation
ω=
E
p̄
, k̄ =
(Compton-Experiment)
~
~
i
• zunächst Partikelwelle Ψ(x, t) = A e ~ (px−Et) eingeführt, später interpretiert als
Zustandsfunktion mit Wahrscheinlichkeitsamplitude. Das bedeutet |Ψ(x̄, t)|2 dx ist
die Wahrscheinlichkeit, daß das Teilchen zur Zeit t in [x, x + dx] ist.
Problem: Bestimmung von Ψ(x, t)!
starten von
Ψ(x, t) = Ae
i
(px−Et)
~
∂
∂t
i
i
Ψ̇(x, t) = − E A e ~ (px−Et)
~
d.h. i~Ψ̇(x, t) = E Ψ(x, t)
ersetzen jetzt E durch Operator der Gesamtenergie, d.h. Hamiltonoperator
Ĥ =
p̂2
+ V (x̂)
2m
damit
∂
i~ ∂t
Ψ(x̄, t) = Ĥ(p̄ˆ, x̄ˆ)Ψ(x̄, t)
Schrödingergleichung
Bem.:
• Die partielle Differentialgleichung 1. Ordnung in der Zeit bestimmt die zeitliche
Entwicklung von Ψ(x, t), wenn Ψ(x, t = t0 ) bekannt ist
18
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• Für nichtrelativistische Teilchen durch zahlreiche Experimente bestätigt
• Relativistische Verallgemeinerung: Dirac-Gleichung, Klein-Gordon-Gleichung
3.2 Stationäre Lösungen
SG:
i~Ψ̇(x̄, t) = ĤΨ(x̄, t) =
~2 d2
−
+ V (x̄, t)
2m dx2
↓ Ĥ nicht zeitabhängig + Ortsdarstellung
Ansatz:
Ψ(x̄, t) = f (t)ϕ(x) in SG
i~f˙ϕ = f Ĥϕ
f˙(t)
i~
f (t)
| {z }
=
hängt nur von t ab
Ĥ(p̄ˆ, x̄ˆ)ϕ(x̄)
=
E
|{z}
ϕ(x̄)
muss konstant sein
|
{z
}
hängt nur von x ab
i
⇒ i~f˙(t) = Ef (t) ⇒ f (t) = Ce− ~ Et
i
Ψ(x̄, t) = e− ~ Et ϕ(x̄)
stationäre Lösung der Schrödingergleichung
Warum "stationär"?
• Wahrscheinlichkeit Teilchen in [x, x + dx] in t zu finden
Ψ∗ (x̄, t)Ψ(x̄, t)dx = ϕ∗ (x̄)ϕ(x̄)dx ist zeitunabhängig
• Erwartungswerte beliebiger Operatoren Â(x̄ˆ, p̄ˆ)
Z
Ā = d3 x̄Ψ∗ (x̄, t)A(x̄ˆ, p̄ˆ)Ψ(x̄, t)
Z
=
d3 x̄ϕ∗ (x̄, t)A(x̄ˆ, p̄ˆ)ϕ(x̄)
sind zeitunabhängig
Bestimmung von ϕ(x̄) aus Ĥϕ(x̄) = Eϕ(x̄)
19
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o
n 2
~
∆ + V (x̄) ϕ(x̄) = Eϕ(x̄)
− 2m
zeitunabhängige Schrödingergleichung
(Eigenwertproblem(EWP))
i
Bem.: Überlagerung aller speziellen stationären Lösungen Ψ(x̄, t) = e− ~ Et ϕ(x̄) ist die
allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung.
3.3 Kontinuitätsgleichung
w(x̄, t) = Ψ∗ (x̄, t)Ψ(x̄, t)..Wahrscheinlichkeitsdichte
∂w
=
∂t
∗Ψ
Ψ̇
|{z}
1
ĤΨ∗ )Ψ
(− i~
∗
+ Ψ
Ψ̇
|{z}
1
ĤΨ
Ψ∗ i~
1
1
~2
~2
∗
∗
= −
−
∆ + V (x̄) Ψ Ψ + Ψ
−
∆ + V (x̄) Ψ
i~
2m
i~
2m
~
{(∆Ψ∗ ) Ψ − Ψ∗ (∆Ψ)}
2mi
~ ¯ ¯ ∗
¯
=
∇ ∇Ψ Ψ − Ψ∗ ∇Ψ
2mi
=
Erinnnerung E-Dynamik: ς˙ + div j̄ = 0 ; Kontinuitätsgleichung für Ladungsdichte
Definieren in Analogie zur elektrischen Stromdichte j̄ einen Wahrscheinlichkeitsstrom S̄
~ ∗ ¯ ¯ ∗ Ψ
Ψ ∇Ψ − ∇Ψ
2mi
S̄ :=
ẇ(x̄, t) + div S̄(x̄, t) = 0
Kontinuitätsgleichung für Wahrscheinlichkeit
Volumenintegration über Gebiet G
Z
Z
3
d x̄ẇ(x̄, t) =
d3 x̄ div S̄
G
G
||
∂
∂t
|
Z
G
||
I
3
d x̄w(x̄, t)
{z
}
dĀ S̄
| G {z }
Wahrscheinlichkeit, daß Teilchen in G
ändert sich zeitlich eventuell durch S
20
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speziell: G → ∞ ⇒
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H
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dĀS̄ = 0(Normierung), Ψ(∞) = 0
∂
⇒
∂t
Z
d3 x̄w(x̄, t) = 0
{z
}
|
1
Gesamtwahrscheinlichkeit bleibt erhalten
3.4 Einfache 1D-Beispiele
3.4.1 Vorbetrachtungen
2 2
~ ∂
Suche Lösung von i~ Ψ̇(x, t) = − 2m
+
V
(x)
Ψ(x, t) bzw. der stationären SG
∂x2
~ 2 d2
+ V (x) ϕ(x) = Eϕ(x)
−
2m dx2
mathematisch für beliebiges E lösbar, aber nicht alle Lösungen sind physikalisch sinnvoll
(z.B. Normierbarkeit)⇒ oft diskretes Eigenwertspektrum
typische Probleme:
a)V
|x|→∞
→ ∞ (gebundenes Teilchen)
ϕ00 (x) = −
2m
(E − V (x))ϕ(x)
~
21
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I)E < Vmin
⇒ ϕ00 (x) = α(x)ϕ(x) mit α > 0
falls ϕ(x) > 0 für einen x-Wert
⇒ ϕ00 (x) > 0 , d.h. pos. Krümmung
⇒ ϕ(x) bleibt positiv für mind. eine Richtung
⇒ ϕ ist nicht normierbar
⇒ keine physikalisch zulässige Lösung für E < Vmin !
II)E > Vmin
x→−∞
• Normierbarkeit ⇒ ϕ(x) → 0
• in [−∞, x− ]: E < V , d.h. ϕ ändert Vorzeichen nicht (analog zu Fall I))
• o.v.a.A. ϕ(x) > 0 in [−∞, x− ] ⇒ ϕ00 (x) > 0 in [−∞, x− ]
• ϕ00 (x) < 0 in [x− , x+ ] wegen E > V
• weiterer Kurvenverlauf von Intervallbreite abhängig
• Intervallbreite durch Verhältnis von E zu V (x) bestimmt; es gibt einen Energiewert
E = E0 , der gerade zu einer quadratintegrablen Funktion ϕ(x) führt
E0 .. niedrigster Energieeigenwert des Problems
ϕ0 .. zugehörige Funktion =
ˆ Grundzustand
• E > E0 ⇒ Vorzeichenwechsel der Funktion (damit ändert sich die Krümmung)
22
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• Es gibt ein E1 > E0 , das wieder zu einer quadratintegrablen Funktion führt:
• ... ⇒ Eigenfunktionen ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 mit Energiewerten E0 , E1 , E2 wobei ϕn n Nullstellen (Knoten) besitzt, die im Intervall [x− , x+ ] liegen, also dort, wo En > V (x)
gilt.
• Wichtiger Unterschied zum klassischen Verhalten:
|ϕ(x)|2 ≥ 0 für E < V (x)
b)ungebundenes Teilchen
23
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I)Vmin < E < V+∞
analog zu a)I)
möglicherweise ein oder mehrere normierbare ϕn mit En , ϕn lokalisiert bei Vmin
II)V+∞ < E
⇒ ϕ00 (x) = −α(x)ϕ(x) mit α(x) > 0 für unendlich großes Intervall (rechts von x− )
o.v.a.A. ϕ(x) ⇒ ϕ00 (x) < 0
⇒ ϕ(x)schneidetAchse
⇒ ϕ < 0 ⇒ ϕ00 (x) > 0
⇒ ϕ(x)schneidetAchse
... ⇒ ϕ(x) oszilliert
R∞
⇒ x− |ϕ(x)|2 |dx → ∞
Das bedeutet, daß die Wellenfunktion im herkömmlichen Sinne nicht normierbar ist.
Interpretation: Ein Teilchen im unendlich großen Intervall
Lösung: Betrachten N (N → ∞) nicht wechselwirkender Teilchen, dann
|ϕ(x)|2 =
ˆ Teilchendichte
c)endlicher Potentialsprung
Untersuchen ϕ0 (x = a)
24
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Z a+
2m
SG: ϕ (x) = − 2 (E − V (x))ϕ(x) dx
~
a−
Z
2m a+
0
0
ϕ (a + ) − ϕ (a − ) = 2
dx(V (x) − E)ϕ(x)
~ a−
00
|ϕ0 (a + ) − ϕ0 (a − )| ≤
2m
|V (x) − E|max · |ϕ(x)|max · 2
2
{z
}
|~
→0
→0
⇒ ϕ0 (a + ) = ϕ0 (a − )
ϕ(a + ) = ϕ(a − ) (nach Voraussetzung)
Das heißt, daß für endliche Potentialsprünge Wellenfunktion und 1. Ableitung stetig
sind.
d)δ- förmige Singularität
V (x) = V0 + Aδ(x − a) (ϕ stetig)
wie c)
2m
ϕ (a + ) − ϕ (a − ) = 2
~
0
0
Z
a+
{Aδ(x − a) + V0 − E}ϕ(x)dx
a−
2m
2m
= 2 Aϕ(a) + 2
~
~
|
Z
a+
a−
(V0 − E)ϕ(x)dx
{z
}
→0
→0
0
0
⇒ ϕ (a + ) = ϕ (a − ) +
2m
Aϕ(a)
~2
1.Ableitung springt
ϕ(a + ) = ϕ(a − ) (nach Voraussetzung)
25
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3.4.2 Beispiele
3.4.2.1 Potentialstufe
(
V (x) =
SG: ϕ00 (x) +
mit Abkürzungen:
k2 =
2mE
~2
0 für x<0
V0 für x > 0
2m
[E − V (x)] ϕ(x) = 0
~2
; q2 =
2m(E−V0 )
~2
folgt:
ϕ00 (x) + k 2 ϕ(x) = 0 für x < 0
ϕ00 (x) + q 2 ϕ(x) = 0 für x > 0
früher (3.4.1):
• physikalische Lösungen nur für E > Vmin = 0
• ungebundenes Teilchen, kontinuierliches Spektrum, oszillierende Wellenfunktion
allgemeine Lösung
• für x < 0
ϕ< (x) = Aeikx + Be−ikx (klar durch Einsetzen)
• für x > 0, E > V0 , q 2 > 0
ϕ> (x) = Ceiqx + De−iqx
• für x > 0, E < V0 , q 2 < 0
ϕ> (x) = Ce−|q|x + De|q|x
26
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Betrachten den letzten Fall später, zunächst E > V0 , d.h. q 2 > 0
In beiden Teilgebieten Superposition von links- und rechtslaufenden Wellen
Annahme einer speziellen Lösung: Teilchenstrom läuft von links auf Potentialstufe zu,
also D = 0
o.v.a.a A = 1, Amplitude der einlaufenden Welle,
damit verbleibt:
ϕ< (x) = eikx + Be−ikx
ϕ> (x) = Ceiqx
Stetigkeit der Wellenfunktion:
ϕ< (0) = ϕ> (0)
| {z } | {z }
1+B
C
(∗)
Stetigkeit der 1. Ableitung
ϕ0< (0) = ϕ0> (0)
| {z }
| {z }
ik(1+B)
iqC
C =∗ 1 + B =∗∗
(∗∗)
k
(1 − B)
q
⇒B=
k−q
,
k+q
⇒C=
2k
k+q
Damit Wellenfunktion bestimmt. Interpretation? Untersuchen Wahrscheinlichkeitsstrom
(3.3):
S=
~
{ϕ∗ ϕ0 − ϕ0∗ ϕ}
2mi
für eine ebene Welle ϕ(x) = Aeikx gilt allgemein:
SA =
~ ∗ −ik
A A e (ik)eikx − (−ik)
2mi
SA =
~k ∗
AA
m
27
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speziell für Potentialstufe:
einfallender Strom (A = 1): Se =
reflektierter Strom:
transmittierter Strom:
~k
m
2
~k k−q
∗
Sr = − ~k
B
B
=
−
m
m
k+q
2
2k
4k2
St = ~q
C ∗ C = ~q
= ~q
m
m
k+q
m (k+q)2
Gesamtstrom für x < 0:
~k
S < = Se + Sr =
m
(
(k − q)2
1−
(k + q) 2
)
=
~k 4kq
= S > ≡ St
m (k + q)2
Inhaltlich klar wegen Kontinuitätsgleichung für Wahrscheinlichkeit: An der Stelle der
Potentialstufe wird keine Wahrscheinlichkeit erzeugt oder vernichtet (Stationarität).
Verhalten für E >> V0 ?
q2
E − V0 E>>V0
→ 1
=
2
k
E
2
~k k − q
E>>V0
⇒ Sr = −
→ 0
m k+q
~k
~k 4kq
= Se
St =
2 →
m (k + q)
m
Das heißt für E >> V0 verhält sich das quantenmechanische Teilchen wie ein klassisches
Teilchen, welches für alle E > V0 reflexionsfrei transmittiert wird.
jetzt: 0 < E < V0
ϕ> (x) = Ce−|q| +
|q|x
De
| {z }
(q 2 < 0)
nicht normierbar für x→∞ ⇒keine phys. Lösung
D.h. ϕ> (x) = Ce−iKx
mit K 2 = −
2m
[V0 − E]
~2
damit analoge Stetigkeitsbedingung wie vorhin mit q → iK
d.h. B =
B∗B =
k − iK
;
k + iK
C=
2k
k + iK
k − iK k + iK
·
= 1 = A∗ A
k + iK k − iK
Das heißt, daß der Teilchenstrom vollständig reflektiert wird, also wie im klassischen Fall
für E < V0 .
Exponentieller Abfall der Wellenfunktion im Bereich der Potentialstufe → Unterschied
zum klassischen Verhalten, analog zu evaneszenten Wellen in der Optik.
28
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3.4.2.2 Potentialwall
V (x) = 0
x<a
V (x) = V0
−a<x<a
V (x) = 0
x>a
früher (3.4.1)
• physikalische Lösung für E > 0
• kontinuierliches Spektrum
hier zunächst 0 < E < V0 (Übung: E > V0 )
~2 d2
SG: −
+ V (x) ϕ(x) = Eϕ(x)
2m dx2
V stückweise konstant ⇒ drei allgemeine Lösungen für drei Bereiche
ϕ1 (x) = Aeikx + Be−ikx
ϕ2 (x) = CeKx + De−Kx
ϕ3 (x) = Geikx + Je−ikx
mit k 2 =
2m(V0 − E)
2mE
und K 2 =
2
~
~2
Stetigkeit der Wellenfunktion bei x = −a
Ae−ika + Beika = Ce−Ka + DeKa
29
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bei x = a
CeKa + De−Ka = Geika + Je−ika
Stetigkeit der 1. Ableitung bei x = −a
ik(Ae−ika − Beika = K(Ce−Ka − DeKa )
bei x = a
K(CeKa − De−Ka ) = ik(Ge−ika − Jeika )
Annahme: Teilchenstrom von links
⇒ J = 0, o.v.a.A. A = 1
⇒ 4 Gleichungen für 4 Unbekannte (Übung), speziell folgt:
2
k
+ Kk sinh2 2Ka
2
K
|B| =
2
