Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände

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Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände
Axel Tobias
∗
22.12.2000
∗
Ein besonderer Dank geht an Ingo Treunowski, der die Übertragung meines Manuskriptes in LATEX durchgeführt hat (tob skript komplex.tex).
1
INHALTSVERZEICHNIS
2
Inhaltsverzeichnis
1 Komplexe Zahlen
1.1 Definition der komplexen Zahlen
1.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . .
1.3 Geometrische Darstellung . . . .
1.4 Der Betrag komplexer Zahlen . .
1.5 Winkel . . . . . . . . . . . . . . .
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.
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2 Wechselstromwiderstände und komplexe Zahlen
2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Parallelschaltung von zwei Kondensatoren . . . . . . . . . . .
2.3 Reihenschaltung von Spule, Kondensator und Widerstand . .
2.4 Parallelschaltung von Spule, Kondensator und Widerstand . .
2.5 Parallelschaltung - etwas ausführlicher . . . . . . . . . . . . .
2.6 Parallelschaltung von Spule mit ohmschem Widerstand und
Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
1 KOMPLEXE ZAHLEN
1
3
Komplexe Zahlen
1.1
Definition der komplexen Zahlen
Zahlen der Form a + ib mit a, b ∈ R und
i2 = −1
(1)
heißen komplexe Zahlen C. Offenbar ist i ∈
/ R , jedoch ist i ∈ C (i = 0+1·i) .
1.2
Rechenregeln
Alle bekannten Rechenregeln gelten auch in C ; zu beachten ist nur Regel
(1).
1. Addition:
(3 − 4i) + (6 + 7i) = 9 + 3i
2. Subtraktion:
(3 + 4i) − (6 − 7i) = −3 + 11i
3. Multiplikation:
(8 + 3i) · (4 − 2i) = 32 − 16i + 12i − 6i2 = 32 − 4i + 6 = 38 − 4i
4. Division:
2 + 3i
4 + 5i
=
=
(2 + 3i)(4 − 5i)
23 + 2i
8 − 10i + 12i − 15i2
=
=
2
(4 + 5i)(4 − 5i)
16 − 25i
41
23
2
+
·i
41 41
5. Potenzen von i : i2 = −1 ; i3 = −i ; i4 = 1 .
6. Kehrwert von i : Wegen
1
i
i
=
=
= −i gilt die Gleichung
i
i·i
−1
1
= −i
i
1.3
(2)
Geometrische Darstellung
Ist die Zahl a + ib ∈ C gegeben, so heißt a ∈ R der Realteil, b ∈ R der
Imaginärteil der komplexen Zahl.
Da komplexe Zahlen durch die Angabe von 2 reellen Zahlen eindeutig
bestimmt sind, lassen sie sich in der sogenannten Gaußschen Zahlenebene
geometrisch darstellen. Die Zahl 2 + 3i entspricht also dem Vektor von (0|0)
nach (2|3) im normalen Koordinatensystem.
1 KOMPLEXE ZAHLEN
4
Abbildung 1: Die komplexe Zahlenebene
1.4
Der Betrag komplexer Zahlen
Nach dem Satz des Pythagoras gilt (vergleiche Abb. 1):
|a + bi| =
√
a2 + b2
(3)
Also zum Beispiel
|2 + 3i| =
|2 − 3i| =
1.5
p
p
√
13
√
13
=
22 + 3 2 =
22 + 3 2
Winkel
3
Für die Zahl 2 + 3i gilt (vergleiche Abb. 1) tan ϕ = .
2
Allgemein gilt daher:
tan ϕ =
Imaginärteil
Realteil
(4)
2 WECHSELSTROMWIDERSTÄNDE UND KOMPLEXE ZAHLEN
2
5
Wechselstromwiderstände und komplexe Zahlen
2.1
Allgemeines
Abbildung 2: Wechselstromwiderstände und Phasenverschiebung
Ohmscher Widerstand
~Ω
R
=
R (reelle Zahl)
~ Ω|
|R
=
R
Induktiver Widerstand
~L
R
=
iωL
~ L|
|R
=
ωL
Kapazitiver Widerstand
~C
R
=
1
1
= −i
iωC
ωC
~C|
|R
=
1
ωC
Trick: Durch i bzw. −i wird also sofort die Phasenverschiebung zwischen
U (t) und I(t) an C bzw. L bezüglich R berücksichtigt (Abb. 2).
In der komplexen Schreibweise gelten jetzt die üblichen Gesetze zur Addition von Widerständen:
• Reihenschaltung:
• Parallelschaltung:
~ ges = R
~1 + R
~2
R
1
1
1
=
+
~
~
~
Rges
R1 R2
Beachte, daß bei der letzten Gleichung die Division von komplexen Zahlen
vorliegt und keine Division von Vektoren. Diese gibt es im allgemeinen nicht.
2 WECHSELSTROMWIDERSTÄNDE UND KOMPLEXE ZAHLEN
2.2
Parallelschaltung von zwei Kondensatoren
1
=
~ ges
R
~ ges =
R
Œ
Œ
Œ~ Œ
ŒR
ges Π=
Setzt man nun
2.3
6
’
1
iωC1
“−1
+
’
1
iωC2
“−1
= i(ωC1 + ωC2 )
1
1
= −i
i(ω(C1 + C2 ))
ω(C1 + C2 )
s
1
1
=
ω 2 (C1 + C2 )2
ω(C1 + C2 )
1
1
=
, so folgt Cges = C1 + C2 .
ω(C1 + C2 )
ωCges
Reihenschaltung von Spule, Kondensator und Widerstand
’
~Ω + R
~ ges = R
~C + R
~ L = R + iωL − i 1 = R + i ωL − 1
R
ωC
ωC
Œ
Œ
Œ~ Œ
ŒR
ges Œ
=
tan ϕ =
s
’
1
+ ωL −
ωC
1
ωL − ωC
R
R2
“2
“
2 WECHSELSTROMWIDERSTÄNDE UND KOMPLEXE ZAHLEN
2.4
Parallelschaltung von Spule, Kondensator und Widerstand
1
~
Rges
1
1
1
+
+
~
~
~
RΩ RL RC
1
1
1
+
+ 1
R iωL
iωC
1
1
−i
+ iωC
R
ωL
’
“
1
1
+ i ωC −
R
ωL
=
=
=
=
Œ
Œ
Œ 1 Œ
Œ
Œ
Œ
Œ
ŒR
~ ges Œ
s
=
Rges =
r
’
1
1
+ ωC −
2
R
ωL
1
1
R2

