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Der Einsatz der Dynamischen Geometriesoftware GEONExT – rund ums Viereck
Reihe 17
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Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Der Einsatz der Dynamischen Geometriesoftware
GEONExT – rund ums Viereck
Foto: Doris Walkowiak, Görlitz
Doris Walkowiak, Görlitz
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
Die Schwimmhalle in Görlitz – Welche Vierecksarten weist das Gebäude auf?
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die
Sie alle für NExT-Dateien
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Klasse
6 und 7
Dauer
13 Stunden
Inhalt
Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Trapez, Rhombus, Drachenviereck; eindeutige Konstruktion, Umfang und Flächeninhalt, Anwendungen
Ihr Plus Grundlagen zu GEONExT auf CD-ROM 31
Unsere Umwelt steckt voller Vierecke. Wir können sie an Bauwerken, Maschinen und
Alltagsgegenständen entdecken. In diesem Beitrag geht es um die verschiedenen Arten
von Vierecken und deren eindeutige Konstruktion. Die Schülerinnen und Schüler berechnen Umfang und Flächeninhalt und lösen Anwendungsaufgaben. Dabei verwenden sie
die Dynamische Geometriesoftware GEONExT. Mithilfe dieses Computerprogramms
können sie geometrische Objekte erstellen und durch Ziehen von Punkten verändern.
So macht Geometrie Spaß!
56 RAAbits Mathematik September 2008
I/G
Der Einsatz der Dynamischen Geometriesoftware GEONExT – rund ums Viereck
Reihe 17
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Material
LEK
Glossar
Lösungen
Didaktisch-methodische Hinweise
Zum Einsatz der Materialien
Alle Materialien sind als eigenständige Unterrichtseinheiten konzipiert. Sie dienen als
Ergänzung zum Unterrichtsstoff und sind zur Zielorientierung, Erarbeitung oder Festigung geeignet. Die Arbeit mit Dynamischer Geometriesoftware kann und soll jedoch
keinesfalls den Umgang mit Bleistift, Geodreieck und Zirkel ersetzen.
Die Schülerinnen und Schüler sollen sich möglichst selbstständig mit den Inhalten und
Aufgaben auseinandersetzen. Bei Bedarf kann und muss die Lehrkraft jedoch in den
Lernprozess eingreifen. Zur besseren Anleitung, Hilfestellung und zum Vorführen der
Lösungen sollte ein Beamer zur Verfügung stehen.
Die Lösungen liegen als Datei vor und können in GEONExT geöffnet werden.
Einige Konstruktionen erstellen die Schülerinnen und Schüler selbst mit GEONExT.
Andere Beispiele werden den Lernenden vorgegeben und können interaktiv bearbeitet
werden. Diese Dateien befinden sich im Ordner „Beispiele“ und müssen den Schülerinnen und Schülern zur Verfügung gestellt werden. Sie sollten unbedingt schreibgeschützt sein.
T
H
C
Für die Kontrolle der praktischen Arbeit ist zu empfehlen, die einzelnen Schritte der
Konstruktionen vorzuführen und nicht nur das Resultat zu zeigen. Die Aufgaben sind
so angelegt, dass sie gemeinsam mit der Lehrerin oder dem Lehrer kontrolliert werden
– eine Selbstkontrolle durch die Lernenden könnte diese überfordern.
I
S
N
Da alle Materialien auch als Word-Dokumente auf CD-ROM 31 vorliegen, können Sie die
Materialien abändern. Außerdem finden Sie auf CD-ROM 31 und im Anhang ein Glossar,
das wichtige Begriffe zu GEONExT enthält.
A
R
O
Beispiel aus dem Glossar:
I/G
Aufgabe
V
Icon
Gitter einblenden
Pfad und Beschreibung
Zeichenfläche – Gitter einblenden
Zum Thema „Vierecke“
Bei der Behandlung des Themas „Vierecke“ kommt insbesondere den Eigenschaften
der verschiedenen Vierecksarten große Bedeutung zu – diese bestimmen, wie Konstruktionsaufgaben gelöst und vielfältige praktische Probleme bewältigt werden können.
