A 1-7 Terme und Potenzen

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•Bundesgymnasium
Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg
• Mathematik 1 - Arbeitsblatt 1-7:
1 Terme und Potenzen
Thema
• 1F Wintersemester 2012/2013
Unterlagen: LehrerInnenteam GFB
Personen
ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN UND DIE
POTENZSCHREIBWEISE
1) VARIABLE
Beispiel: Ein Rechteck habe einen Umfang von 20 cm. Gib Länge und Breite
des Rechtecks in einer Formel an.
Lösung:
Es ist natürlich leicht erkennbar, dass es hier nicht nur eine Lösung
gibt, sondern theoretisch unendlich viele. Wir können die Lösung
deshalb nicht eindeutig (explizit)
(
) angeben, sondern können den
Zusammenhang lediglich beschreiben.
Wie berechnen wir nun den Umfang: Wäre die Länge 7cm und
die Breite 3 cm, so würden wir den Umfang folgendermaßen
berechnen: U = 2 ⋅ 7 + 2 ⋅ 3 = 20
Denselben Umfang würden wir natürlich auch mit den
Zahlenpaaren (8;2), (9;1) usw. erhalten.
Allgemein erhalten wir den Umfang eines Rechtecks aus der
Summe der doppelten Länge und
und der doppelten Breite.
Um dies allgemein ausdrücken zu können, führen wir für die
Länge und die Breite sogenannte Variable oder Platzhalter ein.
Wir nennen die Länge a und die Breite b.
b
a
Nun können wir den Zusammenhang durch folgende Formel
Form
beschreiben:
U = 2⋅a + 2⋅b
Mit Hilfe von Variablen kann man Beziehungen zwischen verschiedenen
Zahlen und Größen kurz und übersichtlich als Formel anschreiben.
Wenn man Variable durch Zahlen ersetzt, hat man zu beachten:
1
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• Dieselbe Variable darf
rf in einer Rechnung nur durch dieselbe Zahl ersetzt
werden.
• Verschiedene Variable können sowohl durch verschiedene als auch durch
dieselben Zahlen ersetzt werden (In unserem Beispiel könnte a=7 und b=3
sein; Es könnte aber auch a=5 und b=5 sein).
Beispiel: Addiert man zur einer zu bestimmenden Zahl die Zahl 38 ergibt sich
73. Bestimmen Sie die unbekannte
nbekannte Zahl.
Lösung:
x + 35 = 73
73 - 35 = 38
Die gesuchte Zahl ist 38.
Ein Junge und sein um 6 Jahre älterer Bruder sind zusammen 24 Jahr alt.
Bestimmen Sie das Alter der beiden Brüder.
Lösung:
Wir stellen uns die gegebenen Daten zunächst an einer Tabelle
dar:
Alter
Jüngerer Bruder
x
Älterer Bruder
x+6
Die Variable x ist hier also das Alter des Jüngeren. Man könnte
dies natürlich auch ändern (Versuchen Sie dies).
Nun müssen wir eine Gleichung finden. Verbal finden wir diese so:
Alter des Älteren + Alter des Jüngeren
Jüngeren = 24 Jahre
Nun setzen wir unsere mathematischen Ausdrücke ein.
x + 6 + x = 24
Intuitiv versuchen wir diese Gleichung zu lösen(Genaueres lernen
Sie später. Sollte Ihnen das Auflösen der Gleichungen noch nicht
gelingen, so ist dies kein Beinbruch).
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Rechnung
chnung
x + 6 + x = 24
2x + 6 = 24
2x = 18
Anmerkungen
1x + 1x = 2x
Wenn 2x um 6 vermehrt 24 sind, so
müssen 2x gleich 24 - 6 sein.
Wenn 2x gleich 18 sind, so muß 1x gleich
18 : 2 sein.
X=9
Nachdem das Alter des Jüngeren x ist, ist dieser also 9 Jahre alt.
Der Ältere ist x + 6 Jahre alt, also 9 + 6 = 15 Jahre.
Variable tauchen natürlich in der Mathematik ständig auf. Für uns bedeutet
dies, dass wir lernen müssen; mit diesen zu rechnen.
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2) Terme
Definition: Einen sinnvollen Rechenausdruck nennt man Term.
Solch ein sinnvoller Rechenausdruck kann aus Zahlen aber auch aus
Variablen bestehen.
