Vorbereitung

Versuch P2 - 72,73,83: Gamma-Spektroskopie und
Statistik
Vorbereitung
Von Jan Oertlin und Ingo Medebach
20. April 2010
Inhaltsverzeichnis
0 Grundlagen
0.1 Gammastrahlung . . . . . . .
0.2 Wechselwirkung mit Materie
0.2.1 Compton-Effekt . . .
0.2.2 Photoeffekt . . . . . .
0.2.3 Paarbildung . . . . . .
0.3 Funktionsweise des Detektors
0.4 γ-Spektren . . . . . . . . . .
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1 Höhenimpulsspektren
1.1 Messung des Impulssprektrum der γ-Strahlung von 137 Cs im Einkanalbetrieb . . . . .
1.2 Messung des Impulssprektrum der γ-Strahlung von 137 Cs, 22 Na und 60 Co sowie das
Untergrundsspektrum im 1024-Kanalbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Deutung der Impulshöhenspektren aufgrund der verschiedenen Wechselwirkungsprozesse
2 Aktivität des
137 Cs-Präperats
2
2
2
2
2
3
3
3
4
4
4
4
5
3 Röntgenemission
3.1 Energiekalibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bestimmung des unbekannten“ Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
”
5
6
6
4 Statistik
4.1 Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Bestimmung von Mittelwert, Standardabweichung und
welwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Häufigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Der χ2 -Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
. . . . . . . . . . . .
Standardabweichung
. . . . . . . . . . . .
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. . . . . .
des Mitt. . . . . .
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6
6
7
P2 - 72,73,83
Gamma-Spektroskopie und Statistik
0
Grundlagen
0.1
Gammastrahlung
Bei Gammastrahlen (auch γ-Strahlen geschrieben) handelt es sich um elektromagnetische Strahlung.
Meist entsteht sie infolge eines radioaktiven Zerfalls von Atomkernen (z.B. α- oder β-Zerfall): Nach
dem Zerfall bleibt der Kern in einem angeregten Zustand zurück (bildlich: der Kern rotiert). Diese
überschüssige Energie wird in Form von Gamma-Quanten abgegeben. Da der Kern nur bestimmte,
diskrete Energiezustände annehmen kann, sieht weist die Gammastrahlung ein Linienspektrum auf.
Der Kern kann auch durch Neutroneneinfang oder durch vorherige Absorbtion eines γ-Quants in einen
angeregten Zustand gelangen.
Gammastrahlen im weiteren Sinne sind elektromagnetische Wellen mit Energien von mehr als 200
keV. Dabei spielt dann die Entstehung der Strahlung keine Rolle. Außerdem gibt es Gammastrahlenausbrüche die aus dem Weltraum kommen, deren Ursprung allerdings noch nicht geklärt ist.
Gammastrahlung dring weiter in Materialien ein als α- oder β-Strahlung, wird aber exponentiell
mit der Eindringtiefe abgeschwächt. Da die Ordnungszahl der Atome maßgeblich für die Abschirmwirkung sind, wird deshalb oft Blei zur Schwächung der Strahlung genommen.
0.2
Wechselwirkung mit Materie
Trifft Gammastrahlung auf Materie sind die drei folgenden Wechselwirkungen am wichtigsten.
0.2.1
Compton-Effekt
Beim Compton-Effekt handelt es sich um eine Wellenlängenänderung eines Photons infolge einer Streuung an einem (Hüllen-)Elektron. Dieser Effekt lässt sich nur mit Hilfe des Teilchencharakters des Lichtes (bzw. Wellencharater des Elektrons) erklären und tritt bei γ-Quanten-Energien von 100 keV bis
10 MeV auf. Dabei gilt Energie- und Impulserhaltung. Die Änderung der Wellenlänge des Photons
(also der Energie) hängt von dem Streuwinkel (Stoßwinkel) ab.
Somit ist die Wellenlängenänderung ∆λ gegeben durch:
h
(1 − cos φ)
mc
Hierbei ist h das Plancksche Wirkungsquantum, m die Elektronenmasse und c die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Verschwindet der Kosinus, spricht man von der Comptonwellenlänge λC ; die größte
Änderung der Energie tritt bei φ = 180◦ auf und beträgt ∆λ = 2λC .
Die Wahrscheinlichkeit für diese Wechselwirkung steigt linear mit der Anzahl der Kernladungszahl
(also mehr verfügbare Elektronen) der wechselwirkenden Materie und nimmt ab mit der größerer
Energie des Photons.
