Instrumentelle Analytik Lambert-Beersches Gesetz Seite N071_Absorptionsspektrometrie1_a_BAneu.doc - 1/7 2.4 Klassische Absorptionsspektrometrie (UV/VIS, AAS, IR) 2.4.1 Lambert-Beersches Gesetz Das Lambert-Beersche Gesetz ist das Grundgesetz der Absorptionsspektrometrie. Es charakterisiert makroskopisch die Durchlässigkeit einer Substanz (gasförmig, flüssig oder fest) bei einer bestimmten Wellenlänge des Lichtes. Es lässt sich klassisch auf den komplexen Brechungsindex zurückführen und steht quantenmechanisch in direktem Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeit von Übergängen im absorbierenden Medium (z.B. Analytmolekül). Herleitung Wir betrachten eine dünne Schicht der Dicke dx in der Küvette mit absorbierender Lösung der Konzentration c. dI I ( x)cdx Das negative Vorzeichen berücksichtigt, dass I kleiner wird. Führt man eine Proportionalitätskonstante () ein, erhält man: M P D I(x) I 0 I(d) dI ( )cIdx x und nach Integration über die Schichtdicke d. 0 I I 0 exp(cd ) d heißt Absorptionskoeffizient Eine Umrechnung in den dekadischen Logarithmus ergibt: I I 0 10 ( )cd oder log I0 A ( )cd I [] = l/(molcm) [c] = mol/l T I I0 A log Lambert-Beersches Gesetz A = Absorbance (früher Extinktion) c = Konzentration d = Schichtdicke () = log e heißt molarer Extinktionskoeffizient T = Transmission(sgrad) 1 T Die Transmission wird zum Beispiel in der IRAbsorptionsspektroskopie verwendet, um die Durchlässigkeit einer Probe zu charakterisieren. (1-T) nennt man oft Absorption. der molare Extinktionskoeffizient entspricht der Absorbance A = 1 einer einmolaren Lösung mol bei einer Schichtdicke d = 1 cm bei der Wellenlänge ; ( ) A11cm der molare Extinktionskoeffizient ist eine wellenlängenabhängige Stoffkonstante, die (leider) von den Messbedingungen abhängt (Temperatur, Druck, Lösungsmittel, ph-Wert, etc.). Viele organische Moleküle besitzen sehr hohe -Werte ( 105 l/molcm). Das ermöglicht die Bestimmung von sehr niedrigen Konzentrationen und bildet die Grundlage der Spektralphotometrie. Instrumentelle Analytik Lambert-Beersches Gesetz Seite N071_Absorptionsspektrometrie1_a_BAneu.doc - 2/7 Weitere Formulierungen des Lambert-Beerschen Gesetzes a) In der Laser-Physik/Spektroskopie wird oft der Absorptionsquerschnitt q()verwendet. Erweiterung von A mit der Avogadro-Konstante NA führt auf A q( )nd A ( ) NA cN A d [n] 1 / cm3 ( ) q( ) ist der Absorptionsquerschnitt [q ] cm 2 NA cN A n ist dann die Dichte der Teilchen [n] = 1/cm3 b) In der Pharmazie werden Konzentrationen häufig in Prozent (Masse/Volumen) angegeben. % A11cm bedeutet die Absorption einer einprozentigen Lösung (10 gr / Liter) der Schichtdicke 1 cm und heißt spezifische Absorption. % A A11cm c'd Erweiterung von A = ()cd mit der Molmasse mmol = Mrgr/mol führt auf A ( ) % [ A11cm ] 1 % cm [c ' ] % 10 gr l 10mmol 10 c d 10 10mmol 10 10 mol 10 l % { } { } A11cm 10mmol mol cm 10 M r gr M r % cm 10mmol mol 10 M r gr M 10 gr M c {c} {c} r {c} r % c' 10 l mol 10 10 l 10 ( ) Mr = relative Molekülmasse der gelösten Substanz 10gr / l ist eine 1% ige Lösung. Gültigkeit des Lambert-Beerschen Gesetzes Das Lambert-Beersche Gesetzes gilt nur: in der Absorptionsspektrometrie (UV/VIS; AAS, IR), für monochromatisches Licht. Die