Ortslinien_Lillian Clarke - Hu

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
VL/SE Ausgewählte Kapitel der Didaktik der Mathematik
Dozent: Dr. I. Lehmann
Referentin: L. Clarke
29.6.09
Ortslinien
1. Vorbemerkungen
Die Menge all derjenigen Punkte, die eine bestimmte Bedingung erfüllen, heißt geometrischer Ort zu
dieser bestimmten Bedingung. Bildet ein geometrischer Ort eine Linie, so wird dieser auch Ortslinie
genannt. Neben verschiedenen Ortslinien, wie z. B. Kreisen, Geraden, Elipsen, etc., können durch
geometrische Örter ebenso Flächen beschrieben werden (sozusagen „Ortsflächen“). Geometrische
Örter können sowohl in der Ebene als auch im Raum betrachtet werden. Innerhalb der folgenden
Beispiele werden einige Ortslinien und „Ortsflächen“ beschrieben.
(1)
Die Ortslinie aller Punkte im R2, die von einem festen Punkt M des R2 den Abstand a haben,
ist ein Kreis um M mit Radius a.
(2)
Die „Ortsfläche“ aller Punkte im Raum R3, die von einem festen Punkt P des R3 einen festen
Abstand r haben, ist die Kugel K mit Mittelpunkt P und Radius r.
(3)
Die Ortslinie aller Punkte im R2, die von zwei festen Punkten A und B jeweils denselben
Abstand besitzen, ist die Mittelsenkrechte der Strecke AB.
(4)
Die „Ortsfläche“ aller Punkte im R3, die von zwei festen Punkten C und D jeweils denselben
Abstand haben, ist die Ebene E, die die Strecke CD in ihrem Mittelpunkt schneidet und
orthogonal zu ihr steht.
Ortslinien lassen sich vor allem bei Konstruktionen und Beweisen verwenden. Bezüglich der
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, ist es sinnvoll, nur diejenigen Ortslinen in Betracht zu ziehen,
die mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind, also Kreise und Geraden (siehe (1) und (3)). Unter
Verwendung einer dynamischen Geometriesoftware können zusätzlich Ortslinien erzeugt werden, die
nicht auf den ersten Blick zu erkennen sind und z. B. Ellipsen, Hyperbeln oder verschiedene ebene
Kurven darstellen.
Innerhalb des Berliner Rahmenlehrplans für das Fach Mathematik in den Sekundarstufen I und II
werden Ortslinien oder „Ortsflächen“ nicht thematisiert. Dennoch bietet der Inhalt der
Rahmenlehrplane verschiedene Ansatzpunkte zur Thematisierung von Ortslinien oder „Ortsflächen“.
Beispielsweise könnten in der Sekundarstufe I im Rahmen von Dreieckskonstruktionen Ortslinen
angesprochen
werden.
Im
Zuge
der
Thematisierung
des
Mittelsenkrechten-,
Höhen-,
Seitenhalbierenden- und Winkelhalbierendenschnittpunktes eines Dreiecks können ebenfalls
Ortslinien betrachtet werden. In der Sekundarstufe II könnte im Rahmen der Thematisierung von
Kegelschnitten auf Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln als Ortslinien eingegangen werden.
Kegelschnitte stellen jedoch keinen verpflichtenden Inhalt des Mathematikunterrichts dar.
Die Vorteile einer dynamischen Geometriesoftwareliegen darin, dass die Konstruktionen schnell
verändert werden können, z. B. durch das Verschieben eines Eckpunktes entlang einer Geraden. Ist die
Konstruktion richtig Ausgeführt, sind die Veränderungen durch das Verschieben sofort erkennbar.
Ortslinien können somit durch das Erstellen von nur einer Konstruktion erzeugt werden. Durch die
Verwendung einer dynamischen Geometriesoftware können somit zeitaufwendige Konstruktionen
erleichtert werden. In einigen Fällen ist das Zeichnen mittels Bleistift, Zirkel und Lineal jedoch
vorteilhafter (vgl. dazu 2. und 3.2).
2. Einführung am Beispiel der Mittelsenkrechten
Gegeben sind zwei beliebige Punkte A und B in der Ebene. Gesucht ist die Menge aller Punkte
(Ortslinie), die von A und B jeweils denselben Abstand haben. Welche Form hat diese Ortslinie?
