2. Isometrien oder Kongruenzabbildungen

6
2.
Isometrien oder Kongruenzabbildungen
2.1
Einführende Überlegungen
Kongruente Figuren sind deckungsgleiche Figuren.
A
B
Eine Figur A wird so bewegt, dass sie mit einer anderen Figur B zur Deckung gebracht
werden kann. Auf diese Weise wird der Kongruenzbegriff auf spezielle geometrische
Abbildungen zurückgeführt, die Kongruenzabbildungen oder Isometrien, die man auch
Bewegungen nennt. Eine Kongruenzabbildung ist somit eine Abbildung, die eine
geometrische Figur nur verlagert, ihre Grösse und Form aber unverändert lässt. Allgemein
interessiert man sich für das Verhalten geometrischer Figuren bei gewissen bijektiven
Abbildungen.
Definition
Eine Abbildung ϕ der Ebene auf sich heisst bijektiv, falls ϕ umkehrbar ist;
d.h. es gibt nicht nur für jeden Punkt X genau einen Bildpunkt Y sondern umgekehrt
gibt es für jeden Punkt Y genau einen Punkt X, sodass gilt:
ϕ(X) = Y.
Die Abbildung, die jedem Bildpunkt Y sein Urbild X zuordnet, heisst zu ϕ inverse
Abbildung und wird mit ϕ−1 bezeichnet.
ϕ−1(Y) = X.
ϕ
X
Y
ϕ−1
Identische Abbildung
Die Abbildung, die jeden Punkt X auf sich selbst abbildet, nennt man die identische
Abbildung oder Identität.
id(X) = X
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Verknüpfung von Abbildungen
Sind ϕ1 und ϕ2 Abbildungen, so nennt man ϕ2 ! ϕ1 die Verknüpfung (Hintereinanderschachtelung) von ϕ1 und ϕ2. (sprich: ϕ2 nach ϕ1, ϕ2 Ring ϕ1)
ϕ2 ! ϕ1 bildet jeden Punkt X ab auf ϕ2[ϕ1 (X)]:
(! 2 ! !1 )(X) = ! 2 [!1 (X)] = ! 2 (Y ) = Z
Die Verknüpfung von Abbildungen ist assoziativ.
! 3 ! (! 2 ! !1 ) = (! 3 ! ! 2 ) ! !1
⇒
Die Verknüpfung von bijektiven Abbildungen ist wieder bijektiv.
Definition
Eine Isometrie oder Kongruenzabbildung ϕ der Ebene (oder des Raumes) auf sich
ist eine bijektive, längentreue Abbildung. Das heisst:
Für zwei Punkte A und B und ihre Bildpunkte A' = ϕ(A) und B' = ϕ (B) sind die
Strecken AB und A'B' gleich lang:
| AB | =| A' B' |
⇒ Isometrien sind geradentreue Abbildungen, sie bilden Geraden auf Geraden ab.
⇒
Die Verknüpfung von Isometrien ist wieder eine Isometrie.
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2.2
Geradenspiegelung Sg
P
.
g
Sg(P) = P'
P'
Da wir unsere Abbildungsgeometrie auf der Geradenspiegelung aufbauen, untersuchen wir zuerst
diese Abbildung. Diese Abbildung ist Ihnen von der Schule her sehr bekannt.
Die wichtigsten Eigenschaften der Geradenspiegelung S
g
1.
Zu zwei Punkten P und Q gibt es genau eine Geradenspiegelung, die P auf Q abbildet. Die
Spiegelungsachse ist die Mittelsenkrechte von PQ.
2.
Die Geradenspiegelung ist eine involutorische Abbildung,
d.h. sie ist zu sich selbst invers:
S g ! S g = id
3.
Jeder Punkt von g ist Fixpunkt.
4.
Jede zu g senkrechte Gerade ist Fixgerade.
Für P ∉ g liegt der Bildpunkt P' auf der anderen Seite von g. Die Verbindungsgerade
PP' steht senkrecht zu g, ist also Fixgerade.
