Ubungsblatt 4 - Institut für Theoretische Physik

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Theoretische Physik I: Mathematische Methoden,
Wintersemester 2016/2017,
Prof. Dr. Dirk H. Rischke
Ausgabe des Übungsblattes: 14.11.2016
Abgabe des Übungsblattes: 25.11.2016
Übungsblatt 4
Aufgabe 4.1: Partielle Ableitungen, Gradient, Divergenz und Rotation (9 Punkte = 2 + 2 + 2 + 3)
Betrachten Sie das skalare Feld
ϕ : R3 ⊃ M3 → N1 ⊂ R , ~r 7→ ϕ(~r) = xy + yz + zx ,
und das Vektorfeld
~a : R3 ⊃ M3 → N3 ⊂ R3 , ~r 7→ ~a(~r) = x2 y~e1 + y 2 z~e2 + z 2 x~e3 .
(i) Berechnen Sie ∂x ϕ, ∂y ϕ, ∂z ϕ, ∂x2 ϕ, ∂y2 ϕ, ∂z2 ϕ, ∂x ∂y ϕ, ∂x ∂z ϕ, ∂y ∂z ϕ, ∂y ∂x ϕ, ∂z ∂x ϕ und ∂z ∂y ϕ.
~ und ∇
~ × ∇ϕ
~ .
(ii) Berechnen Sie ∇φ
~ × ~a und ∇
~ · ∇
~ × ~a .
(iii) Berechnen Sie ∇
~ × ϕ~a .
(iv) Berechnen Sie ∇
Aufgabe 4.2: Physikalische Anwendungen der Vektoranalysis (I): Hydrodynamik (8 Punkte = 3 + 5)
(i) Beschreibe ~v : R4 ⊃ M4 → N3 ⊂ R3 , (t, ~r) 7→ ~v (t, ~r) die Strömungsgeschwindigkeit und ρ : R4 ⊃
M4 → N1 ⊂ R, (t, ~r) 7→ ρ(t, ~r) das Dichtefeld einer kompressiblen Flüssigkeit. Dann gilt die sogenannte
Kontinuitätsgleichung
~ · ρ~v = 0 .
∂t ρ + ∇
Zeigen Sie, dass, wenn das Dichtefeld nicht explizit von t abhängt, folgende Gleichung gilt
v
∂ρ
~ · ~v ,
= −ρ∇
∂v̂
wobei die sogenannte Richtungsableitung eines skalaren Feldes φ in Richtung des Einheitsvektors n̂
gemäß
∂φ
~
= n̂ · ∇φ
∂ n̂
definiert ist.
(ii) Die Strömungsgeschwindigkeit einer zweidimensionalen Flüssigkeit sei durch
~v (x, y) = v1 (x, y)~e1 − v2 (x, y)~e2
gegeben. Zeigen Sie, dass, wenn die Flüssigkeit inkompressibel (ρ = const.) und die Strömung wirbelfrei
ist, die sogenannten Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen gelten, d.h.
∂v1
∂v2
=
,
∂x
∂y
1
∂v1
∂v2
=−
.
∂y
∂x
Aufgabe 4.3: Physikalische Anwendungen der Vektoranalysis (II): klassische Elektrodynamik
(13 Punkte = 4 + 3 + 4 + 2)
~ B
~ : R4 ⊃ M4 → N3 ⊂ R3 , (t, ~r) 7→ E(t,
~ ~r), B(t,
~ ~r). Hierbei wird E
~ als
Betrachten Sie die Vektorfelder E,
~
elektrisches Feld und B als magnetisches Induktionsfeld bezeichnet. Im Vakuum erfüllen diese Vektorfelder
die sogenannten Maxwell-Gleichungen
~ ·B
~ =0,
∇
~ ·E
~ =0,
∇
~ ×B
~ = 0 µ0 ∂t E
~ , ∇
~ ×E
~ = −∂t B
~ .
∇
Die Größen 0 und µ0 bezeichnet man als elektrische und magnetische Feldkonstanten.
(i) Erklären Sie die Bedeutung der Maxwell-Gleichungen.
~ und das magnetische Induktionsfeld B
~ im Vakuum der soge(ii) Zeigen Sie, dass das elektrische Feld E
nannten homogenen Wellengleichung genügen, d.h. es gilt
1 ∂2 ~
~ =0,
E − ∆E
c2 ∂t2
1 ∂2 ~
~ =0,
B − ∆B
c2 ∂t2
wobei 0 µ0 = c−2 gilt und c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum entspricht.
Hinweis: Verwenden Sie Relation (ii) aus Aufgabe 3.3.
~ eines magnetischen Dipolmoments m
(iii) Das sogenannte Vektorpotential A
~ sei gegeben durch
~ × ~r
~ r) = µ0 m
A(~
.
4π r3
~ zugehörige magnetische Induktionsfeld B
~ durch
Zeigen Sie, dass das zum Vektorpotential A
~ · ~r) ~r
m
~
µ0 3 (m
~
− 3
B(~r) =
4π
r5
r
gegeben ist, wobei das magnetische Dipolmoment als räumlich konstant angenommen wurde.
~ lässt sich das zugehörige magnetische Induktionsfeld
Hinweis: Aus einem gegebenen Vektorpotential A
~
~
~
~
B gemäß B = ∇ × A berechnen.
(iv) Sei χ : R4 ⊃ M4 → N1 ⊂ R, (t, ~r) 7→ χ(t, ~r) ein hinreichend oft stetig differenzierbares skalares Feld.
Erklären Sie, warum das Vektorpotential
~ 0 (t, ~r) = A(t,
~ ~r) + ∇χ(t,
~
A
~r)
~ führt wie A(t,
~ ~r).
zum gleichen magnetischen Induktionsfeld B
Hinweis: Verwenden Sie den Zusammenhang zwischen dem Vektorpotential und dem magnetischen
Induktionsfeld.
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