Entanglement - Der charakteristische Zug der Quantenmechanik

Entanglement - Der charakteristische Zug der Quantenmechanik
Philipp Fabritius - Pichtseminar Quantenmechanik
Inhaltsverzeichnis
1
Einführung
2
2
Geschichte
2
3
Verschränkung
3
4
Erzeugung von verschränkten Teilchen
8
5
Anwendungen für die Verschränkung
Received
;
10
accepted
2
1.
Einführung
Die Verschränkung war schon zu Beginn der Erforschung der Quantenmechanik ein kontrovers
diskutiertes Phänomen und so bezeichnete Erwin Schrödinger sie 1935 als den charakteristischen Zug der
Quantenmechanik
1 Heutzutage bietet uns die Verschränkung völlig neue Wege der Informationstechnologie,
wie Quantencomputer und Quantenteleportation. In Zukunft wird uns die Verschränkung wohl noch viel
mehr beschäftigen, denn sowohl Quantencomputer als auch Quantenteleportation können unsere heutige
Kommunikation komplett neu gestalten.
2.
Geschichte
1935 veröentlichten Einstein, Podolsky und Rosen ihre Schrift Can Quantum-Mechanical Description
2
of Physical Reality Be Considered Complete? . In dieser erklärten Einstein, Podolsky und Rosen die
Quantenmechanik aufgrund der Nicht-Lokalität für unvollständig. Die Grundlage ihres Arguments ist
die später sogenannte Verschränkung. Als Antwort auf Einstein, Podolsky und Rosen verfasste Erwin
3
Schrödinger einen zweiteiligen Artikel in den 'Proceedings of the Cambridge Philosophical Society' in
welchem er als Erster den Begri Verschränkung verwendete. Schrödingers Rechnungen führten ihn zu
einem Punkt, wo er die Verschränkung aus heutiger Sicht richtig deutet, aber er glaubt selber nicht an seine
Erkenntnisse.
Bis 1964 versuchten die Physiker die vermeintliche Unvollständigkeit der Quantenmechanik zu
4
beheben. Dann kam John S. Bell und schate es mit seinen Rechnungen die hidden variables Theorie von
Einstein, Podolsky und Rosen zu widerlegen. Die Aussagen von Bell wurden schließlich noch von Clauser
Shimony Horne und Holt auf realisierbare Systeme erweitert, so dass bald darauf die ersten Experimente
mit verschränkten Photonen durchgeführt werden konnten. So geschehen 1972 als Stuart Freedman und
5
John Clauser es als Erste schaten ein Experiment mit verschränkten Photonen durchzuführen. 1997 wurde
dann auch die erste Quantenteleportation erfolgreich von Anton Zeilinger durchgeführt.
3
3.
Verschränkung
Wichtig zum Verständnis der Verschränkung ist der Begri der Lokalität. Lokalität bedeutet, dass ein
Vorgang nur eine Wirkung auf seine unmittelbare räumliche Umgebung hat, daraus folgt wiederum, dass
Nicht-Lokalität bedeutet, dass ein Vorgang eine Fernwirkung ohne räumliche Verbindung haben kann. Für
Einstein war die Nicht-Lokalität der Verschränkung der Grund, warum er nicht an die Vollständigkeit der
Quantenmechanik glaubte.
Doch was ist Verschränkung überhaupt? Vereinfacht kann man sich die Verschränkung vorstellen durch
zwei Teilchen, welche räumlich isoliert sind. Trotz dessen sind diese im Falle einer Messung miteinander
verbunden, die Messergebnisse sind korreliert.
Um die Verschränkung zu denieren ordnet man jedem Teilchen einen Hilbertraum und eine
HA und HB
orthonormale Basis zu. In unserem Fall seien
die Hilberträume und
|miA und |niB die
orthonormalen Basen. Dann ist jede Linearkombination von|miA |niB ein Zustand des Systems
HB und
HA ⊗
kann geschrieben werden als:
|ψiAB =
X
cm,n |miA |niB
(1)
m,n
mit
X
2
|cmn | = 1
(2)
m,n
Ein Spezialfall von (1) ist ein Produktzustand in welchem
|ψiAB in
zwei normierte Zustände zerfällt:
!
|ψiAB = |ϕiA |ϕiB =
X
m
Aber nicht jeder Zustand in
so sagt man
|ψiAB ist
verschränkt!
HA ⊗ HB
(A)
cm
|miA
!
X
cn(B)
|niB
(3)
n
ist ein Produktzustand. Wenn
|ψiAB kein
Produktzustand ist,
4
Reine Zustände:
Für reine Zustände gibt es ein sowohl notwendiges als auch hinreichendes Kriterium für Verschränktheit.
Falls für den Zustand des Systems
|ψi =
6 |ϕiA ⊗ |φiB gilt,
so muss es sich um einen verschränkten Zustand
handeln, denn es kann sich nicht um einen korrelierten Zustand handeln . Es bleibt also nur die Frage ob
ein reiner Zustand ein Produktzustand ist, oder nicht. Um dies herauszunden gibt es zwei Möglichkeiten.
Möglichkeit 1:
(B)
|ψiAB ist ein P roduktzustand ⇔ cmn = c(A)
∀ n, m
m cn
(4)
Möglichkeit 2:
Man deniert zuerst die reduzierte Dichtematrix
ρA = trB |ψiAB AB hψ| =
X
hn|B ρ |niB
(5)
n
Ist nun
|ψiAB ein
Produktzustand, so gilt
Rang(ρA ) = 1
Also ist
|ψiAB verschränkt,
wenn dies nicht gilt.
(6)
5
Gemischte Zustände:
Für gemischte Zustände ist es schwieriger ein Kriterium für die Verschränkung zu denieren. Ein
notwendiges, aber nicht immer hinreichendes Kriterium (hinreichend nur für Systeme der Dimension 2⊗2
und 2⊗3)
ist das sogenannte Positive-Partial-Transpose-Kriterium (PPT). Im Fall eines (2⊗2) gemischten
Systems hat die Dichtematrix die Form

