2.5 Kondensatoren und Feldenergie

30
2.5
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Kondensatoren und Feldenergie
Aus den Rechnungen für eine unendlich ausgedehnte Platte mit homogener Ladungsdichte, die
wir in den Abschnitten 2.2 und 2.4 vorgenommen haben, können wir für das elektrische Feld
zwischen zwei planparallele Platten zwanglos folgern, dass:
1 1
E=
·
ε0 A
!
Qlinks Qrechts
−
2
2
"
Mit der Vorgabe, dass Qlinks = Qrechts = Q folgt für E
E=
1 1
· ·Q
ε0 A
(2.26)
Die Energie, die benötigt wird, um eine Probeladung q " Q von links nach rechts zu verschieben,
beträgt somit:
d = q · V, wobei V = E · d = Potenzial ( differenz) zwischen beiden Platten.
U = q · E · #$%&
#$%&
Kraft Weg
1 d
Mit (2.26) ⇒ (q) ·
· · Q = (q) · V
ε0 A
ε0 A
oder Q =
·V
(2.27)
d
⇒ Ladung und Potenzialdifferenz sind proportional zueinander. Der Proportionalitätsfaktor ist
eine Eigenschaft des Objekts und wird Kapazität genannt. Je höher die Kapazität ist, desto
mehr Ladung wird bei gegebener Spannung auf die Platten geladen.
C = ε0
A
Kapazität eines Plattenkondensators
d
Kapazitäten (von Kondensatoren) spielen in Schaltkreisen aber auch bei der Energiespeicherung
eine wichtige Rolle, insbesondere dann wenn (kurzfristig) hohe Leistungen gewünscht sind.
[Q]
1C
=
= 1F
Farad
[V ]
1V
' (
A
= [ε0 ]
= [ε0 ] · m
d
[C] =
2.5. KONDENSATOREN UND FELDENERGIE
31
⇒ Angabe von Kapazitäten ist auch in Längeneinheiten möglich. Jedoch ist C = 1 cm keine
Angabe in S.I. Einheiten, kann aber durch Multiplikation mit "0 leicht umgerechnet werden.
⇒ Die Kapazität ist proportional zur Lineardimension des Bauteils. Bei der Miniaturisierung
eines Schaltkreises wächst also die Energiedichte quadratisch mit dem Quadrat der inversen
Lineardimension, was auch besondere Anforderungen an die in diesen Schaltungen verwendeten
Materialien stellt.
Die Kapazität kann nicht nur für zwei parallele Platten definiert werden, sondern für allgemeine
Paare von metallischen Objekten.
Kapazität eines Koaxialkabel:
Ein Koaxialkabel besteht aus zwei voneinander isolierten Metalldrähten, siehe Abbildung.
Ra
Im letzten Kapitel:
Ri
λ
1
·
2 π ε0 R
E=
g replacements
+Q
für Ri < R < Ra
−Q
d
λ=
∆Q
Q
≈
∆l
l
Gesamtladung
Gesamtlänge
∆l ist ein Längensegment
Die Energie, die benötigt wird, um eine kleine Testladung von R = Ri nach R = Ra zu verschieben, ist:
U = q
)
Ra
Ri
λ
E(R) dR = q ·
·
2 π ε0
)
#
Ra
Ri
1
dR
R
$% &
a
ln R|R
R =ln Ra −ln Ri =ln
i
(2.28)
Ra
Ri
32
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
⇒U = q·
λ
Ra
· ln
2 π ε0
Ri
#
$%
&
mit
λ=
Q
l
⇒ Q = 2 π ε0 ·
ln RRai
$%
&
#
Potenzialunterschied V
l
·V
(2.29)
C (Koaxialkabel)
⇒ Ein 100 m langes Kabel mit Ra = 2 m und Ri = 1 m hat dieselbe Kapazität wie ein gleich
langes Kabel mit Ra = 20 nm und Ri = 10 nm, nämlich C/"0 =
200π
ln 2
m.
Kugelkondensator:
Die Beschreibung eines Kugelkondensators und die Berechnung seiner Kapazität ist den Übungen
zu entnehmen.
In elektrischen Schaltungen werden Kondensatoren oft seriell oder parallel zu Widerständen, Spulen aber auch zu anderen Kondensatoren geschaltet. Man kann dann jeweils parallel oder seriell
geschaltete Kondensatoren vereinfacht mit der Angabe einer effektiven Kapazität beschreiben.
Parallelschaltung von Kapazitäten:
Q1
eplacements
C1
+Q
−Q
−Q
Q
PSfrag replacements
Q2
+Q
d
−Q
C2
C
d
V
V
Ersatzschaltbild
→
Die Gleichstromquelle (V ) gibt die Potenzialdifferenz vor. An jeder Kapazität liegt dieselbe
Spannung an.
⇒ Q1 = C 1 · V
Q2 = C2 · V
Qgesamt = Q1 + Q2 = (C1 + C2 ) · V
(2.30)
2.5. KONDENSATOREN UND FELDENERGIE
33
⇒ Parallelgeschaltete Kapazitäten addieren sich!
siehe auch:
Cgesamt =
ε0
· (A1 + A2 )
d
Die Flächen einer in zwei Teile geschnittenen Kapazität addieren sich.
