Einführung in die Plasmaphysik - Universität der Bundeswehr

Einführung
in die
Plasmaphysik
HB
S
-1-
W
Vorwort
Der vorliegende Text stellt eine phänomenologische Einführung in die Plasmaphysik dar. Auf exakte mathematische Ableitungen und detaillierte Diskussionen wurde
verzichtet, da das vorrangige Ziel ein grundlegendes Verständnis für die Bewegungsvorgänge im Plasma ist.
Das Schriftstück ist gedacht als begleitendes Skriptum zur Vorlesung „Einführung in
die Plasmaphysik“, die an der Universität der Bundeswehr München für Studenten
der Elektrotechnik und Informationstechnik im 8.Trimester als Wahlpflichtvorlesung
angeboten wird. Das Skriptum ist im wesentlichen das Vorlesungsmanuskript von
Prof. Dr.-Ing. G. Seeger, der die Vorlesung praktisch seit Gründung der Universität
(1973) hält.
Aufbauend auf dieser Grundlagenvorlesung werden zwei weitere Wahlpflichtvorlesungen angeboten, deren Schwerpunkt in der Diskussion technologischer Anwendungen von Plasmen liegt:
Wahlpflichtvorlesung (9. Trimester): „Einführung in die Plasmatechnik“, Prof.Dr.-Ing. K. Landes.
Wahlpflichtvorlesung (10. Trimester): „Angewandte Plasmatechnik“, Prof.-Dr.Ing. K. Landes.
Langmuir definierte „Plasma“ als ionisiertes Gas, also ein Medium, das freie Ladungsträger (Elektronen und Ionen) enthält und daher mit elektrischen und magnetischen Feldern wechselwirkt. Die Plasmaphysik befasst sich demnach mit dem Verhalten ionisierter Gase unter dem Einfluß elektrischer und magnetischer Felder.
Ausgangspunkt der Vorlesung ist das Einzelteilchenmodell, also die Beschreibung
des Bewegungsverhaltens eines einzelnen Ladungsträgers in einem elektromagnetischen Feld. Bereits mit diesem einfachen Modell lassen sich Vorgänge in sehr „verdünnten“ Plasmen (z.B. Ionosphäre) beschreiben und grundlegende Plasmaeigenschaften (z.B. Plasmafrequenz) ableiten.
Über die Einführung der Verteilungsfunktion wird dieses Modell auf das Kollektiv einer Teilchensorte ausgedehnt.
Das Zusammenwirken mehrerer Teilchenkollektive schließlich, wie es in einem
Plasma der Fall ist, wird durch die Magneto-Hydrodynamik (MHD) beschrieben und
stellt den Schlußpunkt dieser Vorlesung dar.
-2-
Inhaltsverzeichnis:
1.
Einleitung............................................................................................................. 4
1.1. Begriffsbestimmung: „Was ist Plasma?“....................................................... 4
1.2. Plasma in der Natur...................................................................................... 4
1.3. Plasma in der Technik.................................................................................. 5
2. Einzelteilchen-Modell........................................................................................... 9
2.1. Bewegungsgleichung, Grundlagen............................................................... 9
2.2. E-Feld allein ................................................................................................. 9
2.3. Magnetfeld allein ........................................................................................ 11
2.4.
E und B gemeinsam ................................................................................... 12
3. Ionosphäre, Anwendung des Einzelteilchen-Modells ........................................ 16
4. Elementare Stoßprozesse ................................................................................. 21
4.1. Grundbegriffe und Definitionen .................................................................. 21
4.2. Der elastische Zweierstoß.......................................................................... 21
4.3. Wirkungsquerschnitt................................................................................... 21
5. Behandlung des Kollektivs ................................................................................ 32
5.1. Verteilungsfunktion, Mittelwerte, Bilanzgleichungen................................... 32
5.1.1. Verteilungsfunktion und Mittelwerte .................................................... 32
5.1.2. Massenbilanz ...................................................................................... 32
5.1.3. Impulsbilanz ........................................................................................ 33
5.2. Boltzmann-Gleichung ................................................................................. 36
5.3. Gleichgewicht - Maxwell-Verteilung............................................................ 39
5.4. Herleitung von Bilanzgleichungen aus der Boltzmanngleichung (MomentenMethode)............................................................................................................... 41
6. Plasma (gesamt) als „Fluid“............................................................................... 52
6.1. Definitionen ................................................................................................ 52
6.2. Massenbilanz ............................................................................................. 52
6.3. Impulsbilanz ............................................................................................... 53
6.4. Energiebilanz ............................................................................................. 54
7. Übungsaufgaben ............................................................................................... 58
7.1. Übungsaufgabe 1 (Ladungsträgerbewegung) ............................................ 58
7.2. Übungsaufgabe 2 (Drehimpulserhaltung)................................................... 61
7.3. Übungsaufgabe 3 (Coulombstoß - Geometrie) .......................................... 64
7.4. Übungsaufgabe 4 (Coulombstoß – differentieller Wirkungsquerschnitt)..... 67
7.5. Übungsaufgabe 5 (Bewegungsgleichung, schwach ionisiertes Gas) ......... 68
7.6. Übungsaufgabe 6 (komplexe elektrische Leitfähigkeit) .............................. 69
7.7. Übungsaufgabe 7 (Überlegungen zum Drucktensor) ................................. 72
7.8. Übungsaufgabe 8 (Maxwellverteilung - Geschwindigkeitskomponenten)... 78
7.9. Übungsaufgabe 9 (Maxwellverteilung - Geschwindigkeitsbeträge) ............ 81
7.10.
Übungsaufgabe 10 (Maxwellverteilung - Sondenmeßtechnik)................ 83
7.11.
Übungsaufgabe 11 (Impulsbilanz einer Teilchensorte)........................... 85
7.12.
Übungsaufgabe 12 (Drucktensor)........................................................... 90
7.13.
Übungsaufgabe 13 (Magnetohydrodynamik) .......................................... 92
7.14.
Übungsaufgabe 14 (tensorielle Leitfähigkeit).......................................... 94
-3-
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 1 - Einleitung
1. Einleitung
In einem ersten Abschnitt (Kap.1.1) wird zunächst der Begriff Plasma erklärt. Was ist
eigentlich ein Plasma? Durch welche charakteristischen Eigenschaften zeichnet sich
ein Plasma aus?
Die beiden anschließenden Kapitel zeigen eine Zusammenstellung in der Natur vorkommender Plasmen (Kap.1.2) und technisch erzeugter bzw. genutzter Plasmen
(Kap.1.3).
1.1.
Begriffsbestimmung: „Was ist Plasma?“
Begriffsbestimmung Plasma:
Als Plasma bezeichnet man ein ionisiertes Gas, bei dem die aufgrund der Ionisation
vorhandenen freien Ladungsträger wesentlich die physikalischen Eigenschaften des
Gases bestimmen.
Ein Plasma besteht demzufolge aus mehreren „Komponenten“ (Teilchenarten). Beispielsweise enthält ein Wasserstoffplasma im allgemeinen folgende Komponenten:
Moleküle H2,
Atome H,
Ionen H+ (Protonen) und
Elektronen e-.
Was unterscheidet das Plasma vom Neutralgas?
Wegen des Vorhandenseins von freien Ladungsträgern kann ein Plasma durch äußere elektrische und magnetische Felder beeinflußt werden (daher stellt die Plasmaphysik auch ein Teilgebiet der Elektrotechnik dar).
Als dominierende Wechselwirkung zwischen den einzelnen Gasteilchen ist der Billard-Stoß im Neutralgas durch den Coulomb-Stoß im Plasma zu ersetzen (sehr viel
größere Reichweite der Coulomb-Kräfte elektrisch geladener Teilchen).
Die möglichen Übergänge zwischen den einzelnen Komponenten (Teilchenarten)
eines Plasmas sind in der nachfolgenden Grafik zusammengestellt:
Dissoziation
Molekül
Atom
Assoziation
Ionisation
Atome
Moleküle
Ionen + Elektronen
Rekombination
Angeregt werden diese Übergänge durch Energiezufuhr (Dissoziation, Ionisation)
bzw. –abfuhr (Assoziation, Rekombination) am Plasmagas. Beispielsweise kann ein
Stoß zwischen einem energiereichen Elektron und einem Neutralteilchen zur Ionisierung des Neutralteilchens führen (Stoßionisation im Wasserstoffplasma: H+e→H++2e-). Umgekehrt ist auch die Rekombination eines Elektrons mit einem positiv
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Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 1 - Einleitung
geladenen Ion möglich (H++e-→H), wobei die überschüssige Energie in Form von
Strahlung (Lichtemission, gewöhnlich mit hohem UV-Anteil) abgegeben wird.
Im „statonären Betrieb“ stellt sich ,unter bestimmten Voraussetzungen, ein Gleichgewichtszustand zwischen den Übergangsprozessen ein. In diesem Fall läßt sich das
Plasma durch nur eine unabhängige Variable ,die Temperatur T, die über die mittlere
kinetische Energie der Gasteilchen definiert ist, beschreiben. Im thermischen Gleichgewicht besitzen alle Teilchensorten die gleiche Temperatur. Die entsprechenden
Anzahldichten jeder Teilchensorte (die natürlich temperaturabhängig sind) lassen
sich dann mit Hilfe der Saha-Gleichung, dem Partialdruckgesetz und der Annahme
von Quasineutralität berechnen. Die nachfolgende Grafik zeigt beispielsweise das
Teilchendichte-Diagramm für Argon bei Atmosphärendruck im thermischen Gleichgewicht.
[ ]
Anzahldich te m -3
1E25
Neutrale
1E24
Elektronen
1E23
Dreifach-Ionen
1E22
1E21
Zweifach-Ionen
1E20
1E19
Einfach-Ionen
1E18
1E17
0
10000
20000
30000
40000
50000
Temperatur [K ]
Nicht-Gleichgewichts-Plasmen dagegen stellen wesentlich höhere Ansprüche an ihre
mathematisch-physikalischen Beschreibungsmodelle. Beispielsweise herrscht in
Nicht-Gleichgewichts-Plasmen keine einheitliche Temperatur der Plasmagaskomponenten (→ „heiße“ Elektronen + „kalte“ Ionen). „Niedrige“ Temperaturen
und/oder hohe elektrische Feldstärken sind oft die Ursachen für ein derartiges thermisches Ungleichgewicht (→ Leuchtstoffröhren).
1.2.
Plasma in der Natur
Auf der Erde ist der „Materiezustand“ Plasma die Ausnahme; im gesamten Universum dagegen befindet sich weit über 99% der Materie im Plasmazustand (jede Sonne ist ein reines Plasma). So gesehen ist Plasma eigentlich der Normalzustand, die
Bedingungen auf der Erde stellen die Ausnahme dar.
Das wohl einzige auf der Erdoberfläche natürlich vorkommende Plasma ist der Blitz,
eine Hochstrom-Plasmaentladung zwischen elektrisch unterschiedlich geladenen
-5-
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 1 - Einleitung
Wolken bzw. zwischen Wolke und Erdoberfläche. Kurzzeitig fließen in Blitzentladungen extrem hohe elektrische Ströme. Damit verbunden sind hohe Magnetfelder
K
K
K
K
(Durchflutungsgesetz: ∫ j • da = Ι eing. = ∫ H • d r , vgl. Grundlagen der Elektrotechnik I,
A
R
Kap. 5) und schnelle zeitliche Änderungen dieser Magnetfelder, was zu InduktionsK
K
dφ
vorgängen führt ( uind. ∝
mit φ = ∫ B • da , vgl. Grundlagen der Elektrotechnik I,
dt
A
Kap 6). In Leitungen und Kabeln mit ihrer zwar hohen aber doch endlichen Leitfähigkeit führen derart hohe Ströme zu enormen Leistungsumsätzen (Leistungsdichte
j2
p = , vgl. Grundlagen der Elektrotechnik I, Kap 4). Blitzentladungen sind außerdem
σ
die Quellen extrem niederfrequenter Wellen.
Als weiteres natürliches Plasma in Erdnähe ist die Ionosphäre anzuführen. Hierbei
handelt es sich um ein stark verdünntes Plasma, dessen Eigenschaften durch relativ
einfache Modelle zu beschreiben sind (z.B. Einzelteilchenmodell, näheres dazu in
Kap.3). Seine Entstehung hat die Ionosphäre vor allem der kurzwelligen, energiereichen Sonnenstrahlung zu verdanken, die zu Dissoziation bzw. Ionisation der Gasmoleküle bzw. –atome führt. Aufgrund der freien Elektronen in diesem Plasma treten
Wechselwirkungen mit elektromagnetischen Wellen auf (→ Reflexion, Brechung, ...).
Im Abstand einiger Erdradien von der Erdoberfläche befindet sich die Magnetosphäre, ein dünnes Plasma aus hochenergetischen Ladungsträgern, das vom „Sonnenwind“ (Teilchenstrom von der Sonne) gespeist wird. Diese freien Ladungsträger
wechselwirken stark mit dem Erdmagnetfeld und führen in Polnähe zu den bekannten Polarlichtern.
1.3.
Plasma in der Technik
Plasmen finden in der Technik zunehmend Anwendung. Als bekanntestes Beispiel
dafür ist wohl die kontrollierte Kernfusion anzuführen, deren ökonomische Machbarkeit allerdings noch nicht erwiesen ist. Im Gegensatz zur Kernspaltung schwerer
Elemente (Kernkraftwerk) verschmelzen bei der Kernfusion leichte Elemente unter
Abgabe von Energie. Die effektivste Reaktion dafür ist das Verschmelzen von Deuterium mit Tritium zu Helium.
D + T → 4 He + n + 17.58 MeV
Diese Reaktion benötigt bei größtem Wirkungsquerschnitt die geringste Stoßenergie
der Partner (65keV). Deuterium kommt in ausreichender Menge natürlich vor, das
Tritium muß gemäß folgender Reaktion aus Lithium gewonnen werden:
6 Li + n → 4 He + T + 4.78 MeV
Die großen technologischen Probleme, die noch nicht vollständig gelöst sind, liegen
in
-6-
Einführung in die Plasmaphysik
der Energiebilanz eines
solchen Reaktors,
der Erfüllung des Zündkriteriums (Es müssen
genügend viele Teilchen
genügend lange einschließen, damit der Anteil der Fusionsstöße
merklich wird) und
der Unterdrückung von
Wandeffekten, die zu
Verunreinigungen bzw.
Abkühlung des Plasmas
führen.
Kapitel 1 - Einleitung
nτE (s/cm3)
ε:
τE:
Bruchteil, der zur Plas
mazündung notwendig ist
Einschlußzeit
ε=1
1014
25 keV ↔ 3⋅108 K
Die zwei grundlegenden
10
100 1000
T (keV)
Konzepte, die in der Fusionsforschung verfolgt werden sind
magnetischer Einschluß: 105 Gauß halten das Plasma zusammen.
o Pulsbetrieb: „Lawson-Kriterium“
Trägheitseinschluß: Laserfusion (die für Kraftwerke allerdings nicht verwendbar
ist).
MHD-Generator:
Magneto-Hydro-Dynamischer-Generator
o Ladungstrennung
o Vorschaltkraftwerk
o Extrem schnelle Anfahrzeit
K
B
K
v
K
K K
Ei = v × B
K
j
Beleuchtungstechnik:
Niederdruckentladungen in Leuchtstoffröhren
Hochdruckentladungen in Bogenlampen
Gaslaser
Schaltertechnik:
Schweißtechnik:
Schutzgasschweißen
Plasmabrenner:
Schweißen und Schneiden
-7-
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 1 - Einleitung
Plasmaspritzen
-8-
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 2 – Einzelteilchen-Modell
2. Einzelteilchen-Modell
In diesem Kapitel wird das Verhalten eines einzelnen, isolierten Ladungsträgers unter dem Einfluß äußerer Felder (Kräfte) diskutiert. Zu untersuchen ist die Bewegung
des Ladungsträgers, wobei zunächst Wechselwirkungen mit anderen Ladungsträgern (Stöße, vgl. Kap.4) vernachlässigt werden. Dieses einfache Modell kann bereits
gut zur Beschreibung sog. verdünnter, „kalter“ Plasmen (vgl. Kap.3) herangezogen
werden.
K
K
Ort r und Geschwindigkeit v eines betrachteten Teilchens zur Zeit t sind zunächst
K
K dr
keine unabhängigen Variablen, sondern gemäß v =
miteinander verknüpft. Damit
dt
läßt sich beispielsweise die Bahnkurve des isolierten Einzelteilchens berechnen.
Im Gegensatz dazu werden bei der Betrachtung des Ladungsträger-Kollektivs (vgl.
Kap.5) Ort, Zeit und Geschwindigkeit als unabhängige Variablen eingeführt. Es wird
nach der Anzahl der Teilchen gefragt, die diese Eigenschaft haben.
2.1.
Bewegungsgleichung, Grundlagen
Es wird zunächst ein einzelner Ladungsträger mit der Ladung q und der Masse m
K
K
betrachtet. Als äußereK Felder wirken ein elektrisches Feld E , ein Magnetfeld B und
das Gravitationsfeld g , die alle als orts- und zeitunabhängig angenommen werden.
Damit erhält man folgende Bewegungsgleichung (Kraftgleichung) für den LadungsK
K
träger, der sich zur Zeit t am Ort r (t ) befindet und sich mit der Geschwindigkeit v (t )
bewegt:
K
K K K
K
dv
m⋅
= q⋅ E + v ×B + m⋅ g
dt
(
)
K
τ(t )
Bahnkurve
(„Schmiegungsebene“):
ds = v ⋅ dt
K
n
R
K
τ(t + dt )
dα
K
v (t + dt )
Krümmungsmittelpunkt
dα
K
τ(t + dt )
K
v (t )
K
τK :
n:
K
τ(t )
K
dτ
-9-
Tangenteneinheitsvektor
Hauptnormalenvektor
(Einheitsvektoren)
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 2 – Einzelteilchen-Modell
Für die Beschleunigung, die der Ladungsträger erfährt, gilt
K
K dv
K
K
mit: v = v ⋅ τ
(siehe Abbildung)
a=
dt
also (Produktregel der Differentiation):
K
K d
dτ
K K dv
+v⋅
a = (v ⋅ τ ) = τ ⋅
dt
dt
dt
Mithilfe einfacher geometrischer Überlegungen (siehe vorige Abbildung) läßt sich
ansetzen:
K ds K v ⋅ dt
K K
= n⋅
d τ = n ⋅ dα = n ⋅
R
R
Die beiden letzten Gleichungen ineinander eingesetzt
liefern für den betrachteten
K
Ladungsträger den Beschleunigungsvektor a , der sich zusammensetzt aus einer
K
K
Tangentialkomponente a tangential und einer Normalkomponente anormal (bezogen auf
die Bahnkurve innerhalb der Schmiegungsebene):
K
K dv K dv K v 2 K
K
a=
= τ⋅
+n⋅
= a tan gential + a normal
dt
dt
R
K
Die Tangentialkomponente a tangential ergibt sich aus der zeitlichen Änderung des
K
dv
Geschwindigkeitsbetrags
, während in der Normalkomponente anormal die Richdt
tungsänderung enthalten ist (vgl. Zentrifugalkraft bei Kreisbewegung:
v2
).
FZ = m ⋅ a = m ⋅
R
Impuls:
K
Für den Impuls Ι des Ladungsträgers gilt
K
K
K
K
K
K
Ι = m⋅v
(Zeitintegral der Kraft: Ι = m ⋅ v = m ⋅ ∫ a ⋅ dt = ∫ F ⋅ dt )
K
bzw. für die KKraft F :
K
G dΙ d
K
dv
F=
= (m ⋅ v ) = m ⋅
dt dt
dt
Die Impulsänderung (bezogen auf einen beliebigen Ausgangszeitpunkt t 0 ) berechnet
sich also aus der Kraft auf den Ladungsträger gemäß:
K
K
t K
t
v
K
K
K
K
K
dv
(
)
F
⋅
dt
'
=
m
⋅
⋅
dt
'
=
m
⋅
d
v
=
m
⋅
v
−
m
⋅
v
=
Ι
t
−
Ι (t 0 )
0
∫
∫ dt'
∫
K K
t' = t
t' = t
v' = v
0
0
0
Energie:
Die Änderung der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse m entspricht der
Arbeit, die das Teilchen verrichtet (die am Teilchen verrichtet wird) und errechnet
sich aus der KraftKüber ein Wegintegral:
K
K
r2
r2 (t 2 )
K K
dv K
A 12 =
∫ F ⋅ d r ' = K ∫K m ⋅ dt ⋅ v ⋅ dt =
K K
r ' = r1
r ' = r1(t1 )
2
K K
1
= m ⋅ ∫ v ⋅ dv = m ⋅ ⋅ v 2 2 − v 12 = Wkin,2 − Wkin,1
2
1
(
)
- 10 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 2 – Einzelteilchen-Modell
K
Im Fall einer konservativen Kraft F wird die Änderung der kinetischen Energie ausgeglichen durch eine Änderung der potentiellen Energie. Die Kraft läßt sich in diesem
Fall ansetzen als Gradient einer skalaren Potentialfunktion Φ :
K
F = −grad(Φ )
m 2 m 2
v 2 − v1 = Wkin,2 − Wkin,1 =
2
2
2K
2
2
K
K
= ∫ F • d r = − ∫ d r • grad(Φ ) = − ∫ dΦ = Φ1 − Φ 2
1
1
1
Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie ist also konstant (Energieerhaltung):
Wkin,1 + Φ 1 = Wkin,2 + Φ 2
2.2.
E-Feld allein
K
K
Für den Fall, daß nur ein
elektrisches
Feld
E
≠
0
existiert
(kein
Magnetfeld
B
=0,
K
kein Gravitationsfeld g = 0 ), reduziert sich die Bewegungsgleichung auf (vgl.
Kap.2.1):
K
K
dv
m⋅
= q⋅E
dt
Der Ladungsträger erfährt im elektrischen Feld also eine Beschleunigung:
K
K dv q K
a=
= ⋅E
dt m
K
K
Elektrischer Feldvektor E und Beschleunigungsvektor a zeigen in die gleiche Richtung. Im Falle eines homogenen, zeitunabhängigen elektrischen Feldes ist die Beschleunigung des Ladungsträgers konstant und die Geschwindigkeit wächst linear.
K
K
K
dv
q
a
v
a = ⋅E =
E
m
dt
t
K
q
K q
K
⋅ E ⋅ dt' = τ ⋅ ⋅ E ⋅ t = τ ⋅ v (t ) − v 0
m
m
t' = 0
K
v
q
⇒
v (t ) = K0 + ⋅ E ⋅ t
τ m
K
Für die Energie des Ladungsträgers im elektrostatischen Feld E gilt (mit
K
E = −grad(V ) , Gradient des elektrischen Potentials, vgl. Grundlagen der Elektrotechnik I):
2K
2
K K
K
Wkin,2 − Wkin,1 = ∆W = ∫ F ⋅ d r = ∫ q ⋅ E ⋅ d r =
K
τ⋅
∫
1
2
1
2
K
= − q ⋅ ∫ d r ⋅ grad(V ) = −q ⋅ ∫ dV = q ⋅ (V1 − V2 ) = q ⋅ U12
1
1
Beispiel:
Eine Elementarladung e = 1,6 ⋅ 10 −19 [As] durchläuft eine Spannung (Potentialdifferenz) von 1[V ] . Die Zunahme an kinetischer Energie beträgt demnach:
∆W = 1[eV ] = 1,6 ⋅ 10 −19 [Ws ] ;
- 11 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 2 – Einzelteilchen-Modell
Mit q = e , m = 9,1⋅ 10 −31 [kg] und v 0 = 0 beträgt der Geschwindigkeitsbetrag des
Ladungsträgers nach Durchlaufen der Spannung 1[V ] :
m 2
v = eU
2
2.3.
⇒
v=
2eU
 km 
≅ 593,4  
m
 s 
Magnetfeld allein
K
Im Gegensatz zu Kap.2.2 soll jetzt nur ein Magnetfeld B ≠ 0 existieren (kein elektriK
K
sches Feld E = 0 , kein Gravitationsfeld g = 0 ). In diesem Fall reduziert sich die Bewegungsgleichung für den einzelnen Ladungsträger auf (vgl. Kap.2.1):
K
K K
dv
m⋅
= q⋅ v ×B
dt
Für die Änderung der kinetischen Energie des Ladungsträgers gilt jetzt:
K K
K
K K
K K K
dW = F ⋅ d r = q ⋅ v × B ⋅ d r = q ⋅ v × B ⋅ v ⋅ dt = 0
Die kinetische Energie eines Ladungsträgers bleibt bei Durchlaufen eines Magnetfeldes also konstant:
Wkin = const.
Der Grund dafür liegt in der Tatsache, daß sich der Betrag des Geschwindigkeitsvektors im Magnetfeld nicht ändert, wohl aber dessen Richtung:
K
v = v = const.
K
Für den einzelnen Ladungsträger in einem homogenen Magnetfeld B gilt:
K K
v || B ⇒ keine Beschleunigung
K K
K
K
v ⊥ B ⇒ Kreisbahn
v
v
Bei Bewegung auf einer
Kreisbahn gilt:
K K
K K
K K
q⋅ v ×B
q⋅ v ×B
v ⊥B
K K K
⇒
v ×B = n ⋅ v ⋅B
Im Gleichgewichtsfall hält
K
K
B
B
die Zentrifugalkraft der Lorentzkraft die Waage:
v2
m⋅
= q⋅ v ⋅B
R
Aus dieser Bedingung resultiert eine charakteristische Winkelgeschwindigkeit, die
K
v⊥
Gyrationsfrequenz Ω, die nur von Ladungsträgereigenschaften (Ladung q, Masse m)
und dem Betrag B des homogenen MagK
netfeldes abhängt:
v ||
v q
Ω = = ⋅B
R m
Bei Bewegung „schief“ zum homogenen
Magnetfeld
K läßt sich der GeschwindigkeitsK
vektor v immer aufspalten in einen zum
B
K
Magnetfeld parallelen Anteil v || und einen
(
)
(
)
(
)
(
- 12 -
)
(
)
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 2 – Einzelteilchen-Modell
K
zum Magnetfeld senkrechten Anteil v ⊥ (vgl. nebenstehende Skizze):
K K
K
v = v || + v ⊥
Die bekannte Bewegungsgleichung lautet nun:
K
K
K
dv ||
dv ⊥
dv
= m⋅
+ m⋅
m⋅
dt
dt
dt
K
K
= q ⋅ v × BK
K
K
K
= q ⋅ v || × B + q ⋅ v ⊥ × B
K
K
= 0 + q⋅ v⊥ ×B
Aus voriger Gleichung lassen sich zwei Dinge ablesen:
1) Die zeitliche Änderung der parallelen Geschwindigkeitskomponente verschwindet:
K
dv ||
K
=0
also: v || = const.
dt
2) Für die senkrechte Geschwindigkeitskomponente gelten die vorherigen Überlegungen:
K
K K
K
dv ⊥
m⋅
= q ⋅ v⊥ ×B = n ⋅ q ⋅ v⊥ ⋅B
(Bewegungsgleichung)
dt
K
K
v2
n⋅m⋅
= ... = n ⋅ q ⋅ v ⊥ ⋅ B
(Kräftegleichgewicht)
R
Die aus der zum Magnetfeld senkrechten Geschwindigkeitskomponente resultierende Bahnkurve ist wieder eine Kreisbahn.
Insgesamt beschreibt der Ladungsträger also eine Schraubenlinie. Die Periodendauer T beträgt (ausgedrückt durch die Gyrationsfrequenz Ω):
2π
T=
Ω
Für die Ganghöhe d der Schraubenlinie gilt:
d = v || ⋅ T
(
(
)
(
)
)
(
2.4.
(
)
)
E und B gemeinsam
y
K
E⊥
In diesem Abschnitt soll nun der allgeK
K
meine Fall ( E ≠ 0 , B ≠ 0 ) diskutiert werK
den. Sowohl das elektrische Feld E als
K
auch das Magnetfeld B werden als
homogen und zeitlich konstant angenommen. Die Bewegungsgleichung lautet also:
K
K
K K
dv
m⋅
= q ⋅E + q⋅ v ×B
dt
Zunächst werden elektrischer FeldvekK
K
tor E und Geschwindigkeitsvektor v
zerlegt in Komponenten parallel zum
Magnetfeld und Komponenten senkrecht zum Magnetfeld (vgl. nebenstehende Skizze):
(
K
v⊥
K
E
x
K
v ||
)
K
E ||
K
B
z
- 13 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 2 – Einzelteilchen-Modell
K K
K
K
E = E|| + E ⊥ 
G K
K  bezogen auf B
v = v || + v ⊥ 
Eingesetzt in die Bewegungsgleichung ergibt sich damit:
K
K
K
K
K
dv||
K K
K
dv ⊥
+ m⋅
= q ⋅ E|| + q ⋅ E ⊥ + q ⋅ v || × B + q ⋅ v ⊥ × B
m⋅
dt
dt
⇓
⇓
⇓
⇓
⇓K
⇓K
K
K
K
|| B
⊥B
|| B
⊥B
=0
⊥B
Aus diesem Ansatz lassen sich nun zwei Gleichungen für die Bewegung parallel zum
Magnetfeld bzw. senkrecht zum Magnetfeld abspalten:
K
1) Bewegung parallel zum Magnetfeld (|| B ):
Die Lösung der Gleichung
G
K
dv ||
m⋅
= q ⋅ E||
dt
läßt sich sofort angeben:
K
K
q K
v || = ⋅ E|| ⋅ t + v ||,0
m
K
Die Geschwindigkeitskomponente v || wächst linear mit der Zeit.
K
2) Bewegung senkrecht zum Magnetfeld (⊥ B ):
K
Zur Ermittlung der Geschwindigkeitskomponente v ⊥ muß die folgende Differentialgleichung gelöst werden:
K
K
K
K
dv ⊥
= q ⋅E⊥ + q ⋅ v ⊥ × B
m⋅
dt
K
K
dv ⊥ q K
q K
− ⋅ v ⊥ × B = ⋅E⊥
dt
m
m
K
Zunächst wird die homogene Lösung v ⊥,h (homogene Differentialgleichung)
(
(
(
ermittelt:
K
dv ⊥,h
)
(
)
)
)
K
q K
⋅ v ⊥,h × B = 0
dt
m
K
K
dv ⊥,h
K
= q ⋅ v ⊥,h × B
m⋅
dt
Die Lösung dieser Gleichung wurde bereits im Kap.2.3 (nur Magnetfeld) diskutiert. Sie führt zu einer Kreisbahnbewegung des Ladungsträgers.
K
K
v ⊥,h = v ⊥,Kreis
K
Zur Berechnung der partikulären Lösung v ⊥,p (inhomogene Differentialglei−
(
)
(
)
chung) wird nun der folgende Ansatz verwendet:
K
v ⊥,p = const.
Eingesetzt in die inhomogene Differentialgleichung ergibt sich damit:
K
q K
q K
− ⋅ v ⊥,p × B = ⋅ E ⊥
m
K
Km K
v ⊥,p × B = −E ⊥
(
)
Mit der Umformung
K K
K
K K
K
K
B × v ⊥,p × B = −B × E ⊥ = E ⊥ × B
K K K
K K K
K K K
und dem Gesetz A × B × C = B ⋅ A • C − C ⋅ A • B aus der Vektoralgebra ergibt sich
(
)
(
)
(
- 14 -
)
(
)
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 2 – Einzelteilchen-Modell
K K K
K
K
K
v ⊥,p ⋅ B 2 − B ⋅ B • v ⊥,p = E ⊥ × B
K
K
K
v ⊥,p ⋅ B 2 = E ⊥ × B
K
K
Als partikuläre Lösung v ⊥,p der Geschwindigkeitskomponente v ⊥ erhält man
(
)
also eine konstante
K
K Driftgeschwindigkeit:
K K
K
K
E⊥ × B E × B
v ⊥,p =
=
=
const
=
v
⊥,D
B2
B2
Insgesamt ergibt sich damit für die Bewegung des Ladungsträgers senkrecht
zum Magnetfeld die Überlagerung einer Kreisbahnbewegung mit einer konstanten Driftbewegung:
K
K
K
K
K
v ⊥ = v ⊥,h + v ⊥,p = v ⊥,K + v ⊥,D
Beispiel
K
K K
K K
E|| = 0 , d.h. E = e y ⋅ E , B = e z ⋅ B
Dann ergibt sich
K für
K die Driftgeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Magnetfeld:
ey × ez ⋅ E ⋅ B E K
K
vD =
= ⋅ ex
B
B2
Die Überlagerung dieser Driftbewegung mit der Kreisbewegung senkrecht zum Magnetfeld führt zu einer Zykloidenbewegung (siehe Übungsaufgabe 1).
(
)
→ Übungsaufgabe 1 (Ladungsträgerbewegung)
- 15 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 3 – Ionosphäre, Anwendung des Einzelteilchen-Modells
3. Ionosphäre, Anwendung des Einzelteilchen-Modells
Mit dem im vorigen Kapitel beschriebenen Einzelteilchen-Modell lässt sich bereits ein
natürliches Plasma sehr gut beschreiben, nämlich die Ionosphäre. Erzeugt wird dieses die Erde umgebende Medium durch
Fotoionisation und
Korpuskularstrahlung („Sonnenwind“)
durch die Sonne. Die Ionosphäre stellt ein „kaltes, verdünntes Plasma“ dar, in dem
näherungsweise Kollektivwechselwirkungen vernachlässigt werden können. Allerdings ist sie aufgrund ihres geschichteten Aufbaus (D-, E-, F1-, F2-Schichten) und
wegen der Ionen-Molekül-Reaktionen ein kompliziertes Medium.
Für das Ausbreitungsverhalten elektromagnetischer Wellen sind in erster Linie die in
der Ionosphäre vorhandenen freien Elektronen verantwortlich. Dringt eine elektromagnetische Welle in ein solches Plasma ein, so oszillieren die freien Elektronen im
K
K
E -Feld. Die daraus resultierende Konvektionsstromdichte S ist im verlustfreien
K
∂D
. Da die KonvektionsstromFall gegenphasig zur Verschiebungsstromdichte
∂t
dichte umgekehrt proportional zur Kreisfrequenz ω der elektromagnetischen Welle
ist, die Verschiebungsstromdichte dagegen direkt proportional, muß eine untere
Grenzfrequenz, die sogenannte Plasmafrequenz ω0 , für die Ausbreitungsfähigkeit
der Welle in diesem Plasmamedium existieren. Bei Frequenzen unterhalb dieser
Grenzfrequenz erfolgt Reflexion. Die Ionosphäre hat also erheblichen Einfluß auf das
Ausbreitungsverhalten elektromagnetischer Wellen. Dieser Sachverhalt läßt sich
leicht mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen
zeigen.
K
K
K
∂D
Gl.1:
rot H = S +
(Durchflutungsgesetz)
∂
t
K
K
∂B
rot E = −
Gl.2:
(Induktionsgesetz)
∂t
K
A
mit: H :
magnetische Feldstärke  
m 
K
V
E:
elektrische Feldstärke  
m 
K
 A 
S:
Konvektionsstromdichte  2 
m 
K
 As 
D:
dielektrische Verschiebung  2 
m 
L
Vs


