die rationalen zahlen

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang
Arbeitsblatt 4
1. Semester
ARBEITSBLATT 4
DIE RATIONALEN ZAHLEN
1) Einleitung
Wie wir schon bei der Erweiterung von der Menge der natürlichen Zahlen auf
die Menge der ganzen Zahlen gesehen haben, ist es ein Ziel der Mathematik,
innerhalb eines Zahlenbereiches alle Rechenoperationen vollständig
ausführen zu können.
Hier ergibt sich aber nun ein neues Problem: Man kann z.B. 6 : 4 in Z nicht
lösen.
Folglich müssen wir uns also neue Zahlen einfallen lassen.
Wie Ihnen sicher bekannt ist, gibt es zur Lösung des obigen Problems zwei
Schreibweisen:
6
1. Bruchschreibweise: 6 : 4 =
4
Der Bruchstrich ist hier gleichbedeutend mit dem Divisionszeichen. Es wird
hier also eigentlich gar nichts „gerechnet“.
2. Dezimalschreibweise: 6 : 4 = 1,5
Die Zahlen werden ausdividiert und das Ergebnis in unserem dezimalen
Zahlensystem angegeben.
Definition: Alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, sind rationale
Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen wird abgekürzt mit Q.
Folgende Zahlen lassen sich als Bruch darstellen:
a) Alle ganzen Zahlen z.B.: 5; -3
b) Alle endlich langen Dezimalzahlen z.B.: 2,5; 4,03
c) Alle periodischen Dezimalzahlen z.B.: 0,33333...... ; 5,203203.....; 3,4121212....
(Die Punkte bedeuten, dass die Ziffern in der selben Ordnung unendlich
lange weitergehen)
2. Schreibweise periodischer Zahlen
Beispiel: 3,5555.....
5 ist hier die periodische Ziffer. Zur Kennzeichnung wird einfach ein Punkt
über den 5er gesetzt.
•
3,55555...... = 3, 5
Beispiel: 0,123123123.....
1
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1. Semester
Hier werden mehrere Ziffern immer wieder wiederholt. Zur
Kennzeichnung setzt man einen Punkt über die erste periodische Ziffer
und einen Punkt über die letzte periodische Ziffer.
•
•
0,123123..... = 0,12 3
Beispiel: 2,4080808......
Es können nach dem Komma zunächst einmal auch beliebig viele
nichtperiodische Ziffern auftauchen, bevor periodische Ziffern
erscheinen. Auch hier wird auf die erste und auf die letzte periodische
Ziffer ein Punkt gesetzt.
• •
2,4080808... = 2,4 08
Übungen: Übungsblatt 4, Aufgaben 58 - 59
3. Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen und umgekehrt
a) Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen
2
=
5
2
Um
in eine Dezimalzahl umzuwandeln müssen wir uns lediglich
5
bewusst sein, daß der Bruchstrich gleichbedeutend mit dem
Divisionszeichen ist:
2
= 2 : 5 = 0,4
5
Beispiel:
Übungen: Übungsblatt 4; Aufgabe 60
b) Umwandlung ganzer Zahlen in Brüche
Beispiel: -3 =
Wir müssen lediglich wissen, dass man jede Zahl durch 1 dividieren
kann, ohne ihren Wert zu verändern:
3
−3 = ( −3):1= −
1
Übungen: Übungsblatt 4; Aufgabe 61
c) Umwandlung endlicher Dezimalzahlen in Brüche
2
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Um Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, müssen wir uns lediglich der
Bedeutung dieser Schreibweise bewusst werden. Jede Ziffer hat in dieser
Schreibweise einen zugeordneten Wert. Man spricht vom sogenannten
Stellenwert.
3
6
2 3
Tausender Hunderter Zehner Einer
Ein 6er an der Hunderterstelle bedeutet, dass dieser Ziffer der Wert 600
zugeordnet ist.
Man spricht bei diesem Zahlensystem vom dekadischen Zahlensystem, da
man von einem Stellenwert zum anderen die Ziffer mit 10 multiplizieren muss.
