A 1-3_Rationale Zahlen
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Schule Thema •Bundesgymnasium Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg • Mathematik 1 - Arbeitsblatt 1-3: 1 Rationale Zahlen • 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB Personen DIE RATIONALEN ZAHLEN 1) Einleitung Wie wir schon bei der Erweiterung von der Menge der natürlichen Zahlen auf die Menge der ganzen Zahlen gesehen haben, ist es ein Ziel der Mathematik, innerhalb eines Zahlenbereiches alle Rechenoperationen vollständig ausführen zu können. Hier ergibt sich aber nun ein neues Problem: Man kann z.B. 6 : 4 in Z nicht lösen. Folglich müssen wir uns also neue Zahlen Za einfallen lassen. Wie Ihnen sicher bekannt ist, gibt es zur Lösung des obigen Problems zwei Schreibweisen: 1. Bruchschreibweise:: 6 : 4 = 6 4 Der Bruchstrich ist hier gleichbedeutend mit dem Divisionszeichen. Divisionszeichen Es wird hier also eigentlich gar nichts „gerechnet“. 2. Dezimalschreibweise:: 6 : 4 = 1,5 Die Zahlen werden ausdividiert und das Ergebnis in unserem dezimalen Zahlensystem angegeben. Definition:: Alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, sind rationale Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen wird abgekürzt mit Q. Folgende Zahlen lassen sich als Bruch darstellen: a) Alle ganzen Zahlen z.B.: 5; -3 b) Alle endlich langen Dezimalzahlen z.B.: 2,5; 4,03 c) Alle periodischen Dezimalzahlen z.B.: 0,33333...... ; 5,203203.....; 3,4121212.... (Die Punkte bedeuten, dass die Ziffern in der selben Ordnung unendlich lange weitergehen) 2. Schreibweise periodischer Zahlen Beispiel: 3,5555..... 5 ist hier die periodische Ziffer. Zur Kennzeichnung wird einfach ein Punkt über den 5er gesetzt. 1 Schule Thema •Bundesgymnasium Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg • Mathematik 1 - Arbeitsblatt 1-3: 1 Rationale Zahlen • 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB Personen • 3,55555...... = 3, 5 Beispiel: 0,123123123..... Hier werden mehrere Ziffern immer wieder wiederholt. Zur Kennzeichnung setzt man einen Punkt über die erste periodische Ziffer und einen Punkt über die letzte periodische Ziffer. • • 0,123123..... = 0,12 3 Beispiel: 2,4080808...... Es können nach dem Komma zunächst einmal auch beliebig viele nichtperiodische Ziffern auftauchen, bevor periodische Ziffern erscheinen. Auch hier wird auf die erste und auf die letzte periodische peri Ziffer ein Punkt gesetzt. • • 8 2,4080808... = 2,4 08 Übungen:: Übungsblatt 4, Aufgaben 58 - 59 3. Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen und umgekehrt a) Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen 2 = 5 2 Um in eine Dezimalzahl umzuwandeln müssen wir uns lediglich 5 bewusst sein, daß der Bruchstrich gleichbedeutend mit dem Divisionszeichen ist: 2 = 2 : 5 = 0,4 5 Beispiel: b) Umwandlung ganzer Zahlen in Brüche 2 Schule Thema •Bundesgymnasium Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg • Mathematik 1 - Arbeitsblatt 1-3: 1 Rationale Zahlen • 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB Personen Beispiel: -3 = Wir müssen en lediglich wissen, dass man jede Zahl durch 1 dividieren kann, ohne ihren Wert zu verändern: 3 −3 = ( −3):1= − 1 Übungen:: Übungsblatt 4; Aufgabe 61 c) Umwandlung endlicher Dezimalzahlen in Brüche Um Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, müssen wir uns lediglich der Bedeutung dieser Schreibweise bewusst werden. Jede Ziffer hat in dieser Schreibweise einen zugeordneten Wert. Man spricht vom sogenannten Stellenwert. 