magnetische Induktion  2 
B:
m 
Die Bewegungsgleichung für einen einzelnen isolierten Ladungsträger, in diesem Fall
für ein einzelnes Elektron, lautet:
K
K
K
dv
Gl.3:
m⋅
= q ⋅ E = −e ⋅ E
dt
mit: m :
Elektronenruhemasse 9,1⋅ 10 −31 [kg]
K
m 
v:
Elektronengeschwindigkeit  
s
()
()
- 16 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 3 – Ionosphäre, Anwendung des Einzelteilchen-Modells
e:
Elementarladung 1,6 ⋅ 10 −19 [C] , [C] = [As]
Hier ist bereits berücksichtigt, daß im nichtrelativistischen Fall die Kraftwirkung auf
den Ladungsträger durch das Magnetfeld gegenüber der elektrischen Kraftwirkung
vernachlässigt werden kann ( Fmagn << Fel ). Dazu die folgende Abschätzung:
Fmagn
Fel
=
q⋅ v ⋅B
B
H v ⋅ µ0 v ⋅ µ0 v
= v ⋅ = v ⋅ µ0 ⋅ =
=
= << 1
q⋅E
E
E
Z0
c
µ0
ε0
mit:
Feldwellenwiderstand im Vakuum [Ω]
Z0 :
m 
Vakuumlichtgeschwindigkeit 3 ⋅ 10 8  
ε0 ⋅ µ0
s
Außerdem besteht noch der folgende Zusammenhang zwischen KonvektionsstromK
dichte S und Bewegungszustand der Ladungsträger:
K
K
Gl.4:
S = −n el ⋅ e ⋅ v
c=
1
:
 1 
Elektronendichte  3 
m 
Die elektrischen bzw. magnetischen Materialeigenschaften sind durch die beiden
folgenden Zusammenhänge gegeben ( ε r = 1, µ r = 1 ):
K
K
D = ε0 ⋅ E
K
K
B = µ0 ⋅ H
mit:
n el :
 As 
Dielektrizitätskonstante 

 Vm 
 Vs 
µ 0 : Permeabilitätskonstante 

 Am 
Für sinusförmige Vorgänge ist es sinnvoll, zur komplexen Schreibweise zu wechseln
d
( ⋅ ... = jω ⋅ ... ). Damit lauten (Gl.1)-(Gl.4):
dt
K
K
K
=
+
ω
⋅
ε
⋅
Gl.1 : rot H
S
j
E
0
K
K
Gl.2 : rot E = − jω ⋅ µ 0K ⋅ H
K
Gl.3 : jKω ⋅ m ⋅ v = −e ⋅ E
K
Gl.4 : S = −nel ⋅ e ⋅ v
K
K
K
e ⋅E
und in Gl.4 eingesetzt liefert den Zusammenhang
Gl.3 nach v aufgelöst v = j ⋅
ω⋅m
zwischen Konvektionsstromdichte und elektrischem Feld:
K
n ⋅ e2 K
S = − j ⋅ el
⋅E
ω⋅m
Die Konvektionsstromdichte eilt dem elektrischen Feldvektor um 90° nach und ist
umgekehrt
K proportional zur Kreisfrequenz ω, wohingegen die VerschiebungsstromK
K
∂D
dichte
= jω ⋅ D = jω ⋅ ε 0 ⋅ E dem elektrischen Feld um 90° vorauseilt und proportio∂t
nal mit ω wächst. Konvektionsstromdichte und Verschiebungsstromdichte sind in unserem Modell also exakt gegenphasig. Aufgrund ihrer jeweiligen Frequenzabhängigkeiten existiert ein unterer Frequenzbereich, in dem die Konvektionsstromdichte dominiert, und ein oberer Frequenzbereich, in dem die Verschiebungsstromdichte domit:
ε0 :
()
()
- 17 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 3 – Ionosphäre, Anwendung des Einzelteilchen-Modells
miniert. Außerdem muß eine Frequenz ω0 existieren, bei der sich Konvektions- und
Verschiebungsstromdichte gegenseitig auslöschen. Diese Frequenz lässt sich mit
K
folgendem Ansatz berechnen (Konvektionsstromdichte S und VerschiebungsstromK
K
∂D
dichte
= jωD heben sich gegenseitig auf):
∂t
K
K K
K
S + j ⋅ ω0 ⋅ D = S + j ⋅ ω0 ⋅ ε 0 ⋅ E = 0
Setzt man den vorher ermittelten Zusammenhang zwischen Konvektionsstromdichte
und elektrischem Feld
K
n ⋅ e2 K
S = − j ⋅ el
⋅E
ω⋅m
in obige Gleichung ein, so erhält man:
K
n ⋅ e2 K
− j ⋅ el
⋅ E + j ⋅ ω0 ⋅ ε 0 ⋅ E = 0
ω0 ⋅ m

n ⋅ e 2  K
⋅E = 0
j ⋅ ω0 ⋅ ε 0 ⋅ 1 − 2el
 ω ⋅ε ⋅m
0
0


⇒
Plasmafrequenz: ω0 =
nel ⋅ e 2
...
ε0 ⋅ m
Um eine zum Induktionsgesetz (Gl.2) analoge Darstellung zu erhalten ist es sinnvoll,
Gl.1 (Durchflutungsgesetz) folgendermaßen darzustellen:
K

 K
nel ⋅ e 2

+ j ⋅ ω ⋅ ε0  ⋅ E
rot H = − j ⋅


ω⋅m


2

n ⋅ e  K
= j ⋅ ω ⋅ ε 0 ⋅ 1 − 2 el
⋅E
 ω ⋅ε ⋅m
0


 ω0 2  K
K
= j ⋅ ω ⋅ ε 0 ⋅ εP ⋅ E
= j ⋅ ω ⋅ ε 0 ⋅ 1 − 2  ⋅ E

ω 

()
mit:
εP = 1 −
ω0 2
2
= n2
ω
Ist also n reell ( n > 0 ; ω > ω0 ), so kann sich die elektromagnetische Welle (sinus2
förmig mit der Frequenz ω) im Medium (Plasma mit der Elektronendichte nel ) ausbreiten, wohingegen für imaginäres n ( n 2 < 0 ; ω < ω0 ) keine Wellenausbreitung
möglich ist (Reflexion).
Die damit gewonnenen Darstellungen des Durchflutungsgesetzes
K
K
rot H = j ⋅ ω ⋅ ε 0 ⋅ εP ⋅ E
und des Induktionsgesetzes
K
K
rot E = − j ⋅ ω ⋅ µ 0 ⋅ H
lassen sich ineinander einsetzen (Anwendung des Rotations-Operators auf das Induktionsgesetz und anschließendes Einsetzen des Durchflutungsgesetzes):
- 18 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 3 – Ionosphäre, Anwendung des Einzelteilchen-Modells
K
K
K
K
rot rot E = grad div E − ∇ 2 E = − j ⋅ ω ⋅ µ 0 ⋅ rot H
K
= − j ⋅ ω ⋅ µ 0 ⋅ j ⋅ ω ⋅ ε 0 ⋅ εP ⋅ E
K
= ω2 ⋅ ε 0 ⋅ µ 0 ⋅ ε P ⋅ E
Anmerkung: rot → Queränderung
div → Längsänderung
∇2=div grad
Ist das Medium quasineutral (die Raumladungsdichte ρ = 0 ), so gilt ( ε 0 = const = ε ):
K
ρ = div D = 0
K
div E = 0
⇒
K
grad div E = 0
⇒
K
Obige Differentialgleichung für den elektrischen Feldvektor E vereinfacht sich dann
zu:
K
K ω2
K
− ∇ 2 E = ω2 ⋅ ε 0 ⋅ µ 0 ⋅ ε P ⋅ E = 2 ⋅ ε P ⋅ E
c
Diese Gleichung ist die
K
K
Wellengleichung: ∇ 2 E + k 2 ⋅ E = 0
mit:
k2 =
ω2
c2
⋅ εP
die das Verhalten einer elektromagnetischen Welle (charakterisiert durch deren elektK
rischen Feldvektor E ) in einem Medium (charakterisiert durch den Koeffizienten k 2 )
beschreibt.
∂
Im folgenden soll der Spezialfall einer in der xy-Ebene homogenen Welle (
=0,
∂x
∂
= 0 ) untersucht werden. Eine hinreichende (aber nicht notwendige) Bedingung
∂y
K
dafür ist ( div E = 0 ):
K
Ez = 0
K
Hz = 0
Mit dem Ansatz
K K
E = ex ⋅ E
für eine transversal elektromagnetische Welle erhält man für die Wellengleichung:
K
K
e x ⋅ ∆E + e x ⋅ k 2 ⋅ E = 0
∂2E
∂x
⇒
2
+
∂2E
∂y
2
∂2E
2
+
∂2E
∂z
2
+ k2 ⋅ E = 0
+ k2 ⋅ E = 0
∂z
Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet bekanntlich
- 19 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 3 – Ionosphäre, Anwendung des Einzelteilchen-Modells
E(z ) = C1 ⋅ e − j⋅k ⋅z + C2 ⋅ e j⋅k ⋅z
und mit Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit:
E(z, t ) = E(z ) ⋅ e j⋅ω⋅ t = C1 ⋅ e j⋅(ω⋅ t − k ⋅ z ) + C2 ⋅ e j⋅(ω⋅ t + k ⋅ z )
+z
−z

→
←

Für die Phasengeschwindigkeit v P dieser Welle erhält man:
c
ω
ω
 dz 
vP =  
=
= =
εP
 dt Phase = const. k ω ⋅ ε
P
c
Allgemein gilt
ω
k = ⋅n
c
mit: n:
„Brechungsindex“
und damit für die Phasengeschwindigkeit:
ω c
vP = =
k n
Daraus resultiert der Zusammenhang zwischen Brechungsindex n, Frequenz der elektromagnetischen Welle ω und Plasmafrequenz ω0 :
n = εP = 1 −
ω0 2
(Eccles)
ω2
Für ω > ω0 wird also n und k reell, die Welle ist ausbreitungsfähig mit einer Phasengeschwindigkeit v P > c ( n < 1 ), wohingegen für ω < ω0 n und k imaginär sind und die
Welle reflektiert wird (keine Ausbreitung).
- 20 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 4 – Elementare Stoßprozesse
4. Elementare Stoßprozesse
In der Physik wird grundsätzlich unterschieden zwischen elastischen und unelastischen Stößen. Für die Beschreibung der Bewegungsvorgänge im Plasma wird der
elastische Stoß benötigt, während Ionisation und Anregungsprozesse durch unelastische Stoßprozesse beschrieben sind.
In diesem Kapitel werden zunächst charakteristische Vorgänge beim elastischen
Stoß zwischen zwei Partnern gezeigt. Anschließend erfolgt die Erweiterung auf Stöße eines Teilchens mit vielen Teilchen. Über die damit erfassten Stoßwechselwirkungen des Kollektivs gelangt man schließlich zum Wirkungsquerschnitt.
4.1.
Grundbegriffe und Definitionen
In diesem kurzen Abschnitt sind einige, zur Beschreibung von Stoßprozessen üblicherweise benutzte, Bezeichnungen und Größen stichwortartig zusammengestellt.
Wirkungsquerschnitt:
Wechselwirkung von Teilchensorte i mit Teilchensorte k;
Q ik : „Einfluß-Zone“ = Fläche
K
gik : Relativgeschwindigkeit
k
Stoßzahl:
ν ik = ni ⋅ Qik ⋅ gik
Stoßzahl ν (mittlere Anzahl der Stöße)
rk
Qik
ri
von 1 Teilchen der Sorte k mit allen Teilchen der Sorte i je Zeiteinheit;
Stoßzeit:
1
τ=
i
ν ik
mittlere freie Weglänge:
1
λ ik = gik ⋅ τik =
ni ⋅ Q ik
4.2.
Der elastische Zweierstoß
K
Für ein einzelnes, isoliertes Teilchen der Masse m mit der Ladung q am Ort r zur
Zeit t gelten die nachfolgend aufgeführten Gesetze, die dessen Bewegungszustand
beschreiben:
K
K dr
Geschwindigkeit:
v=
dt
K
K
K dv d 2 r
Beschleunigung:
=
a=
dt dt 2
K
K
K
dr
Impuls:
Ι = m⋅v = m⋅
dt
K
K
K
K dΙ
dv
d2 r
Kraft:
= m⋅
= m⋅ 2
F=
dt
dt
dt
K
K K
Drehimpuls:
D = m ⋅ (r × v )
- 21 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 4 – Elementare Stoßprozesse
K
dD
dt
Drehmoment:
kinetische Energie:
potentielle Energie:
K
d
(m ⋅ (r × vK ))
dt
K
K
 dr K 
 K dv 
= m⋅ × v + m⋅r ×

dt 
 dt K 

K
dv
= r ×m⋅
K K dt
= r ×F
=
1
⋅ m ⋅ v2
2
Φ
Dynamik des Binärstoßes
Es soll nun ein Stoßprozess zwischen zwei Teilchen A und B betrachtet werden. Aus
der Physik sind folgende Gesetzmäßigkeiten bekannt:
Massenerhaltung:
m A + mB = const
m A = const
mB = const
Impulserhaltung:
keine äußeren Kräfte!
K
K
K
K
m A ⋅ v A + mB ⋅ v B = const = (m A + mB ) ⋅ v S = m0 ⋅ v S
(Gl.1)
K
mit: v S : Schwerpunktsgeschwindigkeit = const
K
Schwerpunktsystem wandert mit v S
m 0 = m A + mB
Energieerhaltung:
1
1
⋅ m A ⋅ v A 2 + ⋅ mB ⋅ v B 2 + Φ = const
2
2
K K
Führt man nun die Relativgeschwindigkeit g = gAB zwischen Partner A und B ein
K K
K
K
g = gAB = v A − v B
(Gl.2)
so lassen sich die Indiviualgeschwindigkeiten von A und B mit den Größen des
Schwerpunktsystems folgendermaßen ausdrücken:
Aus (Gl.1) und (Gl.2):
K
K
K
K
m A ⋅ v A + mB ⋅ (v A − g) = m0 ⋅ v S
K
K
K
m 0 ⋅ v A − mB ⋅ g = m 0 ⋅ v S
K
K
m K
v A = vS + B ⋅ g
⇒
m0
K
K
m K
vB = v S − A ⋅ g
m0
K K
Damit läßt sich die kinetische Energie in zwei Terme aufspalten ( v 2 = v • v ):
- 22 -
Einführung in die Plasmaphysik
1
⋅ mB ⋅ v B 2
2

K
m 2
m K
=
⋅  v S 2 + B2 ⋅ g2 + 2 ⋅ B ⋅ v S • g  +


m0
m0


2

K
m
m K
1
+ ⋅ mB ⋅  v S 2 + A2 ⋅ g2 − 2 ⋅ A ⋅ v S • g 


2
m0
m0


1
1
2
2
=
⋅ m0 ⋅ v S + ⋅ m'⋅g
2
2
m ⋅ mB
mit: m' = A
„reduzierte Masse“
m0
Daraus läßt sich eine wichtige Folgerung ableiten. Aus der Energieerhaltung
Wkin + Φ pot = const
folgt
Wkin + Φ = Wkin, ∞ + Φ ∞ = W 'kin,∞ +Φ' ∞
Wkin
=
während
Stoß
1
⋅ mA
2
1
⋅ mA
2
Kapitel 4 – Elementare Stoßprozesse
⋅ vA2 +
" vor
Stoß"
" nach
Stoß"
Wegen
Φ∞ = 0
Φ' ∞ = 0
gilt damit
Wkin, ∞ = W 'kin, ∞
also:
1
1
⋅ m'⋅g∞ 2 = ⋅ m'⋅g' ∞ 2
2
2
g' ∞ = g∞
⇒
K
g'∞
χ = Ablenkwinkel
K
g∞
Der Betrag der Relativgeschwindigkeit ist vor und nach dem Stoß derselbe, es erfolgt
nur eine Richtungsänderung.
Zwischenbetrachtung:
Es soll die Änderung der kinetischen Energie eines Partners während des Stoßes
untersucht werden (Energieaustausch zwischen den beiden Partnern A und B aufgrund des Stoßes).
∆Wkin = Wkin,∞ − W 'kin,∞
mA
m
=
⋅ v A, ∞ 2 − A ⋅ v ' A, ∞ 2
2
2

K 
mB K
m A  2 mB 2
2
=
⋅ vs +
⋅
+
⋅
•
g
2
v
g
∞
S
∞−
m0
2 
m0 2

2

K 
m K
m
m
− A ⋅  v s 2 + B2 ⋅ g' ∞ 2 +2 ⋅ B ⋅ v S • g' ∞ 

m0
2 
m0

K K
K
= m'⋅v S • (g∞ − g' ∞ )
K
Setzt man also beispielsweise v B, ∞ = 0 (Partner B ruht vor dem Stoß), so gilt für die
Relativgeschwindigkeit
K
K
v A, ∞ = g ∞
- 23 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 4 – Elementare Stoßprozesse
K
K
m K
und für die Schwerpunktsgeschwindigkeit ( v B = v S − A ⋅ g ):
m0
K
m K
m K
v S = A ⋅ v A, ∞ = A ⋅ g ∞
m0
m0
Die Änderung der kinetischen Energie beträgt also für den Stoßpartner A:
K
K
m K
m
∆Wkin, A = m'⋅ A ⋅ g∞ • (g∞ − g' ∞ ) = m'⋅ A ⋅ g∞ 2 ⋅ (1 − cos(χ ))
m0
m0
(vgl. vorige Abbildung)
Bezogen auf die kinetische Energie beträgt also die Änderung derselben:
 ∆Wkin 
∆Wkin
m'

 =
= 2⋅
⋅ (1 − cos(χ ))
W

1
m
2
0
 kin,∞  ∞
⋅ mA ⋅ v A
2
Für 2 Stoßpartner sehr unterschiedlicher Masse gilt damit:
m A << mB
⇒
m o ≅ mB
m ⋅ mB
m' = A
≅ mA
m0
⇒
 ∆Wkin 

 = 2 ⋅ m A ⋅(1 − cos(χ ))
W

mB
 kin,∞  A <<1
Sind also die Stoßpartner stark unterschiedlich in ihren Massen, so erfolgt nur ein
schwacher Energieaustausch durch Stöße. Dies ist beispielsweise der Fall bei
Wechselwirkung von Elektronen mit schweren Teilchen. Bei niedrigen Temperaturen
von verdünnten Plasmen und/oder (hohen) äußeren elektrischen Feldstärken liegt
die Elektronentemperatur über der Gastemperatur; es herrscht kein thermisches
Gleichgewicht (keine einheitliche Temperatur für alle Gaskonstituenten). Für steigende Temperaturen erfolgt eine Annäherung ans thermische Gleichgewicht (Herleitung
aus der Energiebilanz der Elektronen).
K
Drehimpuls D
Für den gesamten Drehimpuls der beiden Stoßpartner A und B gilt:
K
K K
K K
D = m A ⋅ (rA × v A ) + mB ⋅ (rB × v B )
K K
K K
m K 
m K 
= m A ⋅  rA ×  v S + B ⋅ g   + mB ⋅  rB ×  v S − A ⋅ g  
m0  
m0  




