Unheimliche Bruchfamilien – die Jagd auf periodische Dezimalzahlen

Die Jagd auf periodische Dezimalzahlen
Reihe 14
S1
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Unheimliche Bruchfamilien –
die Jagd auf periodische Dezimalzahlen
I/A
Mirjam Schroers und Dr. Peter Scholl, Sankt Augustin
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I
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V
Anton, der Schlangenjäger
Klasse:
6
Dauer:
4–5 Stunden
Inhalt:
Periodische Dezimalzahlen und die zugehörigen Brüche; Rechenoperationen, die
die Periode entfernen
Ihr Plus: Einbettung in einen motivierenden
Kontext (kurze Geschichte)
Legen Sie sich mit Anton, dem Schlangenjäger, auf die Lauer! Die kleine Geschichte
motiviert die Schüler, sich mit periodischen Dezimalzahlen auseinanderzusetzen. Diese
Zahlen sind im Lehrplan fest verankert. Lassen Sie die Schüler die periodischen Dezimalzahlen in Brüche umwandeln. Wie das geht, zeigen wir. Die Aufgaben führen zu einem
sicheren Verständnis von Zahldarstellungen. Der Aufbau der Zahlsysteme wird klar.
Mit 21 Tipp- und Lösungskarten
auf CD-ROM 47!
72 RAAbits Mathematik September 2012
Die Jagd auf periodische Dezimalzahlen
Reihe 14
S2
Verlauf
Material
LEK
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Lösungen
Didaktisch-methodische Hinweise
I/A
Der Forscherdrang der Schüler wird häuig durch fehlende Sicherheit im schriftlichen
Addieren bzw. Subtrahieren stark gebremst. Die Vielzahl teilweise aufwendiger, aber vom
Prinzip her immer gleicher Rechnungen schafft da keine Abhilfe. Lassen Sie Ihre Schüler
den Taschenrechner einsetzen oder schränken Sie die zu untersuchenden Brüche stark
ein, um den Rechenaufwand gering zu halten. Wichtiger als der Erwerb von Rechenfertigkeit sind die Auseinandersetzung mit verschiedenen Zahldarstellungen und das
Erkennen von Besonderheiten, die einem das Umwandeln von periodischen Dezimalzahlen in Brüche erleichtern. Ist dieses Fundament erst einmal gelegt und das Interesse
der Schüler geweckt, so fällt das Rechentraining (z. B. mithilfe des Schulbuches) leichter.
Voraussetzungen
Die Lerngruppe beherrscht das Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen mithilfe
des Taschenrechners, den Umgang mit abbrechenden Dezimalzahlen (hier insbesondere
die Umwandlung von Brüchen in abbrechende Dezimalzahlen und umgekehrt) und das
Rechnen mit gewöhnlichen Brüchen (insbesondere Addition und Kürzen).
T
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Aufbau der Einheit
Material M 1 führt die Schlangenzahlen ein. Es verdeutlicht den Unterschied zwischen
abbrechenden Dezimalzahlen (Schlangen mit erkennbarer Schwanzspitze) und periodischen Dezimalzahlen (unendlich langen Schlangen, die keine erkennbare Schwanzspitze
haben). Die Schüler sollen Brüche in Dezimalzahlen umwandeln. Die hierzu erforderlichen Rechnungen lassen Sie sie am besten arbeitsteilig in Partnerarbeit durchführen. Zur
Lösungskontrolle setzen die Schüler den Taschenrechner ein. Auch eine Musterlösung in
Form von Lösungskärtchen am Lehrerpult (Vorlagen auf CD-ROM 47) ist hilfreich.
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A
R
O
Lassen Sie die Schüler das Material zusammen mit M 2 in einer Doppelstunde bearbeiten, wobei beim Übergang von M 1 zu M 2 eine kurze Sicherung der Beobachtungen
stehen sollte, bei der Sie auch die Schreibweise mit Periodenstrich als Technik zur
Abkürzung einführen. Eine Diskussion über die Vermutungen der Schüler, wann eine
Zahl zu einer Schlange mit Schwanzende gehört und wann nicht, bietet sich hier an. Eine
vollständige Lösung, etwa dass gekürzte Brüche, deren Nenner nur die Primfaktoren 2
und 5 enthalten, eine abbrechende Dezimaldarstellung haben, ist an dieser Stelle nicht
zu erwarten und wird auch im späteren Material nicht gebraucht. Bei guten Klassen
geben Sie ergänzend den Auftrag, die Brüche systematisch zu untersuchen, also z. B.
alle Brüche mit gleichem Nenner, mit Primzahlen als Nenner oder mit Nennern, die nur
die Primfaktoren 2 und 5 haben.