Einige Beispiele:
1
0;
5− ;
(8 − 5) ⋅ 2; x; x + 3; 2 ⋅ y − 4
3
Als sinnloser Rechenausdruck ist für uns vorerst folgendes Beispiel interessant:
interessant
2
.
0
Eine Division durch 0 ist unlogisch (Warum?), es gibt folglich kein Ergebnis.
Man sagt: Die Division durch 0 ist „nicht
„
definiert“.
Merke: Division durch 0 ist nicht möglich.
Mit Termen, die nur aus Zahlen bestehen, können wir inzwischen ja schon ganz
gut umgehen. Uns interessiert nun also, wie rechnet man, wenn Variable
vorkommen?
3) Addieren und Subtrahieren einfacher Terme
Grundsätzlich kann man mit Variablen genauso rechnen wie mit Zahlen.
Za
Beispiele:
5 + 5 = 2 ⋅ 5 also muß x + x = 2 ⋅ x sein.
7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 ⋅ 7 also muß a + a + a + a + a = 5 ⋅ a sein.
Anmerkung: Statt 5⋅ x schreibt man normalerweise gerne 5x. Den Malpunkt lässt man also
einfach
h ungeschrieben. Beachte insbesondere: x bedeutet 1⋅ x .
Beispiel: 2x + 3y -x +3x -5y
5y =
Lösung:
Rechnung
2x + 3y -xx +3x -5y =
Anmerkungen
Die
x
addieren
und
subtrahieren:
2x-x-3x=4x
Die y subtrahieren: +3y-5y=-2y
4x+3y-5y=
5y=
= 4x - 2y
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Mit Brüchen lässt sich natürlich genauso arbeiten:
7x 2x
Beispiel:
−
=
3
5
Lösung:
Rechnung
Anmerkungen
Auf gemeinsamen Nenner
bringen.
Zähler subtrahieren. Nenner
bleibt gleich.
7x 2x
−
=
3
5
35x 6x
−
=
15 15
29x
=
15
Ebenfalls gilt natürlich:
• Punkt- vor Strichrechnung
• Klammern werden zuerst gerechnet.
 x 1 2x  1
Beispiel:  ⋅ −  : =
3 2 3 4
Lösung:
Rechnung
 x 1 2x  1
 ⋅ − : =
3 2 3 4
Anmerkungen
Klammer
wird
zuerst
gerechnet. In der Klammer
Kla
muss die Multiplikation zuerst
ausgeführt werden.
Brüche in der Klammer auf
gemeinsamen Nenner bringen.
 x 2x  1
 − : =
6 3  4
 x 4x  1
 − : =
6 6  4
Klammer ausrechnen.
3x 1
: =
6 4
x 1
− : =
2 4
x 4
− ⋅ =
2 1
2x
=−
= −2 x
1
Ersten Bruch kürzen durch 3.
−
Division in eine Multiplikation
umwandeln.
Vorzeichen bestimmen, kürzen
und ausmultiplizieren.
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Was tut man aber, wenn sich die Klammern nicht direkt ausrechnen
ausrechn
lassen?
Beispiel: 2x + ( 3x + 4)) =
Zur grundsätzlichen Überlegung suchen wir uns einfach ein Beispiel mit
Zahlen:
2 + (4 - 2)=4
Wie kommen wir zu diesem Ergebnis: Einerseits können wir die Klammer
zuerst ausrechnen und das Resultat zu 2 dazu addieren,
addieren, andererseits
könnten wir aber auch einfach die Klammer ignorieren: 2 + 4 - 2 = 4
Merke:: Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann diese Klammer
einfach weggelassen werden.
a + ( b + c) = a + b + c
Nun also die Lösung für unser Beispiel:
Rechnung
2x + ( 3x + 4)) =
Anmerkungen
Klammer weglassen, da ein
Plus davor steht.
x zusammenfassen
2x + 3x + 4 =
= 5x + 4
Was müssen wir aber tun, wenn ein Minus vor der Klammer steht?