K m K
K m K
K K
K K
= m A ⋅ (rA × v S ) + mB ⋅ (rB × v S ) + m A ⋅  rA × B ⋅ g  − mB ⋅  rB × A ⋅ g 
m0 
m0 


K K
K K
K
K
K
K
m
m
= m A ⋅ (rA × v S ) + mB ⋅ (rB × v S ) + m A ⋅ B ⋅ (rA × g) − mB ⋅ A ⋅ (rB × g)
m0
m0




K
K
K
K
K  m A ⋅ mB  K

=  (m A ⋅ rA + mB ⋅ rB ) × v S  +
⋅  (rA − rB ) × g 
K
K
m0


 
⋅
m
r
r
0
S
AB




m
'
K K
K
K
= m0 ⋅ (rS × v S ) + m'⋅(rAB × g)
K
K
K
mit: m0 ⋅ rS = m A ⋅ rA + mB ⋅ rB
K
K K
rAB = rA − rB
- 24 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 4 – Elementare Stoßprozesse
→ Übungsaufgabe 2 (Drehimpulserhaltung)
Damit erhält
K man für die zeitliche Änderung des gesamten Drehimpulses:
K
dD
d K K
d K
= m0 ⋅ (rS × v S ) + m'⋅ (rAB × g)
dt
dt
dt

 K

 K
K
K



 dr
K
K
K
K
d
v
d
r
d
g




S
S
AB


× g + m'⋅ rAB × 
= m0 ⋅ 
× v S  + m0 ⋅  rS ×
 + m'⋅

 dt
dt
dt 

N

dt


 vK
 gK

S



K = 0,

=0
da v S = const
=0
K
K
d
g


= m'⋅ rAB × 
dt 
K  K
= rAB × FAB
K
K
= 0
weil FAB || rAB
K
K K
K
rAB × g = c = const
⇒
mit c ⊥ Bahnebene
Vom Schwerpunktsystem aus betrachtet erfolgt die Bewegung in einer Bahnebene
K
K
mit konstanter Orientierung c . Die Geschwindigkeit des Schwerpunktsystems v S ist
konstant.
Kraft
Für die Kräfte, die die beiden Stoßpartner A und B
erfahren, gilt:
K
K
dv A
FA = m A ⋅
dt
K
K
K
dv B
FB = mB ⋅
= −FA
(actio = reactio)
dt
Ins Schwerpunktskoordinatensystem gelangt man
durch folgende Umformung:
K
K
K
m0 ⋅ FA = mB ⋅ FKA + m A ⋅ F
KA
= mB ⋅ FA − m A ⋅ FB
K
K
 dv A dv B 
= mB ⋅ m A ⋅ 
−

dt 
 Kdt
dg
= mB ⋅ m A ⋅
dt
K
K
m ⋅ m A dg
FA = B
⋅
m0
dt
K
K
K
dg
⇒
FA = F = m'⋅
dt
K
g
K
FB
Zusammenfassung
Energie:
Drehimpuls:
Kraft:
m
m' 2
Wkin = o ⋅ v s 2 +
⋅g
2
2
K
K K
K
K
D = m0 ⋅ (rS × v S ) + m'⋅(rAB × g)
K
K
dg
F = m'⋅
dt
- 25 -
K
FA
K
vA
B
K
rAB
K
rB
A
K
rA
K
vB
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 4 – Elementare Stoßprozesse
Man erkennt, daß durch Absondern der Terme, die den Bewegungszustand des
Schwerpunktsystems beschreiben (Terme mit Index S), der Stoßprozess beschrieben werden kann als die Bewegung eines Teilchens der Masse m’ relativ zu einem
(im Schwerpunktsystem) festen Stoßzentrum.
In nachfolgender Abbildung ist der Stoßprozess schematisch dargestellt. Ein Teilchen der Masse m’ erfährt durch die Streuung am (ruhenden) Stoßzentrum S eine
Richtungsänderung. Im Schwerpunktsystem wird nun der geringste Abstand R und
der Ablenkwinkel χ berechnet. Diese Berechnung wird sinnvollerweise in Polarkoordinaten durchgeführt (vgl. Abbildung).
K
g'∞
Schwerpunkts-Ebene
p: Stoßparameter
r,ϕ: Polarkoordinaten
K
eϕ
K
R
χ
K
g
r
θ
m'
ϕ
θ
K
er
K
g∞
p
S
Für die Geschwindigkeit des Stoßpartners der Masse m’ gilt (bezogen auf das
Schwerpunktsystem):
K
K
K
g = gr ⋅ er + gϕ ⋅ e ϕ
gr =
dr
dt
gϕ = r ⋅
dϕ
dt
Für die Energie gilt:
Wkin + Φ = Wkin, ∞
( Φ∞ = 0 )
1
1
⋅ m'⋅g2 + Φ = ⋅ m'⋅g∞ 2
2
2
1
1
⋅ m'⋅ gr 2 + gϕ 2 + Φ = ⋅ m'⋅g∞ 2
2
2
2
2
  dr   dϕ  
1
1
2
⋅ m'⋅   +  r ⋅
  + Φ = ⋅ m'⋅g∞


dt 
2
dt
2
  

(
)
Mit der Erhaltung des Drehimpulses
- 26 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 4 – Elementare Stoßprozesse
r ⋅ gϕ = p ⋅ g∞
dϕ
r2 ⋅
= p ⋅ g∞
dt
dϕ p ⋅ g ∞
= 2
dt
r
ergibt sich also:
2
2
1
1
1
 p ⋅ g∞ 
 dr 
⋅ m'⋅g∞ 2 = ⋅ m'⋅  + ⋅ m'⋅
 + Φ(r )
2
2
2
r 
 dt 

" Zentrifugal −
"
potential
Φ eff
Hieraus lässt sich nun der geringste Abstand R bestimmen. Bei r = R ist
vorige Abbildung) und damit:
2
1
1
2
2 p
⋅ m'⋅g∞ = ⋅ m'⋅g∞ ⋅ 2 + Φ(R )
2
2
R
1=
p2
R
2
⇒
+ Φ(R ) ⋅
1=
p2
2
m'⋅g∞ 2
+
Φ (R )
Wkin,∞
R2
Für den Ablenkwinkel χ gilt (vgl. vorige Abbildung):
χ = π − 2⋅Θ
Mit dem Ansatz
Θ
Θ=
∫ dϕ
ϕ=0
dϕ
dϕ
dt ⋅ dr
dϕ =
⋅ dr =
dr
dr
dt
und
dϕ p ⋅ g ∞
= 2
dt
r
 p 2  2 ⋅ Φ(r )
Φ(r )
dr
p2
= g∞ 2 ⋅  1 − 2  −
= g∞ ⋅ 1 − 2 −


dt
m'
Wkin,∞
r 
r

ergibt sich
R
Θ = −
p ⋅ g∞
∫
r =∞ 2
r ⋅ g∞ ⋅ 1 −
∞
= p⋅
p2
r2
Φ(r )
−
Wkin,∞
1
∫
r =R 2
r ⋅ 1−
p
r
2
2
−
Φ(r )
Wkin,∞
⋅ dr
⋅ dr
- 27 -
dr
= 0 (vgl.
dt
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 4 – Elementare Stoßprozesse
(
und damit der Ablenkwinkel χ zu:
∞
χ = π − 2⋅Θ = π − 2⋅p⋅
1
∫
r =R 2
r ⋅ 1−
p2
r2
Φ (r )
−
Wkin,∞
dϕ
< 0)
dt
⋅ dr
→ Übungsaufgabe 3 (Coulombstoß - Geometrie)
4.3.
Wirkungsquerschnitt
a) „Differentieller“ Wirkungsquerschnitt
Denkmodell:
Ein monoenergetischer Teilchenstrom
trifft ein festes Streuzentrum S. Für diesen Teilchenstrom lässt sich die
Teilchenstromdichte
Φ
ansetzen
 1 
(Einheit:  2  ):
m s 
Φ = n ⋅ g∞
 1 
Teilchendichte  3  ;
m 
g∞ : Geschwindigkeit der Teilchen bzgl. des Streuzentrums S;
Dann ist die absolute Anzahl N der Teilchen, die je Zeiteinheit einen Ring (Fläche dA) der Breite dp bei p passieren
(differentiell angeschrieben):
 dN 
= Φ⋅2
π
⋅ p
⋅ dp


⋅
 dt p,p + dp
dA
mit:
n:
χ
dχ
S
dp
p
Diese Teilchen werden in ein bestimmtes Raumwinkelelement zwischen χ und
Φ
χ + dχ abgelenkt. Für den Ring (Fläche
dA’) der Breite dχ bei χ , den die abgelenkten Teilchen durchtreten, gilt (vgl. Abbildung; einfache geometrische Überlegung)
dA' = 2 ⋅ π ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ
und damit:
 dN 
= Φ'⋅2 ⋅ π ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ


 dt  χ,χ + dχ
dA '
Über die Beziehung (Bilanz: „Was vorne reingeht muß hinten wieder raus!“)
 dN 
 dN 
=



 dt p,p + dp  dt  χ,χ + dχ
- 28 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 4 – Elementare Stoßprozesse
wird nun der „differentielle“ Wirkungsquerschnitt S definiert, der natürlich (im allgemeinen) eine Funktion des Ablenkwinkels χ ist:
p ⋅ dp
Φ'
S(χ ) =
=
Φ sin(χ ) ⋅ dχ
→ Übungsaufgabe 4 (Coulombstoß – differentieller Wirkungsquerschnitt)
b) Totaler Wirkungsquerschnitt Q:
Es stellt sich nun die Frage: Was wird insgesamt gestreut?
Also:
 dN 
=?


 dt  gesamt
Dafür muß (vgl. vorige Abbildung) das Integral über den gesamten Raumwinkel von
Φ'⋅dA ' gebildet werden:
 dN 


 dt  gesamt
π
=
∫ Φ'⋅2 ⋅ π ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ
χ =0
=
π
Φ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ ∫ S(χ ) ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ = ν
N
χ =0
n⋅ g ∞
(= Stoßzahl)
Q
= n ⋅ g∞ ⋅ Q
Der „totale“ Wirkungsquerschnitt Q, der natürlich keine Funktion des Streuwinkels ist
(χ fällt durch die Integration raus), wird definiert als:
π
Q = 2⋅π⋅
∫ S(χ ) ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ
χ =0
[ ]
Die Einheit des totalen Wirkungsquerschnitts ist also m 2 .
Beispiel: Billard-Stoß
p
r1
χ
D
Θ
p
Θ
r2
- 29 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 4 – Elementare Stoßprozesse
Wie aus obiger Abbildung direkt ersichtlich gilt:
D = r1 + r2
χ = π − 2⋅Θ
1
⇒
d Θ = − ⋅ dχ
2
Die Gleichung zur Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnitts lautet (vgl.
vorher):
p ⋅ dp
S(χ ) =
sin(χ ) ⋅ dχ
Es wird also noch ein Zusammenhang zwischen p und Θ bzw. zwischen p und χ benötigt. Dieser Zusammenhang lässt sich direkt aus der Abbildung ablesen:
p
sin(Θ ) =
D
p = D ⋅ sin(Θ )
⇒
dp = D ⋅ cos(Θ ) ⋅ dΘ
Damit ergibt sich
p ⋅ dp = D 2 ⋅ sin(Θ ) ⋅ cos(Θ ) ⋅ dΘ
1 2
=
⋅ D ⋅ sin(2Θ ) ⋅ dΘ
2
1
= − ⋅ D 2 ⋅ sin(2Θ ) ⋅ dχ
4
1
= − ⋅ D 2 ⋅ sin(− χ + π ) ⋅ dχ
4
D2
= −
⋅ sin(χ ) ⋅ dχ
4
und für den differentiellen Wirkungsquerschnitt S:
p ⋅ dp
D2
S(χ ) =
=
≠ Fkt.(χ )
sin(χ ) ⋅ dχ
4
Der totale Wirkungsquerschnitt S berechnet sich damit zu:
π
Q = 2⋅π⋅
∫ S(χ ) ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ = 2 ⋅ π ⋅
χ =0
π
D2
⋅ ∫ sin(χ ) ⋅ dχ = D 2 ⋅ π
4 χ =0
c) Streuung von „Eigenschaften“, Mittelwerte
Gegeben sei nun die streuwinkelabhängige Teilchen-Eigenschaft F(χ ) . Wie berech-
net sich nun der Mittelwert F dieser Teilcheneigenschaft nach dem Stoß?
Wie in Abschnitt a) gezeigt hängt die einfallende Teilchenstromdichte Φ mit dem gestreuten Teilchenstrom Φ’ über den differentiellen Wirkungsquerschnitt S zusammen:
Φ' (χ ) = Φ ⋅ S(χ )
Mit
π
2⋅π⋅
∫ Φ' (χ ) ⋅ F(χ ) ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ =
π
F ⋅2⋅π⋅
χ =0
∫ Φ' (χ ) ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ
χ =0
- 30 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 4 – Elementare Stoßprozesse
π
∫ S(χ ) ⋅ F(χ ) ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ = F ⋅
χ =0
π
∫ S(χ ) ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ
χ =0
ergibt sich also für den Mittelwert der streuwinkelabhängige Teilchen-Eigenschaft
F(χ )
π
∫ S(χ) ⋅ F(χ) ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ
F =
χ =0
π
∫ S(χ ) ⋅ sin(χ) ⋅ dχ
χ =0
bzw. wenn man den totalen Wirkungsquerschnitt Q einsetzt:
π
Q⋅ F = 2⋅π⋅
∫ F(χ ) ⋅ S(χ ) ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ
χ =0
Beispiel: Mittlerer Energieverlust beim Stoß
Aus Kap.4.2 (Zwischenbetrachtung) ist bekannt, dass sich die relative Änderung der
kinetischen Energie eines Stoßpartners berechnet zu:
∆WA
m'
= 2⋅
⋅ (1 − cos(χ )) = F(χ )
WA
m0
Speziell für den Billard-Stoß (mit seinem differentiellen Wirkungsquerschnitt S =
D2
)
4
gilt damit für den Mittelwert der relativen Bewegungsenergieänderung:
π
∆WA
WA
2
D
∫ (1 − cos(χ)) ⋅ 4
= 2⋅
m' χ = 0
⋅
m0
= 2⋅
m'
m0
⋅ sin(χ ) ⋅ dχ
π
D2
∫ 4 ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ
χ =0
→ Übungsaufgabe 5 (Bewegungsgleichung, schwach ionisiertes Gas)
→ Übungsaufgabe 6 (komplexe elektrische Leitfähigkeit)
- 31 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
5. Behandlung des Kollektivs
Im nachfolgenden Kapitel sollen die Eigenschaften des Kollektivs einer Teilchensorte
(Komponente) beschrieben werden.
Beim Einzelteilchenmodell lautete die Fragestellung:
K das Teilchen
K Wo befindet sich
Nummer i zur ZeitK t und welche Geschwindigkeit v hat es am Ort r ? Insbesondere
K
K dr
K
galt hierbei v =
(→ Bahnkurve); Ort r und Geschwindigkeit v sind demnach
dt
beim Einzelteilchenmodell keine unabhängigen Variablen.
Bei der Betrachtung eines Teilchenkollektivs würde es alle Rahmen sprengen, nach
Ort und
zu fragen. Die Vorgehensweise ist anders:
K Geschwindigkeit jedes Teilchens
K
Ort r , individuelle Geschwindigkeit w und Zeit t werden nun als unabhängige Variable betrachtet.
5.1.
Verteilungsfunktion, Mittelwerte, Bilanzgleichungen
5.1.1.
Verteilungsfunktion und Mittelwerte
Es existieren also nun 7 unabhängige Variable. In kartesischen Koordinaten angeschrieben
K sind dies:
Ort r (x, y, z),
(mit dem „Ortsvolumenelement“ d3r = dx ⋅ dy ⋅ dz )
K
Individuelle Geschwindigkeit w (wx, wy, wz),
(mit dem „Geschwindigkeitsvolumenelement“ d3 w = dw x ⋅ dw y ⋅ dw z )
Zeit t.
Die differentielle Anzahl der Teilchen d6N innerhalb eines differentiellen „OrtsvoluK
menelements“ d3 r bei r und eines differentiellen „GeschwindigkeitsvolumeneleK
ments“ d3 w bei w zur Zeit t berechnet sich damit zu
d6N rK, wK ,t = f ⋅ d3r ⋅ d3 w
wobei mit
K K
f = f (r , w, t )
die sog. Geschwindigkeits-Verteilungsfunktion bezeichnet ist.
Will man mit diesem Ansatz die Teilchenanzahl innerhalb eines festen Ortsvolumens
V berechnen, so ist folgendes 6-fach-Integral zu lösen:
N = ∫ ∫ f ⋅ d3 w ⋅ d3r
(V ) ( w )
 ∞

∞
∞

N = ∫∫∫ ∫
f
x
,
y
,
z
,
w
,
w
,
w
,
t
⋅
dw
⋅
dw
⋅
dw
x
y
z
x
y
z ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
∫
∫


x y z  w x = −∞ w y = −∞ w z = −∞



= ∫  ∫ f ⋅ d3 w  ⋅ d3r

(V ) (w )

3
= ∫ [n] ⋅ d r
(V )
In voriger Umformung taucht ein bereits bekannter Term auf, nämlich die Ortsdichte
aller Teilchen
(
)
- 32 -
Einführung in die Plasmaphysik
K
n(r , t ) =
K K
∫ f (r , w, t ) ⋅ d
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
3
w
(w )
die sich aus der Geschwindigkeitsverteilungsfunktion f durch Integration über den
gesamten Geschwindigkeitsraum ergibt.
K
d6N
Der Ausdruck f ⋅ d3 w = 3 ist als Ortsdichte der „w-Teilchen“ (d.h. bei w innerhalb
d r
3
d w ) interpretierbar.
Diese Verteilungsfunktion kann nun dazu benutzt werden, statistische Aussagen
(z.B. Mittelwerte) über Teilcheneigenschaften zu gewinnen. Dafür soll die folgende
Nomenklatur verwendet werden:
Eigenschaftsdichte = Eigenschaft ⋅ Dichte
Eigenschaftsstromdichte = Eigenschaftsdichte ⋅ Geschwindigkeit
Eigenschaftsstrom = Eigenschaftsstromdichte ⋅ Fläche
K
Betrachtet man beispielsweise eine Teilcheneigenschaft Q(w ) , die nur eine Funktion
der individuellen Teilchengeschwindigkeit ist, so gilt für deren Mittelwert
K
K
1
Q (r , t ) = ⋅ ∫ Q(w ) ⋅ f ⋅ d3 w
n (w)
bzw.
n⋅ Q =
K
∫ Q(w ) ⋅ f ⋅ d
3
w
(w)
n ist hierbei die bereits erwähnte Ortsdichte aller Teilchen
Setzt man als Teilcheneigenschaft die individuelle Teilchengeschwindigkeit selbst
K
K
Q(w ) = w
so ergibt sich entsprechend für die mittlere Geschwindigkeit:
K
KK
K
1
w = v (r , t ) = ⋅ ∫ w ⋅ f ⋅ d3 w
n (w)
K
Als Abweichung der individuellen Teilchengeschwindigkeit w von der mittleren GeK
K
schwindigkeit w sei an dieser Stelle noch die statistische Geschwindigkeit u (peculiar velocity) eingeführt. Für diese gilt:
K K
K
K K
u= w− w = w−v
Daraus folgt selbstverständlich, dass der vektorielle Mittelwert der statistischen Geschwindigkeit verschwindet:
K
K
K
K
K
u = w− w = w − w =0
5.1.2.
Massenbilanz
Für das Ensemble einer Teilchensorte soll nun die Massenbilanz in einem festen Volumen aufgestellt werden. V sei dabei das Volumen, das von der Hüllfläche H begrenzt ist. Es sei:
m:
Masse eines Einzelteilchens
M:
Gesamtmasse im Volumen (also Einzelteilchenmasse mal Anzahl Teilchen im Volumen)
- 33 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
 kg 
Massendichte  3 
m 
ρ = m⋅n :
H
d3 r
V(H)
Für die zeitliche Änderung
der Gesamtmasse des
Systems wird folgender
Ansatz gewählt (Massenbilanz):
 dM 
=


dt  Vol

Volkszählung
1
K
da
 dM 


 dt  erzeugt
Geburts-,
Sterberate
2
−
 dM 


dt H

Imigranten,
Emigranten
3
Die zeitliche Änderung der Gesamtmasse („Volkszählung“) ist gleich der zeitlichen
Änderung der Gesamtmasse im Volumen („Geburts- und Sterberate“; z.B. Rekombination von einem Elektron mit einem Ion zu einem Neutralteilchen; in den Bilanzgleichungen für Elektronen- bzw. Ionenensemble verschwindet jeweils ein Teilchen,
während in der Neutralenbilanz ein Teilchen dazukommt) plus der zeitlichen Änderung der Gesamtmasse aufgrund von Teilchenwanderung durch die Hüllfläche. Das
negative Vorzeichen beim dritten Term erklärt sich aus dem nach außen gerichteten
Flächenelementsvektor. „Emigranten“ wirken sich auf die Masse des Gesamtsystems
negativ aus.
 dM 
1
Der „Volkszählungsterm“ 
lässt sich mit Hilfe der im vorherigen Kapi
 dt  Vol
K K
tel abgeleiteten Geschwindigkeitsverteilungsfunktion f (r , w, t ) folgendermaßen
umformen:

d
d 
 dM 
3
3 
(
)
=
m
⋅
N
=
m
⋅
f
⋅
d
w
⋅
d
r


∫ ∫

dt
dt  Vol
 dt  Vol
(w)




d
m ⋅ ∫ n ⋅ d3r 
=

dt  Vol



d
3
=
∫ m ⋅ n ⋅ d r 
dt  Vol



d
3
=
∫ ρ ⋅ d r 
dt  Vol

∂ρ 3
= ∫
⋅d r
∂t
Vol
- 34 -
Einführung in die Plasmaphysik
2
Für den 2.Term („Geburts- und Sterberate“) wird lediglich angesetzt:
 dM 
= ∫ α ⋅ d3 r


dt

 erzeugt Vol
 kg 
Erzeugungsrate  3 
m s 
Der „Imigranten/Emigranten“-Term kann wiederum mit der Geschwindigkeitsverteilungsfunktion umgeformt werden:
K
K
 dM 
= ∫ ∫
w⋅
m
⋅
f⋅ d3
w
• da


 dt H
H (w)
mit:
3
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
α:
Eigenschaft [kg]
 1 
Anzahldichte 
3
m


 kg 
Eigenschaftsdichte 
3
 m
  kg 
Eigenschaftsstromdichte 

m 2
s 

=
K
∫m⋅ ∫ w ⋅f ⋅d
H
=
=
 kg 
Eigenschaftsstrom  
s
K
3
(w)
w • da
K
K
∫ m ⋅ n ⋅ v • da
H
K
K
∫ ρ ⋅ v • da
H
K
Das Integral ∫ w ⋅ f ⋅ d3 w über den gesamten Geschwindigkeitsraum liefert die
(w)
mit der Anzahldichte
n der Teilchen gewichtete mittlere Geschwindigkeit der
K
Teilchen v (vgl. vorheriges Kapitel).
Damit lässt sich der Ansatz für die Massenbilanz in folgender Form schreiben:
K
K
∂ρ 3
3
∫ ∂t ⋅ d r = ∫ α ⋅ d r − ∫ ρ ⋅ v • da
Vol
Vol
H
bzw.
K
K
∂ρ 3
3
∫ ∂t ⋅ d r + ∫ ρ ⋅ v • da = ∫ α ⋅ d r
Vol
H
Vol
Mit dem Gauß’schen Integralsatz
K
K
K
A
•
d
a
=
div
A
⋅ d3r =
∫
∫
( )
H
Vol
allgemein:
K 3
∇
•
A
⋅d r
∫
Vol
K
K
v∫ da D Χ ( r ) =
H
∫ (∇ D Χ ) ⋅ d r
3
Vol
(verallgemeinerter Gauß’scher Satz)
kann man das Hüllflächenintegral in ein Volumenintegral umwandeln. Man erhält
K 3
∂ρ 3
3
∫ ∂t ⋅ d r + ∫ div (ρ ⋅ v ) ⋅ d r = ∫ α ⋅ d r
Vol
Vol
Vol
Die Integrale können hier weggelassen werden, weil die Integrationsgrenzen beliebig
sind (die Bilanz gilt für jedes Volumen). Das Resultat ist die Massenbilanzgleichung
in bekannter Form (Kontinuitätsgleichung):
- 35 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
K
∂ρ
+ div (ρ ⋅ v ) = α
∂t
(Volkszählung + Emigranten/Imigranten = Geburts- und Sterberate)
∂
d
noch in die totale Zeitableitung
Rein formal kann die partielle Zeitableitung
∂t
dt
überführt werden, indem der Divergenzterm aufgelöst wird:
K
∂ρ K
+ v ⋅ grad(ρ) + ρ ⋅ div (v ) = α
∂t
dρ
dt
totale AbleitungK
(Beobachter mit v
bewegt)
K
dρ
+ ρ ⋅ div (v ) = α
dt
Spezialfall:
Für α = 0 (Gase unter Normalbedingungen) reduziert sich die Massenbilanzgleichung auf:
K
1 dρ
div (v ) = − ⋅
ρ dt
Für „inkompressible“ Gase gilt außerdem:
K
div(v ) = 0
5.1.3.
Impulsbilanz
Analog zum vorherigen Abschnitt (Massenbilanz) soll nun die Impulsbilanz für ein
festes Volumen betrachtet werden. Der entsprechende Ansatz lautet:
K
K
K
 dΙ 
 dΙ 
 dΙ 
 
= 
+ 
dt  erz  dt  Vol  dt H

1
2
3
Die zeitliche Impulsänderung eines in einem festen Volumen betrachteten Teilchenensembles 2 setzt sich zusammen aus der zeitlichen Impulsänderung aufgrund äußerer Kräfte 1 (auch Reibung mit anderen Komponenten) und dem zeitlichen Impulsaustausch durch die das Volumen begrenzende Hüllfläche 3.
1
Für den Impuls-Erzeugungsterm in der Bilanz wird gesetzt:
K
K
 dΙ 
  = ∫ k ⋅ d3 r
 dt  erz Vol
2
K
k :
 N 
mittlere Kraftdichte  3 
m 
Die zeitliche Impulsänderung des Teilchenensembles kann mit Hilfe der Geschwindigkeitsverteilungsfunktion f folgendermaßen umgeformt werden:
mit:
- 36 -
Einführung in die Plasmaphysik
K
 dΙ 
 
 dt  Vol
3
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs

K
d 
3
3 
m
⋅
w
⋅
f
⋅
d
w
⋅
d
r
∫ ∫

dt  Vol
 (w )



K
d
=
ρ ⋅ v ⋅ d3r 
∫

dt  Vol

K
∂ (ρ ⋅ v ) 3
⋅d r
= ∫
∂
t
Vol
=
Für die zeitliche Impulsänderung aufgrund Austausch durch die Hüllfläche gilt:
K
K
K K
 dΙ 
 