Vorkenntnisse
Es wird vorausgesetzt, dass bereits Kenntnisse bei der Arbeit mit Dateien und im Umgang
mit dem Programm GEONExT vorhanden sind (siehe z.B.: RAAbits Mathematik: Der Einsatz der DGS GEONExT – grundlegende Inhalte für die Klassen 5 und 6 (I/G, Reihe 13,
M 0 bis M 4) oder Ordner Grundlagen auf CD-ROM 31).
Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits wichtige Objekte (Gerade, Strecke, Strahl,
Winkel, Polygon, Spiegelpunkt …) in GEONExT kennen und wissen, wo man sie findet,
wie man sie einsetzt und wie man ihre Eigenschaften ändern kann.
GEONExT
GEONExT ist kostenlos erhältlich, d.h. die Lernenden können nicht nur an der Schule,
sondern auch zu Hause ohne finanziellen Aufwand mit GEONExT arbeiten.
Download der Software, Beispielmaterialien usw. unter: http://geonext.uni-bayreuth.de.
56 RAAbits Mathematik September 2008
Der Einsatz der Dynamischen Geometriesoftware GEONExT – rund ums Viereck
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Material
LEK
Glossar
Lösungen
Auf einen Blick
Allgemeine Vierecke
Material
Thema
M1
Was ist eigentlich ein Viereck?
M2
Vierecke sind nicht immer einmalig
M3
Die Familie der Vierecke
Parallelogramm und Rhombus
Material
Thema
M4
Wenn Parallelen sich schneiden – Parallelogramme
M5
Kannst du den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen?
M6
Rhombus oder Raute?
Trapez und Drachenviereck
I
S
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Material
I/G
Thema
M7
Wir lernen das Trapez kennen
M8
Wie viel Papier brauchst du für einen Drachen?
A
R
O
Das Haus der Vierecke
Material
V
T
H
C
M9
Das Haus der Vierecke
M 10
Wie groß ist der neue Garten?
Thema
Übungen
Material
Thema
M 11
Spieglein, Spieglein an der Wand – Achsen- und Punktspiegelung
M 12
Wenn sich zwei Straßen treffen – Vierecke im Alltag
M 13
Berechne, was du für den Bau eines Drachens brauchst
M 14
Was kostet es, das Treppenhaus neu zu streichen?
Dauer
M 1 bis M 3:
circa zwei Unterrichtsstunden
M 4 bis M 10: jeweils eine Unterrichtsstunde
M 11 bis M 14: keine kompletten Unterrichtseinheiten, Auswahl von Aufgaben nach
Bedarf
56 RAAbits Mathematik September 2008
Der Einsatz der Dynamischen Geometriesoftware GEONExT – rund ums Viereck
Reihe 17
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Material
S1
LEK
Glossar
Lösungen
M 1 Was ist eigentlich ein Viereck?
Foto: Doris Walkowiak, Görlitz
Sieh dich doch einmal in deinem Zimmer um. Welche Vierecke
entdeckst du?
Es gibt viele verschiedene Arten von Vierecken. Die meisten von
ihnen kannst du schon bezeichnen. Welche Vierecke kennst du?
Ein Quadrat steht Kopf und
zeigt die Vorfahrtsstraße an.
Es gibt aber auch noch andere, ungewöhnliche Formen:
konvexes Viereck
konkaves Viereck
T
H
C
überschlagenes Viereck
I
S
N
A
R
O
Aufgaben
1. Öffne die Datei „M01 Vierecke.gxt“. Suche auf den Fotos nach Vierecken und marPolygon. Wie heißen die Vierecke?
kiere sie. Nutze dazu das Objekt
V
2. Öffne eine neue Zeichenfläche.
a) Zeichne ein konvexes Viereck ABCD. Nutze dazu das Objekt
b)
Polygon.
Miss die Innenwinkel des Vierecks. Runde auf volle Grad (Objekteigenschaften
– Objekt auswählen – Darstellung – Genauigkeit – 0 Stellen).
Wie groß ist die Innenwinkelsumme im Viereck? α + β + γ + δ =
Zeichne dazu eine Diagonale des Vierecks ein.
c)
. Begründe.
Verschiebe einen der Eckpunkte so, dass du ein konkaves und ein überschlagenes
Viereck erhältst. Was kannst du jeweils über die Gültigkeit des Innenwinkelsatzes
sagen?
