µ = g µ I

2.5.1 Spin und magnetische Momente
•  Proton und Neutron sind Spin-½ Teilchen (Fermionen)
•  Aus Hyperfeinstruktur der Energieniveaus vieler Atomkerne kann man
schließen, dass Atomkerne ein magnetisches Moment besitzen. Dieses ist mit
einem Drehimpuls verbunden:

I = Kernspin
I = Kernspinquantenzahl (halb- oder ganzzahlig)
•  Man nimmt an, dass sich der Kernspin zusammensetzt aus der Vektorsumme
der Nukleonenspins und der Bahndrehimpulse der Nukleonen

I=
∑(
i
 
Ii + Li
)
Summe über alle Nukleonen
•  Das magnetische Moment µI ist proportional zum Kernspin I und wird wie folgt
geschrieben:


I
µ I = g Kµ K

wobei
µK =
e
= 3,152 10 −8 eV/T
2m p c
das Kernmagneton darstellt.
•  Man beachte, dass das Kernmagneton im Vergleich zum Bohr‘schen Magneton
um einen Faktor mp / me = 1836 kleiner ist.
•  Der Faktor gK ist der sogenannte Kern g-Faktor und ist über das folgende
Verhältnis definiert.
µI
gK =
I
max(µ Iz )
µ IK =
µK
max(I z )
I=
= max(m I )
!
Dieser Faktor gibt an, um welchen Faktor sich das magnetische Moment des Kerns von
demjenigen unterscheidet, das man für einen Drehimpuls I klassischerwarten würde.
:.
Abstand der Terme gilt wieder die I n t e r va 11.
2.5.2 Hyperfeinstruktur
(e.8)
F
,l
49
(2F+l)
{
tru ktur-Mu ltiplett
Hyperfeinstrukturaufspaltung: Multiplett für
J=5/2 und I = 3/2
(aus Meyer-Kuckuk, Atomphysik, Abb. 92)
2.5.3 Hyperfeinstruktur in äußeren Magnetfeldern
Äußeres Magnetfeld

B
Wechselwirkungsenergie
202
HFS
B
V
9
Wechselwirkung der Elektronenhülle mit magnet.
 Wir 
= −µ F ⋅ B$ginnen mit der Aufspaltung im schwachen Feld. Dabei
I erhalten.
Die Verhältnisse liegen dann ganz ähnlich wi
und -+
-+
und
S zu J, nur eben energetisch in einer kleineren Größenor
Man muss unterscheiden zwischen der
Aufspaltung
in einem schwachen
und einem starken Magnetfeld


i) Schwaches B -Feld: VB << VHFS ( I, J −Kopplung)
lü

,o
I, J −Kopplung bleibt erhalten



Präzessionsbewegung von I und J um F;

i
F präzessiert seinerseits um die Z-Achse;
ln    

 
⇒ -µ F ⋅ B = − 21|F 2 | (g Kµ K ⋅ I − g J ⋅µ B ⋅ J) ⋅ F ( F ⋅ B)
l3
wobei gJ = Landéscher g-Faktor
(aus Meyer-Kuckuk,
Atomphysik, Abb. 99)
t
J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)
Drehimpulskopplung
99 Zur
gFrg.J :=
1+
{Magnetfeld 2J(J+1) bei der}Hyperfeinstruktur-Aufspaltu
(bekannt aus der Atomphysik, Zeemann-Aufspaltung der Feinstrukturniveaus
In Fig. 99a, b sind zum Vergleich Kopplungsbilder fiir die be
im Magnetfeld;
man beachte auch, dass aufgrund der verschiedenen
der elektrischen
Ladungen
präzessieren
in diesem
gezeichne! WieVorzeichen
bei der LS-Kopplung
von Elektronen und Kern die magnetischen
Momente
verschiedene
haben.)
präzessiert. Di
langsamVorzeichen
um die z-Achse
während
F seinerseits

   
 