4 + Kk + Kk sinh2 2ka
4
|G|2 =
4+
k
K
+
K 2
k
sinh2 2ka
d.h. |B|2 + |G|2 = 1 (∗)
~k
Stromdichten: S1 =
1 − |B|2 = Se − Sr
m
~k
(CD∗ − DC ∗ )
S2 =
im
~k
S3 =
|G|2 = St
m
wegen (∗) ⇒ S1 = S3
außerdem S1 = S2 (wegen Kontinuitätsgleichung für Wahrscheinlichkeit)
⇒ Se − Sr = St
| {z } |{z}
S1
S3
Sr
= |B|2
Se
St
Transmissionskoeffizient T :=
= |G|2
Se
4
=
2
4 + Kk + Kk sinh2 2ka
Reflexionskoeffizient R :=
30
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Also gelangen Teilchen für E < V0 auf die andere Seite der Barriere! Klarer Unterschied
zum klassischen Verhalten, dort T = 0, R = 1 für E < V0
⇒ quantenmechanischer Tunneleffekt
Beispiel: Leckströme in integrierten Schaltkreisen
3.4.2.3 Potentialgraben
V (x) = 0
für x < −a
V (x) = V0
für − a < x < a
V (x) = 0
für x > a
allgemeine Überlegungen aus 3.4.1
• −V0 < E < 0 diskretes Spektrum
• 0 < E kontinuierliches Spektrum
SG in 1,3: ϕ00 (x) +
SG in 2: ϕ00 (x) +
2mE
ϕ(x) = 0
~2
2m(E+V0 )
ϕ(x)
~2
=0
31
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zunächst E > 0, kontinuierliches Spektrum
mit k 2 =
2mE
2m(E + V0 )
, q2 =
2
~
~2
folgt für von links einfallende Welle:
ϕ1 (x) = eikx + De−ikx
ϕ2 (x) = Aeiqx + Be−iqx
ϕ3 (x) = Geikx
mit Stromdichten:
~k
1 − |D|2
m
~q
S2 =
|A|2 − |B|2
m
~k
|G|2
S3 =
m
S1 =
Kontinuitätsgleichung: ⇒ S1 = S2 = S3
d.h. k(1 − |D|2 ) = q(|A|2 − |B|2 ) = k |G|2
Stetigkeit für Wellenfunktion:
e−ika + Deika = Ae−iqa + Beiqa
Aeiqa + Be−iqa = Geika
...und der 1. Ableitung der Wellenfunktion:
k(e−ika − Deika ) = q(Ae−iqa − Beiqa )
q(Aeiqa + Be−iqa = kGeika
⇒ 4 Gleichungen für 4 Unbekannte
32
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⇒ Reflexionskoeffizient: R = |D|2 =
(q 2 − k 2 )2 sin2 2qa
4k 2 q 2 cos2 2qa + (k 2 + q 2 )2 sin2 2qa
⇒ Transmissionskoeffizient: T = |G|2 =
4k 2 q 2
4k 2 q 2 cos2 2qa + (k 2 + q 2 )2 sin2 2qa
wegen
(q 4 − 2q 2 k 2 + k 4 ) sin2 2qa
= (q 2 + k 2 )2 sin2 2qa − 4q 2 k 2 sin2 2qa
= (q 2 + k 2 )2 sin2 2qa − 4q 2 k 2 (1 − cos2 2qa)
folgt ⇒ R + T = 1 (wie erwartet)
klassisch: E > 0 ⇒ T = 1, R = 0
quantenmechanisch: E > 0 ⇒ R > 0 für fast alle E (drastischer Unterschied zum
klassischen Verhalten!)
• E >> V0 ⇒ q ≈ k ⇒ R → 0 (ähnlich klassisch)
• E → 0 ⇒ k → 0 ⇒ T → 0 Das heißt, daß der Strom (fast) völlig reflektiert wird,
der Potentialgraben ist also für niederenergetische Teilchen fast nicht zu passieren!
• R ∝ sin2 2qa ⇒ R = 0 für q = qn =
nπ
2a
Das heißt, daß es bestimmte Energien gibt,
bei denen Totaltransmission auftritt. Interpretation: auslöschende Interferenzen
der an vorderer und hinterer Wand des Potentialgrabens reflektierten Wellen. Es
gibt also keine reflektierten Wellen!
jetzt: −V0 < E < 0, diskretes Spektrum:
> 0, q 2 =
mit K 2 = − 2mE
~2
2m(E+V0 )
~2
> 0 folgen:
ϕ001 (x) − K 2 ϕ1 (x) = 0 ⇒ ϕ1 (x) = C1 eKx
ϕ002 (x) + q 2 ϕ2 (x) = 0 ⇒ ϕ2 (x) = A cos qx + B sin qx
ϕ003 (x) − K 2 ϕ3 (x) = 0 ⇒ ϕ3 (x) = C2 e−Kx
33
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(in ϕ1 und ϕ2 wurde die Normierung bereits vorausgesetzt)
Stetigkeit der Wellenfunktion und der 1.Ableitung:
C1 e−Ka = A cos qa − B sin qa (I)
C2 e−Ka = A cos qa + B sin qa (II)
KC1 e−Ka = q(A sin qa + B cos qa)
(III)
−KC2 e−Ka = q(−A sin qa + B cos qa)
III/I ⇒ K = q
IV /II ⇒ K = q
(IV )
A sin qa + B cos qa
(∗)
A cos qa − B sin qa
A sin qa − B cos qa
(∗∗)
A cos qa + B sin qa
∗ = ∗∗ ⇒ (A sin qa+B cos qa)(A cos qa+B sin qa) = (A sin qa−B cos qa)(A cos qa−B sin qa)
AB (sin2 qa + cos2 qa) = −AB (sin2 qa + cos2 qa)
|
|
{z
}
{z
}
1
1
⇒ 2AB = 0 d.h. A = 0 oder B = 0
1.Fall A = 0
I/II ⇒ C1 e−Ka = −B sin qa
C2 e−Ka = B sin qa
⇒ C1 = −C2
ungerade bzw. antisymmetrische Lösung: ϕ(−x) = −ϕ(x)
34
Skript Physik C
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UPB WS 07/08
2.Fall B = 0
I/II ⇒ C1 e−Ka = A cos qa
C2 e−Ka = A cos qa
⇒ C1 = C2
gerade bzw. symmetrische Lösung: ϕ(−x) = ϕ(x)
jetzt symmetrische Lösung:
ϕ1 (x) = C1 eKx
x < −a
ϕ2 (x) = A cos qx
−a<x<a
ϕ3 (x) = C1 e−Kx
x>a
mit K > 0, C1 e−Ka = A cos qa (I)
A bzw. C1 durch Normierung festzulegen
III/I ⇒
K
= tan(qa)
q
(∗)
weitere Bedingung an Wellenfunktion, jetzt auswerten:
mit k02 =
2m
V
~2 0
folgt aus Definition von k und q:
q 2 = k02 − K 2
(∗) · a ⇒ K · a = qa tan(qa)
p
(k0 a)2 − (qa)2 = qa tan(qa)
| {z }
y
⇒ (qa)2 + y 2 = (k0 a)2
35
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graphische Lösung:
Offensichtlich wächst die Anzahl der Lösungen mit der Tiefe des Potentialgrabends. Es
gibt mindestens eine symmetrische Lösung!
Jetzt antisymmetrische Lösung
ϕ1 = C1 eKx x < −a
ϕ2 = B sin qx
−a<x<a
ϕ3 = −C1 eKa x > a
mit K > 0, C1 e−Ka = −B sin qa (I)
durch Normierung festzulegen
III/I ⇒
K
= − cot(qa) (∗)
q
weitere Bedingung an WF, jetzt auszuwerten:
(∗) · a ⇒
K ·a
√ | {z2 }
=
(k0 a) −(qa)2
mit k02 =
= − qa cot(qa)
| {z }
2m
V
~2 0
y 2 + (qa)2 = (k0 a)2
36
y
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graphische Lösung (hier zusammen mit dem vorigen Fall, man sieht das sich gerade und
ungerade Zustände abwechseln):
Anzahl der Lösungen wächst wieder mit Tiefe des Potentialgrabends. Allerdings kann
auch keine antisymmetrische Lösung existieren! (Übung: unendlich tiefer Potentialtopf)
4 Einführung in die Axiomatik der Quantenmechanik
4.1 Der Hilbert-Raum
1. Axiom der Quantenmechanik:
Physikalische
Zustände
quantenmechanischer
Systeme
werden
durch
1D-
Unterräume eines separablen Hilbert-Raums dargestellt, d.h. durch sogenannte Zustandsvektoren |Ψi. Der auf 1 normierte Zustandsvektor ist im allg. der
Repräsentant des jeweiligen Quantenzustands.
Bem.:
• Zustandsvektoren α |Ψi mit α 6= 0 phys. gleichwertig
• Ψ(x) bzw. ϕ(p) sind spezielle Darstellungen des Quantenzustands, die sich aus |Ψi
gewinnen lassen
Der Hilbert-Raum H ist ein linearer, separabler und vollständiger komplexer Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt definiert ist.
Linerarität:
• |Ψ1 i , |Ψ2 i ∈ H =⇒ |Ψ1 i + |Ψ2 i ∈ H
37
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• |Ψi ∈ H ⇒ α |Ψi ∈ H mit α ∈ C
insbesondere gilt:
• |Ψ1 i + |Ψ2 i = |Ψ2 i + |Ψ1 i
• |Ψ1 i + {|Ψ2 i + |Ψ3 i} = {|Ψ1 i + |Ψ2 i} + |Ψ3 i
• a(b |Ψi) = (ab) |Ψi
• a(|Ψ1 i + |Ψ2 i) = a |Ψ1 i + a |Ψ2 i
⇒ |Ψi ∈ H ⇒ − |Ψi ∈ H
|Ψi + (− |Ψi) = |0i .. Nullelement von H
gilt: |Ψi + |0i = |Ψi ; 0 |Ψi = |0i
Skalarprodukt: Ist eine Abbildung, die |Ψi , |ϕi ∈ H eine komplexe Zahl hϕ |Ψi zuordnet,
wobei gilt:
hϕ|Ψi = hΨ|ϕi∗
für alle a ∈ C :
hϕ|aΨi = a hϕ|Ψi
Skalarprodukt linear: hϕ|Ψ1 + Ψ2 i = hϕ|Ψ1 i + hϕ|Ψ2 i
wegen Definition:
hΨ|Ψi ∈ R
über Skalarprodukt läßt sich Norm ||Ψ|| eines Vektors |Ψi definieren:
||Ψ||2 = hΨ|Ψi
• |Ψi heißt normiert, wenn gilt ||Ψ|| =
• Normierungsvorschrift |Ψi →
p
hΨ|Ψi = 1
|Ψi
||Ψ||
• Ein Satz von normierten (vom Nullvektor verschiedenen) Zustandsvektoren |Ψ1 i
... |Ψn i heißt orthonormal, wenn für zwei beliebige Elemente |Ψi i und |Ψj i gilt:
hΨi |Ψj i = δij
Seperabilität: Ein Raum heißt seperabel, wenn in ihm eine abzählbare dichte Teilmenge
existiert.
38
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⇒ können zu jedem |Ψi ∈ H eine Folge |Ψ1 i , |Ψ2 i konstruieren, die limn→∞ |Ψn i = |Ψi
erfüllt. (Bem.: Rationale Zahlen sind abzählbar dichte Teilmenge der reellen Zahlen)
⇒ In jedem Hilbert-Raum existiert eine Menge von Basisvektoren |α1 i , |α2 i , ..., die den
ganzen Raum aufspannen. Jeder Zustand |Ψi ∈ H ist durch Basiselemente darstellbar:
∞
X
|Ψi =
ak |αk i
k=1
i.allg.ONB: hαk |αl i = δkl
Komponenten ak aus Skalarproduktbildung
∞
X
hαk |Ψi =
l=1
al hαk |αl i = ak
| {z }
δkl
jetzt Komponenten einsetzen
|Ψi =
∞
X
ak |αk i =
k=1
X
hαk |Ψi |αk i
k
∞
X
=
|αk i hαk |Ψi
k=1
⇒
X
ˆ
|αk i hαk | = I..Identitätsoperator
k
Bem.: Damit diese Darstellung des Identitätsoperators in jeder Basis existiert, muß die
Vollständigkeit des Hilbertraums vorausgesetzt sein. D.h. der Raum darf keine "Löcher"
√
haben, wie z.B. 2 in der Menge der rationalen Zahlen.
Skalarprodukt in Komponentendarstellung:
|ϕi =
X
ak |αk i ; |Ψi =
bl |αl i
l
k
⇒ hϕ|Ψi =
X
X
k,l
a∗k bl hαk |αl i =
| {z }
δkl
X
a∗l bl
l
4.2 Operatoren im Hilbert-Raum
Der Zustandsvektor |Ψi enthält alle Informationen über den physikalischen Zustand
des qm Systems. Wie kommt man von |Ψi zu den physikalischen Observablen wie Ort,
Impuls, Energie usw.?
39
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2. Axiom der Quantenmechanik:
Jeder Observablen entspricht ein hermitescher Operator. Ort-und Impulsoperatoren
erfüllen Vertauschungsrelationen:
ˆ jk
[xˆj , pˆk ] = i~Iδ
[pˆj , pˆk ] = 0 = [xˆj , xˆk ]
Formal ist Operator  eine Vorschrift, die einem Element des Hilbert-Raumes ein anderes
Element zuordnet:
E
|ϕi = Â |Ψi ≡ ÂΨ , |ϕi , |Ψi ∈ H
 linear: Â(a |Ψ1 i + b |Ψ2 i) = a |Ψ1 i + b |Ψ2 i
(Bem.: In der Quantenmechanik sind nur lineare Operatoren relevant, weil Zustände
superpositioniert werden können)
Summe von Operatoren: (Â + B̂) |Ψi = Â |Ψi + B̂ |Ψi = B̂ |Ψi + Â |Ψi = (B̂ + Â) |Ψi
Produkt von Operatoren: (ÂB̂) |Ψi = Â(B̂ |Ψi) 6= B̂(Â |Ψi) (i.allg.)
h
i
Kommutator: Â, B̂ = ÂB̂ − B̂ Â
Für den zu  gehörigen adjungierten Operator Â+ gilt:
D
E D
E
ϕ|ÂΨ = Â+ ϕ|Ψ ∀ |ϕi , |Ψi ∈ H
• (Â + B̂)+ = Â+ + B̂ +
• (Â+ )+ = Â
• (aÂ)+ = a∗ Â+
• (ÂB̂)+ = B̂ + Â+
Ein Operator heißt selbstadjungiert oder hermitesch, falls Â+ = Â.
40
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Identitätsoperator: Iˆ |Ψi = |Ψi ∀ |Ψi ∈ H
Projektionsoperator P̂s : von H auf Unterraum S, der durch N Basisvektoren |αi i , i =
1, .., N aufgespannt wird
P̂s |αi i = |αi i i = 1, ..., N
P̂s |αi i = |0i i = N + 1, ..., ∞
klar: P̂s2 = P̂s
D
E
Unitäre Operator: lassen Skalarprodukt invariant, d.h. hϕ|Ψi = Û ϕ|Û Ψ für Û unitär.
klar: Û + = Û −1
Matrixdarstellung von Operatoren in einer Basis
betrachten  : |ϕi =  |Ψi
P
entwickeln: |Ψi = n Cn |αn i,
X
|ϕi =
dn |αn i = Â
n
X
n
P
n
dn |αn i damit
X
Cn |αn i | · hαm |
n
dm hαm |αn i =
| {z }
X
n
δmn
D
E
Cn αm |Âαn
| {z }
Amn
Amn = Matrixelement von  in Basis {|αn i}
X
⇒ dm =
Amn Cn
n
damit Matrixgleichung gefunden:





d
A
A12 ...
C
 1   11
 1 

 


 d2  =  A21
  C2 

 


..
..
..
.
.
.
| {z } |
{z
} | {z }
|ϕi
Â
|Ψi
Matrixelement von Â+
mn ?
D
E D
E D
E∗
+
Â+
=
α
|
Â
α
=
Âα
|α
=
α
|
Âα
= Â∗nm
m
n
m
n
n
m
mn
41
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Eigenwerte und Eigenvektoren von Operatoren
Falls gilt: Â |Ψi = a |Ψi mit a ∈ C
⇒ |Ψi Eigenvektor (EV) zum Eigenwert (EW) a von Â
Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell
Beweis:
Â+ |Ψi = Â |Ψi = a |Ψi | hΨ|
D
E D
E
+
Ψ|Â Ψ = ÂΨ|Ψ = a∗ hΨ|Ψi
|D {z E}
Ψ|ÂΨ
| {z }
ahΨ|Ψi
⇒ a = a∗
Eigenwertspektrum: Gesamtheit aller EW eines Operators
 |Ψn i = an |Ψn i
an .. n-ter EW, |Ψn i .. n-ter EV
Bei Entartung gehören zu einem EW an mehrere linear unabhängige EV |αnα i mit
α = 1, 2, · · · Mn , dabei ist α = Erwartungsindex und Mn = Grad der Entartung
Jede Linearkombination von entarteten EV ist wieder ein EV zum gleichen EW.
Beweis: Bilden Linearkombination
|ϕn i =
Mn
X
Cnα |Ψnα i
a=1
wenden
Â
an
 |ϕn i =
X
α
Cnα Â |Ψnα i = an
| {z }
an |Ψnα i
42
X
Cnα |Ψnα i
α
|
{z
|ϕn i
}
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Eigenvektoren von hermiteschen Operatoren, die zu verschiedenen
EW gehören, sind orthogonal.
Beweis:
 |Ψ1 i = a1 |Ψ1 i ;  |Ψ2 i = a2 |Ψ2 i
D
E
Ψ2 |ÂΨ1 = a1 hΨ2 |Ψ1 i
D
E D
E∗
+
= Â Ψ2 |Ψ1 = Ψ1 |ÂΨ2 = a∗2 hΨ1 |Ψ2 i∗ = a2 hΨ2 |Ψ1 i
⇒ 0 = (a2 − a1 ) hΨ2 |Ψ1 i ⇒ hΨ2 |Ψ1 i = 0
| {z }
6=0
Eigenzustände von hermiteschen Operatoren mit diskretem
Eigenwertspektrum bilden ein vollständiges Orthogonalsystem
(VONS).
Beweis: Hilbert
⇒ Können jeden Vektor |Ψi ∈ H nach Eigenzuständen eines hermiteschen Operators Â
entwickeln.
|Ψi =
X
Cn |Ψn i
n
Darstellung von  in {|Ψi}?
D
E
Anm = Ψn |ÂΨm = am hΨn |Ψm i = am δnm
| {z }
δnm
d.h. hermitesche Operatoren sind in Eigendarstellung diagonal.
4.3 Dirac-Schreibweise
bisher Zustandsvektor |Ψi → ket-Vektor |Ψi
dualer (adjungierter) Vektor |Ψi+ → bra-Vektor hΨ|
(Erinnerung lineare Algebra: Vektoren hχ| des dualen Raums sind Linearformen χ(|Ψi)
die auf dem Raum der Vektoren |Ψi definiert sind)
Skalarprodukt → hbra |·| keti
Bem.:
hΨ|ϕi = hΨ| · |ϕi
43
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= |Ψi+ hϕ|+
= (hϕ| · |Ψi)+
= hϕ|Ψi∗
→ für komplexe Zahlen ist die Adjungation und die komplexe Konjugation identisch;
konsistent mit Einführung des Skalarprodukts früher
|keti hbra| → "dyadisches Produkt", ist Operator
Ω̂ = |Ψi hϕ|
Ω̂+ = (|Ψi hϕ|)+ = hϕ|+ |Ψi+ = |ϕi hΨ|
Ω̂ |χi = |Ψi
D
hϕ|χi
| {z }
Skalarprodukt
E
Φ|Ω̂|χ = hΦ|Ψi hϕ|χi
speziell: |ϕi hϕ| = P̂ϕ .. Projektionsoperator auf |ϕi, projeziert |ϕi - Komponente aus
Vektor |Ψi heraus:
früher (IV.2): P̂s projeziert auf Unterraum von H, der durch Basis {|αi i} i = 1, ..., N
aufgespannt wird.
Jetzt explizite Darstellung mit Dirac-Schreibweise möglich:
P̂s =
k=1
X
|αk i hαk |
N
früher (IV.2): Matrixdarstellung eines Operators  durch
D
E
Amn = Ψm |Â|Ψn
44
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gewonnen. Jetzt: Operator aus Matrixdarstellung gewinnen:
 = IˆÂIˆ =
X
|Ψm i hΨm | Â
X
m
=
X
mn
|Ψn i hΨn |
n
D
E
|Ψm i Ψm |ÂΨn hΨn |
|
{z
}
Amn
für beliebige Orthonormalbasis {|Ψn i}
jetzt speziell: Basis der EV von Â, d.h. Â |Ψn i = an |Ψn i
⇒ Amn = an δmn
⇒ Â =
X
|Ψm iδmn an hΨn | =
X
mn
|Ψn i an hΨn |
n
X
=
an |Ψn i hΨn |
n
=
X
an P̂n
n
Spektral- oder Eigendarstellung eines Operators
 =
X
an P̂n
n
Bem.: Für beliebige Funktion f (Â) gilt:
f (Â) =
X
f (an ) |Ψn i hΨn |
n
mit an , |Ψn i EW und EV von Â
Beweisidee:
• betrachten
Â2 =
X
an |Ψn i hΨn |
n
=
X
m,n
X
am |Ψm i hΨm |
m
an am |Ψn i hΨn |Ψm i hΨm |
| {z }
δmn
=
X
a2n |Ψn i hΨn |
n
45
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• analog
Âk =
X
akn |Ψn i hΨn |
n
• Taylorentwicklung von f (Â) = f (0) + f 0 (0) · Â + 21 f 00 (0) · Â2 + . . .
• jeden Summanden einzeln behandeln wie oben
Warum ist die Spektraldarstellung von Operatoren interessant?
3. Axiom der Quantenmechanik:
Das Spektrum jedes hermiteschen Operators entspricht der Menge der
zulässigen Meßwerte der zugehörigen Observablen.
Wie bestimmt man den zu einer Observablen zugehörigen Operator?
starten von den Basisobservablen x → x̂ und p → p̂
(I) klassische, physikalische Größen der Form A = A1 (x) + A2 (p) → Â = A1 (x̂) + A2 (p̂)
(II) alle anderen Fälle (z.B. A = A(x · p)
→ basteln so lange, bis Ergebnis mit empirischen Befunden übereinstimmt
Bsp. für (I): Drehimpuls
klassisch: L̄ = x̄ × p̄
ˆ = x̄ˆ × p̄ˆ
quantenmechanisch: L̄
d.h. Komponentenweise L̂i = ijk x̂j p̂k
Bem.: ∃ qm. Observable ohne klassisches Analogon, z.B. Spin (später)
Wie kommt man zu einer allgemeinen Darstellung der Basisobservablen Ort und Impuls?
4.4 Darstellungstheorie
Für Orts- und Impulsoperator gelten die Eigenwertgleichungen
x̂ |xi = x |xi
p̂ |pi = p |pi
46
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mit EW x, p und EV |xi, |pi
Definieren Translationsoperator
i
T̂ (β) = e− ~ β p̂ Parameter β ∈ R
−i
i
+
T̂ + (β) = e( ~ β p̂) = e ~ β p̂ = T̂ (−β) = T̂ −1 (β)
(wegen p̂ hermitesch)
⇒ T̂ unitär
2.Axiom der QM: [x̂, p̂] = i~
kann verallgemeinert werden auf
[x̂, g(p̂)] = i~
dg(p̂)
dp̂
(Beweis über Taylor-Reihe und vollständige Induktion)
Anwendung hier
h
i
dT̂ (β)
x̂, T̂ (β) = i~
= β T̂ (β)
dp̂
h
i
x̂, T̂ (β) |xi = β T̂ (β) |xi
= x̂T̂ (β) |xi − T̂ x̂ |xi
|{z}
x|xi
⇒ x̂T̂ (β) |xi = (x + β)T̂ (β) |xi
d.h. auch T̂ (β) |xi ist EV von x̂ mit EW (x + β)
in eingeführter Notation T̂ (β) |xi = |x + βi
mit T̂ (β) kann beliebiger Eigenvektor des Ortsoperators erzeugt werden
⇒ Ortsoperator hat kontinuierliches Spektrum
Insbesondere kann EV |xi erzeugt werden
|xi = T̂ (x)
|x = 0i
| {z }
EV zum EW x=0
D
E
hx|xi = x = 0|T̂ + (x)T̂ (x)|x = 0
T̂ unitär
47
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D
E
hx|xi = x = 0|T̂ −1 T̂ |x = 0
= hx = 0|x = 0i
d.h. |xi = T̂ (x) |x = 0i normiert, wenn |x = 0i normiert ist
Analog kann mit Translationsoperator
i
Ĝ(α) = e ~ αx̂
α∈R
jeder beliebiger Impulseigenvektor
|pi = Ĝ(p) |p = 0i
erzeugt werden.
x̂, p̂ hermitesch → orthogonale EV
Wegen kontinuierlicher Eigenwertspektren genügen die Basisvektoren {|xi} und {|pi}
der verallgemeinerten Orthonormalitätsbedingung.
hx|x0 i = δ(x − x0 )
hp|p0 i = δ(p − p0 )
früher (3.2):
f (Â) =
X
f (an ) |Ψn i hΨn |
n
verallgemeinern jetzt auf kontinuierliches Spektrum, damit:
Z
f (Â) = daf (a) |Ψa i hΨa |
speziell:
Z
i
dp |pi e− ~ xp hp| (∗)
Z
i
Ĝ(p) = dx |xi e ~ xp hx|
T̂ (x) =
jetzt Impuls-EV |pi in Ortsdarstellung angeben:
D
E
hx|pi = x = 0|T̂ + (x)|p
48
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D
E
= x = 0|T̂ (−x)|p
Z
i
0
(∗)
=
dp0 hx = 0|p0 ie ~ xp hp0 |pi
| {z }
δ(p−p0 )
i
= e ~ xp hx = 0|pi
| {z }
?
gilt
0
Z
0
δ(p − p ) = hp|p i =
dx hp|xi hx|p0 i
| {z } | {z }
∗
∗∗
(oben berechnet)
i
∗ = e− ~ xp hp|x = 0i
i
0
∗∗ = e ~ xp hx = 0|p0 i
damit
0
Z
δ(p − p ) =
i
0
dxe ~ x(p −p) hp|x = 0i hx = 0|p0 i
= 2π~δ(p − p0 )| hp|x = 0i |2
⇒ Normierbarkeit erfordert hx = 0|pi =
√1
2π~
Darstellung der Eigenzustände |pi des Impulsoperators p̂ in Ortsdarstellung, d.h. in Basis {|xi} des Ortsoperators
hx|pi = √
i
1
e ~ xp
2π~
ohne Rechnen (komplexe Konjugation)
Impulsdarstellung der Eigenzustände |xi des Ortsoperators
hp|xi = √
i
1
e− ~ xp
2π~
Brauchen noch allg. Zustände |Ψi sowie Operatoren in Orts- und Impulsdarstellung.
Ortsdarstellung von |Ψi
Z
Ψ(x) := hx|Ψi =
dp hx|pi hp|Ψi
| {z } | {z }
i xp
√1 e~
2π~
49
ϕ(p)
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geht durch FT aus Impulsdarstellung hervor
Z
i
1
Ψ(x) = √
dpe ~ xp ϕ(p)
2π~
analog umgekehrt
Z
i
1
ϕ(p) = √
dxe− ~ xp Ψ(x)
2π~
Das heißt, daß der Formalismus konsistent mit der heuritischen Einführung (2.2) ist.
Einnerung Interpretation:
• | hx|Ψi |2 = |Ψ(x)|2 .. Wahrscheinlichkeitsdichte bei Ortsmessung an einem Quantensystem im Zustand |Ψi den EW x zum Ortsoperator x̂ zu messen
• | hp|Ψi |2 = |ϕ(x)|2 .. Wahrscheinlichkeitsdichte bei Impulsmessung den EW p zum
Impulsoperator p̂ zu messen
Orts- und Impulsdarstellung von Operatoren
Ortsoperator x̂
• In Ortsdarstellung
hx|x̂|x0 i = hx|x0 |x0 i = x0 hx|x0 i = x0 δ(x − x0 )
| {z }
δ(x−x0 )
formal korrekt, aber unüblich
x̂
einfacher: starten von Abb. |Ψi → |ϕi , d.h.
|ϕi = x̂ |Ψi | hx|
Z
hx|ϕi = hx|x̂|Ψi = dx0 hx|x̂|x0 i hx0 |Ψi = xΨ(x)
| {z }
| {z } | {z }
x0 δ(x−x0 )
ϕ(x)
Ψ(x0 )
d.h. ϕ(x) = xΨ(x)
Damit können wir die Zuordnung x̂ → x treffen (konsistent mit heuristischer Einführung in 2.2).
• In Impulsdarstellung
~ d
δ(p − p0 )
