Lösungen - Otto Hahn - Gymnasium Saarbrücken

Schaltungen von Widerständen
von Peter Nemec, Otto-Hahn-Gymnasium Saarbrücken, 2004
Aufgabe 1
Wie groß ist der elektrische Widerstand Rges zwischen
a) den Klemmen A und B,
b) den Klemmen A und C,
wenn alle Teilwiderstände gleich groß (R) sind?
A
C
B
Lösung:
a) Aus Symmetriegründen liegen die Punkte X, Y und Z auf demselben Potential.
A
X
Y
Z
B
Das bedeutet, dass die entsprechenden verbindenden Widerstände (gepunktet gezeichnet)
weggelassen werden können, da sie nicht von Strom durchflossen werden. (Voraussetzung für Stromfluss zwischen zwei Punkten ist eine Potentialdifferenz bzw. elektrische
Spannung zwischen ihnen.)
Die Schaltung reduziert sich dann auf eine Kombination von Serien- und Parallelschaltungen und man erhält für den Gesamtwiderstand:
¶
4R · 2R
+ 2R · 2R
5
4R + 2R
=
= R
4R · 2R
4
+ 2R + 2R
4R + 2R
µ
Rges
1
b) Anschluss einer Gleichstromquelle mit der elektrischen Spannung U führt zu einem
Gesamtstrom I und aufgrund der Symmetrie der Anordnung zu einer entsprechend symmetrischen Stromverteilung gemäß folgender Abbildung:
I1
I1
I2
I2
I2
I2
I2
I2
I
Es gilt:
I
I1 = ,
2
I2 =
I1
I1
U
I
I1
I
=
2
4
Anwendung der Maschenregel auf den rot gezeichneten Stromweg liefert:
3
U = RI1 + RI2 + RI2 + RI1 = RI = Rges I
2
3
Rges = R
2
Aufgabe 2
Aus gleichen Widerständen der Größe R soll eine unendliche Kette gebildet werden.
A
B
Wie groß ist der elektrische Widerstand zwischen den Anschlüssen A und B?
Lösung: Eine unendliche Kette erhält man im Grenzfall durch fortwährendes ”Anfügen”
eines Gliedes aus drei Widerständen an die bereits bestehende endliche Kette der Länge
n.
Sei Rn der Widerstand der Kette mit Länge n. Anfügen eines weiteren Gliedes gemäß
Abbildung bedeutet eine Parallelschaltung von Rn mit R wozu noch 2R in Serie geschaltet sind.=⇒
2
Rn+1 = 2R +
R · Rn
R + Rn
Diese Gleichung stellt eine Iterationsfolge mit dem ”Startwert” R0 = 3R dar. Besitzt
diese Folge einen Grenzwert R∞ , so ist es zulässig, diesen aus folgender Bedingung zu
berechnen:
R∞ = 2R +
R · R∞
R + R∞
Einfache Umformungen führen zu der quadratischen Gleichung
2
R∞
− 2RR∞ − 2R2 = 0
mit den Lösungen
R∞1,2 = R ±
√
3R
Physikalisch relevant ist hierbei nur die Lösung
R∞ = R +
√
√ ¢
¡
3R = 1 + 3 R ≈ 2, 732R
Aufgabe 3
Sechs gleiche Widerstände R bilden die Kanten eines Tetraeders. Wie groß ist der elektrische Widerstand zwischen zwei Ecken?
Lösung: Wählt man wie in nachfolgender Abbildung als Anschlussstellen die Ecken A
und B, liegen die Punkte C und D auf gleichem Potential und der verbindende Widerstand
kann weggelassen werden, da durch ihn kein Strom fließt.
D
C
A
B
3
Es liegt eine Parallelschaltung der Widerstände R, 2R und 2R vor und der Gesamtwiderstand errechnet sich gemäß:
1
Rges
=
1
R
1
2R
+
Rges =
R
2
+
1
2R
=
2
R
Eine andere Möglichkeit besteht darin, die beiden potentialgleichen Punkte C und D kurzzuschliessen und zu einem Knoten zusammenzufassen:
C,D
B
A
Für den Gesamtwiderstand gilt:
Rges
¡
¢
R R2 + R2
R
=
=
R
R
2
R+ 2 + 2
Aufgabe 4
Zwölf gleiche Widerstände R bilden die Kanten eines Würfels.
G
F
H
E
D
C
A
B
Wie groß ist der elektrische Widerstand zwischen den Ecken
a) A und B,
b) A und C,
c) A und F?
4
Lösung:
a) Punkte bzw. Ecken gleichen Potentials sind hier C, E und D, H. Also kann man sie, wie
bereits oben besprochen, kurzschliessen und zu einem Knoten CE bzw. DH zusammenfassen.
G
F
H
E
D
C
A
B
Man erhält dann folgendes Ersatzschaltbild:
A
DH
G
B
CE
F
Farbgleiche Widerstandspaare befinden sich in Parallelschaltung und ergeben somit jeweils den Widerstand R/2.
A
1
B
R
2
R
2
2
6
R
4
R
2
7
3
5
R
2
R
2
R
Somit erhält man:
R567 = 2R ⇒
R4567 =
⇒
2R· R
2
2R+ R
2
= 52 R ⇒
Rges =
5
7
R·R
5
7
R+R
5
R234567 = 25 R + 2 ·
=
7
R
12
R
2
= 75 R
b) Punkte gleichen Potentials sind hier B, D und E, G. Diese lassen sich zu den Knoten
BD bzw. EG zusammenfassen.
G
F
H
E
D
C
A
B
Man erhält dann folgendes Ersatzschaltbild:
A
BD
C
H
GE
F
In dieser Darstellung ist zu erkennen, dass die Punkte BD und EG auf gleichem Potential
liegen. Das grün gezeichnete Widerstandspaar kann daher weglassen werden.
A
6
R
2
R
2
1
2
R
C
3
5
4
R
2
R
2
Somit erhält man mit R3456 = 3R:
h Rges =
3R·R
3R+R
6
3
= R
4
R
c) Punkte gleichen Potentials sind hier B, D, H und C, E, G. Diese lassen sich zu den
Knoten BDH bzw. CEG zusammenfassen.
G
F
H
E
D
C
A
B
Die grün gezeichneten Widerstände verbinden das Potential, auf dem sich die Punkte B,
D und H befinden, mit dem Potential der Punkte C, E und G. Man erhält daher folgendes
Ersatzschaltbild:
A
F
Somit erhält man:
Rges =
R
3
+
R
6
+
R
3
5
= R
6
Zusammenfassung:
Bei einem Widerstandswürfel aus 12 gleichen Widerständen R erhält man den Gesamtwiderstand
a)
7
R ≈ 0, 583R
12
zwischen zwei benachbarten Ecken,
b)
3
R = 0, 75R
4
zwischen zwei auf einer Seitenfläche gegenüberliegenden Ecken,
c)
5
R ≈ 0, 833R
6
zwischen zwei im Raum gegenüberliegenden Ecken.
7