Kapitel 8 Reelle Zahlen - Schulbuchzentrum Online

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Kapitel 8 Reelle Zahlen
Didaktische Hinweise
Mit den irrationalen Zahlen erfahren die Zahlbereichserweiterungen im Kerncurriculum einen vorläufigen Abschluss. Auch wenn für viele Anwendungen in der
Regel nur Näherungswerte für irrationale Zahlen von Bedeutung sind, so stellen
sie doch ein interessantes Gebiet dar, in dem Schülerinnen und Schüler einen
altersgemäßen Zugang zu Eigenschaften von Zahlen gewinnen können. Dieser
erschließt sich eher durch theoretische Überlegungen und ermöglicht so einen
Einblick in Fragen der „reinen“ Mathematik. Erstaunlicherweise sind Schülerinnen
und Schüler gerade für Fragestellungen im Zusammenhang mit irrationalen Zahlen offen, entziehen diese sich doch häufig der unmittelbaren Anschauung oder
stehen z. T. scheinbar im Widerspruch zu dieser und sind gleichzeitig geeignet,
den Horizont zu erweitern.
Aufgebaut ist dieses Kapitel in vier Lernabschnitte, wobei sich die beiden ersten
auf das praktische Rechnen mit und Anwenden von irrationalen Zahlen beziehen
(8.1 „Wurzeln bestimmen“, 8.2 „Wurzeln und Näherungsverfahren“). Der Lernabschnitt 8.3 „Irrationale Zahlen“ rückt mehr die Eigenschaften von irrationalen Zahlen in den Blickpunkt und ist somit stärker theoretisch orientiert. Der abschließende Lernabschnitt 8.4 „Rechnen mit Wurzeln“ nimmt sich der besonderen Eigenschaften von Wurzeln beim Rechnen an und führt abschließend die Anwendungen
von irrationalen Zahlen beim „Goldenen Schnitt“ zu einem vorläufigen Höhepunkt.
In der Regel haben eine Reihe von Schülerinnen und Schüler eine „Anmutung“
von irrationalen Zahlen. Die meisten antworten auf die Frage, ob es eine Zahl gibt,
deren Quadrat gleich 5 ist, dass es eine solche Zahl gibt und dass diese etwa 2,2
beträgt. In Lernabschnitt 8.1 werden in der ersten grünen Ebene Probleme aufgeworfen, bei deren Lösung man zwangsläufig auf Gleichungen stößt, deren
Lösungen irrational sind. Die Existenz von irrationalen Zahlen wird zunächst
stillschweigend vorausgesetzt. Das Wurzelzeichen wird als Schreibweise für die
„neuen“ Zahlen eingeführt, und diese Zahlen werden beim Lösen von Problemen
verwendet. In Spezialfällen führen „Wurzeln“ auf rationale Zahlen.
In diesem ersten Lernabschnitt kann man im Aufgabenbereich anhand verschiedener interessanter Situationen erfahren, dass irrationale Zahlen in vielen Sachzusammenhängen von großer Bedeutung sind. Bei den Aufgaben sollte man sich
auch nicht davor scheuen, in einem „dezenten“ Vorgriff z. B. auch Aufgaben aus
dem Umfeld des Satzes des Pythagoras zu verwenden (Aufgabe 16). Die Aufgabe
12 zur Schwingungsdauer eines Fadenpendels lädt ein zur Überprüfung des
berechneten Ergebnisses durch ein „Freihandexperiment“.
Verfahren zur näherungsweisen Bestimmungen von Wurzeln haben die Menschen
schon immer beschäftigt. Daher ist der Lernabschnitt 8.2 (Zusatzstoff) diesen
Verfahren gewidmet und bietet neben der Entwicklung von Näherungsverfahren
auch breite Möglichkeiten, diese „modern“ mithilfe von einer Tabellenkalkulation
oder dem GTR auszuführen. Auf diese Weise können die Schülerinnen und
148
Schüler selbstständig erkunden, wie die jeweiligen Iterationsverfahren vom
Startwert abhängig sind, und ob es „schnellere“ oder „langsamere“ Näherungsverfahren gibt. Versäumen sollte man dabei nicht, erste Schritte der Berechnung
„händisch“ ausführen zu lassen. Nur so kann ein tieferes Verständnis der
jeweiligen iterativen Verfahren erreicht werden. Dass dabei die Erfahrungen mit
Iterationen und deren Anwendungen gleichzeitig die außerordentlich wichtige
Leitlinie „Iterationen“ weiter ausbauen, versteht sich von selbst.
In der zweiten grünen Ebene dieses Abschnittes treten neben den Quadratwurzeln auch Wurzeln 3., 4. und höheren Grades (Aufgabe 14 und 15) auf und lassen
die Schülerinnen und Schüler entdecken, dass sich mit den irrationalen Zahlen
eine neue „Welt von Zahlen“ erschließt.
In Lernabschnitt 8.3 geht es um Eigenschaften der irrationalen Zahlen. Dazu wird
zunächst ein Blick zurück auf die rationalen Zahlen geworfen, und deren Eigenschaften werden von denen der irrationalen Zahlen unterschieden. Dass im
Zentrum der Betrachtungen dabei zumeist Quadratwurzeln stehen, liegt daran,
dass diese häufig in konkreten Situationen vorkommen. Im Basiswissen auf der
Seite 223 und in der einen oder anderen Aufgabe (7 und 9) wird aber deutlich,
dass es weitere irrationale Zahlen gibt, – unter diesen auch solche, die man sogar
„konstruieren“ kann.
Einer der schönsten und elegantesten Beweise ist der Euklidsche Beweise der
Irrationalität von 2 . Dieser Beweis ist ein Beispiel für einen „indirekten Beweis“.
Die Technik des „indirekten“ und des „direkten Beweises“ sind Thema dieses
Lernabschnittes. Ziel ist es, verschiedene Beweistechniken in der Mathematik
kennen zu lernen, Beweise zu analysieren und unterschiedliche Beweistechniken
anwenden zu können, um so die Fähigkeiten zum Begründen und Beweisen
weiter zu entwickeln. Nicht gedacht ist daran, Beweise auswendig wiedergeben zu
können. Für Überprüfungen in Form von Tests von Klassenarbeiten eignet sich
die Analyse von Beweisen (Um welche Beweistechnik handelt es sich?) bzw. das
Fortsetzen von Beweisen (Wie könnte es weiter gehen?).
Lernabschnitt 8.4 „Rechnen mit Wurzeln“ (Zusatzstoff): Im Alltag rechnet man in
der Regel nicht mit irrationalen Zahlen, sondern mit rationalen Näherungswerten.