Wir messen ein Elektronen-Energiespektrum. Wir erhalten kein Linienspektrum, da die Streuung
unter allen möglichen Winkeln vorkommt. Bei maximaler Energieübertragung an das Elektron (also
bei einem Winkel von φ = 180◦ ) erhalten wir eine scharfe Kante, die Commpoton-Kante genannt wird.
∆λ =
0.2.2
Photoeffekt
Der Photoeffekt tritt bei Photonenenergien von wenigen Elektronenvolt bis 100 keV auf. Hierbei wird
im Gegensatz zum Compton-Effekt die gesamte Energie des Photons auf das Elektron übertragen.
2
P2 - 72,73,83
Gamma-Spektroskopie und Statistik
Da das γ-Quant vollständig verschwindet, kann das Elektron in jede Richtung entweichen. Damit
Impulserhaltungssatz nicht verletzt wird, nimmt der Kern einen Rückstoß“ auf. Auf dem Energie”
spektrum kann man erkennen, dass das Elektron die ganze Energie des Quantums aufgenommen hat,
ohne die Bindungsenergie zu verlieren. Dies wird so erklärt, dass das freie Loch“ (da wo das Elek”
tron ursprünglich war) sofort durch ein Elektron aus einer weiter äußeren Schale gefüllt wird. Da das
Elektron in einen Energetisch günstigeren Zustand springt, wird ein neues Photon emittiert. Dieses
kann einen erneuten Compton- oder Photo-Effekt bewirken.
Die Wahrscheinlichkeit dieser Welchselwirkung nimmt mit steigender Ordnungszahl mit einer
höheren Potenz zu; mit steigender Energie des γ-Quants sinkt diese. Als Mindestenergie muss das
Photon die Austrittsarbeit WA aufweisen.
0.2.3
Paarbildung
Hierbei wird aus einem energiereichen γ-Quant ein Elektron-Positronen-Paar innerhalb des elektrischen Feldes eines Atomkerns (oder Elektrons) erzeugt. Dabei muss die Energie der Strahlung mindestend die Ruheenergie der beiden Teilchen betragen (mindestens 1,02 MeV). Das Positron zerstrahlt
recht schnell mit einem weiteren Elektron zu zwei antiparallel emittierten Photonen. Diese können
jeweils wiederum einen Photo- oder Quanteneffekt bewirken oder auch den Detektor verlassen.
Die Paarbildung ist im direkten Sinne nicht ionisierend, jedoch wirken die zwei entstandenen
Teilchen dem entsprechend.
Bei Gammastrahlung mit genügend Energie kann die Paarbildung der vorherrschende Effekt sein.
In unserem Fall jedoch haben wir eine zu geringe Energie der Quanten und dem entsprechend spielt
dieser Effekt keine Rolle.
0.3
Funktionsweise des Detektors
In unseren Versuchen benutzen wir einen Szintillatorzähler mit einem Natriumiodit-Einkristall, welcher mit Thallium dotiert ist. Wenn auf den Kristall ein γ-Quant trifft, werden dort schlussendlich
Photonen emittiert mit weit weniger Energie. Diese lösen aus der sogenannten Photokathode Elektronen raus (ca. 100), bedingt durch den Photoeffekt. Allerdings ist hier die Energie deutlich niedriger,
also werden nur freie Elektronen freigesetzt. Diese Anzahl ist nicht messbar, da das elektronische Hintergrundrauschen dies überdeckt. Zur Verstärkung wird ein Sekundärelektronenvervielfacher (SEV)
benutzt. Dieser besteht aus einer Serie von Prallelektroden bzw. Dynoden. Diese sind je auf einem
rund 100 V höheren Potential als die Vorherige. Dadurch wird das ursprüngliche Signal stark vervielfacht, bei einem 14 stufigen SEV bis zu einem Faktor eine Milliarde. Diese Spannung liegt nun im
messbaren Bereich.
Der SEV muss mit einer stabilisierten Hochspannung betrieben werden, damit die Vervielfachung der
Elektronen bei gleichem Anfangsimpuls gleich bleibt.