V
M 2 macht mit der Schlangenjagd vertraut, die vornehmlich auf der Addition oder
Subtraktion von Zahlen basiert. Zunächst diskutieren wir das Problem des unendlichen
Auftretens der 9 am Ende einer Dezimalzahl. Die Schüler entdecken, dass 0,9999999…
gleich 1 ist. Sie wenden dieses Wissen bei der Addition nicht abbrechender Dezimalzahlen an. M 2 eignet sich für Partnerarbeit. Die Schüler sollen die Rechnungen im Heft
ausführen (beispielsweise in Form eines kleinen Jagdtagebuchs). Um das Verständnis
zu vertiefen, verfassen die Schüler hierbei kleine Texte, die die Erkenntnisse greifbarer
machen und sie auch nachhaltiger verankern. Das Material beinhaltet eine kurze Passage
aus dem Buch Der Zahlenteufel. Lesen Sie einige Seiten aus dem Buch vor. Dies macht
den Schülern viel Freude. Das Buch ist eine lohnende Anschaffung – auch für den
Fachbereich. Das Material zur Subtraktion von Schlangenzahlen (M 3) nutzen Sie als
Zusatzaufgabe für schnelle Schüler. Dieses Wissen ist für die Bearbeitung der folgenden
Aufgaben nicht erforderlich.
Nachdem in M 2 einige konkrete Zahlenbeispiele untersucht worden sind, wird die
Betrachtung in M 4 wieder systematischer. Angeregt durch die Beobachtung einer
Schlangenverwandlung untersucht Anton die Brüche, deren Nenner nur aus den Ziffern
72 RAAbits Mathematik September 2012
Die Jagd auf periodische Dezimalzahlen
Reihe 14
S3
Verlauf
Material
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Lösungen
9 und 0 bestehen. Dies ist aufgrund der Vielzahl der Brüche mit einigem Rechenaufwand
verbunden. Hier können Sie Ihren Schülern eine Lösungskarte (siehe CD-ROM 47)
anbieten, wenn sie zwei Brüche einer jeden Reihe berechnet und vielleicht schon eine
Vermutung haben. Auch ein Taschenrechner ist hilfreich. Eine individuelle Förderung
besonders guter oder kreativer Schüler erreichen Sie mit Aufgabenteil e), der für die
folgenden Aufgaben nicht erforderlich ist. Auch der Auftrag, Brüche zu betrachten, deren
Zähler mehr Stellen haben, als Neuner im Nenner stehen, dient diesem Ziel.
Mit M 5 vertiefen Sie die Addition von nicht abbrechenden Dezimalzahlen zur Bestimmung des zugehörigen Bruchs. Bei Aufgabenteil a) fällt es einigen Schülern gewöhnlich schwer, die Idee zu erkennen. Teilen Sie dann eine Tippkarte (siehe CD-ROM 47)
mit der Rechnung oder Lösung aus. Bei Aufgabenteil b) gibt es mehrere Lösungen. Bei
einem möglichen Fehlversuch im ersten Anlauf arbeiten die Schüler im Heft weiter. Der
erhaltene Bruch sollte dann als Probe mittels Division wieder in eine Dezimalzahl umgewandelt werden (evtl. mit Taschenrechner, da die Zahlen große Nenner haben). Voraussetzung für die erfolgreiche Bewältigung dieses Materials ist die Kenntnis der Tatsache,
dass 0,99999… gleich 1 ist (vgl. M 2). Wiederholen Sie dies zu Beginn der Stunde. Dieses
Arbeitsblatt ermöglicht durch eine enge Führung allen Schülern eine erfolgreiche Bearbeitung der Aufgaben. Alle Schüler müssten Ergebnisse erreichen. Nötigenfalls stellen
Sie die Lösungen zur Verfügung.
I/A
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C
Zum Abschluss und zur nachhaltigen Sicherung des Wissens nehmen die Schüler eine
Übersichtsperspektive ein. Mithilfe von M 6 erstellen sie ein Buddybook, das die entscheidenden Techniken beim Rechnen mit periodischen Dezimalzahlen enthält. Bringen Sie
ein bereits fertig gefaltetes Buddybook in den Unterricht mit, um den Schülern die Falttechnik zu erklären.