Dennoch ist die Beschäftigung mit dem Rechnen mit irrationalen Zahlen am
Beispiel der Quadratwurzeln spannend, da sich Rechenregeln, die auf der Hand
zu liegen scheinen, als falsch erweisen, andere wiederum bestätigen. Rechenregeln zu entdecken, zu erforschen und zu überprüfen ist motivierend. Beweise
durch Nachrechnen verlangen zumeist einige Kenntnisse der Algebra, die auf
diesem Wege wiederholt werden können (z. B. die binomischen Formeln, Distributivgesetz usw.). Quadratwurzelterme motivieren zudem die Frage nach der Definitionsmenge. Einen schönen Zugang, der es ermöglicht, dass die Schülerinnen
und Schüler sich für das Thema „Definitionsmenge eines Wurzelterms“ interessieren, ermöglicht der GTR. Zeichnet man die Graphen von Wurzelfunktionen
(Aufgabe 16), so stimulieren die z. T. überraschenden Ergebnisse eine intensivere
Beschäftigung mit Wurzeltermen. Die Auswertung des Terms + a , für verschiedene a lädt ein zu Vermutungs- und Begründungsaktivitäten (Aufgabe 21).
Eine besonders schöne Anwendung für Wurzeln ist der „Goldene Schnitt“, der in
der Kunst seit Jahrhunderten, wenn nicht seit Jahrtausenden immer wieder
diskutiert und angewendet wird. Dieses Thema lässt sich zu einem fachübergreifenden Projekt mit einer Ausstellung sowohl der mathematischen als auch der
künstlerischen Ergebnisse ausbauen. Diese Chance sollte man sich an dieser
2
149
Stelle nicht entgehen lassen, ist ein solches fächerübergreifendes Projekt doch
eine Bereicherung der mehr theoretisch orientierten Beschäftigung mit irrationalen
Zahlen.
Zusatz
Nach der ersten Auflage des Bandes (im Impressum auf Seite 2 als Druck A
gekennzeichnet) wurden in diesem Kapitel die Seiten 222-226 für den Druck B
umgeordnet.
Für die Übungen und Aufgaben auf diesen Seiten gilt:
≠ S. 222/223 (Druck A) wurden neu zusammengestellt:
- Übung 13 → S. 226, Übung 4
- Übung 14 → S. 222, Übung 13
- Übung 15 → S. 222, Übung 14
- Übung 16 → S. 226, Übung 5
- Übung 17 entfällt.
- Übung 18 → S. 222, Übung 15
- Übung 19 → S. 222, Übung 16
≠ S 224 (Druck A) wurde im Wesentlichen als S. 223 beibehalten:
- Aufgabe 20 → S. 223, Aufgabe 17
- Aufgabe 21 → S. 223, Aufgabe 18 mit verändertem Teil c)
- Aufgabe 22 → S. 223, Aufgabe 19
- Aufgabe 23 → S. 223, Aufgabe 20
≠ S. 225 (Druck A) wird Seite 224, sonst unverändert
≠ S. 226 (Druck A) wird Seite 225, sonst unverändert
150
Lösungen
8.1 Wurzeln bestimmen
218
1. a) b) 50 cm2 ; die Seitenlängen sind (gemessen) etwa 7,1 cm.
c) Durch Probieren erhält man den Wert 7,071.
2. a) (1) x = 9 oder x = 09
(2) x = 0
(3) x = 0,2 oder x = 00,2
(4) x ⏐ 2,236 oder x ⏐ 02,236
(5) keine Lösung
(6) x ⏐ 3,162 oder x ⏐ 03,162
b) Die Gleichungen können als Lösung sowohl eine Zahl als auch deren
Gegenzahl haben, da sowohl „plus mal plus“ als auch „minus mal minus“
eine positive Zahl ergibt.
Gleichung (2) hat als Lösung nur die null, da die null keine Gegenzahl
hat; Gleichung (5) hat keine Lösung, da das Quadrat einer Zahl stets
nicht negativ ist.
219
3. a)
Zeit in Sekunden
Fallstrecke s in Metern
0
0
1
5
2
20
3
45
4
80
5
125
b) t = 1,8 s
c) t ⏐ 2,45 s
Bei einer Fallstrecke von 16,20 m beträgt die Fallzeit die abbrechende
Dezimalzahl 1,8 s. Man erhält also ein „glattes“ Ergebnis.
4. a)
a = x2
x
0
0
1
1
4
2
9
3
16
4
25
5
36
6
49
7
64
8
81
9
100
10
b) x 2 ≅ a mit 0 < a < 1 und a hat genau eine Nachkommastelle.
Quadriert man eine Zahl mit einer (oder mehreren) Nachkommastellen,
so erhält man eine Zahl mit zwei (oder mehreren) Nachkommastellen.
a kann also nicht genau eine Nachkommastelle haben.
c)
a = x2
x
0,01
0,1
0,04
0,2
0,09
0,3
0,16
0,4
0,25
0,5
0,36
0,6
0,49
0,7
a = x2
x
0,64
0,8
0,81
0,9
1,00
1,0
1,21
1,1
1,44
1,1
1,69
1,3
1,96
1,4
5. a) 4,12 < a < 4,13
4,123 < a < 4,124
denn 4,12 ∧4,12 = 16,9744
denn 4,123 ∧4,123 = 16,9991...
und 4,13 ∧4,13 = 17,0569
und 4,124 ∧4,124 = 17,0073...
Man kann mit diesem Verfahren mit großem Aufwand weitere Stellen
ermitteln.
b) 9,4868 < a < 9,4869; auf drei Stellen gerundet ist a ⏐ 9,487 m.
151
220
b) ⏐ 22,361 c) 1,4
6. a) 12
f) ⏐ 5,477
h) ⏐ 0,354
g) 4,5
7. a) x = 9 oder x = 09
c) x = 73 oder x = 0 73
d) 14 ?
221
b) 5 ?
200 ? 15
9. a) ⏐ 4,5 cm
4
5
i)
1,1
e) ⏐ 0,316
j)
5
25
≅
1
5
b) x = 3 oder x = 03
d) x ⏐ 7,348 oder x ⏐ 07,348
e) x ⏐ 2,828 oder x ⏐ 02,828
g) x ⏐ 3,162 oder x ⏐ 03,162
8. a) 7 ? 60 ? 8
d)
f) x ⏐ 1,342 oder x ⏐ 01,342
h) x ⏐ 2,236 oder x ⏐ 02,236
28 ? 6
e) 20 ?
c) 10 ? 105 ? 11
405 ? 21
b) ⏐ 4,2 m
c) ⏐ 24,5 km
d) ⏐ 31,6 cm
10. a) Man sieht ungefähr 4,56 km weit.
b)
Augenhöhe h
Sichtweite w
5m
8,06 km
10 m
20 m
40 m
80 m
11,40 km 16,12 km 22,80 km 32,25 km
Wenn sich die Höhe vervierfacht, verdoppelt sich die Sichtweite.