i dp0
~ d
bzw. x̂ → −
(Übung)
i dp
hp|x̂|p0 i = −
50
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Impulsoperator p̂
• In Ortsdarstellung
p̂
starten von Abb. |Ψi → |ϕi d.h.
|ϕi = p̂Ψ hx|
hx|ϕi = hx|p̂Ψi
Z
dx0 hx|p̂|x0 i hx0 |Ψi (∗)
| {z }
gesucht!
Z
dp0 hx|p̂|p0 i
| {z }
hx|p0 |p0 i
| {z }
p0 hx|p0 i
| {z }
=
Z
=
dx
0
hp0 |x0 i
| {z }
hx0 |Ψi
− i x0 p0
√1 e ~
2π~
i xp0
p0 √ 1 e ~
2π~
Z
=
dx0 dp0
1 0 i p0 (x−x0 ) 0
p e~
hx |Ψi
2π~ | {z }
i
~ d ~ p0 (x−x0 )
e
i dx
Z
d
dx
i dx
0~
=
dp0 i p0 (x−x0 ) 0
e~
hx |Ψi
2π~
|
{z
}
Z
δ(x−x0 )
vgl. mit (∗)
⇒ hx|p̂|x0 i =
~ d
δ(x − x0 )
i dx
Formal korrekt, läßt sich aber vereinfachen - führen Integration in (∗) aus
Z
~ d
hx|ϕi = dx0
δ(x − x0 ) hx0 |Ψi
| {z }
| {z }
i dx
Ψ(x0 )
ϕ(x)
⇒ ϕ(x) =
damit Zuordnung p̂ →
~ d
i dx
~ d
Ψ(x)
i dx
aus 2.2 bestätigt!
• In Impulsdarstellung
hp|p̂|p0 i = pδ(p − p0 )
bzw. p̂ = p (Beweis: Übung)
51
Skript Physik C
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UPB WS 07/08
Bem.:
• können aus x̂ und p̂ zusammengesetzte Operatoren Â(x̂, p̂) ebenfalls in Orts- oder
Impulsdarstellung ausdrücken, z.B. Ortsdarstellung
~ d
Â(x̂, p̂) → A x,
i dx
• Orts- und Impulsdarstellung sind nur zwei Möglichkeiten die QM zu formulieren.
Prinzipiell können wir Zustände |Ψi und Operatoren  in einer beliebigen Basis
{|ϕn i} darstellen. Oft ist z.B. die Energiedarstellung, d.h. die Entwicklung nach
EV des Hamiltonoperators zielführend.
⇒ sinnvoll, die Born’sche Wahrscheinlichkeitsinterpretation (die sich auf die Ortsdarstellung bezieht) auf eine beliebige Darstellung zu erweitern:
4. Axiom der Quantenmechanik:
Ist {|ϕn i} eine vollständige Basis, die aus den EV einer Observablen A
besteht, so daß Â |ϕn i = an |ϕn i gilt, dann ist | hϕn |Ψi |2 die Wahrscheinlichkeit, daß im qm. Zustand |Ψi bei einem Experiment der Eigenwert
an gemessen wird.
4.5 Meßprozeß in der Quantenmechanik
früher (II.1) Erwartungswerte beliebiger Funktionen des Orts f (x) und des Impulses
g(p) bestimmt
Z
¯
f = dxΨ∗ (x)f (x)Ψ(x)
Z
~ d
∗
ḡ = dxΨ (x)g
Ψ(x)
i dx
verallgemeinern jetzt auf Erwartungswert Ā einer Observablen A in Ortsdarstellung
Z
~ d
∗
Ā = dxΨ (x)A x,
Ψ(x)
i dx
Z
Z
D
E
0
0
= dx dx hΨ|xi x|Â|x hx0 |Ψi
52
Skript Physik C
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d.h.
D
E
Ā = Ψ|Â|Ψ
darstellungsfreier Ausdruck des Erwartungswertes
bestimmt durch:
• Â .. hermitescher Operator
• |Ψi .. qm. Zustand
Ā reell:
D
E D
E D
E∗
Ā = Ψ|Â|Ψ = ÂΨ|Ψ = Ψ|ÂΨ = Ā∗
Erwartungswert =
ˆ Mittelwert einer Vielzahl von Messungen des Zustands |Ψi
Wie kann |Ψi so präpariert werden,
daß jede Messung auf Ā führt?
q
Fordern, daß Streuung ∆A = (Â − Ā)2 verschwindet!
D
E
D
E
!
⇒ 0 = (∆A)2 = (Â − Ā)2 = Ψ|(Â − Ā)2 |Ψ
=
(
Â
−
Ā)Ψ|(
Â
−
Ā)Ψ
|{z}
 hermitesch
!
⇒ ||(Â − Ā)Ψ > || = 0
⇒ Â |Ψi = Ā |Ψi
D.h. stimmt bei qm. Messung der Erwartungswert mit den Ergebnissen der Einzelmessung überein, dann ist |Ψi ein EV von  und gemessen wird der EW von Â!
Zwei Messungen kurz hintereinander müssen zum selben Ergebnis kommen (sonst macht
Messen keinen Sinn). Das heißt, daß das Ergebnis der zweiten Messung schon vorher feststeht!
⇒ ∆A = 0 ⇒ messen Eigenwert von  (Argumentation von oben)
⇒ Das heißt, daß das Ergebnis der 1. Messung auch schon ein EW von  gewesen sein
muß.
⇒ D.h. 1. Messung hat Zustand |Ψi so beeinflußt, daß sich nach der Messung das System
in einem Eigenzustand von  befindet.
⇒ Meßprozeß führt zum Kollaps der Wellenfunktion.
53
Skript Physik C
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5. Axiom der Quantenmechanik:
Unmittelbar nach einer Messung der Observablen A mit dem Meßresultat
a befindet sich das System sicher im Zustand |ai.
D.h. vor der Messung ist das System in einem Zustand |Ψi. Messen Observable A,
die durch  ausgedrückt wird. EV von  bilden ONS {|ϕn |}, können |Ψi nach {|ϕn i}
entwickeln
|Ψi =
X
hϕn |Ψ|ϕn i
n
Erwartungswert der Messung
D
E X
D
E
Ā = Ψ|Â|Ψ =
hΨ|ϕn i ϕn |Â|ϕm hϕm |Ψi
|
{z
}
n,m
hϕn |am |ϕm i
{z
}
|
am δnm
=
X
an | hϕn |Ψi |2
n
an - mögliche Meßwerte
| hϕn |Ψi |2 - Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Meßwerte
Nach der 1. Messung ist das System mit Wahrscheinlichkeit | hϕn |Ψi |2 im Zustand |ϕn i,
d.h. Wellenfunktion ist kollabiert, eine weitere Messung ergibt mit Sicherheit den Meßwert an .
4.6 Zeitliche Evolution
4.6.1 Zeitentwicklungsoperatoren und Bilder
zeitliche Entwicklung der Zustände durch SG bestimmt
i~
d
|Ψi = Ĥ(x̂, p̂) |Ψi
dt
Wahrscheinlichkeit kann nicht verloren gehen, d.h. Norm von |Ψi bleibt erhalten, d.h.
Ĥ
|Ψ(t0 )i → |Ψ(t)i muß durch unitären Operator darstellbar sein.
54
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|Ψ(t)i = Û (t, t0 ) |Ψ(t0 )i
mit Û (t, t0 ) = Zeitentwicklungsoperator, unitär
Einsetzen in SG:
i~
∂
Û (t, t0 ) = Ĥ Û (t, t0 )
∂t
falls Ĥ nicht zeitabhängig, gilt:
i
Û (t, t0 ) = e− ~ Ĥ(t−t0 )
Es ist oft sinnvoll Û in Energiedarstellung anzugeben
Ĥ |ϕn i = En |ϕn i
E
D
i
i
Umn = ϕm |e− ~ Ĥ(t−t0 ) |ϕn = e− ~ En (t−t0 ) δmn
damit
D
E
hϕm |Ψ(t)i = ϕm |Û (t, t0 )|Ψ(t0 )
X
=
Umn (t, t0 ) hϕn |Ψ(t0 )i
n
i
= e− ~ Em (t−t0 ) hϕm |Ψ(t0 )i
D.h. Koeffizienten hϕm |Ψ(t)i oszillieren mit Eigenfrequenz ωm =
Em
~
.
Schrödingerbild:
i~
d
|Ψs (t)i = Ĥs |Ψs (t)i
dt
zeitliche Änderung wird durch unitären Operator Û beschrieben:
|Ψs (t)i = Û (t, t0 ) |Ψs (t0 )i
i
mit Û (t, t0 ) = e− ~ Ĥ(t−t0 )
(bisher immer im Schrödingerbild)
Operatoren sind im Schrödingerbild zeitunabhängig (allenfalls explizit zeitabhängig).
D.h.
d
∂
˙
Âs = Âs = Âs
dt
∂t
55
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Zeitabängigkeit von Matrixelementen
E
d D
i
∂
i
Ψs |Âs |φs = −
ĤΨs |Âs |φs + Ψs | Âs |φs + Ψs |Âs | − Ĥφs
~
∂t
~
|dt D {z E }
ˆ |φ
=: Ψs |Ȧ
s s
i
i
∂
= Ψs | ĤAs + As − Âs Ĥ|φs
~
∂t
~
h
i
i
∂
= Ψs | Ĥ, Âs + Âs |φs
~
∂t
h
i
∂
i
˙
Ĥs , Âs + Âs 6= Âs
⇒ Ȧˆs =
~
∂
Ȧˆs = Operator der zeitlichen Änderung der Observablen A
˙
Âs = zeitliche Änderung des Operators der Observablen A
Heisenbergbild
Zustände zeitunabhägig, Operatoren zeitabhängig
D
E
Ψs (t)|Âs |φs (t) = hΨs (t0 )| Û + (t, t0 )Âs Û (t, t0 )| |φs (t0 )i
| {z } |
{z
} | {z }
hΨH |
ÂH (t)
i
|φH i
i
ÂH (t) = e ~ Ĥ(t−t0 ) Âs e− ~ Ĥ(t−t0 )
ÂH und |φH i ... Operatoren und Zustände im Heisenbergbild
offensichtlich Ĥs = ĤH = Ĥ
es gilt (Übung):
i ∂
ih
˙
Â(t) =
Ĥ, ÂH (t) + ÂH = Ȧˆ
~
∂t
Wechselwirkungs- oder Dirac-Bild : sowohl Zustandsvektoren als auch Operatoren zeitabhängig, angewendet in Fällen wo
Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1
Ĥ0 - zeitunabhängig
Ĥ1 - zeitabhängige Störung
i
Annahme: Ĥ1 = 0, dann Zeitabhängigkeit bestimmt durch Û0 (t, t0 ) = e− ~ Ĥ0 (t−t0 )
|Ψs (t)i = Û0 (t, t0 ) |Ψ(t0 )i
56
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falls Ĥ1 (t) 6= 0, dann muß Gleichung modifiziert werden; Ansatz:
|Ψs (t)i = Û0 (t, t0 )
|ΨW (t)i
| {z }
Zustandsvektor im WW-Bild
damit in SG:
i~
d
|Ψs (t)i = (Ĥ0 + Ĥ1 ) |Ψs (t)i
dt
unter Ausnutzung von
i
d
i
i
d i
Û0 (t, t0 ) = e− ~ Ĥ0 (t−t0 ) = − Ĥ0 e− ~ Ĥ0 (t−t0 ) = − Ĥ0 Û0
dt
dt
~
~
folgt (Produktregel):
i
d
i~ −
Ĥ0 |Ψs i + i~Û0 |ΨW i = Ĥ0 + Ĥ1 |Ψs i
~
dt
i~Û0
i~
d
|ΨW i = Ĥ1 |Ψs i |Û0+
dt
d
|ΨW (t)i = Û0+ Ĥ1 Û0 |ΨW (t)i
| {z }
dt
Ĥ1W (t)
D.h. Zeitabhängigkeit des Zustandsvektors durch Störung Ĥ1 (t) getrieben
i~
d
|ΨW (t)i = Ĥ1W (t) |ΨW (t)i
dt
Zeitabängigkeit der Operatoren
ÂW (t) := Û0+ (t, t0 )Âs Û0 (t, t0 )
bestimmt durch
i ∂
d
ih
ÂW (t) =
Ĥ0 , ÂW (t) + ÂW (t) (Übung)
dt
~
∂t
d.h. durch zeitunabhängigen Operator Ĥ0
Bem.: Dirac-Bild besonders relevant für praktische Rechnungen!
6. Axiom der Quantenmechanik:
Die Zeitenwicklung eines qm. Zustands wird durch qm. Evolutionsgleichung bestimmt.
Bem.: (hier, Physik C) SG, für relativistiche Teilchen Dirac-Gleichung oder Klein-GordonGleichung
57
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4.7 Unschärferelation
4.7.1 Vertauschbare Operatoren
h
i
Satz: Sind  und B̂ vertauschbare, hermitesche Operaoren, d.h. Â, B̂ = 0, so lassen
sich immer gemeinsame Eigenzustände finden, die sowohl  |ϕi = a |ϕi als auch B̂ |ϕi =
b |ϕi erfüllen.
Beweis für nichtentartete Eigenwerte
EV |Ψn i von  erfüllen
 |Ψn i = an |Ψn i
|B̂
B̂ Â |Ψn i = Â B̂ |Ψn i = an B̂ |Ψn i
| {z }
| {z }
Ψ̃
| ni
|Ψ̃n i
E
⇒ B̂ |Ψn i = Ψ̃n ebenfalls EV von  zum EW an
E
keine Entartung vorausgesetzt!, d.h. Ψ̃n || |Ψn i
E
⇒ |Ψn i muß wegen B̂ |Ψn i = Ψ̃n ebenfalls EV von B̂ sein, d.h. B̂ |Ψn i = bn |Ψn i
Konsequenzen für Meßprozeß?