Dieses System wird nun auch nach unten, also hinter das Komma fortgesetzt,
wobei wir nun nicht mehr mit 10 multiplizieren, sondern durch 10 dividieren:
4 , 3
2
6
8
Einer zehntel hundertel tausendstel zehntausendstel
Beispiel: 0,3 =
Um diese Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, müssen wir lediglich
feststellen, welcher Stellenwert der kleinsten Zahl zugeordnet wird. Bei
uns steht die 3 auf den „zehntel“. Wir haben also 3 Zehntel, in
3
.
Bruchschreibweise
10
Dies funktioniert natürlich auch, wenn die Dezimalzahl aus mehreren
Ziffern besteht.
Beispiel: 4,205 =
Der 5er steht an der „Tausendstelstelle“. Folglich haben wir 4205
Tausendstel. Es ergibt sich also:
4205
4,205 =
1000
Übungen: Übungsblatt 4, Aufgabe 62
d) Umwandlung periodischer Dezimalzahlen in Brüche
Vorweg sei erwähnt, daß das folgende Rechenschema in seiner Bedeutung
noch nicht ganz verstanden werden kann (Leider!). In einem Semester
werden Sie die dahintersteckende Logik aber bereits erfassen können.
•
Beispiel: 0,34 =
Wir wollen diese Zahl in einen Bruch umwandeln. Da wir diesen noch
nicht kennen, nennen wir ihn zunächst einmal x.
1. Rechenschritt: Multiplizieren sie die obige Zahl so, dass die
periodischen Zahlen einmal vor dem Komma stehen. Die Zahl soll also
•
folgendermaßen aussehen: 34, 4 .
3
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Wie Sie sehen haben wir das Komma um 2 Stellen verschieben müssen,
wir haben die Zahl also mit 100 multiplizieren müssen. Wenn die
ursprüngliche Zahl aber dem Bruch x entspricht, so muss das 100-fache
dieser Zahl dem Bruch 100 ⋅ x entsprechen. Es gilt also:
•
=
100 ⋅ x
34, 4
•
2. Rechenschritt: Multipliziere die ursprüngliche Zahl 0,34 so, dass die
periodischen Zahlen direkt hinter dem Komma beginnen. Die Zahl soll
•
also so aussehen: 3, 4
Wenn Sie die beiden Zahlen vergleichen fällt Ihnen auf, dass das
Komma um eine Stelle verschoben wurde, die Zahl also mit 10
multipliziert wurde. Es muss also gelten:
•
=
10 ⋅ x
3, 4
Die
Ergebnisse
der
obigen
folgendermaßen untereinander:
Überlegungen
schreiben
Sie
•
100 ⋅ x
=
34, 4
10 ⋅ x
=
3, 4
•
3. Rechenschritt: Nun subtrahieren wir die zweite Zeile von der ersten
Zeile. Dies ist erlaubt, weil wir in der Mathematik immer den
Wahrheitsgehalt einer Aussage untersuchen. Eine Aussage kann also
nur richtig oder falsch sein. Wenn wir nun aber zwei richtige Aussagen
wie
7 = 7 und
3=3
haben, so können wir die beiden Zeilen auch subtrahieren und der
Wahrheitsgehalt ändert sich nicht.
7=7 3=3
4=4
Für unsere Rechnung erhalten wir also folgendes:
-
100 ⋅ x
=
•
34, 4
-
•
10 ⋅ x
=
3, 4
90 ⋅ x
=
31
Wir wollen aber nicht 90 mal die Zahl wissen, sondern 1 mal. Ergo dividieren
wir durch 90.
90 ⋅ x
31
\ :90
=
1⋅ x
=
•
Wir erhalten also: 0,34 =
31
90
31
90
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Anmerkung: Die zu Beginn durchgeführten Multiplikationen bewirken lediglich, dass die
Dezimalzahlen bei der Subtraktion stets wegfallen.
Weitere Beispiele:
•
a) Wandle 0, 2 in einen Bruch um:
10 ⋅ x
•
Es folgt: 0, 2 =
•
=
2, 2
1⋅ x
9⋅x
=
=
0, 2
2
1⋅ x
=
2
9
•
\ :9
2
9
•
•
b) Wandle 2,3045 in einen Bruch um:
10000 ⋅ x
10 ⋅ x
9990 ⋅ x
1⋅ x
•
•
Es folgt: 2,3045 =
•
•
=
23045, 045
=
=
23, 045
23022
=
23022
9990
•
23022
9990
Übungen: Übungsblatt 4;Aufgabe 63
5
•
\:9990