11. a) 6 cm
222
b) ⏐ 8,94 cm
c) 10 cm
d) ⏐ 11,83 cm
12. a) Individuelle Schülerlösungen
b) Länge l = 0,25 m, T = 1 s
Länge l = 1,00 m, T = 2 s
13. a) 2,8
e) 1,2
c) 8,602
g) 5,499
b) 2,793
f) 22,361
d) 8,6
h) 5,5
14. Das Ergebnis ist eine rationale Zahl, wenn der Radikand das Quadrat einer
rationalen Zahl ist.
a) 0,2
b) 0,632 c) 2
d) 6,325 e) 20
f) 62,246
Mathe-Kiste
≠ ε = 50″, da ϕ = 90″ (Satz von Thales) und Winkelsumme im Dreieck 180″.
≠ Thaleskreis über BC ; Parallele zu BC im Abstand 3 cm.
152
222
≠ 2 000 = 8 ∧10 ∧25 (einzige Lösung bei den vorgegebenen Bedingungen, da
2 000 = 24 ∧53 )
≠ Mit Gleichung a) t = 36, n = 12
≠ a = 12 0 4b
b = 3 0 41 a
15. Die Fliesen sind gleichschenklig mit den Schenkellängen 10 cm und der
Basislänge 14,14 cm.
16. Punkt P: d ≅ 29 ⏐ 5,39 cm
223
Punkt Q: d ≅ 25 ≅ 5 cm
17. a) Im 19. Jahrhundert war nur die Jahreszahl 1849 eine Quadratzahl.
De Morgan wurde deshalb im Jahre 1806 geboren und war im Jahr
1849 = 432 also 43 Jahre alt.
b) Nach dem Jahre 2025 = 452 könnten die 1980 geborenen Menschen
De Morgans Ausspruch machen.
18. a) 1 cm
2 cm
b) Beispiele:
⏐ 2,15 cm
⏐ 2,52 cm
V = 27 cm3 ; a = 3 cm
V = 216 m3 ; a = 6 m
V = 21,952 cm3 ; a = 2,8 cm
c) 2 ?
3
20 ? 3
3?
3
40 ? 4
4?
3
80 ? 5
19. a) (1) Mit der Abstandsformel aus Aufgabe 19 gilt:
d = 22 . 12 ≅ 5, also Seitenlänge = 5 cm
(2) Aufgrund der Zerlegung des Quadrates in vier Dreiecke (je 1 cm2
Flächeninhalt) und ein Quadrat (ebenfalls 1 cm2 ) kann man den
Flächeninhalt A = 5 cm2 bestimmen. Die Seitenlänge des Quadrates
ergibt sich daraus; Seitenlänge = 5 cm.
b) Ein Viereck mit gleich langen, sich halbierenden,
zueinander senkrechten Diagonalen ist ein Quadrat (Symmetrieeigenschaften des Quadrates).
Flächeninhalt: 12,5 cm2 ;
Seitenlänge:
12,5 cm ⏐ 3,5 cm
153
223
20. a) 62 . 82 ≅ 100 ≅ 102
2
2
5 . 12 ≅ 169 ≅ 13
b)
a
8
10
11
6
40
52 . 72 ≅ 74 ≈ 92
2
b
15
24
60
20
9
72 . 242 ≅ 625 ≅ 252
a 2 . b2
289
676
3 721
436
1 681
c
17
26
61
keine Quadratzahl
41
8.2 Wurzeln und Näherungsverfahren
224
225
1. a)
a (in cm)
9
5
3,4
⏐ 3,0235
b (in cm)
1
1,8
⏐ 2,6471
⏐ 2,9767
Das vierte zeichnerisch erhaltene
Rechteck ist von einem Quadrat
mit der Seitenlänge 3 cm nicht
mehr zu unterscheiden.
b)
a (in cm)
⏐ 3,0001
⏐ 3,0000
3,0000
b (in cm)
⏐ 2,9999
⏐ 3,0000
⏐ 3,0000
Da sich a und b nähern zu a = b,
ist die Näherungsfigur ein Quadrat.
c)
a (in cm)
6
4
3,5
⏐ 3,4643
⏐ 3,4641
b (in cm)
2
3
⏐ 3,4286
⏐ 3,4639
⏐ 3,4641
Es entsteht ein Quadrat mit einer
Seitenlänge von näherungsweise
3,4641 cm.
2. a) Individuelle Schülerlösungen
b) Fortsetzung des Beispiels:
c = 38
3. Frage: Liegt die gesuchte Zahl zwischen 26 und 38?
Nein!
a = 39, b = 50
◊ c = 44,5
4. Frage: Liegt die gesuchte Zahl zwischen 39 und 44?
Ja!
a = 39, b = 44
◊ c = 41,5
5. Frage: Liegt die gesuchte Zahl zwischen 39 und 41?
Ja!
a = 39, b = 41
◊ c = 40
6. Frage: Ist die gesuchte Zahl eine der beiden Zahlen 39 und 40? Ja!
a = 39, b = 40
◊ c = 39,5
7. Frage: Heißt die gesuchte Zahl 39?
Ja!
c) Um eine gesuchte Zahl zwischen 1 und 200 sicher zu finden, werden 8
Fragen benötigt. Die Anzahl der Fragen findet man so: Suche zur größtmöglichen Zahl ( z. B. Z = 200) die nächstgrößere oder gleich große
Zweierpotenz, also Z ∞2n (im Beispiel 200 ∞ 28 = 256); es werden dann
n Fragen benötigt. In Sonderfällen reichen auch schon n 0 1 Fragen.
154
225
3. Hinweis: Hier handelt es sich um das anschauliche Beispiel für eine Iteration.
a) Die Kochsalzmenge halbiert sich.
b) Nach dem 5. Verdünnen ist noch 5 g Kochsalz in der Lösung.
c) Nach dem 8. Verdünnen ist nur noch 0,625 g Kochsalz, also weniger als
1 g in der Lösung.
226
4. a) Die Zahlen stimmen.
Durch Hinzunahme von immer mehr Nachkommastellen bei den Intervallgrenzen wird das Intervall immer kleiner. Im Beispiel beträgt es z. B.
1
in der 3. Zeile
3,17 0 3,16 = 0,01 = 100
in der 5. Zeile
3,1623 0 3,1622 = 0,0001 = 10 1000
? 80 ? 9
b) 8
8,9
? 80 ? 9,0
8,94
? 80 ? 8,95
8,944 ? 80 ? 8,945
c) Die Zahl
wird bestimmt.