Miss die Winkel neu. Beim überschlagenen Viereck kommen zwei Innenwinkel
hinzu.
3. Öffne eine neue Zeichenfläche.
a)
Zeichne einen Kreis mit beliebigem Radius.
b) Zeichne ein Viereck, dessen Eckpunkte alle auf dem Kreis liegen.
Wie nennt man ein solches Viereck?
4. Öffne eine neue Zeichenfläche und zeichne dein Zimmer mithilfe von Vierecken.
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I/G
Der Einsatz der Dynamischen Geometriesoftware GEONExT – rund ums Viereck
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M2
Verlauf
Material
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LEK
Glossar
Lösungen
Vierecke sind nicht immer einmalig
Wie viele Größen müssen gegeben sein, um
ein allgemeines Viereck eindeutig konstruieren zu können?
Schreibe deine Vermutung auf.
Aufgaben
1. Öffne die Datei „M02 Viereckskonstruktion.gxt“.
a) Setze aus den vier Seiten ein Viereck zusammen, indem du die Strecken verschiebst
(roter Punkt) oder drehst (orangefarbener Punkt). Beachte dabei, dass die Seiten entgegen der Uhrzeigerrichtung bezeichnet werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
(Du darfst auch einmal bei deinen Nachbarn schauen.)
b) Wiederhole deinen Versuch in dem Fenster, in dem außer den vier Seiten auch noch ein Winkel gegeben ist. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt?
T
H
C
Hat sich deine Vermutung bestätigt? Wie viele geeignete Größen müssen
für die eindeutige Konstruktion eines allgemeinen Vierecks gegeben sein?
Außer Seiten und Winkeln kann auch die Länge der Diagonalen gegeben sein.
I
S
N
c) Setze das Viereck zusammen, wenn außer den vier Seiten noch die Diagonale e
gegeben ist. Ist diese Konstruktion eindeutig?
2. Wie konstruiert man in GEONExT ein Viereck mit vorgegebenen Seitenlängen?
A
R
O
Beispiel: a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm, d = 6 cm, e = 6 cm
I/G
Öffne eine neue Zeichenfläche.
c
a) Konstruiere die Seite a = 3 cm.
V
• Zeichne einen Kreis mit vorgegebenem Radius (Objekte –
Kreis (Radius eingeben) – auf die Zeichenfläche
Kreise –
klicken – für den Radius 3 eingeben – Übernehmen).
d
• Lege auf der Kreislinie einen Punkt B fest (orange) und
zeichne die Strecke zwischen diesem Punkt und dem
Mittelpunkt des Kreises.
b
a
Objekteigenschaften – Kreis ka
• Verstecke den Kreis (
anklicken – Haken an Objekt verstecken setzen).
b)
Zeichne einen Kreis um B mit dem Radius 4 cm (Seite b).
c)
Zeichne einen Kreis um A mit dem Radius 6 cm (Diagonale e).
d) Markiere einen
Schnittpunkt der beiden Kreise. Zeichne die Strecke b = BC.
e) Verstecke die beiden Kreise und den anderen Schnittpunkt (
schaften – Kreis anklicken – Haken an Objekt verstecken setzen).
Objekteigen-
f) Konstruiere auf dieselbe Art und Weise die Strecken c und d.
g) Zeichne das Viereck ABCD. Benenne die Punkte um, falls erforderlich (
eigenschaften – Objektinformation – Name – Umbenennen).
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Objekt-
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M3
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Glossar
Lösungen
Die Familie der Vierecke
Opa Viereck feiert seinen 90. Geburtstag und hat zum
Fest seine Verwandten eingeladen. Nach dem Mittagessen unternehmen sie einen kleinen Spaziergang
und treffen dabei Familie Kreis. Mit diesen sind sie
nicht allzu gut bekannt, denn sie haben nicht viele
Gemeinsamkeiten. Trotzdem bleiben alle kurz stehen
und Opa Viereck stellt seine Familie vor:
„Das ist mein Sohn Quadrat und seine Frau Parallelogramm. Die beiden haben zwei Kinder – Rechteck und Rhombus. Rhombus hat selbst schon einen
