Kapitel 4 - TU Ilmenau

Das stationäre Magnetfeld
16
4
Stationäre Magnetfelder
4.1
Potentiale magnetischer Felder
4.1
Ein sehr langer Leiter mit dem Durchmesser D werde von einem Gleichstrom I durchflossen.
a)
Berechnen Sie mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes die magnetische Feldstärke
innerhalb und außerhalb des Leiters!
b)
Ermitteln Sie die Quellen und Wirbel des Feldes!
4.2
Berechnen Sie die magnetische Feldstärke und das Vektorpotential innerhalb und
außerhalb eines stromdurchflossenen Leiters mit kreiszylindrischem Querschnitt
(Radius r0).
Außerhalb des Leiters ist zusätzlich das skalare magnetische Potential zu berechnen.
Stellen Sie die Ergebnisse graphisch dar.
4.3
Ein unendlich langer, gerader zylindrischer Leiter mit dem Radius R0 wird vom Strom
I durchflossen.
Die von r abhängige Stromdichte im Leiter ist gegeben durch: J = C ⋅ r2 ⋅ ez.
a)
b)
c)
Drücken Sie die Konstante C durch den Strom I und den Radius R0 aus!
Berechnen Sie das Vektorpotential A im Leiterinnern durch Lösung der
Poisson-Gleichung A = - µ J.
Ermitteln Sie aus dem Vektorpotential die magnetische Flussdichte B !
Hinweis:
4.4
A = 0 und
∂A ∂A ∂A
=
=
=0
∂r ∂α ∂z
Ein langer gerader Draht wird vom Strom I durchflossen.
a)
b)
4.5
Für r = 0 gilt:
Berechnen Sie das Vektorpotential und daraus die magnetische Feldstärke für
einen beliebigen Punkt auf der x-Achse!
Geben Sie die relative Abweichung an, die sich im Vergleich zur Berechnung
des Feldes eines unendlich langen Leiters ergibt!
Das Magnetfeld im Mittelpunkt einer quadratischen Leiterschleife mit der Seitenlänge
2a, die vom Strom I durchflossen wird, ist mit Hilfe des Vektorpotentials zu
berechnen.
Hinweis:
Beachten Sie, dass im Mittelpunkt das Vektorpotential Null wird. Berechnen Sie daher
zunächst im Abstand ε vom Mittelpunkt das Vektorpotential und daraus die magnetische Feldstärke.
Das stationäre Magnetfeld
4.6
Zwei parallele Ebenen, deren Flächenausdehnung sehr groß im Vergleich zu ihrem
Abstand a voneinander ist, werden von entgegengesetzt gerichteten, gleich großen
Strömen durchflossen.
Berechnen Sie das Vektorpotential und die magnetische Feldstärke im gesamten
Raum!
Hinweis:
4.7
17
Wählen Sie bei der Volumenintegration über die Platten als Flächenelement jeweils einen
Kreisring (Breite dr, Radius R) in der Platte und integrieren Sie von 0 ≤ R < !
Einem halbkugelförmigen Erder ( siehe Skizze ) wird im Mittelpunkt der Halbkugel
über einen geraden, zylindrischen Leiter ein Gleichstrom I zugeführt.
Berechnen Sie das Magnetfeld H im Erdboden und an der Erdoberfläche!
4.2
Das Gesetz von Biot-Savart
4.8
Leiten Sie das Gesetz von Biot-Savart mit Hilfe des Vektorpotentials unter folgenden
Voraussetzungen her:
a)
b)
c)
4.9
der Leiter habe einen infinitesimalen Querschnitt,
der Leiter habe einen endlichen Querschnitt mit einer über den Querschnitt
konstanten Stromdichte,
der Leiter habe einen endlichen Querschnitt und eine sich über den Querschnitt
ändernde Stromdichte.
Ein unendlich langer, gerader Leiter wird von einem Strom I durchflossen.
Berechnen Sie das Magnetfeld im Abstand vom Draht unter Benutzung des
a)
Durchflutungsgesetzes,
b)
Biot-Savart´schen Gesetzes,
c)
Vektorpotentials.