? 60 ? 8
5. 7
228
1
3
7,7
? 60 ? 7,8
7,74
? 60 ? 7,75
7,745
? 60 ? 7,746
7,7459
? 60 ? 7,7460
6. a) A = 80 cm2
x (in cm)
y (in cm)
2
40
21
3,81
12,41
6,45
9,43
8,48
8,96
8,93
8,94
8,94
7. a) Startwert 5
x (in cm)
5
5,5
5,47727
5,47723
30 ≅ 5,4772...
b) A = 36 cm2
x (in cm) y (in cm)
4
9
6,5
5,54
6,02
5,98
6,00
6,00
y (in cm)
6
5,45455
5,47718
5,47723
c) A = 30 cm2
x (in cm)
y (in cm)
1
30
15,5
1,94
8,72
3,44
6,08
4,93
5,51
5,44
5,48
5,47
b) Startwert 5
x (in cm)
5
11
9,36364
9,22065
9,21954
85 ≅ 9,2195...
y (in cm)
17
7,72727
9,07767
9,21844
9,21954
155
228
7. c) Startwert 10
x (in cm)
10
15
14,16667
14,14216
14,14214
y (in cm)
20
13,33333
14,11765
14,14211
14,14214
d) Startwert 5
x (in cm)
5
8,5
7,77941
7,74604
7,74597
200 ≅ 14,1421...
y (in cm)
12
7,05882
7,71267
7,74589
7,74597
60 ≅ 7,7459...
100 ≅ 10
e) Startwert 10
8. a) Startintervall [4; 5]
Linke Intervall- Rechte Intervallgrenze x
grenze y
Mittelwert
aus x und y
Wo liegt
20 ?
4
5
4,5
4,52 = 20,25
4
4,5
4,25
4,252 =18,0625
4,25
4,5
4,375
4,3752 = 19,1406
4,375
4,5
4,4375
4,43752 = 19,6914
4,4375
4,5
4,46875
4,468752 = 19,9697
4,46875 < 20 < 4,5; genauer Wert: 4,4721...
b) Startintervall [6; 7]
Linke Intervall- Rechte Intervallgrenze x
grenze y
Mittelwert
aus x und y
Wo liegt
40 ?
6
7
6,5
6,52 = 42,25
6
6,5
6,25
6,252 =39,0625
6,25
6,5
6,375
6,3752 = 40,6406
6,25
6,375
6,3125
6,31252 = 39,8477
6,3125
6,375
6,34375
6,343752 = 40,2432
6,3125 < 40 < 6,34375; genauer Wert: 6,3245...
c) Startintervall [8; 9]
Linke Intervall- Rechte Intervallgrenze x
grenze y
Mittelwert
aus x und y
Wo liegt
80 ?
8
9
8,5
8,52 = 72,25
8,5
9
8,75
8,752 = 76,5625
8,75
9
8,875
8,8752 = 78,7656
8,875
9
8,9375
8,93752 = 79,8789
8,9375
9
8,96875
8,968752 = 80,4385
8,9375 < 80 < 8,96875; genauer Wert: 8,9442...
156
228
8. d) Startintervall [10; 11]
Linke Intervall- Rechte Intervallgrenze x
grenze y
Mittelwert
aus x und y
Wo liegt
120 ?
10
11
10,5
10,52 = 110,25
10,5
11
10,75
10,752 = 115,5625
10,75
11
10,875
10,8752 = 118,2656
10,875
11
10,9375
10,93752 = 119,6289
10,9375
11
10,96875
10,968752 = 120,3135
10,9375 < 120 < 10,96875; genauer Wert: 10,9544...
e) Startintervall [14; 15]
Linke Intervall- Rechte Intervallgrenze x
grenze y
Mittelwert
aus x und y
Wo liegt
200 ?
14
15
14,5
14,52 = 210,25
14
14,5
14,25
14,252 = 203,0625
14
14,25
14,125
14,1252 = 199,5156
14,125
14,25
14,1875
14,18752 = 201,2852
14,125
14,1875
14,15625
14,156252 = 200,3994
14,125 < 200 < 14,15625; genauer Wert: 14,1421...
9. a) Durch die Intervallhalbierungen erzeugt man eine Folge von Intervallen,
von denen das kleinere immer vollständig in dem größeren enthalten ist.
Beliebig weit fortgesetzt, werden die Intervalle durch die jeweilige
Halbierung immer kleiner.
b) Die Anzahl der Halbierungen hängt von dem Radikanden und von der
Wahl des Ausgangsintervalls ab, man braucht so lange, bis das Intervall
kleiner als 0,0001 ist.
229
10. a) x 0
=5
+
x1 ≅ 0,5 5 .
50
5
x4
= 7,5
50
7,5
= 7,08333
,
+
≅ 0,5 +7,08334 .
≅ 0,5 +7,07108 .
x 2 ≅ 0,5 7,5 .
x3
,
50
7,08334
50
7,07108
,
,
= 7,07108
= 7,07107
50 ⏐ 7,07 (auf 2 Dezimalstellen)
b) In der Iterationsvorschrift entspricht das xn der Länge und
a
xn
der Breite
des Rechtecks; a ist der Flächeninhalt. Aus Länge und Breite wird der
Mittelwert gebildet (Summe geteilt durch 2), der dann die neue Länge
darstellt.
c)
95 ⏐ 9,74679...
12,8 ⏐3,57770...
157
229
11. a) In der Tabelle wird die 7 näherungsweise bestimmt; die jeweils besten
Werte sind: 2,6; 2,64; 2,645; 2,6457
b)
x
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
x2
9,00
9,61
10,24
10,89
11,56
12,25
12,96
13,69
14,44
x
x2
x
x2
3,71
3,72
3,73
3,74
3,75
3,76
3,77
3,78
13,7641
13,8384
13,9129
13,9876
14,0625
14,1376
14,2129
14,2884
3,741
3,742
3,743
3,744
3,745
3,746
3,747
3,748
13,995081
14,002564
14,010049
14,017536
14,025025
14,032516
14,040009
14,047504
14 = 3,741...
230
12. a) x0 ≅ 1
x1 ≅ 48,0
x2 ≅ 24,98958
x 3 ≅ 14,39558
x 4 ≅ 10,49741
x 5 ≅ 9,77363
Genauer Wert:
95 ≅ 9,74679...
b)
x0
Startwert 20
20
Startwert 10
10
Startwert 5
5
Startwert 1
1
x1
22,5
30
52,5
250,5
x2
22,36111
23,33333
31,01190
126,248
x3
22,36068
22,38095
23,56737
65,10423
x4
22,36068
22,36069
22,39157
36,39211
x5
22,36068
22,36068
22,36070
25,06568
22,36068
22,50664
x6
x7
22,36115
x8
22,36068
Je ungenauer der Startwert ist, desto mehr Iterationsschritte muss man
ausführen. Im Beispiel erreicht man mit dem Startwert 20 bereits nach
dem dritten Schritt die Genauigkeit (gerundet), die man beim Startwert 1
erst nach dem achten Schritt erreicht.