3 6 2 3 Tausender Hunderter Zehner Einer Ein 6er an der Hunderterstelle bedeutet, dass dieser Ziffer der Wert 600 zugeordnet ist. Man spricht bei diesem Zahlensystem vom dekadischen Zahlensystem, Zahlensystem da man von einem Stellenwert zum anderen die Ziffer mit 10 multiplizieren muss. Dieses System wird nun auch nach unten, also hinter das Komma fortgesetzt, wobei wir nun nicht mehr mit 10 multiplizieren, sondern durch 10 dividieren: 4 , 3 2 6 8 Einer zehntel hundertel tausendstel tausendste zehntausendstel Beispiel: 0,3 = Um diese Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, müssen wir lediglich feststellen, welcher Stellenwert der kleinsten Zahl zugeordnet wird. Bei uns steht die 3 auf den „zehntel“. Wir haben also 3 Zehntel, in 3 Bruchschreibweise . 10 Dies funktioniert natürlich auch, wenn die Dezimalzahl aus mehreren Ziffern besteht. Beispiel: 4,205 = Der 5er steht an der „Tausendstelstelle“. Folglich haben wir 4205 Tausendstel. Es ergibt sich also: 4205 4,205 = 1000 3 Schule Thema •Bundesgymnasium Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg • Mathematik 1 - Arbeitsblatt 1-3: 1 Rationale Zahlen • 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB Personen d) Umwandlung periodischer Dezimalzahlen in Brüche Vorweg sei erwähnt, daß das folgende Rechenschema in seiner Bedeutung noch nicht ganz verstanden werden kann (Leider!). In einem Semester werden Sie die dahintersteckende Logik aber bereits erfassen können. • Beispiel: 0,34 = Wir wollen diese Zahl in einen Bruch umwandeln. Da wir diesen noch nicht kennen, nennen wir ihn zunächst einmal x. 1. Rechenschritt:: Multiplizieren sie die obige Zahl so, dass die periodischen Zahlen einmal vor dem Komma stehen. Die Zahl soll also • folgendermaßen aussehen: 34, 4 . Wie Sie sehen haben wir das Komma um 2 Stellen verschieben müssen, wir haben die Zahl also mit 100 multiplizieren müssen. Wenn die ursprüngliche Zahl aber dem Bruch x entspricht, so muss das 100-fache 100 dieser Zahl dem Bruch 100⋅ x entsprechen. Es gilt also: 100⋅ x • = 34, 4 • 2. Rechenschritt:: Multipliziere die ursprüngliche Zahl 0,,34 so, dass die periodischen Zahlen direkt hinter dem Komma beginnen. Die Zahl soll • also so aussehen: 3, 4 Wenn Sie die beiden Zahlen vergleichen fällt Ihnen auf, dass das Komma um eine Stelle verschoben wurde, die Zahl also mit 10 multipliziert wurde. Es muss also gelten: 10⋅ x • = 3, 4 Die Ergebnisse der obigen folgendermaßen untereinander: Überlegungen schreiben Sie • 100 ⋅ x = 34, 4 10 ⋅ x = 3, 4 • 3. Rechenschritt:: Nun subtrahieren wir die zweite Zeile von der ersten Zeile. Dies ist erlaubt, weil wir in der Mathematik immer den 4 Schule Thema •Bundesgymnasium Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg • Mathematik 1 - Arbeitsblatt 1-3: 1 Rationale Zahlen • 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB Personen Wahrheitsgehalt einer einer Aussage untersuchen. Eine Aussage kann also nur richtig oder falsch sein. Wenn wir nun aber zwei richtige Aussagen wie 7 = 7 und 3=3 haben, so können wir die beiden Zeilen auch subtrahieren und der Wahrheitsgehalt ändert sich nicht. 7=7 3=3 4=4 Für unsere Rechnung erhalten wir also folgendes: - • = 100 ⋅ x 34, 4 - • 10 ⋅ x = 3, 4 90⋅ x = 31 Wir wollen aber nicht 90 mal die Zahl wissen, sondern 1 mal. Ergo dividieren wir durch 90. 90 ⋅ x = 31 \ :90 31 1⋅ x = 90 • 31 Wir erhalten also: 0,34 = 90 Anmerkung:: Die zu Beginn durchgeführten Multiplikationen bewirken lediglich, dass die Dezimalzahlen bei der Subtraktion stets wegfallen. Weitere Beispiele: • a) Wandle 0, 2 in einen Bruch um: 10 ⋅ x • Es folgt: 0, 2 = • = 2, 2 1⋅ x 9⋅x = = 1⋅ x = 0, 2 2 2 9 • \ :9 2 9 • • b) Wandle 2,3045 in einen Bruch um: 5 Schule Thema •Bundesgymnasium Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg • Mathematik 1 - Arbeitsblatt 1-3: 1 Rationale Zahlen • 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB Personen 10000 ⋅ x 10 ⋅ x 9990 ⋅ x 1⋅ x • • Es folgt: 2,3045 = • • = 23045, 045 = 23, 045 23022 23022 9990 • = = 23022 9990 6 • \:9990