Sohn – Drachenviereck. Und hier steht noch Trapez,
die Schwester von Parallelogramm.“
Opa Viereck feiert seinen
90. Geburtstag.
„Das ist ja sehr interessant“, mischt sich ein kleiner Kreis ein. „Dann wäre ja ein
Rechteck auch ein Parallelogramm und ein Quadrat ein Rhombus.“ „Genau“, ergänzt
ein Halbkreis. „Ein Rhombus ist auch ein Drachenviereck und ein Rechteck ist auch ein
Trapez. “
T
H
C
Ist das nicht ganz schön verwirrend? Folgende Aufgaben sollen dir helfen, die Gemeinsamkeiten und die Unterschiede in der Familie der Vierecke zu entdecken.
I
S
N
Aufgabe 1
Öffne die Datei „M03 Vierecke.gxt“.
Ordne die Namen den entsprechenden Vierecken zu.
A
R
O
Aufgabe 2
I/G
Öffne die Datei „M03 Vierecksarten.gxt“.
V
Wähle nacheinander die einzelnen Fenster mit den verschiedenen Vierecksarten aus und
löse folgende Aufgaben:
a) Zeichne die Diagonalen ein.
auswählen und danach die gegenüberliegenden Eckpunkte anklicken.)
(
b)
Verschiebe die Eckpunkte und beobachte die Veränderungen.
c)
Schiebe alle Eigenschaften, die immer zutreffen, unter das Viereck.
d) Bei welchem Viereck treffen die wenigsten Eigenschaften zu?
Bei welchem Viereck treffen die meisten Eigenschaften zu?
e) In welchen Vierecken sind die Diagonalen Symmetrieachsen?
f) In welchen Vierecken halbieren die Diagonalen einander?
g) In welchen Vierecken stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander?
56 RAAbits Mathematik September 2008
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M4
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Material
S4
LEK
Glossar
Lösungen
Wenn Parallelen sich schneiden –
Parallelogramme
Definition: Ein Viereck, bei dem je zwei gegenüberliegende Seiten parallel
sind, heißt Parallelogramm.
Aufgabe 1
Öffne eine neue Zeichenfläche.
a)
Zeichne zwei Paare paralleler Geraden, welche sich schneiden. Orientiere dich dabei an
nebenstehendem Bild.
b) Markiere das Viereck ABCD farbig. Nutze dazu
das Objekt
Polygon.
c)
Miss die Innenwinkel des Parallelogramms
und vervollständige folgenden Text:
Wenn Parallelen sich schneiden, entsteht
ein Parallelogramm.
T
H
C
Je zwei gegenüberliegende Winkel sind
.
Je zwei benachbarte Winkel ergeben
d)
.
Verschiebe die Eckpunkte des Vierecks. Welche speziellen Parallelogramme kannst
du erzeugen?
I
S
N
.
e) Fülle den Lückentext mit folgenden Begriffen aus: Quadrat, Rechteck, Rhombus.
I/G
A
R
O
Ein Parallelogramm mit mindestens einem rechten Winkel heißt
.
Ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten heißt
.
Ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten und mindestens einem rechten
V
Winkel heißt
.
Aufgabe 2
Öffne die Datei „M04 Parallelogramme.gxt“.
Zeichne in den verschiedenen Parallelogrammen alle Symmetrieachsen ein. Überprüfe
Punkt (Achsenspiegelung)
dies durch Spiegelung der Eckpunkte (Objekte – Punkte –
– erst den Punkt, dann die Symmetrieachse anklicken).
Gib die Anzahl der Symmetrieachsen an.
Aufgabe 3
Öffne eine neue Zeichenfläche und nutze die Eigenschaften der verschiedenen Arten
von Parallelogrammen zur Konstruktion eines
a) Rechtecks
b) Quadrats
c) Rhombus.
Achte darauf, dass die Figur auch beim Bewegen der Eckpunkte erhalten bleiben muss.
Beschreibe deine Konstruktion.
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M5
Material
S5
LEK
Glossar
Lösungen
Kannst du den Flächeninhalt eines
Parallelogramms berechnen?
Den Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck kannst du schon berechnen. Finde jetzt
eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms.