13. a) Es wird 60 ermittelt.
b) Der Startwert lautet 2 und steht in C2.
C3 = 0,5*(C2+($H$1/C2))
C4 = 0,5*(C3+($H$1/C3))
c) C5 = 0,5*(C4+($H$1/C4))
C6 = 0,5*(C5+($H$1/C5))
C7 = 0,5*(C6+($H$1/C6))
158
230
13. d) Um 300 zu berechnen muss man in das Feld H1 den Wert 300
eingeben.
Iteration
Näherungswert
0
1,00000
1
150,50000
2
76,24668
3
40,09064
4
23,78684
5
18,19943
6
17,34173
7
17,32052
8
17,32051
9
17,32051
10
17,32051
x0
Startwert 01
01
x1
05,5
x2
03,65909
x3
03,19601
x4
03,16246
x5
03,16228
14. a)
10 ⏐ 3,16228
Das Iterationsverfahren liefert den Wert
0 10
b) Setzt man in die Iterationsformel für xn einen negativen Wert ein, so
kann man durch Umformen feststellen, dass dann auch xn. 1 negativ ist.
Ein negativer Startwert führt deshalb immer zu einem negativen Ergebnis.
3 ⏐ 1,7320508
15. a)
265
153
⏐ 1,7320261
1351 ⏐ 1,7320512
780
Die Näherungswerte sind auf 4 bzw. 5 Stellen genau.
b) Es reichen bereits vier Iterationsschritte, um das Ergebnis auf 7 Stellen
nach dem Komma genau zu ermitteln und damit genauer zu sein als die
Näherungswerte des Archimedes.
231
16. a) x = 2 cm
(x = 3 cm; x = 10 cm)
b) Die 3. Wurzel aus 500 ist keine natürliche Zahl. 500 ist keine Kubikzahl.
c) Der beste ganzzahlige Näherungswert ist 8, denn 83 = 512.
d) Mit einem Startwert von z. B. 5 erhält man bereits nach dem vierten
Iterationsschritt einen auf 4 Stellen genauen Wert, nämlich
3
500 ⏐ 7,9370.
159
231
17. a) 2 (10; 5; 0,3)
⎝
b) xn. 1 ≅ 41 ⎡ xn . xn . xn .
⎢
500 ⎤
⎥
xn3 ⎦
4
500 ⏐ 4,728708
c) Unter 5 500 versteht man eine Zahl, die viermal mit sich selbst multipliziert 500 ergibt.
⎝
⎤
xn. 1 ≅ 51 ⎡ xn . xn . xn . xn . 5004 ⎥ 5 500 ⏐ 3,465724
xn ⎦
⎢
+
,
18. Die Iteration nähert sich dem Punkt 6 32 4 32 , abgelesener Wert: (6,5 | 4,5).
Zur Information: Die dargestellten Iterationsschritte sind:
x1 ≅ 1 x 2 ⏐ 3,43
x 3 ⏐ 4,82
x 4 ⏐ 5,61
Hinweis: Iterationen kann man auch grafisch darstellen. Hier sieht man, dass
sich die Iteration dem Schnittpunkt der beiden Geraden beliebig gut nähert.
8.3 Irrationale Zahlen
232
1. a) Über den Zahlengeraden wird ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 gezeichnet. Die Diagonallänge wird vom Nullpunkt aus auf der Zahlengeraden
abgetragen.
b) Mit der Abstandsformel aus Aufgabe 19, Seite 11, gilt:
Diagonalenlänge d = 12 . 12 ≅ 2 ; also Diagonalenlänge = 2 cm
c) Man zeichnet entsprechend Teilaufgabe a) ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 cm (3 cm):
Diagonalenlänge d = 22 . 22 ≅ 8; also Diagonalenlänge = 8 cm
(Diagonalenlänge d = 32 . 32 ≅ 18; also Diagonalenlänge = 18 cm)
2. a) 1 ?
b)
3
2
2?2
mit sich selbst multipliziert ergibt
9
4
≅ 2,25; das ist ungleich zu
2 ∧ 2 ≅ 2.
c) Man stellt fest, dass sich 2 vermutlich nicht als Bruch schreiben lässt,
da alle vier gekürzten Brüche quadriert ungleich 2 sind.
3. a)
6 ⏐ 2,4
b) Der Graph von y ≅ x 2 existiert nur für nicht negative y-Werte, da das
Quadrat jeder Zahl positiv ist. Die Umkehrung x ≅ y kann also nur für
nicht negative y-Werte am Graphen abgelesen werden.
160
233
7 ? 4
? 73 ? 94 ? 21 ? 85 ? 11
5
b) Man subtrahiert Brüche, indem man sie gleichnamig macht und dann die
beiden Zähler subtrahiert und den Nenner beibehält.
Man multipliziert Brüche so: Zähler mal Zähler; Nenner mal Nenner.
Man addiert Brüche, indem man sie gleichnamig macht und dann die
beiden Zähler addiert und die Nenner beibehält.
Man dividiert Brüche durch Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors.
4. a)
2
5
5. a)
1
5
≅ 0,2
1
6
≅ 0,1666...
1
7
≅ 0,142857142...
1
8
≅ 0,125
Manche Brüche brechen nach einigen Dezimalstellen ab; manche wiederholen nach einigen Dezimalstellen immer die gleiche Zahl, andere
immer die gleiche Zahlenfolge, ohne je abzubrechen.
b) Es können höchstens 6 (12; b 0 1) verschiedene Reste auftreten.
c) Spätestens nachdem beim Divisionsverfahren alle möglichen Reste einmal aufgetreten sind, ergibt sich ein Rest, der vorher schon einmal aufgetreten ist. Ab dort wiederholt sich die vorherige Reihe der auftretenden
Reste; dadurch entsteht die Periode.
Die Periode ist also höchstens b 0 1 Stellen lang, wenn b der Nenner des
Bruches ist.
234
6.
7
5
rational, reell
2
2
0,333...
08
36
25
natürlich, ganz, rational, reell
irrational, reell
rational, reell
ganz, rational, reell
rational, reell
0 16
ganz, rational, reell
b) rational
5 ; rational
c) = 11
d) irrational
e) = 31 ; rational
f) irrational
g) = 0,4; rational
; rational
h) 0 10
6
i)
7. a) = 6; rational
j)
8. a)
rational
6 ? 2,45 ? 2,5
c) 3,5 =
e)
g)
irrational
12
7
b)
12, 25
? 1,72 ? 1,73 ?