falls |Ψi gemeinsamer EV von  und B̂, dann folgt
2 2
(∆A) = Ψ| Â − Ā |Ψ = 0 = (∆B)2
d.h. man kann die Observablen A und B gleichzeitig beliebig genau messen
Bem.: gegebenenfalls muß das qm. System erst geeignet präpariert werden, um in einem
Eigenzustand zu sein
4.7.2 Nichtvertauschbare Operatoren
D
E
(∆A) = Â − Ā Ψ | Â − Ā Ψ = hu|ui
|
{z
} |
{z
}
2
hu|
|ui
E
(∆B) = B̂ − B̄ Ψ | B̂ − B̄ Ψ = hv|vi
|
{z
} |
{z
}
2
D
hv|
|vi
58
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es gilt die Schwarz’sche Ungleichung
hu|ui hv|vi ≥ | hu|vi |2
damit hier (mit α, β ∈ R)
(∆A) (∆B) ≥ | hu|vi | = |
hu|vi + hv|ui hu|vi − hv|ui
|
+
2
2
|
{z
} |
{z
}
α
= |α + iβ| =
iβ
p
α2 + β 2 ≥ |β|
⇒ (∆A) (∆B) ≥
1
|hu|vi − hv|ui|
2
es gilt:
hu|vi − hv|ui =
D
D
E D
E
 − Ā Ψ| B̂ − B̄ Ψ − B̂ − B̄ Ψ|  − Ā Ψ
E
= Ψ| Â − Ā B̂ − B̄ − B̂ − B̄ Â − Ā Ψ
D
E
= Ψ|ÂB̂ − B̂ Â|Ψ
D h
i E
= Ψ| Â, B̂ |Ψ =: [A, B]
1
⇒ (∆A)(∆B) ≥ [A, B]
2
verallgemeinerte HUR
D.h. wenn zwei Operatoren nicht vertauschen, können wir die zugehörigen Observablen
nicht gleichzeitig (also für dasselbe |Ψi!) messen.
Beispiele
• HUR, [p̂, x̂] = ~i Iˆ
→ (∆x)(∆p) ≥
~
2
(vgl. 2.3)
• "Energie-Zeit-Unschäfe"
∂
Ĥ |Ψi = E |Ψi = i~ ∂t
|Ψi
∂
⇒ können i~ ∂t
t als "Energieoperator Ê" interpretieren
h
i
∂
∂
Ê, t̂ = i~ t − ti~ = i~
∂t
∂t
59
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⇒ (∆E)(∆t) ≥
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~
2
Bem.: Zeit ist keine Observable des qm. Systems, sondern ein Parameter t ∈ R,
deshalb muß vorsichtig interpretiert werden!
Zeitpunkt, an dem ein Teilchen den Ort x0 passiert, ist um ∆t ≈
∆x
v
unbestimmt.
Seine Energie hat Unbestimmtheit
∆E =
∂E
|p=p0
∂p
∆p =
⇒ ∆E∆t = v∆p
p0
∆p = v∆p
m
∆x
~
= ∆p∆x ≥
v
2
D.h. wenn man Energie sehr genau messen will (∆E → 0) muß ∆p sehr klein sein
(∆p → 0), dann ist ∆x sehr groß, d.h. ∆t → ∞, müssen unendlich lange messen.
Falls der Zustand nicht hinreichend lange existiert (Bsp. angeregter Zustand eines
Atoms), bleibt seine Energie unscharf (sogenannte "Lebensdauerverbreitung").
• (4.3. Drehimpuls)
ˆ = Lx
ˆ¯ × p̄ˆ d.h.
L̄
L̂i = ijk x̂j p̂k
⇒ (∆Lx ) (∆Ly ) ≥
~
|L̄z | (Übung)
2
d.h. Unschärferelation hängt hier vom Zustand des Systems selbst ab!
5 Harmonischer Oszillator
grundlegendes Modellsystem, z.B. atomare Schwingungen
5.1 Schrödingergleichung
Erinnerung Physik A, 4.4:
E = EKIN + EP OT =
60
p2
1
+ kx2
2m 2
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mit Federkonstante k = mω02
ω0 .. Eigenfrequenz
⇒ Hamiltonoperator in Ortsdarstellung
Ĥ (x̂, p̂) =
p̂2
1
~2 d2
1
+ mω02 x̂2 = −
+ mω02 x2
2
2m 2
2m dx
2
stationäre Lösung aus ĤΨ = EΨ
Vereinfachung durch dimensionslose Variablen
r
mω0
x
x→ξ=
~
damit in SG:
Ĥ = −
normalisieren Energie E → =
~ω0 d2
~ω0 2
ξ
+
2 dξ 2
2
E
~ω0
damit
1
2
d2
2
− 2 + ξ ϕ(ξ) = ϕ(ξ)
dξ
5.2 Grundzustand
weitere Vereinfachung des Hamiltonoperators
Definieren "Erzeugungsoperator"
1
b̂ = √
2
+
d
− +ξ
dξ
und "Vernichtungsoperator"
1
d
b̂ = √
+ξ
2 dξ
1
d
1
d
+
b̂ b̂ = √ − + ξ √
+ξ
dξ
2
2 dξ
d
1
d2
d
= (− 2 + ξ − ξ +ξ 2 )
2 dξ
dξ dξ
| {z }
d
−1−ξ dξ
61
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=
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1
d2
1
(− 2 + ξ 2 )
−
2 dξ
2
{z
}
|
Ĥ..dimensionsloser Hamiltonoperator
⇒
Z
1
b̂ b̂ +
2
+
Z
∗ +
dξϕ b̂ b̂ϕ =
|
ϕ = ϕ
1
−
2
Z
dξϕ∗ (ξ)
dξϕ∗ (ξ)ϕ(ξ)
b̂, b̂+ adjungiert zueinander
Z
Z
1
∗
⇒ dξ b̂ϕ (ξ)b̂ϕ(ξ) = −
dξ|ϕ|2
2
R
dξ|b̂ϕ|2
1
1
≥
0
⇒
≥
⇒− = R
2
2
dξ(ϕ)2
=
1
2
falls b̂ϕ(ξ) = 0
dies legt nahe, daß b̂ϕ0 ≡ 0 den Grundzustand bestimmt, falls ϕ0 normierbar; untersuchen
1
d
+ ξ ϕ0 (ξ) = 0
b̂ϕ0 = √
2 dξ
dϕ0
⇒
+ ξϕ0 = 0
dξ
1 2
ϕ0 = Ce− 2 ξ C aus Normierung
Z
1
2
!
2
1=C
e−ξ dξ ⇒ C = √
4
π
| √
{z }
π
Grundzustand des harmonischen Oszillators
1 − 1 ξ2
1
e 2 ; 0 =
ϕ0 (ξ) = √
4
2
π
5.3 Eigenwertspektrum
vorhin
b̂ϕ0 = 0
62
|b̂+
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b̂+ b̂ϕ0 = 0
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|b̂+
b̂+ b̂+ b̂ϕ0 = 0
i
h
b̂+ b̂ = b̂b̂+ − b̂, b̂+
| {z }
Iˆ(Übung)
b̂+ b̂b̂+ − Iˆ ϕ0 = 0
1
b̂+ b̂ b̂+ ϕ0 = b̂+ ϕ0 (∗) | + b̂+ ϕ0
2
1
1
b̂+ b̂ +
b̂+ ϕ0 = 1 +
b̂+ ϕ0
2
2
vorhin b̂+ b̂ + 12 ϕ = ϕ (dimensionslose SG)
⇒ b̂+ ϕ0 ist ebenfalls EV der dimensionslosen SG mit EW 1 +
1
2
⇒ ϕ1 ∝ b̂+ ϕ0 (noch nicht normiert)
1 = 1 +
3
1
=
2
2
Bem.: streng genommen nicht klar, daß b̂+ ϕ0 tatsächlich Anlaß zum nächsthöheren EW
1 gibt. Beweis kann über die Anzahl der Knoten in Ortsdarstellung geführt werden.
jetzt interessiert in weiteren EW, EV, starten von (∗)
b̂+ b̂ b̂+ ϕ0 = b̂+ ϕ0 |b̂+
b̂+ |{z}
b̂+ b̂ b̂+ ϕ0 = b̂+ b̂+ ϕ0
b̂b̂+ −Iˆ
2
+
b̂ b̂b̂ − 1 b̂ ϕ0 = b̂+ ϕ0
2
2
1 + 2
+
+
+
ϕ0 | +
b̂ b̂ b̂
ϕ0 = 2 b̂
b̂
ϕ0
2
1 + 2
1 + 2
+
ϕ0 = 2 +
ϕ0
b̂ b̂ +
b̂
b̂
2
2
+
+
Vergleich mit dimensionsloser SG liefert weiteren EW und EV
2
1
5
ϕ2 ∝ b̂+ (ϕ0 ) ; 2 = 2 + =
2
2
63
Skript Physik C
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allgemein gilt
1
b̂ b̂ +
2
+
+
n
+
b̂
ϕn ∝ b̂
mit =
E
~ω0
folgt En = n +
1
2
1 + n
b̂
ϕ0 = n +
ϕ0
2
n
ϕ0 , n = n +
1
2
~ω0
Bem.:
• tiefste Enerergie E0 = 12 ~ω0 6= 0,
sogennante "Nullpunktsenergie"; ist übrigens die kleinste Energie, die mit der HUR
kompatibel ist. (Beweis: Übung)
• Energieniveaus äquidistant
• b̂+ erhöht Anregungszustand um ein "Energiequant des Oszillators" = "Photon"
→ b̂+ deswegen "Erzeugungsoperator" geanannt
n
n
+
+
ϕ0 = n b̂+ ϕ0
•
b̂ b̂
b̂
|{z}
Anzahloperator
• b̂ vernichtet ein Energiequant ⇒ "Vernichtungsoperator"
5.4 Eigenfunktionen
normierter Zustand
n
n−1
Cn + ϕn = Cn b̂+ ϕ0 =
b̂ Cn−1 b̂+
ϕ0
Cn−1
{z
}
|
ϕn−1 ..normiert
wegen Normierung gilt
Z
1=
C2
dξ|ϕn | = 2n
Cn−1
2
Z
dξ|b+ ϕn−1 |2
|
{z
}
R
Z
+
dξϕn−1 b̂b̂ ϕn−1 =
Z
dξϕn−1 b̂b̂+ ϕn−1
dξϕ∗n−1 b̂+ b̂ + 1 ϕn−1 = n
b̂+ b̂ = Anzahloperator, führt auf n − 1 + Orthonormalität
64
Skript Physik C
⇒ Cn =
√1 Cn−1
n
⇒ Cn =
√1 C0
n!
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=√
1
Cn−2
n(n−1)
= ...
mit C0 = 1 (Normierung in 5.2)
65
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Es folgen die normierten Eigenfunktionen
1 + n
ϕn = √
b̂
ϕ0
n!
Bem.: speziell folgt
−b̂+ ϕn =
b̂ϕn =
√
n + 1ϕn+1
√
nϕn−1
jetzt konkret
1
1
√
ϕ1 = √ b̂+ ϕ0 = √
4
1!
π 1!2
1 2
d
− + ξ e− 2 ξ
dξ
1 2
1
√ 2ξe− 2 ξ
= √
4
π 1!2
− 1 ξ2
1
1
2
√
ϕ2 = √ b̂+ ϕ1 = √
4ξ
−
2
e 2
4
2
π 2!22
allgemein
ϕn =
1
√
√
4
π n!2n
| {z }
Hn (ξ)
| {z }
1 2
e|−{z2 ξ}
hermitesches Polynom exponentielle Dämpfung
Normierungsfaktor
hermitesche Polynome
H0 = 1; H1 = 2ξ; H2 = 4ξ 2 − 2; H3 = 8ξ 3 − 123
66
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Bem.:
1. ϕn löst dimensionslose SG
r
Ψn (x) =
4
mω0
ϕn (ξ)
~
2. Vgl. mit klass. Oszillator (Physik A, 4.4)
s
2E
x=
sin ω0 t
mω02
s
2E
ẋ =
ω0 cos ω0 t
mω02
⇒ ω02 x2 + ẋ2 =
s
⇒ |ẋ| = ω0
2E
ω0
mω02
2E
+ x2
mω02
Aufenthaltswahrscheinlichkeit in dx ? Bestimmen Wahrscheinlichkeitsdichte w(x)
w(x)dx =
⇒ w(x) =
dt} Zeit in dx
T /2} halbe Periodendauer
dt/dx
2
ω0
2π
=
=
mit T =
T /2
|ẋ|T
π|ẋ|
ω0
damit
1
w(x) = q
für |x| ≤
2E
π mω2 − x2
s
2E
mω02
0
sonst: w(x) = 0
r
1
mit x =
n+
~ω0
2
r
w(ξ)
dx
~
und
=
=
w(x)
dξ
mω0
~
ξ, E =
mω0
folgt klassisch
√
1
w(ξ) = p
für |ξ| ≤ 2n + 1
π 2n + 1 − ξ 2
67
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sonst: w(ξ) = 0
quantenmechanisch:
1
2
ω(ξ) = ϕn (ξ)2 = √
Hn (ξ)2 e−ξ
n
πn!2
Für große n nähern sich qm. und klass. Wahrscheinlichkeitsdichten an
3. bisher nur stationäre Lösungen betrachtet
ϕn (ξ) mit n
zeitabhängige Lösung ergibt sich (3.2) zu
|ϕ(t)i =
X
i
Cn e− ~ n t |ϕn i
n
mit Cn = hϕn |ϕ(0)i
ϕ(0) entspricht den Anfangsbedingungen, ist im allgem. eine Überlagerung mehrerer Eigenzustände
6 Zentralfeld
6.1 Erinnerung: klassisch
Zentralfeld: V = V (r) mit r = |r̄|
mr̄¨ = F̄ = −
dV ¯
dV r̄
∇r = −
|r̄×
dr
dr r
68
Skript Physik C
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¨
mr̄
| {z× r̄}
=−
d
˙
(r̄ × mr̄)
dt
|
{z
}
UPB WS 07/08
dV
r̄
r̄ × = 0 da r̄ × r̄ = 0
dr
r
~
L
~ .. Drehimpuls, bleibt im Zentralfeld erhalten
L
|p̄|| | =
r̄p̄
r
|p̄⊥ | =
r̄×p̄
r
.. Projektion auf r̄
.. ⊥ zu r̄
2
p̄ =
p̄2||
+
p̄2⊥
2
r̄ × p̄
+
=
r }
r
| {z
| {z }
2
r̄p̄ 2
pr
L̄2
r2
damit kinetische Energie
p̄2
p2r
1
T =
=
+
L̄2
2
2m
2m 2mr
und Gesamtenergie
H =T +V =
p2r
1
+
L̄2 + V (r)
2m 2mr2
6.2 Drehimpulsoperator
L̄ = r̄ × p̄ d.h. Li = ijk xj pk
ˆ = r̄ˆ × p̄ˆ d.h. L̂ = x̂ p̂
quantenmechanisch: L̄
i
ijk j k
klassisch:
Klassisch gilt bei Bewegung im Zentralfeld die Erhaltung der Energie (Invarianz gegenüber zeitlichen Transformation) und des Drehimpulses (Isotropie des Raumes).