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Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz
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Allg. mathematische
Kompetenz
V
Leitidee
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Die Schüler …
Anforderungsbereich
K 2, K 3, K 4
L1
… entnehmen relevante mathematische
Information aus Texten und geben diese
mit eigenen Worten und geeigneten
Fachbegriffen wieder (M 1–M 5),
I, II
K 4, K 5
L1
… deuten Dezimalzahlen als eine andere
Darstellungsform für Brüche (M 1–M 5),
II
K 1, K 4, K 5
L1
… unterscheiden periodische und nicht
periodische Dezimalzahlen (M 1),
II, III
K5
L1
… führen mit Brüchen und Dezimalzahlen
Grundrechenarten (im Kopf oder schriftlich im Heft) durch (M 1–M 5),
I, II
K 1, K 4, K 5
L1
… ermitteln und beschreiben Zusammenhänge zwischen dem Nenner eines
Bruches und den Nachkommastellen der
zugehörigen Dezimalzahl (M 4),
II, III
K 1–K 6
L1
… entwickeln und verwenden Strategien
zur Umwandlung von Brüchen in (periodische) Dezimalzahlen und umgekehrt
(M 2, M 5),
III
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I/A
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LEK
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Inhaltsbezogene Kompetenzen
Lösungen
Allg. mathematische
Kompetenz
Leitidee
Anforderungsbereich
K 1–K 6
L1
… wenden diese auf eigene Beispiele an
(M 2, M 5),
III
K6
L1
… dokumentieren, präsentieren und
vergleichen ihre Überlegungen,
Lösungswege und Ergebnisse und überprüfen sie auf Richtigkeit (M 6).
II, III
Die Schüler …
Abkürzungen
Kompetenzen
K 1 (Mathematisch argumentieren); K 2 (Probleme mathematisch lösen); K 3 (Mathematisch modellieren); K 4 (Mathematische Darstellungen verwenden); K 5 (Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen); K 6 (Kommunizieren)
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Leitideen
L 1 (Zahl und Zahlbereich); L 2 (Messen und Größen); L 3 (Raum und Form); L 4 (Funktionaler Zusammenhang); L 5 (Daten und Zufall)
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Anforderungsbereiche
I Reproduzieren; II Zusammenhänge herstellen; III Verallgemeinern und Relektieren
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Auf einen Blick
Material
V
M 1
Thema
Verschiedene Arten von Dezimalzahlen entdecken
Stunde
1.
Brüche in Dezimalzahlen umwandeln; zwischen abbrechenden
und periodischen Dezimalzahlen unterscheiden
Die Schlangenfamilie
Illustration zu Material M 1
M 2
Wie Anton zum Schlangenjäger wurde – Ziffernschlangen
addieren
2.
Periodische Dezimalzahlen addieren
M 3
Such dir einen Partner! – Ziffernschlangen subtrahieren
Periodische Dezimalzahlen voneinander subtrahieren
M 4
Nächtliche Entdeckung – Brüche mit bestimmten Nennern
3.
Zahlenreihen untersuchen; einen Zusammenhang zwischen
dem Nenner eines Bruches und den Nachkommastellen inden
M5
Geheime Tricks – Ziffern, die sich nicht wiederholen
4.
Ein Verfahren entdecken, mit dem sich auch gemischtperiodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln lassen
M 6
Eine kleine Jagdanleitung – wir erstellen ein Buddybook
Eine Anleitung erstellen, wie Schlangenzahlen zu jagen sind
72 RAAbits Mathematik September 2012
5.
Die Jagd auf periodische Dezimalzahlen
Reihe 14
M1
Verlauf
Material
S1
LEK
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Lösungen
Verschiedene Arten von Dezimalzahlen entdecken
Hier untersuchst du Brüche. Dabei wirst du verschiedene Arten von Dezimalzahlen
entdecken, sogenannte abbrechende Dezimalzahlen und periodische Dezimalzahlen.
I/A
Merke
Jeder Bruch kann als Divisionsaufgabe geschrieben werden.
Beispiel:
Der Bruch
3
ist das Ergebnis der Division 3 : 4.
4
Dezimalzahlen
Tippst du die Divisionsaufgabe in deinen Taschenrechner ein, so erhältst du eine Zahl
mit Komma (hier: 0,75). Ein anderes Wort für Zahl mit Komma ist Dezimalzahl.
T
H
C
Aufgabe
Auf der folgenden Seite siehst du acht schlangenförmige Monster.
Die Monster sind schon einmal eingefangen und mit Bruchzahlen markiert worden. Diese
Bruchzahlen kannst du deutlich auf der Haut der Schlangen erkennen. Doch inzwischen
sind die Monster wieder frei und treiben im kleinen Städtchen Rational ihr Unwesen.