12 Α0 12
14
11
5 ? 2,24 ? 2,44 ? 6
d)
3
f)
h)
Α1,27 Α1,22
57,76 = 7,6
7
2
Α 3, 32 Α 11
9. a) Die Ziffern 3 und 5 wechseln ab, die Anzahl der Nullen zwischen den
Ziffern 3 und 5 wird jeweils um 1 größer.
b) Es handelt sich weder um eine abbrechende Dezimalzahl, noch um eine
periodische Dezimalzahl, da sich die Anzahl aufeinanderfolgender Nullen
nie wiederholt. Deshalb liegt eine irrationale Zahl vor.
c) Vergleiche Aufgabe 7 d).
161
234
235
9. d) Das Glücksrad liefert eine nicht periodische Ziffernfolge; die daraus gebildete Zahl ist deshalb irrational.
10. 0 92 ≅ 0 4,5
0 36 ≅ 0 6
7 ⏐ 0,64
11
0 11
⏐ 0 3,67
3
6,25 ≅ 2,5
17
3
0 6 ⏐ 0 2,45
⏐ 5,67
20,25 ≅ 4,5
Daraus kann man die folgende Reihenfolge ermitteln; die Zahlengerade
zeichnet man möglichst auf mm-Papier mit 1 Einheit = 10 mm oder
1 Einheit = 20 mm.
7 ?
0 36 ? 0 92 ? 0 11
? 0 6 ? 11
3
11. a) manchmal
d) manchmal
12. (a) 02,5
0 ≅0
(e)
(i)
8
3
6,25 ?
20,25 ? 17
3
b) immer
e) immer
(b) 0 4 ≅ 0 2
(f)
(j)
5
7
c) manchmal
f) nie
(c) 0 131
(g)
1,44 ≅ 1,2
(d) 0 84 ≅ 0 0,5
(h) 187
11 ⏐ 3,32
13. a) Bei der Begründung 1 werden drei Beispiele aufgelistet. Es könnte viele
weitere Beispiele geben, die die Behauptung widerlegen. Ähnlich verhält
es sich mit Begründung 2. Es kann nicht ausgeschlossen werden, dass
durch weitere Suche doch ein Gegenbeispiel gefunden wird.
Begründung 3 dagegen umfasst alle Zahlen, da für a und b jede beliebige
gerade Zahl ausgewählt werden kann.
Das ist ein Beweis der Behauptung.
b) a ungerade ◊ a = 2n + 1
b ungerade ◊ b = 2m + 1
◊ a ∧b = (2n + 1) (2m + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2 (2mn + m + n) + 1
Der erste Summand des Ergebnisses ist durch 2 teilbar, also eine gerade
Zahl. Durch Addition von 1 ergibt sich eine ungerade Zahl.
c) a ungerade ◊ a = 2n + 1
b ungerade ◊ b = 2m + 1
◊ a 0 b = 2n + 1 0 (2m + 1) = 2n 0 2m = 2 (n 0 m)
Die Differenz ist durch 2 teilbar, also eine gerade Zahl.
14. Alle gesammelten Punktezahlen sind durch 3 teilbar. Die Summe zweier
Zahlen, die durch 3 teilbar sind, ist auch durch drei teilbar.
Beweis: a = 3n; b = 3m ◊ a + b = 3n + 3m = 3 (m + n) ist teilbar durch 3
Da 100 nicht durch 3 teilbar ist, die Summe jeder Kombination der vorliegenden Punktezahlen jedoch durch 3 teilbar ist, kann 100 nicht Ergebnis sein.
236
15. a) Es wird gezeigt, dass für beliebige rationale Zahlen sich deren Summe
als Bruch darstellen lässt, also ebenfalls eine rationale Zahl ist. Der
Beweis ist korrekt.
b) Es wird gezeigt, dass die Annahme, das Ergebnis sei rational, falsch ist.
Dann aber ist das Gegenteil der Annahme richtig, t ist also irrational.
162
236
p
16. a) a und b sind rationale Zahlen: a ≅ , b ≅ m
q
n
p
◊ a ∧b ≅ q ∧m
≅
n
p ∧m
q ∧n
ist eine rationale Zahl
b) x ist eine rationale, y eine irrationale Zahl
Annahme: xy ≅ t und t ist rational
◊ y≅
x
t
◊
y ist rational, da Quotient zweier rationaler Zahlen.
Das ist ein Widerspruch zur Vorgabe, dass y irrational sei. Also ist die
Annahme falsch. Der Quotient ist somit irrational.
p
c) a und b sind rationale Zahlen: a ≅ q , b ≅
◊ m≅
a. b
2
≅
+ . ,≅
1 p
2 q
r
s
r
s
(ps . rq)
2qs
Der Mittelwert lässt sich als Bruch darstellen, ist also eine rationale Zahl.
17. a) a gerade
◊ a = 2n
b ungerade ◊ b = 2m + 1
◊ a ∧b = 2n ∧(2m + 1) = 2 (2mn + n)
Das Produkt ist durch 2 teilbar, also eine gerade Zahl.
b) Jede gerade Zahl ist durch 1, durch 2 und durch sich selbst teilbar, hat
also mehr als 2 Teiler und ist somit keine Primzahl. Einzige Ausnahme
ist die Zahl 2, die nur die beiden Teiler 1 und sich selbst hat. Deshalb ist
2 die einzige gerade Primzahl.
18. Nach Aufgabe 13 ist das Produkt zweier gerader Zahlen wiederum eine gerade Zahl. Damit ist auch das Produkt dreier gerader Zahlen wiederum eine
gerade Zahl:
a ∧b ∧c = (a ∧b) ∧c = s ∧c, wobei a ∧b = s gerade ist.
Da die Zahl 149 ungerade ist, kann sie nicht das Produkt dreier gerader
Zahlen sein.
Darüber hinaus: 149 ist Primzahl und hat daher keine weiteren Teiler als 1
und sich selbst.
238
19. Behauptung: 3 ist irrational
Widerspruchsbeweis: Annahme: Das Gegenteil ist wahr.
(1)
3 ist rational.
(2)
3≅
p
q
Man kann
p
q
p2
3 als vollständig gekürzten Bruch
darstellen.
(3)
3≅
(4)
p2 ≅ 3q2
Auflösen nach p2
(5)
(6)
(7)
p2 ist durch 3 teilbar.
p ist durch 3 teilbar.
p = 3n
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeitsregeln
(8)
p2 ≅ 9n2
Quadrieren der Gleichung (7)
q2
Quadrieren der Gleichung (2)
163
238
19. (9)
9n2 ≅ 3q2
Einsetzen von (8) in Gleichung (4)
(10) 3n2 ≅ q2
Division der Gleichung (9) durch 3
(11) q2 ist durch 3 teilbar.
