Kapitel 5 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

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Kapitel 5
Quantisierung des elektromagnetischen
Feldes
5.1 Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes
In diesem Kapitel wird die Quantisierung verschiedener Feldgleichungen behandelt, man
spricht auch von quantisierten Feldtheorien.
Die Basis einer Feldtheorie bildet immer eine Gleichung (oder ein Satz von Gleichungen), die das Verhalten einer Größe beschreibt, die ein physikalisches System charakterisiert.
Diese Größe nennt man das Feld. Die Hydrodynamik z. B. ist eine Feldtheorie für das Geschwindigkeitsfeld~v(~r,t), die Elektrodynamik hat Feldgleichungen für ~E- und ~B-Felder (bzw.
die Potentiale), nämlich die Maxwell-Gleichungen. Die Feldgleichung für die nichtrelativistische Quantenmechanik ist die Schrödinger-Gleichung, und in der relativistischen QM hat man
Klein-Gordon- und Dirac-Gleichung. Die Allgemeine Relativitätstheorie erklärt die Gravitation mit Hilfe der Einsteinschen Feldgleichungen für die Metrik gµν .
Wenn es sich um klassische Feldgleichungen handelt, so steht man vor der Aufgabe, klassische Felder in quantenmechanische Operatoren überführen zu müssen. Hier führen wir die
Quantisierung der Maxwell-Gleichungen durch.
5.1.1 Maxwell-Gleichungen und Korrespondenzprinzip
Bevor wir uns der eigentlichen Quantisierung des Lichtfeldes zuwenden wollen wir einige
Vorarbeiten aus der Mechanik, der Elektrodynamik und der QM-I wiederholen.
Korrespondenzprinzip
Das Korrespondenzprinzip hat uns schon in der QM-I geholfen eine formale Herleitung1 der
Schrödingergleichung für ein Teilchen vorzunehmen. Man geht dabei von den Hamilton’schen
Bewegungsgleichungen aus, wir werden es bei der Quantisierung des elektromagnetischen
Feldes ebenso manchen.
Für die kanonisch konjungierten Variablen qi und pi gelten folgende Äquivalenzen:
1
Die elementaren Naturgesetze kann man streng genommen nicht herleiten sondern nur postulieren und experimentell überprüfen. In der Physik sieht man es als den besseren Weg an allg. Prinzipien und Symmetrieforderungen zu postulieren und deren Konsequenz zu testen.
55
56
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
(1)
(2)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Mechanik
Phasenraum
Funktion A(qi , pi )
Hamiltonfunktion H
qi , pi
Poisson Klammer {A, B}
{qi , p j } = 0
dA
∂A
dt = ∂t + {A, H}
Quantenmechanik
Hilbertraum
Operator Â
Hamiltonoperator Ĥ
Operatoren q̂i , p̂i
Kommutator [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂Â
[q̂i , p̂ j ] = ih̄δi j
ih̄ dtd  = ih̄ ∂∂t + [Â, Ĥ]
Diese Tabelle beschreibt das Korrespondenzprinzip. Insbesondere sieht man aus Punkt (7) und
(8), dass der klassische Grenzfall h̄ → 0 erfüllt ist.
Poisson Klammer
Wir rufen uns die Definition
f
∑
qn , pm =
i=1
∂qn ∂pm ∂qn ∂pm
−
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
f
=
∑ δni δmi = δnm ,
i=1
der Poisson Klammer für die kannonischen Variablen in Errinnerung, es gilt demmach
A, B = − B, A .
Hamilton’sche Bewegungsgleichungen
Ein klassisches Feld ist nichts anderes als eine Funktion F(q1 , . . . , q f , p1 , . . ., p f ,t) auf dem
Phasenraum {~q,~p}. Es gelten die Hamilton’schen Bewegungsgleichung
dF
dt
f ∂F
∂F
∂F
=
+∑
q̇i +
ṗi
∂t
∂pi
i=1 ∂qi
f ∂F
∂F ∂H ∂F ∂H
=
−
+∑
,
∂t
∂pi ∂qi
i=1 ∂qi ∂pi
|
{z
}
(5.1)
≡ {F,H}
wobei {F, H} eine Poisson Klammer ist.
Feldoperator
Wir suchen nun eine Feldoperator Fop , welcher im klassischen Grenzfall (5.1) erfüllt. Da wir
zwischen dem Schrödinger-Bild (Operator mit Superscript ‘S ’) und dem Heiseberg-Bild Fop
unterscheiden suchen wir eine Feldoperator Fop welcher nach erfolgreicher Quantisierung
dFop
=
dt
S
∂Fop
∂t
!
+
H
1
Fop , Hop ,
i h̄
(5.2)
erfüllt, also nach dem Korrespondenzprinzip die klassischen Bewegungsgleichungen (5.1)
quantenmechanisch erweitert.
5.1 Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes
57
Freie elektromagnetische Felder
In Coulomb-Eichung (~∇ · ~A = 0) reduzieren sich die Maxwellgleichungen für das Vektorpotential ~A(~x,t) und dem Skalarpotential ϕ(~x,t) im Vakuum (ohne Quellen) auf
∆ϕ = 0,
~A = 0,
∆ =
=
2
2
∂2
+ ∂∂2 y + ∂∂2 z
∂2 x
1 ∂2
−∆.
c2 ∂2t
,
(5.3)
Die Felder erhält man dann mittels
~B = ~∇ × ~A
und
~
~E = − 1 ∂A − ~∇ϕ .
c ∂t
(5.4)
Die Lösungen der freien Maxwellgleichungen (5.3) können zu ϕ = 0 gewählt werden, da im
Unendlichen das Potential verschwindt
Transversale elektromagnetische Felder
Die Felder ~E und ~B sind wie ~A transversale Felder, denn für eine ebene Welle
~A
=
~A0 ei(~k·~x−ωt)
führt ~∇ · ~A = 0 auf ~k · ~A = 0. Deswegen heißt die Coulomb-Eichung auch transversale Eichung. Es hat sich als günstig erwiesen, die Coulomb-Eichung auch für die Quantisierung
beizubehalten.
Feldenergie
Keine Quantisierung ohne Hamiltonoperator, und dazu brauchen wir den Ausdruck für die
Gesamtenergie
Z 1
~E 2 + ~B2 d 3 r
(5.5)
Ekl =
8π
des Strahlungsfeldes. Wir suchen nun eine Operator ~Aop für das Vektorpotential so dass
i h̄
mit H =E
ˆ kl gilt.
d~
Aop = ~Aop , H
dt
⇐⇒
~A = 0
(5.6)
Periodische Randbedingungen
Die Quantisierung ist einfacher wenn man es mit abzählbar vielen Freiheitsgraden zu tun hat.
Das ist Vektorfeld kontinuierlich und hat überabzählbar viele Freiheitsgrade. Wir verwenden
daher periodische Randbedingungen
~A(x + L, y, z,t) = ~A(x, y, z,t)
usw.
für ein endliches Volumen V = L3 , welches wir erst am Ende der Rechungen unendlich gross
werden lassen.