5.
Eine geschlossene Figur und ihr Bild haben entgegengesetzten Umlaufsinn.
C
C'
B
A
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B'
A'
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1. Beispiel
Gesucht ist der kürzeste Weg vom Punkt A nach B via die Gerade g.
A °
°B
g
2. Beispiel
Gegeben sind eine Gerade g und zwei Kreise k1 und k2. Konstruieren Sie Quadrate, die zwei
gegenüberliegende Ecken auf g haben und von denen je eine Ecke auf k1 und k2 liegen.
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2.3
Isometrien der Ebene
Wir suchen alle Isometrien der Ebene auf sich und wollen die Strukturen dieser Isometrien
untersuchen. Aus ihrem Unterricht in der Sekundarschule oder im Gymnasium kennen Sie die
folgenden Isometrien:
•
Geradenspiegelung
•
Punktspiegelung
•
Rotation (Drehung)
•
Translation (Verschiebung)
•
Schubspiegelung (Vielleicht bekannt!)
Die Frage lautet: Sind das nun wirklich alle Isometrien der Ebene auf sich?
Als erstes suche wir alle Isometrien, die einen Punkt festlassen, also einen Fixpunkt besitzen.
Definition
Ein Punkt P heisst Fixpunkt der Abbildung ϕ , wenn gilt:
ϕ (P) = P.
Satz 1: Isometrien der Ebene mit mindestens einem Fixpunkt
Ist ϕ eine Isometrie der Ebene und O ein Fixpunkt von ϕ: ϕ (O) = O.
Dann gilt:
-
Entweder ist ϕ eine Drehung um O um einen Winkel α mit 0 < α < 360°
oder ϕ ist eine Spiegelung an einer Geraden durch O
oder ϕ = id.
zum Beweis
Der Beweis ist nur so präzis, wie die Begriffe definiert sind (Ebene, Raum,
Geradenspiegelung, Drehung, ...). Wir gehen nicht auf das Axiomensystem ein. (In
Geometrie 2 werden wir das Axiomensystem studieren)
Voraussetzung: ϕ ist eine Isometrie mit einem Fixpunkt O: ϕ (O) = O.
Fallunterscheidungen
1. Fall: ϕ besitzt noch einen zweiten Fixpunkt P (≠ O): ϕ (P) = P.
Wir zeigen, dass ϕ dann entweder d ie Identität oder eine Geradenspieglung ist.
2. Fall: ϕ hat genau einen Fixpunkt O.
Hier zeigen wir, dass dann ϕ eine Rotation ist.
Der Satz 1 gibt einen Überblick über alle Isometrien der Ebene, die mindestens einen Punkt
fest lassen.
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Wie erhält man nun alle Isometrien der Ebene, auch z. B. die Translationen? –
Dazu beweisen wir den folgenden Satz
Satz 2: alle Isometrien der Ebene
Jede Isometrie der Ebene ist eine Verknüpfung einer Translation und einer Isometrie
mit Fixpunkt.
! " Iso
#
! = Tv! " $ , wobei $ eine Isometrie mit Fixpunkt
Damit haben wir im Prinzip alle Isometrien gefunden. Die reine Translation ist die
Verknüpfung der Translation mit der Identität; die Schubspiegelung die Verknüpfung einer
Geradenspiegelung mit einer Translation (später).
Sind 2 Punkte und ihre Bilder bekannt, so beweisen wir, dass es genau zwei zugehörige
Isometrien gibt.
Satz 3: Ist A ≠ B und | AB | = | A' B' | , so gibt es genau 2 Isometrien ϕ1 und ϕ2, die A auf A'
und B auf B' abbilden und die sich nur durch eine Spiegelung an der Geraden g' =
A'B' unterscheiden.
B
B'
ϕ1 oder ϕ2 = Sg' ° ϕ1
A'
A
g'
Mit 3 nicht kollinearen Punkten und ihren Bildpunkten ist die Isometrie eindeutig bestimmt.