(12) q ist durch 3 teilbar.
(13) q = 3m
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeitsregeln
(14) p und q sind beide durch 3 teilbar,
p
q
ist also kein vollständig gekürzter
Bruch.
Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass
Bruch
p
q
3 als vollständig gekürzter
darstellbar ist.
20. Annahme: g und h (mit g ≈ h) sind senkrecht zu einer Geraden k, aber nicht
parallel zueinander.
◊ g und h schneiden sich, da sie nicht parallel sind.
◊ g, h und k bilden ein Dreieck.
◊ Wegen des Winkelsummensatzes für Dreiecke können nicht bereits 2
Winkel zusammen 180″ groß sein, was jedoch in der Annahme enthalten
ist, da g und h die Gerade k im Winkel von je 90″ schneiden.
◊ Die Annahme führt also auf einen Widerspruch und ist deshalb falsch.
21. a)
b) Behauptung: Die Dreiecksungleichung a + b > c gilt.
Widerspruchsbeweis:
Annahme: Die Dreiecksungleichung gilt nicht, also gilt a + b < c.
Die Konstruktion eines Dreiecks, von dem die drei Seitenlängen bekannt
sind, ist nach Kongruenzsatz SSS eindeutig möglich. Der Versuch zeigt:
Für a + b < c ergibt sich kein Schnittpunkt C, die Dreieckskonstruktion ist
also nicht möglich. Die Annahme ist deshalb falsch.
Dasselbe lässt sich für a + b = c zeigen.
Also gilt die Dreiecksungleichung a + b > c.
164
239
43
56
22
28
22. a) Beispiele:
45
56
87
112
95
112
b) Erweitert man die Brüche zu Brüchen mit immer größeren Nennern, so
sieht man an deren Zählern, dass zwischen ihnen weitere Brüche mit
gleichem Nenner eingefügt werden können. Dieses Verfahren kann man
unbegrenzt fortsetzen. Deshalb liegen unendlich viele rationale Zahlen
zwischen den vorgegebenen beiden Zahlen.
c) Man findet die Zahlen durch Erweitern der beiden gegebenen rationalen
Zahlen analog b).
23. a) 1,4
1,4166...
1,4137...
1,4142...
Die Folge nähert sich offenbar der Zahl 2 .
b)
10 ≅ 3,162277...
8.4 Rechnen mit Wurzeln
240
1. a) Offenbar richtig sind die Regeln (1), (4), (5) und (6).
b) (1) k ∧a2 . l ∧a2 ≅ (k . l)a2
Mit k = l = 1 beweist das Distributivgesetz Aufgabe (1) und widerlegt
Aufgabe (2).
(3) Wird durch die 1. binomische Formel widerlegt.
(4) a2 ∧b2 ≅ a ∧a ∧b ∧b
≅ a ∧b ∧a ∧b
(Kommutativgesetz)
≅ (a ∧b) ∧(a ∧b) (Assoziativgesetz)
≅ (a ∧b)2
(5)
a2
b2
≅
a ∧a
b ∧b
≅ ab ∧ab ≅
+ab ,
2
(6) a2 ∧a2 ≅ a ∧a ∧a ∧a ≅ a4
2. a)
9 ∧16 ≅ 144 ≅ 12
9 ∧ 16 ≅ 3 ∧4 ≅ 12
b) 9 . 16 ≅ 25 ≅ 5
9 . 16 ≅ 3 . 4 ≅ 7 ≈ 5
c)
Die Wurzel aus einer Summe ist ungleich der Summe der Wurzeln aus
den einzelnen Summanden.
d) -
241
3. a) 2 11
e) 7 5
4. a) 5 . 4 2
d) 4 a 0 6
b) 10 21
c)
f)
g) 0 3 b
10 a
5
d) keine Vereinfachung
h) keine Vereinfachung
b) 2
+ 10 0 6 ,
c) 2 x . 3 y
e)
11
f)
5
+ 3 0 6 , . 4 + 10 .
,
11
165
241
5. a)
30
e) 18
242
6. 5 2
6. a)
e) 097
7. a) 3 3
b) 5 14
c) 3 33
f) 250
g) 2 2 .
b)
42 .
33
c)
f)
ab .
ac
g) 1.
b) 10 2
g)
1
4
7
3
h) 0,3 2
i)
j)
Individuelle Schülerlösungen
8. a) 10
b) 1,5
c) 0,4
d) 2
d) 2
2
3
h)
2
d)
0,1 2
h) 3 0 5 3
6
14 0 7 . 6 2 0 6
c) -
f)
d) 13
4
5
2
5
e) -
-
e) 10
f)
2
3
9. Beispiel: 18 ∧ 2 ≅ 36 ≅ 6
Bei Aufgabe 8 sind die Faktoren der Produkte jeweils irrationale Zahlen.
Durch Anwenden der Produktregel erhält man einen Radikanden, dessen
Wurzel eine rationale Zahl ist. Individuelle Schülerlösungen.
10. a)
63
b)
c)
8
10
d)
„in die Wurzel bringen“ als Umkehrung
von „Nachrechnen“:
11.
a) 4 5 ≅ 16 ∧5 ≅ 80
b) 0,3 10a ≅ 0,09 ∧10a ≅ 0,9a
c)
5
6
6≅
25 ∧6
36
≅
50
12
9a
e)
30
f)
1
2
Quadrieren:
+ 80 , ≅ 80
2
+4 5 , ≅ 16 ∧5 ≅ 80
2
+ 0,9a , ≅ 0,9a
2
+0,3 10a , ≅ 0,09 ∧10a ≅ 0,9a
2
+ ,
50
12
2
50
≅ 12
+65 6 , ≅ 3625 ∧6 ≅ 1250
2
+ 0,32 , ≅ 0,32
2
+0,4 2 , ≅ 0,16 ∧2 ≅ 0,32
2
d) 0,4 2 ≅ 0,16 ∧2 ≅ 0,32
12. a) 2
b) 125
c) 63
d) Die Aufgabe wurde so gestellt, dass beim Anwenden der 1. oder 2. binomischen Formel der 2. Summand (... + 2ab + ...) eine Wurzel enthält, die
man leicht ziehen kann. Sofern man Aufgaben stellt, die auf die Anwendung der 3. binomischen Formel führen, können beliebige, nicht negative
Zahlen als Radikanden gewählt werden.