zur Messung der Lichtabsorption in der Probe verwendete elektromagnetische Strahlung darf nur eine Wellenlänge haben, da = (), für verdünnte Lösungen (0,2 < A < 1,5 bzw. c < 0.01 mol/l). Damit hat jedes Molekül die gleiche Wahrscheinlichkeit für Absorption. Bei höheren Konzentrationen des absorbierenden Stoffes treten bei allen Stoffen Abweichungen vom linearen Zusammenhang zwischen A und c auf, da sich der Absorptionsquerschnitt ändert. Der Extinktionskoeffizient wird von der Konzentration c abhängig und es ergeben sich gekrümmte Kurven. Ursache dieses Verhaltens sind Wechselwirkungen zwischen den absorbierenden Teilchen, die zu Aggregation, Dissoziation u.ä. führen können. Veränderte Wechselwirkungen mit dem Lösungsmittel (Solvationsgrad u.ä.) können ebenfalls zu einer Konzentrationsabhängigkeit von führen. Instrumentelle Analytik Lambert-Beersches Gesetz Seite N071_Absorptionsspektrometrie1_a_BAneu.doc - 3/7 Einfluss der Bandbreite der Messstrahlung (Monochromatorbandbreite) a) Wird eine Substanz mit dem molaren Extinktionskoeffizienten εm(λ) bei der Wellenlänge λ1 mit der Intensität I1 und bei der Wellenlänge λ2 mit der Intensität I2 bestrahlt, so gilt für die durchtretende Intensität I1' und I2': I1' I1 10 m (1 )cd I 2' I 2 10 m (2 )cd Da die gemessene Intensität jeweils die Summe der Intensitäten bei beiden Wellenlängen ist, gilt: A log I1 I 2 I1 I 2 log ( ) cd I1 ' I 2 ' I1 10 m 1 I 2 10 m (2 )cd Nur wenn εm(λ1) = εm(λ2) dann ist A = mcd, d.h. A ~ c. Daraus folgt: Die Halbwertsbreite der Extinktionskurve H, soll mindestens um den Faktor 10 größer sein als die Halbwertsbreite H,Mess der Messstrahlung: H,Mess 0,1H, . b) Wenn die eingestrahlte Intensität innerhalb der spektralen Bandbreite des Monochromators konstant ist ( I1 = I2 = I ), und wenn gleichzeitig die Konzentration sehr klein ist, gilt näherungsweise: 10 A1 10 A2 e A1 ln10 e A2 ln10 2 ( A1 A2 ) ln 10 A A2 2 1 1 ln 10 2(1 A ln 10) 2 10 A 2 einsetzen in A log 2 10 A1 10 A2 Nach Einsetzen in die Gleichung für A zeigt sich, dass dann das Lambert-Beersche Gesetz näherungsweise in der Form: A cd gilt, wobei der Mittelwert des Extinktionskoeffizienten über die spektrale Bandbreite der Messstrahlung (Monochromatorbandbreite) ist. 1 0 u o ( ) d u Bei geringer Konzentration und konstanter spektraler Intensität I gilt A = cd, wobei der Mittelwert von über der spektralen Bandbreite des Monochromators ist . Instrumentelle Analytik Lambert-Beersches Gesetz Seite N071_Absorptionsspektrometrie1_a_BAneu.doc - 4/7 Kleinste messbare Konzentration Eine Taylorentwicklung für I (c) I (0) I I 0 10 ( ) cd I I 0 e ( ) cd ln10 I0 e I c I (0) I c 0 liefert für |I| /I : ( ) cd ln10 ( ( )d ln 10) c oder I ( ( )d ln 10) c I Die relative Intensitätsänderung innerhalb der Messbandbreite des Monochromators ist dann proportional zur Konzentrationsänderung c. Sehr gute Detektoren erreichen c cmin I I 10 6 . Damit wird die kleinste messbare Konzentration: 10 6 d ln 10 Relativer Fehler der Konzentrationsmessung Der relative Fehler der Konzentrationsmessung c/c kann bei sehr geringen Konzentrationen (z.B. in der Spurenanalytik) als auch bei sehr hohen Konzentrationen sehr groß werden. T I I 0 10 A 10 ( )cd e ( )cd ln10 1 ln