Algorithmen für Routenplanung -

Wiederholung
Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Algorithmen für Routenplanung
– Vorlesung 5
Daniel Delling
Lehrstuhl für Algorithmik I
Institut für theoretische Informatik
Universität Karlsruhe (TH)
Forschungsuniversität · gegründet 1825
Daniel Delling – Algorithmen für Routenplanung – Vorlesung 5
Lehrstuhl für Algorithmik I
Institut für theoretische Informatik
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Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Letztes Mal
Reach
RE/REAL
s
t
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Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Ideensammlung
Wie Suche hierarchisch machen?
identifiziere wichtige Knoten mit Zentralitätsmaß
überspringe unwichtige Teile des Graphen
heute letzteres
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Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Kommerzielle Systeme
komplette Suche in lokalem
Bereich
suche in (dünnerem)
Autobahn-Netzwerk
s
t
s
t
iteriere ; highway hierarchy
Definition des highway networks:
benutze Straßen-Kategorie (highway, federal
highway, motorway,. . . ) + Feinjustierung
kompliziert einzustellen
Geschwindigkeit ⇔ Genauigkeit
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Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Highway Hierarchies
komplette Suche in lokalem
Bereich
suche in (dünnerem)
Autobahn-Netzwerk
s
t
s
t
iteriere ; highway hierarchy
Definition des highway networks:
minimales Netzwerk, dass kürzeste Wege erhält
(voll) automatisch
schneller als kommerzielle Systeme
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Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Highway Hierarchies: Idee
Vorberechnung:
Knotenreduktion
Kantenreduktion
iterativ ; Hierarchie
Anfragen:
bidirektional
suche aufwärts
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Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Knoten-Reduktion
Beobachtung:
Knoten mit niedrigem Knotengrad unwichtig
⇒ kontrahiere Graphen
entferne Knoten iterativ
shortcuts um Abstände zwischen verbleibenden Knoten zu erhalten
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Kanten-Reduktion I
Lokale Nachbarschaft:
bestimme Nachbarschaftsradius r (s)
hier: Abstand zum H-nächsten
Knoten für festes H
N (s)
s
Nachbarschaft von s:
N (s) := {v ∈ V | d(s, v ) ≤ r (s)}
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Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Zusammenfassung
Kanten-Reduktion II
Highway-Kante:
Kante (u, v ) ist eine Autobahn-Kante, wenn es s und t gibt mit:
(u, v ) ist auf kürzestem Weg von s nach t
u 6= N (s)
v 6= N (s)
s
N (s)
N (t)
t
Highway
Idee:
entferne Kanten, die keine highway-Kanten sind
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Vorberechnung
Vorberechnung:
Knotenreduktion
entfernen von Knoten
einfügen von Shortcuts
Kantenreduktion
entferne Autobahn-Kanten
iterativ ; Hierarchie
s
N (s)
N (t)
t
Highway
Suchgraph:
Graph mit Shortcuts
Levelinformationen
Radien
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Anfragen
Query:
bidirektionaler Dijkstra
Modifikation:
verlasse nicht die Nachbarschaft
des Eintrittspunkt in diesen Level
sondern: wechsel in höheren Level
relaxiere keine Kanten to Knoten,
die in diesem Level durch
Kontraktion entfernt worden sind
entrance to:
level 0
level 1
level 2
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Stoppkriterium
Problem:
bekanntes Stoppkriterium nicht korrekt
Level eines kürzesten Weges kann sehr unausgeglichen sein
s
t
Lösung:
sehr konservatives Stoppkriterium
stoppe eine Suche wenn Queue leer oder kf ≥ µ
stoppe Anfrage, wenn beide Suchen fertig
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Optimierung
Idee:
speichere Distanzmatrix für letzte Level
suche aufwärts und abwärts bis Distanzmatrix
dann table-lookups (ca. 55 pro Richtung)
spart Durchsuchen der oberen Level
s
t
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Highway-Node Routing
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Beispiel Suchraum HH + Distanztabelle
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Diskussion
Vorteile:
schnelle Vorberechnung (rein lokale Operationen)
war der erste Ansatz, der große Straßengraphen verarbeiten konnte
angeblich (!) wird HH von Google-Maps benutzt
Nachteile:
Identifikation der Highway-Kanten
Stoppkriterium
Korrektheitsbeweis (> 5 Seiten)
Datenstrukturen (für speichern des Radius und level-informationen)
⇒ schwierig zu implementieren
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Highway-Node Routing
Idee:
vereinfache Konzept der Highway Hierarchies
Vorberechnung
Anfragen
basiert auf:
gegebenen Knotenleveln
reiner Kontraktion
deutlich einfacher Kantenreduktion
Overlay-Graphen
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Contraction Hierarchies
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Overlay-Graph
Gegeben:
Graph G = (V , E )
Knotenmenge S ⊆ V
Overlay-Graph:
G 0 = (S, E 0 )
bestimme Kantenmenge E 0 , so dass Abstände in S erhalten bleiben
Minimaler Overlay-Graph
bestimme E 0 mit
E 0 := (s, t) ∈ S × S | kein Knoten zwischen s und t gehört zu S
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Abgedeckende Knoten
Definitionen:
abgedeckter Zweig: enthält Knoten
u∈S
abgedeckter Baum: alle Zweige
abgedeckt
s
abgedeckende Knoten: auf jedem
Zweig der Knoten u ∈ S, der am
nächsten an s ist
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Konstruktion Overlay-Graph
Vorgehen:
v
von jedem Knoten u ∈ S:
lokale Suche in G
bis alle Zweige abgedeckt
v’
füge Kante von u zu abdeckenden
Knoten ein
u
optional:
suche in G 0 von jedem u bis alle Nachbarn v abgearbeitet
bevorzuge hop-minimale Pfade
checke ob u Vorgänger in v
1
wenn nein, entferne (u, v )
1
2
zusätzliche Kantenreduktion
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Berechnung abdechender Knoten
Konservativer Ansatz:
breche Suche ab, wenn alle Zweige abgedeckt
kann ineffizient sein
big city
long−distance ferry
s
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Berechnung abdechender Knoten
Aggressiver Ansatz:
relaxiere keine Kanten auf abgedeckten Zweigen
kann ineffizient sein
fast road
s
u
v
slow road
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Zusammenfassung
Berechnung abdechender Knoten
Kompromiss:
Parameter p
relaxiere keine Kanten auf Zweigen, die mehr als p Knoten aus S
enthalten
stoppe wenn alle Zweige abgedeckt
p = 1 ; aggressive Variante
p = ∞ ; konservative Variante
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Vorberechnung
nehme Klassifikation einer Highway Hierarchy
S1 ⊇ S2 ⊇ S3 ⊇ · · · ⊇ SL
berechene multi-level Overlay-Graphen
G0 = G = (V , E ), G1 = (S1 , E1 ), . . . , GL = (SL , EL )
Suchgraph mit Shortcuts und level informationen
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Anfragen
Knotenlevel
l(u) := max{l | u ∈ Sl }
Vorwärts-Suchgraph
L
[
→
−
G := V , {(u, v ) | (u, v ) ∈
Ei }
i=l(u)
→
−
G
s2
s1
t2
t1
←
−
G
s0
t0
Rückwärts-Suchgraph
L
[
←
−
G := V , {(u, v ) | (v , u) ∈
Ei }
i=l(u)
→
−
←
−
normale Suchen in G und G (mit konservativem Stoppkriterium
Idee: speicher nur Kanten, die aufwärts zeigen
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Korrektheit
Idee:
Overlay-Graphen respektieren Abstände zwischen Knoten
s2
s1
s0
s1
t2
d2 (s2 , t2 )
s2
t2
d1 (s2 , t2 )
s2
t2
t1
t1
t0
d0 (s2 , t2 )
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Stall-On-Demand
Problem:
unwichtige Äste werden während Anfrage abgearbeitet
fast road
s
u
v
slow road
Lösung:
ein Knoten u kann anderen Knoten v stallen
wenn d(s, u) + len(u, v ) < d(s, v )
Suche wird an v geprunt
Knoten u 0 kann v auch wieder wecken
stalling kann sogar propagiert werden (mit BFS)
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Contraction Hierarchies
Nachteile Highway-Node Routing:
basiert auf Highway-Hierarchies
Pfad-Entpackung aufwendig
Contraction Hierarchies:
n-level Hierarchie
Hierarchie-Level durch Knotenordnung
n Knoten- und Kanten-Reduktionen
massive Vereinfachung gegenüber HNR
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Idee
Contraction Hierarchies (CH):
kontrahiere nur einen Knoten pro Knoten-Reduktion
genauer:
ordne Knoten nach “Wichtigkeit”
kontrahier Knoten in dieser Ordnung, Knoten v wird kontrahiert
durch
foreach pair (u, v ) and (v , w ) of edges do
if (u, v , w ) is a unique shortest path then
add shortcut (u, w ) with weight w (u, v , w )
Query relaxiert nur Kanten zu wichtigeren Knoten (ähnlich zu HNR)
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Beispiel: Konstruktion
6
8
5
2
3
4 1
3
2
2
5
2
3
1
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Konstruktion
wie identifiziert man nötige Shortcuts?
lokale Suchen von allen Knoten u der
eingehenden Kanten (u, v )
ignoriere Knoten v während der Suche
füge shortcut (u, w ) ein wenn
d(u, w ) > w (u, v ) + w (v , w )
2
1
1 v
2
1
1 1
Optimierungen:
limitiere Suchräume der lokalen Suchen
limitiere hop-zahl der Suchen
Spezialfälle: 1-hop-Suche, 2-hop-Suche
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Knotenordnung
benutze priority queue, Knoten v wird gewichtet durch lineare
Kombination:
Kanten-Differenz #shortcuts – #Kanten inzident zu v
Uniformität e.g. #entfernter Nachbarn
Kosten der Kontraktion z.B. Suchraum während Kontraktion
Globale Zentralitäts-Maße
...