= ∫ ∫ w m w ⋅ f ⋅ d3 w • d a
 dt H
H (w )
Dyade
=
∫∫
P
K
KK
ww ⋅ m ⋅ f ⋅ d3 w • da
H (w )
=
K
KK
ρ
⋅
w
w
•
d
a
∫
H
Einschub:
Tensorrechnung: Dyadisches Produkt
Dyade:
Nicht skalare und nicht vektorielle Multiplikation,
sondern „dyadische“ Multiplikation.
KK
K KK K K K K
Φ = AB , so daß Φ • n = AB • n = A ⋅ B • n
K
K KK K K K
dagegen: n • Φ = n • AB = n • A ⋅ B
KK
K
K
K
K
(vgl. Aufgabe 7)
∇ • AB = B ⋅ ∇ • A + A • ∇B
( )
(
)
(
( )
)
(
)
Damit ergibt sich als Impulsbilanz:
K
K
∂ (ρ ⋅ v ) 3
K
KK
3
∫ k ⋅ d r = ∫ ∂t ⋅ d r + v∫ ρ ⋅ ww • da
Vol
Vol
H
Wiederum lässt sich das Hüllflächenintegral mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß in
ein Volumenintegral umwandeln. Man erhält (analog zu vorherigem Kapitel, Massenbilanz):
K
K
KK
∂ (ρ ⋅ v )
k =
+ ∇ • ρ ⋅ ww
∂t
K
Die individuelle Teilchengeschwindigkeit w kann nun durch die statistische GeK
K
schwindigkeit u (deren Mittelwert u nach Definition verschwindet) und die mittlere
K
Geschwindigkeit v ersetzt werden. Es gilt:
KK
K K K K
ww = (u + v )(u + v )
KK
K K K K
KK
= uu + u v + v u + v v
K K KK
= uu + v v
Es wird nun folgende Bezeichnung eingeführt:
KK
ρ ⋅ uu = p = Drucktensor
Damit lautet die Impulsbilanz (vgl. Einschub Tensorrechnung):
- 37 -
Einführung in die Plasmaphysik
K
k
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
K
KK
∂v K ∂ρ
= ρ⋅
+v⋅
+ ∇ • ρ ⋅ vv + ∇ • p
∂Kt
∂t
K
K K
K
∂v K ∂ρ
= ρ⋅
+v⋅
+ ρ ⋅ v • ∇v + v ⋅ div (ρ ⋅ v ) + ∇ • p
∂t K
∂t
K
K  K  ∂ρ
K 
 ∂v
= ρ ⋅  + v • ∇v  + v ⋅  + div (ρ ⋅ v ) + ∇ • p
t
t
∂
∂
K


=α
vgl. Kap.5.1.2, S.36
dv
dt
totale Ableitung
=
K
dv K
= ρ⋅
+ v ⋅α + ∇•p
dt
Setzt man nun als äußere Kräfte ganz allgemein
ein elektrisches Feld,
ein magnetisches Feld,
die Erdbeschleunigung und
Reibungskräfte,
so ergibt sich für die Impulsbilanz
K
K
K
K
K
K K
dv K
k = ρ⋅
+ v ⋅ α + ∇ • p = ρ el ⋅ E + js × B + ρ ⋅ g + R
N
NK
dt
n⋅q
n ⋅ q⋅ v
bzw. mit dem skalaren Druck p:
K
K
K K
K K K
dv
ρ⋅
= −grad(p ) − ∇ • τ − α ⋅ v + js × B + ρ el ⋅ E + ρ ⋅ g + R
N
dt
Re ibung
mit:
R=Komponenten-Reibung
p = Ι ⋅p + τ
→ Übungsaufgabe 7 (Überlegungen zum Drucktensor)
KK
Der Drucktensor p = ρ ⋅ uu soll nun noch etwas näher untersucht werden. Für 1 E-
lement der Tensormatrix gilt (wieder unter Verwendung der Geschwindigkeitsverteilungsfunktion):
pij = ρ ⋅ ui ⋅ u j = m ⋅ ∫ ui ⋅ u j ⋅ f ⋅ d3 w
(w)
Im Fall der Isotropie (z.B. Gase unter Normalbedingungen) gilt für die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion f:
f = f u2 = f u x 2 + u y 2 + u z 2
( ) (
)
Für die Elemente pij der Tensormatrix ergibt sich dann:
pij = 0
für i ≠ j
pij = p (skalarer Druck)
für i = j
Der Drucktensor lässt sich in diesem Fall folgendermaßen angeben:
KK
 i i ⋅p
0 
K K0


p = Ι ⋅p =  0
j j ⋅ p K K0 
 0
0
kk ⋅ p 

mit:
Ι:
Einheitstensor
Der skalare Druck p kann jetzt sehr einfach durch die Massendichte ρ und den Mittelwert des statistischen Geschwindigkeitsquadrats ausgedrückt werden:
- 38 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
p = ρ ⋅ ux 2 = ρ ⋅ uy 2 = ρ ⋅ uz 2 =
ρ
ρ
⋅ u x 2 + u y 2 + u z 2 = ⋅ u2
3
3
Aus der Thermodynamik ist bekannt:
m
3
⋅ u2 = ⋅ k ⋅ T (3 Freiheitsgrade)
2
2
Setzt man in diese Gleichung den gerade gewonnenen Ausdruck für den skalaren
Druck p ein
ρ 3
2
p = ⋅ ⋅k ⋅T ⋅ = n⋅k ⋅T
3 2
m
so gelangt man zur Zustandsgleichung für ideale Gase:
p = n⋅k ⋅T
5.2.
Boltzmann-Gleichung
In diesem Abschnitt soll der Erhaltungssatz für die GeschwindigkeitsverteilungsfunkK K
tion f (r , w, t ) diskutiert werden. Zunächst als kurze Wiederholung: Die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion beschreibt differentiell die absolute Anzahl der Teilchen, die
K
sich zur Zeit t im differentiellen Ortsvolumenelement d3r bei r und im differentiellen
K
Geschwindigkeitsvolumenelement d3 w bei w befinden:
K K
K K
d6N
6
f (r , w, t ) = 3
(
d
N
=
f
r , w, t ) ⋅ d3 w ⋅ d3r
⇒
3
d w ⋅d r
∂f
dieser Geschwindigkeitsverteilungsfunktion findet statt
Eine zeitliche Änderung
∂t
durch
wandern aus/in Ortsvolumenelement
aufgrund der individuellen TeilchenK
geschwindigkeit w ,
wandern aus/in Geschwindigkeitsvolumenelement aufgrund einer Beschleunigung der Teilchen.
d 6
∂f
d N = ⋅ d3r ⋅ d3 w
dt
∂t
In Kap.5.1.2 wurde mit der Teilcheneigenschaft Masse eine Bilanzgleichung abgeleitet, die Kontinuitätsgleichung
K
∂ρ
+ div (ρ ⋅ v ) = α
∂t
bzw. mit Erzeugungsrate α = 0 :
K
∂ρ
+ div (ρ ⋅ v ) = 0
∂t
Dieser Zusammenhang gilt natürlich auch für die Anzahldichte n der Teilchen
( ρ = n ⋅ m ):
K
∂n
+ div (n ⋅ v ) = 0
∂t
In voriger Gleichung ist nur eine Ortsabhängigkeit enthalten (keine Geschwindigkeitsabhängigkeit):
d3N = n ⋅ d3 r
K
d 3
∂n
⇒
d N = d3 r ⋅
= −(div (n ⋅ v )) ⋅ d3r
dt
∂t
Eine zusätzliche Geschwindigkeitsabhängigkeit wird nun (formal analog) eingeführt:
( )
( )
- 39 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
Äußere Kraft auf Teilchen
K

 F  3
K
d 6
∂f 3
3
3
3
d N = ⋅ d r ⋅ d w = − div (r ) (w ⋅ f ) ⋅ d r ⋅ d w −  div ( w )  ⋅ f   ⋅ d r ⋅ d3 w
dt
∂t
 m 

( )
mit:
(
)
div (r ) :
Divergenz-Operator bzgl. der Ortskoordinaten;
div (w ) :
Divergenz-Operator bzgl. der Geschwindigkeitskoordina-
ten;
Die Anzahldichte n (die sich aus der Verteilungsfunktion f durch Integration über den
Geschwindigkeitsraum ergibt) muß natürlich durch die GeschwindigkeitsverteilungsK
funktion f ersetzt werden, ebenso die mittlere Teilchengeschwindigkeit v durch die
K
K
individuelle Teilchengeschwindigkeit w . Der erste Term div (r ) (w ⋅ f ) beschreibt die
(
)
Änderung der Verteilungsfunktion im Ortsvolumenelement aufgrund der TeilchengeK

 F 
schwindigkeit. Der neue Term  div ( w )  ⋅ f   erfasst die Änderung der Verteilungs m 

funktion im Geschwindigkeitsvolumenelement aufgrund einer Teilchenbeschleunigung. Umgestellt ergibt sich daraus die stoßfreie Vlasov-Gleichung:
K
F 
K
∂f
+ div (r ) (w ⋅ f ) + div ( w )  ⋅ f  = 0
∂t
m 
Die Divergenz-Terme lassen sich nun folgendermaßen umformen:
K
K
K
div (r ) (w ⋅ f ) = f ⋅ div (r ) (w ) + w • grad(r ) (f )
KK
= 0, da r , w
unabhängig
K
K K 1
F  1
div ( w )  ⋅ f  = ⋅ f ⋅ div ( w ) F + F • ⋅ grad( w ) (f )
m
m  m
()
K K
K
K K
K
div ( w ) w × B = − w ⋅ rot ( w ) B + B ⋅ rot ( w ) (w )
K K
=0
= 0, da B ≠ f (w )
Die anderen Terme einer äußeren Kraft (elektrisches Feld, Gravitationskraft) sind
K
K
unabhängig von w und liefern somit zu div ( w ) F sowieso keinen Beitrag. Man erhält
(
)
()
()
also:
0
K

∂f K
F
+ w • grad(r ) (f ) + • grad( w ) (f ) =  ∂f 
∂t
m
 
 ∂t  Stöße
→ stoßfrei :
Vlasov - Gleichung
→ mit Stoßterm :
Boltzmann - Gleichung
Alternative Schreibweisen für die Boltzmann-Gleichung sind:
- 40 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
K
F
∂f K
 ∂f 
+ w • ∇r ⋅ f + • ∇ w ⋅ f =  
m
∂t
 ∂t Stöße
3
3
1
∂f
∂f
∂f
 ∂f 
+ ∑ wi ⋅
+ ∑ ⋅ Fi ⋅
= 
∂t i =1
∂ri i =1 m
∂w i  ∂t Stöße
 ∂f 
Bzgl. des Stoßterms  
auf der rechten Seite der Boltzmann-Gleichung gilt für
 ∂t Stöße
1 Komponente (Teilchensorte):
 ∂f 
= 2 ⋅ π ⋅ ∫ ∫ (f ' A ⋅f 'B − f A ⋅ fB ) ⋅ gA −B ⋅ p ⋅ dp ⋅ d3 w B
 
 ∂t Stöße
w p
B
= 2⋅π⋅
π
∫ ∫ (f ' A ⋅f 'B −fA ⋅ fB ) ⋅ g ⋅ S(χ ) ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ ⋅ d
3
wB
w B χ =0
Bei mehreren Komponenten müssen natürlich die einzelnen Stoßterme, die die
Stoßwechselwirkung der betrachteten Teilchensorte mit jeweils den anderen Teilchensorten beschreiben, aufsummiert werden:
Beobachtete
Komponente
 ∂f 
 
 ∂t  Stöße
⇒
Stoßterm für s:
 ∂f 
∑  ∂t 
B
(s)
Stöße
Andere Komponenten
(inkl. s)
5.3.
Gleichgewicht - Maxwell-Verteilung
Für das Kollektiv einer Teilchensorte gelte nun:
∂f
Stationär:
=0
∂t
Homogen (örtlich): ∇r ⋅ f = 0
K
Keine äußere Kraft: F = 0
Aus der im vorherigen Kapitel abgeleiteten Boltzmann-Gleichung folgt damit sofort:
!
 ∂f 
(+ Stöße) =(− Stöße)
0= 
 ∂t  Stöße
Damit gilt notwendigerweise (und hinreichend, Boltzmann H-Theorem):
f ' A ⋅f 'B = f A ⋅ fB
Pro Zeiteinheit werden durch Stöße genausoviele Teilchen in das Geschwindigkeitsvolumenelement d3 w hinein als auch heraus katapultiert.
Aus dieser Bedingung ( f ' A ⋅f 'B = f A ⋅ fB ) folgt natürlich
ln(f ' A ) + ln(f 'B ) = ln(f A ) + ln(fB )
d.h. ln(f ) ist Summationsinvariante beim Stoß.
- 41 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
Durch die Invarianten Masse, Impuls und Energie ist der Stoß determiniert. ln(f ) lässt
sich damit darstellen aus einer linearen Kombination durch folgenden Ansatz:
K
K
1
⋅
ln(f ) = a + b • m
w − c ⋅ ⋅m ⋅ w2
2 Impuls
Energie
= a + m ⋅ bx ⋅ w x + m ⋅ by ⋅ w y + m ⋅ bz ⋅ w z −
= a+
m


+  − c ⋅ ⋅ w x2 + m ⋅ bx ⋅ w x  +
2


m


+  − c ⋅ ⋅ w y2 + m ⋅ by ⋅ w y  +
2


m


+  − c ⋅ ⋅ w z2 + m ⋅ bz ⋅ w z 
2


2
2
2

 by 
m  b 
m 
b 
= a + c ⋅ ⋅   x  +   +  z   − c ⋅ ⋅ 
2 
2  c 
 c  
 c 



2

2b
b  
+  w x2 − x ⋅ w x +  x   +

c
 c  

2

2b y
 b y  
2

+ wy −
⋅ w y +    +
c

 c  

2 

2b
b  
+  w z2 − z ⋅ w z +  z   

c
 c   


m
2
2
= a 0 − c ⋅ ⋅ (w x − β x ) + w y − β y + (w z − β z )2
2
b
βi = i
c
m
a0 = a + c ⋅ ⋅ β x 2 + β y 2 + β z 2
2
(
mit:
(
(
)
(
1
⋅ c ⋅ m ⋅ w x2 + w y2 + w z2
2
)
)
)
Mit
ui = w i − β i
lässt sich schreiben
ln(f ) = ln(f0 ) = a 0 − c ⋅
m 3 2
⋅ ∑ ui
2 i =1
und damit
f0 = A ⋅ e
mit:
−c ⋅
m 3 2
⋅∑ ui
2 i=1
A = ea 0
K
Es sind nun die Konstanten A, c und β zu bestimmen:
1
K
Die Komponenten βi des Vektors β sind, wie im folgenden gezeigt wird, die
Geschwindigkeitskomponenten v i . Es gilt (vgl. Kap.5.1.1):
- 42 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
n ⋅ ui = ∫ ui ⋅ f0 ⋅ d3u
u
f0 ist eine Funktion der Geschwindigkeitskomponentenquadrate. Da über den
gesamten Geschwindigkeitsraum zu integrieren ist, gilt:
n ⋅ ui = ∫ ui ⋅ f0 ui2 ⋅ d3u = 0
( )
u ungerade in u
i
Damit können nun die Komponenten βi bestimmt werden.
ui = 0 = w i − βi = w i − β i = v i − β i
⇒
v i = βi
Die Geschwindigkeitskomponenten ui = w i − v i sind also die Komponenten
der bereits in Kap.5.1.1 eingeführten statistischen Geschwindigkeit („peculiar
velocity“). Für die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion gilt damit:
f0 = A ⋅ e
−c ⋅
m 3 2
⋅∑ ui
2 i=1
3
mit:
∑ ui 2 = u 2
i =1
2
Die Konstante A wird aus dem Ansatz n =
∫ f0 ⋅ d u
3
für die Ortsdichte n der
(u )
Teilchen bestimmt. Da f0 nur eine Funktion des Geschwindigkeitsbetrages ist,
wechselt man sinnvollerweise ins Kugelkoordinatensystem. Die Integration
über den gesamten Geschwindigkeitsraum reduziert sich auf ein EinfachintegK
ral über alle Geschwindigkeitsbeträge ( u = u = 0..∞ ).
n = ∫ f0 ⋅ d u = A ⋅
3
∞
∫
e
−c⋅
m 2
⋅u
2
u=0
(4 ⋅π⋅u )⋅du
2
Volumenele ment
Kugelschal e
der Dicke du
Die Auswertung dieses Integrals liefert
n =
∫ f0 ⋅ d u
3
= A⋅
∞ − c ⋅ m ⋅u 2
e 2
∫
u=0
= 4⋅π⋅A ⋅
∞
∫u
2
(4 ⋅ π ⋅ u )⋅ du
2
⋅e
u=0
3
A ⋅ π2
−
−c⋅
m 2
⋅u
2
⋅ du
3
 m 2
=
⋅ c ⋅ 
 2
bzw. nach Umstellung für den gesuchten Koeffizienten A der Verteilungsfunktion f0 :
3
 m ⋅ c 2
A = n⋅

 2⋅π 
3
ρ
⋅ u2
3
zur Berechnung des Druckes p bestimmen. In ähnlicher Rechnung zu vorher
erhält man:
Die jetzt noch fehlende Konstante c lässt sich aus der Gleichung p =
- 43 -
Einführung in die Plasmaphysik
p =
ρ
⋅ u2
3
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
m
⋅ n ⋅ u2
3
=
m
⋅ u2 ⋅ f0 ⋅ d3u
3 ∫
∞
m
=
⋅ ∫ u2 ⋅ f0 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ u2 ⋅ du
3 u=0
=
(
)
m
∞
2
− c ⋅ ⋅u
m
=
⋅ A ⋅ 4 ⋅ π ⋅ ∫ u4 ⋅ e 2
⋅ du
3
u=0
3
−
5
m
 m 2
= A ⋅ ⋅ π2 ⋅ c ⋅ 
2
 2
n
=
c
Mit der Zustandsgleichung für ideale Gase (vgl. Kap.5.1.3)
n
p = = n⋅k ⋅T
c
kann nun die gesuchte Konstante c bestimmt werden:
1
c=
k⋅T
Die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion f0 lautet damit:
f0
= A ⋅e
−c⋅
m 2
⋅u
2
3
2
1

1 m 2
m⋅

−
⋅ ⋅u
k
⋅
T
k
 ⋅ e ⋅T 2
= n⋅
 2⋅π 




3
1
 2
3
2
 m
= n⋅  ⋅
 ⋅e
 π  2⋅k ⋅T 
−
u2
2
k ⋅T ⋅
m
3
1
 2
 u
− 
v
⋅e  0



2
1
= n⋅  ⋅ 3
 π  v0
m
mit:
⋅ v 02 = k ⋅ T
2
2⋅k ⋅T
v0 =
m
Diese Geschwindigkeitsverteilungsfunktion ist die sog. Maxwell-Verteilung, die die
Verteilung der Teilchengeschwindigkeiten bei einer bestimmten Temperatur beschreibt. Die Temperatur ist darin durch eine Geschwindigkeit v 0 definiert, die, wie
im folgenden gezeigt wird, die wahrscheinlichste Teilchengeschwindigkeit ist.
Maxwell-Verteilung:
3
 12
1
f0 = n ⋅   ⋅ 3
 π  v0
 u 
−  
v
⋅e  0 
2
mit:
m
⋅ v 02 = k ⋅ T
2
v0 =
- 44 -
2⋅k ⋅T
m
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
Die Maxwell-Verteilung ist verknüpft mit einer Gleichverteilung der Geschwindigkeitskomponenten, wie an der nachfolgenden Umformung sofort erkennbar ist:
f0 * =
3
 12
f0
1
=   ⋅ 3 ⋅e
n  π  v0
f (ui ) =
mit:
1
1
⋅
π v0
−
(u
x
2
+uy 2 +uz 2
u 
−  i 
v
⋅e  0 
v0
2
)
( )
= f (u x ) ⋅ f u y ⋅ f (u z )
2
1
v0 ⋅ π
f (ui )
f0 * bzw. f (ui ) sind auf 1 normiert, d.h.
∞
∫ f (ui ) ⋅ dui = 1
u i = −∞
0
v0
0
ui
→ Übungsaufgabe 8 (Maxwellverteilung - Geschwindigkeitskomponenten)
Diskussion und Interpretation der Maxwell-Verteilung:
1) Vektorielle Betrachtungsweise
Nach Definition der Geschwindigkeitsverteilungsfunktion gilt:
d 6N(u,r ) = f0 ⋅ d3 u ⋅ d3 r = n ⋅ f0 * ⋅d3 u ⋅ d3 r
K
d6N(u,r )
innerhalb d3r und d3u
Ortsdichte der u − Teilchen
=
=
gesamte Ortsdichte
n ⋅ d3r
alle innerhalb d3r
= f0 * ⋅d3u
= (f (u x ) ⋅ du x ) ⋅ f u y ⋅ du y ⋅ (f (u z ) ⋅ du z )
(( )
)
2) Betrachtung der Geschwindigkeitskomponenten-Verteilung
dni
zwischen ui und ui + dui
=
f (ui ) ⋅ dui =
n
alle
Ortsdichte der ui − Teilchen
=
gesamte Ortsdichte
3) Betrachtung der Geschwindigkeitsbetrag-Verteilung
dn(u)
= f0 * ⋅4 ⋅ π ⋅ u2 ⋅ du = F(u) ⋅ du
n
⇒
F(u) =
4
1
⋅
π v 03
 u 
−  
v
⋅ u2 ⋅ e  0 
2
F(u)
a) Wahrscheinliche Geschwindigkeit
(Maximum):
uw = v 0
0
b) Mittlere Geschwindigkeit:
- 45 -
uw
u
u
u2
Einführung in die Plasmaphysik
u =
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
2
⋅ v0
π
c) Mittleres Geschwindigkeitsquadrat:
m
3
⋅ u2 = ⋅ k ⋅ T
2
2
3
u2 = ⋅ v 0 2
2
→ Übungsaufgabe 9 (Maxwellverteilung - Geschwindigkeitsbeträge)
Die am Anfang dieses Kapitels vereinbarten Rahmenbedingungen (stationär, homogen, keine äußere Kraft) werden nun modifiziert. Es wird eine konservative äußere
K
Kraft F
K
F = −grad(Φ )
eingeführt. Mit dem Ansatz (Separationsansatz)
K
KK
K
f (u, r ) = Ψ (r ) ⋅ f0 (u)
KK
für die modifizierte Geschwindigkeitsverteilung f (u, r ) erhält man (nach Zwischenrechnung: Boltzmanngleichung 2. und 3. Term):
K
Φ (r )
−
K
Ψ
(r ) = e k ⋅T
N
Boltzmann −
faktor
Damit ergibt sich:
f = f0 ⋅ e
−
K
Φ (r )
k ⋅T
mit:
=
K
Φ (r )
⋅T ⋅ f
n
⋅ ek
0
K n( r )
−
K
n(r ) = n0 ⋅ e
−
*
K
Φ (r )
k ⋅T
Beispiel 1: Gravitation
In diesem Fall ist die Kraft gegeben durch
K
g = const.
K
F = m⋅g
K
K
K
wobei die Erdbeschleunigung g als konstant angenomh
F = m⋅g
men wird. Die zugehörige Potentialfunktion Φ
K
( F = −grad(Φ ) ) ist dann die potentielle Energie:
Φ = m⋅g⋅h
Damit ergibt sich für die Ortsabhängigkeit der Teilchendichte:
m⋅g⋅h
Geht auch aus Impulsbilanz (stationär):
−
K
k
⋅
T
n(h) = n0 ⋅ e
ρ ⋅ g = grad (P )
(vgl. S.55)
Beispiel 2: Elektrostatisches Feld
K
Existiert ein zeitunabhängiges elektrisches Feld E , so wirkt auf Ladungsträger die
bekannte Coulombkraft:
K
K
F = q⋅E
Zwischen elektrischem Feld und elektrostatischem Potential V gilt
- 46 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
K
E = −grad(V )
so dass im elektrostatischen Fall die Potentialfunktion Φ sofort angegeben werden
kann:
K
F = −q ⋅ grad(V ) = −grad(q ⋅ V ) = −∇ ⋅ (q ⋅ V ) = −∇ ⋅ (Φ )
Damit erhält man für die Ortsabhängigkeit der Teilchendichte:
K
q⋅ V ( r )
−
K
n(r ) = n0 ⋅ e k ⋅T
Handelt es sich bei den betrachteten Teilchen um freie Elektronen, so gilt:
q = −e
K
e ⋅ V (r )
n − = n0 ⋅ e k ⋅ T
⇒
Das an einem Ort herrschende elektrostatische Potential V ist also verknüpft mit Elektronendichte und –temperatur, wobei als Bezugswert die Elektronendichte n0 bei
V = 0 dient. In der Plasmatechnik wird dieser Sachverhalt dazu benutzt, mit Potentialsonden (Langmuir-Sonden) lokale Elektronendichten und –temperaturen im Plasmagas zu ermitteln.
→ Übungsaufgabe 10 (Maxwellverteilung - Sondenmeßtechnik)
Beispiel 3: Debye-Potential
In diesem Beispiel ist folgendes Modell zugrundegelegt: 1 Ion wird betrachtet, die
Elektronen sind statistisch um das Ion verteilt, wobei sich die Elektronendichte entsprechend dem elektrostatischen Potential des Ions einstellt. Es gilt:
Ionendichte:
n + = n0
−
e⋅ V
⋅ e k ⋅T
Elektronendichte: n = n0
Für die resultierende Raumladungsdichte gilt damit
e⋅ V 