 Q11
X
 .
.
ρ=
pi |ψi iAB AB hψi | = 
 .

i
QM 1
mit (Teilsystem A:
τ,λ
..
.
···

Q1N 

.

.
.


QM N
(7)
B
Teilsystem B: m, n)

Qmn
···
 q11
 .
.
= hm|B ρ |niB = 
 .

qΓ1
···
..
.
···

q1Λ 

.
 ; m = 1, ..., M n = 1, ..., N
.
.


qΓΛ
(8)
Nun kann man die partielle Transposition denieren als
B
ρTmγ,nλ
= ρnγ,mλ ⇔ QTmn = Qnm
Wenn nun
ρTB auch
(9)
6
negative Eigenwerte hat, so ist das gemischte System verschränkt!
6
Hidden variables:
Das Einstein-Podolsky-Rosen Argument:
Wenn man zwei identische Systeme im gleichen Zustand präpariert und die gleichen Messungen
durchführt, so sagt die Quantenmechanik, dass die Ergebnisse nicht gleich sein müssen.
Einstein glaubt aber nicht daran und sagt das es Hidden variables geben muss, welche die Systeme
nicht-identisch machen.
Betrachtet man ein System aus zwei Teilchen
|φi =
√1
2
(|↑iA |↓iB − |↓iA |↑iB )und
misst entlang der
z-Achse (σz ) so macht die Quantenmechanik zwei Vorhersagen:
•
Die Ergebnisse
•
Die gemessenen z-Komponenten sind Anti-korreliert
|↓iund |↑isind
gleich-wahrscheinlich
Sind die Teilchen räumlich isoliert und es wird wieder gemessen, so sind die Ergebnisse wieder anti-korreliert.
Das ist aufgrund der Relativitätstheorie nicht oensichtlich und erscheint falsch zu sein.
Doch man kann die Hidden variablesTheorie mit Hilfe eines Gedankenexperiments von Greenberg,
Horne und Zeilinger widerlegen. Seien nun drei Messpartner Alice, Bob und Claire anwesend und drei
Teilchen im Zustand
|ψGHZ i =
√1
2
(|↑iA |↑iB |↑iC − |↓iA |↓iB |↓iC ),
wobei jeder der Messpartner ein
Teilchen bei sich hat und räumlich von beiden anderen Partnern isoliert ist.
Es werden nun zwei Messungen durchgeführt, beide am Zustand
•
Zwei Partner messen
•
Alle messen
|ψGHZ iist
σy ,
ein Partner misst
|ψGHZ i
σx ⇒Operator σx σy σy
σx ⇒Operator σx σx σx
ein Eigenzustand zu
Operator
σ x σx σx
σx σy σy
Eigenwert
−1
1
Nun nehmen wird angenommen, dass es einen quantenmechanische korrekten Plan gibt, welcher den
Ausgang der Messung festlegt.
7
Zum Beispiel:
sA
x = −1
sA
y =1
sB
x =1
sB
y = −1
sC
x = −1
sC
y =1
Dies sind die Ausgänge welche die jeweiligen Teilchen (A, B, C) bei eine entsprechenden Messung
(x, y) zeigen werden. Man sieht aber, dass die Messung von
σx σx σx das
Ergebnis 1 haben würde, was
wiederum dem quantenmechanischen Eigenwert -1 widerspricht. Man kann nun zeigen, dass Alle Pläne
nicht zufriedenstellend sind:
sx sx sx = −1
B C
sA
x sy sy = 1
B C
sA
y sx sy = 1
B C
sA
y sy sx = 1
Dies sind die Voraussetzungen, welche die Pläne erfüllen müssen. Multipliziert man nun die unteren
drei Gleichungen miteinander so kann man zeigen, dass die erste Gleichung nie erfüllt werden kann:
2 B 2 C 2 A B C
(sA
y ) (sy ) (sy ) sx sx sx = 1
Da
C 2
2
B 2
(sA
y ) = (sy ) = (sy ) = 1
der Eigenwert der Messung
folgt, dass
σx σx σx negativ
B C
sA
x sx sx = 1.
Dies widerspricht aber der Annahme, dass
ist (-1). Die Hidden variables Theorie ist also nicht mit der
Quantenmechanik vereinbar, da die Quantenmechanik probabilistisch ist und erst die Messung den Zustand
eines Systems festlegt.
8
4.
Erzeugung von verschränkten Teilchen
Calcium collision cascade:
Im ersten Experiment mit verschränkten Photonen benutzten Freedman und Clauser Calcium, welches