Serienschaltung von Kapazitäten:
Q1
Q2
g replacements
+Q
PSfrag replacements
−Q
+Q
d
C1
−Q
Q
C2
−Q
C
d
V
V
Ersatzschaltbild
→
Die Summe der Spannungen muss den externen Spannung entsprechen!
⇒ V1 =
1
·Q
C1
V
=
Q =
V2 =
!
!
1
1
+
C1 C2
1
1
+
C1 C2
"
1
·Q
C2
·Q
"−1
·V
In Serienschaltung addieren sich die inversen Kapazitäten.
Siehe auch
1
1
1
1
=
· (d1 + d2 ) =
+
C
ε0 A # $% & C1 C2
=d
(2.31)
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KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
PSfrag replacements
+Q
−Q
d
d1
d2
Auch komplizierte Serien- und Parallelschaltungen von Kondensatoren lassen sich als effektive
Kapazität darstellen, siehe Übungen. Bei ganz genauer Betrachtung muss man allerdings die
Kapazität als eine Matrix ansehen. Dies zu vertiefen sprengt aber den Rahmen der Vorlesung.
Energie in einem Kondensator
PSfrag replacements
+Q
−Q
d
Qrechts
Qlinks
Jede Partialladung in der linken Platte ”fühlt” das Potenzial der Ladungen auf der rechten Platte.
Die Gesamtenergie, die in der Wechselwirkung zwischen den Ladungen steckt, kann prinzipiell
über Summation bzw. Integration berechnet werden.
Alternativ:
Rechte Platte erzeugt ein E-Feld:
E=−
1 Qrechts
·
2 ε0
A
F = Qlinks · E
(2.32)
2.5. KONDENSATOREN UND FELDENERGIE
35
Nun verschiebe man die linke Platte nach rechts bis sich die beiden Platten berühren.
)
d
(−1) Qrechts
·
dr
2 ε0
A
0
1 Qrechts + Qlinks
Q2 d
= −
·
·d =
·
2 ε0
A
2 ε0 A
⇒U =
Qlinks ·
Damit ist die Energie:
Q2
2C
(2.34)
1
C · V 2.
2
(2.35)
U=
oder wenn wir Q = C · V setzen:
U=
(2.33)
Das ist die Energie, die wir benötigen, um eine Kapazität zu laden. Diese Formel gilt auch für
allgemeine Kondensatoren. Interessanter Weise gibt es offensichtlich keine “Selbstenergie” einer
Platte in dieser Rechnung.
Alternative Sichtweise:
Energie steckt im Feld der wechselwirkenden Ladungen. Ladungen selbst wechselwirken nicht,
sondern sie erzeugen ein Feld, das Energie hat.
Im Plattenkondensator:
E=
Q
ε0 A
in (2.33) eingesetzt:
Q = ε0 · A · E
(ε0 · A · E)2 d
1
⇒U =
·
= ε0 E 2 · (A · d)
2 ε0
A
2
(2.36)
U
1
Energie
= Energiedichte =
= ε0 E 2
Volumen
A·d
2
(2.37)
Diese Formel gilt allgemein - also auch außerhalb eines Plattenkondensator.
Hintergrundwissen: Feldenergie eines Protons
Ein Proton ist prinzipiell ein Punktteilchen. Bei genauer Betrachtung stellt sich jedoch heraus,
dass es einen zwar sehr kleinen, aber dennoch endlichen Radius, R = 0.877 fm hat. Man kann
nun annehmen, dass die Ladungsdichte ρ innerhalb dieses Radius konstant ist und außerhalb
36
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
gleich null und die Feldenergie berechnen.
ρ=
PSfrag replacements
+Q
−Q
*
0
r>R
ρ0 r < R
E
Q
4 π ε0 · R 2
d
R
Betrachte nur Feldenergie außerhalb des Protons, wo der Betrag des elektrischen Feldes gegeben
ist durch:
|E| =
1
1
· 2
4 π ε0 r
Volumen einer Kugelschale der Dicke ∆R: ∆V =
2
4# π
·∆r
$%r&
Oberfläche einer Kugel
) ∞
ε0
ε0 E 2
e2
1
dr 4 π r2 · ·
⇒U =
∆V ·
→
2 · 4
2
2 (4 π ε0 ) r
R
r>R
) ∞
1
1
e2
=
dr
=
8 π ε0 R r 2
8 π ε0 · R
# $% &
∞
1
− 1r | = R
R
+
Setzen wir Zahlenwerte ein, erhalten wir U = 0.82 MeV. Mit Hilfe der Formel E = m · c 2
(hier steht E für Energie), kann man der Energie eine Masse zuordnen. Das Ergebnis ist
m = 1, 46 · 10−30 kg. Dies ist nicht die Masse eines Protons sondern ungefähr die eines Elektrons
(me = 0, 91 · 10−30 kg.) bzw. die seines Antiteilchen. Die Vermutung steckt nun nahe, dass
es einen tieferen Zusamenhang gibt zwischen Protonen und Elektronen. In der Tat kann man
durch Zuführung von Energie dem Proton ein Positron entlocken:
p + !ω → n + e+ + νe
Lese: Proton plus Energie kann übergehen in Neutron plus Positron plus ein Elektronneutrino.