B‘
genau eine Isometrie ϕ
C
C‘
A
B
A‘
Satz 4: a)
Eine Isometrie der Ebene auf sich ist eindeutig festgelegt durch die Bilder
dreier nicht kollinearer Punkte.
b) Eine Isometrie der Ebene auf sich mit drei nicht kollinearen Fixpunkten
ist die Identität.
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12
Weiter folgt nun:
Satz 5: a) Jede Isometrie der Ebene auf sich ist darstellbar als Produkt von
höchstens 3 Geradenspiegelungen.
b) Jede Verknüpfungt von endlich vielen Geradenspiegelungen ist eine
Isometrie.
c) Jedes Produkt von beliebig vielen Geradenspiegelungen lässt sich
darstellen mit höchstens 3 Geradenspiegelungen.
Bemerkungen
Grundsätzlich unterscheidet sich eine Geradenspiegelung von der Verknüpfung zweier
Spiegelungen schon wegen der Fixpunkteigenschaften.
•
Bei der Spiegelung an einer Geraden g sind alle Punkte auf g Fixpunkte, und es gibt keine
weiteren Fixpunkte.
•
Bei der Verknüpfung von zwei Spiegelungen muss die Lage der beiden Geraden beachtet
werden!
Wie können die bekannten 5 Isometrien durch Geradenspiegelungen dargestellt werden?
Dazu ist der im nächsten Abschnitt behandelte Satz, der so genannte Dreispiegelungssatz sehr
nützlich. Nachher wird es ein Leichtes sein, die bekannten Isometrien durch die Verknüpfung
von höchstens 3 Geradenspiegelungen darzustellen.
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13
2.4
Dreispiegelungssatz
Wir wissen nun, dass sich jede Isometrie der Ebene auf sich als Verknüpfung von höchstens
drei Geradenspiegelungen darstellen lässt. Damit können wir einen Überblick über alle
Isometrien der Ebene gewinnen. Die Anzahl und die Lage der Spiegelungsachsen wird
wesentlich.
Zuerst beweisen wir den folgenden wichtigen Satz, der sich auf Dreifachspiegelungen
bezieht.
Satz 6A:
Dreispiegelungssatz
Die Verknüpfung dreier Geradenspiegelungen, wobei die drei Geraden entweder
parallel oder kopunktal (genau einen Schnittpunkt) sind, ist darstellbar mit einer
Geradenspiegelung.
Gilt für die 3 Geraden g, h, k : Entweder g //h //k oder g ∩ h ∩ k = {A},
dann gibt es eine Gerade m, so dass gilt:
S ° S ° S =S
k
h
g
m
k
A
g
m
h
k
g
h
m
Bemerkungen
1.
Die genaue Lage der Geraden m wird nachher bestimmt. Dazu brauchen wir noch den
Begriff der Orientierung.
2.
Statt der obigen Gleichung
Sk° Sh ° Sg = S,m
kann man auch durch Verknüpfung von links mit Sk (rsp von rechts mit Sg) die oft
nützlichen äquivalenten Darstellungen erhalten.
Sh ° S g = S k ° S m
oder
Sk° Sh= S,m° Sg
Jetzt gibt es auf jeder Seite der Gleichung 2 Geradenspiegelungen. Man kann also statt an
h und k auch an g und m spiegeln.
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14
Orientierung
Führt man den Begriff der Orientierung ein, so kann man mehr über die Lage der vier
Geraden g, h, k, m aussagen, die im Dreispiegelungssatz (Satz 6A) vorkommen.
Für Winkel und Dreiecke sind zwei Orientierungen möglich. Sie bleiben bei gleichsinnigen
Isometrien erhalten, bei ungleichsinnigen werden sie umgekehrt.
Im 2-dimensionalen Raum wählen wir die Orientierung positiv (im Gegenuhrzeigersinn)
oder negativ (im Uhrzeigersinn).