Aufgaben
1. Wie groß ist die Fläche der folgenden Figuren (1 Kästchen = 1 cm2)?
A=
cm2
A=
2. Wie berechnet man den Flächeninhalt der Vierecke?
T
H
C
cm2
I
S
N
Quadrat: A =
Rechteck: A =
3. Bei Parallelogrammen ist das etwas schwieriger. Wie kannst du hier den Flächeninhalt
ermitteln?
A
R
O
I/G
Wenn du eine Idee hast, verdeutliche sie in
nebenstehender Zeichnung.
V
Wie groß ist die Fläche? A =
cm2
4. Finde jetzt eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogrammen:
Öffne die Datei „M05 Flaecheninhalt.gxt“.
a) Gib die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Rechtecks ABCD mit den hier
verwendeten Bezeichnungen an.
A=
b)
.
Verschiebe die Punkte A, B oder C und beobachte die Veränderungen. Wie kannst
du den Flächeninhalt der dabei entstandenen Parallelogramme berechnen?
A=
.
5. Öffne die Datei „M05 Schief.gxt“.
a) Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.
A=
b)
·
=
cm ·
cm =
Verschiebe den Punkt C und untersuche, wie sich der Flächeninhalt verändert.
Begründe.
56 RAAbits Mathematik September 2008
Der Einsatz der Dynamischen Geometriesoftware GEONExT – rund ums Viereck
Reihe 17
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M6
Material
S6
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Glossar
Lösungen
Rhombus oder Raute?
Definition: Ein Parallelogramm mit einem Paar gleich langer benachbarter
Seiten heißt Rhombus (Raute).
Konstruiere nun mithilfe dieser Definition einen Rhombus.
Aufgabe 1
Öffne eine neue Zeichenfläche.
a)
Zeichne einen Kreis mit einem beliebigen Radius um einen Punkt A.
b) Lege auf diesem Kreis einen
c)
Gleiter C fest.
Zeichne die Strecken AB und AC .
Miss ihre Länge. AB =
AC =
.
d) Konstruiere die
Parallelen zu AB durch C und zu AC durch B. Markiere den
Schnittpunkt D und verbinde die Punkte A, B, D und C durch ein
Polygon.
e)
Verstecke den Kreis und die Geraden.
f)
Miss die Längen der Strecken BD und CD .
T
H
C
BD =
Was stellst du fest?
I
S
N
CD =
.
.
Warum genügt es, in der Definition von einem Paar gleich langer benachbarter Seiten
zu sprechen? Verändere die Lage der Punkte und beobachte.
g)
I/G
A
R
O
Benenne die Punkte so um, dass sie in der richtigen Reihenfolge stehen (Objekteigenschaften – Objektinformation – Name – Umbenennen).
Aufgabe 2
V
Experimentiere weiter mit deinem Rhombus und löse
folgende Aufgabe, indem du die dafür notwendigen
Objekte ergänzt (Diagonale, Höhe …).
Welche der folgenden Eigenschaften treffen auf Rhomben zu? Streiche die nicht zutreffenden durch.
a) Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
b) Die Diagonalen halbieren einander.
c) Die Diagonalen sind die Symmetrieachsen des
Rhombus.
d) Die Höhe auf die Seite AB ist genauso groß wie
die Höhe auf die Seite AD .
Fälle das
Lot von D auf AB und von B auf AD und miss die Längen der
entstandenen Strecken.
e) Der Flächeninhalt des Rhombus wird mit folgender Formel berechnet:
a⋅b
A = a⋅b
A=
A = a ⋅ ha
2
f) Ein Rhombus mit einem rechten Winkel ist ein Quadrat.
56 RAAbits Mathematik September 2008
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M8
Material
S8
LEK
Glossar
Lösungen
Wie viel Papier brauchst du
für einen Drachen?
Definition: Ein Drachenviereck ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale die
andere halbiert.
Konstruiere nun mithilfe dieser Definition ein Drachenviereck.
Aufgabe 1
Öffne eine neue Zeichenfläche.
a) Zeichne eine
b)
Gerade AB und lege einen Punkt C fest, welcher nicht auf AB liegt.
Spiegle den Punkt C an AB. Der so entstandene Punkt heißt D.
c) Vervollständige folgende Aussage:
Die Strecke AB
d)
die Strecke CD.
T
H
C
Zeichne das Viereck ACBD. Wie nennt man es?