1. Schritt:
Konstruktion von mindestens einem Punkt, der die Bedingung erfüllt (Kreis mit
AB
festem Radius r >
2. Schritt:
2
um A und um B ⇒ Schnittpunkte S und T)
S und T markieren: Display: Trace Intersections
Durch das Ziehen an einem Kreishilfspunkt vergrößern bzw. verkleinern sich beide
Kreise gleichzeitig. S und T hinterlassen dabei eine Spur (Ortslinie). Die Ortslinie ist
die Mittelsenkrechte der Strecke AB .
Ortslinie löschen durch Display: Erase Traces
Animation:
(neue Konstruktion) Strecke AB zeichnen, Kreis mit festem Radius r >
AB
2
um A
zeichnen, sodass Kreishilfspunkt auf AB liegt, Kreis mit Radius r um B konstruieren
⇒ Schnittpunkte S und T
S und T markieren: Display: Trace Intersections
Kreishilfspunkt markieren: Display: Animate Point oder Edit: Action Buttons:
Animation (hier ist u. a. die Geschwindigkeit einstellbar)
Alternative zur Bewegung des Kreishilfspunktes auf der Strecke AB : Strecke AB
zeichnen, zweite Strecke CD zeichnen und E auf CD festlegen, sodass CE >
Kreis um A und um B konstruieren mit r = CE ⇒ Schnittpunkte S und T
AB
2
,
Anstatt des Kreishilfspunktes wird nun E animiert.
Bereits an diesem Beispiel wird deutlich, dass die Konstruktion in jedem Fall so ausgeführt werden
muss, dass die einzelnen Objekte (hier beide Kreise) voneinander anhängig sind. Die Konstruktion
muss somit im Vorfeld durchdacht werden. Weiterhin muss den Schülerinnen/Schülern ein möglicher
Konstruktionsweg von mindestens einem gesuchten Punkt bewusst sein, was durchaus auch mittels
Bleistift und Papier erprobt werden kann. Bezüglich der Animation von Punkten ist unbedingt darauf
zu achten, dass nur Animationspunkte markiert werden, da die Konstruktion andernfalls beliebig in
der Ebene bewegt wird und die Form der Ortslinie beeinflusst. Weiterhin ist es sinnvoll auf bestehende
Grenzen der dynamischen Geometriesoftware hinzuweisen. Beispielsweise ist im oben genannten
Beispiel die hinterlassene Spur eine Strecke, deren Länge durch den festgelegten Radius der Kreise
bestimmt wird. Die Spur ist teilweise nicht durchgängig, da der Spurpunkt auf der Strecke AB nicht
eingezeichnet wird. Die gesuchte Ortslinie ist jedoch eine Gerade.
Werden Änderungen in der Abbildung vorgenommen, so bleibt die bestehende Spur erhalten und
verändert sich nicht entsprechend der vorgenommenen Änderungen. Soll sich die Ortslinie
entsprechend mit verändern, muss sie durch eine Linie ersetzt werden. Die Beachtung der folgenden
Reihenfolge ist dabei wichtig: Spurpunkt markieren (hier S, T), Animationspunkt markieren (hier
Kreishilfspunkt), Objekt, auf dem sich der Animationspunkt bewegt, markieren (hier Strecke),
Construct: Locus.
3. Aufgaben
3.1 Der Höhenschnittpunkt im Dreieck
(An der Stelle des Höhenschnittpunktes kann ebenso der Schnittpunkt anderer Dreieckstransversalen
betrachtet werden.)
Wichtig: Fertige zu jeder Teilaufgabe eine neue Konstruktion an!
a) Gegeben ist ein Kreis k(M, r) mit beliebigem Radius r. Lege drei verschiedene Punkte A, B, C auf
dem Kreis fest. Konstruiere den Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ∆ (A, B, C). Welche Ortslinie
beschreibt H, wenn sich der Eckpunkt A auf dem Umkreis des Dreiecks bewegt?
(Die Ortslinie ist ein Kreis mit dem Radius des Dreiecksumkreises, der durch die Punkte B und C
verläuft.)