A
A
C
B
gleichorientierte Dreiecke
B
C
gleichorientierte Winkel
orientierte Gerade: Punkte auf der Geraden sind mit der Relation "vor" streng linear
geordnet; entweder P ∠ Q oder Q ∠ P.
Ist die Relation "vor" (willkürlich) gegeben, z. B. A ∠ B, dann heisst die Gerade orientiert.
g
B
A
Zwei parallele Geraden g und h heissen gleichorientiert, wenn folgendes gilt:
Seien A, B ∈ g und A ∠ B die Orientierung von g und sei C ∠ D die Orientierung von h. Sei
nun k die Transversale, die g in A und h in C schneidet. Liegen B und D in derselben
Halbebene von k , dann sind die parallele Geraden g und h gleichorientiert.
B
g
h
A
D
C
k
Diese Definition lässt sich übertragen auf Halbgeraden oder Vektoren, die auf parallelen
Trägergeraden liegen.
gleichorientierte
Vektoren
entgegengesetzt
orientierte Vektoren
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Satz 6B: g, h, k und m seien vier parallele oder kopunktale Geraden, die nach Satz 6A die
Gleichung erfüllen:
S °S =S °S
h g
k
m
a) Ist g ! h ! k = {A} , so ist der Winkel zwischen g und h gleich dem Winkel
zwischen m und k.
k
m
h
A
g
b) Ist g || h || k || m und ist s eine Senkrechte zu diesen Geraden, die g in A, h in B,
!!!" !!!"
m in C und k in D schneidet, so sind die Vektoren AB = CD gleichorientiert
und kongruent.
A
g
B
h
C
D
m
s
k
Damit kann man eine Verknüpfung von zwei Geradenspiegelungen ersetzen durch eine
andere Verknüpfung mit den entsprechenden Bedingungen.
Satz 7:
Eine Verknüpfung von vier Geradenspiegelungen ist stets darstellbar als
Verknüpfung von genau zwei Geradenspiegelungen.
Also ist jede Verknüpfung einer geraden Anzahl Geradenspiegelungen mit Hilfe
von genau zwei Geradenspiegelungen darstellbar.
Bemerkungen
1. Eine Verknüpfung von 3 Geradenspiegelungen kann aber nie durch zwei
Geradenspiegelungen dargestellt werden.
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2.
Die Isometrien der Ebene lassen sich in 2 Klassen einteilen:
•
•
3.
ungleichsinnige Isometrien:
Verknüpfung einer ungeraden Anzahl
Geradenspiegelungen (Umwendungen)
.
gleichsinnige Isometrien: Verknüpfung einer geraden Anzahl
Geradenspiegelungen (echte Bewegungen)
Lage der Spiegelungsachsen
•
Bei den gleichsinnige Isometrien können die beiden Spiegelachsen parallel sein
oder sich schneiden, speziell können sie senkrecht aufeinander stehen.
•
Die ungleichsinnige Isometrien können als eine oder als 3 Geradenspiegelungen
dargestellt werden.
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17
2.5
Die 5 Typen von Isometrien
•
Geradenspiegelung: Diese Abbildung haben wir schon untersucht.
•
Punktspiegelung: Die beiden Spiegelungsachsen schneiden sich senkrecht.
•
Rotation (Drehung): Die beiden Spiegelungsachsen schneiden sich unter einem
beliebigen Winkel.
•
Translation (Parallelverschiebung): Die beiden Spiegelungsachsen sind parallel.
•
Schubspiegelung (Gleitspiegelung): Verschiebung und Spiegelung erhält man
genau dann, wenn drei Geradenspiegelungen nicht durch eine ersetzt werden
können.
Wir werden jetzt die einzelnen Abbildungen in obiger Reihenfolge behandeln. Dies führt zu
relativ einfachen Beweisen und zu wichtigen Sätzen der Elementargeometrie. Der
Dreispiegelungssatz (Satz 6A&B), der 3 Geradenspiegelungen durch eine ersetzt, ist ein
wichtiges Beweismittel. Die Lage der Spiegelungsachsen kann dadurch transformiert werden.