.
e) Benenne die Punkte so um, dass sie in der richtigen Reihenfolge stehen.
f) Experimentiere mit deinem Drachenviereck und fülle den Lückentext mit folgenden
Begriffen aus: senkrecht, Rhombus, Quadrat, gleich lang, Winkelhalbierende, Diagonalen, gleich groß.
I
S
N
Die Diagonalen stehen
aufeinander. Eine der
ist die Symmetrieachse des Drachenvierecks. Wenigstens zwei gegenüberliegende
A
R
O
Winkel sind
I/G
. Eine Diagonale ist die
zweier gegenüberliegender Winkel. Es gibt zwei Paar benachbarter Seiten,
die
V
Seiten ist ein
sind. Ein Drachenviereck mit vier gleich langen
. Ein Drachenviereck, dessen Diagonalen sich gegen-
seitig halbieren und gleich lang sind, ist ein
Aufgabe 2
Für den Bau eines Drachens soll der Materialbedarf berechnet
werden. Wie viel Papier benötigt man für die Fläche? Öffne
die Datei „M08 Drachenflaeche. gxt“.
a) Ermittle den Flächeninhalt des Drachenvierecks durch Auszählen der Kästchen (1 Kästchen = 1 cm2).
A=
b)
=
cm2
Verschiebe den Punkt B, bis er mit dem Punkt D
deckungsgleich ist.
c) Berechne den Flächeninhalt des grünen Dreiecks. Nutze
dazu die angegebenen Bezeichnungen für die Diagonalen.
A=
=
cm2
d) Ziehe den Punkt B wieder zurück. Wie kannst du den Flächeninhalt des Drachenvierecks mithilfe der Diagonalen
e und f berechnen? Gib eine Formel an und berechne.
Vergleiche dein Ergebnis mit a).
A=
=
56 RAAbits Mathematik September 2008
cm2
.
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M9
Material
S9
LEK
Glossar
Lösungen
Das Haus der Vierecke
Aufgaben
1. Öffne die Datei „M09 Haus.gxt“.
a) Ordne die Begriffe und Eigenschaften den jeweiligen
Vierecken zu.
b) Drucke das Haus der Vierecke aus.
2. Vervollständige folgenden Lückentext.
Wenn du dir nicht sicher bist, kannst du auch
die Datei „M09 Vierecksarten.gxt“ öffnen und es
ausprobieren.
a) Ein Drachenviereck mit zwei gleich langen Diagonalen ist ein
.
T
H
C
b) Ein Parallelogramm ist ein Trapez mit
.
c) Ein Rhombus mit einem rechten Winkel ist ein
.
I
S
N
d) Ein Parallelogramm mit zwei benachbarten gleich langen Seiten ist ein
.
e) Ein Trapez mit drei rechten Winkeln ist ein
.
f) Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten ist ein
.
A
R
O
g) Ein Rechteck mit
ist ein Quadrat.
3. Sind folgende Aussagen wahr oder falsch? Kreuze an.
V
a) Alle Quadrate sind Parallelogramme.
wahr
falsch
b) Es gibt Trapeze, die Parallelogramme sind.
wahr
falsch
c) Alle Parallelogramme sind Rhomben.
wahr
falsch
d) Ein Drachenviereck mit gleich langen
Diagonalen ist ein Rhombus.
wahr
falsch
e) In einem Rechteck stehen die
Diagonalen senkrecht aufeinander.
wahr
falsch
f) Jedes Quadrat ist ein Trapez.
wahr
falsch
g) Es gibt Drachenvierecke, die Quadrate sind.
wahr
falsch
h) Jedes Parallelogramm ist ein Trapez.
wahr
falsch
i) Manche Trapeze sind Quadrate.
wahr
falsch
4. Öffne für jede Teilaufgabe eine neue Zeichenfläche. Konstruiere die folgenden
Figuren so, dass die Eigenschaften der Vierecke beim Verschieben der Punkte erhalten bleiben.
a) gleichschenkliges Trapez
b) Parallelogramm mit rechtem Winkel
c) Drachenviereck
d) Rhombus und Quadrat
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I/G
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M 10
Material
S 10
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Glossar
Lösungen
Wie groß ist der neue Garten?