+
+
−
−
ρ = n ⋅ q + n ⋅ q = n0 ⋅ e ⋅ 1 − e k ⋅ T 




e⋅V 

= n0 ⋅ e ⋅  1 − 1 −
...
k ⋅T 

e2 ⋅ V
= − n0 ⋅
k ⋅T
wobei e ⋅ V << k ⋅ T sein muß, um die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion
nach dem zweiten Glied abbrechen zu dürfen (pot. Energie << therm. Energie).
Mit
K
div D = ρ
bzw. ( ε = const. )
K
ε ⋅ div E = ρ
und
K
E = −grad(V )
gelangt man zur Potentialgleichung
ρ
div (grad(V )) = ∆ ⋅ V = −
ε
in die die vorher ermittelte Raumladungsverteilung eingesetzt wird:
()
()
- 47 -
Einführung in die Plasmaphysik
n0 ⋅ e 2
⋅V
ε ⋅k ⋅T
1
∆⋅V = 2 ⋅V
λD
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
∆⋅V =
mit:
λD =
ε ⋅k ⋅T
n0 ⋅ e 2
λ D ist die sog. Debye-Länge, die von Elektronendichte und –temperatur abhängt.
Um das elektrostatische Potential V zu berechnen ist es sinnvoll, ins KugelkoordinaK
tensystem zuwechseln. Im Fall von Kugelsymmetrie ( V = V (r ) ) lautet die Potentialgleichung dann:
1 d  2 dV 
1
⋅V
⋅ r ⋅
=
2 dr
dr  λ D 2

r
Unter Berücksichtigung der Randbedingungen
V →0
r→∞
Q 1
r →0
V → VCoul =
⋅
4πε r
( VCoul ist das bekannte Coulomb-Potential einer Punktladung Q)
lautet die Lösung für das elektrische Potential:
r
Q 1 − λD
V (r ) =
⋅ ⋅e
4πε r
Der Ortsverlauf des elektrostatischen Potentials V (r )
V einer positiven Punktladung (Ion) wird also,
wie nicht anders zu erwarten, von den umliegenden negativ geladenen freien Elektronen
beeinflusst. Dieser Einfluß ist erfasst in dem
−
VCoul ∝
1
r
r
λD
λD ↑
, wobei λ D die von ElektronendichFaktor e
r
te und Elektronentemperatur abhängige Debye0
länge ist. Für wachsende Debyelänge (niedrige
Elektronendichte und/oder hohe Elektronentemperatur) nähert sich der Potentialverlauf dem einer isolierten positiven Punktladung an (Coulomb-Potential, vgl. Vorlesung
Grundlagen der Elektrotechnik, 1.Trimester).
Anmerkung: Der totale Wirkungsquerschnitt für Coulombstöße konvergiert für das
Debyepotential (im Gegensatz zum Coulombpotential).
Beispiel 4: Störung der Quasineutralität, Plasmaschwingungen durch Mikrofelder
Ausgangspunkt dieser Rechnung sind die Ortsdichten n + und n − zweier positiv bzw.
negativ geladener Teilchenensemble. Für die Ortsdichte der negativen Teilchen wird
dabei eine (kleine) zeitlich variable Abweichung von der mittleren Ortsdichte n0 angesetzt:
n + = n0
n− = n + ~
n−
0
Unter Benutzung der Gleichungen
K
ρ 1
e −
1
div E = = ⋅ n0 ⋅ e − n0 ⋅ e − ~
n− ⋅ e = − ⋅ ~
n
ε ε
ε
()
(
)
- 48 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
K
∂v
e K
2
(Kraftgleichung)
= − − ⋅E
∂t
m
K
∂n −
3
(Teilchenbilanz)
div n − ⋅ v = −
∂t
soll nun der Zeitverlauf des fluktuierenden Anteils der negativen Ladungsträger ~
n − (t )
(freie Elektronen) ermittelt werden. Für die Teilchenbilanz der negativen Ladungsträger gilt:
K
K
∂n −
∂n − K
+ div n − ⋅ v =
+ v ⋅ grad n − + n − ⋅ div (v )
∂t
∂t
K
∂~
n− K
=
+ v ⋅ grad n0 + ~
n − + n0 + ~
n − ⋅ div (v )
∂t
K
Störungs≅ n 0 ⋅div (v ) für : ~
n − << n 0
ansatz
K
∂~
n− K
=
+ v ⋅ grad ~
n − + n0 ⋅ div (v )
∂t
K 
K
∂~
n− K
 ε
+ v ⋅ grad − ⋅ div E  + n0 ⋅ div (v )
=
∂t

 e
−
 ε
 m − ∂vK  
K
K
∂~
n

=
+ v ⋅ grad − ⋅ div  −
⋅   + n0 ⋅ div (v )




∂t
 e ∂t  
 e
K
K
  ∂v  
∂~
n − εm − K
=
+ 2 ⋅ v ⋅ grad div    + n0 ⋅ div (v )
∂t
e
  ∂t  
Für
K
K
K
∂v
(Linearisierung; Amplituden << Homogenitätszonen)
v ⋅ ∇ • v <<
∂t
kann der zweite Term vernachlässigt werden und die Teilchenbilanz reduziert sich
auf:
K
∂~
n−
+ n0 ⋅ div (v ) = 0
∂t
Nach kurzer Umformung
K
~−
∂ 2n
 ∂v 
= − n0 ⋅ div  
 ∂t 
∂t 2
K
e
= n0 ⋅ − ⋅ div E
m
e  e −
n 
= n0 ⋅ − ⋅  − ⋅ ~

m  ε
gelangt man damit zu folgender Differentialgleichung:
n−
∂ 2~
+ ω0 2 ⋅ ~
n− = 0
2
∂t
(
)
(
)
( )
(
) (
)
( )
()
()
mit:
ω0 2 =
n0 ⋅ e 2
m− ⋅ ε
Da ω0 die Frequenz der Plasmaeigenschwingung ist wird diese gelegentlich mit
Plasmaeigenfrequenz bezeichnet. Diese Plasmaeigenfrequenz ist identisch mit der
unteren Grenzfrequenz für Wellenausbreitung in der Ionosphäre (vgl. Kap.3).
- 49 -
Einführung in die Plasmaphysik
5.4.
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
Herleitung von Bilanzgleichungen aus der Boltzmanngleichung (Momenten-Methode)
Wie in Kap.5.1.1 gezeigt berechnet sich der Mittelwert Q der Teilcheneigenschaft
Q aus der Geschwindigkeitsverteilung folgendermaßen:
n ⋅ Q = ∫ Q ⋅ f ⋅ d3 w
(w)
Betrachtet man die zeitliche Änderung des mit der Ortsdichte der Teilchen gewichteten Eigenschaftsmittelwertes, so ergibt sich


∂
(n ⋅ Q ) = ∂  ∫ Q ⋅ f ⋅ d3 w 
∂t
∂t ( w )


∂f 3
= ∫ Q⋅ ⋅d w
∂t
(w)
da die Teilcheneigenschaft weder eine Funktion des Ortes noch eine Funktion der
K
Zeit ist ( Q = Q(w ) ).
Die Bilanzgleichung für die Teilcheneigenschaft
Q lautet damit (vgl. Kap.5.2):
K
K
∂f 3
F
 ∂f 
3
3
3
∫ Q ⋅ ∂t ⋅ d w + ∫ Q ⋅ w • ∇r ⋅ f ⋅ d w + ∫ Q ⋅ m • ∇ w ⋅ f ⋅ d w = ∫ Q ⋅  ∂t coll ⋅ d w
(w)
(w )
(w )
(w )
Setzt man in diese Gleichung eine der nachfolgend aufgeführten Teilcheneigenschaften ein, so erhält man die zugehörige Bilanzgleichung für diese Teilcheneigenschaft.
Q =1
→
Teilchenbilanz
Q=m
→
Massenbilanz
→
Ladungsbilanz
Q=q
1
→
Energiebilanz
Q = ⋅ m ⋅ w2
2
K
Q = m⋅ w
→
Impulsbilanz
KK
Q = m ⋅ ww
→
Druckbilanz
Q = 1 → Teilchenbilanz
K
K
∂f 3
F
 ∂f 
3
3
3
∫ ∂t ⋅ d w + ∫ w • ∇r ⋅ f ⋅ d w + ∫ m • ∇ w ⋅ f ⋅ d w = ∫  ∂t coll ⋅ d w
(w )
w)
w)
w)
(
(
(
Beispiel:
A
B
C
D
Die 4 Terme dieser Gleichung lassen sich natürlich noch vereinfachen:
A
B
Der erste Term der Bilanzgleichung beschreibt die zeitliche Änderung,




∂f 3
∂
∂n
3 
∫ ∂t ⋅ d w = ∂t  ∫ f ⋅ d w  = ∂t
(w)
w)
 (

 n


die sich zusammensetzt aus Änderungen im Ortsraum,
- 50 -
Einführung in die Plasmaphysik
K
∫ w • ∇r ⋅ f ⋅ d
(w )
3
w
=
Kapitel 5 – Behandlung des Kollektivs
K
∫ div r (w ⋅ f ) ⋅ d
3
w
=
(w)
 K

= div r  ∫ w ⋅ f ⋅ d3 w  =


 (w ) K

K
= div r (n ⋅ w )
= div r (n ⋅ v )
(vgl. Kap.5.2, S.40)
K
K
K
div (r ) (w ⋅ f ) = f ⋅ div (r ) (w ) + w • grad(r ) (f )
KK
= 0, da r , w
unabhängig
C
aus Änderungen im Geschwindigkeitsraum und
K
K
F
1
3
3
∫ m • ∇ w ⋅ f ⋅ d w = m ⋅ ∫ div w F ⋅ f ⋅ d w =
(w )
(w)
K
1
=
⋅ ∫ F • f ⋅ da w
= 0
m w →∞
( )
da f = 0 für w → ∞
(vgl. Kap.5.2, S.40)
K
K K 1
F  1
div ( w )  ⋅ f  = ⋅ f ⋅ div ( w ) F + F • ⋅ grad( w ) (f )
m
m  m
()
K K
K K
K
K
div ( w ) w × B = − w ⋅ rot ( w ) B + B ⋅ rot ( w ) (w )
K K
=0
= 0, da B ≠ f (w )
(
D
)
()
aus Änderungen im Orts- und Geschwindigkeitsraum aufgrund von Stoßprozessen.
für elastische Stöße
0
 ∂n
 ∂f 
3
∫  ∂t coll ⋅ d w =   für unelastisc he Stöße
 ∂t  erz
(w )
Als Resultat erhält man also (vgl. Kap.5.2):
K  ∂n 
∂n
+ div (n ⋅ v ) =  
∂t
 ∂t  erz
→ Übungsaufgabe 11 (Impulsbilanz einer Teilchensorte)
- 51 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 6 – Plasma als „Fluid“
6. Plasma (gesamt) als „Fluid“
Das abschließende Kapitel stellt einen kurzen Einstieg in die Magnetohydrodynamik
(MHD) dar. Hierzu werden nun alle (wie unter Kap.5 behandelten) Einzelkomponenten zum Gesamtplasma zusammengefaßt. Im einzelnen geschieht dies durch sinnvolle Addition der Einzel-Bilanzgleichungen.
6.1.
Definitionen
Zunächst müssen einige Vereinbarungen und Definitionen getroffen werden:
(1) Pro Komponente s (Ensemble der Teilchensorte s) gilt:
ms
Masse:
ρs = ns ⋅ ms
Massendichte:
ns
Teilchendichte:
K
ws
Individuelle Geschwindigkeit:
K
K
K
1
vs = ws =
Mittlere Geschwindigkeit:
⋅ ∫ w s ⋅ f ⋅ d3 w s
ns ( w )
s
K
K
K
Statistische Geschwindigkeit:
us = w s − v s
K
( us = 0 )
K K
p = ρ s ⋅ u su s
Druck:
s
(2) Für das Gesamtplasma (Zusammenfassung mehrerer Teilchensortenensembles)
gilt:
n = ∑ ns
s
ρ = ∑ ns ⋅ ms = ∑ ρ s
s
s
K
Definition: Gesamtschwerpunktsgeschwindigkeit V (gewichtet mit ρ s )
K
K
K
V ⋅ ρ = V ⋅ ∑ ρs = ∑ ρs ⋅ v s
s
s
K
K
Statistische Geschwindigkeit Us jetzt auf V bezogen:
K
K
K
Us = w s − V
K
(jetzt gilt im allgemeinen Us ≠ 0 )
K
K K
K
K
Us = w s − V = v s − V
Diffusionsgeschwindigkeit:
Summe der Diffusionsstromdichten:
K

 K
K
∑ ρs ⋅ Us = ∑ ρs ⋅ v s −  ∑ ρs  ⋅ V = 0
s
s
s


ρ
K
K K
K
K
Anmerkung: w s = Us + V = u s + v s
- 52 -
Einführung in die Plasmaphysik
6.2.
Kapitel 6 – Plasma als „Fluid“
Massenbilanz
Die Massenbilanz für das Ensemble mehrerer Teilchensorten s lautet (vgl. Kap.5.1.2)
K
∂ρ
∑ ∂ts + ∑ div(ρs ⋅ v s ) = ∑ αs
s
s
s
 ∂ρs 


 ∂t  erzeugt
bzw., da für die Gesamterzeugungsrate immer
∑ α s = 0 gilt:
s


K 
∂ 
ρ s  + div  ∑ ρ s ⋅ v s  = 0
∑

∂t  s

 s

Mit den in Kap.6.1 getroffenen Vereinbarungen gilt also
K
∂ρ
+ div ρ ⋅ V = 0
∂t
K
∂
wobei V die Gesamtschwerpunktsgeschwindigkeit ist. Im stationären Fall
= 0 re∂t
duziert sich die Massenbilanz auf:
K
div ρ ⋅ V = 0
Zur Lösung dieser Gleichung kann man folgenden Ansatz wählen (Vektorpotential,
K
da ja bekanntlich div rot A = 0 ):
K
K
ρ ⋅ V = rot A
Im 2-dimensionalen Fall
K
K
K
V = Vx ⋅ e x + Vy ⋅ e y
K
lässt sich dann der Vektor A ansetzen als
K K
A = e z ⋅ Ψ (x, y )
∂
=0
∂z
Ψ (x, y ) :
Stromfunktion
K
K
K
ex ey ez
K
K
K
∂
∂
∂
ρ ⋅ v x e x + v y e y = rot A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
(
(
)
)
( )
(
)
( ( ))
( )
∂Ψ (x, y )
∂y
∂Ψ (x, y )
ρ ⋅ vy = −
∂x
∂A y  K  ∂A x ∂A z  K  ∂A y ∂A x 
K  ∂A

 + ey ⋅ 
−
−
= e x ⋅  z −
 + e z ⋅ 
∂x 
∂y 
∂z 
 ∂z
 ∂x
 ∂y
K ∂A
K ∂A
= ex ⋅ z − ey ⋅ z
∂y
∂x
K ∂Ψ (x, y ) K ∂Ψ (x, y )
= ex ⋅
− ey ⋅
∂y
∂x
ρ ⋅ vx =
- 53 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 6 – Plasma als „Fluid“
Kurze Diskussion dieses Ergebnisses:
Kurve Ψ = const. in der xy-Ebene:
∂Ψ (x, y )
∂Ψ (x, y )
dΨ = 0 =
⋅ dx +
⋅ dy
∂x
∂y
K
V
Vy
∂Ψ (x, y )
Vy
 dy 
= − ∂x
=
= tan(α )
 
∂Ψ (x, y ) Vx
 dx  Ψ = const
∂y
Ψ = const → Stromlinien
⇒
α
Vx
6.3.
Impulsbilanz
Ausgangspunkt ist die Impulsbilanz für das Ensemble einer Teilchensorte s (vgl.
Kap.5.1.3):
K
K
∂
(ρ s ⋅ vK s ) + ∇ • ρ s ⋅ wK s wK s − ns ⋅ Fs = A St,( s)
∂t
Boltzmann-Stoßterm
Momentenbildung
K
Fs ist darin der Mittelwert der äußeren Kräfte auf die Teilchen.
Anmerkung: Bei der Behandlung von Diffusionsvorgängen werden die entsprechenden Gleichungen voneinander abgezogen. Dann Stoßterme (gemittelte)
wichtig! → Ohmsches Gesetz, elektrische Leitfähigkeit
Die Impuls-Bilanzgleichung einer Mischung aus mehreren Teilchensorten
K
K
K K
K
∂
(
)
ρ
⋅
v
+
∇
•
ρ
⋅
w
w
−
n
⋅
F
=
A
∑ ∂t s s ∑
∑ s s ∑ St,(s) = 0
s
s s
s
s
s s
A
B
C
JG
K
K  ∂
∂
∂
A
ρ
⋅
v
=
ρ
⋅
v
=
ρ
⋅
V
(
)


∑ ∂t s s ∂t  ∑ s s  ∂t
s
 s

K K
K K
B ∑ ∇ • ρs ⋅ w s w s = ∇ • ∑ ρs ⋅ w s w s
s
s
K
K K
K
= ∇ • ∑ ρ s ⋅ U s + V Us + V
(
(
)
)(
)
s


ρ


KK
K
K
K
K
K
K

= ∇ • ∑ ρ s ⋅ UsUs + ∑ ρ s ⋅ VV + ∑ ρ s ⋅ Us V + ∑ ρ s ⋅ V Us 


s
s
s

 s
=0
=0


KK
= ∇ • ∑ p + ∇ • ρ ⋅ VV
s
s
KK
= ∇ • P + ∇ • ρ ⋅ VV
K K
mit: P = ∑ p = ∑ ρ s ⋅ UsUs
s
- 54 -
s
s
Einführung in die Plasmaphysik
C
K
Fs
∑ ns ⋅
Kapitel 6 – Plasma als „Fluid“
K
K
K
K
qs ⋅ E + qs ⋅ w s × B + m s ⋅ g
s
K K K
K
= ρ el ⋅ E + j × B + ρ ⋅ g
=
s
∑ ns ⋅
ρ el = ∑ ns ⋅ qs
s
K
K
j = ∑ n s ⋅ qs ⋅ v s
s
Bilanz:
K
KK
K K K
K
∂
ρ ⋅ V + ∇ • P + ∇ • ρ ⋅ VV = ρ el ⋅ E + j × B + ρ ⋅ g
∂t
(
)
K
Umformung auf den mit V bewegten Beobachter:
K
∂
ρ⋅ V
∂t
(
)
KK
∇•ρ⋅ VV
K
K
K
K
K
K
K K K
 ∂V
K
∂ρ 
+ V ⋅  + ( ∇ • P ) + ρ ⋅ V • ∇V + V ⋅ div ρ ⋅ V = ρel ⋅ E + j × B + ρ ⋅ g
ρ⋅
∂t 
 ∂t
K
K
K K  ∂ρ
K 
K K K
K
∂V
ρ⋅
+ ∇ • P + ρ ⋅ V • ∇V + V ⋅ 
+ div ρ ⋅ V  = ρel ⋅ E + j × B + ρ ⋅ g
∂t
∂t


(
))
(
(
)
=0
(Massenbilanz)
K
K
K
K K K
K
∂V
ρ⋅
+ ∇ • P + ρ ⋅ V • ∇V = ρel ⋅ E + j × B + ρ ⋅ g
∂t
K
K
K
K K K
K
∂V
ρ⋅
+ ∇ • (P ⋅ Ι + τ ) + ρ ⋅ V • ∇V = ρel ⋅ E + j × B + ρ ⋅ g
∂t
K
K
K K K
 ∂V K
K
ρ⋅
+ V • ∇V  + ∇ • (P ⋅ Ι + τ ) = ρel ⋅ E + j × B + ρ ⋅ g
∂t


K
=
dV
dt
mit:
⇒
K
K K K
K
dV
ρ⋅
= −grad(P ) − ∇ • τ + ρ el ⋅ E + j × B + ρ ⋅ g
dt
P:
Drucktensor
P:
Ι:
Skalarer Druck
Einheitstensor
→ Übungsaufgabe 12 (Drucktensor)
Isotrop:
τ=0
Quasineutral:
ρ el = 0
Gravitation vernachlässigt
K
K K
dV
ρ⋅
= −grad(P ) + j × B
dt
MHD-Grundgleichung
→ Übungsaufgabe 13 (Magnetohydrodynamik)
- 55 -
Einführung in die Plasmaphysik
6.4.
Kapitel 6 – Plasma als „Fluid“
Energiebilanz
Sie wird hier am Schluß für das Gesamtplasma anschaulich gebracht (ohne chemische Reaktionen).
Als Ansatz dient die Bilanz der Leistungen:
K K
K JJG
d
1 2 3 

3
∫ j • E ⋅ d r = dt  ∫ ρ ⋅  Ε + 2 V  ⋅ d r  + v∫ W • da +
V
H
V
 (
)
Wärme −
leitung
zeitliche Änderung
innere + kinetische
Energie
K 
K JJG
1
 JJG
+ v∫ ρ ⋅ V •  Ε + V 2  ⋅ da + v∫ p ⋅ V • da + Gesamtstrahlung
2


H
H Konvektion
Kompression
1
innere Energie  
 kg 
K
W
W : Wärmestromdichte  2 
m 
Nach Anwendung des Gauß’schen Integralsatzes und unter Berücksichtigung der
Unabhängigkeit von Grenzen ergibt sich daraus:
 K 
K K ∂
K
K
V2 
V2  
+
+
ρ
⋅
⋅
Ε
+
j •E = ρ ⋅ Ε + ρ ⋅
div
W
div
V

 + div p ⋅ V + Strahlung





∂t 
2 
2  


Gewöhnlich können folgende Vereinfachungen getroffen werden
V2
2
us >> V 2
⇒
ρ⋅
<< ρ ⋅ Ε
2
Die kinetische Energie aufgrund der Schwerpunktsgeschwindigkeit kann
gegenüber der kinetischen Energie aufgrund der statistischen (thermischen) Teilchenbewegung vernachlässigt werden.
K K
K
K K
j • E = j ⋅ E = σ ⋅ E2
E >> V × B
⇒
mit:
Ε:
( )
(
)
Damit reduziert sich die Bilanzgleichung auf:
K
 K 
p 
∂
σ ⋅ E2 = ( ρ ⋅ Ε ) + div W + div  ρ ⋅ V ⋅  Ε +   + Strahlung
∂t
ρ 


K
K
∂
σ ⋅ E2 = ( ρ ⋅ Ε ) + div W + div ρ ⋅ V ⋅ h + Strahlung
∂t
p
mit: h = Ε + : spezifische (massebezogene) Enthalpie
ρ
∂
Setzt man nun noch Stationarität voraus ( = 0 ) so ergibt sich:
∂t
K
K
2
σ ⋅ E = div W + div ρ ⋅ V ⋅ h + Strahlung
( )
( )
( )
(
(
)
)
Die Wärmeleitung kann nach Fourier beschrieben werden durch:
K
W = − κ ⋅ grad(T )
κ : thermische Leitfähigkeit
mit:
- 56 -
Einführung in die Plasmaphysik
Kapitel 6 – Plasma als „Fluid“
Außerdem gilt:
K
K
K
div ρ ⋅ V ⋅ h = h ⋅ div ρ ⋅ V + ρ ⋅ V • grad ( h )
(
)
(
)
=0
(Massenbilanz)
Die Bilanzgleichung lautet damit:
K
σ ⋅ E2 = −div ( κ ⋅ grad ( T ) ) + ρ ⋅ V • grad ( h ) + Strahlung
Zur weiteren Vereinfachung der Bilanzgleichung werden nun noch die folgenden Zusammenhänge eingesetzt:
dh = c p ⋅ dT
→
grad(h) = c p ⋅ grad(T )
wenn κ = κ(T ) , dann κ ⋅ grad(T ) = grad(S(T ))
Wärmestrompotential S(T ) : S(T ) =
T
∫ κ(T') ⋅ dT'
T ' = T0
dS = κ ⋅ dT
dS
dT
Damit erhält man als Energiebilanz:
ρ ⋅ cP K
σ ⋅ E2 = −∆ ⋅ S +
⋅ V • grad ( S ) + Strahlung
κ
Interpretation dieses Ergebnisses:
Eine Messung der lokalen Temperaturverteilung im Bogen und die Messung
der Bogenkennlinie geben unter Verwendung dieser Gleichung die Transportkoeffizienten σ und κ in Abhängigkeit von der Temperatur an (H. Maecker).
→
κ=
Einfachster Fall:
Zylindersymmetrie (→ Zylinderkoordinaten)
ρ ⋅ cP K
keine Konvektion (
⋅ V • grad ( S ) = 0 )
κ
keine Strahlung
Damit reduziert sich die Bilanzgleichung auf (Elenbaas-Heller-Gleichung):
1 ∂  ∂S 
2
⋅ r ⋅
 + σ(S ) ⋅ E = 0
r ∂r  ∂r 
→ Übungsaufgabe 14 (tensorielle Leitfähigkeit)
- 57 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 1
7. Übungsaufgaben
7.1.
Übungsaufgabe 1 (Ladungsträgerbewegung)
Ein Ladungsträger (Ladung q, Masse m) bewegt sich, ungestört von anderen TeilK
chen, unter dem Einfluß eines homogenen elektrischen Feldes E und eines homoK
genen magnetischen Feldes B . Beide Felder stehen senkrecht aufeinander:
K K
K K
E = j ⋅ E , B = k ⋅ B , so daß nur Kräfte in der xy-Ebene wirksam sind. Die Anfangswerte der Geschwindigkeitskomponenten zur Zeit t = 0 sind:
v x (t = 0 ) = v x0
v y (t = 0 ) = v y0
v z (t = 0 ) = 0
K
K
E und B sind zeitunabhängig.
a) Man ermittle die Geschwindigkeitskomponenten v x (t ) , v y (t ) .
y
Die Kraftgleichung für einen einzelnen
Ladungsträger lautet:
K
K
K K
dv
m⋅
= q⋅E + q⋅ v ×B
K
dt
E
Mit
K K
E = j ⋅E
K K
K
B = k ⋅B
B
x
q
Ω = ⋅B
(Gyrationsfrequenz)
m
z
ergibt sich für diese Kraftgleichung:
K K
K K
dv
q
= j ⋅ ⋅E + Ω ⋅ v ×k
dt
m
K
K
K q
K
K
K
d i ⋅ vx + j ⋅ vy
= j ⋅ ⋅E + Ω ⋅ i ⋅ vx + j ⋅ vy × k
dt
m

K dv x K dv y K q
K K  
K K 
+ j⋅
= j ⋅ ⋅E + Ω ⋅ vx ⋅ N
i⋅
i × k + vy ⋅ N
j ×k
K  

K 
dt
dt
m
−j  

i 
K dv x K dv y K
K q

i⋅
+ j⋅
= i ⋅ Ω ⋅ vy + j ⋅  ⋅E − Ω ⋅ vx 
dt
dt

m
Aus einem Koeffizientenvergleich dieses Ergebnisses ergibt sich
dv y
d2 v x
dv x
= Ω ⋅ vy
→
=
Ω
⋅
dt
dt
dt 2
dv y
q
= ⋅E − Ω ⋅ vx
dt
m
womit sich die folgende inhomogene DGL 2-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten aufstellen lässt:
d2 v x
q