166
242
13. a) 2 22
f)
243
6 28
b)
15
7
g)
3
2
d)
32
3
3
h) 2 14
i)
1
4
26
c)
3 01
2
c) 2 10
14
6
14. a)
3 01
2
b)
15. a)
502
b) 2 3 0 3 2
f) 06
e) 4 0 4 2
16. a)
02
0
x
y
5. 1
2
01
1,73
00,5
1,94
0
2
e) 10 10
d)
a. 4 a
a 016
c) 0 3 2
d)
1
2
g) 12 3
h) 1,2
0,5
1,94
b) Algebraisch:
1
1,73
2
0
+
,
3
-
03
-
Für x = 3 oder x = 03 ergibt sich als Radikand 4 0 x 2 ≅ 4 0 9 ≅ 0 5 ; aus
negativen Zahlen kann man keine Wurzeln ziehen, da das Quadrat jeder
Zahl positiv ist.
Geometrisch:
Für x = 3 oder x = 03 gibt es keine Punkte auf dem Halbkreis; der Graph
existiert nur für 02 ∞ x ∞ 2.
244
17. a) D = {a | a ∝ 0}
c) D = {x | x ∞ 1}
∼
e) D = x | 0 20 ∞ x ∞ 20
b) D = {x | x ∝ 6}
d) D = {x | 03 ∞ x ∞ 3}
ϒ
f) D =
h) D = {x | x ∝ 0}
j) D =
g) D = {x | x > 0}
i) D =
18. a) x ∝ 0y
c) für alle x und y
e) y ∝ 0 und x beliebig
b) 5 x 0 z
19. a) 9 a
20. a) a
c) 4x
e) a
21. a)
b) x und y gleiches Vorzeichen
d) x ∝ 2y
c) (2a . b) x . (a 0 b) y
D = {a | a ∝ 0}
b) b2
D = {b | b ∝ 0}
D = {x | x > 0}
D = {a | a > 0}
d) 5 a
D = {a | a ∝ 0}
x 0
y 0
1
1
2
2
3
3
01
nicht def.
02
nicht def.
03
nicht def.
D = {x | x ∝ 0}
Für diese Definitionsmenge gilt der vereinfachte
Term y = x.
167
244
21. b) x
y
0
0
1
1
2
2
3
3
01
1
02
2
03
3
Die Tabelle zeigt, dass die Funktion y ≅ x 2 auch für negative x-Werte
definiert ist.
Quadrieren
Wurzelziehen
Wurzelziehen
0 3 ℵ ℵ ℵ ℵ ℵℵ
° 9 ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ° 3
Quadrieren
0 2 ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ° nicht definiert
Wurzelziehen
Wurzelziehen
3 ℵ ℵ ℵ ℵ ℵℵ
° 9 ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ° 3
22. a)
6x 2
b)
23. a) 6x
18y4
a3
c)
b) 5ab 3 c)
ab2
d)
a
a
2
d)
b
Quadrieren
2 ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ°
4a2b3
e)
e)
2 ℵ ℵ ℵ ℵ ℵℵ
° 2
12 x
y2
(a 0 1)3
f)
f)
ac
b
24. Nachweis durch Quadrieren:
+2 3 0 2 2 ,
+2
202
,
2
2
+
,
≅ 4 3 0 2 2 ≅ 12 0 8 2
≅ 4 ∧2 0 8 2 . 4 ≅ 12 0 8 2
Die beiden Terme sind gleich.
245
25. Individuelle Schülerlösungen
26. a) Der Radikand wurde in eine Summe umgeformt und dann aus den
Summanden einzeln die Wurzeln gezogen; das ist falsch. Man kann
allerdings aus den Faktoren eines Produktes einzeln die Wurzel ziehen.
32 ≅ 2 ∧16 ≅ 4 2
b) Die 1. binomische Formel wurde nicht korrekt angewendet:
+ 5.
7
,
2
≅ 5 . 2 35 . 7 ≅ 12 . 2 35
c) Die Wurzel wurde ignoriert.
d) Wenn b negativ ist, ist der Term nicht definiert, also b ∝ 0 ist Voraussetzung. Im umgeformten Term muss a in Betragsstriche gesetzt werden.
e) Bei der ersten Umformung, Ausklammern der 2, wurde die Klammer vergessen; danach wurden die Radikanden zweier Wurzeln addiert, was
falsch ist.
Man kann umformen zu 2
+ 5.
,
10 oder zu
20 .
40 .
f) Es wurde falsch zur 3. binomischen Formel erweitert (minus statt plus ist
richtig). Ergebnis:
x 0x
10 x
g) Der Radikand darf nicht negativ sein; deshalb: D = {a | a ∝ 2}.
27. a) (1) Der Punkt muss in der Mitte der Strecke AB liegen.
(2) Der Punkt liegt 6 cm von A und 4 cm von B entfernt.
(3) Experimentieren führt zum Ergebnis, dass der Punkt ungefähr 6,2 cm
von A und 3,8 cm von B entfernt liegt.
b) Ein guter Näherungswert ist 1,618 : 1.
168
Mathe-Kiste
245
≠ ≠ gelb:
orange:
blau:
Quadrat oder Raute, Figur 2
Quadrat, Raute, Rechteck, Parallelogramm oder Trapez, Figur 3
Quadrat, Raute oder Drachenviereck, Figur 1
≠ Satz des Thales
246
28. a) 1,618...
b) Die beiden Rechtecke links und rechts neben dem Torbogen haben in
der Zeichnung ungefähr die Abmessungen 11 mm x 6,5 mm.
11 ⏐ 1,69 Ein guter Näherungswert angesichts der Messungenauigkeit.
6,5
c) Das Seitenverhältnis:
(1) 1,35
(2) 1,133
(3) 1,6
(4) 2,273
(5) 1,611
Die Rechtecke (3) und (5) sind ungefähr „goldene Rechtecke“.
d) Individuelle Schülerlösungen
29. a) 3 : 1,7 = 1,765 : 1
b) 2 : 1,1 = 1,819 : 1
c) 1,9 : 1,5 = 1,267 : 1
Vor allem beim Arm in Teilaufgabe a) findet man eine gute Näherung für das
goldene Verhältnis.
247
30. a) 5 : 3 = 1,666... : 1
Das Verhältnis 5 : 3 weicht um weniger als 0,05, nahezu genau um 3%,
vom goldenen Verhältnis ab.
b)
Länge
13
21
34
55
89
Breite
8
13
21
34
55
Verhältnis
1,625
1,615
1,619
1,618
1,618
Das Verhältnis scheint sich dem
goldenen Verhältnis anzunähern.
c) Fotoabzüge:
1 : 1,444
Glückwunschkarte:
1,624 : 1
Breitwandleinwand: 1,659 : 1
Papierformat A4:
1 : 1,414
Glückwunschkarte und Breitwandleinwand sind näherungsweise
goldene Rechtecke.
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