2.51
Punktspiegelung
h
P
.
g
M
P'
Definition
Eine Abbildung S der Ebene auf sich heisst Punktspiegelung, wenn sie genau einen
M
Fixpunkt M besitzt und jedem Punkt P den Bildpunkt P' so zuordnet, dass die Strecke
PP ' von M halbiert wird. M heisst das Zentrum der Punktspiegelung.
Satz 8:
Geradenspiegelung und Punktspiegelung
Stehen die beiden Geraden g und h senkrecht aufeinander mit Schnittpunkt M, so
gilt:
S °S =S .
h g
M
Umgekehrt ist jede Punktspiegelung darstellbar als Verknüpfung zweier
Geradenspiegelungen an zueinander senkrechten Achsen.
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18
Die wichtigsten Eigenschaften der Punktspiegelung S
M
1.
Zu zwei Punkten P und Q gibt es genau eine Punktspiegelung, die P auf Q abbildet.
2.
Die Punktspiegelung ist eine involutorische Abbildung, d.h. S ° S = id.
M
M
3.
In einem Spiegelungsprodukt S ° S sind die beiden Achsen genau dann
h
g
vertauschbar, wenn g = h oder g ⊥ h.
sh ! sg = sg ! sh
4.
!
g = h oder g"h
Jede Gerade durch das Zentrum M ist Fixgerade.
Eine beliebige Gerade g wird auf eine zu g parallele Gerade g' abgebildet.
°
g
P
° M
g'
°
P'
5.
6.
Die Punktspiegelung als Produkt zweier Geradenspiegelungen
ist eine gleichsinnige
.
Isometrie.
Bei einer Punktspiegelung sind eine Gerade und ihr Bild entgegengesetzt orientiert.
B
g
A
M
B'
g'
A'
Aus diesen Eigenschaften lassen sich nun Aussagen über das Parallelogramm folgern.
Definition
Ein Viereck, dessen Gegenseiten auf paarweise parallelen Geraden liegen, heisst
Parallelogramm.
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Haupteigenschaft
Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch in Bezug auf den Diagonalenschnittpunkt
M als Mittelpunkt, d.h. mit der Punktspiegelung S wird das Parallelogramm auf
M
sich selbst abgebildet.
D!!!!!!!!!!C
M
A!!!!!!!!!!!!!B
Daraus lassen sich die weiteren Eigenschaften herleiten:
•
•
•
Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang.
Die Diagonalen halbieren sich.
Die gegenüberliegenden Winkel sind gross.
Beispiel
Es sind 3 Punkte M, P und Q gegeben. Konstruieren Sie ein Quadrat mit dem Mittelpunkt M,
von dem 2 gegenüberliegenden Seiten durch P und Q gehen.
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2.52
Rotation (Drehung)
P'
M
!
P
Definition
Eine Abbildung RM,! der Ebene auf sich heisst Rotation (Drehung) , wenn sie einen
Fixpunkt M besitzt und wenn für jeden von M verschiedenen Punkt P und sein Bild P'
gilt:
| MP | = | MP ' | und !(PMP ') = " .
Spezialfälle: 1. ! = 0 , dann ist Rm,! = id.
!
2. ! = 180 , dann ist RM. a = SM .(Punktspiegelung )
!
Satz 9:
Rotation und Geradenspiegelung
a) Die Verknüpfung zweier Geradenspiegelungen, deren Achsen g und h sich in einem
Punkt M schneiden, ist eine Drehung um M, deren Drehwinkel gleich dem doppelten
Schnittwinkel der beiden Achsen ist.
Ist
g ! h = { M } und
"(g, h) = # ,
dann
gilt :
Sh ! S g = RM ,2# .
b) Jede Drehung ist darstellbar als Verknüpfung zweier Geradenspiegelungen, deren
Achsen sich im Drehpunkt unter dem halben Drehwinkel als Schnittwinkel schneiden.
Die wichtigsten Eigenschaften der Rotation
1. Jede Rotation ist eine Isometrie (geradentreu, längentreu, winkeltreu).
2.