Fourier-Reihen
Felder, welche auf einem endlichen Hyperkubus leben lassen sich in Fourier-Reihe entwickeln. Die allgemeine Lösung für (5.3) lautet dann
!
r
i~k·~r
−i~k·~r
2π
h̄c
e
e
~A(~r,t) = ∑ ∑
Aλ (~k,t) √ + A∗λ (~k,t) √
~uλ (~k) .
(5.7)
k
V
V
~k λ
58
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
Die~k-Summe erstreckt sich über alle erlaubten~k-Vektoren. Für sie gilt wegen der periodischen
Randbedingungen
~k = 2π (n1 , n2 , n3 ) , ni ∈ Z .
L
Der Index λ geht von 1 bis 2 und gibt die Polarisation an. Der Faktor unter der Wurzel wird
sich später als günstig erweisen und ist ansonsten bedeutungslos. Die Vektoren ~u1 und ~u2 sind
zwei aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren, die mit ~k ein orthogonales Dreibein
bilden (transversale Eichung):
~uλ (~k) ·~uµ(~k) = δµλ .
~k ·~uλ (~k) = 0,
Außerdem wählt man noch o.B.d.A. ~uλ (~k) = ~uλ (−~k ).
Harmonische Oszillatoren
Wichtig ist nun, daß wegen (5.3) für jeden Fourier-Koeffizienten Aλ (~k,t) die Gleichung
∂2
A (~k,t) = −c2~k2 Aλ (~k,t)
∂t 2 λ
(5.8)
gilt, also eine Differentialgleichung für einen harmonischen Oszillator. Man sagt, die Normalmoden des Strahlungsfeldes verhalten sich wie harmonische Oszillatoren. Diese Tatsache
wird später den Ausgangspunkt für die Lichtfeldquantisierung bilden.
Allgemeine Lösung der Wellengleichung
Um (5.8) zu erfüllen, setzen wir
ω~k = c|~k| .
Aλ (~k,t) = Aλ (~k) e−iω~k t ,
Die allgemeine Lösung der Wellengleichung (5.3) ist damit
~A(~r,t) =
∑∑
~k
λ
s
2π h̄c2
ω~k
!
−i(~k·~r−ω~k t)
i(~k·~r−ω~k t)
e
e
√
~uλ (~k) .
+ A∗λ (~k)
Aλ (~k) √
V
V
(5.9)
Die zeitunabhängigen Feldamplituden Aλ (~k) werden bei der Quantisierung dann zu Operatoren im Schrödinger-Bild werden.
Energie des Lichtfeldes
Unter Verwendung von (5.9) wollen wir die Gesamtenergie des Strahlungsfeldes nur durch
die Fourier-Koeffizienten Aλ (~k) ausdrücken. Es ist mit (5.4) und ϕ = 0

Z Z
1
1
3
2 ~2
~
1c
E +B d r =
Ekl =
8π
8π
c
Wir berechnen die beiden Teile des Integrals getrennt.
∂~A
∂t
!2

2
+ ~∇ × ~A  d 3 r .
5.1 Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes
59
Der ∂~A/∂t-Term zur Feldenergie
Es ist
"
!2
!
Z
Z
ω~k ω~k′
1 2π h̄c2
∂~A
1
3
−√
d r =
~uλ (~k) ·~uλ′ (~k′ ) ×
∑
∑
2
2
8π c
∂t
8π c V
ω~k ω~k′
~k,~k′ λ,λ′
i~k·~r
∗~
−i~k·~r
~
×
× Aλ (k,t) e − Aλ (k,t) e
#
′
′
~
~
× Aλ′ (~k′ ,t) eik ~r − A∗λ′ (~k′ ,t) e−ik ~r d 3 r
(5.10)
Hier kann man die Beziehungen
1
V
Z
i(~k−~k′ )~r 3
d r = δ~k,~k′
e
ausnutzen. Außerdem ist
und
∑′ ~uλ(~k)~uλ′ (~k)
λ,λ
1
V
=
Z
~ ~′
ei(k+k )~r d 3 r = δ~k,−~k′
(5.11)
∑
λ
wegen ~uλ (~k)~uλ′ (~k) = δλ,λ′ . Damit wird (5.10) zu
1
∗~
∗~
∗ ~
∗~
~
~
~
~
A
(
k,t)A
(
k,t)
+
A
(
k,t)A
(
k,t)
−
A
(
k,t)A
(−
k,t)
+
A
(−
k,t)A
(
k,t)
.
h̄ω
~
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
4 ~∑ k λ
k,λ
Der ~∇ × ~A-Term zur Feldenergie
Er liefert bis auf ein Vorzeichen das gleiche Ergebnis wie der andere Term:
1
8π
Z ~∇ × ~A
2
1
d r =
h̄ω~ A (~k,t)A∗λ(~k,t) + A∗λ(~k,t)Aλ(~k,t) +
4 ~∑ k λ
k,λ
∗ ~
∗~
~
~
+ Aλ (k,t)Aλ(−k,t) + Aλ(−k,t)Aλ(k,t)
3
Die letzten beiden Terme heben sich also jeweils weg und es wird schließlich
Ekl =
1
∗~
∗~
~
~
A
(
k)A
(
k)
+
A
(
k)A
(
k)
h̄ω
λ
∑ ~k λ λ
λ
2∑
~ λ
k
ω~k = c|~k| .
(5.12)
Die Zeitabhängigkeit wurde hier schon weggelassen, da sie sowieso herausfällt. Natürlich
sind Aλ und A∗λ Zahlen, also könnte man die Klammer zusammenfassen. Allerdings wollen
wir ja auf eine Quantisierung hinaus, also sollte auf die Reihenfolge der Größen, die später
Operatoren werden sollen, genau geachtet werden. Um einen geeigneten Formalismus parat
zu haben, wiederholen wir nun kurz die Theorie des harmonischen Oszillators.
60
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
5.1.2 Quantisierung des harmonischen Oszillators
Der harmonische Oszillator
H =
p2
mω2 2
+
x
2m
2
wird mittels der Kletter-Operatoren a und a†
mωx − ip
a† = √
2 h̄mω
mωx + ip
a = √
2 h̄mω
diagonalisiert. Sie genügen den Vertauschungsrelationen
†
a, a = 1
a, a = a† , a† = 0 ,
(5.13)
und der Hamiltonian für den harmonischen Oszillator lautet dann
1
H = h̄ω a a +
2
†
1
= h̄ω N +
,
2
mit N = a† a. Für den Besetzungszahloperator N gelten die Vertauschungsrelationen
N, a = −a
N, a† = a† .
(5.14)
(5.15)
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
Die Relationen (5.15) erlauben eine rein algebraische Herleitung des Eigenwertspektrums des
harmonischen Oszillators. Der Teilchenzahloperator N habe das Eigenwertspektrum {β},
N |βi = β |βi .