+ ωC −
’
1
ωL
1
tan ϕ = −R · ωC −
ωL
2.5
7
“
“2
‘2
=R·
’
1
− ωC
ωL
“
Parallelschaltung - etwas ausführlicher
Vergleiche 2.4:
1
~ ges
R
=
~ ges =
R
=
=
=
’
1
1
+ i ωC −
R
ωL
1
1
R

+ i ωC −

1
ωL
1
‘
‘·
1
R
+ i ωC −
1
ωL
1
R
− i ωC −
1
ωL
1
R2
+ ωC −
1
R2



‘
1
R
1
R

− i ωC −

− i ωC −
1
ωL
‘2
1
ωL
‘2 − i ·
1
R
+ ωC −
“
1
R2
1
ωL
1
ωL
ωC −

‘
‘
1
ωL
+ ωC −
1
ωL
‘2
Daraus erhält man mit den Gleichungen (3) und (4) von Seite 4
Œ
Œ
Œ~ Œ
ŒRges Œ
v
‘2

u
u
1
1
u R2 + ωC − ωL
= u
u’

‘2 “2
t 1
1
+ ωC −
R2
ωL
2 WECHSELSTROMWIDERSTÄNDE UND KOMPLEXE ZAHLEN
Rges =
r
2.6
1
1
R2


1
ωL
+ ωC −
− ωC −
tan ϕ =
8
1
ωL
1
R
‘
‘2
=R·
’
1
− ωC
ωL
“
Parallelschaltung von Spule mit ohmschem Widerstand
und Kondensator
~1 = R
~Ω + R
~ L = R + iωL
R
1
~2 =
R
iωC
~1 + R
~2
1
1
1
R
=
+
=
~ ges
~1 R
~2
~1 · R
~2
R
R
R
1
~ ~
~ ges = R1 · R2 = (R + iωL) · iωC
R
1
~1 + R
~2
R + iωL + iωC
R
R
−i ωC
+

=
L
C
R + i ωL −
1
ωC
‘
Der Nenner wird durch Erweitern zur 3. binomischen Formel reell gemacht.
~ ges =
R
=
=

L
C
RL
C
RL
C
R
− i ωC
‘

R − i ωL −

1
ωC
R2 + ωL −

− i ωL −
−
R
ωC
~ ges | = Rges =
|R
s

1
ωC
‘
L
C

‘2
1
ωC
‘

‘‘
2
R
− i ωC
−
R2 + ωL −
ωL −
1
ωC
−i

1
ωC
R2
ωC
R2 + ωL −
R
ωC
‘2
L
C
‘2

+
1
ωC
Realteil2 + Imaginärteil2
Nenner2
ωL −

ωL −
1
ωC
‘
1
ωC
‘‘
2 WECHSELSTROMWIDERSTÄNDE UND KOMPLEXE ZAHLEN
9
Der Zähler unter der Wurzel berechnet sich zu
’
“
’
“
LR2
R2 L2
R2
1
1 2
+
ωL
−
−
2
ωL −
2
2
2
C
ωC
ωC
ωC
(ωC)
’
“
’
“
2
4
2
R
L
LR
1
1 2
+
+
+2
ωL
−
ωL
−
ωC 2
ωC
ωC
(ωC)2 C 2
=
=
1
(ωC)2
=
1
(ωC)2
=
’
“
‘
1  2
1 2
2
2 2
R + ωL −
R +ω L
ωC
(ωC)2
R2
L2
+
(ωC)2 C 2
!’
R 2 L2
R4
+
+
C2
(ωC)2
2
2 2
4
2
2 2
4

2
1
ωL −
ωC
2 2
ω R L +R + R +ω L
ω R L +R +R
2
’
‘’
1
ωL −
ωC
’
1
ωL −
ωC
“2
Zähler und Nenner lassen sich durch R2 + ωL −
Rges
v
u
“2
2 2
+ω L
!
1
ωC
“2
u
1 u
R 2 + ω 2 L2
=
‘

ωC t R2 + ωL − 1 2
“2 !
’
1
ωL −
ωC
“2 !
kürzen, so daß man
ωC
erhält.
Die Berechnung von tan ϕ erfolgt wie in den oben vorgeführten Beispielen.
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