0.4
γ-Spektren
Da wir die γ-Quanten nicht diekt messen können, messen wir die Energie der Sekundärelektronen
und deren relative Häufigkeit. Da wir annehmen, dass die Energie der Elektronen mit der Energie des
γ-Quants zusammenhängt, können wir anhand des aufgenommenen Spektrum Rückschlüsse auf die
Gammastrahlung machen.
Bei dem Spektrum gibt es besondere Stellen, die wir im Folgenden kurz erläutern:
3
P2 - 72,73,83
Gamma-Spektroskopie und Statistik
• Rückstreu-Peaks: Diese kommen zustande, wenn Quanten aus dem Detektor entweichen, außerhalb gestreut und nun registriert werden.
• Photopeak: Hierbei handelt es sich um einen Peak, bei dem die gesamte Energie des Photons
auf das Elektron übertragen wird (Photoeffekt).
• Comptonkante: Da nur eine bestimmte, maximale Energie durch den Comptoneffekt vom γQuant auf das Elektron übertragen werden kann, erscheint eine Kante“ im Spektrum, hinter
”
der der Comptoneffekt keine Rolle mehr spielt (nur noch der Photoeffekt).
• Escape-Peaks: Werden Photonen, welche infolge der Paarbildung enstanden sind, registriert,
werden Peaks bei relativ hohen Energien aufgenommen. (Wir erwarten aber keine Paabildung.)
• Röntgenlinie bei 137 Cs: Geht ein angeregter Bariumkern in den Grundzustand zurück, kann
es passiere, dass die Energie an ein kernnahes Hüllenelektron übergeben wird und dieses dann die
Hülle verlässt. Wird nun das Loch“ durch ein anderes Elektron wieder gefüllt, emittiert dieses
”
ein Quant mit 32 keV. Dieser Peak kann fälschlicherweise als Photolinie interpretiert werden.
1
1.1
Höhenimpulsspektren
Messung des Impulssprektrum der γ-Strahlung von
137
Cs im Einkanalbetrieb
Wir sollen hier das Impulsspektrum der γ-Strahlung von 137 Cs in 10 Sekunden Intervallen messen.
Der Abstand zwischen radioaktiver Quelle und Szintillatorvorderfläche soll so eingestellt werden, dass
die Zählrate wenigstens 1000 s−1 beträgt. Das Gesamtspektrum erhalten wir durch Zusammenführen
der einzelen Intervallmessungen
1.2
Messung des Impulssprektrum der γ-Strahlung von 137 Cs, 22 Na und 60 Co sowie
das Untergrundsspektrum im 1024-Kanalbetrieb
Hier soll der Detektorbereich von der höherenergetischen Strahlung (60 Co, 1173 und 1333 keV) ausgenutzt werden. Der gleiche Bereich soll auch auch für Messungen von 137 Cs (662 keV) und 22 Na (511
und 1275 keV) benutzt werden. Die Abstände der Präperate soll so gewählt werden, dass die Zählraten
in etwa gleich sind und 1000 s−1 bis 1500s−1 beträgt. Die Spektren sollen gegebenenfalls wegen dem
Untergrundspektrum korrigiert werden.
1.3
Deutung der Impulshöhenspektren aufgrund der verschiedenen Wechselwirkungsprozesse
Hier sollen die gemessenen und die berechneten Energien verglichen werden. Dazu bietet sich besonders
bestimmte Stellen im Spektrum an, wie etwa Comptonkanten. Für die Berechnung der Energie EC an
der Comptonkante benutzen wir folgende Formel:
!
1
EC = Eν 1 −
1 + m2Ee cν2
Wir erhalten folgende Werte:
4
P2 - 72,73,83
Gamma-Spektroskopie und Statistik
60 Co
137 Cs
22 Na
Eν in keV
1173
1333
662
511
1275
EC in keV
962,90
1118,29
477,42
340,47
1061,85
Um die Anzahl der Elektronen ne abzuschätzen, benutzen wir folgenden Zusammenhang:
∆E
∆ne
=
E
ne
mit ∆E als Halbwertsbreite des Peaks (die Breite bei halber Höhe) und E als Energie beim Peakmaximum. Für ∆ne gilt folgender Zusammenhang:
∆ne
1
=√
ne
ne
Es folgt:
ne =
E
∆E
2
Es soll noch die Linearität der Apparatur geprüft werden, indem wir die Informationen aus drei
Spektren verwenden.
2
Aktivität des
137
Cs-Präperats
Hier wollen wir die Aktivität von unserem
wandlungen pro Zeitintervall stattfinden.