nach eine Anregung durch eine Wasserstodampampe Photonen emittiert, welche teilweise verschränkt
sind.
Die angeregten Atome benden sich im 3d4p
4p2 1 S0 und
den 4p4s
1
P1 Zustand
zwei Photonen emittiert,
(4L
= 1)
während
γ2 eine
γ1 hat
1
P 1 Zustand,
7% dieser Atome gehen dann über den
in einer Kaskade in den Grundzustand zurück. In dieser Kaskade werden
eine Wellenlänge von 5513Åund ändert den Bahndrehimpuls L um +1
Wellenlänge von 4227Åhat und den Bahndrehimpuls um -1 ändert (4L
= −1).
Die Photonen sind aufgrund der Bahndrehimpulse, welche sie 'transportieren' über die Polarisation
verschränkt.
Das Problem bei dieser Methode ist, dass die Photonen ungerichtet und nicht gleichzeitig emittiert
werden.
9
Spontaneous-parametric-down-conversion
Bei der spontaneous-parametric-down-conversion (SPDC) wird ein Photon in einem nicht-linearen
Kristall gespaltet. Die beiden entstehenden Photonen haben die gleiche Energie und sind über die
Polarisation verschränkt. Bei der Typ-I SPDC ist die Polarisation gleich, bei der Typ-II SPDC ist die
Polarisation entgegengesetzt. Der Grund für die Spaltung ist bis heute nicht klar.
Im Versuchsaufbau werden für die Typ-II SPDC zwei nicht-lineare Kristalle (z.B. beta-Barium-borate
oder Kalium-dihydrogen-phosphat) benötigt. Im ersten Kristall werden die Photonen gespaltet und treten
Kegelförmig aus. Je nach Polarisation im oberen oder unteren Kegel. Die verschränkten Photonen benden
sich in den Schnittpunkten der Kegel. Der zweite nicht-lineare Kristall wird benötigt um die Phase der
beiden Photonen anzugleichen.
10 5.
Anwendungen für die Verschränkung
Quantenteleportation
Bei der Quantenteleportation werden zwei verschränkte Photonen (A und B) erzeugt und anschließend
räumlich getrennt, eines kommt zu Alice (A) und das andere zu Bob (B)
1
|ψAB i = √ (|↑A i |↓B i − |↓A i |↑B i)
2
Nun wollen wir einen Zustand der Form
|ϕC i = a |↑C i + b |↓C iteleportieren.
Man deniert sich dazu:
E
E
1
1
(±)
(±)
ψAC = √ (|↑C i |↓A i ± |↓C i |↑A i) und φAC = √ (|↑C i |↑A i ± |↓C i |↓A i)
2
2
Um den Zustand
(|ϕC i |ψAB i)
|ϕC izu
teleportieren wird
|ψAB iund |ϕC iin
einen reinen Produktzustand gebracht
indem das Teilchen A und C interagieren, B ist räumlich getrennt! . Dieser hat dann die Form:
a
b
|ΨABC i = √ (|↑C i |↑A i |↓B i − |↑C i |↓A i |↑B i) + √ (|↓C i |↑A i |↓B i − |↓C i |↓A i |↑B i)
2
2
Dieser Zustand kann auch geschrieben werden als:
1 (−) E
1 (+) E
ψAC (−a |↑B i − b |↓B i) + ψAC (−a |↑B i + b |↓B i)
4
4
1 (−) E
1 (+) E
+ φAC (b |↑B i + a |↓B i) + φAC (−b |↑B i + a |↓B i)
4
4
E E
(±) (±)
durchgeführte Messung wird in der Basis ψAC , φAC durchgeführt.
|ΨABC i =
Die bei Alice
der vier Zustände aus
|ΨABC idie
Wahrscheinlichkeit
Also hat jeder
1
4 . Bei einer solchen Messung wird B in den dem
Messergebnis entsprechenden Zustand projiziert und A und C werden in einem der Zustände
E
(±)
φAC gefunden.
Um den Zustand
|ϕinun
E
(±)
ψAC ,
bei Bob wiederherzustellen muss Alice Bob den Ausgang ihrer
Messung klassisch mitteilen und dann kann Bob eine einfache Transformation durchführen.
Zum Beispiel, wenn das Messergebnis bei Alice
E
(+)
ψAC ist,
so wird B in den Zustand
(−a |↑B i + b |↓B i)
projiziert, also führt man bei Bob eine Transformation der Form