Dann gilt
†
Na |βi
Na|βi
(5.15)
=
=
†
†
a + a N |βi = a† (1 + N)|βi = (1 + β)a†|βi
(−a + aN)|βi = (β − 1)a|βi .
Das heiß t, der Zustand a† |βi ist Eigenzustand zu N mit Eigenwert (1 + β), und a|βi ist Eigenzustand zu N mit Eigenwert (β − 1). Das rechtfertigt die Bezeichnung Kletter-Operatoren.
Man nennt a† und a auch Erzeuger bzw. Vernichter.
Für einen beliebigen Zustand |ψi gilt
hψ|N|ψi = hψ|a† a|ψi = haψ|aψi ≥ 0 ,
daher muss der niedrigste Eigenwert β0 von N größer oder gleich 0 sein. Damit folgt sofort
a|β0 i = 0 und β0 = 0 . Der Operator N hat also als Spektrum die natürlichen Zahlen einschließlich der 0, deswegen werden seine Eigenzustände ab jetzt mit |ni bezeichnet.
5.1 Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes
61
Normierung und Matrixelemente
Wegen hn|N|ni = n haben die Kletter-Operatoren auf die Zustände |ni die folgende Wirkung:
√
√
a† |ni = n + 1|n + 1i
(5.16)
a|ni = n|n − 1i
Einen beliebigen Eigenzustand zum Besetzungszahloperator generiert man also mittels
(a† )n
|ni = √ |0i .
n!
Schreibt man die Bewegungsgleichung für den Vernichter im Heisenberg-Bild, so wird die
Analogie zur klassischen Beschreibung des Lichtfeldes schon deutlich:
i h̄
d
aH (t) = aH (t), H
dt
Setzt man hier den Hamiltonian (5.14) ein, so bekommt man
d
aH (t) = −iω aH (t) ,
dt
(5.17)
und das ist nach nochmaliger Ableitung nach t genau von der Form (5.8). Die letzten beiden
Gleichungen bilden die eigentliche Motivation für die folgenden Schritte.
5.1.3 Quantisierung des Lichtfeldes
Der klassische Ausdruck (5.12) für die elektromagnetischen Feldenergie stellt sich als Summe
über harmonische Osziallatoren dar. Wir können also die entsprechende Quantisierungsvorschrift übernehmen.
Photonen sind Bosonen
Nun folgt der entscheidende Schritt zur Quantisierung. Wir nehmen in der klassischen Gesamtenergie (5.12) die Ersetzungen
Aλ (~k) −→ aλ (~k)
A∗λ (~)k −→ a†λ~k
vor, wobei die Kletter-Operatoren den bosonischen Vertauschungsrelationen
aλ (~k), a†λ′ (~k′ ) = δ~k,~k′ δλ,λ′
(5.18)
(5.19)
genügen. Das Vektorpotential wird nun also zu einem Operator.
Zur Vereinfachung packen wir den Polarisationsindex λ ab jetzt stets mit in ~k hinein, so
daß (5.19) nun lautet:
a~k , a~†′ = δ~k,~k′
k
62
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
Hamiltonian
Der Hamilton-Operator für das elektromagnetische Feld schreibt sich dann mit (5.18) aus der
klassischen Feldenergie (5.12) zu
Hem =
∑ h̄ω~k
~k
a~† a~k +
k
1
2
=
∑ h̄ω~k
~k
1
N~k +
2
.
(5.20)
Nun ist die Analogie des elektromagnetischen Feldes zum harmonischen Oszillator komplett:
Das Feld kann beschrieben werden als eine unendliche Zahl harmonischer Oszillatoren, die
durch den Wellenvektor ~k unterschieden werden.
Operator für das Vektor-Potential
Das Vektorpotential wird mit den kanonischen Ersetzungen (5.18) zu einem hermiteschen
Operator, der aus einer Linearkombination von Kletter-Operatoren besteht,
~Aop (~r,t) =
∑
~k
s
2π h̄c2 i(~k·~r−ω~ t)
~
†
k + a e−i(k·~r−ω~k t) ~
a~k e
u~k
~k
V ω~k
ω~k = c|~k| .
(5.21)
Sämtliche Eigenschaften des quantisierten Lichtfeldes lassen sich nun direkt aus dieser Darstellunga ableiten.
Heisenbergsche Bewegungsgleichung
Die Heisenberg-Gleichung
i h̄
d~Aop
= ~Aop , H ,
dt
i h̄
d~Aop ~
− Aop , H = 0
dt
(5.22)
für diesen Operator ist äquivalent zur Wellengleichung (5.3), d.h. mit
~Aop (~r,t) = 0,
~
e±i(k·~r−ω~k t = 0 ,
welche ja für jede einzelnen Welle schon erfüllt ist. Wir betrachten nun die einzelnen Terme
von Aop und verwenden die Vertauschungrelation [N, a] = −a, siehe (5.15),
ih̄(−iω~k )a~k − h̄ω a~k , N~k = h̄ω~k a~k − h̄ω~k a~k = 0 .
Damit ist auch die Bewegungsgleichung erfüllt.
Zeitabhängigkeit
Die Kletter-Operatoren in (5.21) sind vollkommen zeitunabhängig, d.h. im Schrödinger-Bild.
Man kann die Zeitabhängigkeit auch wieder auf sie übertragen, via
a~k (t) = eiHt/ h̄ a~k e−iHt/ h̄ .
5.1 Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes
63
Nun ist
1 iHt/ h̄ d
a~k (t) =
e
a~k , H e−iHt/ h̄
dt
i h̄
(5.19)
=
Daraus folgt
a~k (t) = e−iω~k t a~k
1 iHt/ h̄
e
h̄ω~k a~k e−iHt/ h̄ = −iω~k a~k (t) .
i h̄
a~† (t) = eiω~k t a~† .
und
k
k
was natürlich mit (5.21) konsistent ist.
Feldoperatoren
Die Operatoren für das elektrische und magnetische Feld sind dann laut (5.4) in der Coulom~
beichung ~B = ~∇ × ~A und ~E = − 1c ∂∂tA , gleich
r
2π h̄ω~k i(~k·~r−ω t)
~k − h.c. ~
a~k e
u~k
V
~k
s
2
~Bop (~r,t) = i ∑~k × 2π h̄c a~ ei(~k·~r−ω~k t) − h.c. ~u~
k
k
V ω~k
~
~Eop (~r,t) = i ∑
(5.23)
(5.24)
k
Die Buchstaben “h.c.” stehen für das hermitesch
Konjugierte
des ersten Ausdruckes in der
†
Klammer, also in diesem Fall für a~ exp −i(~k ·~r − ω~k t) .
k
Impuls
Es sei noch der Ausdruck für den Impuls des quantisierten Lichtfeldes erwähnt. Klassisch ist
die Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes durch
~P = 1
4πc
Z V
~E × ~B d 3 r
(5.25)
gegeben. Verwendet man die Formeln (5.23) und (5.24), so ergibt das in Abhängigkeit von
den Kletter-Operatoren
~Pop =
∑ h̄~k a~†k a~k
~k
=
∑ h̄~k N~k .
