Mathematik für Klasse 6 Rechnen mit Dezimalzahlen - Mathe-CD

Mathematik für Klasse 6
Rechnen mit Dezimalzahlen
16 Trainingseinheiten zum Unterricht
Dazu gehört auch eine Einführung
in die Anfänge der Prozentrechnung.
Datei Nr. 10310
Friedrich W. Buckel
Stand:
Stand 28. März 2008
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
Wichtiges Vorwort
Dieses Manuskript für die Klassenstufe 6 hat folgende Konzeption:
Die Zielgruppe sind in erster Linie die Eltern, die ihren Kindern helfen wollen, sowie
Schüler der Klasse 6 selbst, was jedoch problematisch ist, weil die Abstraktionsfähigkeit in diesem Alter noch nicht sehr weit entwickelt ist. Dementsprechend fällt es
Kindern der Klasse 6 noch schwer, einen mathematischen Text alleine zu lesen und
so den Gedankengängen zu folgen.
Daher verzichte ich weitgehend auf Herleitungen, die bestimmte Methoden oder
Tatsachen begründen oder erklären sollen. Diese wären für den Lehrer wichtiger,
und sie gehören in den Unterricht, damit die Kinder auch lernen, solchen
Überlegungen zu folgen.
Daher liefere ich hier zu wichtigen Themen die Berechnungsmethoden in so
genannten Trainingseinheiten und zeige an Musterbeispielen, wie man bestimmte
Aufgaben löst und (was sehr wichtig ist) wie man den Lösungsweg darstellt.
Die Prozentrechnung wurde nicht komplett besprochen. Die Aufgaben, den
Prozentsatz zu berechnen fehlen beispielsweise. In Klassenstufe 7 wird dieses
Thema ausführlich behandelt. Dann steht auch der Taschenrechner zur Verfügung,
den man dabei eigentlich haben sollte.
Die ausführliche Prozentrechnung kann man im Text mit der Nummer 10551
nachlesen.
Friedrich Buckel
Inhalt
1. Training: Zahlen durch Zehnerpotenzen teilen
bzw. mit Zehnerpotenzen multiplizieren
1
2. Training: Dezimalzahlen addieren
6
3. Training: Dezimalzahlen subtrahieren
7
4. Training: Schwierige Subtraktionsaufgaben
9
5. Training: Klammeraufgaben lösen
10
6. Training: Multiplikation von Dezimalzahlen
12
7. Training: Periodische Dezimalzahlen
15
8. Training: Periodische Dezimalzahlen in Brüche
umrechnen
19
9. Training: Periodische Dezimalzahlen mit Vorziffer
in Brüche umrechnen
21
10. Training: Division durch eine natürliche Zahl
23
11. Training: Division durch eine Dezimalzahl
25
12. Training: Alle Kommaregeln im Überblick
28
13. Training: Brüche und Dezimalzahlen gemischt
31
14. Bruchteile von Größen
32
15. Training: Textaufgaben
38
16. Training: Einfaches Prozentrechnen
44
17. Training: Anwendung der Prozentrechnung:
Zunahme und Abnahme
47
Lösung aller Aufgaben
Seite 54 - 74
10310 Klasse 6
Dezimalzahlen - Lösungen
1. Training: Zahlen durch Zehnerpotenzen teilen
oder multiplizieren
Dies ist Lesestoff mit Erklärungen zur Einführung der Dezimalzahlen.
Dezimalzahlen sind Brüche in anderer Schreibweise.
Merke:
Statt
1
10
schreibt man auch 0,1
Statt
1
100
schreibt man auch 0,01
Statt
1
1000
schreibt man auch 0,001.
Dahinter steckt die Tatsache, dass Brüche Divisionsaufgaben sind:
71
Etwa 103 = 3 : 10 und 100
= 71: 100 .
Wer diese Schreibweise mit dem Komma besser verstehen will, sollte diese Reihe
von Divisionen ansehen:
3000 : 10 = 300
300 : 10 = 30
30 : 10 = 3
3 : 10 = 0,3
Bei Division durch 10 rückt die 3 immer weiter nach
rechts und dann hinter das Komma.
Man kann auch sagen: Das Komme rückt immer
weiter nach links.
Schematisch sieht das so aus:
:10
3000 ⎯⎯⎯
→ 300 | 0H
:10
300 ⎯⎯⎯
→ 30 | 0H
:10
→ 3 | 0H
30 ⎯⎯⎯
:10
3 ⎯⎯⎯
→ | 3 = 0,3H
Oder diese:
7100 : 10 = 710
710 : 10 = 71
71: 10 = 7,1
Bei Division durch 10 rückt die 1 immer weiter
nach rechts und dann hinter das Komma bzw.
das Komma rückt jeweils um 1 Stelle nach links.