Beweis:
Sei Hj der Höhenschnittpunkt des Dreiecks ∆ (Aj, B, C) und sei S der Höhenfußpunkt der Höhe der
Seite BC . Somit schneiden sich die Strecken BC und A 1 H 2 in einem rechten Winkel und es gilt
∠(CSA1) = ∠(BSA1) = ∠(CSH2) = ∠(BSH2) = 90° (s. Abb. 1).
Abb. 1
Die Diagonalen der Vierecke (A1, C, H2, B) und (H1, C A2, B) sind demnach zueinander orthogonal.
Würden die Diagonalen H 2 A 1 und A 2 H 1 zudem durch die Diagonale BC halbiert werden, lägen
zwei Drachenvierecke vor. Da beide Drachenvierecke achsensymmetrisch zu der Geraden g wären, die
durch B und C verläuft, würde die Spiegelbildlichkeit der Dreiecke ∆ (C, B, A1) und ∆ (C, H2, B)
sowie der Dreiecke ∆ (C, B, H1) und ∆ (C, A2, B) resultieren. Die Höhenschnittpunkte beider Dreiecke
∆ (C, B, A1) und ∆ (C, B, H1) werden folglich an g gespiegelt. Wenn A also auf einem Kreis bewegt
wird, würde sich Hj ebenso auf einem gleichgroßen Kreis bewegen.
Z. z.: BC halbiert H 2 A 1 und A 2 H 1 .
Auf Grund des Umfangswinkelsatzes gilt ∠(BH1H2) = ∠(BCH2). Da ebenso ∠(CSH2) = ∠(BSH2)
gilt, folgt, dass ∆ (S, C, H2) und ∆ (S, B, H1) gleichgroße Winkel besitzen. Auf Grund des rechten
Winkels ∠(BUH2) besitzen ∆ (S, B, H1) und ∆ (U, H2, A2) gleichgroße Winkel. Dreieck ∆ (U, H2, A2)
hat wiederum gleichgroße Winkel wie Dreieck ∆ (S, A2, B). Folglich besitzen die Dreiecke ∆ (S, A2, B)
und ∆ (S, B, H1) gleichgroße Winkel. Da beide Dreiecke die gemeinsame Seite BS besitzen, sind sie
sogar zueinander kongruent. BC halbiert also H 2 A 1 .
Analog gilt, dass die Dreiecke ∆ (S, A2, B) und ∆ (C, S, A1) gleichgroße Winkel besitzen. Da die
Dreiecke ∆ (S, C, H2) und ∆ (S, B, H1) gleichgroße Winkel besitzen und die Dreiecke ∆ (S, A2, B) und
∆ (S, B, H1) zueinander kongruent sind, folgt, dass die Dreiecke ∆ (S, C, H2) und ∆ (C, S, A1)
gleichgroße Winkel besitzen. Zudem haben beide Dreiecke die Seite SC , womit sie kongruent
zueinander sind. Die Strecke H 2 A 1 wird somit durch die Strecke BC halbiert.
□
b) Gegeben ist ein Kreis k(M, r) mit beliebigem Radius r. Welche Ortslinie beschreibt der
Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks ∆ (A, B, C), wenn A = M gilt, B und C auf dem Kreis liegen und
B sich auf dem Kreis bewegt?
(Die Ortslinie ist eine nicht geschlossene symmetrische Kurve, deren Symmetrieachse durch M und C
verläuft. Die Kurve berührt den Kreis in C, überschlägt sich in M und schneidet den Kreis zwei Mal.)
Beweis:
Sei K(M, r) ein Kreis und ∆ (A, B, C) ein Dreieck mit A = M und B, C ∈ K(M, r). Sei H der
Höhenschnittpunkt des Dreiecks und bewege sich B auf K(M, r).
Da A und C feste Punkte sind und K(M, r) achsensymmetrisch zu jeder seiner Diagonalen ist, ist die
Gerade gAC, die durch A und C verläuft eine Symmetrieachse der Abbildung. Der bewegliche Punkt B
wird durch Spiegelung an gAC folglich stets auf K(M, r) abgebildet. Sofern A, B und C nicht kollinear
sind, existiert somit zu jedem Dreieck ∆ (A, B, C) ein spiegelbildliches Dreieck. Der
Höhenschnittpunkt des Dreiecks ∆ (A, B, C) wird bei der Spiegelung des Dreiecks an gAC folglich
mitgespiegelt. Die Ortslinie des Höhenschnittpunktes ist demnach achsensymmetrisch zu gAC.