~k
Der Impuls eines einzelnen Photons ist also h̄~k.
Zusammenfassung
Es lassen sich jetzt folgende Regeln für die quantenmechanische Beschreibung des Lichtfeldes
angeben:
64
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
• Vakuum
Es existiert ein Vakuum-Zustand |0i mit
a~k |0i = 0 ∀ ~k
h0|0i = 1 .
und
• Photonen
Ein Photon in einem Zustand mit festem Impuls h̄~k wird beschrieben durch
a~† |0i .
k
• Allg. Zustand
Ein allgemeiner Photonenzustand mit n~ki Photonen pro Impuls h̄~ki (man sagt auch “in
der Mode ~ki ”) wird beschrieben durch
n
n
(a~† ) ~k1 (a~† ) ~k2
qk1
qk2
· · · |0i =
n~k !
n~k !
1
2
Dafür schreibt man auch kurz
|n~k , n~k , . . .i
1
2
n
(a~† ) ~ki
k
∏ q i |0i .
n~ki !
i=0
∞
|{n~k }i .
oder
(5.26)
(5.27)
Der Vakuum-Zustand lautet folglich korrekterweise |0, 0, . . .i. Die Darstellung (5.27)
heißt auch Besetzungszahldarstellung.
• Besetzungszahloperator
Der Besetzungszahloperator N~ki hat die Eigenschaft
N~ki | . . . , n~ki , . . .i = n~ki | . . . , n~ki , . . .i .
Der Hamiltonian (5.20) separiert in Einzelbeiträge zu den verschiedenen Moden. Deswegen kann der allgemeine Zustand (5.27) auch als direktes Produkt
|n~k i ⊗ |n~k i ⊗ · · · = |n~k i|n~k i · · ·
1
2
1
2
geschrieben werden. Für jeweils eine Mode~k bilden dann die {|n~k i} ∀ n ein VONS. Falls
einmal nur eine einzige Mode interessiert, schreibt man für den betrachteten Zustand oft
auch nur |n~k i.
• Photonen sind Bosonen
Da die Besetzungszahlen n~k beliebige Zahlen aus N0 sein dürfen, hat man es mit Bosonen zu tun: Ein Energieniveau (hier eine Mode) kann beliebig stark bevölkert sein.
Daher gibt es kohärente Zustände und Laserlicht, was wir im Abschnitt 5.2.1 besprechen werden.
Fock-Raum
Man beachte, daß man hier mit der Besetzungszahldarstellung (5.27) auf einen Hilbertaum
5.2 Eigenschaften des Strahlungsfeldes
65
umgeschaltet hat, der zur Darstellung variabler Teilchenzahlen geeignet ist. So ein Raum heißt
Fock-Raum, wie er auch bei der zweiten Quantisierung von Fermionen auftritt.
Nullpunktsenergie
Bildet man den Erwartungswert des Hamiltonian (5.20) mit dem Vakuum-Zustand, so zeigt
sich ein überraschendes Ergebnis:
1
→
∞.
(5.28)
h0|Hem |0i = ∑ h̄ω~k
2 ~
k
Die Energie des Vakuums ist offenbar divergent!
• I.A. betrachten wir lediglich Energie-Differenzen und eine unendlich grosse Energie des
Vakuums spielt daher keine Rolle.
• Die Vakuumsenergie hängt von den Randbedingungen ab und verändert sich in beschränkten Geometerien, wie z.B. zwischen zwei Leiterplatten, was man experimentell
mittels des Kasimir-Effektes nachweisen kann.
5.2 Eigenschaften des Strahlungsfeldes
5.2.1 Kohärente Zustände
Die Zustände |n~k , n~k , . . .i mit festen Photonenzahlen entsprechen keinem klassischen elektro1
2
magnetischem Feld. Die Fragestellungen welche in diesem Zusammenhang auftauchen wollen
wir nun untersuchen.
Verschwindende Felder
Nach (5.23) hat der Operator des elektrischen Feldes die vollständige Dartstellung
r
~Aop
2π h̄ω~k i(~k·~r−ω t)
∂
1
~k − h.c. ~
~Eop (~r,t) = −
a~k e
u~k .
= i∑
c ∂t
V
~
(5.29)
k
Im folgenden sind wir nur an einer bestimmte Mode ~k des Feldes interessiert. Für diese Mode
lautet (5.29) einfach
r
2π h̄ω~k i(~k·~r−ω t)
~
~Eop~k = i
k
a~k e
− h.c. ~u~k .
(5.30)
V
Der Erwartungswert dieses Operators in einem Zustand |n~k i mit fester Anzahl n~k von Photonen
ist dann
hn~ |~Eop~k|n~ i = 0 ,
k
k
da ~Eop~k linear in Erzeugern und Vernichtern ist und die {|n~k i} ∀ n ein VONS bilden.
Nicht-klassische Felder
Der Erwartungswert des elektromagnetischen Feldes in
Zuständen mit fester Photonenzahl verschwindet.
66
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
Zustände mit festen Photonenzahlen sind daher nicht klassich.
Endliche Energiedichte
Andererseits gilt für die Energiedichte im selben Zustand
1
1 ~2
1
1 ~ 2 ~ 2 ,
E + Bop |n~k i = hn~k | Eop |n~k i = h̄ω~k n~k +
hn~k |
8π op
4π
V
2
wie wir es erwartet hätten. Das Ganze läßt vermuten, daß es mit der Photonenzahl etwas
Besonderes auf sich hat.
Wir werden nun zeigen, daß der Besetzungszahloperator nicht mit dem Phasen-Operator
kommutiert. In einem Eigenzustand von N~k ist die Phase des Feldes vollkommen unbestimmt
und damit verschwinden die klassischen Erwartungswerte. Um den Übergang zur klassischen
Feldtheorie korrekt zu beschreiben muss man daher kohärente Überlagerungen von Zuständen
mit unterschiedlichen Photonenzahlen betrachten.
Phasen-Operator
Für den Rest dieses Abschnittes behandeln wir eine einzige Mode des Strahlungsfeldes, also
werden wir die ~k-Abhängigkeit aller Operatoren weglassen.
Zunächst definieren den Phasen-Operatoren φ mittels
a =
√
a† = e−iφ
N + 1 eiφ ,
†
√
N = a† a ,
N + 1,
(5.31)
wir zerlegen also die Erzeuger und Vernichter formal in Amplitude und Phase. Diese Vorgehensweise lässt sich allg. bei Bosonen durchführen. Wie wir sehen werden ist der PhasenOperatoren “fast selbstadjungiert”, φ ≃ φ† , nur beim Vakuumzustand |0i wird man aufpassen
müssen.