137 Cs-Präperat
bestimmen, also wie oft radioaktive Um-
dN
dt
Da aber nicht alle Zerfälle vom Detektor registriert werden, muss A noch mit der Absorbtionswahrschienlichkeit q des Kristalls korrigiert werden.
A=
Areal =
A
q
Wir messen die Aktivität dabei bei verschiedenen Abständen der Quelle vom Detektor. Für q gibt es
in der Vorbereitungshilf ein entsprechendes Diagramm. Dieses Diagramm berücksichtigt schon, dass
nicht alle Quanten den Detektor erreichen und in diesem auch nicht alle registriert werden.
3
Röntgenemission
Nun werden wir andere Materialien die schwerere Kerne haben mit 137 Cs untersuchen. Dazu legen die
die Materialien direkt auf den Szintillator und erhöhen die Messgenauigkeit.
5
P2 - 72,73,83
Gamma-Spektroskopie und Statistik
3.1
Energiekalibration
Wir nehmen wieder die Anzahl der Impulse bei bestimmten Energien auf. Nun Skalieren wir unsere
Messergebnisse anhand der Ba und Pb-Kα Röntgenlinien. Danach tragen wir diese über Z 2 auf (Z ist
die Ordnungszahl des Elementes). Hilfrei hierbei ist Moselesysches Gesetz.
3.2
Bestimmung des unbekannten“ Elements
”
Nun sollten wir anhand der Messdaten und der Tabelle bzw. des Diagramms aus der Vorbereitungshilfe
herausfinden können, welches Element wir untersucht haben.
4
Statistik
4.1
Messung
Nun untersuchen wir die statistische Verteilung der Ereignisanzahlen. Dazu nehmen wir mindestens
150 Spektren mit je 256 Energieintervallen bei 1 s Messzeit auf. Dabei sind die Einträge nicht vorhersagbar und stellen somit einen natürlichen Zufallsgenerator dar.
Von den gewonnenen Messdaten sollen wir zwei Stichprobem mit je 150 Zahlen nehmen:
1. Wir addieren aus einem Spektrum einen kleinen Bereich der Zahlen auf. Der Mittelwert dieser
Summen soll je ungefähr drei betragen.
2. Wir sollen die Gesamtzählrate der einzelnen Spektren verwenden.
4.2
Bestimmung von Mittelwert, Standardabweichung und Standardabweichung
des Mittwelwertes
Wir berechnen hier den Mittelwert, die Standardabweichung und die Standardabweichung des Mittelwertes der zwei Stichproben. Dann sollen wir noch prüfen, ob die Standardabweichung der Einzelmesswerte gleich der Wurzel aus dem Mittelwert ist. Dies verlangt die Poisson-Verteilung.
Die Poissonverteilung beschreibt Zufallsprozesse, in denen die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen
eines Ereignis konstant und sehr klein ist. Die Wahrscheinlichkeit Wi , dass bei einem Mittelwert ξk
die pro Zeiteinheit gemessene Anzahl von Zufallereignissen ki ist, berechnet sich nach dem Gesetz:
Wi =
ξkki −ξk
e
ki !
ki nimmt nur ganzzahlige, positive Werte an.
4.3
Häufigkeitsverteilung
Hier sollen die Häufigkeitsverteilungen aus den Stichproben graphisch dargestellt werden. Ebenso berechnen wir mit dem Mittelwert xm die Poisson- und mit xm sowie s die Gaußverteilung. Diese werden
ebenfalls eingezeichnet und verglichen.
6
P2 - 72,73,83
Gamma-Spektroskopie und Statistik
Die Gaußverteilung ist gegeben durch
1
(x − xm )2
√ · exp −
2s2
s 2π
Für die Poissonverteilung benutzen wir die Formel von 4.2 mit ξk = xm .
4.4
Der χ2 -Test
Hier sollen wir testen, aus welcher Verteilung die Stichprobe 1 stammt: Normalverteilung oder Poissonverteilung. Dazu nimmt man die χ2 -Funktion:
χ2 =
X (Bk − Ek )2
Ek
k
Wobei Bk die beobachtete und Ek die erwartete Häufigkeit aus einer Klasse ist. Dabei muss die
Stichprobe in k Klassen eingeteilt werden.
Nun könen wir anhand einer Tabelle feststellen, ob die angenommene Verteilung den Messwerten
entspricht.
7