= Ω ⋅ ⋅E − Ω ⋅ vx 
2
m

dt
(
)
(
(
)
)
- 58 -
Einführung in die Plasmaphysik
d2 v x
Übungsaufgabe 1
q
E
⋅ E = Ω2 ⋅
m
B
dt
Der Lösungsansatz für diese DGL lautet:
2
+ Ω2 ⋅ v x = Ω ⋅
v x = C1 ⋅ sin(Ω ⋅ t ) + C 2 ⋅ cos(Ω ⋅ t ) +
E
B
1 dv x
⋅
= C1 ⋅ cos(Ω ⋅ t ) − C 2 ⋅ sin(Ω ⋅ t )
Ω dt
Aus den Anfangsbedingungen zur Zeit t = 0 lassen sich die Konstanten C1 und C 2
bestimmen:
E
v x0 = C2 +
B
v y0 = C1
→
vy =
Die endgültige Lösung lautet damit:
E
E

v x (t ) = v y0 ⋅ sin(Ω ⋅ t ) +  v x0 −  ⋅ cos(Ω ⋅ t ) +
B
B

E

v y (t ) = v y0 ⋅ cos(Ω ⋅ t ) −  v x0 −  ⋅ sin(Ω ⋅ t )
B

b) Man diskutiere die Verhältnisse für die Fälle
1) v x0 = v y0 = 0 ,
2) v x0 =
E
, v y0 = 0 .
B
1.Fall: v x0 = 0 , v y0 = 0
E
⋅ (1 − cos(Ω ⋅ t ))
B
E
v y (t ) = ⋅ sin(Ω ⋅ t )
B
Die Ladungsträgerbewegung lässt sich als Überlagerung zweier Bewegungen interpretieren:
K
K
E
in x-Richtung, also ⊥ zu E und B
Translationsbewegung (Drift) mit
B
K
1 K K
(allgemein v Drift = 2 E × B ).
B
Kreisbahnbewegung in der xy-Ebene
y
E
(Umfangsgeschwindigkeit ebenfalls ).
π
B
Ω⋅t =
2
E
Zusammengesetzt ergibt sich eine Zykloidenbahn,
also die Bewegung eines Punktes auf dem Umfang
B
Ω⋅t = 0
eines rollenden Rades.
v x (t ) =
(
)
Veranschaulichung:
Nebenstehend abgebildet ist ein Vektordiagramm
der Kreisbahnbewegung in der xy-Ebene, also die
- 59 -
Ω⋅t = π x
Ω⋅t =
3π
2
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 1
K K E
Kreisbahngeschwindigkeit v − i ⋅ .
B
Überlagert man dieser Kreisbahnbewegung die berechnete Driftbewegung, so erhält
man die nachfolgend dargestellte Bahnkurve:
y
h
Ω⋅t = 0
Ω ⋅ t = 4π
Ω ⋅ t = 2π
x
Die Höhe h der Bahnkurve beträgt:
h = 2R
mit:
R=Gyrationsradius=
v Kreis
Ω
Die Kreisbahngeschwindigkeit v Kreis beträgt im vorliegenden Fall
E
, die maximale
B
Geschwindigkeit also:
v max = v K + v Drift = 2 ⋅
E
.
B
Damit erhält man
E 1
m E
h = 2⋅ ⋅ = 2⋅ ⋅ 2
B Ω
q B
und
m
E2  m E 
⋅ v max 2 = 2 ⋅ m ⋅ 2 =  2 ⋅ ⋅ 2  ⋅ q ⋅ E = q ⋅ E ⋅ h = q ⋅ Udurchlaufen
2
B
 q B 
(Energiesatz!)
2.Fall: v x0 =
E
, v y0 = 0
B
Dann wird:
E
B
vy = 0
vx =
d.h. elektrische und magnetische Kraft kompensieren sich!
- 60 -
Einführung in die Plasmaphysik
7.2.
Übungsaufgabe 2
Übungsaufgabe 2 (Drehimpulserhaltung)
K
K K
K K
Der gesamte Drehimpuls D zweier Stoßpartner A ( m A , rA , v A ) und B ( mB , rB , v B )
K
K
soll durch Massenschwerpunkt rS , Schwerpunktsgeschwindigkeit v S , sowie durch
K
K
relativen Abstand rAB und Relativgeschwindigkeit g AB ausgedrückt werden. Was gilt
K
für die zeitliche Abhängigkeit von D ?
In der Theorie des Zweierstoßes macht man Gebrauch von der Tatsache, daß sich
die Bewegung der beiden Partner A und B auf die Bewegung eines Teilchens der
„reduzierten Masse“
m A mB
m m
m' =
= A B
m A + mB
m0
gegenüber einem festen Zentrum reduzieren läßt. Diese Bewegung erfolgt in einer
Ebene, die den Massenschwerpunkt enthält, sich mit der SchwerpunktsgeschwindigK
keit v S bewegt und ihre Orientierung (Richtung der Flächennormale) beibehält.
Für den Ort des Schwerpunkts gilt
K
K
K
m0 rS = m A rA + mB rB ,
und für die Schwerpunktsgeschwindigkeit
K
K
K
m0 v S = m A v A + mB v B .
Der relative Abstand der Partner ist
K
K
K
rAB = rA − rB ,
die relative Geschwindigkeit der Partner
K
K
K
K
v AB = v A − v B = g .
Damit gilt:
K
K m K
K
K
m K
rA = rS + B rAB
v A = vS + B g
m0
m0
K K m K
K
K
m K
rB = rS − A rAB
vB = v S − A g
m0
m0
(1)
(2)
Dann gilt ferner für
K die Kraft auf (z.B.) A:
K
dg
K A = m'
dt
Die gesamte kinetische Energie Wkin läßt sich darstellen als:
1
1
Wkin = m0 v S 2 + m' g2
2
2
Nun zum Drehimpuls, er ist definiert als
K
K K
D = ∑ mi ri × v i
i
beim 2-Körper-Problem also:
K
K K
K K
D = m A rA × v A + mB rB × v B
Die Gleichungen (1) und (2) in (3) eingesetzt ergibt:
- 61 -
(3)
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 2
K
K m K  K
K m K   K
m K
m
D = m A  rS + B rAB  ×  v S + B g  + mB  rS − A rAB  ×  v S − A
m0
m0 
m0
m0

 

 
K K
K
K m m 2 m m 2 
= m0 (rS × v S ) + (rAB × g) A 2B + B 2A 
 m
m0 
0

K K
K
m m K
= m0 (rS × v S ) + A B (rAB × g)
m
0
Re lativ −
Schwerpunk ts − bewegung
m'
K
g 

bewegung
Auch beim Drehimpuls gelingt also eine ähnliche Aufteilung wie bei der kinetischen
Energie.
K
zeitlich ändert:
Nun ist noch
zu
untersuchen,
ob
sich
D
K
K
d K
dD
d K K
= m0 (rS × v S ) + m' (rAB × g)
dt
dt
dt
Die Zusammenhänge
2
K d K
K
d K
(g) = d 2 (rAB )
g = (rAB )
dt
dt
dt
(4)
2
K
K
d K
d K
(v S ) = d 2 (rS )
v S = (rS )
dt
dt
dt
eingesetzt in (4) ergibt:
K
K
K
dD
dK 
d2 K 
dK 
d2 K 
dK
d K
= m0  rS × rS  + m0  rS × 2 rS  + m'  rAB × rAB  + m'  rAB × 2 rAB 




dt
dt 
dt
dt
dt
dt
dt





=0
=0
d2 K
rS = 0
dt 2
(keine Kraft
auf Schwer −
punkt )
= 0, da
K K
d2 K
m'
r = K || rAB
2 AB
dt
K
K
dD
Es ist also
= 0 oder D = const .. Der Drehimpuls bleibt beim Stoß also erhalten,
dt
wenn keine „äußeren“ Kräfte wirken.
Von diesem Satz macht man (neben dem Energiesatz) Gebrauch bei der Herleitung
des geringsten Abstandes und des Ablenkwinkels in der Ebene des Massenzentrums:
(Polarkoordinaten: r, ϕ)
m'
K
g
K
r
p=Stoßparameter
ϕ
- 62 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 2
K K
dϕ
m' r × g = m' rgϕ = m' r 2
= m' pg = const.
dt
oder
dϕ pg
=
dt r 2
Dies wird dann in die Energiebilanz eingesetzt.
- 63 -
Einführung in die Plasmaphysik
7.3.
Übungsaufgabe 3
Übungsaufgabe 3 (Coulombstoß - Geometrie)
Man ermittle für den Fall des Coulomb-Stoßes
a) den geringsten Abstand R,
b) den Ablenkwinkel χ
als Funktion des Stoßparameters p und der Relativgeschwindigkeit g.
Für einen bestimmten Potentialverlauf Φ (r ) erhält man aus der Energiebilanz unter
Verwendung des Satzes von der Erhaltung des Drehimpulses folgende Beziehung:
2
 p2 
1
1  dr 
1
2
m' g∞ = m'   + m' g2  2  + Φ (r )
r 
2
2  dt 
2
 
r = Abstand der Partner
m m
m' = A B = reduzierte Masse
m0
a
Der geringste Abstand R ist gekennzeichnet durch die Forderung:
dr
=0
dt r =R
Dann erhält man sofort:
p2
Φ (R )
+
=1
2
1
2
R
m' g
2
Für das Coulomb-Potential (Trägerladungen q A , qB ) gilt:
q q
Φ (r ) = A B
4πε0r
Also ergibt sich für R:
1
p 2 qA qB 1
+
⋅ ⋅
=1
(1)
2
1
4πε0 R
2
R
m' g
2
R
Als Hilfsvariable wird p C = 0 eingeführt, wobei R 0 der geringste Abstand für
2
den Fall p = 0 ist, also:
q q
1
R0 = A B ⋅
= 2pC
2πε0 m' g2
q A qB
pC =
(kritischer Stoßparameter)
4πε0m' g2
Einsetzen in Gleichung (1) liefert:
p 2 2p C
+
=1
R
R2
R 2 − 2p CR − p 2 = 0
→
R = pC + pC2 + p 2
(−)
- 64 -
Einführung in die Plasmaphysik
b
Übungsaufgabe 3
Ablenkwinkel χ:
Allgemein gilt für den Zweierstoß:
dr
∞
χ = π − 2p
r2
∫
r =R
Also mit Φ (r ) = p C ⋅
1−
−
Φ (r )
1
m' g∞ 2
2
dr
r2
∫
r =R
Substitution:
R
2
m' g2
:
r
∞
χ = π − 2p
p2
1−
p2
R2
1
r=
u
χ(p, g) = π − 2p
−
0
∫
u=
1
R
2p C
r
→
dr =
− du
1 − 2p Cu − p 2u2
− du
u2
= π − 2p
1
R
∫
u=0
du
1 − 2pCu − p 2u2
Das Integral liefert:

 2

 p u + pC
χ(p, g) = π − 2 ⋅  arcsin
 p2 + p 2

C


u=
1
R


 

 u = 0
p2
= R − 2p C = p C + p 2 + p C 2 − 2p C , so daß für die obere GrenR
ze Zähler und Nenner gleich sind, also





pC
pC
π




= 2 ⋅ arcsin
χ(p, g) = π − 2 ⋅  − arcsin


 p 2 + p 2 
 p2 + p 2  
2
C
C 





oder umgeformt:
χ p
tan  = C
2 p
Nun ist aber
Diskussion:
Man erkennt:
Für p = p C wird χ = 90° ;
Wenn die Teilchen gleiches Ladungsvorzeichen haben:
pC > 0 , χ > 0
Wenn die Teilchen entgegengesetztes Ladungsvorzeichen haben:
pC < 0 , χ < 0
- 65 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 3
Für die Coulomb-Wechselwirkung bei Stößen Elektron-Ion kann ein Wirkungsquerschnitt folgendermaßen definiert werden: Das Elektron soll mindestens um 90° abgelenkt werden, d.h. p ≤ p C . Daraus ergibt sich folgende Definition:
Q90 = πp C 2 =
Z 2e 4
16πε0 2m' 2 g4
mit: Z: Ionenwertigkeit
e: Elementarladung
m' ≈ mEl
m 2 3
g = kT
2
2
Hieraus kann auch eine Stoßzahl ν 90 = ngQ 90 und eine mittlere freie Weglänge
g
1
λ 90 =
=
für Coulomb-Stöße abgeleitet werden. Dies resultiert jedoch in
ν 90 nQ 90
einem zu kleinen Wert für ν El −Ion , um Transportvorgänge in stark ionisierten Plasmen zu erklären. Es spielt dabei nämlich die simultane Wechselwirkung mit anderen
geladenen Teilchen in der Debye-Kugel eine wichtigere Rolle, wobei der Wert der
 k 
 wesentlich ist (k = Debye-Länge).
Größe ln(Λ ) = ln
 pC 
Die Kenntnis der Abhängigkeit χ(p, g) ist wichtig bei der Berechnung der sog. differentiellen Wirkungsquerschnitte S(χ ) .
- 66 -
Einführung in die Plasmaphysik
7.4.
Übungsaufgabe 4
Übungsaufgabe 4 (Coulombstoß – differentieller Wirkungsquerschnitt)
Man ermittle den differentiellen Wirkungsquerschnitt für das Coulomb-Potential.
Im folgenden wird die Wahrscheinlichkeit untersucht, mit der ankommende Teilchen
als Folge eines elastischen Stoßes in ein bestimmtes Raumwinkel-Element dΩ gestreut werden. Ein ankommender Teilchenstrom konstanter Geschwindigkeit g trifft
auf ein festes Streuzentrum. Dann ist der Ablenkwinkel χ eine Funktion des Stoßparameters p (Abstand von der Symmetrieachse) der einzelnen Teilchen. Die StromTeilchen
). Durch das Flächenelement
dichte der ankommenden Teilchen sei Φ (
m2s
2πp ⋅ dp treten pro Sekunde Φ ⋅ 2πp ⋅ dp Teilchen hindurch. Sie werden in das
Raumwinkel-Element dΩ = 2π ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ gestreut.
Dann gilt:
Φ ⋅ 2πp ⋅ dp = Φ ⋅ S(χ ) ⋅ 2π ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ
Die Winkel-Verteilungsfunktion S(χ ) hat die Dimension einer Fläche und wird als „differentieller Wirkungsquerschnitt“ bezeichnet.
Man erhält:
p ⋅ dp
S(χ ) =
sin(χ ) ⋅ dχ
(Betragsstriche, weil meistens χ mit wachsendem p abnimmt, S aber als positive Größe definiert ist.)
Im Spezialfall des Coulombfeldes gilt (vgl. Aufgabe 3):
χ p
tan  = C
(1)
2 p
Daraus erhält man
p
1
dχ
dp
p2
⋅
= − C2 ⋅ dp
→
=
dχ
χ
χ 2
p
cos 2  
2p C ⋅ cos 2  
2
2
und für den „differentieller Wirkungsquerschnitt“:
p3
S(χ ) =
χ
2pC ⋅ sin(χ ) ⋅ cos 2  
2
Mit Gleichung (1) kann p eliminiert werden:
pC 2
pC 2
S(χ ) =
=
2
4 χ 
4 ⋅ sin   (1 − cos(χ ))
2
Anmerkung:
π
Der totale Wirkungsquerschnitt Q tot = ∫ S(χ )dΩ = 2π ∫ S(χ ) sin(χ )dχ wird im vor0
liegenden Fall unendlich (wegen der Lang-Distanz-Wirkung des CoulombPotentials). Das ist nicht der Fall beim abgeschirmten Coulomb-Potential (Debye-Länge).
- 67 -
Einführung in die Plasmaphysik
7.5.
Übungsaufgabe 5
Übungsaufgabe 5 (Bewegungsgleichung, schwach ionisiertes
Gas)
Unter Zugrundelegung des Billard-Modells leite man für ein schwach ionisiertes Gas
eine Kraftgleichung für die Elektronen her, welche neben den äußeren Kräften auch
den durchschnittlichen Impulsverlust infolge der Stöße mit den Neutralteilchen berücksichtigt (Langevin-Gleichung).
Es wird ein schwach ionisiertes Gas ( nel << nneutral ) betrachtet. Nur die Elektronenbewegung sei von Interesse. Stöße Elektron↔Ion und Elektron↔Elektron werden
vernachlässigt; nur Stöße Elektron↔Neutralteilchen sind von Bedeutung (sog. Lorentz-Gas-Modell).
K
Ein Elektron habe die ursprüngliche Geschwindigkeit v . Infolge eines Stoßes mit einem Neutralteilchen (das als feststehend angenommen wird mneutral >> m el ) wird es
K
K
um den Winkel χ aus der ursprünglichen Richtung abgelenkt ( v → v ' ). Wegen
K
K
mel << mneutral ist v ' ≅ v . Die Impulsänderung in der ursprünglichen Richtung ist
K
also (vgl. Skizze):
v'
K
K
∆(m el ⋅ v ) = m el ⋅ v ⋅ (1 − cos(χ ))
χ
K
v
K
v ⋅ (1 − cos(χ ))
Die durchschnittliche Impulsänderung in der ursprünglichen Richtung erhält man
durch Mittelwertbildung unter Zuhilfenahme des differentiellen Streuquerschnitts:
K
∆(m el ⋅ v )
K
= m el ⋅ v ⋅ 1 − cos(χ )
π
K
= m el ⋅ v ⋅
2 ⋅ π ⋅ ∫ (1 − cos(χ )) ⋅ S(χ ) ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ
0
π
2 ⋅ π ⋅ ∫ S(χ ) ⋅ sin(χ ) ⋅ dχ
0
1
⋅ (rel + rneutral )2 ≠ f (χ ) .
4 D2
K
K
Wie man leicht erkennt wird 1 − cos(χ ) = 1 und ∆(m el ⋅ v ) = m el ⋅ v . Jeder Stoß re-
Für den Billard-Stoß gilt aber S(χ ) =
sultiert im Mittel in einer Impulsänderung gleich dem ursprünglichen Impuls. Ereignen
sich pro Sekunde im Mittel ν EN Stöße des Elektrons mit Neutralteilchen, so ist also
K
die mittlere Impulsänderung pro Sekunde mel ⋅ νEN ⋅ v . Dieser Impulsverlust muß von
den äußeren Kräften mitgetragen werden, so daß man folgende Kraftgleichung für
die Elektronen erhält:
K
K K K
K
dv
m el ⋅
+ m el ⋅ ν EN ⋅ v = −e ⋅ E + v × B
(Langevin-Gleichung)
dt
(
)
- 68 -
Einführung in die Plasmaphysik
7.6.
Übungsaufgabe 6
Übungsaufgabe 6 (komplexe elektrische Leitfähigkeit)
K
Für ein isotropes ( B = 0 ) Lorentz-Plasma ermittle man die komplexe elektrische LeitK
fähigkeit σ und die komplexe Dielektrizitätskonstante ε r für ein sinusförmiges E Feld. Man diskutiere Brechungsindex, Phasengeschwindigkeit, Kreiswellenzahl und
Dämpfung für eine elektromagnetische (ebene) Welle im Lorentz-Plasma.
Ohne äußeres Magnetfeld und für v el << c (Wellenmagnetfeld kann in der Kraftgleichung vernachlässigt werden) lautet die Elektronen-Bewegungsgleichung (LangevinGleichung, vgl. Aufgabe 5):
K
K
K
dv
m⋅
+ m ⋅ ν ⋅ v = −e ⋅ E
dt
Für kleine Amplituden und sinusförmige Zeitabhängigkeit kann man zur komplexen
d
Darstellung wechseln ( ... = iω ⋅ ... ):
dt
K
K
K
K
K
i ⋅ ω ⋅ m ⋅ v + m ⋅ ν ⋅ v = −e ⋅ E
( v und E jetzt komplexe Amplituden!)
K
K
− e ⋅E
⇒
v=
ν

i ⋅ ω ⋅ m ⋅ 1 − i ⋅ 
ω

K
Die komplexe Konvektionsstromdichte j ist (mit der Elektronendichte N)
K
K
j = −N ⋅ e ⋅ v
also:
K
K
K
N ⋅ e2
1
j = −i ⋅
⋅E = σ ⋅E
⋅
ν
ω⋅m 
1 − i ⋅ 
ω

σ ist die komplexe Leitfähigkeit des Lorentz-Plasmas. Es wird nun die sogenannte
Plasmafrequenz ω0 („Plasma-Eigenfrequenz“) eingeführt:
N ⋅ e2
ε0 ⋅ m
Damit erhält man:
ω0 2 =
σ = −i ⋅ ω ⋅ ε 0 ⋅
ω0 2
ω2
⋅
1
ν

1 − i ⋅ 
ω

= ω ⋅ ε0 ⋅
ω0 2
ω2
Man erkennt:
Im{ σ} < 0


ν




1
ω
−
⋅
i
⋅
2
2
ν 
 1+  ν 
1+   
  ω
 ω 
  
K
K
d.h. j eilt E nach („induktives“ Verhalten)
K
K
π
Im verlustfreien Fall ( ν = 0 ) ist σ rein imaginär, d.h. j eilt E um
nach. Der Kon2
K
vektionsstrom j hat 180° Phasenverschiebung gegenüber dem „kapazitiven“ Ver-
schiebungsstrom.
- 69 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 6
Man kann auch Konvektions- und Verschiebungsstromdichte zusammenfassen und
eine komplexe Dielektrizitätskonstante ε r einführen. Dieser oft geübte Formalismus
wird an derK 1.Maxwell’schen
Gleichung
erläutert:
K
K
rot H = j + i ⋅ ω ⋅ ε 0 ⋅ E
=
K
= (σ + i ⋅ ω ⋅ ε 0 ) ⋅ E
=
K

σ  K
 ⋅ E = i ⋅ ω ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅ E
= i ⋅ ω ⋅ ε 0 ⋅ 1 +
 i ⋅ ω ⋅ ε0 
()
Hierdurch ist die komplexe (relative) Dielektrizitätskonstante ε r des Lorentz-Plasmas
definiert:
σ
=
εr = 1 − i ⋅
ω ⋅ ε0




ν




2
2
2




ω
ω
ω0
1
1
ω
= 1 − 02 ⋅
= 1 − 02 ⋅
−
⋅
⋅
i


2
2
ω 1 − i ⋅ ν 
ω
ω2
ν
ν









1+   
1 +   


ω

 ω 
 ω 


Im verlustfreien Fall ( ν = 0 ) erhält man die bekannte Eccles-Beziehung:
εr
ω0 2
, → εr < 1
ω2
Für ω → ∞ (Hochfrequenz) geht ε r → 1, d.h. es erfolgt keine Beeinflussung durch
das Plasma (nur noch Verschiebungsstrom, die Elektronen können wegen ihrer
Trägheit der rasch oszillierenden elektrischen Feldkraft nicht mehr folgen).
K
K
Für ω = ω0 wird εr ν = 0 = 0 , d.h. j + i ⋅ ω ⋅ ε 0 ⋅ E = Gesamtstromdichte = 0: Konvektiν =0
= 1−
onsstrom kompensiert Verschiebungsstrom. Hier zeigt sich die physikalische Bedeutung der Plasmafrequenz, sie ist bekanntlich auch die Frequenz elektrostatischer
Mikroschwingungen im Plasma, daher auch der Name „Plasma-Eigenfrequenz“.
Man beachte auch die Näherung für hohe Frequenzen:
 ω 2
ω 2 ν
ε r ≅ 1 − 02  − i ⋅  02 ⋅ 

 ω
ω 
ω 


Für eine ebene elektromagnetische Welle, die sich in einem solchen Plasma (z.B. in
+z – Richtung) ausbreitet, gilt bekanntlich für eine Feldgröße, z.B. für die elektrische
Feldstärkekomponente:
E = A ⋅ ei⋅(ω⋅ t − k ⋅ z )
Hierbei ist k die im allgemeinen komplexe Ausbreitungskonstante. Setzt man
k = β −i⋅α
dann ergibt sich:
E = A ⋅ ei⋅ω⋅ t ⋅ e − i⋅β⋅ z ⋅ e − α ⋅ z = A ⋅ e − α ⋅ z ⋅ ei⋅(ω⋅ t − β⋅ z )
Dabei ist:
ω2
ω2
k 2 = 2 ⋅ εr = 2 ⋅ n2
c
c
n = εr wird als „Brechungsindex“ bezeichnet.
- 70 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 6
Weil ε r komplex ist, wird n = εr auch komplex und man erhält für die Größen α
und β :
ω
ω
⋅ n = ⋅ (Re{ n} + i ⋅ Im{ n}) = β − i ⋅ α
c
c
Dämpfung:
ω
α = − Im{ n} ⋅
(aber Im{ n} < 0 , s.o.!)
c
Kreiswellenzahl (Phasenmaß):
ω
2⋅π
β = ⋅ Re{ n} =
c
λ
mit: λ : Wellenlänge
Phasengeschwindigkeit:
ω
c
vP = =
β Re{ n}
k=
1)
2)
3)
Im verlustfreien Fall ( ν = 0 ) ist
εr = 1 −
ω0 2
ω2
→
Im{ n} = 0
→
Re{ n} = 1 −
→
→
→
ω0 2
ω2
;
α=0
2
ω
ω
⋅ 1 − 02
c
ω
c
;
vP =
2
ω
1 − 02
ω
Ausbreitung nur für ω > ω0 und zwar mit v P > c .
β=
- 71 -
Einführung in die Plasmaphysik
7.7.
Übungsaufgabe 7
Übungsaufgabe 7 (Überlegungen zum Drucktensor)
Überlegungen zum Drucktensor. Der Druck eines Gases wird oft folgendermaßen
definiert: Kraft/Flächeneinheit auf die Gefäßwand. Diese Kraft wird von molekularen
Stößen bewirkt und ist gleich dem pro Zeiteinheit und Flächeneinheit auf die Wand
übertragenen Impuls. Es ist sinnvoll, nach einer allgemeineren Definition des Druckes als Impulsstromdichte suchen, ohne Gefäßwände heranzuziehen.
Beim Druck interessiert nur die statistische Bewegung der Moleküle (relativ zur mittK
leren Geschwindigkeit des Gases). Man betrachtet deshalb ein Flächenelement do ,
K
K
das sich mit der mittleren Geschwindigkeit w = v des Gases bewegt und definiert
den Druck als die Impulsstromdichte durch dieses Element.
Ganz allgemein versteht man unter einer „Eigenschaftsstromdichte“ immer:
 1 
(Eigenschaft der Teilchen) × (deren Dichte  3  ) × (deren Geschwindigkeit
m 
m 
Eigenschaf t
. Man kann sich dies z.B. anhand der
 s  ), also
m2s
 