1
-µ F ⋅ B = − 2 |F 2 | (g Kµ K ⋅ I − g J ⋅µ B ⋅ J) ⋅ F ( F ⋅ B)
Man beachte, dass aufgrund der verschiedenen g-Faktoren das magnetische
Moment µF und der Gesamtdrehimpuls F nicht I22
in die6gleiche
Richtung
zeigen.
von Lichtquanten
Die Emission
ist (vgl. (4.6)un<t
Analog zur Zeeman-Aufspaltung der Feinstrukturniveaus
4.18)). Dasisteine relativ
schn e lle
Präzessionsbew
Die Kopplung der Drehimpulsvektoren ist in Fig. 54 nach oben hin aufgetr
Fig. 54
Vektordia
Berechnun
Effekts
(aus Meyer-Kuckuk, Atomphysik, Abb. 54)
unten sind in umgekehrter Richtung die zugehörigen Vektoren der magne
Die Störenergien ergeben sich wie üblich durch Übergänge von den Operatoren
zu den Eigenwerten:
F(F +1) + I(I +1) − J(J
+
⇒ ΔE HFS
=
−
m
⋅
B
⋅
g
⋅
µ
B
F
K
K
2F(F +1)
+mF ⋅ B ⋅ g J ⋅
oder
B
1)
F(F +1) + J(J +1) − I(I+ 1)
µ
2F(F +1)
ΔE HFS
B,schwach = g F ⋅µ B ⋅ B ⋅ m F
wobei
µK
g F := g J ⋅ F(F+1)+J(J+1)−I(I+1)
−
g
K µ
2F(F+1)
B
F(F+1)+I(I+1)−J(J+1)
2F(F+1)
Da µK/µB ≈ 1/1800 ist der erste Term dominant
Dies stellt die Zeeman-Aufspaltung des HFS-Niveaus dar.
Man erhält eine äquidistante Aufspaltung jedes Niveaus in (2F+1) Komponenten)
e für
und
m-mr+mI
- l--L
'22
r
o- +-+
rll
-'--T-2
o
--tr*tr
Aufspaltung der Hyperfeinstrukturniveaus für J=½ und I=½ in einem schwachen und starken äußeren
Magnetfeld (aus T. Meyer-Kuckuk, Atomphysik, Abb. 100)

ii) Starkes B -Feld:


→  Entkopplung
von I und J (ähnlich zum Paschen-Back-Effekt)


I und J präzessieren um B
→  zwei Energiekorrekturen
(i) Zeeman-Aufspaltung (äußeres Feld wirkt auf starkes magn. Moment der Hülle)
ΔE = g J ⋅µ B ⋅ m J ⋅ B
(ii) Standard-Hyperfeinstruktur-Wechselwirkung
VHFS =
µ Iµ K ⋅B
 
( I ⋅ J)
 

aber: keine Kopplung von I und J zu F !!



und
präzessieren
unabhängig
um
B , mit verschiedenen
I
J
 2 ⋅I⋅J
Geschwindigkeiten
 