Wir müssen nun zunächst zeigen, dass die Darstellung (5.31) unitär ist. Die Aufgabe ist
also die, diejenigen Vertauschungrelationen von N = a† a und φ zu finden, so dass
[N, φ] = ?
[a, a†] = 1 .
⇐⇒
Eigenschaften des Phasen-Operators
Man kann Gl. (5.31), unter Beachtung der Reihenfolge, invertieren:
√
N +1
−1
a = eiφ
a†
√
N +1
−1
†
= e−iφ .
(5.32)
Wir errinnern uns an die Matrixelmente (5.32) und (5.16),
√
√
a|ni = n |n − 1i
a† |ni = n + 1 |n + 1i ,
und finden
eiφ |ni =
√
N +1
−1
= (1 − δn,0 )
√
a|ni
N +1
−1 √
n|n − 1i =
|n − 1i ; n > 0
0
; n=0
(5.33)
5.2 Eigenschaften des Strahlungsfeldes
67
sowie
†
e−iφ |ni = a†
√
N +1
= |n + 1i .
−1
|ni = (n + 1)−1/2 a† |ni
(5.34)
Aus diesen beiden Beziehungen folgt die Matrixdarstellung der Phasen-Operatoren:
hn|eiφ |mi = δn,m−1
†
hn|e−iφ |mi = δn−1,m
und somit
†
†
hm|eiφ e−iφ |ni = δm,n ,
hm|e−iφ eiφ |ni = (1 − δn,0 ) δm,n .
(5.35)
Wenn φ selbstadjungiert wäre, dann würden e±iφ vertauschen. Gleichung (5.35) zeigt das dieses fast der Fall ist, bis auf n = 0, also insbesondere für grosse Teilchenzahlen.
Observable Phasen
†
†
Die Operatoren sind daher nicht hermitesch, denn eiφ = e−iφ aufgrund der obrigen Beziehungen, und daher in dieser Form keine physikalischen Observablen. Man kann jedoch
hermitesche Operatoren aus den Phasen-Operatoren kombinieren:
†
eiφ − e−iφ
,
sin φ ≡
2i
†
eiφ + e−iφ
cos φ ≡
.
2
(5.36)
Falls φ selbstadjungiert wäre, entspräche diese Definition jeweils dem Imaginär- sowie dem
Realteil. Für einen allgemeinen Operator φ definiert man durch (5.36) neue Operatoren sin φ
und cos φ.
Kommutationsrelationen
Im folgenden machen wir die Approximation φ ≃ φ† , welche bis auf das Vakuum exakt ist.
Dann folgt aus
√
√
1 = a a† − a† a = N + 1 eiφ e−iφ N + 1 − e−iφ (N + 1)eiφ
= N − e−iφ N eiφ = .N − e−iφ eiφ N + [N, eiφ ]
−iφ
−iφ
eiφ
= N − [e , N] + N e
die Kommutationsrelationen
i
h
N, eiφ = −eiφ ,
Es gelten daher die Vertauschungsrelationen
N, cos φ = i sin φ
i
h
N, e−iφ = e−iφ .
N, sin φ = i cos φ
N, φ = i
(5.37)
,
(5.38)
die ausdrücken, daß es prinzipiell nicht möglich ist, Phase und Teilchenzahl gleichzeitig scharf
zu bestimmen, die beiden Messungen sind also nicht verträglich.
68
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
Unschärferelation
Die Phase φ und der Teilchenzahloperator N = a† a sind
für Bosonen kanonische konjungierte Variabeln.
Man errinere sich dabei an die Heisenbergsche Unschärfrelation
(∆A)(∆B) ≥
1
1
| < [A, B] > | = ,
2
2
A, B = i ,
wobei letztere Beziehung für kanonisch konjugierte Operatoren A und B gilt.
Exkurs: Supraleitung
Dieses Ergebnis ist für die Supraleitung essentiell. Supraleitung kommt durch SingulettPaarung von Elektronen zustande und in einer sehr groben Näherung kann man diese SingulettPaare als Bosonen betrachten, denn nach dem Spin-Statistik-Theorem sind Teilchen mit ganzahligen internem Spin Bosonen.
Das supraleitenden Kondensat ist durch eine feste Phase charakterisiert, man spricht auch
von einer spontanen Brechung der globalen Eichinvarianz.
Wenn die Phase fest ist, dann kann es nach (5.38) die Teilchenzahl nicht sein. Daher ist
die BCS-Wellenfunktion
|ψBCS i = ∏ u~k + v~k c~† c† ~
|0i
k,↑ −k,↓
| {z }
~k
Elektronenpaar
eine kohärente Überlagerung von Zuständen mit verschiedenen Anzahl von Singulett-Paaren!
Schwankungsquadrate
In einem reinen Zustand |ni mit fester Photonenzahl verschwindet natürlich die Schwankung
des Besetzungszahloperators:
q
∆N = hn|N 2 |ni − hn|N|ni2 = 0
Dagegen hat cos φ eine endliche Schwankungsbreite. Es gilt hcos φi = 0 und
E
2 − δn,o
1 D iφ −iφ†
−iφ† iφ
hcos φi =
=
e e
+e
e
4
4
2
in einem reinen Zustand |ni, und somit für ∆ cos φ = ∆ sin φ
√
q
1/ 2 ; n > 0
2
2
∆ cos φ = hcos φi − hcos φi =
.
1
; n=0
2
Kohärente Zustände
Um einen Übergang zur makroskopischen Elektrodynamik zu erreichen, kann man Zustände
5.2 Eigenschaften des Strahlungsfeldes
69
mit verschiedenen Teilchenzahlen linear kombinieren. Man definiert einen kohärenten Zustand |ci (auch Glauber-Zustände genannt, Nobelpreis 2005) via
|ci ≡ e−|c|
2 /2
∞
cn
√
∑ |ni
n=0 n!
mit
c ∈ C,
c = |c|eiθ .
(5.39)
Wenn man für den Zustand |ni die Darstellung (5.26) benutzt, kann man das auch kompakter
schreiben:
∞
2
cn (a† )n
|ci = e−|c| /2 ∑ √ √ |0i = exp −|c|2 /2 + ca† |0i
n!
n=0 n!
Ein Glauber-Zustand |ci enthält nur die {|ni} einer einzigen Mode, also ist ~k immer noch
scharf festgelegt.
Eigenschaften des Glauberzustandes
Es gilt zunächst allgemein
n
n−1
|0i
a a† |0i = aa† − a† a + a† a a†
n−1
n−1
|0i = . . .
|0i + a† a a†
= a†
n−1
= n a†
|0i ,
woraus übrigens auch N(a† )n |0i = n(a† )n |0i folgt. Damit gilt
a|ci = c e−|c|
2 /2
∞
∑
n=1
(a† )n−1
p
|0i = c|ci .