Beträgt ∠(CAB) = 90°, so gilt H = A = M. Die Ortslinie des Höhenschnittpunktes verläuft demnach
zwei Mal durch den Mittelpunkt des Kreises.
Gilt B = C, so nimmt der Flächeninhalt des Dreiecks den Wert Null an. Dennoch können die Höhen in
den Punkten A, B bzw. C auf die Strecken BC , AC bzw. AB betrachtet werden. Die Höhen
schneiden sich in C. Die Ortslinie berührt K(M, r) folglich in C.
Ist 0° < ∠(CAB) ≤ 90°, so befindet sich H innerhalb oder auf dem Dreieck ∆ (A, B, C). Gilt 90° <
∠(CAB) < 180°, so liegt H außerhalb des Dreiecks ∆ (A, B, C), wobei der Abstand zwischen H und ∆
(A, B, C) mit zunehmender Winkelgröße bis ins Unendliche wächst. Beträgt ∠(CAB) = 180°, nimmt
der Flächeninhalt des Dreiecks wiederum den Wert Null an. Die Höhen in den Punkten A, B bzw. C
auf die Strecken BC , AC bzw. AB schneiden sich jedoch nicht und es existiert in diesem Fall kein
Höhenschnittpunkt. Folglich verläuft die Ortslinie von H innerhalb von K(M, r), wenn d(A, H) < r gilt,
sie schneidet K(M, r) im Fall d(A, H) = r und verläuft außerhalb von K(M, r), wenn d(A, H) > r gilt.
Da der Abstand zwischen H und A mit zunehmender Größe von ∠(CAB) wächst und für ∠(CAB) =
180° kein H existiert, ist die Ortslinie von H in beide Richtungen unendlich lang und schließt sich
nicht.
□
c) Gegeben sind eine beliebige Gerade g und ein Punkt B auf g. Welche Ortslinie beschreibt der
Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ∆ (A, B, C), wenn die festen Punkte A und C nicht auf g liegen und
B auf g bewegt wird?
(Die Ortslinie ist eine Hyperbel, wobei ein Hyperbelast durch A und C verläuft. Sind g und AC
parallel, so ist die Ortslinie eine Parabel, deren Spiegelachse die Senkrechte zu g ist, die durch den
Mittelpunkt der Seite AC verläuft. Bei dieser Aufgabe empfiehlt es sich die Ortslinie als Linie
darzustellen, um die Veränderungen der Hyperbel bei einer Lageveränderung von g zu verfolgen.)
d) Welche Ortslinie beschreibt H, wenn A als fester Punkt ebenso auf g liegt?
(Die Ortslinie ist die Senkrechte zu g durch C.)
3.2 Die Winkelhalbierende
Gegeben ist ein beliebig großer Winkel mit Scheitelpunkt S. Auf welcher Ortslinie liegen alle Punkte,
die von den Schenkeln des Winkels jeweils denselben Abstand haben? Finde mittels dynamischer
Geometriesoftware eine Konstruktion, sodass die Ortslinie durch die Animation eines Punktes erzeugt
wird!
(Die Ortslinie ist die Winkelhalbierende des Winkels.
Konstruktionsbeschreibung:
- Strahl a mit Anfangspunkt A zeichnen und beliebigen Punkt P auf a festlegen
- Kreis um S mit Radius AP zeichnen, Senkelschnittpunkte mit C und D bezeichnen
- Kreis um C und um D mit Radius AP zeichnen, Kreisschnittpunkte mit E und F bezeichnen
- E und F markieren, Display: Trace Intersections
- P animieren)
3.3 Die Parabel
Gegeben ist eine Gerade g und ein beliebiger Punkt P, der nicht auf g liegt. Bestimme alle Punkte, die
von P und g jeweils denselben Abstand haben. Welche Form hat die Ortslinie?