I
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Du siehst auch, wo sich jede der Schlangen bevorzugt aufhält.
a) Schreibe auf den Lieblingsort der jeweiligen Schlange die Dezimalzahl, die dem Bruch,
mit dem die Schlange markiert ist, entspricht.
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b) Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede zwischen den einzelnen Schlangen bzw.
den Zahlen, die sie kennzeichnen, kannst du erkennen?
Formuliere deine Erkenntnisse möglichst genau.
V
Bei vier Monstern ist auch der Schwanz auf dem Bild abgebildet. Die anderen vier
Monster scheinen unendlich lange Körper zu haben. Das Ende dieser Körper ist auf
dem Bild nicht sichtbar.
c) Suche nach weiteren Zahlen, die du durch einen Bruch darstellen kannst. Berechne
auch hier die zugehörige Dezimalzahl. Zeichne entsprechende Schlangen. Welche
deiner Schlangen haben ein Ende, welche sind unendlich lang?
Merke
Mathematiker unterteilen die aus Brüchen entstehenden Dezimalzahlen in zwei Kategorien:
– die abbrechenden Dezimalzahlen, bei denen die Division irgendwann abbricht
(hier: Schlangen mit Schwanz), und
– die periodischen Dezimalzahlen (hier: unendlich lange Schlangen).
Für Experten
Hast du eine Vermutung, wann ein Bruch – als Dezimalzahl geschrieben – zu einem
bestimmten Schlangentyp gehört, d. h., wann er abbricht und wann nicht?
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Die Jagd auf periodische Dezimalzahlen
Reihe 14
Verlauf
Material
S2
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Lösungen
Die Schlangenfamilie
I/A
Das kleine Städtchen Rational ist von schlangenförmigen Monstern heimgesucht worden.
Sie sitzen in jeder Nische. Jede Schlange besitzt ihr eigenes Nest, z. B. ein Ofenrohr.
1
2
1
13
Ende der Schlange nicht sichtbar
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7
9
3
8
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Ende der Schlange nicht sichtbar
V
6
25
2
3
Ende der
Schlange
nicht
sichtbar
1
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Ende der Schlange nicht sichtbar
72 RAAbits Mathematik September 2012
4
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Die Jagd auf periodische Dezimalzahlen
Reihe 14
M4
Verlauf
Material
S5
LEK
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Lösungen
Nächtliche Entdeckung –
Brüche mit bestimmten Nennern
I/A
In den darauffolgenden Nächten klettert Anton regelmäßig
aus seinem Bett, um die Schlangen vor seinem Zimmerfenster zu beobachten. Er macht eine atemberaubende
Entdeckung:
Die Schlangen können sich in Brüche verwandeln!
Er erhascht einen Blick auf
2
.
99
129
Eine zweite Schlangenzahl hat sich in
,
999
6
eine dritte in
verwandelt.
900
T
H
C
Bei den Nennern kann Anton nur Kombinationen von Neunen und Nullen erkennen. Die
Zähler sind bunt durchmischt.
Mysteriös … Oder nicht?
I
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Aufgabe
Betrachte die folgenden drei Reihen
von Brüchen.
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R
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(1)
(2)
V
(3)
1 1
1
;
;
; …
9 99 999
1 1
1
;
;
; …
9 90 900
1
1
1
;
;
; …
90 990 9990
a)
Führe die einzelnen Reihen fort.
b)
Wie sehen die zugehörigen
Schlangenzahlen aus?
Wandle die einzelnen Brüche in Dezimalzahlen um.
c) Was fällt dir dabei auf?
Beschreibe für jede der Reihen, welcher Zusammenhang zwischen dem Nenner des
Bruches und den Nachkommastellen der entsprechenden Dezimalzahl besteht.
d) Gib ohne weitere Rechnung die Schlangenzahlen (= Dezimalzahlen) an, die zu den
Brüchen gehören, die Anton in seinem Vorgarten gesehen hat.
Überlege dir drei weitere Brüche, die sich ebenso schnell umwandeln lassen wie die
vor Antons Fenster.
e) Ändere in den obigen Reihen die Zähler ab. Kann man die entstehenden Zahlen alle
so schnell umwandeln? Warum/Warum nicht? Passe die Zahlen entsprechend an.
Betrachte den Bruch
87
.
9
72 RAAbits Mathematik September 2012
Die Jagd auf periodische Dezimalzahlen
Reihe 14
M6
Verlauf
Material
S7
LEK
Glossar
Lösungen
Eine kleine Jagdanleitung –
wir erstellen ein Buddybook
I/A
Anton hat sich Gedanken gemacht. Er hat verschiedene Techniken entwickelt, um den
Schlangenzahlen zu Leibe zu rücken. All dieses Wissen möchte er nicht vergessen.