(n − 1)! (n − 1)!
cn−1
p
Der Glauberzustand ist also ein Eigenzustand des Vernichters. Wir fassen die Beziehungen
a|ci = c|ci
hc|a|ci = c,
hc|a† |ci = c∗ ,
hc|ci = 1 .
(5.40)
zusammmen. Wir bemerken, dass die kohärenten Zustände keine orthogonale Basis bilden,
denn i.A. hc|c′ i =
6 0.
Elektrisches Feld eines kohärenten Zustandes
Der Erwartungswert
r
r
2π
h̄ω
2π h̄ω i(~k·~r−ωt+θ)
~k·~r−ωt)
i(
ce
− c.c. ~u = i
|c| e
− c.c. ~u =
hc|~Eop|ci = i
V
V
r
2π h̄ω
= −2
|c| sin ~k ·~r − ωt + θ ~u .
(5.41)
V
des elektrischen Feldes in einem kohärenten Zustand entspricht der klassischen Erwartung.
70
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
Es besteht also eine Eins-zu-Eins Beziehung zwischen den ebenen Wellen der klassischen
Elektrodynamik und kohärenten Zuständen |ci, da mittels c = |c|eiθ sowohl die Amplitude wie
auch die Phase der ebenen Welle mittels (5.41) bestimmt werden können.
Photonen-Anzahl-Fluktuationen
As den Beziehungen (5.40) und N 2 = a† aa† a = a† a + a† a† aa folgt
hc|N|ci = |c|2
hc|N 2 |ci = |c|4 + |c|2 ,
und
so daß
∆N =
q
hN 2 i − hNi2 = |c| .
(5.42)
Die relative Schwankung der Photonenzahl ist damit
1
1
∆N
.
=
= p
hNi
|c|
hNi
(5.43)
Je größer also die Teilchenzahl, desto geringer ist ihre relative Schwankung. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung genau m Photonen zu finden, ist
2
m
2m
c
2 /2 −|c|
= e−|c|2 |c| ,
|hm|ci| = √ e
m!
m!
2
sie gehorcht also einer Poisson-Verteilung.
Schwankungen der Phase
Wir gehen von der Unschärferelation
∆A ∆B ≥
1 h
[A,
B]
i
2
für zwei
hermitesche Operatoren A und B aus. Mit (5.38) für die Vertauschungsre allgemeine
lation N, sin φ = i cos φ erhalten wir für die Schwankungen ∆ sin φ von sin φ
∆N ∆ sin φ ≥
1 h
cos
φ
i
2
und mit (5.42) für ∆N = |c| und ∆ sin φ = ∆ cos φ finden wir
∆ cos φ
1
≥
.
| hcos φi |
2|c|
(5.44)
Die Abschätzung ergibt streng genommen nur eine untere Schranke für die relative Schankungen der Phase, erspart uns aber eine aufwendige Rechnung. Im Allgemeinen werden sind die
wirklichen Schwankungen von zwei Operatoren von der gleichen Grössenordnung wie durch
die jeweiligen Unschärferelation angegeben.
Die relative Phasenschwanken verschwinden also im Grenzfall grosser Photonenzahlen
hNi = |c|2 , genau wie die relativen Schwankungen der Photonenzahlen selber, Gleichung
(5.43).
5.2 Eigenschaften des Strahlungsfeldes
71
Klassischer Grenzfall
Das Lichtfeld ist in Phase und Teilchenzahl um so besser definiert ist, je mehr Photonen es enthält. Im Grenzfall großer Photonenzahlen entspricht der klassichen
Beschreibung.
Das ist auch intuitiv klar. Bei wenigen Photonen treten deren quantenmechanischen Eigenschaften deutlich zu Tage, und mitteln sich im Grenzfall hoher Phononenzahlen weg.
5.2.2 Wechselwirkung von Strahlung mit Materie
In diesem Abschnitt soll nur die Emission und Absorption von Photonen durch Materie (hier
gebundene Elektronen) untersucht werden.
Minimalsubstitution
Der gesamte Hamiltonian für Materie und Strahlung lautet
H = Hem + Hmat + HI ,
(5.45)
wobei Hem das Lichtfeld alleine, Hmat die Materie alleine und HI die Wechselwirkung zwischen beiden beschreibt,
1
~p 2
Hem = ∑ h̄ω~k N~k +
,
Hmat = ∑ i +V (~r1 ,~r2 , . . .) .
2
i 2mi
~
k
Wir vernachlässigen hier Spin-Effekte. Der Index i zählt die beteiligten Teilchen durch. Die
Wechselwirkung HI ergibt sich mit der Einführung elektromagnetischer Felder durch Minimalsubstitution in Coulomb-Eichung:
~pi
→
e
~pi − ~Aop (~ri ,t) ,
c
wobei e die Elementarladung inst. Dabei ist zu beachten, daß für das Vektorpotential der Operator (5.21) einzusetzen ist, er beschreibt das Vektorpotential an der Stelle ~ri des i-ten Teilchens.
Licht-Materie-Wechselwirkung
Für die Wechselwirkung HI von Licht und Materie kommt dann mit ~Aiop = ~Aop (~ri ,t)
2 2 e
e ~i
i
i
~Aop
HI = ∑ −
~pi · Aop + ~Aop · ~pi +
2
2m
c
2m
c
i
i
i
e2 ~ i 2
e ~i
≡ HI′ + HI
Aop
Aop · ~pi + ∑
= −∑
2
m
c
2m
c
i | i {z
i | i {z
}
}
paramagnetisch
diamagnetisch
(5.46)
72
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
heraus, wobei wegen der Coulomb-Eichung, ~∇ · ~A = 0,
h̄
~p · ~A = ~∇ · ~A + ~A · ~p = ~A · ~p
i
gesetzt wurde. Die beiden Terme in (5.46) bezeichnet man als paramagnetische und diamagnetische Anteile. Der diamagnetische Term ∼ (~A)2 koppelt an die Materie auschliesslich durch
den Ortsoperator~ri im Argument des Vektorpotentials ~Aiop = ~Aiop (~ri ,t).
Zustandsraum
Der gesamte Hamiltonian (5.45) wirkt auf einen Zustand, der sowohl das Lichtfeld als auch
die Materie enthält:
|Materiezustandi ⊗ |Lichtfeldzustandi
Störoperator für ein einzelnes Elektron
Im folgenden betrachten wir einen Spezialfall: Wir fragen nach den Übergangsraten, die ein
einzelnes gebundenes Elektron in einem Atom (z. B. dem Wasserstoff-Atom) durch die Anwesenheit eines Strahlungsfeldes erfährt. Der Hamiltonian der Wechselwirkung lautet jetzt
e
HI′ = − ∑
mc ~
k
s
2π h̄c2 i~k·~r
a~k e + h.c. ~u~k · ~p .