⇒ man kann erwarten, daß Energie und Drehimpuls auch in qm. Zentralfeldern erhalten
bleiben
⇒ man kann erwarten, daß bestimmte Zustände gleichzeitig scharfe Werte für E und L
69
Skript Physik C
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UPB WS 07/08
annehmen
h
i
⇒ L̂, Ĥ = 0 (Übung)
weiterhin gilt
h
i
L̂i , L̂j = i~ijk L̂k
h
i
ˆ2 = 0
L̂i , L̄
⇒ Übung
ˆ 2 und L̂
EW und EV zu L̄
z
h
i
ˆ 2 = 0 können EV bestimmt werden, die gleichzeitig die Eigenwertgleichung
wegen L̂i , L̄
ˆ 2 erfüllen. O.v.a.A.:
für L̂ und L̄
i
L̂i = L̂z
h
i
Wegen L̂i , L̂j = ijk i~L̂k sind dann Lx und Ly unbestimmt
ˆ 2 mit l und L̂ mit m
Indizieren EW zu L̄
z
schreiben speziell
ˆ 2 |l, mi = ~2 l(l + 1) |l, mi
L̄
Lz |l, mi = ~m |l, mi
hier wurden spezielle Ausdrücke für die EW verwendet, die sich später als sinnvoll erweisen werden
ˆ 2 und L̂
|l, mi ⇒ gemeinsamer EV zu L̄
z
führen Leiteroperatoren ein:
L̂± = L̂x ± iL̂y ,
L̂±
+
= L̂∓
1
1
L̂+ + L̂− ⇒ L̂2x =
L̂+ L̂+ + L̂+ L̂− + L̂− L̂+ + L̂− L̂−
2
4
1
1
L̂y =
L̂+ − L̂− ⇒ L̂2y =
−L̂+ L̂+ + L̂+ L̂− + L̂− L̂+ − L̂− L̂−
2i
4
L̂x =
damit
1
2
2
2
2
ˆ
L̄ = L̂x + L̂y + L̂z =
L̂+ L̂− + L̂− L̂+ + L̂2z
2
70
Skript Physik C
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UPB WS 07/08
gelten Vertauschungsrelationen
h
i
L̂+ , L̂− = 2~L̂z
h
i
L̂z , L̂+ = ~L̂+
h
i
L̂z , L̂− = −~L̂−
h
i
ˆ2 = 0
L̂+ , L̄
h
i
ˆ2 = 0
L̂− , L̄
⇒ (Übung)
ˆ2 =
L̄
1
L̂+ L̂− + L̂− L̂+ + L̂2z
2
L̂− L̂+ = −2~Lz + L̂+ L̂−
ˆ 2 + ~L̂ − L̂2 = L̄
ˆ 2 − L̂ L̂ − ~
⇒ L̂+ L̂− = L̄
z
z
z
z
damit
L̂+ L̂− |l, mi = ~2 l(l + 1) − ~m(~m − ~) |l, mi | hl, m|
| {z }
|
{z
}
+
2 (l+m)(l−m+1)
~
L̂
L̂
( −) −
2
hl, m| L̂+
− L̂− |l, mi = hl, m| ~ (l + m)(l − m + 1) |l, mi
{z
}
{z
} |
|
2
2
~
(l
+
m)(l
−
m
+
1)
|L̂− |l, mi |
|
{z
}
|
{z
}
≥0
wenn |l,mi normiert
⇒ Beziehung zwischen Drehimpulsquantenzahlen (l + m)(l − m + 1) ≥ 0 (∗)
ˆ 2 − L̂ L̂ + ~
analog folgt aus L̂ L̂ = L̄
−
+
z
z
(l − m)(l + m + 1) ≥ 0
(∗∗)
(∗)/(∗∗) erfüllt für
m ∈ {−l, −l + 1, . . . , l − 1, l}
(∗ ∗ ∗)
D.h. zu jeder Drehimpulsquantenzahl l existieren max 2l + 1 Quantenzahlen für die
z-Komponente des Drehimpulses, (2l + 1) Einstellungsmöglichkeiten des Drehimpulses
mmax − mmin = 2l = N ⇒ l =
(⇒)l kann nur ganz- oder halbzahlig sein:
71
N
2
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1
3
l = 0, , 1, , . . .
2
2
trifft wegen (∗ ∗ ∗) auch für m zu
Bem.: Einzig aus der Kenntnis der Kommutationsrelationen des Drehimpulses wurden
zentrale Aussagen über mögliche Werte der Bahndrehimpulsquantenzahl l, die den Eiˆ 2 beschreibt, und die z-Komponente ~m gewonnen!
genwert ~2 l(l + 1) von L̄
Veranschaulichung im Vektormodell
ˆ 2 |l, mi = ~2 l(l + 1) |l, mi
L̄
⇒ Betrag des Drehimpulses
p
L̄ = ~ l(l + 1) > ~l
L̂z |l, mi = ~m |l, mi mit m ∈ {−l, −l + 1, ...l}
D.h. für l 6= 0 |L̄| =
6 Lz
d.h. Bahndrehimpuls kann nicht ||ēz sein!
Bem.: Ursache ist die Unschärferelation: falls L̄||ēz wären Lz , Lx , Ly bekannt!
anschauliche Interpretation: L̄ präzessiert um die z-Achse
p
Bsp.: l = z ⇒ |L̄| = ~ 2(2 + 1) ≈ ~ · 2, 45
m ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}
72
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"Präzessionsbewegung" ist eine klassische Vorstellung; wie sehen EV zum Drehimpulsoperator
tatsächlich aus?
vorhin:
h
i
L̂z , L̂+ = ~L̂+
⇒ L̂z L̂+ |l, mi = L̂+ L̂z |l, mi + ~L̂+ |l, mi
= ~(m + 1)L̂+ |l, mi
h
i
aus L̂z , L̂− = −~L̂− folgt analog
L̂z L̂− |l, mi = L̂− L̂z |l, mi − ~L̂− |l, mi
= ~(m − 1)L̂− |l, mi
d.h. L̂± |l, mi sind EV zu L̂z mit EW ~(m ± 1)
Sukzessive Anwendung der Leiteroperatoren erzeugt neue EV von L̂z mit höherem/niedrigerem
EW.
wegen m ∈ {−l, −l + 1, ...l − 1, l} muß die Reihe der so erzeugten EV abbrechen:
L̂− |l, m = −li = 0; L̂z |l, −li = −~l |l, −li
L̂+ |l, m = li = 0; L̂z |l, li = ~l |l, li
Um eine anschauliche Vorstellung zu gewinnen, ist es sinnvoll, jetzt in die Ortsdarstellung
zu wechseln:
ˆ = r̄ˆ × p̄ˆ → L̄
ˆ = r̄ × ~ ∇
¯
L̄
i
Wegen der Rotationssymmetrie ist es zweckäßig, im folgenden mit Kugelkooerdinaten
zu arbeiten.
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ
73
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damit
r̄ → rēr
∂
¯ → ēr ∂ + ēθ 1 ∂ + ēϕ 1
∇
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
(Beweis: Übung)
damit
∂
1 ∂
~
ˆ
L̄ =
− ēθ
ēϕ
i
∂θ
sin θ ∂ϕ
Drücken nun ēθ und ēϕ in kartesischen Koordinaten aus, damit folgt für die Drehimpulskompenenten
cos θ cos ϕ ∂
~
∂
L̂x =
− sin ϕ −
i
∂θ
sin θ ∂ϕ
~
∂
cos θ sin ϕ ∂
L̂y =
cos ϕ −
i
∂θ
sin θ ∂ϕ
~ ∂
i ∂ϕ
∂
∂
±iϕ
L̂± = L̂x + iL̂y = ~e
± + i cot θ
∂θ
∂ϕ
L̂z =
Operatoren des Drehimpulses hängen ausschließlich von Winkelargumenten (θ, ϕ) ab,
d.h. erwarten EV, die ausschließlich von (θ, ϕ) abhängen
|l, mi = Ye,m (θ, ϕ)
74
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solle orthogonal sein, d.h.:
Z
Yl∗0 ,m0 (θ, ϕ)Yl,m (θ, ϕ) sin θdθdϕ
δl,l0 δm,m0 =
vorhin (∗)
L̂+ |l, m = li = 0;
L̂z = |l, m = li = ~l |l, m = li
in Ortsdarstellung
∂
∂
+ i cot θ
∂θ
∂ϕ
Yll (θ, ϕ) = 0(∗1)
~ ∂
Yl l(θ, ϕ) = ~lYll (θ, ϕ)(∗2)
i ∂ϕ
(∗2) wird gelöst durch Yll (θ, ϕ) = eilϕ fl (θ) mit fl (θ) zunächst beliebig.
!
!
q.m. Zustand muß eindeutig sein, d.h. Yll (θ, ϕ + 2π) = Yll (θ, ϕ) ⇒ eil2π = 1 ⇒ l muß
ganze Zahl sein, halbzahlige Werte können ausgeschlossen werden
⇒ m ∈ {−l, −l + 1, ...l} ganzzahlig
jetzt mit Yll (θ, ϕ) = eilϕ fl (θ) in (2∗)
eilϕ
∂fl (θ)
+ i cot θ(il)eilϕ fl (θ) = 0
∂θ
cos θ
∂fl (θ)
=l
fl (θ)
∂θ
sin θ
cos θdθ
d sin θ
dfl
=l
=l
fl
sin θ
sin θ
wird gelöst durch
fl (θ) = Cl sinl θ
(Bem: einsetzen
dfl
d sin θ
= Cl l sinl−1 θ =
fl
l)
sin θ
damit
Yll = Cl sinl θeilϕ
jetzt noch normieren
!
2
Z
2π
1 = |Cl |
Z
dϕ
0
|{z}
0
2π
75
π
dθ sin θ sin2l θ
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2
Z
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π
= 2π|Cl |
|0
dθ sin2l+1 θ
{z
}
(2l l!)2
2 (2l+1)!
r
l
(2l + 1)!
⇒ Cl = (−1)l l
2 l!
4π
r
1
(2l + 1)! ilϕ l
⇒ Yll (θ, ϕ) = (−1)l l
e sin θ
2 l!
4π
Eigenfunktionen für m < l
vorhin: Anwendung des Leiteroperators L̂− verringert z-Komponente
|l, m − 1i = C L̂− |l, mi
vorhin
2
L̂
|l,
mi
=
l,
m|~
(l
+
m)(l
−
m
+
1)|l,
m
hl, m| L̂+
−
−
|
{z
}
|
{z
}
2 (l+m)(l−m+1) ,wenn|l,mi normiert
2
~
1
2
|L̂− |l,mi| = 2 | |l, m − 1i |
|C|
{z
}
|
!
=1
1
⇒C= p
~ (l + m)(l − m + 1)
d.h.
1
|l, m − 1i = p
L̂− |l, mi
~ (l + m)(l − m + 1)
In Ortsdarstellung
−iϕ
L̂− = ~e
∂
∂
− + i cot θ
∂θ
∂ϕ
folgen Drehimpulseigenzustände
s
l−m
(−1)l (2l + 1)(l − m)! eiml
∂
Ylm = l
sin2l θ
2 l!
4π(l + m)! sinm θ ∂ cos θ
Ylm sind "Kugelflächenfunktionen"
oft geschrieben als
s
Ylm (θ, ϕ) =
(2l + 1)(l − m)! m
Pe (cos θ)eimϕ
4π(l + m)!
76
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mit Plm (m ≥ 0) .. "zugeodnete Legendresche Polynome"
für m < 0 gilt
∗
Yl,−m (θ, ϕ) = (−1)m Ylm
(θ, ϕ)
wobei
Plm (x)
m
2
= (−1) (1 − x )
m
2
d
dx
m
Pl (x)
mit Legendreschem Polynom:
1
Pl (x) = l
2 l!
d
dx
l
(x2 − 1)l
Veranschaulichung der Drehimpulszustände
p
In der Atomphysik heißt die Zahl "l" aus dem Meßwert ~ l(l + 1) des Drehimpulses
"Drehimpulsquantenzahl"
l = 0 → s-Zustände
l = 1 → p-Zustände
l = 2 → d-Zustände
l = 3 → f-Zustände
l = 4 → g-Zustände
s-Zustand
1
Y00 (θ, ϕ) = √
4π
l = 0(⇒ m = 0)
vollkommen rotationssymmetrisch
p-Zustände
r
l = 1, m = −1, 0, 1
Y1±1 (θ, ϕ) = ∓
3
sin θe±iϕ
8π
|Y1±1 |2 = Aufenthaltswahrscheinlichkeit max. in Ebene ⊥ēz , d.h. Teilchen läuft mit
pos./neg. Umlaufsinn um z-Achse, nicht scharf in Bahnebene lokalisiert.
77
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r
l = 1, m = 0
Y1,0 (θ, ϕ) =
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3
cos θ
8π
klassische Interpretation schwer:
Lz = 0
L̄x = 0
L̄y = 0
L2 = ~2 · 2
D.h. Teilchen hat Lx , Ly , die sich im Mittel kompensieren. Also läuft das Teilchen mit
gleicher Wahrscheinlichkeit mit pos./neg. Drehsinn um Achse ⊥ēz
d-Zustände
•
r
Y2±2 (θ, ϕ) =
15
sin2 θe±2iϕ
32π
(ähnlich Y1±1 )
•
r
Y2±1 (θ, ϕ) =
15
cos θ sin θe±iϕ
8π
•
r
Y2,0 (θ, ϕ) =
78
15
(3 cos2 θ − 1)
16π
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6.3 Das Wasserstoffproblem
für Zentralfeld gilt klassisch (6.1):
H =T +V =
L̄2
p2r
+
+ V (r)
2m 2mr2
jetzt quantenmechanisch:
Ĥ =
1 ˆ2
p̂2r
+
L̄ + V (r̄)
2m 2mr̂2
damit stationäre SG lösen
Ansatz
Ψ(r, θ, ϕ) =
u(r)
Y (θ, ϕ)
r
damit SG: ausnutzen, daß
ˆ 2 (θ, ϕ) = ~2 l(l + 1)Y (θ, ϕ)(6.2)
L̄
damit stat. SG:
~2 l(l + 1)
u(r)
U (r)
p̂2r
+
+ V (r̄)
=E
2
2
2mr̂
2mr̂
r
r
r̄p̄
pr = (6.1)
r