Das stationäre Magnetfeld
4.10
Eine quadratische und eine kreisförmige Drahtschleife werden in der dargestellten
Weise jeweils von einem Strom I durchflossen.
a)
b)
4.11
18
Berechnen Sie mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart in beiden Anordnungen
die magnetische Feldstärke entlang der z-Achse!
In welchem Verhältnis müssen die Seitenlängen der quadratischen Schleife und
der Durchmesser der kreisförmigen Schleife zueinander stehen, wenn im Punkt
P(0,0,0) jeweils die gleiche Feldstärke herrschen soll?
Gegeben ist eine zylindrische, einlagige Spule der Länge L mit der Windungszahl w.
Es fließe der Strom I.
a)
b)
Berechnen Sie die magnetische Feldstärke entlang der Symmetrieachse!
Wie groß ist die Feldstärke im Inneren der Spule, wenn ihre Länge sehr viel
größer als ihr Durchmesser ist?
Hinweis:
Benutzen Sie zur Lösung das Ergebnis der Aufgabe 4.10!
4.3
Mechanische Kräfte im Magnetfeld
4.12
Ein langer, gerader Draht, der vom Strom I durchflossen wird, ist parallel zu einer
rechtwinkligen Kehle verlegt, deren Wände aus einem hochpermeablen Material
bestehen.
Berechnen Sie die Kraft, die bei einem Abstand zur Wand von a = 1 cm auf den Draht
wirkt, wenn durch den Leiter der Länge L = 10m ein Strom I = 50A fließt!
Hinweis:
Nehmen Sie näherungsweise einen unendlich langen Leiter an und berechnen Sie damit
die Kraft pro Längeneinheit!
Das stationäre Magnetfeld
4.13
19
Ein elektromagnetischer Schnellschalter hat den in der Skizze dargestellten
prinzipiellen Aufbau (a = 15mm, b = 20mm). Die Feder übt auf das obere
Leitungsstück der Länge a eine Kraft von 0.1N aus und schließt somit den Stromkreis.
Im Kurzschlussfall soll das Teilstück herausgedrückt und somit der Stromkreis
unterbrochen werden.
Welcher Strom I ist mindestens notwendig, um diesen Schaltermechanismus
auszulösen?
Hinweis:
4.14
Benutzen Sie zur Berechnung des Magnetfeldes das Gesetz von Biot-Savart!
Gegeben seien zwei kreisförmige, koaxiale Stromschleifen in parallelen Ebenen in
einer Entfernung a voneinander.
Berechnen Sie für a >> R1, R2
a)
b)
4.15
die radialen,
die axialen Kräfte auf Leiter 2 !
Die x-y Ebene sei die Trennfläche zwischen Eisen (z < 0) und Luft (z > 0). In der
Tiefe z = -h liegt im Eisen ein gerader, langer, stromdurchflossener Draht, dessen
Radius klein im Vergleich zur Tiefe h sei. Die Permeabilität des Eisens habe einen
endlichen Wert.
Berechnen Sie die je Längeneinheit auf den Draht und die Grenzfläche wirkenden
Kräfte ohne Berücksichtigung der Rückströme.
Benutzen Sie die Methode der Spiegelung zur Bestimmung einer Ersatzanordnung.
Hinweis:
Die Kraft je Flächeneinheit auf eine Grenzfläche ergibt sich aus dem Maxwellschen Spannungstensor:
fA =
∂F 1
µ
= ( µ1 − µ2 ) H t22 + 2 H n22 ⋅ n12 , µ2 < µ1
∂A 2
µ1
Das stationäre Magnetfeld
20
4.4
Elementarstrom- und Mengentheorie
4.16
Ein zylindrischer Dauermagnet sei in axialer Richtung homogen magnetisiert. Der
Polarisationsvektor Jp sei über den Zylinder konstant (s. Skizze).