Deshalb erstellt er ein kleines Büchlein aus einem DIN-A4-Blatt, ein sogenanntes Buddybook.
Faltanleitung
Falte das Blatt entlang der längeren Mittellinie. Ziehe die Faltlinie
mit dem Fingernagel nach, um einen deutlichen Knick zu erhalten,
und falte das Blatt dann wieder auseinander.
Falte das Blatt entlang der kürzeren Mittellinie. Falte es wieder
auseinander und wiederhole das Ganze zur anderen Seite (also nach
hinten). Falte es nicht wieder auseinander.
T
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C
Falte dann entlang der nun längeren Mittellinie und ziehe diese
Knickfalte deutlich mit dem Fingernagel nach.
I
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Falte das Blatt auseinander. Nun sollten alle im rechten Bild gestrichelten Linien als Knickfalte auf dem Blatt zu erkennen sein.
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Das Blatt hat nun 8 Felder.
Falte das Blatt nun wieder entlang der kürzeren Mittellinie und reiße
es von der geschlossenen Kante her an der Mittellinie bis zur ersten
Querfalz ein.
V
Wenn du nun das Blatt wieder auseinanderfaltest und entlang der
langen Mittellinie faltest, kannst du es an den beiden gegenüberliegenden, rechts markierten Knickfalten (Doppelstrich) auseinanderziehen und zu einem Buddybook zusammenlegen.
Erstelle eine kleine Jagdanleitung. Schreibe alle wichtigen Erkenntnisse, die du während
der Beschäftigung mit den Schlangenzahlen gewonnen hast, in das Buddybook.
Versieh dein Buch auch mit einer ansprechenden Titelseite.
Aufgabe für Experten: Nur ein geübter Jäger ist erfolgreich!
Überlege dir einige Schlangenzahlen, die dein Partner jagen soll. Denn nur ein gut
geübter Jäger ist bei der Jagd erfolgreich.
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Die Jagd auf periodische Dezimalzahlen
Reihe 14
Verlauf
Lösungen und
W
Material
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Glossar
Lösungen
S1
Tipps zum Einsatz
I/A
M1
a)
Verschiedene Arten von Dezimalzahlen entdecken
1
= 0,5
2
1
= 0,076923
13
7
= 0, 7
9
3
= 0, 375
8
6
= 0,24
25
2
= 0,6
3
1
= 0,142857
7
4
= 0,8
5
b) Bei einigen Schlangen sind die Divisionen nach einer endlichen Anzahl von Schritten
beendet. Bei anderen enden sie nicht. Bei diesen unendlichen Dezimalzahlen wiederholt sich eine bestimmte Ziffer bzw. Ziffernfolge immer wieder.
Die Schlangen mit Schwanz gehören zu den Brüchen, bei denen die Division irgendwann endet. Bei den Schlangen, die über den Rand hinausgehen, endet die Division
nicht. Hier hat die zugehörige Dezimalzahl unendlich viele Nachkommastellen. Daher
hat die entsprechende Schlange auch kein Ende.
T
H
C
c) Individuelle Lösungen.
I
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Für Experten
Der Nenner des Bruches ist ausschlaggebend: Kommen im Nenner nur die Primfaktoren
2 und 5 vor, so bricht die zu diesem Bruch gehörige Dezimalzahl ab. Kommen im Nenner
auch andere Faktoren vor, so ist die zugehörige Dezimalzahl periodisch.
A
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M 2 Wie Anton zum Schlangenjäger wurde –
Ziffernschlangen addieren
V
a) Die Addition von 0,222222 und 0,777777 ergibt:
+
b)
0
,
2
2
2
2
2
2
0
,
7
7
7
7
7
7
0
,
9
9
9
9
9
9
7 2 9
+ = =1
9 9 9
c) Die Zahl 0,99999… geht immer weiter. Man schreibt 0,9 und sagt „null Komma neun
9
Periode“. Diese Zahl ist gleich dem Bruch
und entspricht daher der Zahl 1 (den
9
Bruch kürzen!). Die beiden Schlangen haben sich also wirklich addiert und diese Addition ergibt die Zahl 1.
d)
4
= 4 : 90 = 0,044444... = 0,04
90
e) Die Addition von 0,55555… und 0,04444… ergibt:
+
72 RAAbits Mathematik September 2012
0
,
5
5
5
5
5
5
0
,
0
4
4
4
4
4
0
,
5
9
9
9
9
9