:10
7100 ⎯⎯⎯
→ 710 | 0
:10
710 ⎯⎯⎯
→ 71| 0
:10
71 ⎯⎯⎯
→ 7 | 1 = 7,1
Dividiert man durch 100, rückt das Komma immer gleich um 2 Stellen nach links:
3000
100
30
100
Oder
= 3000 : 100 = 30
=
30 : 100 = 0,30
:100
3000 ⎯⎯
⎯
→ 30 | 00
HJJ
:100
30 ⎯⎯
⎯
→ 0 | 30
HJJ = 0,30
:100
7100 ⎯⎯⎯
→ 71| 00
HJJ
:100
71 ⎯⎯⎯
→ 0 | 71
HJJ = 0,71
1
10310 Klasse 6
Dezimalzahlen - Lösungen
2
Schaue dazu diese Divisionen an:
:1000
205.000 ⎯⎯
⎯→ 205 | 000
HJJJJ
:1000
205 ⎯⎯
⎯→ | 205
HJJJJ = 0,205
205
1000
Also gilt
= 0,205 .
Wir untersuchen jetzt die Bedeutung der Zahl 4,5:
Man kann 4,5 als gemischten Bruch darstellen:
Oder:
9,4 = 9 104 =
Oder:
14,6 = 14 106 =
Oder:
7,0 = 7 100 = 7
4,5 = 4 105 =
45
10
94
10
146
10
Daraus kann man folgendes lernen:
1.
Man kann eine ganze Zahl mit „Komma 0“ schreiben, etwa
4 = 4,0 , 13 = 13,0 usw.
2.
Dividiert man eine ganze Zahl, die keine Zehnerzahl ist (also am Ende keine 0
hat) durch 10, dann rückt das Komma um eine Stelle nach links:
45
10
= 45 : 10 = 45,0 : 10 = 4,5H | 0 = 4,5
94
10
= 94,0 : 10 = 9,4
usw.
Dividiert man durch 100, rückt das Komma um 2 Stellen nach links:
45
100
= 45 : 100 = 45,0 : 100 = 0,45
HJJ |= 0,45
173
100
= 173,0 : 100 = 1,73 .
Dazu noch mehr Beispiele:
236 : 10 = 23,6
236 : 100 = 2,36
236 : 1000 = 0,236
1427 :
10 = 142,7
1427 : 100 = 14,27
1427 : 1000 = 1,427
1427 : 10000 = 0,1427
32700 :
10 = 3270, 0H | = 3270
32700 :
100 = 327, 00
HJJ | = 327
32700 :
1000 = 32,7
00
HJJJJ | = 32,7
00
32700 : 10.000 = 3,27
HJJJJ
JJ | = 3,27
32700 : 100.000 = 0,327
00J | = 0,327
HJJJJJJ
Hier rückt das Komma immer um so viele Stellen nach
links, wie der Divisor (10, 100, 1000 usw.) Nullen hat.
Nullen, die hinter dem Komma am Ende stehen, kann
man weglassen. Diese habe ich blau markiert.
Warum das so ist, zeige ich auf der nächsten Seite.
10310 Klasse 6
Dezimalzahlen - Lösungen
3
Das Weglassen von End-Nullen entspricht dem Kürzen bei Brüchen:
= 0,30
Weil aber
30
100
und 103 = 0,3
30
= 103 ist, gilt auch 0,30 = 0,3 !!!
100
Noch ein Beispiel:
31
= 0,310 und 10
= 0,31.
310
31
Weil aber 1000
= 10
ist, gilt auch 0,310 = 0,31 .
310
1000
Also darf man hinter dem Komma an der letzten Stelle Nullen weglassen oder
auch anfügen, wenn man sie benötigt.
4,1 = 4,10 = 4,100 = 4,1000 usw.
31,5 = 31,50 = 31,500 usw.
145,800 = 145,80 = 145,8
0,003500 = 0,00350 = 0,0035
Die Nullen links von der 3 müssen stehen bleiben,
denn 0,35 ist nicht dasselbe wie 0,0035:
0,35 =
35
100
aber 0,0035 =
35
10000
.
Beispiele zur Kommaverschiebung bei Multiplikation mit Zehnerpotenzen
a)
2,357 ⋅ 10 = 2 | 3,57
= 23,57
G
G
Bei dieser Multiplikation mit 10 wird das Komma um 1 Stelle nach rechts
verschoben. Wenn man wissen will warum, dann muss man die Dezimalzahl
als Bruch schreiben:
357
2,357 ⋅ 10 = 2 1000
⋅ 10 =
2357⋅ 10
100 0
=
2357
100
Rest auf CD
57
= 23 100
= 23,57