X.3 Magnetostatik in Materie

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N.BORGHINI
Elektrodynamik in Materie
Theoretische Physik IV
X.3 Magnetostatik in Materie
Dieser Abschnitt befasst sich mit der makroskopischen Beschreibung der magnetischen Eigenschaften eines leitenden oder nichtleitenden Körpers im stationären Regime.
X.3.1 Magnetisierung
Man kann zeigen,42 dass die Mittelung der mikroskopischen Stromdichte ~(~r) über mesoskopische
Gebiete eines makroskopischen Körpers zur effektiven Stromdichte
~ r) + ∇
~ ×M
~ (~r),
J~eff (~r) = J(~
~ r) = h~(~r)i [Gl. (IX.25d)] und die Magnetisierung M
~ (~r) definiert ist durch
führt, wobei J(~
Z
~ (~r) = 1 f (~r − ~r 0 )(~r 0 − ~r) × ~(~r 0 ) d3~r 0 .
M
2
(X.20)
(X.21)
Die Magnetisierung stellt also das magnetische Dipolmoment pro Volumeneinheit dar.
Bemerkungen:
∗ Gemäß ihrer Definition ist die Magnetisierung ein Axial vektorfeld.
∗ Die SI-Einheit der Magnetisierung ist das A·m−1 .
~ ×M
~ (~r) in der
Trotz dessen Bezeichnung als Magnetisierungsstromdichte trägt der Term ∇
effektiven Ladungsstromdichte (X.20) nicht zur makroskopischen Bewegung von Ladungsträgern bei,
~ r) bestimmt.
d.h. zum elektrischen Strom. Der Letztere wird völlig durch die Leitungsstromdichte J(~
Sei Γ eine Kontour, die den Querschnitt eines makroskopischen Körper umschließt, und S die
durch Γ abgegrenzte Fläche. Der Fluss der effektiven Stromdichte durch S ist
Z
Z
Z
~ r) · d2 S~ +
~ ×M
~ (~r) · d2 S.
~
J~eff (~r) · d2 S~ = J(~
∇
S
S
S
Der zweite Term lässt sich mithilfe des Integralsatzes von Stokes als das Integral der Magneti~ (~r) entlang Γ — d.h. außerhalb des Körpers, wo M
~ (~r) = ~0 — umschreiben, und ist
sierung M
daher null. Somit ist der Fluss der effektiven Stromdichte durch den Querschnitt des Körpers
gleich dem Fluss der Leitungsstromdichte allein.
Die Leitungsstromdichte ist — im Gegensatz zur Magnetisierung — keine Eigenschaft des Körpers, sondern wird durch eine äußere Anregung (elektrisches Feld, Temperatur- bzw. Konzentrationsgradient...) erzeugt.
~ ×M
~.
• Im Inneren eines Dielektrikums gilt definitionsgemäß J~ = ~0, d.h. J~eff = ∇
An der Oberfläche des Dielektrikums ist die Existenz einer Flächenstromdichte J~ noch möglich.
• In einem elektrischen Leiter ist dank der Anwesenheit frei beweglicher Ladungen eine nichtverschwindende Leitungsstromdichte J~ möglich. Wird diese durch ein angewandtes elektrisches
Feld erzeugt, so gilt eine der konstitutiven Gleichungen des Abschn. X.1.1, wie z.B. das (lokale)
Ohm-Gesetz (X.1).
42
Dies wird z.B. in Schwinger [10] Kapitel 4 im zeitabhängigen Fall bewiesen: dabei tritt ein zusätzlicher Term
~
∂ D/∂t auf, der im stationären Fall verschwindet.
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X.3.2 Makroskopische magnetostatische Gleichungen. Magnetische Feldstärke
Die Mittelung der mikroskopischen Maxwell–Thomson- und Maxwell–Ampère-Gleichungen im
stationären Fall liefert
~ · B(~
~ r) = 0,
(X.22a)
∇
und
~ × B(~
~ r) = µ0 J~eff (~r).
∇
(X.22b)
Wenn man die effektive Ladungsstromsdichte durch seinen Ausdruck (X.20) in die letztere Gleichung
einsetzt und die magnetische Feldstärke
~
~ r) = B(~r) − M
~ (~r)
H(~
µ0
(X.22c)
~ × H(~
~ r) = J(~
~ r).