⇒ ( I ⋅ J) =
1
B2
   
( I ⋅ B)( B⋅ J) = I Z ⋅ J Z
ΔE =
µ I ⋅µ J ⋅B0
J⋅I
⋅ mI ⋅ mJ = A ⋅ mI ⋅ mJ
Man beachte, dass am Kernort das von der Hülle erzeugte Magnetfeld
dominiert und mit etwa 100 T viel stärker als das äußere Feld ist.
Aufspaltung der Hyperfeinstrukturniveaus für J=½ und I=½ in einem schwachen und starken äußeren
Magnetfeld (aus T. Meyer-Kuckuk, Atomphysik, Abb. 100)
•  Aufspaltung der J-Energieniveaus im starken äußeren Magnetfeld in (2J+1) Niveaus
•  Zeeman-Aufspaltung der mJ-Niveaus nach mI; In jeder Gruppe (mJ = const) beträgt
die Zahl der Unterzustände (2I+1); Die Untersuchung des Aufspaltungsmusters in
einem starken Magnetfeld stellt somit eine einfache Methode zur Bestimmung des
Kernspins I dar.
•  Der Zeeman-Effekt der Hyperfeinstruktur geht in die Hyperfeinstruktur des
Zeeman-Effekts über.
Aufspaltung der Hyperfeinstrukturniveaus für J=3/2 und I=3/2 in einem schwachen und starken äußeren
Magnetfeld (aus T. Meyer-Kuckuk, Atomphysik, Abb. 101)
Auswahlregeln für elektromagnetische Übergänge
(Photon-Emission und Absorption):
• 
Zeeman-Gebiet (B schwach):
•  ∆F = 0, ±1
•  ∆mF = 0, ±1
• 
Paschen-Back-Gebiet (B stark):
•  ∆mI = 0, ±1
•  oder ∆mJ = 0, ±1
Atomstrahlapparatur nach Rabi
(aus Bethge, Walter, Wiedemann, Kernphysik, Abb. 3.6)
!
! !
Zur Erinnerung: F = ∇ µ I ⋅ B
(
)
der meisten stabileispiele. Man sieht,
am Ort des Protons ist. Noch genauere Werte er-i1t man durch die Messung der Zeeman-Aufspaltung
1: I(Ip + 1,,)
"l:+h,derbe-
AW
pin
: lt.B
Das positive Vorzeic
tonenspin und magn
zueinander sind.
muß also auch im
ln
:
mr ITl.t
1 +lz
0 +lz
1fi sein.
st auch das magne-
Q.zs)
or g1, dem Kern-
27
l1t
(2.26)
von ä darstellbar.
Für das gyromagne
tischem Moment und m
Protons erhalten u ir dam
/r,,:
'-'
:
,(n
ur
Ip
---<
nt der Elektronenaus Landö-Faktor
von /z geschrieben
sein muß.
l-5r,
1-%
0 -Vz
-
|
\_l_/
_
t,.
.qi,r,ffiffi
,.4ik/oweilen_ /
,-u--
"|_-]B-l
A Y'l Cl/
\_lJ
Detekror
B \"'
ll2
Das Proton hat ein ano
ment [2.12]. Wenn es,
tares Teilchen wäre mit
*e, würde man eigentlic
ten. Der gemessene groß
hin. daß das Proton aus
zusammengesetzt ist.
Dieser Hinweis wu
Entladung
\bb.2.17a,b. Zur Messung des magnetischen Moments
:es
Protonszur
mitMessung
Hilfe der
in einem HExperiment
desR.abi-Methode
magnetischen Moments
2.7927
-----:--:
deckt wurde, daß auch
Moment
(a)Hilfe
\tonrstrahl.
Terrr-rschema
der Zeeman-Aufspaltung;
des
Protons mit
der Rabi-Methode
in einem H-Atomstrahl
b t Experimentelle Anordnung
(aus Demtröder, Experimentalphysik 4)
Fn: -
1,91315/-rK
Kernspinresonanz
(aus Meyer-Kuckuk, Kernphysik, Abb. 24)
Abb. 2.23
Prinzip einer Kernresonanzapparatur
Abb. 2.24
(aus Bethge, Walter, Wiedemann,
Kernphysik, Abb. 3.2)
Theoretische Berechung des differentiellen Wirkungsquerschnitts
für die Streuung von 10B an 10B für verschiedene Kernspinhypothesen
20
2.
Aufbau der Atomkerne
KernTabelle2.2. Häufig gebrauchte Bezeichnungen in der
3ri
Deuteron !H
physik
Nükleonen
Protonen uRd Neutronen
Nukiid
Kernlx
mit Z
Protonen.und
N - (A - Z) Neutronett
Kerne mit gleicher
ProtonenzahllZ; aber
Isotope
unterschiedlicher
Massenzahl A, aber
verschiedener
ProlonenzahlZ
t;c, tfc;'
I
:
.
Nentronenzahl N
Kerle mit gleiiher
l.sobare
lr-i;2frlu
.'
lfc,rlfN
'
'1{c,,1fN,
1!o.
,
.
fn,lHq;
t;-c;l'lN
Kernspinquantenzahlen und magnetische Momente
Spiegetkeirner
mit vertauschten':
Werten von Z'und N:
Kerne,
Nz, Nr = Zz'
h:Kernmagnetons
einiger Kerne in einheiten des
Kerne mit gleiqhen Z
(aus Demtröder,Isornere
Experimentalphysik
4)
und N in vetschiedenen
Kerne
Enenriezustlinden
aOer: I =
Abb.2.16. Kernspin 1 als Vektorsumme aus Nukleonen-
und Nukleonenbahndrehimpulsen mit den Beispielen
de, Deuterons, des !Li- und des ,Li-Kerne'
*ins
und die halb- oder ganzzahltgeZah
1 ist die KernsPinquantenzahl.
Analog zum Gesamtdrehimpuls ,/: L(si */;)
s
der Elektronenhülle, der durch die Elektronenspins
und die Elektronenbahndrehimpulse l; bestimmt ist
Vek
setzt sich auch der Kernspin 1 zusammen aus der
torsumme tler Protonen- und Neutronenspins und den
BahndrehimPulsen der Nukleonen:
t :l{ti+ L)
.l
Z,
aber unterschiedlichem A
heißen Isotope, solche mit gleichem
A aber verschie-
Tabelle 2'2 gtbt eine Zusammenstellung einiger häufi g gebrauchterBezeichnungen
denem
Z stnd Isobure'
.
(2.24
im Grundzustand der meisten stabi
aeriferTe; Abb.2'16 gibt einige Beispiele' Man sieh
: E(1p * 1n
daß für ll-i der beobachtete Kernspin /
Es gilt
Kerne mit gleichem
i
/ heißt Kernspin,
.:.
Kerne mit gleichsr
Neutronenzahl N' aber'
verschiedenen Ws{ten
tion Z'
Isotone,
t'nit'tilu
.11r
LL,:0
ilt ltlp+Inl : lh, der be
im
obachtete Kernspin t :lh.Hier muß also auch
ist. eeim
ll-i
hingegen
Abb. 2.25
Magnetische Momente für Kerne
mit ungepaartem Proton
Magnetische Momente für Kerne
mit ungepaartem Neutron
(aus Meyer-Kuckuk, Kernphysik, Abb. 25)
Abb. 2.26
(aus Meyer-Kuckuk, Kernphysik, Abb. 26)
Abb. 2.27
amit
gen
nergie
• 
r proton-
Gesamtdie
alb
wischen
ediglich
des
Bildung des Erwartungswertes uon
i ' i=
P
| fFt - -irdie
 