ˆ
ˆ
1
r̄
r̄
→ p̂r = 
p̄ˆ +ˆ¯p 
ˆ
2
|
r̄
|
|r̄ˆ| 
|{z} |{z}

~ r̄ ¯
∇
i r
in Kugelkoordinaten folgt (vgl. Übung)
p̂2r
=
~ ¯ r̄
∇r
i
n
~2
i
∂2
∂r2
+
2 ∂
r ∂r
o
p̂2r einsetzen + Produktregel für u(r)
liefert
r
~2 ∂ 2
~l(l + 1)
−
+
+ V (r) u(r) = Eu(r)
2m ∂r2
2mr2
79
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UPB WS 07/08
2
e
jetzt speziell H-Atom ⇒ V (r) = − 4π
0r
~2 ∂ 2
~l(l + 1)
e2
−
u(r) = Eu(r)
+
−
2m ∂r2
2mr2
4π0 r
skalieren auf dimensionslose Länge r0
o
4π0 ~2
Bohr’scher Radius
=
a
=
0,
529
A
o
me2
~2 m2 e4 ∂ 2
me4
~2 l(l + 1) m2 e4
−
ũ(r0 ) = E ũ(r0 )
−
+
2m 16π 2 20 ~4 ∂r02
2mr02 16π 2 20 ~4 16π 2 20 ~2 r0
r → r0 λ mit λ =
32π 3 20 ~2
2
1
1
|·
=
=
=
4
me
Ry
H
13, 605eV
mit =
E
Ry
als dimensionslose Größe für Energie folgt 1D SG für Radialteil in skalierten
Einheiten (jetzt wieder ohne Strich)
d2
2 l(l + 1)
++ −
2
dr
r
r2
u(r) = 0
Asymptotik für r << 1:
setzen r = Kx, damit
2K l(l + 1)
d2 U
2
u=0
+K +
−
dx2
x
x2
{z
}
|
K→0
⇒
d2 U
l(l + 1)
−
2
dx
x2
u=0
Ansatz: U = xλ einsetzen, liefert: λ(λ − 1) − l(l + 1) = 0
2 Lösungen:
λ1 = l + 1
λ2 = −l ⇒ u = xλ divergiert für l > 0 für x → 0; verwerfen
damit asymptotisches Verhalten für kleine r
u(r) ∝ rl+1 für r → 0
Asymptotik für r → ∞:
d2
2 l(l + 1)
u(r) = 0
++ −
dr2
r
r2
|
{z
}
r→∞
80
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⇒
UPB WS 07/08
d2 u
+ u = 0
dr2
Suchen Lösung für gebundene Zustände, d.h. < 0
gegeben durch u = Ae−αr +
B αr
|{z}
mit α2 = −
→∞,r→∞
damit
u(r) ∝ e−αr für r >> 1
Vollständige Lösung
l+1
−αr
u(r) = |{z}
r e|{z}
∞
X
ai r i
r<<1 r>>1 i=0
In radiale SG einsetzen liefert Rekursionsformel für ai
ai =
2α(i + l) − 1
ai−1
i(i + 2l + 1)
d.h. bestimmen a0 durch Normierung, danach sukzessive den Rest. Wie groß ist "der
Rest" ? Reihenentwicklung ai ri muß für endliche i abbrechen, sonst ist keine Normierung
möglich.
Annahme: α =
1
n
mit n ∈ N damit
ai =
2 i+l
−1
n
ai−1
i(i + 2l + 1)
|
{z
}
!
=0
⇒i=n−1
es gilt i ≥ 1 (sonst keine Reihe)
und l ≥ 0 (Drehimpulsquantenzahl)
n ≥ l + 1 .. Hauptquantenzahl
Potenzreihe bricht ab bei
imax = nr = n − l − 1 .. radiale Quantenzahl
vorhin: α2 = − ⇒ n = − n12 En = − Rn2y
D.h. Energieeigenwerte werden ausschließlich durch Hauptquantenzahl n bestimmt, nicht
81
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durch l!
Bem.: Dies ist eine zufällige Entartung infolge der speziellen Form des Coulombpotentials
V (r) ∝
1
r
Eigenfunktionen: hängen von l, n ab
r
un,l (r) = rl+1 e− n Pnr ,l (r)
(Rekursionsformel einsetzen)
Pnr ,l
nr !(2l + 1)! 2l+1
= a0
L
(nr + 2l + 1)! nr
2r
n
mit Laguerreschem Polynom
Lαn (x)
=
∞
X
i=0
(n + α)!
(−x)i
(n − i)!(α + i)!i!
a0 durch Normierung, weiterhin Rücksubstitution (r0 a0 → r) zu SI-Einheiten
s
l
r
u(r)
2
(n − l − 1)! 2r
2r
− na
2l+1
0
Ln−l−1
= Rnl (r) =
e
3/2
r
(n + 1)!
na0
na0
n2 ao
damit jetzt vollständige Eigenfunktionen des H-Problems
Ψn,l,m (r, θ, ϕ) = Rn,l (r)Yl,m (θ, ϕ
mit n=
ˆ Hauptquantenzahl (n ≥ 1)
l=
ˆ Drehimpulsquantenzahl (l ≤ n − 1)
m=
ˆ Magnetquantenzahl (z-Komponente von L) (|m| ≤ l)
En = −
wobei
Ry
n2
s
Yl,m (θ, ϕ) =
(Ry = 13, 605eV )
2l + 1 (l − m)! m
Pl (cosθ)eimϕ
4π (l + m)!
↓
"zugeordnete Legendresche Polynome"
Veranschaulichung:
82
Skript Physik C
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• n = 1 ⇒ l = 0(l ≤ n − 1) (1s-Zustand)
2 −r
R1,0 = p 3 e a0
a0
radiale Wahrscheinlichkeitsdichte
Z
Z π
dϕ
ωn,l (r) =
0
2π
sin θdθr2 |Ψn,l,m |2 = r2 |Rnl |2
0
• n = 2, l = 0 (2s-Zustand)
R2,0
r
− r
=p
1−
e 2a0
2a0
(2a0 )3
1
• n = 2, l = 1 (2p-Zustand)
1
r − r
R2,1 = p 3 e 2a0
24a0 a0
83
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UPB WS 07/08
7 Implikationen der QM
7.1 Determinismus und Lokalität
• Doppelspaltexperiment
Wir brauchen zur Erklärung der Messung sowohl Wellenmodell (Führungsfeld) als
auch Teilchenmodell (Detektoren).
Was passiert jedoch, wenn man registiert, durch welchen der beiden Spalten die
Elektronen jeweils gehen? (Zum Beispiel mit einer Drahtschleife, die den Induktionsstrom aufnimmt, wenn Teilchen durch läuft.)
⇒ Interferenzmuster verschwindet
D.h. Teilchen wird durch Anwesenheit eines Spaltes, den es gegebenenfalls gar
84
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nicht passiert, beeinflußt! Mögliche Interpretationen:
– nichtlokale WW (Teilchen nimmt anderen Spalt wahr)
– statistische Interpretation über Führungsfeld → QM ist indeterministisch,
können keine Aussage treffen, durch welchen Spalt das Teilchen laufen wird
• de Broglie’s Paradoxon
– bringen e− in Kasten
– teilen Kasten
– bringen Kästen an beliebig entfernte Orte (z.B. Tokis und Paris), Zustandsfunktion
1
|Ψi = √ {|ΨT i + |ΨP i}
2
Variante a)
– öffnen Kasten in Tokio
– Wellenfunktion kollabiert, e− ist entweder in T oder P , wissen Ergebnis einer
Messung in P
Variante b)
– bringen Kästen wieder zusammen
– machen Doppelspaltexperiment ⇒ Interferenzmuster, d.h. e− ist in T "und"
P . Also ändert sich duch Öffnung eins der beiden Kästen die WF |Ψi instantan
in T und P .
"Kollaps" der Wellenfunktion
Kästen sind WW-frei, d.h. kein Energie- und Informationsaustausch ⇒ Relativitätstheorie formal nicht verletzt (c ist maximale Ausbreitungsgeschwindigkeit)
• Wigners Freund
85
Skript Physik C
– |Ψi =
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√1
2
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{|ΨT i + |ΨP i}
– Physiker T nimmt in T eine Messung vor → für ihn ist WF kollabiert
– Physiker P in P weiß davon noch nichts
– ⇒ für P ist WF nicht kollabiert
– ⇒ Physiker T ist für Physiker P in einem superponiertem Bewusstseinszustand, sowohl |ΨT i als auch |ΨP i gemessen zu haben.
• Stern-Gerlach-Versuch
Ankopplung des Drehimpulses an inhomogenes Magnetfeld ⇒ Strahlaufspaltung
nach Drehimpuls - (oder Spin-)komponenten:
jetzt mehrere SG-Aufspaltungen
Ursache: können nur jeweils eine Drehimpulskomponente scharf messen
h
i
(vgl. 4.1: L̂i , L̂j , = i~ijk L̂k )
modifizieren Versuch:
D.h. wenn wir ein einziges Elektron mit Sz = − 12 am Ende des Strahlengangs
messen, bedeutet das, daß die Sx -Orientierung zwischenzeitlich registriert wurde!
86
Skript Physik C
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UPB WS 07/08
Bem.: → Quantenkryptographie als mögliche Anwendung
7.2 Theorie verborgener Parameter
Ist indeterministischer Charater der QM real oder Ausdruck unseres unzureichenden
Wissens über die Systeme?
Bsp.
Beschreiben in Thermodynamik ca.1023 Teilchen mit sehr wenigen Zustandsgrößen wie
p, V, T , die letztlich Mittelwerten ensprechen.
Gibt es in QM "verborgene Parameter", die Eigenschaften des Systems letztlich doch
deterministisch festlegen? Und können wir das überhaupt wissen, d.h. experimentell verifizieren?
Betrachten dazu Teilchenpaar aus zwei räumlich getrennten Spin- 12 -Teilchen, deren Gesamtspin verschwindet. ("Verschränkte Teilchen").
Annahme: Spin vollständig bestimmt, können aber jeweils nur eine Komponente messen,
Wert ± 21 durch das Vorzeichen der Projektion bestimmt:
87
Skript Physik C
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betrachten 2 verschränkte Teilchen; messen am 1.Teilchen Sz =
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1
2
⇒ 2.Teilchen hat
Spinvektor in unterer Halbkugel
gesucht: Wahrscheinlichkeit, daß das 2.Teilchen eine bestimmte Orientierung φ zur zAchse hat. Teilchen sei zunächst unabhängig;
⇒ Wahrscheinlichkeit, daß das 2. Teilchen Sz =
88
1
2
und Orientierung φ hat:
Skript Physik C
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UPB WS 07/08
jetzt qm behandeln:
Operator, der Spinkomponente im Winnkel φ zur z-Achse, darstellt:
Ŝφ = Ŝz cos φ + Ŝx sin θ
(später, Physik D:)

Ŝz =
1 0

1

2
0 −1


1 0 1 
2
1 0


cos
φ
sin
φ
1

⇒ Ŝz = 
2
sin φ − cos φ
Ŝx =
gilt



φ
2

cos
= 1

2
sin φ2
sin φ2




φ
φ
− sin 2
− sin 2
 = −1 

Ŝφ 
φ
φ
2
cos
cos
Ŝφ 
cos
φ
2
2
2
⇒ damit EV bekannt
(Leicht nachzurechen über Funktionen des halben Winkels)
Wenn am 1. Teilchen Sz =
1
2
gemessen wurde, muß das zweite Teilchen im Eigenzustand
89
Skript Physik C

χ− = 
0
1
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
 zum Spin − 1 sein. Entwickeln χ− nach EV von Ŝφ , gilt
2


0
1


 = c1 
cos
φ
2
sin φ2


 + c2 
− sin
φ
2
cos φ2


ablesen: c1 = sin φ2 , c2 = cos φ2
D.h. Wahrscheinlichkeit, daß das 2.Teilchen Sz = − 12 und Sϕ =
1
2
hat, ist c21 = sin2
φ
2
⇒ Theorie der verborgenen Parameter (TVP) und Quantenmechanik liefern unterschied
liche Voraussagen, siehe graphische Veranschaulichung von P Sz = − 12 , Sφ = 12
⇒ können experimentell verifizieren, ob die Theorie verborgener Parameter die Realität
beschreibt
Experimente mit verschränkten Photonen, siehe z.B. Phys. Rev. Lett. 54, 1790 (1985)
zeigen, daß TVP die Realität nicht beschreibt!
⇒ Problem mit Determinismus und Lokalität nicht gelöst! (Für weitergehende Fragen:
Bell’sche Ungleichung)
7.3 Realitätsproblem
• WF |Ψi keine direkte phys. Bedeutung, ist theoretische Konstruktion, mit der die
Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse berechnet werden kann
90
Skript Physik C
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UPB WS 07/08
• Annahme weiterer Eigenschaften von Quantensystem (z.B. TVP) führt zum Widerspruch mit Exp.
⇒ außerhalb von |Ψi keine phys. Realität, aber |Ψi selbst ist nicht physikalisch.
philosophischer Ausweg: Positivismus, d.h. wir können Existenz oder Nichtexistenz einer
Welle außerhalb unserer Sinneseindrücke ohnehin nicht verifizieren ("egal")
Versuche, die Realität zu retten:
• Theorie unauslöschbarer Aufzeichnungen =
ˆ Meßprozeß, irreversible Änderung →
real existent
Reversible Zustandsänderungen (z.B. Aufspaltung nach Spinkomponenten Sx =
± 21 und späteres Zusammenführen des Strahls) sind unbeobachtbar und Existenzaussagen dazu sinnlos.
• sich teilendes Universum: Universum endet nicht in einem von vielen möglichen
Zuständen als Ergebnis einer Messung, sondern alle möglichen Ergebnisse treten
tatsächlich auf
⇒ Universum teilt sich in nichtwechselwirkende Parallelwelten
⇒ nicht überprüfbar, keine ökonomische Theorie
8 Nährungsmethoden
8.1 Zeitunabhängige Störungstheorie
Hamiltonoperator Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1
mit Ĥ1 << Ĥ0
Ĥ0 - ungestörter Operator
Ĥ1 - Störoperator
SG für Ĥ0 gelöst:
Ĥ0 Ψ(0)
= En(0) Ψ(0)
n
n
(0)
En nicht entartet,
(0) 0 Ψm |Ψn = δmn
91
Skript Physik C
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suchen Lösung für Ĥ |Ψn i = En |Ψn i
Ansatz: Ĥ = Ĥ0 + λĤ1 (λ = 1 .. volle Störung)
En hängen von λ ab, Taylorentwicklung
En = En (λ) = En(0) + λEn(1) + λ2 En(2) + ... =
∞
X
λi En(i)
i=0
analoge Entwicklung für Zustände
∞
X
(1) 2 (2)
|Ψn i = |Ψn (λ)i = Ψ(0)
+
λ
Ψ
+
λ
Ψ
+
...
=
λi Ψ(i)
n
n
n
n
i=0
jetzt einsetzen in SG:
n
o
Ĥ0 + λĤ1 |Ψn (λ)i = En (λ) |Ψn (λ)i
Ĥ0
∞
X
∞
∞
X
(i) X
i+1 (i)
λ Ψn + Ĥ1
λ
Ψn (λ) =
λi+j En(i) Ψ(j)
n
i
i=0
i=0
i,j
Koeffizientenvergleich in Potenzen von λ
= En(0) Ψ(0)
λ0 → Ĥ0 Ψ(0)
n
n
λ1 → Ĥ0 Ψ(1)
+ Ĥ1 Ψ(0)
= En(0) Ψ(1)
+ En(1) Ψ(0)
n
n
n
n
λ2 → Ĥ0 Ψ(2)
+ Ĥ1 Ψ(1)
= En(0) Ψ(2)
+ En(1) Ψ(1)
+ En(2) Ψ(0)
n
n
n
n
n
ähnliches Vorgehen in Normierungsbedingungen:
hΨ |Ψ i =
| n{z m}
δnm
∞
X
(j)
λi+j Ψ(i)
n |Ψm
i,j
muß für jedes λ erfüllt sein.
Koeffizientenvergleich gibt nur für λ(0) nicht verschwindenden Beitrag (δnm = const.)
(0)
λ0 → δnm = Ψ(0)
n |Ψm
(0) (1) (0)
λ1 → 0 = Ψ(1)
+ Ψn |Ψm
n |Ψm
(1) (1) (0) (2) (0)
λ2 → 0 = Ψ(2)
+ Ψn |Ψm + Ψn |Ψm
n |Ψm
E
(i) (i)
damit GS um En , Ψn zu bestimmen
92
Skript Physik C
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8.1.1 Störungstheorie 1. Ordnung
n
Eo
(0)
Ĥ0 ist hermitescher Operator ⇒ Ψn
VONS
E
(0)
können Korrekturen nach Ψn entwickeln
(1) X (1) (0) Ψn =
c Ψn
nl
l
damit in Gleichungen, die sich für λ1 ergeben hatten
Ĥ0
X
(1)
cnl
E
X (1) (0) E
(0) (0)
(0)
cnl Ψl
+ En(1) Ψ(0)
+ Ĥ1 Ψn = En
Ψl
n
l
l
{z E
(0)
P (1)
c
Ĥ
Ψ
0 l
l nl
| {z }
(0)
(0)
E
Ψ
l | l i
|
}
| Ψ(0)
m |
Eo
n
(0)
bleibt
wegen Orthogonalität von Ψm
X
(l) (0)
cnl El δml
+
D
(0)
Ψ(0)
m |Ĥ1 |Ψn
E
l
= En(0)
X
(1)
(1)
cnl δml + E1 δnm
l
D
E
(1)
(0) (1)
(0)
Em
cnm + Ψ(0)
|
Ĥ
|Ψ
= En(0) c(1)
1
m
n
nm + E1 δnm (∗)
speziell n = m
D
E
(0)
⇒ En(1) = Ψ(0)
|
Ĥ
|Ψ
1
n
n
d.h. in 1. Ordnung Störungstheorie folgt
D
E
(0)
En ≈ En(0) + Ψ(0)
|
Ĥ
|Ψ
1
n
n
Bem.:
• Standardmethode um den Einfluß kleiner Störungen auf Energieegenwerte abzuschätzen
• Methode kann auf andere als den Hamiltonoperator verallgemeinert werden
93
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Veränderung der Wellenfunktion?
vorhin
(0) (1) (0)
Ψ(1)
|Ψ
+ Ψn |Ψm = 0
n
m
(1) X (1) (0) E
Ψn =
cnl Ψl
l
⇒
X
(1)∗
cnl
l
D
(0)
E
+
Ψl |Ψ(0)
m
{z
}
|
X
l
δlm
D
E
(1)
(0)
=0
cml Ψ(0)
|Ψ
n
l
{z
}
|
δnl
(1)
⇒ c(1)∗
mn + cmn = 0
(1)∗
(1)
speziell n = m ⇒ cnn + cnn = 0
(1)
d.h. cnn = iKn mit Kn ∈ R
aus (∗) folgt weiterhin für n 6= m
D
c(1)
nm =
(0)
(0)
Ψm |Ĥ1 |Ψn
(0)
E
(0)
En − Em
E
E
(1)
(0)
damit jetzt in |Ψn i = Ψn + λ Ψn + O(λ2 )
(1) X (1) (0) Ψn =
cnm Ψm
m
X
(0) (1) (0)
⇒ |Ψn i = (1 + λc(1)
)
)
Ψ
+
λ
c
Ψ
+ 0(λ2 )
n
mn
m
| {z nn}
m6=n
2)
eiλKn +O(λ
damit
(
)
X
(0)
|Ψn i = eiλKn Ψ(0)
+ e−iλKn λ
c(1)
+ 0(λ2 )
n
mn Ψm
m6=n
Zustandvektor ist nur bis auf Phasenfaktor bestimmt
⇒ o.v.a.A. Kn = 0
setzen weiterhin λ = 1 (volle Störung)
94
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X (1) (0) +
|Ψn i ≈ Ψ(0)
cmn Ψm
n
m6=n
D
mit c(1)
nm =
(0)
(0)
Ψm |Ĥ1 |Ψn
(0)
E
(0)
En − Em
E
(0)
D.h. durch Störung mischen weitere Zustände Ψm mit m 6= n in den Zustand Ψn ein,
(0)
(0)
Einmischungskoeffizient von energetischem Abstand En −Em abhängig, typischerweise
brauchen nur energetisch benachbarte Zustände betrachtet zu werden.
8.1.2 Störungstheorie 2. Ordnung
Abkürzung: H1,ml =
D
(0)
(0)
Ψm |Ĥ1 |Ψl
E
Matrixelement des Störoperators
damit GS bis λ2 auswerten
En =
|Ψn i =
En(0)
+ H1,nn +
X
|H1,nl |2
l6=n
En − El
(0)
1X
|H1,ln |2
1−
2 l6=n (En(0) − El(0) )2
+
H1,ln
X
(0)
l6=n
(0)
En − El
(0)
!
(0) Ψn
E
(0)
Ψl