∇
(X.22d)
einführt, wird Gl. (X.22b) zu
Bemerkungen:
∗ Die Maxwell–Thomson-Gleichung (X.22a) führt wie im Vakuum zur Einführung eines Vektor~ r) mit B(~
~ r) = ∇
~ × A(~
~ r).
potentials A(~
∗ Wie im Fall der elektrischen Flussdichte (X.17c) stellt Definition (X.22c) eine Trunkierung einer
kompletteren Formel dar, s. Jackson [8] Kapitel 6.6.
∗ Die SI-Einheit43 der magnetischen Feldstärke (auch manchmal magnetische Erregung genannt)
ist das A·m−1 .
Der lokale Zusammenhang (X.22d) lässt sich mithilfe des Integralsatzes von Stokes integrieren
und liefert das (integrale) Ampère-Gesetz
I
~ · d~` = I,
H
(X.23)
Γ
mit I dem elektrischen Strom durch die durch Γ abgegrenzte Fläche, der durch einen Amperemeter
gemessen wird.
X.3.3 Randbedingungen an der Oberfläche eines magnetischen Materials
In Analogie zur Stetigkeit der Normalkomponente der elektrischen Flussdichte in Abwesenheit
~ · D(~
~ r) = 0 gilt, führt die Integration der makroskopivon Flächenladungsdichten, also wenn ∇
schen Maxwell–Thomson-Gleichung (X.22a) über ein Volumen abgegrenzt durch Elementarflächen
auf den beiden Seiten der Oberfläche zur Stetigkeit der Normalkomponente B⊥ der magnetischen
Flussdichte.
Sei eine Kontour Γ um die Oberfläche ∂ V des makroskopischen Körpers, mit Seiten der Länge
~ ×H
~ durch die durch
` entlang ~e2 parallel zu ∂ V und δ entlang ~e3 normal zu ∂ V . Der Fluss von ∇
44
Γ abgeschlossene Fläche S lässt sich mit dem Satz von Stokes berechnen
Z
I
2
~
~
~ r) · d~` = H2 (x3 = 0− ) − H2 (x3 = 0+ ) ` + O(δ) ' − H2 `.
∇ × H(~r) · ~e1 d S = H(~
S
Γ
Dies ist gleich dem Fluss durch S der Leitungsstromdichte, der im Limes δ → 0 nur von der
Leitungsstromdichte auf der Oberfläche ∂ V abhängt.
43
Im Gauß’schen Einheitensystem lautet die makroskopische Stromdichte (X.20) bzw. die magnetische Feldstärke
~ ×M
~ bzw. H
~ =B
~ − 4π M
~ . Damit wird Gl. (X.22d) zu ∇
~ ×H
~ = 4π J/c.
~
J~eff = J~ + c∇
44
Der Sprung [[ · ]] wird hier als Differenz aus dem Wert der physikalischen Größe außerhalb der Oberfläche minus
dem Wert im Inneren definiert.
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~ × H(~
~ r) = ~0, so dass H2 stetig ist.
• In Abwesenheit von Flächenstromdichten auf ∂ V gilt ∇
Die Stetigkeit von H1 lässt sich ähnlicherweise mit einer Fläche S in der (~e1 ,~e3 )-Ebene zeigen,
~ k stetig an der Oberfläche.
d.h. insgesamt ist die Tangentialkomponente H
~ r) = δ(x3 )J (x1 , x2 )~e1 , dann ist die Komponente
• Wenn es eine Flächenstromdichte gibt, z.B. J(~
~ k senkrecht zu dieser Stromdichte (hier H2 ) nicht stetig: [[H2 ]] = −J , während die
von H
Komponente längs der Stromdichte (hier H1 ) stetig ist.
Diese Randbedingungen können zusammengefasst werden als
~ r) = J~ (~r) in einem Punkt ~r der Oberfläche,
~ r) = 0 und ~en (~r) × H(~
~en (~r) · B(~
(X.24)
mit J~ der Flächenstromdichte und ~en dem Normaleinheitsvektor zur Oberfläche des Körpers.
X.3.4 Modelle für die Magnetisierung
Die Lösung der Gleichungen (X.22) erfordert die Einführung einer zusätzlichen konstitutiven
Gleichung, die die magnetische Feldstärke mit der Magnetisierung verknüpft und letztendlich aus
einem Modell für die mikroskopische Physik im magnetisierten Körper hergeleitet werden soll.45
• In homogenen und isotropen linearen Medien ist in jedem Punkt die Magnetisierung proportional zur magnetischen Feldstärke
~ (~r) = χm H(~
~ r).