V ω~k
(5.47)
Zwei Vereinfachungen wurden hier gemacht. Erstens wurde der ~A2 -Term vernachlässigt und
zweitens ist HI′ zeitunabhängig, da jeder eiωt -Faktor in der folgenden Rechnung sowieso wegfallen würde.2
Fermi’s goldene Regel
Wir betrachten nun HI′ als Störung. Die Goldene Regel für die Übergangsrate von einem Anfangszustand |ii in einen Endzustand | f i lautet dann
Γi→ f =
2
2π
δ(Ei − E f ) h f |HI′ |ii .
h̄
(5.48)
Gesamtenergien
Die Energien Ei und E f sind die Gesamtenergien von Strahlungsfeld und Materie vor und nach
dem Übergang, genau wie |ii und | f i die Zustände in beiden Hilbert-Räumen angeben. Wir
nehmen an, der Anfangs- und Endzustand sei jeweils ein Eigenzustand von H0 = Hem + Hmat :
Hmat |εi i = εi |εi i
Hmat |ε f i = ε f |ε f i
Man kann auch den zeitabhängigen Operator ~Aop (~r,t) ins Schrödinger-Bild transformieren und würde das
gleiche Ergebnis erhalten. Die Zustände, die in der folgenden Rechnung auftreten, wären dann zeitabhängig, was
allerdings nicht ins Gewicht fiele.
2
5.2 Eigenschaften des Strahlungsfeldes
73
1
|{n~ik }i
= ∑ h̄ω~k
2
~k
1
f
f
f
|{n~ }i
Hem |{n~ }i = ∑ h̄ω~k n~ +
k
k
k
2
~
Hem |{n~ik }i
n~ik +
k
Die Zustände lauten dann
f
k
|ii = |εi i ⊗ |{n~ik }i,
| f i = |ε f i ⊗ |{n~ }i .
Wir betrachten nun nacheinander die Emission und die Absorbtion eines Photons.
Emission eines Photons h̄~k
Die Energien von Anfangs- und Endzustand sind
1
Ei = εi + ∑ h̄ω~k′ n~k′ +
2
~k′
1
+ h̄ω~k ,
E f = ε f + ∑ h̄ω~k′ n~k′ +
2
~′
k
denn es soll genau ein Photon der Energie h̄ω~k emittiert werden. Die Zustandsvektoren sind
|ii = |εi i ⊗ | . . ., n~k , . . .i
| f i = |ε f i ⊗ | . . ., n~k + 1, . . .i .
Die Goldene Regel sagt nun aus, daß bei einem entsprechenden Übergang
Ei − E f = εi − (ε f + h̄ω~k ) = 0
gelten muß. Das ist die Energie-Erhaltung. Es gilt weiter
s
2π h̄c2
e
~′
h f |HI′ |ii = − ∑
hε f |~u~k′ e−ik ·~r~pεi ih. . . , n~k + 1, . . .|a~†′ |. . . , n~k , . . .i .
k
mc ~ ′
V ω~k′
k
Die Vernichter kommen nicht mehr vor, da die zugehörigen Matrixelemente sowieso verschwinden (links stehen mehr Photonen als rechts). Von der Summe bleibt nur ein Summand
übrig, nämlich der für ~k = ~k′ . Nur in diesem Fall wird durch den Erzeuger in der richtigen
Mode ein Photon erzeugt, und das Skalarprodukt verschwindet nicht. Der zweite Faktor in der
Klammer ergibt also
q
†
h. . . , n~k + 1, . . .|a~ ′ |. . ., n~k , . . .i = n~k + 1 δ~k,~k′ ,
k
und die Übergangsrate für die Emission ist somit
Γei→ f
2
4π2 e2
−i~k·~r
δ(εi − (ε f + h̄ω~k )) n~k + 1 hε f |~u~k e
~p|εi i .
= 2
m V ω~k
(5.49)
74
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
Eine Diskussion dieser Formel folgt später.
Absorption eines Photons h̄~k
Die Energien von Anfangs- und Endzustand sind
Ei
Ef
1
= εi + ∑ h̄ω~k′ n~k′ +
2
~k′
1
− h̄ω~k ,
= ε f + ∑ h̄ω~k′ n~k′ +
2
~′
k
denn nun wird das Photon dem Lichtfeld “entzogen”. Die Zustandsvektoren sind
|ii = |εi i ⊗ | . . . , n~k , . . .i
| f i = |ε f i ⊗ | . . . , n~k − 1, . . .i .
Bei der Berechnung des Matrixelementes h f |HI′ |ii tragen in diesem Fall die Erzeuger nichts
bei, und es bleibt nur der Vernichter mit ~k =~k′ übrig. Auf analoge Weise wie bei der Emission
ergibt sich
Γai→ f =
2
4π2 e2
i~k·~r
δ(ε
−
(ε
−
h̄ω
))
n
hε
|~
u
e
~
p|ε
i
.
i
f
f
i
~k
~k
~k
2
m V ω~k
(5.50)
Diskussion: Absobtion vs. Emission
Die beiden Ausdrücke (5.49) und (5.50) für Emissions- und Absorbtionsprozesse sind identisch, bis auf die Besetzungszahlfaktoren
• Spontanen Emission
Von spontaner Emission spricht man wenn ein Photon in Abwesenheit andere Photonen emittiert wird. Sponate Emission ist möglich da der Faktor (n~k + 1) in (5.49) in
Abwesenheit eines äusseren Photonenfelds (n~k = 0) nicht verschwindet.
• Stimulierte Emission
Der Faktor (n~k + 1) in (5.49) besagt, dass in Anwesenheit eines äusseren Feldes mit
der gleichen Quantenzahl die Emissionswahrscheinlichkeit erhöht ist, proportional zur
Intensität des äusseren Lichtfeldes.
Man spricht von stimulierter Emission, essentiell für den Laser, da eine Mode h̄~k nur
Photonen mit exakt der gleichen Wellenlänge λ = 2π/|~k| zur Emission bringt. Man
erhält also kohärente Strahlung.
• Absorbtion
Die Interpretation des Besetzungszahlfaktors n~k in (5.50) für Absorbtionsprozesse ist
vergleichsweise trivial. Es können nur Photonen absorbiert werden welche vorhanden
sind.
5.2 Eigenschaften des Strahlungsfeldes
75
Elektrische Dipol-Übergang
Wir betrachten den elektrische Dipol-Übergang , welcher dann stattfindent, wenn man die
~
Exponentialfunktion eik·~r im Matrixelement als konstant gleich 1 annehmen kann. Dieses ist
möglich, wenn
~k ·~r ≈ 2πa0 ≪ 1 ,
(5.51)
λ
also wenn die Wellenlänge λ der beteiligten Strahlung groß gegen typische Abmessungen des
Systems ist (hier der Bohrsche Radius). Warum (5.51) elektrische Dipol-Näherung heißt, wird
klar, wenn man das Matrixelement weiter umformt. Wir verwenden
h̄2 ∂2
∂2
h̄2 ∂
ih̄
h̄2 ∂2
,x =
x−x 2 =
=
px
2
2
2m ∂x
2m ∂x
∂x
m ∂x
m
und erhalten
im im
Hmat ,~r |εi i =
hε f |Hmat~r −~rHmat |εi i
h̄
h̄
im
hε f |~r|εi i ε f − εi .