K
K
K
Massenstromdichte Jm = ρ ⋅ v = m ⋅ n ⋅ v veranschaulichen.
[ ]
K
Im vorliegenden Fall ist die „Eigenschaft“ der (individuelle) Impuls m ⋅ w der Teilchen.
K
K
K
Diese Teilchen bewegen sich relativ zum mit v = w bewegten Flächenelement do
K K K
mit der statistischen Geschwindigkeit u = w − v . Betrachtet man zunächst Teilchen
K
K
„innerhalb“ des Geschwindigkeitselements d3 w = d3u bei w (bzw. u ), so ist deren
Dichte im Ortsraum:
).
f ⋅ d3 u
(f ist die Verteilungsfunktion: Teilchen

 m  3  
 m3 ⋅    

 s   

K
Der Beitrag dieser Teilchen zum Impulsfluß durch do ist also:
K K
K
(
d
o
u)
⋅ (
m
⋅w
f ⋅
d3
u
•
) ⋅ [ ]
(
Skalarprodukt
Eigenschaf t
relative Geschwin − Im puls
digkeit × Fläche
)
Dichte
K
K
K K
Der Punkt „ • “ bedeutet skalare Multiplikation von do mit u . u und w dürfen nicht
skalar miteinander multipliziert werden, sie bilden ein sogenanntes „dyadisches Produkt“, einen „Tensor“ 2.Stufe (ohne Multiplikationszeichen
geschrieben). Der gesamK
te obige Ausdruck ist folglich ein Vektor in w -Richtung.
K
Den gesamten Impulsfluß durch do erhält man dann durch Integration über den GeK
K
K K
K
schwindigkeitsraum ( d3u = d3 w , wegen u = w − w ).
K
K
KK
KK
m ⋅ do • ∫ (uw ) ⋅ f ⋅ d3u = do • m ⋅ n ⋅ uw
Letzteres gilt wegen der allgemeinen Definition des Mittelwertes:
K
K
K K
K
n(r ) ⋅ Q ⋅ r = ∫ Q(w ) ⋅ f (r , w ) ⋅ d3 w
(Eine Zeitabhängigkeit kann im allgemeinen auch noch bestehen, wird hier
aber der Übersichtlichkeit halber weggelassen).
- 72 -
Einführung in die Plasmaphysik
Nun ist aber:
KK
uw =
=
=
=
Übungsaufgabe 7
KK K
u(u + v )
KK
KK
uu + uv
KK
K K
uu + u v
KK
uu
Dies gilt wegen:
K
K K
1 K
1 K
u = 0 = ⋅ ∫ w ⋅ f ⋅ d3 w − ⋅ v ⋅ ∫ f ⋅ d3 w = v − v = 0 !
n
n
K
So ergibt sich
also
für
den
gesamten
Impulsfluß
durch
das
mit
v
bewegte FlächenK
element do (mit m ⋅ n = ρ = Massendichte):
K
K
K
KK
d P = do • ρ ⋅ u u = do • p
(Gl.1)
K
K
dP ist eine Kraft (Fläche × Impulsstromdichte = Impuls/sec). dP ist im allgemeinen
K
nicht || do .
p wird als Drucktensor bezeichnet (Kraft/Flächeneinheit). In einem kartesischen KoK K K
ordinatensystem (x,y,z) mit den Einheitsvektoren i , j , k stellt sich p folgendermaßen dar:
KK
i i ⋅p
+
K K xx
p = + j i ⋅ p yx +
KK
+ k i ⋅ p zx +
KK
i i ⋅ ux 2
KK
= ρ ⋅ + j i ⋅ u yu x
KK
+ k i ⋅ u zu x
KK
KK
i j ⋅ p xy + i k ⋅ p xz
KK
KK
j j ⋅ p yy + j k ⋅ p yz
KK
KK
k j ⋅ p zy + kk ⋅ p zz
KK
KK
+ i j ⋅ u xu y + i k ⋅ u xuz
KK
KK
+ j j ⋅ uy 2
+ j k ⋅ u yuz
KK
KK
+ k j ⋅ u zu y + kk ⋅ u z 2
(Gl.2)
Es gilt damit allgemein
K K
1
prs = ρ ⋅ ⋅ ∫ ur ⋅ us ⋅ f (u, r , t ) ⋅ d3u
n
also z.B.:
p xy = m ⋅ ∫ u x ⋅ u y ⋅ f u x , u y , u z , x, y, z, t ⋅ du x ⋅ du y ⋅ du z
(
)
Speziallfall Isotropie:
Hängt die Verteilungsfunktion f z.B. nur vom Betrag der Geschwindigkeit ab
f = f ux 2 + uy 2 + uz 2
(
)
dann kann man sich leicht überlegen, dass für die einzelnen Druckkomponenten gilt:
∞ ∞ ∞
prs = m ⋅
∫ ∫ ∫ ur ⋅ us ⋅ f (u
−∞ −∞ −∞
2
)⋅ du
r
für : r ≠ s
⋅ du s ⋅ du z = 0
endlich
=
"
p
"
für : r = s

Es ist dann
ux 2 = uy 2 = uz 2
und mit p = ρ ⋅ ur 2
- 73 -
Einführung in die Plasmaphysik
(
Übungsaufgabe 7
KK
KK
KK
p = ρ ⋅ i i ⋅ u x 2 + j j ⋅ u y 2 + kk ⋅ u z 2
K K KK K K
= ρ ⋅ ur 2 ⋅ i i + j j + k k
(
(
)
)
)
ρ
⋅ u x 2 + u y 2 + uz 2 ⋅ Ι
3
ρ
=
⋅ u2 ⋅ Ι
3
= p⋅Ι
= n⋅k ⋅T ⋅Ι
K K KK K K
mit: Ι = i i + j j + kk = “Einheitstensor“
K
K
(Ein Vektor A mit Ι multipliziert gibt wieder A :
K
K K KK K K K
K
K
K
Ι • A = i i + j j + kk • i A x + j A y + kA z = A ).
=
(
) (
)
Was hat man sich unter den 9 Komponenten des Drucktensors Gl.1 vorzustellen?
K
Man erkennt es, wenn man die Komponenten der Kraft dP nach Gl.2 ausrechnet.
K
Das Flächenelement do hat 3 Komponenten; die Vorschrift der Gl.1 lautet: p von
K
K
links skalar
mit
d
o
multiplizieren,
was
herauskommt,
ist
der
Vektor
d
P
, also:
K
K
K
K
dP = i ⋅ dPx + j ⋅ dPy + k ⋅ dPz
K
K
K
= i ⋅ do x + j ⋅ do y + k ⋅ do z • p
= ...
(unter Beachtung der Priorität der Skalarmultiplikation)
K
... = do x p xx + do y p yx + do zp zx ⋅ i
K
+ do x p xy + do y p yy + do zp zy ⋅ j
K
+ do x p xz + do y p yz + do zp zz ⋅ k
K
Die 3 Skalarprodukte in den Klammern sind die 3 Komponenten von dP . Man sieht
also, daß bei den Druckkomponenten prs der 1.Index die Flächenrichtung, der
2.Index die Kraftrichtung bedeutet. So heißt z.B.:
K
p xy = y-Komponente der Kraft/Flächeneinheit auf die x-Komponente von do .
(
(
(
)
)
(
)
(
)
)
Man erkennt auch, daß im isotropen Fall ( p xx = p yy = p zz = p , alle anderen
K
prs (r ≠ s ) = 0 ) die Kraft die Richtung von do hat:
K
K
K
K
K
dP = p ⋅ do x ⋅ i + do y ⋅ j + do z ⋅ k = p ⋅ do
(hydrostatischer Druck)
(
)
Anzumerken wäre noch, daß p ein symmetrischer Tensor ist, wie man aus Gl.2
sieht
prs = ρ ⋅ ur u s = ρ ⋅ usur = p sr ,
K
K
so daß hier speziell do • p = p • do gilt. Im allgemeinen darf die Reihenfolge der Fak-
toren nicht vertauscht werden!
K
K
Im allgemeinen (anisotropen)
Fall
ist
dP nicht || do . Der Impuls eines Teilchens hat
K
K
die w -Richtung, nicht die do -Richtung (siehe voher):
- 74 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 7
K
K
( 3)
(
do•
u) ⋅ (
m
⋅w
) ⋅ f ⋅ d u
K
wieviel
fließt
durch ?
Richtung
Erst nach dem Mittelungsprozeß kann es sein, daß sich
K alle Komponenten, die nicht
normal auf dem Flächenelement stehen (nicht || do ) herauskompensieren. Das
hängt eben von der Verteilungsfunktion f ab.
An dieser Stelle einige Anmerkungen zur Tensorrechnung.
In kartesischen Koordinaten kann man einen Tensor immer durch seine 3 Zeilenvektoren oder 3 Spaltenvektoren
KK
KK
K K ausdrücken:
Φ = i Z1 + j Z 2 + kZ 3
K K K K K K
(„dyadische Produkte“)
= S1 i + S 2 j + S 3k
Beim vorliegenden Drucktensor p ist z.B.:
K
K
K
K
Z1 = i ⋅ p xx + j ⋅ p xy + k ⋅ p xz
K
K
K
K
S1 = i ⋅ p xx + j ⋅ p yx + k ⋅ p zx
(hier sind Spalten- und Zeilenvektoren zufällig gleich, da p symmetrisch ist).
Das Skalarprodukt eines Tensors mit einem Vektor wird somit:
K
K K K
K K K
K K K
A • Φ = A • i Z1 + A • j Z 2 + A • k Z 3
K
K
K
= A x ⋅ Z1 + A y ⋅ Z 2 + A z ⋅ Z 3
= ...
oder:
K K K K K K K K K
... = A • S1 i + A • S 2 j + A • S 3 k
Dagegen gilt:
K
K K
K K K
K K K
K
Φ • A = i Z1 • A + j Z 2 • A + k Z 3 • A
K
K
K
= S1 ⋅ A x + S 2 ⋅ A y + S 3 ⋅ A z
(
)
(
(
)
) (
(
(
)
) (
) (
)
) (
)
Sehr oft tritt die Divergenz eines Tensors auf (Druck, Impulsbilanz):
Mit dem ∇-Operator
K ∂ K ∂ K ∂
∇= i⋅
+ j⋅
+k⋅
∂x
∂y
∂z
wird
K K
K K
K K
∇ • Φ = ∇ • S1 i + ∇ • S 2 j + ∇ • S 3 k
K
K
K
K
K
K
= i ⋅ div S1 + j ⋅ div S 2 + k ⋅ div S 3
= ...
oder
KK
KK
K K
... = ∇K • i Z1K + ∇ •Kj Z 2 + ∇ • k Z 3
∂Z1 ∂Z 2 ∂Z 3
=
+
+
∂x
∂y
∂z
(
(
) (
( )
)
(
) (
( )
)
(
)
( )
)
Ist der Tensor ein Skalar × Einheitstensor, dann geht die Tensordivergenz in den
Gradienten dieses Skalars über, z.B.:
- 75 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 7
K K KK K K
∇ • Ι ⋅ p = ∇ • i i + j j + kk ⋅ p
K
K
K
K
K
K
= ∇ • i ⋅p ⋅ i + ∇ • j ⋅p ⋅ j + ∇ •k ⋅p⋅k
K ∂
K ∂
K
∂
=
⋅p ⋅ i +
⋅p⋅ j +
⋅p⋅k
∂x
∂y
∂z
K ∂p K ∂p K ∂p
= i⋅
+ j⋅
+k⋅
∂x
∂y
∂z
= ∇ ⋅p
= grad(p )
(
(
)
(
)
)
(
)
Ein weiterer wichtiger Tensor ist der Vektorgradient. Ebenso wie man nach der ÄndeK
K
rung einer skalaren Funktion p(r ) bei Fortschreiten um d r im Raume fragen kann
K
K
∂p
∂p
∂p
dp = d r • grad(p ) = d r • ∇ ⋅ p =
⋅ dx +
⋅ dy +
⋅ dz ,
∂x
∂y
∂z
K K
so kann man auch fragen: Wie ändert sich eine Vektorfunktion A (r ) bei Fortschreiten
K
um d r ? Das Ergebnis muß natürlich wieder ein Vektor sein:
K
K
K
K
K
K
∂A
∂A
∂A
dA = d r • ∇A = dx ⋅
+ dy ⋅
+ dz ⋅
∂x
∂y K
∂z
K
K
K
K
K
= (d r • grad(A x )) ⋅ i + d r • grad A y ⋅ j + (d r • grad(A z )) ⋅ k
K
K
Den Ausdruck ∇A nennt man den Vektorgradienten von A (nicht verwechseln mit
K
K
div A ). ∇A ist ein Tensor:
K
K
K
K ∂ K ∂ K ∂  K
∇A =  i ⋅
+ j⋅
+ k ⋅  i ⋅ A x + j ⋅ A y + k ⋅ A z
∂y
∂z 
 K∂x
K
K
K ∂A K ∂A K ∂A
= i
+ j
+k
∂x
∂yK
∂z
K
K
= (grad(A x )) i + grad A y j + (grad(A z ))k
K
Die 9 Komponenten von ∇A beschreiben die Änderungen der 3 Komponenten von
K
A , jeweils nach den 3 Koordinatenrichtungen.
(
( ))
( )
(
(
)
( ))
Der Vektorgradient
des
ist gleich dem Einheitstensor:
K
K Ortsvektors
K
K K ∂ r K ∂ r K ∂ r K K KK K K
∇r = i
+ j
+k
= i i + j j + kk = Ι
∂x
∂y
∂z
Eine Umrechnungsformel tritt öfters auf: Die Divergenz eines dyadischen Produkts:
KK
K
K K
K
∇ • AB = A • ∇B + B ⋅ div A
K
K
K
K
( A × Vektorgradient von B + B × Divergenz von A . Man beachte die Rolle des Skalarpunkts!)
( )
( )
( )
Wie in der Vektoranalysis, so gelten auch bei Tensoren Gauß’scher und Stokes’scher Satz in verallgemeinerter Form. So lautet z.B. der Gauß’sche Satz für den
Drucktensor:
K
∫ do • p = ∫ ∇ • p ⋅ dv
Oberfläche
Volumen
- 76 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 7
K
( do und ∇ müssen beide auf derselben Seite von
p stehen; dies ist hier allerdings unkritisch, da p
symmetrisch ist, s.o.).
Totale zeitliche Änderung einer Ortsfunktion, vom bewegten Beobachter aus gesehen:
K
K
a) Skalar p(r , t ) , Beobachter bewegt sich mit v B durch das p-Feld.
∂p K
 dp 
+ v B • grad(p )
→   =
 dt B ∂t
K K
K
b) Vektor A (r , t ) , Beobachtergeschwindigkeit v B
K
K
K
 dA 
∂A K
 =
→ 
+ v B • ∇A
 dt B ∂t
Wichtig in der Kraftgleichung:
Beobachter wandert mit der
K
K strömenden Materie
(Geschwindigkeit v ) und beobachtet die Änderung von v („substantielles“ Differential):
K
K
K
dv ∂v K
=
+ v • ∇v
dt ∂t
N.B.: In der Literatur wird der obige Ausdruck meist so geschrieben:
K
K
K
dv ∂v K
=
+ (v • grad)v
dt ∂t
So weit das wichtigste über den Umgang mit Tensoren (2.Stufe).
- 77 -
Einführung in die Plasmaphysik
7.8.
Übungsaufgabe 8
Übungsaufgabe 8 (Maxwellverteilung - Geschwindigkeitskomponenten)
Man leite die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung ab, ausgehend von der Forderung, daß im Gleichgewicht die Verteilung der Geschwindigkeitskomponenten in
allen 3 Richtungen gleich ist.
K
Die Verteilungsfunktion für die Komponenten u x , u y , u z der Geschwindigkeit u wird
folgendermaßen angesetzt:
dni
= f (ui ) ⋅ dui
i steht für x bzw. y bzw. z
n
Dann ist dni = n ⋅ f (ui ) ⋅ dui : Anzahl der Teilchen mit Geschwindigkeitskomponente in
i-Richtung zwischen ui und ui + dui .
Durch den obigen Ansatz ist f (ui ) so normiert, daß
∞
∫ f (ui ) ⋅ dui = 1.
−∞
( )
Die Verteilung ist in allen 3 Richtungen gleich, d.h. die Funktionen f (u x ) , f u y , f (u z )
haben die gleiche Gestalt.
K
Dann ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, daß Teilchen innerhalb d3u bei u liegen,
also Komponenten haben zwischen u x und u x + du x , u y und u y + du y , u z und
u z + du z :
f (u x ) ⋅ du x ⋅ f u y ⋅ du y ⋅ f (u z ) ⋅ du z = f0 ⋅ du x ⋅ du y ⋅ du z
( )
d3u
f0 ist die gesuchte Verteilungsfunktion. Zunächst wird f (ui ) ermittelt:
f (u x ) ⋅ f u y ⋅ f (u z ) = f0 (u)
( )
df
df (u x )
du
⋅ f (u y ) ⋅ f (u z ) = 0 ⋅
du
du du
x
Hierbei ist:
x
du
d
=
du x du x
ux
,
u
df (u x )
df0 (u)
du x
= du = konst.
u x ⋅ f (u x ) u ⋅ f0 (u)
ux 2 + uy 2 + uz 2 =
df (u) u 
df (u x )
⋅ f u y ⋅ f (u z ) = 0 ⋅ x 
du x
du
u

f (u x ) ⋅ f u y ⋅ f (u z ) = f0 (u)

( )
( )
Wir setzen also allgemein für f (ui ) :
df (ui )
dui
= −2 ⋅ γ = konst.
ui ⋅ f (ui )
df
= −2 ⋅ γ ⋅ ui ⋅ dui
f
(muß für alle u bzw. u x gelten, d.h. links und
rechts unabhängig voneinander: Konstante
einzige Möglichkeit!)
- 78 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 8
ui 2
+C
2
ln(f ) = −2 ⋅ γ ⋅
f (ui ) = a ⋅ e − γ ⋅ui
⇒
2
Nun zur Bestimmung der Konstanten:
a) Aus der Dichte erhält man a. Man beachte, daß f (ui ) auf 1 normiert ist!
+∞
1=
∫ f (ui ) ⋅ dui = a ⋅
−∞
+∞
∫
2
e − γ ⋅u i ⋅ dui = a ⋅
−∞
π
γ
⇒
a=
γ
π
b) γ erhält man aus dem Druck oder der mittleren Energie:
1
p = n ⋅ k ⋅ T = n ⋅ m ⋅ ⋅ u 2 = n ⋅ m ⋅ ui 2
(siehe Aufgabe 7)
3
ui 2
Den Mittelwert
bildet man mittels der Komponenten-Verteilungsfunktion
f (ui ) :
ui
+∞
2
∫ ui
=
2
⋅ f (ui ) ⋅ dui
−∞
= ...
(n fehlt hier, da f (ui ) auf 1 normiert)
+∞
... = a ⋅
= ...
∫
2
ui 2 ⋅ e − γ ⋅u i ⋅ dui
−∞
(Substitution z = γ ⋅ ui )
3
... =
=
=
+∞
2
γ −2
⋅ γ ⋅ ∫ z 2 ⋅ e − z ⋅ dz
π
−∞
1 1 1
⋅ ⋅ ⋅ π
π γ 2
1
k⋅T
=
2⋅γ
m
⇒
γ=
m
2⋅k ⋅T
Also wird die Komponenten-Verteilungsfunktion:
1
2
m 2
⋅u i
−2
⋅ e k ⋅T
m
γ − γ ⋅u i 2 
⋅e
=

π
 2⋅ π⋅k ⋅T 
m
2⋅k ⋅T
(d.h.
⋅ v 0 2 = k ⋅ T ) ein, dann erhält man:
Führt man die Hilfsgröße v 0 =
m
2
f (ui ) =



2
1
π v0
Die gesamte Verteilungsfunktion ergibt sich (siehe oben) aus:
f (ui ) =
1
u
−  i
v
⋅e  0
⋅
- 79 -
Einführung in die Plasmaphysik
f0
Übungsaufgabe 8
( )
= f (u x ) ⋅ f u y ⋅ f (u z )
= ...
mit: u2 = u x 2 + u y 2 + u z 2
... =
1
( π)
3
⋅
1
v 03
 u
− 
v
⋅e  0
3
2
m

= 

 2⋅ π⋅k ⋅T 



2
m 2
⋅u
−2
⋅ e k ⋅T
Dies ist die bekannte Maxwell-Verteilung (hier auf 1 normiert, daher fehlt der Dichtefaktor n).
Anmerkung: Die hier mit f0 bezeichnete Verteilung ist in Kap.5.3 f0* genannt.
- 80 -
Einführung in die Plasmaphysik
7.9.
Übungsaufgabe 9
Übungsaufgabe 9 (Maxwellverteilung - Geschwindigkeitsbeträge)
Wie lautet die entsprechende Verteilungsfunktion für den Betrag der Geschwindigkeit
u?
K
Alternativ zu „wieviele Teilchen befinden sich innerhalb d3u bei u ?“ lautet die Fraugestellung jetzt: „Wieviele Teilchen haben Geschwindigkeitsbeträge zwischen u und
u + du ?“
Die Verteilungsfunktion f0 ist eine reine Funktion von u2 = u x 2 + u y 2 + u z 2 . Daher
liegen im Geschwindigkeitsraum alle Teilchen mit Geschwindigkeitsbeträgen zwischen u und u + du innerhalb Kugelschalen um den Ursprung mit dem differentiellen
„Volumen“ 4 ⋅ π ⋅ u 2 ⋅ du .
Man erhält also:
dn u
= 4 ⋅ π ⋅ u2 ⋅ f0* (u) ⋅ du = F(u) ⋅ du .
n
⇒
3
2
m

F(u) = 4 ⋅ π ⋅ 

 2⋅ π⋅k ⋅T 
m 2
⋅u
−2
⋅ u2 ⋅ e k ⋅T
=
 u
− 
v
⋅ u2 ⋅ e  0



2
4
1
⋅ 3
π v0
(wieder auf 1 normiert)
Für die Funktion F(u) kann man 3 charakteristische Geschwindigkeiten angeben:
a) Wahrscheinliche Geschwindigkeit:
2⋅k ⋅T
Maximum von F(u) ; es liegt bei u w =
= v 0 , wie man leicht nachrechnen
m
kann.
b) Mittlere Geschwindigkeit:
K
Der Mittelwert der statistischen Geschwindigkeit ist bekanntlich Null ( u = 0 ). Hier
ist aber nach dem Mittelwert des statistischen Geschwindigkeitsbetrages u gefragt.
∞
Mittelwertbildung u = ∫ u ⋅ F(u) ⋅ du =
0
2
π
⋅ v0
c) Mittleres Geschwindigkeitsquadrat:
∞
u2 = ∫ u2 ⋅ F(u) ⋅ du =
0
3
⋅ v0
2
oder
m
m 3 2⋅k ⋅T 3
⋅ u2 = ⋅ ⋅
= ⋅ k ⋅ T (bekannt!)
2
2 2
m
2
Anmerkung:
- 81 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 9
+∞
Geschwindigkeits-Komponenten werden von
∫
integriert. Hier geht es
−∞
+∞
aber um Geschwindigkeits-Beträge. Daher ist von
∫
zu integrieren.
0
2
Vergleich b) c) zeigt: u 2 ≠ u ! Vorsicht bei Mittelwertbildung!
- 82 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 10
7.10. Übungsaufgabe 10 (Maxwellverteilung - Sondenmeßtechnik)
Wie lautet die Verteilungsfunktion für das Durchwandern des Einheitsquerschnittes in
einer Richtung? (D.h. wieviele Teilchen wandern pro Sekunde mit Geschwindigkeitskomponenten zwischen ui und ui + dui durch den Einheitsquerschnitt in einer Richtung?) Wieviele sind es insgesamt? Wieviele haben eine größere Geschwindigkeit
als ein gegebener Wert v i , d.h. ui ≥ v i ? Wieviele geladene Teilchen sind also in der
Lage gegen eine Bremsspannung U anzulaufen? (Maxwell-Verteilung vorausgesetzt).
Legt man den Einheitsquerschnitt senkrecht zur xAchse, dann ist für das Durchwandern der Teilchen (in
(+ x ) -Richtung) nur die Verteilung von u x wichtig:
dn x = n ⋅ f (u x ) ⋅ du x



ux
2
1
⋅ du x
x
π v0
dn x Teilchen pro Volumeneinheit haben u x -Kompoz
nenten zwischen u x und u x + du x . Sie wandern in
(+ x ) -Richtung mit u x (>0), also ist ihre Stromdichte (Anzahl pro Sekunde durch Flächeneinheit):
= n⋅
1
u
−  x
v
⋅e  0
y
⋅
dn x ⋅ u x = n ⋅ u x ⋅ f (u x ) ⋅ du x = n ⋅
1
u
−  x
ux
v
⋅e  0



2
⋅
⋅ du x
v0
π
Verteilungsfunktion
des
Teilchenfl usses
Insgesamt wandern pro Sekunde durch den Einheitsquerschnitt in (+ x ) -Richtung:
∞
n total
= n ⋅ ∫ u x ⋅ f (u x ) ⋅ du x
(Nur u x > 0 )
0
=
n
v0 ⋅ π
∞
⋅ ∫ ux
n ⋅ v0 1
=
⋅
π 2
u
−  x
v
⋅e  0



2
⋅ du x
0
=
n⋅ u
4
 1 
( n total ist natürlich keine Teilchendichte  3  , sondern
m 
eine Anzahl von Teilchen pro Flächeneinheit und pro Zeit 1 
einheit  2  ).
m s 
Wieviele Teilchen mit u x ≥ v x (vorgegebener Wert) wandern pro Sekunde durch den
Einheitsquerschnitt?
- 83 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 10
∞
n(u x ≥ v x )
= n ⋅ ∫ u x ⋅ f (u x ) ⋅ du x
=
vx
=
=
=
∞
n
v0 ⋅ π
n ⋅ v0
π
n⋅ u
4
⋅
⋅ ∫ ux
u
−  x
v
⋅e  0
vx
v
−  x
1
v
⋅e  0






2
⋅ du x
2
=
2
v
−  x
v
⋅e  0



=
2
= n total
v
−  x
v
⋅e  0



2
 1 
(Analog zu vorher ist die Einheit von n(u x ≥ v x )  2  )
m s 
Befindet sich z.B. eine Sonde im Plasma, Sondenspannung UPS negativ gegen das
Plasma, so können nur diejenigen Elektronen zur Sonde gelangen, für deren Energie
gilt:
m
⋅ u x 2 ≥ e ⋅ UPS
2
Die Geschwindigkeit der Elektronen muß in x-Richtung also mindestens
2⋅e
vx =
⋅ UPS
m
betragen. Der Elektronenstrom pro Flächeneinheit zur Sonde wird damit:
Ι−
=
e
N
Elementar −
ladung
⋅
1
⋅ n− ⋅ u
4 −
v
−  x
v
⋅e  0



