Theoretische Physik I: Mathematische Methoden, Wintersemester 2016/2017, Prof. Dr. Dirk H. Rischke Ausgabe des Übungsblattes: 14.11.2016 Abgabe des Übungsblattes: 25.11.2016 Übungsblatt 4 Aufgabe 4.1: Partielle Ableitungen, Gradient, Divergenz und Rotation (9 Punkte = 2 + 2 + 2 + 3) Betrachten Sie das skalare Feld ϕ : R3 ⊃ M3 → N1 ⊂ R , ~r 7→ ϕ(~r) = xy + yz + zx , und das Vektorfeld ~a : R3 ⊃ M3 → N3 ⊂ R3 , ~r 7→ ~a(~r) = x2 y~e1 + y 2 z~e2 + z 2 x~e3 . (i) Berechnen Sie ∂x ϕ, ∂y ϕ, ∂z ϕ, ∂x2 ϕ, ∂y2 ϕ, ∂z2 ϕ, ∂x ∂y ϕ, ∂x ∂z ϕ, ∂y ∂z ϕ, ∂y ∂x ϕ, ∂z ∂x ϕ und ∂z ∂y ϕ. ~ und ∇ ~ × ∇ϕ ~ . (ii) Berechnen Sie ∇φ ~ × ~a und ∇ ~ · ∇ ~ × ~a . (iii) Berechnen Sie ∇ ~ × ϕ~a . (iv) Berechnen Sie ∇ Aufgabe 4.2: Physikalische Anwendungen der Vektoranalysis (I): Hydrodynamik (8 Punkte = 3 + 5) (i) Beschreibe ~v : R4 ⊃ M4 → N3 ⊂ R3 , (t, ~r) 7→ ~v (t, ~r) die Strömungsgeschwindigkeit und ρ : R4 ⊃ M4 → N1 ⊂ R, (t, ~r) 7→ ρ(t, ~r) das Dichtefeld einer kompressiblen Flüssigkeit. Dann gilt die sogenannte Kontinuitätsgleichung ~ · ρ~v = 0 . ∂t ρ + ∇ Zeigen Sie, dass, wenn das Dichtefeld nicht explizit von t abhängt, folgende Gleichung gilt v ∂ρ ~ · ~v , = −ρ∇ ∂v̂ wobei die sogenannte Richtungsableitung eines skalaren Feldes φ in Richtung des Einheitsvektors n̂ gemäß ∂φ ~ = n̂ · ∇φ ∂ n̂ definiert ist. (ii) Die Strömungsgeschwindigkeit einer zweidimensionalen Flüssigkeit sei durch ~v (x, y) = v1 (x, y)~e1 − v2 (x, y)~e2 gegeben. Zeigen Sie, dass, wenn die Flüssigkeit inkompressibel (ρ = const.) und die Strömung wirbelfrei ist, die sogenannten Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen gelten, d.h. ∂v1 ∂v2 = , ∂x ∂y 1 ∂v1 ∂v2 =− . ∂y ∂x Aufgabe 4.3: Physikalische Anwendungen der Vektoranalysis (II): klassische Elektrodynamik (13 Punkte = 4 + 3 + 4 + 2) ~ B ~ : R4 ⊃ M4 → N3 ⊂ R3 , (t, ~r) 7→ E(t, ~ ~r), B(t, ~ ~r). Hierbei wird E ~ als Betrachten Sie die Vektorfelder E, ~ elektrisches Feld und B als magnetisches Induktionsfeld bezeichnet. Im Vakuum erfüllen diese Vektorfelder die sogenannten Maxwell-Gleichungen ~ ·B ~ =0, ∇ ~ ·E ~ =0, ∇ ~ ×B ~ = 0 µ0 ∂t E ~ , ∇ ~ ×E ~ = −∂t B ~ . ∇ Die Größen 0 und µ0 bezeichnet man als elektrische und magnetische Feldkonstanten. (i) Erklären Sie die Bedeutung der Maxwell-Gleichungen. ~ und das magnetische Induktionsfeld B ~ im Vakuum der soge(ii) Zeigen Sie, dass das elektrische Feld E nannten homogenen Wellengleichung genügen, d.h. es gilt 1 ∂2 ~ ~ =0, E − ∆E c2 ∂t2 1 ∂2 ~ ~ =0, B − ∆B c2 ∂t2 wobei 0 µ0 = c−2 gilt und c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum entspricht. Hinweis: Verwenden Sie Relation (ii) aus Aufgabe 3.3. ~ eines magnetischen Dipolmoments m (iii) Das sogenannte Vektorpotential A ~ sei gegeben durch ~ × ~r ~ r) = µ0 m A(~ . 4π r3 ~ zugehörige magnetische Induktionsfeld B ~ durch Zeigen Sie, dass das zum Vektorpotential A ~ · ~r) ~r m ~ µ0 3 (m ~ − 3 B(~r) = 4π r5 r gegeben ist, wobei das magnetische Dipolmoment als räumlich konstant angenommen wurde. ~ lässt sich das zugehörige magnetische Induktionsfeld Hinweis: Aus einem gegebenen Vektorpotential A ~ ~ ~ ~ B gemäß B = ∇ × A berechnen. (iv) Sei χ : R4 ⊃ M4 → N1 ⊂ R, (t, ~r) 7→ χ(t, ~r) ein hinreichend oft stetig differenzierbares skalares Feld. Erklären Sie, warum das Vektorpotential ~ 0 (t, ~r) = A(t, ~ ~r) + ∇χ(t, ~ A ~r) ~ führt wie A(t, ~ ~r). zum gleichen magnetischen Induktionsfeld B Hinweis: Verwenden Sie den Zusammenhang zwischen dem Vektorpotential und dem magnetischen Induktionsfeld. 2