Familie Viereck hat hinter dem Haus einen großen Garten. Bevor sie ihn neu bepflanzen,
wollen sie wissen, wie groß seine Fläche ist.
Aufgaben
1. Öffne eine neue Zeichenfläche.
a) Schalte das
Koordinatensystem, das
Gitter und
Einrasten ein und
schiebe den Koordinatenursprung in die
linke untere Ecke der Zeichenfläche.
b)
Setze folgende Punkte: A (1|1), B (7|1), C (7|4), D (4|4),
E (4|6) und F (1|5).
c) Verbinde alle Punkte der Reihenfolge nach durch ein
Polygon.
d) Wie kannst du den Flächeninhalt des Vielecks berechnen? Zeichne die dafür notwendigen Hilfslinien (Strecken) ein und berechne (1 Längeneinheit = 1 cm).
2. Öffne die Datei „M10 Vielecke1.gxt“.
T
H
C
I
S
N
Berechne den Flächeninhalt der Vielecke. Zeichne Hilfslinien ein und bestimme die
erforderlichen Längen durch Auszählen (1 Kästchen = 1 cm2). Versuche, mit möglichst
wenigen Zerlegungen auszukommen.
Vieleck ABCDEF:
A
R
O
Vieleck GHIJKL:
I/G
Vieleck MNOPQ:
V
Zusatzaufgabe: Vieleck RSTUVWXY:
3. Du kannst den Flächeninhalt eines beliebigen Vielecks berechnen, indem du dieses in Trapeze und
Dreiecke zerlegst. Dazu zeichnet man zunächst eine
sogenannte Standlinie und senkrecht dazu weitere
Hilfslinien (Lot).
Öffne die Datei „M10 Vielecke2.gxt“.
a) Zeichne die Standlinie und die anderen Hilfslinien
ein.
b) Berechne den Flächeninhalt (1 Kästchen = 1 cm2).
Vieleck ABCDE:
Zusatzaufgabe: Vieleck FGHIJKLM:
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Standlinie
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M 11
Verlauf
Material
S 11
LEK
Glossar
Lösungen
Spieglein, Spieglein an der Wand –
Achsen- und Punktspiegelung
Bist du fit? Jetzt wird’s schwieriger.
Aufgaben
1. Öffne die Datei „M11 Achsensymmetrie.gxt“.
a)
Spiegle das Viereck ABCD an der Geraden g. Färbe das
so entstandene Viereck rot ein (
Eigenschaften – Viereck
Pb auswählen – Füllung).
b)
Verschiebe die Punkte A, B, C oder D so, dass beide
Vierecke deckungsgleich sind. Welche achsensymmetrischen Vierecke kannst du so erzeugen?
2. Öffne die Datei „M11 Punktsymmetrie.gxt“.
T
H
C
a)
Spiegle das Viereck ABCD am Punkt M (immer erst M, dann einen der Punkte A,
B, C oder D anklicken). Färbe das so entstandene Viereck rot ein.
b)
Verschiebe die Punkte A, B, C oder D so, dass beide Vierecke deckungsgleich sind.
Welche punktsymmetrischen Vierecke kannst du so erzeugen?
I
S
N
3. Öffne die Datei „M11 Vierecke.gxt“.
a) Welche der Vierecke sind Rhomben? Färbe diese rot ein.
b) Wechsle zum Fenster Parallelogramme. Welche der Vierecke sind Parallelogramme?
Färbe diese rot ein.
A
R
O
c) Wiederhole die Aufgabe für Trapeze und Drachenvierecke.
4. Zeichne ein rechtwinkliges, nicht gleichschenkliges Dreieck. Schalte dazu
Gitter
und
Einrasten ein. Ergänze die Figur durch die im Folgenden angegebene
Abbildung. Was für eine Gesamtfigur entsteht jeweils?
V
• Achsenspiegelung an der
a) längsten und
b) kürzesten Seite
• Punktspiegelung am Mittelpunkt der
c) längsten und
d) kürzesten Seite
Wiederhole die Aufgaben a) bis d) für
• ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck und
• ein gleichschenkliges, aber nicht rechtwinkliges Dreieck.