2
n total
m
⋅v x 2
2
−
k ⋅ T−
1
1
= e ⋅ ⋅ n− ⋅ u − ⋅ e
= e ⋅ ⋅ n− ⋅ u
4
4
Der Ionenstrom zur Sonde ist konstant:
1
Ι + = e ⋅ ⋅ n+ ⋅ u +
(wegen Feldabschirmung)
4
Der Gesamtstrom pro Flächeneinheit ist also
Ι = Ι + − Ι − = C1 − C 2 ⋅ e
−
−
⋅e
−
e ⋅UPS
k ⋅ T−
e ⋅UPS
k ⋅ T−
oder
e ⋅ UPS
k ⋅ T−
Dieser Zusammenhang grafisch aufgetragen ist eine Gerade, aus deren Neigung die
Elektronentemperatur bestimmt werden kann.
ln(Ι + − Ι ) = ln(Ι − ) = konst −
- 84 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 11
7.11. Übungsaufgabe 11 (Impulsbilanz einer Teilchensorte)
Man leite die makroskopische Impulsbilanz für 1 Sorte (s) (Komponente) des Plasmas her, und zwar durch „Momentenbildung“ bei der Boltzmann-Gleichung. Man multipliziere
hierzu alle Glieder der Boltzmann-Gleichung mit dem (individuellen) Impuls
K
m ⋅ w und integriere über alle Geschwindigkeiten.
Die Boltzmann-Gleichung ist eine Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf der
Verteilungsfunktion f K
∂f K
K
 ∂f 
+ w • ∇r ⋅ f + • ∇ w ⋅ f =  
∂t
m
 ∂t  Stöße
oder in Komponenten- (Index-) Schreibweise:
∂f
+
∂t
∂f
K i ∂f
 ∂f 
wi ⋅
+
⋅
=  
∂x
m ∂w
t  Stöße
 ∂
i
i
Zeitliche
Änderung
von f
Änderung
durch
Auswandern aus
dem Geschwindigkeitselement infolge
Beschleunigung durch äußere
K
Kräfte K
Änderung
durch
Auswandern aus
dem
RaumeleK
ment, infolge w
Änderung infolge
von Stößen
K K
f = fs (r , w, t ) ist die Verteilungsfunktion der betrachteten Komponente s; ri und w i
sind unabhängige Variable in f.
K ∂ K ∂ K ∂
∇ r bedeutet:
+ j⋅
+k⋅
i⋅
∂x
∂y
∂z
K ∂
K ∂
K ∂
∇ w bedeutet:
+ j⋅
+k⋅
i⋅
∂w x
∂w y
∂w z
Von InteresseK ist nun die zeitliche Abhängigkeit eines Mittelwertes von f, nämlich des
Impulses m ⋅ w :
K
K
K
n ⋅ m ⋅ w = n ⋅ m ⋅ v = ∫ m ⋅ w ⋅ f ⋅ d3 w
w
K
Dazu wird die Boltzmann-Gleichung mit m ⋅ w multipliziert und anschließend über
alle w integriert. Es bedeutet dabei immer:
∫ ... ⋅ d
w
3
+∞
w=
∫
+∞
∫
+∞
∫ ... ⋅ dw x ⋅ dw y ⋅ dw z
w x = −∞ w y = −∞ w z = −∞
- 85 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 11
Man erhält:
K ∂f
K K
K K
K  ∂f 
m ⋅ ∫ w ⋅ ⋅ d3 w + m ⋅ ∫ w w • ∇ r ⋅ f ⋅ d3 w + ∫ w K • ∇ w ⋅ f ⋅ d3 w = m ⋅ ∫ w ⋅  
⋅ d3 w
∂
t
∂
t
  Stöße
w
w
w w
Term A
Term B
Term C
Term D
Term A
K ∂f
K
∂
m ⋅ ∫ w ⋅ ⋅ d3 w = m ⋅ ⋅ ∫ w ⋅ f ⋅ d3 w =
∂t
∂t w
w
K
∂
=
= m ⋅ (n ⋅ v )
∂t
∂
∂
(m ⋅ n ⋅ vK )
(ρ ⋅ vK )
=
=
∂t
∂t
mit: ρ = Massendichte
K
K
v = w = mittlere Geschwindigkeit
Term B
K K
K K
K K
m ⋅ ∫ w w • ∇ r ⋅ f ⋅ d3 w = m ⋅ ∇ r • ∫ w w ⋅ f ⋅ d3 w = m ⋅ ∇ r • n ⋅ w w
w
w
K
K
( w hängt nicht von r ab)
K K
w w symmetrisch
K
K K
w w : Tensor, wie beim Druck, enthält aber noch v !
Term C
K K
3
w
∫ K • ∇w ⋅ f ⋅ d w =
w
K
K 3
K
K
3
w
⋅
div
K
⋅
f
⋅
d
w
−
w
⋅
f
⋅
div
K
⋅d w
w
w
∫
∫
( )
()
w
w
= ...
K
K
K
(Dies wegen des Satzes div ϕ ⋅ A = ϕ ⋅ div A + A • grad(ϕ) bzw. umgeK
K
K
stellt A • grad(ϕ) = div ϕ ⋅ A − ϕ ⋅ div A , alles hier auf die Geschwindigkeitskoordinaten bezogen.)
Ferner ist
K
K
K K
K = q⋅E + q⋅ w ×B
und folglich
K
K
K
K K
K
K
div w K = q ⋅ div w w × B = B • rot w (w ) − w • rot w B = 0
K
weil der Rotor von w (nach w!) verschwindet (vgl. im Ortsraum
K
K
rot r (r ) = 0 ) und weil B nicht von w abhängt.
Also verbleibt:
K K
3
∫ w K • ∇ w ⋅ f ⋅ d w = ...
(
()
)
(
w
=
)
( )
)
K
K
( )
()
∫ w ⋅ div w (K ⋅ f )⋅ d
w
=
(
3
w
K K
K
K
3
3
∇
•
K
f
w
⋅
d
w
−
K
w
∫
∫ • f ⋅ ∇ w (w ) ⋅ d w
(
)
w
w
= ...
- 86 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 11
KK
K
K K
K
(Letzteres wegen ∇ • AB = A • ∇B + B ⋅ div A
bzw. umgestellt
K
K
KK K
K
B ⋅ div A = ∇ • AB − A • ∇B , vgl. 7.Aufgabe Anhang).
Weiterhin gilt mit dem Gauß’schen Satz (vgl. 7.Aufgabe Anhang):
K K
K K
K
3
∇
•
K
f
w
⋅
d
w
=
d
o
•
K
∫ w
∫ w ⋅f w = 0
( )
( )
(
( )
( )
( )
)
(
( )
)
w →∞
w
(wegen f∞ = 0 )
Ferner ist
K
∇w w = Ι
(Einheitstensor, siehe 7.Aufgabe Anhang)
Damit verbleibt für Term C schließlich:
K K
3
∫ w K • ∇ w ⋅ f ⋅ d w = ...
w
=
K K
∫ ∇ w • (Kf w )⋅ d
3
w
K
= − ∫ K • f ⋅ d3 w
K
K
w − ∫ K • f ⋅ ∇ w (w ) ⋅ d3 w
w
w
K
= −n⋅ K
= ...
K
K
K K
mit K = q ⋅ E + q ⋅ w × B also:
K K
3
w
∫ K • ∇ w ⋅ f ⋅ d w = ...
w
K
= −n⋅ K
K
K K
= − n ⋅ q⋅E + q⋅ w ×B
(
Term D
)
K
K  ∂f 
D = ∫m⋅ w ⋅ 
⋅ d3 w = A Stöße
Resultierendes Stoßglied
∂
t


Stöße
w
Im Integral über alle Geschwindigkeiten der betrachteten Sorte s beK
schreibt A Stöße die Wechselwirkung („Reibung“) mit den übrigen SorK
K
ten. (Für eine Sorte allein wäre A Stöße = 0 ). Die Herleitung von A Stöße
ist (selbst für den Fall, daß nur Binärstöße berücksichtigt werden müssen) schwierig und geht über den Rahmen dieser Vorlesung hinaus.
Es ergibt sich für die Komponentenreibung jedenfalls ein Ausdruck der
Form:
K
K
vB
vA 
 K
 K
K 
K
K
A Stöße A −B = n A ⋅ nB ⋅ ε AB ⋅  w B − w A  = m'⋅n A ⋅ ν AB ⋅ (v B − v A )




Man vergleiche dieses Ergebnis mit dem Reibungsglied der LangevinGleichung in Aufgabe 5. Dort waren A die Elektronen, B die (ruhenden
K
v B = 0 ) Neutralteilchen. Wenn man die Langevin-Gleichung mit n −
multipliziert (Kraft pro Volumeneinheit), dann gelangt man zu obigem
Reibungsglied.
Zusammengefasst ergibt sich also:
- 87 -
Einführung in die Plasmaphysik
(Term A )
+
(Term B)
Übungsaufgabe 11
− (Term C)
↓
K
K K
= n ⋅ q⋅E + q⋅ v ×B
=
+
(Term D)
↓
↓
↓
Gl.1
K
K
KK
∂
(ρ ⋅ v ) + ∇ • ρ ⋅ ww
+ A Stöße
∂t
K
Dies ist die gesuchte Bilanz für den Mittelwert des Impulses pro Volumeneinheit ρ ⋅ v .
Zum Verständnis denke man sich diese Gleichung (Kräfte pro Volumeneinheit) über
ein ruhendes Volumen integriert:
∫ A ⋅ dτ ... usw.
(
)
V
Dann beschreibt
Term A
Term B
die gesamte Impulsänderung im Inneren des Volumens;
den resultierenden Impulsfluß durch die Wand nach außen, weK
KK
KK
gen ∫ ∇ • ρ ⋅ ww ⋅ dτ =
∫ do • ρ ⋅ w w ;
V
-Term C
Term D
Oberfläche
die gesamte Impulserzeugung im Inneren des Volumens durch
äußere Kräfte;
die gesamte Impulserzeugung im Inneren des Volumens durch
Impulsübertragung von anderen Teilchensorten (Komponenten)
her, (Wechselwirkung, „Reibung“).
Gl.1 kann noch umgeformt werden, es ist ja
K
∂
(ρ ⋅ vK ) = ρ ⋅ ∂v + vK ⋅ ∂ρ
∂t
∂t
∂t
und
=0
=0
KK
K K K K
K K KK P
K K P
K K
ww = (u + v )(u + v ) = uu + vv + u v + v u
also
K
K
K
KK
KK
K K
∂v K ∂ρ
ρ⋅
+v⋅
+ ∇ • ρ ⋅ uu + ∇ • ρ ⋅ vv = n ⋅ q ⋅ E + q ⋅ v × B + A Stöße
∂Kt
∂t
K
K
K
K K ∂ρ K
K
KK
K K
∂v
ρ⋅
+ ρ ⋅ v • ∇v + v ⋅
+ v ⋅ div (ρ ⋅ v ) + ∇ • ρ ⋅ uu = n ⋅ q ⋅ E + q ⋅ v × B + A Stöße
∂t
∂t
Gl.2
(
)
(
)
Man kann nun noch folgende Umformungen vornehmen:
KK
[1] ∇ • ρ ⋅ uu = ∇ • p
(vgl. Aufgabe 7)
[2]
[3]
Aus der Massenbilanz (Kontinuitätsgleichung) ist bekannt:
K  ∂ρ 
∂ρ
+ div (ρ ⋅ v ) =  
∂t
 ∂t  erzeugt,
Re aktionen mit anderen Komponente n
K
K
K dv
∂v K
+ v • ∇v =
, substantielles Differential, (siehe Aufgabe 7, Anhang)
dt
∂t
Damit ergibt sich für Gl.2:
K
K
K
K K K  ∂ρ 
dv
ρ⋅
= −∇ • p + n ⋅ q ⋅ E + q ⋅ v × B − v ⋅  
+ A Stöße
dt
 ∂t  erzeugt
(
)
Man beachte:
- 88 -
Gl.3
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 11
Gl.1 und Gl.3 sind identisch; nur beschreibt Gl.1 das Geschehen vom ruhenK
den Beobachter aus, Gl.3 dagegen bezieht sich auf den mit v bewegten BeK
dv
obachter (Materie) (siehe z.B.
, p ).
dt
- 89 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 12
7.12. Übungsaufgabe 12 (Drucktensor)
Zum Druck beim Einflüssigkeitsmodell des Plasmas:
Für das gesamte Plasma erhält man die Impulsbilanz durch Addition der Bilanzen der
einzelnen Plasmakomponenten (Teilchensorten), wobei man zunächst zweckmäßigerweise von der Form der Gl.1 aus Aufgabe 11 ausgeht.
K Den resultierenden Drucktensor bezieht man aber jetzt auf ein Flächenelement do , das sich mit der SchwerK
punktsgeschwindigkeit V des gesamten Plasmas bewegt (Impulsstromdichte durch
K
dieses Flächenelement), nicht mehr (wie in Aufgabe 7) auf mit v s , d.h. mit der Komponenten-Schwerpunktsgeschwindigkeit bewegte Flächenelemente. Wie lautet dann
dieser resultierende Drucktensor?
Zunächst einige Definitionen; der Index der einzelnen Komponenten sei s, dann gilt:
a) Pro Komponente:
Masse: m s ;
Teilchendichte: ns ;
K
K
K
1
⋅ ∫ w s ⋅ f ⋅ d3 w ;
Mittlere Geschwindigkeit: v s = w s =
ns w
K
K
K
Statistische Geschwindigkeit: us = w s − v s ;
KK
Drucktensor: p = ρ s ⋅ uu s ;
s
Teilchendichte: n = ∑ ns ;
b) Für das gesamte Plasma:
s
Massendichte: ρ = ∑ ρ s = ∑ ns ⋅ m s ;
s
s
K
Definition der gesamten „Schwerpunkts-Geschwindigkeit“ V :
K
K
K
ρ ⋅ V = ∑ ρs ⋅ v s = ∑ ns ⋅ ms ⋅ w s
s
s
K
Die statistische Geschwindigkeit Us beziehet sich jetzt (nicht wie bei der KomK
K
ponente s auf v s ) auf die gesamte Schwerpunktsgeschwindigkeit V :
K
K
K
Us = w s − V
Deren Mittelwert pro Komponente ist:
K
K
K
K
K
1
Us = ⋅ ∫ w s − V ⋅ f s ⋅ d 3 w = v s − V
n w
K
K
d.h. v s ist die Abweichung der mittleren Komponentengeschwindigkeit v s
K
von der gesamten Schwerpunktsgeschwindigkeit V („Diffusionsgeschwindigkeit“).
(
)
Um zum Druck zu gelangen, geht man vor wie in Aufgabe 7 und zählt den ImpulsK
K
strom durch ein Flächenelement zusammen, welcher sich jetzt aber mit V (nicht v s !)
bewegt:
K K
K
K
do • P = do • ∑ m s ⋅ n s ⋅ Us w s
s
Relative GeschwinK
digkeit zu do
Eigenschaft
- 90 -
Einführung in die Plasmaphysik
also:
Übungsaufgabe 12
K K
Us w s
s
K K
K
= ∑ ρ s ⋅ Us Us + V
s
K K
K K
= ∑ ρ s ⋅ UsUs + ∑ ρ s ⋅ Us V
P =
∑ ρs ⋅
(
s
)
s
K K
K K

= ∑ ρ s ⋅ UsUs +  ∑ ρ s ⋅ Us  V
s

 s
Es ist aber
K
K
K
K

 K
K
K
∑ ρs ⋅ Us = ∑ ρs ⋅ v s − V = ∑ ρs ⋅ v s −  ∑ ρs  ⋅ V = ρ ⋅ V − ρ ⋅ V = 0
s
s
s
 s

daher:
K K
P = ∑ ρ s ⋅ UsUs
s
Anmerkungen:
Man könnte noch zerlegen:
K K
P = ∑ ρ s ⋅ UsUs =
s
=
K
K
K K
u s u s + ∑ ρ s ⋅ Us U s
s
K
K
p
+
ρ
∑ s ∑ s ⋅ Us Us
s s
∑ ρs ⋅
s
Summe
der
Partialdrücke
" Zentrifugal" −Glied
In der Praxis ist es üblich P zu zerlegen in einen isotropen Anteil und einen anisotropen
P = Ι ⋅P + τ
so daß dann
K die gesamte
K Impulsbilanz lautet:
K
K
dV
∂V
ρ⋅
= ρ⋅
+ ρ ⋅ V • ∇V
dt
∂t
K K
K
= − grad(P ) − ∇ • τ + j × B + ρ el. ⋅ E
(Navier-Stokes-Gleichung für Flüssigkeit mit innerer Reibung).
- 91 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 13
7.13. Übungsaufgabe 13 (Magnetohydrodynamik)
Magnetohydrodynamik und verallgemeinertes Ohm’sches Gesetz:
Zwischen 2 Platten (Abstand b, herausgegriffener Höhenabschnitt h) strömt ein
K vollionisiertes Plasma in y-Richtung mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit v . Es
K
herrscht ebenfalls eine elektrische Stromdichte j in y-Richtung, ferner ein Magnetfeld in z-Richtung. Alle Felder sind homogen und zeitunabhängig. An den Platten
wird kein Strom entnommen, so daß j x = 0 . Es gilt generell:
∂
∂
∂
=0,
= 0,
= 0.
∂y
∂t
∂z
Man berechne und diskutiere folgende Größen:
K
K
a) Die Strömungsgeschwindigkeiten v + der Ionen und v − der Elektronen (einwertige Ionen!),
b) die Kraft pro Längeneinheit (y-Richtung) auf das System (Höhe h) in xRichtung,
c) die induzierte elektrische Feldstärke in x-Richtung.
K
K
Das Plasma wird als quasineutral angenommen, v und j seien vorgegeben.
a) Quasineutralität:
n + ⋅ q + + n − ⋅ q − = 0
nges

q+ = e
 ⇒ n+ = n− = n =
2

q − = −e
Aus
K
K
K
1
V=
⋅ (m + ⋅ v + + m − ⋅ v − )
m0
mit
m0 = m + + m −
und
K
K
K
j = n ⋅ e ⋅ (v + − v − )
erhält man:
K K
K
m−
v+ = V + j ⋅
n ⋅ e ⋅ m0
K K
K
m+
v− = V − j ⋅
n ⋅ e ⋅ m0
K K K K
(Im vorliegenden Fall haben V , j , v + , v − alle die y-Richtung!)
b) Magnetohydrodynamische
Grundgleichung:
K
K
K
K
K
K
dV
∂V
ρ⋅
= −grad(P ) + j × B =
ρ⋅
+ ρ ⋅ V • ∇V
dt
t
∂
= 0 wegen
Wegen Vx = 0 , Vz = 0 und
∂
=0
∂t
K
K
∂
= 0 ist auch V • ∇V = 0 . Also verbleibt im vorlie∂y
genden Fall:
- 92 -
Einführung in die Plasmaphysik
jy ⋅ B z =
Übungsaufgabe 13
dP
> 0 , Druckkraft in x-Richtung
dx
Hieraus resultiert eine Kraft auf den stromdurchflossenen Balken der Breite b und
Höhe h:
b
dP
⋅ dx = h ⋅ b ⋅ j y ⋅ B z = Ι ⋅ B z
dx
0
K x = (P(x = b ) − P(x = 0 )) ⋅ h = h ⋅ ∫
Ι
(Kraft pro Längeneinheit auf stromdurchflossenen Leiter.)
c) Vom verallgemeinerten Ohm’schen Gesetz verbleibt (mit
dP
= j y ⋅ B z (aus b)):
dx
In y-Richtung:
jy = σ ⋅ E y
K
K
dv +
dv −
=0,
= 0,
dt
dt
( E y = angelegtes äußeres Feld)
1 m+ − m−
⋅
⋅ jy ⋅ Bz
2 n ⋅ e ⋅ m0
1 m − m−
E x = − Vy ⋅ B z + ⋅ +
⋅ jy ⋅ B z
Gl.1
oder
2 n ⋅ e ⋅ m0
Es entsteht eine Feldstärke E x (Raumladungen an den Platten bei x = 0 und
x = b ), so daß das induzierte Feld kompensiert wird, damit j x = 0 .
K K
K K
Induziert werden kann durch V × B („MHD“-Generator) und durch j × B („HallEffekt“).
Man kann Gl.1 wieder mittels der ursprünglichen Geschwindigkeiten schreiben:
1 
1

⋅  m + ⋅ v y + + m − ⋅ v y − + ⋅ (m + − m − ) ⋅ v y + − v y − 
Ex = − Bz ⋅
m0 
2

1
= − ⋅ Bz ⋅ v y + + v y −
2
Es kann also auch sein, daß gar nichts induziert wird, dann nämlich, wenn
v y − = −v y + , d.h. wenn Elektronen und Ionen entgegengesetzt gleich schnell flieK K
K K
K K
K K
ßen würden. Dann gäbe es V × B und j × B , aber V × B − konst. ⋅ j × B = 0 .
In x-Richtung:
j x = 0 = E x + Vy ⋅ B z −
(
(
)
)
(
- 93 -
)
(
)
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 14
7.14. Übungsaufgabe 14 (tensorielle Leitfähigkeit)
Elektrische Leitfähigkeit im Plasma mit Magnetfeld; Längs- und Querleitfähigkeit;
Leitfähigkeitstensor:
K
j
Im verallgemeinerten Ohm’schen Gesetz kommt die elektrische Stromdichte im σ
K K
K
Glied und im j × B -Glied vor. Es soll j ausgeklammert und auf diese Weise eine
K
K
Verknüpfung zwischen j und E hergestellt werden, die durch eine tensorielle elektrische Leitfähigkeit gekennzeichnet ist.
Man führe diese Umrechnung am Beispiel eines Lorentz-Plasmas durch. Nur die Elektronen-Bewegung sei wesentlich, das Stoßglied sei durch Elektron-Neutral-Stöße
gekennzeichnet. Man gehe also von der Langevin-Gleichung (vgl. Aufgabe 5) aus.
Zudem soll die Reibungskraft >> Trägheitskraft sein. Man drücke die ElektronengeK
K
schwindigkeit durch j aus und löse nach j auf. Man zeige, daß sich dann eine BeK
K
ziehung j = σ • E herleiten läßt und gebe die Komponenten des Leitfähigkeitstensors
K
K
σ an. Das Magnetfeld B lege man dabei z.B. in z-Richtung, E habe beliebige RichK
tung gegenüber B .
Die Langevin-Gleichung für Elektronen lautet bei vernachlässigtem Trägheitsglied
(stationär, Reibung dominiert):
K K K
K
m ⋅ ν ⋅ v = −e ⋅ E + v × B
Da entsprechend der Angabe nur die Elektronenbewegung von Bedeutung ist, ergibt
K
K
sich daraus (mit j = −n ⋅ e ⋅ v für die Stromdichte):
K
K
K K
− m ⋅ ν ⋅ n ⋅ e ⋅ v = n ⋅ e2 ⋅ E + n ⋅ e2 ⋅ v × B
K
K
K K
m ⋅ ν ⋅ j = n ⋅ e2 ⋅ E − e ⋅ j × B
(
)
(
)
(
)
K n ⋅ e2 K
K K
e
j=
⋅E −
⋅ j ×B
m⋅ν
m⋅ν
K
Für B = 0 ergibt sich natürlich eine skalare Leitfähigkeit:
K
K
j = σ ⋅E
(
)
n ⋅ e2
m⋅ν
In den vorigen allgemeinen Zusammenhang zwischen Stromdichte und elektrischem
Feld werden nun folgende Größen eingesetzt:
e
⋅B =Ω
(Ω: Gyrationsfrequenz, vgl. Aufgabe 1);
m
K
K
K
K
Der Einheitsvektor in B -Richtung sei eB , also B = B ⋅ eB ;
Statt der Stoßzahl ν wird die mittlere Stoßzeit (zwischen 2 Stößen) einge1
führt: τ = ;
ν
Man erhält damit:
K
K
K K
j = σ ⋅ E − (Ω ⋅ τ ) ⋅ j × eB
Gl.1
K
Diese Gleichung soll nun nach j aufgelöst werden.
mit:
σ=
(
)
- 94 -
Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 14
Hierzu gibt es fertige Formeln der Tensor-Algebra. Des Verständnisses wegen wird
aber die Rechnung im folgenden für die einzelnen Komponenten durchgeführt.
K K K
Mit den Einheitsvektoren e x , e y , e z in x-, y-, z-Richtung gilt:
K K
K
K
E = ex ⋅ Ex + ey ⋅ Ey + ez ⋅ Ez
K K
K
K
B = ez ⋅ Bz
( eB = e z )
Dann wird:
K K
K K
K
K
j × eB = j × e z = e x ⋅ j y − e y ⋅ j x
Somit erhält man aus Gl.1 in Komponenten:
(
)
(
)
σ

⋅ E x − (Ω ⋅ τ) ⋅ E y
 jx =
2
(
)
+
Ω
⋅
τ
1

j x = σ ⋅ E x − (Ω ⋅ τ) ⋅ j y 
σ


⋅ (Ω ⋅ τ) ⋅ E x + E y
j y = σ ⋅ E y + (Ω ⋅ τ) ⋅ j x  Auflösung :  j y =
2
(
)
+
Ω
⋅
τ
1


jz = σ ⋅ E z

 jz = σ ⋅ E z


K
K
Man erkennt: Für B = 0 ( Ω = 0 ) ergibt sich wieder j = σ ⋅ E . Für endliches MagnetK
K
feld jedoch hat j nicht mehr die Richtung von E . Man kann daher einen Leitfähigkeitstensor definieren durch:
K
K
j = σ •E
Dann ist (vgl. Aufgabe 7, Anhang):
K K
K K
+ e x e y ⋅ (− Ω ⋅ τ ) + 0
e x e x ⋅(1)
K K
K K
σ
σ=
⋅ + e y e x ⋅ (Ω ⋅ τ) + e y e y ⋅ (1)
+ 0
2
1 + (Ω ⋅ τ)
K K
+ 0
+ 0
+ e z e z ⋅ 1 + (Ω ⋅ τ)2
Man kann auch die Tensorkomponenten folgendermaßen benennen:
σ
σ xx = σ yy =
= σ||
(„Längsleitfähigkeit“)
1 + (Ω ⋅ τ )2
σ ⋅ (Ω ⋅ τ )
(„Querleitfähigkeit“)
− σ xy = σ yx =
= σ⊥
1 + (Ω ⋅ τ )2
σ xz = σ zx = 0
σ yz = σ zy = 0
(
σ zz = σ
Man erhält dann das Schema:
j x = σ xx ⋅ E x + σ xy
)
K
(keine Beeinflussung in Richtung von B !)
⋅ Ey
+ σ xz
⋅ Ez
y
yx
x
yy
y
yz
z
z
zx
x
zy
y
zz
z
K
Zur Veranschaulichung kann man (als Spezialfall) das elektrische Feld E in die yAchse legen. Dann wird:
σ
σ ⋅ (Ω ⋅ τ )
⋅ Ey
jx = −
⋅ Ey
jy =
2
1 + (Ω ⋅ τ)
1 + (Ω ⋅ τ )2
K
K
⊥E
|| E
Man erkennt: Durch das Magnetfeld werden die Elektronen in der Weise beeinflußt,
daß die elektrische Leitfähigkeit in Richtung der elektrischen Feldstärke eine Verrin-
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Einführung in die Plasmaphysik
Übungsaufgabe 14
gerung erfährt. Gleichzeitig entsteht durch die Ablenkung der Elektronen eine QuerK
leitfähigkeit, d.h. es entsteht auch eine Stromkomponente ⊥ E .
Es ist sinnvoll, noch 2 Grenzfälle betrachten:
a) (Ω ⋅ τ ) << 1
(kleines B, großes ν )
→
jy = σ ⋅ E y
(wie im isotropen Fall)
→
b)
(Ω ⋅ τ) >> 1
→
→
Die Größe Ω ⋅ τ =
j x = −σ ⋅ (Ω ⋅ τ ) ⋅ E y (kleine Störung)
(hohes Magnetfeld!)
σ ⋅ Ey
(starke Reduzierung der Leitfähigkeit)
jy =
(Ω ⋅ τ)2
σ ⋅ Ey
Ey
n ⋅ e2 m 1
jx = −
=−
⋅ ⋅
⋅ ν ⋅ E y = −n ⋅ e ⋅
= −n ⋅ e ⋅ v x,Drift
(Ω ⋅ τ) m ⋅ ν e B z
Bz
(vgl. Aufgabe 1)
Ω
spielt eine wichtige Rolle bei der Beurteilung der Eigenschaften
ν
eines Plasmas.
Einen ähnlichen (komplexen) Leitwertstensor erhält man, wenn man sinusförmiges
E-Feld annimmt und das Trägheitsglied mitnimmt (vgl. Aufgabe 6, aber nun mit äußerem Magnetfeld). Im Zusammenhang mit den Maxwell’schen Gleichungen kann man
dann das Ausbreitungsverhalten elektromagnetischer Wellen in magnetisierten
Plasmen studieren (z.B. Ionosphäre mit Erdmagnetfeld). Man erhält dann 2 Brechungsindizes, das Medium wird doppelbrechend. Die Verhältnisse werden dann
rasch sehr kompliziert wegen der Vielzahl der auftretenden Parameter.
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