−1
0
0
1

durch und erhält
|ϕi = a |↑i + b |↓i.
es wurde also teleportiert.
So wurde

 |ϕB i
|ϕibei
Alice zerstört und ist bei Bob wieder aufgetaucht,
11 Quantencomputer
Quantencomputer haben ein Gedächtnis aus Qubits. Ein einzelnes Qubit kann, im Gegensatz zum Bit,
1,0 und jede Superposition von 0 und 1 gleichzeitig sein. Also kann ein Quantencomputer aus n Qubits in
2n Zuständen
gleichzeitig sein. Um mit dem Quantencomputer rechnen zu können werden Quantenregister
benötigt. Diese bestehen aus verschränkten Qubits, der Vorteil ist hier, dass alle Qubits auf die Störung
eines Einzelnen reagieren und, dass nur die Gesamtheit an Qubits deniert ist. So kann man immer eine
Gesamtheit an möglichen Ausgängen betrachten.
Um einen Vorteil aus Quantencomputer zu ziehen werden spezielle Algorithmen gebraucht, z.B. der
Grover-Algorithmus. Dieser dient der Suche in unsortierten Datenbanken und ist rein probabilistisch, d.h.
man kann nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit sagen, ob das gefundenen Ergebnis auch das Gesuchte
ist.
√
Man kann sich den Algorithmus gut an einem quadratischen Gitter, der Seitenlänge
N vorstellen.
Jeder der Gitterpunkte ist ein Eintrag in einer Datenbank. Ein klassischer Computer würde alle Punkte der
Reihe nach durchgehen um den gesuchten Eintrag zu nden. Er bräuchte also eine Anzahl von Schritten der
Ordnung N (Flächeninhalt). Ein Quantencomputer arbeitet mit Vektoren, d.h. der Quantencomputer würde
√
den Vektor in der Gitterebene rotieren und bräuchte dafür nur eine Anzahl von Schritten der Ordnung
(Flächenumfang).
N
12 REFERENCES
1
Erwin Schrödinger, Die Naturwissenschaften 23, 807, 1935
2
Einstein, Podolsky, Rosen, Phys Rev. 47, 777(1935)
3
Erwin Schrödinger, Proc. Camb. Phil. Soc. 31 (1935), 555-63
4
John S. Bell, Physics (NY) 1, 195 (1964)
5
S. Freedman, J. Clauser, Phys. Rev. Letter 28, 14 (1972)
6
Hendrik Niemeyer, Verschränktheitskriterien
This manuscript was prepared with the AAS LATEX macros v5.2.