M
(X.25)
χm ist die (dimensionslose) magnetische Suszeptibilität des Mediums.46
Die Mehrheit der Substanzen sind diamagnetische Stoffe, in denen χm < 0 ist, d.h. die das
Magnetfeld aus deren Inneren zu verdrängen versuchen. Insbesondere stellen Supraleiter in
nicht zu starken magnetischen Feldern „perfekte Diamagnete“ mit χm = −1 dar, entsprechend
dem Meißner–Ochsenfeld-Effekt.
Umgekehrt werden Substanzen mit χm > 0 paramagnetisch genannt.
Aus der Relation (X.25) folgt
~ = µ0 H
~ +M
~ = (1 + χm )µ0 H
~ ≡ µr µ0 H,
~
B
(X.26)
mit µr der relativen magnetischen Permeabilität. µ ≡ µ0 µr ist die magnetische Permeabilität
des Materials.
In einem isotropen aber inhomogenen Medium wird die magnetische Suszeptibilität bzw. Permeabilität ortsabhängig.
• In anisotropen linearen Medien ist die Magnetisierung bzw. die magnetische Flussdichte nicht
mehr proportional zur magnetischen Feldstärke, sondern wird gegeben durch eine Beziehung
~ =~
~ bzw. B
~ =~
~ mit ~~χm und ~~µ ≡ (~~1 + ~~χm )µ0 (symmetrischen) Tensoren 2.
~χm · H
~µ · H,
wie M
Stufe.
• Bei Ferromagneten — wie Eisen, Kobalt oder Nickel unter ihrer Curie-Temperatur — ist die
~ nicht null auch bei verschwindender magnetischer Feldstärke
„spontane“ Magnetisierung M
~
~
H = 0, entsprechend der Ausrichtung der mikroskopischen magnetischen Dipolen (d.h. in der
Tat der Elektronenspins, die parallel zu einander ausgerichtet sind).47
45
S. Fußnote 40.
~ und
Aus historischen Gründen wird die magnetische Suszeptibilität als der Proportionalitätsfaktor zwischen M
~ definiert, statt als der Koeffizient der Proportionalität zwischen M
~ und B/µ
~ 0 , was analog zur definierenden
H
~ = χe 0 E
~ wäre.
Relation (X.19a) der elektrischen Suszeptibilität P
47
Bei ferrimagnetischen Materialen sind die mikroskopischen magnetischen Dipolen abwechselnd antiparallel und
parallel zueinander ausgerichtet. Die Existenz eines stärkeren Dipolmoments in einer Richtung als in der anderen
~ = ~0 wenn die Dipolmomente in den
führt dann zu einer nicht-verschwindenden Magnetisierung, im Gegensatz zu M
beiden Richtungen gleicher Stärke sind (Antiferromagnetismus).
46
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~ und H
~ ist nicht-linear und hängt tatsächlich
Der zugehörige Zusammenhang zwischen M
von der Geschichte des Ferromagnets ab (s. Feynman [5, 6] Kapitel 36-3 für eine qualitative
Diskussion dieser Hysterese).
Als Beispiel sei ein unendlich langer zylindrischer Körper K , beschrieben
durch die konstitutive Gleichung (X.26) mit konstanter magnetischer Permeabilität µ = µ0 µr .
~ ext. parallel zur
Außerhalb K ist Vakuum, mit einem magnetischen Feld B
~ ext. = B
~ ext. /µ0 .
Richtung von K , d.h. einer magnetischen Feldstärke H
Es wird angenommen, dass es auf der Körperoberfläche keine Stromdichte
gibt.
~ ext.
B
6
~
B
Die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke ist stetig, so dass im Inneren von K
~ ext. , d.h. die magnetische Flussdichte ist unstetig an
~
~ ext. gilt. Daraus folgt B
~ = µH
~ = µr B
H =H
der Körperoberfläche.
~
~ = B −H
~ = µr − 1 B
~ ext. gegeben.
Schließlich ist die Magnetisierung in K durch M
µ0
µ0
Literatur
• Feynman [5, 6], Kapitel 34 & 36
• Griffiths [7], Kapitel 6
• Jackson [8], Kapitel 5.8–5.11
• Landau–Lifschitz [4], Kapitel III § 21 & Kapitel IV § 29–30.
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