X 


H1,lm H1,mn
H1,nn H1,ln  (0) E
−
+
2 Ψl
(0)
(0)
(0)
(0)


(0)
(0)


En − El
En − Em
l,m6=n
En − E
l
8.1.3 Störungstheorie mit Entartung
Abkürzung: Mn Eigenvektoren zum Eigenwert En
(0) (0)
Ĥ0 Ψ(0)
Ψnα
nα = En
95
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α = 1, ...Mn Unter Einfluss von Störung Ĥ1 kann diese Entartung (teilweise) aufgehoben
werden ⇒ Übergang zu symmetrieangepassten EV sinnvoll
|ϕmρ i =
Mn
X
Cnρα Ψ(0)
nα
α=1
Entwickung nach Stärke der Störung
Ĥ = Ĥ0 + λĤ1
(1)
+ ..
Enρ (λ) = En(0) + λEnρ
(1) |ϕnρ (λ)i = ϕ(0)
nρ + λ ϕnϕ + ...
einsetzen in Ĥ |ϕnρ (λ)i = Enρ |ϕnρ (λ)i
Ĥ0 + λĤ1
(1) (1) (0) (0)
(1)
ϕ(0)
ϕnρ
+
λ
ϕ
=
E
+
λE
ϕ
+
λ
nρ
nρ
n
nρ
nρ
E
E
(0)
(0) (0)
Terme in λ0 ⇒ Ĥ0 ϕnρ = En ϕnρ (klar)
E D
E
E
E
(0)
(1)
(0) (1) (0)
(0) (1)
1
| Ψnγ Terme in λ ⇒ Ĥ0 ϕnρ + Ĥ1 ϕnρ = En ϕnρ + Enρ ϕnρ
*
+
Ψ(0)
|Ĥ0 | ϕ(1)
| nγ{z
}˛ nρ
D
(0)
En
E
D
(0) (1) (0) (0) (0)
(1)
Ψnγ |ϕnρ + Enρ
Ψnγ |ϕnρ
+ Ψ(0)
|
Ĥ
|ϕ
1 nρ = En
nγ
(0) ˛
Ψnγ ˛
übrig bleibt
D
E
(0) (0) (0)
(1)
Ψ(0)
|
Ĥ
|ϕ
1 nϕ = Enρ Ψnγ |ϕnρ
nγ
Vereinfachung: betrachten spezielles n, lassen n-Index weg
M
(0) X
ϕρ =
Cρα Ψ(0)
α
α
einsetzen
X
Cρα H1,γα =
X
α
⇒
M
X
Cρα Eρ(1) δγα
α
Cρα H1,γα − Eρ(1) δγα = 0 (∗)
α=1
96
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Homogenes Gleichungssystem von M Gleichungen, hat nicht triviale

H
− E (1) . . .
H1,1M
 1,11
..

(1)
=
det H1,γα − E
.

H1,M 1
. . . H1,M M − e(1)
(1)
(2)
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Lösung für



=0

(1)
⇒ M Energiekorrekturen E1 , E2 , ..., EM
(1)
Eρ in (∗) einsetzen, cρα mit α = 1, ..., M bestimmen
E P
E
(0)
(0)
⇒ Symmetrieangepasste EV ϕρ = α cρα Ψα
D.h. welcher Eigenzustand unter Einfluss von Ĥ1 seinen EW um E (1) verändert, ist jetzt
bekannt.
8.1.4 Beispiel: Starkeffekt
Stark-Effekt: Verschiebung und Aufspaltung atomarer Niveaus im el-Feld
2
~
Hier: H-Atom ⇒ Ĥ0 = − 2m
∆−
e2
4π0 r
jetzt Atom im homogenen E-Feld Ē = Eēz
⇒ e− spürt zusätzliches Potential −eEz
Frage der Stabilität!
⇒ Ĥ1 = −eEz
Erinnerung (4.3) WF des ungestörten Problems:
2 −r 1
1s : Ψ100 = R10 Y00 = p 3 e a0 √
4π
a0
97
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1
r
− r
e 2a0 √
2s : Ψ200 = R20 Y00 = p
1−
2a0
4π
(2a0 )3
r
r
3
R21
3
cos θ =
z
2p : Ψ210 = R21 Y10 = R21
4π
r
4π
!
r
r
R
3
3
21
sin θeiϕ = −
(x + iy)
Ψ211 = R21 Y11 = R21 −
8π
r
8π
r
R21
3
Ψ21−1 = R21 Y1−1 =
(x − iy)
r
8π
1
wobei R21 = √ 1
24a30
r
r − 2a0
e
a0
E1 = −Ry ,
E2 = −0, 25Ry
vierfach entartet
1s: nicht entartet
∝ z(antisymmetrisch)
*
⇒
(1)
E100
=
(0)
Ψ100
|
z}|{
Ĥ1
+
(0)
|Ψ100
=0
|{z}
kugelsymmetrisch
in erster Ordnung Störungstheorie keine Energieverschiebung
2s,p: 4-fach entartet → Übergang zu symmetrieangepassten Wellenfunktionen durch Liko
(0) ϕρ = c1ρ |Ψ200 i + c2ρ |Ψ210 i + c3ρ |Ψ21−1 i + c4ρ |Ψ211 i
(0)
vgl. 8.1.3, ciρ , Eρ aus GS
4
X
ciρ H1,ji − E (1) δji = 0 j = 1, ..., 4
i=1
brauchen Matrixelemente H1,ji mit ungestörter WF, insgesamt 16 Matrixelemente
Ĥ1 (z) = −Ĥ1 (−z)
Ψ210 (z) = −Ψ210 (−z)
Ψ21±1 (α) = −Ψ21±1 (−α) α = x, y
⇒ aus Symmetriegründen nur ein Matrixelement 6= 0
D
E D
E
Ψ210 |Ĥ1 |Ψ200 = Ψ200 |Ĥ1 |Ψ210 = 3eEa0
98
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damit GS

(1)
−E


 3eEa0


 0

0
3eEa0
−E (1)
0
0
0
0

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
c
 1 


0
0   c2 
=0



(1)
−E
0   c3 


0 −E (1)
c4
nicht triviale Lösung nur für
(1) 2
(E (1) )2 − (3eEa0 )2 E1 = 0 (Säkulargleichung)
Vier Lösungen:
(1)
E1
E
1 (0) E (0) E
(0)
= −3eEa0 → ϕ1 = √ Ψ200 − Ψ210
2
klar: c1 = −c2 , c3 = c4 = 0
E
1 (0) E (0) E
(0)
(1)
E2 = 3eEa0 → ϕ1 = √ Ψ200 + Ψ210
2
c1 = c2 , c3 = c4 = 0
E
E (0)
(0)
= 0 → Ψ1 = Ψ21−1
E
E (0)
(0)
(1)
E4 = 0 → ϕ4 = Ψ211
(1)
E3
c1 = c2 = 0, c3 und c4 beliebig
D.h. der vierfach entartete, 1. angeregte Zustand des H-Atoms spaltet unter Einfluss des
E-Feldes auf
99
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graphische Interpretation:
Bem.: hier nur Störungstheorie 1.Ordnung
→ linearer Starkeffekt, 2.Ordnung
Störungstheorie liefert den quadratischen Starkeffekt
8.2 Zeitabhängige Störungstheorie
Ĥ(t) = Ĥ0 + Ĥ1 (t)
Ĥ1 .. zeitabhängige Störung
Lösung des ungestörten, stationären Problems
Ĥ0 |ni = En |ni
sei bekannt, gelte hn|mi = δnm ,
P
n
|ni hn| = Iˆ
gesucht ist die Lösung des zeitabhängigen Problems
E
i~ Ψ̇(t) = Ĥ(t) |Ψi
entwickeln |Ψ(t)i nach |ni:
|Ψ(t)i =
X
c̃n (t) |ni =
n
X
n
100
i
cn (t)e− ~ En t |ni
UPB WS 07/08
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UPB WS 07/08
i
e− ~ En t = Zeitabhängigkeit der Lösung des statischen Problems
In SG einsetzen:
i~
X
− ~i En t
ċn (t)e
|ni + i~
X
n
n
=
i
X
cn (t)e− ~ En t Ĥ0 |ni +
| {z }
n
X
En |ni
X
i
i~ċn e− ~ En t |ni =
X
n
i
i
Cn (t) − En e− ~ En t |ni
~
i
cn (t)e− ~ En t Ĥ1 (t) |ni
n
i
cn e− ~ En t Ĥ1 |ni | hm|
n
− ~i Em
i~ċm (t)e
=
XD
E i
m|Ĥ1 (t)|n e− ~ En t cn (t)
n
Definieren Übergangsfrequenz ωnm :=
En −Em
~
damit Bewegungsgleichung für cm (t):
i~ċm (t) =
XD
E
m|Ĥ1 (t)|n e−iωnm t cn (t)
n
System von (i.allg. ∞ vielen) DGL mit zeitabhängigen Koeffizienten
Annahme: System zur Zeit t0 = 0 im Zustand |li
|cn (t)|2 .. Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System zum Zeitpunkt t durch Störung
Ĥ1 (t) in Zustand |ni übergangen ist.
Rt
approximative Lösung t0 dτ
1 X
⇒ cm (t) = cm (t0 ) +
i~ n
Z
t
dτ H1mn (τ )e−iωnm τ cn (τ ) (∗)
t0
Annahme: Ĥ1mn (τ ) kleine Störung
⇒ cm (t) ≈ cm (t0 )
Z
1 X t
(1)
⇒ cm (t) ≈ cm (t) = cm (t0 ) +
dτ H1mn (τ ) × e−iωnm τ cn (t0 )
i~ n t0
(1)
Bem.: höhere Ordnungen durch Einsetzen von cm (t) unter dem Integral (∗)
101
Skript Physik C
Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
UPB WS 07/08
8.2.1 Beispiel: "Fermi’s golden rule"
Untersuchen Störung durch zeitabhängiges, monochromatisches E-Feld
Ē(x̄, t) = ā F ei(k̄x̄−ωt) + F ∗ e−i(k̄x̄−ωt)
(über Real- und Imaginärteil von F beliebige Phase darstellbar)
jetzt Atom im Ē-Feld, e− erfährt zusätzliches Potential V (t) = −ex̄Ē(x̄, t)
⇒ Störoperator Ĥ1 = −ex̄ˆĒ(x̄ˆ, t)
ˆ
ˆ
ik̄x̄
−iωt
ˆ −ik̄x̄ ∗ iωt
= |−ex̄ˆāe
+ (−e
| x̄āe{z F } e )
{z F} e
Â+
Â
|k̄| · |x̄| =
2π
· |x̄|
λ
für |x̄| ∝ Atomdurchmesser, d.h. klein gegen λ, gilt
 ≈ −ex̄ˆāF, Â+ ≈ −ex̄ˆāF ∗
H1ml (τ ) = Aml e−iωτ + A∗ml eiωτ
D
E
mit Aml = m|Â|l = −F ā hm|ex̂|li
nach 1. Ordnung Störungstheorie (8.2):
Z
1 t X
(1)
H1mn (τ )e−iωnm τ cn (0)
dτ
cm (t) = cm (0) +
i~ 0
n
Atom sei vor Einschalten des Feldes in |li, d.h. cn (0) = δnl
damit für m 6= l
c(1)
m (t)
Aml e−i(ωlm +ω)τ
=
i~ −i(ωlm + ω)
t
+
0
A∗ml e−i(ωlm −ω)τ
i~ −i(ωlm − ω)
mit ωlm = −ωml
c(1)
m (t) =
Aml ei(ωml −ω)t − 1 A∗ml e−i(ωlm −ω) − 1
+
i~ i(ωml − ω)
i~ (−i)(ωlm − ω)
jetzt speziell Absorption: ωml ≈ ω nährungsweise Resonanz, d.h. Em ≈ El + ~ω
(1)
wegen ωml − ω ≈ 0 dominiert erster Summand in cm (t) und
c(1)
m (t) ≈
Aml ei(ωml −ω)t − 1
i~ i(ωml − ω)
102
Skript Physik C
Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
UPB WS 07/08
gilt
x
x
x
x
|eix − 1|2 = |ei 2 ei 2 − ei 2 e−i 2 |2
x
x
x
x
= |ei 2 |2 | (ei 2 − e−i 2 ) |2 = 4 sin2
| {z } |
{z
}
2
1
⇒
2
|c(1)
m (t)|
2i sin
x
2
sin2 (ωml − ω) 2t t
|Aml |2 4 sin2 ωml2−ω t
|Aml |2
= Pl→m (t) =
·
·4·
=
~2 (ωml − ω)2
~
(ωml − ω)2 2t 2
{z
}
|
t→∞
→ πδ(ωml −ω)
Bem.: Es gilt:
1
sin2 kx
δ(x) = lim
π k→∞ kx2
Pl→m (t) = |Aml |2
2πt
δ(ωml − ω)
~2
Übergangsrate =
ˆ Übergangswahrscheinlichkeit por Zeiteinheit
ωml =
d
2π
Plm (t) = 2 |Aml |2 δ(ωml − ω)
dt
~
"Fermis goldene Regel"
• Übergangsrate ∝ |Übergangsmatrixelement|2
• Energieerhaltung durch δ - Funktion
103