=
h̄
hε f |~p|εi i = hε f |
(5.52)
Das ist aber genau das Dipol-Matrixelement, das sich auch ergibt, wenn man als Wechselwirkung gleich die elektrische Dipol-Energie im Feld
Edip = −e~r · ~Eop
einsetzt.
Auswahlregeln
Die Matrixelemente in (5.49) und (5.50) legen fest, mit welcher Wahrscheinlichkeit oder ob
überhaupt der betrachtete Übergang stattfindet. Sie sind für die Auswahlregeln zuständig.
Für den elektrischen Dipol-Übergang besagt das Matrixelement (5.52) daß Anfangs- und
Endzustand auf jeden Fall unterschiedliche Parität haben müssen, wenn der Übergang erlaubt
sein soll, denn~r ist ungerade unter Raumspiegelung.
Im Atom sind daher elektrischen Dipol-Übergänge vom s-Niveau in die p- oder die fSchale erlaubt, nicht aber in die d-Schale.
Übergänge höherer Ordnung
Übergänge, die in nullter Ordnung verboten sind, können dennoch stattfinden, wenn höhere
Ordnungen zuschlagen, also die Exponentialfunktion weiter entwickelt wird:
~
e±ik·~r ≈ 1 ± i~k ·~r + · · ·
Die nächste Ordnung (linear in ~k ·~r) beschreibt dabei magnetische Dipol- und elektrische
Quadrupolübergänge.
5.2.3 Lebensdauer eines angeregten Zustandes
Es erscheint seltsam, das̈ in (5.49) und (5.50) noch das Periodisierungsvolumen V steht.
Eigentlich sollten Übergangsraten von dieser Hilfsgröße unabhängig sein. In der folgenden
76
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
Rechnung wird schließlich V → ∞ gehen, um aber sinnvolle Ergebnisse zu bekommen, muß
man noch Übergänge in eine Gruppe von Endzuständen betrachten und über diese und zusätzlich alle möglichen ~k-Vektoren des Photons summieren. Die δ-Funktionen sorgen dann für
die Energie-Erhaltung. Als erstes Beispiel betrachten wir die spontane Emission aus einem
beliebigen Zustand in eine Menge von Endzuständen.
Lebensdauer eines angregten Zustandes
Wir definieren die Lebensdauer τ eines angeregten Zustandes über die Übergangsrate durch
spontane Emission in Zielniveaus |ε f i:
1
≡
τ
=
∑ Γi→ f
f ,~k
∑∑∑
f ~k
λ
2
2
4π2 e2 ~
ε
−
ε
,
hε
|~
u
(
k)
·~
r|ε
i
δ
ε
−
ε
+
h̄ω
i
f
f
i
f
i
~
λ
k
h̄2V ω~k
(5.53)
wobei wir den Ausdruck (5.52) für das Dipol-Matrixelment verwendet haben.
• Der Ausdruck (5.2.3) besteht aus dem Anteil der spontanen Emission in (5.49), summiert über alle Zielniveaus f des Atoms und alle Wellenvektoren ~k des Photons.
• Die δ-Funktion sorgt dafür, das̈ von den Summen nur die Glieder übrig bleiben, bei
denen die freigewordene Energie auch ins Strahlungsfeld geht.
• Der Polarisationsindex λ ist in (5.2.3) wieder explizit, mit dem Einheits-Polarizationsvektor
~uλ (~k) des Lichtfeldes.
Thermodynamischer Limes
Nun soll V gegen unendlich gehen. Durch die Ersetzung
1
V
∑
~k
→
1
(2π)3
Z
d3k
wird das bewerkstelligt, denn das Volumen einer Mode im ~k-Raum ist bei periodischen Randbedingungen gleich (2π)3 /V , bei kontinuierlichem ~k aber gleich d 3 k.
Summation über Polarisationszustände
Zuerst kümmern wir uns um die λ-Summation. Es ist
2
2 |~r|εi i
∑ ~uλ(~k) · |hε f {z
}
λ=1
(5.54)
≡ d~
zu berechnen.
Da die ~uλ mit ~k ein orthogonales Dreibein bilden müssen (siehe Abb. 5.1), sonst aber frei
wählbar sind, kann man z. B. ~u2 so wählen, daß es auf das Dipol-Matrixelement d~ senkrecht
steht, so daß die Summe nur noch das Glied mit ~u1 enthält. Bezeichnet ξ den Winkel zwischen
d~ und ~u1 , so ist der Winkel zwischen d~ und ~k gleich ϑ = (π/2 − ξ). Damit wird die obige
Summe einfach zu
hε f |~r|εi i2 sin2 ϑ .
5.2 Eigenschaften des Strahlungsfeldes
77
~u2 6
~k
HH
HH ϑ
HH
ξ
HH
j
H
~u1 ?
d~
-
Abbildung 5.1: Das orthogonale Dreibein aus den beiden Polarisationsvektoren ~u1 , ~u2 und
dem Wellenvektor des Photons ~k kann so gelegt werden, dass das DipolMatrixelemnt d~ in der ~u1 -~k Ebene zu liegen kommt.
Integration über Photonen-Impulse
Günstigerweise legt man das Koordinatensystem für die~k-Integration so, daß d~ in kz -Richtung
zeigt, dann kommt der sin2 ϑ für eine Integration in Kugelkoordinaten recht gelegen:
2
2 1 Z 2
δ
ε
−
ε
+
h̄ω
4π2 e2 1
f
i
~
k
k sin ϑ sin2 ϑ
= ∑ 2 hε f |~r|εi i ε f − εi
dk dϑ dφ
3
τ
(2π)
ω
h̄
~k
f
Z
2
2 Z
e2 3
ε f − εi
ε
δ
ε
−
ε
+
ε
dε
= ∑
hε
|~
r|ε
i
sin
ϑ
dϑ
dφ
f
i
f
i
4 3
f 2π h̄ c
{z
}
{z
}|
|
8π/3
εi −ε f
Im letzten Schritt wurde die k-Integration auf die Variable ε = h̄ω~k umgeschrieben. Das Winkelintegral ergibt 8π/3, und damit lautet das endgültige Ergebnis
2
εi − ε f 3 1
4e2
.
hε
|~
r|ε
i
=
f
i
∑
τ
3h̄c3 f
h̄
(5.55)
Wie man sieht, sind spontane Emission und Auswahlregeln “Gegenspieler”:
• Wenn ein System sich in einem Zustand befindet, von dem aus nur verbotene Übergänge
nach unten führen, so ist dieser angeregte Zustand sehr langlebig.
• Wenn man es fertigbringt, “von oben herab” ein solches Niveau zu bevölkern, dann kann
man eine Besetzungsinversion erreichen.
Anwendung findet dieses Prinzip in jedem Laser.
78
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
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