(Konstruktionsbeschreibung:
- beliebigen Punkt A auf g festlegen
- Mittelsenkrechte m von A und P konstruieren
- Senkrechte s zu g in A konstruieren, Schnittpunkt S von s und m liegt auf Ortslinie
Die Ortslinie ist eine Parabel. Die Steigung ist dabei von dem Abstand zwischen g und P abhängig. Je
kleiner der Abstand ist, desto größer ist der Anstieg der Parabel. Der Parabelscheitelpunkt S liegt auf
der Senkrechten zu g, die durch P verläuft und es gilt d(S, P) = d(g, S). Die Abbildung ist folglich
achsensymmetrisch zu dieser Senkrechten. Im Übrigen besitzt jede Parabel ein Brennpaar, bestehend
PQ
aus einem Brennpunkt und einer Brenngeraden (hier P und g) und es gilt
d (g , P )
= 1, wobei Q ein
beliebiger Punkt auf der Parabel ist.)
3.4 Ellipse und Hyperbel
a) Gegeben sind die Strecke AB = 10 cm, ein beliebiger Punkt P auf AB , die Gerade g und die
Punkte F1 und F2 auf g, sodass F1 F2 < 10 cm gilt. Konstruiere das Dreieck ∆ (F1, F2, P1) und das
Dreieck ∆ (F2, F1, P2), sodass F1 P1 + F2 P1 = 10 cm und F1 P2 + F2 P2 = 10 cm gilt (s. Abb. 2).
Welche Ortslinie beschreiben die Punkte P1 und P2, wenn sich P auf AB bewegt?
Abb. 2
(Konstruktionsbeschreibung:
- Kreis um F1 mit Radius AP zeichnen
- Kreis um F2 mit Radius BP zeichnen, Schnittpunkte der Kreise mit P1 und P2 bezeichnen
- P1 und P2 markieren, Display: Trace Intersections, P animieren
Die Ortslinie ist eine Ellipse.)
b) Verändere die Länge der Strecke F1 F2 und notiere deine Beobachtungen bzgl. der Ortslinien!
c) Wie verändert sich die Ortslinie, wenn F1 F2 = 10 cm bzw. F1 F2 = 0 cm gilt?
d) Lege F1 F2 = 8 cm fest (Strecke ziehen) und konstruiere die Mittelsenkrechte m von F1 F2 . Die
Ortslinie der Punkte P1 und P2 schneidet g in den Punkten S1 und S2 und m in den Punkten T1 und T2.
Wie groß sind die Abstände d(M, T1), d(M, T2), d(M, F1), d(M, F2), d(M, S1) und d(M, S2)?
e) Bestimme die Punkte der Ortslinie aus d) mittels einer Gleichung und vereinfache die
Gleichung so weit es geht! Stelle einen Bezug zu deinen Ergebnissen aus Teil d) her.
f) Verallgemeinere die Gleichung, indem du F1 F2 = 2e und F1 P1 + F2 P1 = 2a setzt (Tipp:
Substituiere b2 ‫ =׃‬a2 – e2).
(Sei M der Ursprung eines Koordinatensystems mit der Abszisse g und der Ordinate m. Die Punkte
besitzen demnach folgende Koordinaten: F1 = (–e; 0), F2 = (e; 0), P1 = (x; y). F1 P1 und F2 P1 können
mit Hilfe des Satzes von Pythagoras bestimmt werden. Es gilt
( x + e ) 2 + y 2 + ( x e ) 2 + y 2 = 2a .
Durch Termumformungen folgt die Gleichung (a2 – e2) x2 + a2 y2 = a2 (a2– e2). Wird b2 ‫( =׃‬a2– e2)
gesetzt, so vereinfacht sich die Gleichung zu b2 x2 + a2 y2 = a2 b2. Dabei liegen die Punkte (a; 0), (–a;
0), (0; b) und (0; –b) auf der Ellipse. Im Übrigen besitzt jede Ellipse, die durch die Gleichung b2 x2 +
a2 y2 = a2 b2 mit 0 < b < a gegeben ist, zwei Brennpunkte F1 und F2, wobei F1 F2 = 2 a 2 b 2 gilt.