Jede Rotation mit Drehwinkel α ≠ 0 besitzt genau einen Fixpunkt.
3.
Eine Rotation mit α ≠ 0, 180° besitzt keine Fixgeraden.
4.
Die zur Rotation RM,! inverse Abbildung ist wieder eine Rotation um M aber um den
Winkel −α.
"1
( RM,! ) = RM, "!
Beispiele
1. Drehen Sie ein Quadrat ABCD um einen Punkt S um den Winkel –60°.
2. Gegeben sind ein Punkt A sowie zwei Geraden b und d. Konstruiere ein Quadrat
ABCD, dessen Ecken B auf b und D auf d liegen.
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21
2.53
Translation (Parallelverschiebung)
P'
v
P
Definition
Eine Abbildung der Ebene auf sich heisst Translation (Parallelverschiebung),
wenn
!!!"
für alle Punkte P der Ebene und ihre Bildpunkte P' gilt: alle Vektoren PP' sind
kongruent und gleichorientiert.
!!!" "
Bezeichnung: Translation um PP' = v : Tv"
! !
Spezialfall: v = 0 : T0! = id.
Bemerkung
Unter einem Vektor versteht
!!!"man die ganze Äquivalenzklasse aller kongruenter und
gleichgerichteter "Pfeile" PP' . Ein Vektor ist also nicht auf einen festen Anfangspunkt
bezogen, sondern kann beliebig in der Ebene (Raum) parallel verschoben werden.
P'
PP'
P
Satz 10:
Zu zwei Punkten A und B gibt es genau eine Translation, die A auf B abbildet; sie
ist gegeben durch den Vektor AB = v.
B
A
AB = v
Satz 11: Translation und Geradenspiegelung
a)
Die Verknüpfung zweier Spiegelungen an parallelen Geraden g und h ist eine
Translation um den doppelten Abstandsvektor von g und h.
!
Ist g // h und d der Abstandsvektor von g und h, dann gilt: S h ! S g = T2 d" .
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22
!
b) Umgekehrt ist jede Translation um einen Vektor v darstellbar als eine Verknüpfung
zweier Geradenspiegelungen, deren Achsen parallel sind und deren Abstandsvektor
1!
v
2
beträgt.
Die wichtigsten Eigenschaften der Translation
1.
Jede Translation ist eine Isometrie (geradentreu, längentreu, winkeltreu).
2.
Eine Translation, die nicht die Identität ist, besitzt keinen Fixpunkt
3.
Bei einer Translation werden Geraden auf parallele Geraden abgebildet.
4.
Geraden, deren Richtung parallel zum Translationsvektor verlaufen, sind Fixgeraden.
5.
! """!
v
= AB inverse Abbildung ist wieder eine Translation, aber um
Die zur Translation
! """!
den Vektor ! v = AB, d.h. (Tv! )!1 = T! v! .
6.
Eine bijektive Abbildung der Ebene auf sich, die jede Gerade auf eine parallele Gerade
abbildet und die keinen Fixpunkt besitzt, ist eine Translation.
! : g " g '! g ohne Fixpunkt # ! Translation
Satz 12: Translation und Punktspiegelung
a) Die Verknüpfung zweier Punktspiegelungen ist eine Translation.
S N ! S M = Tv"
####"
"
mit v = 2 ! MN
!
b) Jede Translation um einen Vektor Vektor v ist darstellbar als die Verknüpfung zweier
!!!!" 1 "
MN = v.
Punktspiegelunge SN ! SM ,wobei für die Zentren M und N gilt:
2
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23
Anwendung: Mittelparallele im Dreieck
PQ =
1
AB
2
C
P
Q
A
B
Beispiel
Gegeben sind zwei Kreise k und k , sowie eine Gerade g. Bestimme je einen Punkt A auf
1
2
k und B auf k mit Abstand d, sodass die Verbindungsgerade (AB) || g.