VHFS = −µ I B0
operatoren durch
die entsprechenden Eigenwerte h2F(F + 1) usw. ersetzen. Wir erhalten
Zusätzliche Wechselwirkungsenergie
aE'rs=-|rtru+r)-I(I+r)-r(r+r)l
I
mit
=ry;}
e.7)
f Magnetfeld darstellt.
wobei B0 das von den Hüllenelektronen am Kernort:. erzeugte
Dies führt zu einer Kopplung des Kernspins I und des gesamten Drehimpulses J
inAnalogie zu (5.51). Für den relativen Abstand der Terme gilt wieder die I n t e r va 11.
der Hüller ezum
F des Atoms.
g e l. Gesamtdrehimpuls
Aus (9.7) erhält man nämlich
AEr*r -AEF=-A(F+1),
(e.1)
sicht
Bahn-
srelation
(e.8)
was besagt, daß der Abstand zweier
F
,l
Terme in einem HyperfeinstrukturMultiplett proportional zum größeren
der beiden F-Werte ist. Wegen (9.8)
49
(2F+l)
{
heißt A I nte rv allf akt o r. Das
Aufspaltungsmuster ist fi.ir einen einfachen Fall in Fig.92 sl,tzziert.
(e.2)
J(
u
I
Fig.92
Hyperfeinstru ktur-Mu ltiplett
(aus Meyer-Kuckuk, Atomphysik, Abb. 92)
Kommentare zu I~ · J~
In der Vorlesung haben wir Terme der Form I~ · J~ gehabt. Diese konnten wir auflösen indem wir
die Definition von F~ genommen haben und diese quadriert haben.
⌘2
⇣ ⌘2 ⇣
F~ = I~ + J~
⇣ ⌘2 ⇣ ⌘2
= I~ + J~ + I~ · J~ + J~ · I~
⇣ ⌘2 ⇣ ⌘2
= I~ + J~ + 2I~ · J~ .
(2)
⇣ ⌘2 ◆
.
J~
(4)
Diese Gleichung 3 konnten wir dann umformen zu
✓⇣ ⌘
⇣ ⌘2
2
1
~
~
~
F
I~
I ·J =
2
(1)
(3)
Nun konnten wir die Eigenwerte für diese Operatoren einsetzen. Damit hatten wir das finale
Ergebnis erhalten
h̄2
~
~
I ·J =
(F (F + 1)
2
I (I + 1)
J (J + 1)) .
(5)
Bei dem Schritt von Gleichung 2 nach Gleichung 3 kam die Frage auf warum dies geht. Insbesondere, ob I~ und J~ kommutieren. Die Antwort ist dass diese beiden Operatoren in der Tat
kommutieren. Sie sind Operatoren auf verschiedene Größen, I~ auf den Gesamptspin des Atomkerns und J~ auf den Gesamtdrehimpuls der Atomhülle, und kommutieren daher.