Beispiel: 2x − ( 3x + 5) =
Auch dieses Problem überlegen wir uns wieder anhand von Zahlen:
3 - (6 - 2) = -1
Wir können die Klammer zuerst ausrechnen und das Ergebnis von 3
subtrahieren. Dasselbe Resultat erhalten wir aber auch, wenn wir in der
Klammer alle Vorzeichen ändern und die Klammer
Klammer weglassen:
= 3 - 6 + 2 = -1
Merke:: Steht vor einer Klammer ein Minus, so müssen beim Auflösen der
Klammer alle Vor- und Rechenzeichen in der Klammer geändert werden.
a − ( b + c) = a − b − c
a − ( b − c) = a − b + c
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Für unser Beispiel erhalten wir folgende Lösung:
nmerkungen
Rechnung
Anmerkungen
2x − ( 3x + 5) =
Klammer auflösen und alle
Vor- und Rechenzeichen in
der Klammer ändern.
x subtrahieren
2x − 3x − 5 =
= −x − 5
Zur Überprüfung, ob ein Resultat richtig ist, kann man eine Probe durchführen:
Beispiel:
eispiel: Ich verwende für die Probe unser obiges Beispiel.
Lösung:
Da wir bei der Rechnung ja nur umgeformt haben, muss die
Angabe gleich dem Ergebnis sein:
2 x − (3x + 5) = − x − 5
Nun setzen wir für x einen beliebigen Wert ein, ich wähle x=2, und
berechnen
n die linke und rechte Seite der Gleichung.
Gleichung
2 ⋅ 2 − (3 ⋅ 2 + 5) = −2 − 5
4 − ( 6 + 5) = −7
4 − 11 = −7
−7 = −7 Dies stimmt offensichtlich, man nennt dies eine „wahre
„
Aussage“.
Kommt bei der Probe eine falsche Aussage, wie 3 = 5 raus, so hat man sich
entweder in der Rechnung oder aber bei der Probe verrechnet.
Auch mit Brüchen lassen sich diese Gesetze natürlich anwenden:
Rechnung
x y  x y
− − +  =
3 2  4 3
x y x y
− − − =
3 2 4 3
4x 6 y 3x 4 y
−
− −
=
12 12 12 12
x − 10 y
=
12
Anmerkungen
Klammer auflösen. Vorzeichen
ändern.
Alles auf gemeinsamen Nenner
bringen.
x und y jeweils addieren bzw.
subtrahieren.
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Auch mehrere ineinander verschachtelte
verschachtelte Klammern können auftreten:
Rechnung
7x − 3 y − [ z − 5x − ( 2 y − z )] =
{
}
7x − { 3y − [ z − 5x − 2 y + z ]} =
7x − { 3y − [ 2z − 5x − 2 y ]} =
7x − {3 y − 2z + 5x + 2 y} =
7x − {5 y − 2z + 5x} =
7x − 5 y + 2z − 5x =
= 2x − 5 y + 2z
2
Anmerkungen
Die Klammern werden am
besten von innen nach außen
abgearbeitet. Wir lösen also
zunächst die runde Klammer
auf.
Nun können wir die z in der
eckigen
Klammer
zusammenfassen.
Nun lösen wir die eckige
Klammer auf.
In
der
geschwungenen
Klammer können wir die y
zusammenfassen.
Nun
lösen
w
wir
die
geschwungene Klammer auf.
Wir
fassen
noch
die
x
zusammen.
Merke:: Arbeite ineinander verschachtelte Klammern am besten von innen
nach außen ab.
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4) Die Potenzschreibweise
Bei der Multiplikation ergeben sich von der Schreibweise her bald Probleme.
Man möchte zum Beispiel 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 kürzer schreiben. Es werden hier 4 Dreier
miteinander multipliziert. Man schreibt dafür kurz 34 (Sprich: 3 hoch 4).
Man nennt diese vereinfachte Schreibweise die Potenzschreibweise:
Potenzschreibweise
Weitere Beispiele:
Beispiel
Sprechweise
2
7 hoch 2
7⋅ 7 = 7
7 zum Quadrat
3
4 hoch 3
4⋅ 4⋅ 4 = 4
4 zur dritten
4
4,1 hoch 4
4,1⋅ 4,1⋅ 4,1⋅ 4,1 = 4,1
4,1 zur vierten
2
x hoch 2
x⋅x = x
x Quadrat
5
z hoch 5
z⋅z⋅z⋅z⋅z = z
z zur fünften
Definition: x ⋅ x ⋅ x⋅....⋅x = x n . x n bezeichnet man als Potenz.
n-mal
Definition: Jede Potenz besteht aus:
Hochzahl (Exponent)
xn
Grundzahl (Basis)
Das bilden einer Potenz heißt Potenzieren.
9