T d ln 10 1 T c d ln 10 T c c T 10 A T c ln T T A ln 10 T kann durch Wiederholungsmessungen festgestellt werden und als const. angenommen werden. Da 10A steigt und 1/A fällt, ergibt sich die sog. Badewannenkurve. Das Minimum (Extremwertaufgabe) ist bei A = log e = 0,43. Abb.: Relativer Konzentrationsfehler als Funktion der Extinktion für einen Photoleitungsdetektor (PbS) mit thermischem Rauschen. Das Signal-Rausch-Verhältnis bei I/I0 = 1 ist 100. Instrumentelle Analytik Lambert-Beersches Gesetz Seite N071_Absorptionsspektrometrie1_a_BAneu.doc - 5/7 Streulichteffekte Streuung bedeutet die allseitige Ablenkung (Streuung) eines Teils der Strahlung des Messstrahlbündels beim Durchgang durch ein Medium oder beim Auftreffen auf eine Oberfläche. Tritt bei einer Messung Streustrahlung auf, ist sie meist breitbandig und überlagert sich der zu messenden Strahlung. Das Messergebnis wird verfälscht! Ursachen für das Auftreten von Streustrahlung können sein: Inhomogenitäten in den optischen Materialien (Linsen, Fenster, Küvetten, Filter) Streuung an Kanten und Blenden (Beugung) Streuung an Oberflächen optischer Materialien (Staub) Streuung in Filter- und Küvettenmaterialien Streuung am Probenmaterial selbst Vermeidung oder Minderung von Streustrahlung durch: Schwärzen des Innenraums von Spektrometern Einbau von Blenden Verwendung von hochwertigen optischen Materiakien Sauberkeit der Oberflächen optischer Materialien Minimierung der Zahl streuender Komponenten Einsatz von Filtern Für eine Messung in Gegenwart von Störstrahlung gilt für die Extinktion: Agemessen log Agemessen log Modell - Annahme I 0 I Str I (1 I Str / I 0 ) log 0 I I Str I (1 I Str / I ) Probe Det I0 1 I Str / I 0 log I 1 I Str / I Agemessen Awahr log Agemessen < Awahr 1 I Str / I 0 1 I Str / I Breitbandiges Streulicht der Lichtquelle (z.B. aus dem Monochromator) wird von der Probe nicht absorbiert. Beispiel: IStr /I0 = 0,001 Probe absorbiert I0 vollständig (I = 0: Atheor ) I I I max. messbare Extinktion: Amax log 0 Str log 0 I Str 0 I Str Instrumentelle Analytik Lambert-Beersches Gesetz Seite N071_Absorptionsspektrometrie1_a_BAneu.doc - 6/7 Fehlerquellen durch Streulicht Streulicht begrenzt die maximal messbare Extinktion. Kurve 1 beschreibt das wahre Absorptionsspektrum. Kurve 2 ist das beobachtete Absorptionsspektrum bei einem Streulichtanteil von 0,01 I0 . Streulicht bewirkt eine schein- bare negative Abweichungen vom Lambert-Beerschen Gesetz. Amax log I0 I Str Test auf Streulicht ? ............................ Instrumentelle Analytik Lambert-Beersches Gesetz Seite N071_Absorptionsspektrometrie1_a_BAneu.doc - 7/7 Streulicht kann am kurzwelligen Ende des Messbereichs eines Spektrometers scheinbare Absorptionsbanden erzeugen: Ursache: IStr 1/4 (Rayleighstreuung) Die durchgezogene Kurve ist die gemessene Extinktionskurve bei einem Streulichtanteil von 0,1 % bei 220 nm und von 1,0 % bei 185 nm. Die gestrichelte Kurve zeigt die wahre Extinktionskurve. Ungenaue Wellenlängenein- stellung bewirkt einen großen Konzentrationsfehler. Bei quantitativen Bestimmungen sollte möglichst im Maximum der Extinktionskurve gemessen werden. In den Flanken bewirkt die Unschärfe der Wellenlängeneinstellung große Messfehler.