5. Konstruiere ein Rechteck ABCD.
a) Bestimme die
Mittelpunkte der Seiten und verbinde diese zu einem Viereck EFGH.
Was für ein Viereck entsteht? Begründe.
b) Bestimme die
Mittelpunkte des Vierecks EFGH und verbinde diese wiederum zu
einem Viereck. Was für ein Viereck entsteht? Begründe.
Du kannst diese Aufgabe beliebig oft wiederholen.
c)
Verschiebe die Punkte des Rechtecks ABCD so, dass ein Quadrat entsteht.
Wie verändern sich die anderen Vierecke?
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Glossar
Lösungen
S1
Lösungen und Tipps zum Einsatz
Wenn die Lösung zu einer Aufgabe hier nicht aufgeführt ist, liegt sie als Datei vor.
Bevor Sie mit der Arbeit beginnen, weisen Sie bitte die Schülerinnen und Schüler auf
den Unterschied zwischen Zeichnen und Konstruieren in den Aufgabenstellungen hin.
Beim Zeichnen geht es in der Regel darum, die entsprechenden Objekte auf möglichst
einfache Art und Weise zu erzeugen, ohne die entsprechenden Werkzeuge vorzugeben.
Beim Konstruieren hingegen müssen wesentliche Schritte der Konstruktion mit Zirkel
und Lineal entsprechen, damit die Eigenschaften der Objekte bei Veränderungen erhalten bleiben.
Beispiel:
„Zeichne das Quadrat ABCD.“ → Es besteht die Möglichkeit, die Funktion Polygon zu
nutzen, wenn man vorher das Gitter und Einrasten einschaltet. ⇒ Verschiebt man einen
der Eckpunkte, ist das Viereck kein Quadrat mehr.
„Konstruiere das Quadrat ABCD.“ → Es müssen nacheinander folgende Konstruktionsschritte vollzogen werden: Zeichnen einer Strecke AB , Errichten der Senkrechte in B,
Kreis mit dem Radius |AB| um B ⇒ Schnittpunkt C, Senkrechte in C, Kreis mit dem
Radius |CB| um C ⇒ Schnittpunkt E, Strecke AE ⇒ Das Viereck bleibt auch beim Verschieben der Punkte ein Quadrat.
T
H
C
I
S
N
Vorkenntnisse
Es werden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit dem Programm GEONExT vorausgesetzt. Zur Unterstützung werden die zu den Objekten und Funktionen gehörenden
Symbole oft mit angegeben. Sie sind zum Teil in einem Glossar aufgelistet (Datei
„Glossar.xls“ im Ordner Glossar auf CD-ROM 31). Darüber hinaus werden Menüpunkte,
die zum gewünschten Ziel führen, kursiv dargestellt (Objekteigenschaften – Objekt auswählen – Darstellung – Genauigkeit – 0 Stellen). Die kursiven Begriffe sind nacheinander
anzuklicken. Bitte weisen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler darauf hin.
A
R
O
V
Weisen Sie vor dem ersten Einsatz von GEONExT auch noch einmal darauf hin, wie
wichtig es ist, die Arbeitsanweisungen genau zu lesen und der Reihenfolge nach abzuarbeiten. So lassen sich viele Fragen und Probleme vermeiden.
Zeichnen von Strecken vorgegebener Länge
In vielen Konstruktionsaufgaben müssen Strecken einer vorgegebenen Länge gezeichnet werden. Dafür gibt es in GEONExT keine direkte Möglichkeit. Folgende Konstruktionsschritte führen zum selben Ergebnis:
•
Zeichne einen Kreis um einen Punkt A mit festem Radius (Objekte – Kreise
– Kreis (Radius eingeben) – Länge der Strecke eingeben, bei Dezimalbrüchen mit
Punkt statt Komma – Übernehmen)
• Lege auf der Kreislinie einen Punkt B fest.
•
•
Zeichne die Strecke AB .
Verstecke den Kreis (Objekteigenschaften – Kreis ka anklicken – Haken an Objekt
verstecken setzen).
Im Material M 2 wird dies in ähnlicher Form erklärt, es kann aber nicht schaden, als
kleine Vorübung die Schülerinnen und Schüler ein paar Strecken vorgegebener Länge
zeichnen zu lassen.
56 RAAbits Mathematik September 2008
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