Weiterhin besitzt jede Ellipse zwei Brenngeraden g1 und g2, die orthogonal zur Strecke F1 F2 verlaufen
und durch die Punkte (0;
a2
a2 b
) und (0; –
Brenngerade bilden ein Brennpaar, wobei
a2
a2 b
P1 F1
d (g 1 , P1 )
=
) verlaufen. Jeweils ein Brennpunkt und eine
P1 F2
d (g 2 , P1 )
= 1
b2
konstant ist. Im Fall a = e
a2
folgt b = 0, die Ortslinie ist somit die Strecke F1 F2 . Gilt e = 0 und a > 0, so folgt a = b und die
Ortslinie ist ein Kreis mit Radius a. Für eine Ellipse gilt demnach stets a > b > 0 bzw. a > e > 0.)
g) Gegeben sind nun die Strecke AB = 6 cm, ein beliebiger Punkt P auf AB , die Gerade g und die
Punkte F1 und F2 auf g, sodass F1 F2 = 8 cm gilt. Konstruiere die Dreiecke ∆ (F1, F2, P1) und ∆ (F2, F1,
P2), sodass F1 P1 – F2 P1 = 6 cm und F1 P2 – F2 P2 = 6 cm gilt. Welche Ortslinie beschreiben die
Punkte P1 und P2, wenn sich P auf AB bewegt?
(Konstruktionsbeschreibung:
- Kreis um F1 mit Radius AB + BP zeichnen
- Kreis um F2 mit Radius BP zeichnen, die Schnittpunkte der Kreis mit P1 und P2 bezeichnen
- P1 und P2 markieren, Display: Trace Intersections, P animieren
Die Ortslinie ist eine Hyperbel.)
h) Verändere die Länge der Strecke F1 F2 und notiere deine Beobachtungen bzgl. der Ortslinien.
i) Stelle eine allgemeine Gleichung für die Punkte der Ortslinie auf, wobei F1 F2 = 2e und F1 P1 –
F2 P1 = 2a gilt (Tipp: Substituiere b2 ‫ =׃‬e2 – a2).
(Sei M der Ursprung eines Koordinatensystems mit der Abszisse g und der Ordinate m. Die Punkte
besitzen demnach folgende Koordinaten: F1 = (–e; 0), F2 = (e; 0), P1 = (x; y). F1 P1 und F2 P1 können
mit Hilfe des Satzes von Pythagoras bestimmt werden. Es gilt
( x + e) 2 + y 2
( x e ) 2 + y 2 = 2a .
Durch Termumformungen folgt die Gleichung (e2 – a2) x2 – a2 y2 = a2 (e2– a2). Wird b2 ‫( =׃‬e2– a2)
gesetzt, so vereinfacht sich die Gleichung zu b2 x2 – a2 y2 = a2 b2. Im Übrigen besitzt jede Hyperbel
zwei Brennpaare, jeweils bestehend aus einem Brennpunkt und einer Brenngeraden. Die Brenngeraden
verlaufen orthogonal zu F1 F2 und es gilt F1 F2 = 2 a 2 + b 2 . Die Brenngeraden verlaufen durch die
Punkte (0;
P1 F1
P1 F2
a2
a2
b2
)
und
(0;
–
).
Ebenso
ist
=
=
1
+
konstant.
d (g 1 , P1 )
d (g 2 , P1 )
a2 + b
a2 + b
a2
Im Fall e = a und a > 0 folgt b = 0 und die Ortslinie ist die Strecke F1 F2 . Gilt a = 0 und e > 0 verläuft
die Ortslinie entlang der Mittelsenkrechten von F1 und F2. Für a = e = 0 gehören alle Punkte der Ebene
zum geometrischen Ort.)
Literatur:
I. Agricola und T. Friedrich. Elementargeometrie: Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht.
Wiesbaden: Vieweg Verlag, 2005.
Schupp, Hans. Thema mit Variationen: Aufgabenvariationen im Mathematikunterricht. Hildesheim
und Berlin: Franzbecker Verlag, 2002.
Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin (Hg.). Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe I
– Mathematik. 1. Aufl. Berlin: Oktoberdruck AG, 2006.
Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin (Hg.). Rahmenlehrplan für die gymnasiale
Oberstufe – Mathematik. 1. Aufl. Berlin: Oktoberdruck AG, 2006.