1
2
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24
2.54
2.55
Schubspiegelung (Gleitspiegelung)
v
D
r
g
D'
Definition
Eine Abbildung der Ebene auf sich heisst Schubspiegelung (Gleitspiegelung) genau
!
dann, wenn sie aus einer Spiegelung an einer Geraden r und einer Translation um v
!
zusammengesetzt wird, wobei v || r.
Die Gerade r heisst Schubspiegelachse.
Bezeichnung: Sr, v!
Das ist die letzte zu untersuchende Isometrie. Es müssen nur noch die Produkte von drei
Geradenspiegelungen untersucht werden. Schneiden sich die drei Geraden in einem Punkt
oder sind sie alle drei parallel, so kann das Produkt als eine einzige Geradenspiegelung
dargestellt werden. (Dreispiegelungssatz)
Wir untersuchen nun das Produkt von drei Spiegelungen an Geraden mit mehr als einem
Schnittpunkt.
S °S °S
k h g
#
, aber h ! k $ {A}.
2
(Den Fall g || h und g ∩ k = { A } als Übungsaufgabe)
für den Fall, dass g ! h = {A} und "(g, h) =
h
g
k
k*
g'
.
h'
A
M
h'
h*
⇒
S °S °S = S °S °S = S °S =S °S °S
k h g
k h' g'
M
g'
k* h* g'
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25
Damit ist das ursprüngliche Produkt S ° S ° S umgewandelt in ein Produkt
k h g
S ° S ° S aus zwei Spiegelungen an parallelen Achsen g' und h* und einer dritten
k* h* g'
Spiegelung an einer zu den parallelen Geraden senkrechten Geraden k*.
"""""!
!
Da S ° S = Tv! mit v = 2ig 'h * , erhalten wir
h* g'
Sk ! Sh ! Sg = Sk*, v"
Satz 13: Ein Produkt aus drei Geradenspiegelungen, das nicht als eine einzige
Geradenspiegelung ersetzt werden kann, ist eine Schubspiegelung Sr, v!
Sie ist darstellbar als Spiegelungsprodukt
Sr, v! = Sr " Sq " S p
p
q
P'
r
P
!
v ! p || q
v
v
T (P)
v
Speziell
! !
Eine reine Geradenspiegelung ist auch eine Schubspiegelung mit v = 0 .
Eine Geradenspiegelung nennt man auch uneigentliche Schubspiegelung.
! !
Ist v ! 0 , so spricht man von einer eigentlichen Schubspiegelung.
Damit ist jede ungleichsinnige Isometrie eine Schubspiegelung.
Die wichtigsten Eigenschaften der Schubspiegelung Sr, v!
1. Jede Schubspiegelung ist eine Isometrie (geradentreu, längentreu, winkeltreu).
2. Eine eigentliche Schubspiegelung besitzt keinen Fixpunkt.
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26
3. Die Schubspiegelachse ist die einzige Fixgerade.
4. Achsenparallele Geraden werden auf gleichorientierte parallele Geraden abgebildet.
!
5. Zur Achse senkrechte Geraden werden um v verschoben und entgegengesetzt
orientiert.
6.
!
Bei Sr , v! sind die Spiegelung an r und die Translation um v vertauschbar.
ST(P)
r
!
v
P‘
M
P
!
v
!
T v (P)
7.
Liegt der Punkt P nicht auf der Spiegelachse und ist P' sein Bild bei der
Schubspiegelung, so wird die Strecke PP' von der Spiegelachse halbiert.
8.
Ist Sr, v! = Sr " Tv! , dann ist die Inverse (Sr, v! )!1 = T! v! " Sr .
Beispiele
1.
Gegeben sind die beiden kongruenten Strecken AB und A'B'. Konstruiere die Achse g
!
und den Translationsvektor v der Schubspiegelung, die A in A‘ und B in B‘ überführt.
2.
Was für eine Schubspiegelung ist ϕ = S ° S ° S , wenn p, q, r ein gleichseitiges
r
q
p
Dreieck bilden?
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