Es gelte:
a)
b)
c)
4.17
h = 20 mm
R = 10 mm
Jp = 1.1 Vs/m2
Berechnen Sie die magnetische Feldstärke entlang der Achse des Magneten mit:
a1) Mengentheorie
a2) Elementarstromtheorie
Wie groß muss die Linienstromdichte einer einlagigen Zylinderspule mit den
gleichen Abmessungen sein, damit dasselbe äußere Feld erzeugt wird?
Wie groß müsste im Fall b) die Stromdichte sein, wenn die Spule aus Draht mit
einem Durchmesser von 0.75 mm angefertigt werden soll?
Berechnen Sie das Feld im Innern und in der Umgebung einer magnetisierbaren
Kugel, die in ein homogenes Magnetfeld gebracht wird. Die Magnetisierung in der
Kugel sei konstant.
a)
Stellen Sie die Gleichungen zur Bestimmung der Feldstärke außerhalb der Kugel
mit Hilfe der Elementarstromtheorie über H = f (B, M) und mit der
magnetischen Mengentheorie über B = f (H, Jp) auf. Nutzen Sie zur Lösung die
mengentheoretisch gewonnene Beziehung!
Hinweis: Zur Berechnung des Potentials der homogen magnetisierten Kugel ist es zweckmäßig,
diese durch einen äquivalenten magnetischen Dipol zu ersetzen!
b)
c)
Zeigen Sie, dass die Grenzbedingungen für den aus a) folgenden Ansatz
Hi = const. erfüllt werden!
Wo liegen die Maxima der Feldstärke?
Das stationäre Magnetfeld
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4.5
Induktivitäten / Gegeninduktivitäten
4.18
Wie groß ist die äußere Induktivität einer Ringspule (mittlerer Radius R) mit
rechteckigem Kernquerschnitt der Höhe h, der Breite b und w Windungen ?
Berechnen Sie die äußere Induktivität für eine HF-Drossel mit den Werten:
R = 5 cm, h = 2b = 2 cm, w = 40,
µ r = 500
4.19
Bestimmen Sie für ein Koaxialkabel (s. Abb.) die Induktivitäten je Längeneinheit für
den Innenleiter, die Isolierung und den Außenleiter!
Berechnen Sie die Teilinduktivitäten über die Bestimmung der magnetischen Energie!
4.20
Berechnen Sie näherungsweise die Induktivität einer rechteckigen Drahtschleife
(Drahtdurchmesser 2R) mit den Seitenlängen a und b mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes. Wie wäre die Aufgabe exakt zu lösen?
Hinweis:
Berechnen Sie die Induktivität über den Magnetfluss, der aus der Superposition der vier
Leiterstücken ermittelt wird. Vernachlässigen Sie dabei die Feldverzerrungen an den Drahtenden.
4.21
Berechnen Sie die Gegeninduktivität einer Doppelleitung der Länge L. Der Abstand
zwischen den Leitern sei sehr viel größer als der Radius der Leiter.
Hinweis:
4.22
Gehen Sie davon aus, dass jeder Leiter einen eigenen Stromkreis bildet!
Berechnen Sie die Gegeninduktivität je Längeneinheit von zwei unendlich langen
Doppelleitungen der gegebenen Anordnung und zeigen Sie, dass M12 = M21 ist!
Hinweis:
Gehen Sie davon aus, dass die beiden Doppelleitungen getrennten Stromkreisen
angehören und betrachten Sie die von jeder Leitung verursachten Teilflüsse, die mit der anderen
Leitung verkoppelt sind.
Das stationäre Magnetfeld
4.23
22
Eine Koaxialleitung, deren Innenleiter einen Durchmesser Di = 2Ri und deren
Außenleiter einen inneren Durchmesser Da = 2Ra aufweist, ist an der Stelle z = 0
durch eine ideal leitende Scheibe kurzgeschlossen. In das Innere der Leitung ragt eine
Koppelschleife, die sich von z = 0 bis z = D in der Länge von r = R1 bis r = R2 in ihrer
Breite erstreckt.
(Ri < R1 < R2 < Ra)
Berechnen Sie die Gegeninduktivität zwischen Schleife und Leitung!