2
Integrierte Konstruktion and Ordnung:
1. entferne Knoten v mit höchster Priorität
2. kontrahiere Knoten v
3. aktualisiere Prioritäten der anderen Knoten
1
1 v
2
1
1 1
2 − 3 = −1
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Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
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Zusammenfassung
Anfragen
modifizierter bidirektionaler Dijkstra algorithmus
upward graph
G↑ := (V , E↑ ) with E↑ := {(u, v ) ∈ E : u < v }
downward graph
G↓ := (V , E↓ ) with E↓ := {(u, v ) ∈ E : u > v }
Vorwärts-Suche in G↑ and Rückwärtssuche in G↓
6
8
5
node order
2
3
4 1
3
2
2
s
5
2
3
t
1
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Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Datenstruktur
node order
Suchgraph:
normalerweise: speichere Kanten (v , w ) in den Adjacenz-Arrays von
v und w
für die Suche reicht es aus, die Kante nur an den Knoten min{v , w }
zu speichern
durch ungerichtete Kanten negativer Speicherverbrauch möglich (!)
v
shortcut stored at w
w
u
stored at u
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Zusammenfassung
Ausgabe der Pfade
unpack path
expandiere Pfade mittels Rekursion
2
2
2
2
s
2
2
2
2
6
6
2
s
2
5
5
3
3
1
1
2
2
4
4
3
5
t
5
5
3
1
2
3
1 3 2
1
3
4
4
3
8
6
6
8
6
node order
für jeden Shortcut (u, w ) eines Pfades
(u, v , w ), speichere Mittelknoten v an
der Kante
2
5
5
t
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Experimente
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Experimente
Eingaben:
Straßennetzwerke
Europa: 18 Mio. Knoten, 42 Mio. Kanten
USA: 22 Mio. Knoten, 56 Mio. Kanten
Evaluation:
Vorberechnung in Minuten und zusätzliche Bytes pro Knoten
durchschnittlicher Suchraum (#abgearbeitete Knoten) und
Suchzeiten (in ms) von 10 000 Zufallsanfragen
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Experimente
Zusammenfassung
HH: Vorberechnung
Europe
H = 40
H = 60
H = 80
107
6
10
5
#edges
10
104
1000
100
10
1
0
2
4
6
8
level
10
12
14
16
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Experimente
Zusammenfassung
CH: Vorberechnung
●
600
●
●
●
●
1000
●
●
●
query [µ
µs]
400
300
●
200
●
●
150
2000
4000
●
edge difference
deleted neighbors
limit search space on weight calculation
search space size
(digits) hop limits for testing shortcuts
Voronoi region size
upper bound on edges in search path
relative betweenness
●
E
ED
EDL
EDSL
EDS5
method
100
●
500
node ordering [s]
E
D
L
S
i
V
Q
W
●
8000
16000
●
EDS1235 EVSQL EVSWQL
economical aggressive
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
20
CH: Knotengradentwicklung
10
8
5 6
4
3
average degree
15
1 hop
2 hops
3 hops
4 hops
5 hops
6 hops
no hop limit
0
2
5
10
20
50
100
200
400
800
1600
size of overlay graph / 10 000
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Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
10−6 10−4 10−2
10
−8
10
−10
CH aggr. (max. 884)
CH eco. (max. 1012)
HNR (max. 2148)
10
−12
% of searches
1
100
CH:Worst Case Costs
0
200
400
600
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200
settled nodes
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Wiederholung
Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Übersicht: bisherige Techniken
Dijkstra
ALT-16
Arc-Flags (128)
RE
REAL-(64,16)
HH
HNR
eco CH
agg CH
Vorberechnung
Anfrage
Zeit
Platz
Such
Zeit
[h:m] [byte/n]
raum
[ms] Beschl.
0:00
0.0 9 114 385 5 591.60
1
1:25
128.0
74 669
53.60
104
17:08
10.0
2 764
0.80
6 988
1:22
13.0
4 643
3.50
1 597
2:20
35.0
679
1.10
5 037
0:13
48.0
709
0.61
9 165
0:15
2.4
981
0.85
6 577
0:10
0.6
459
0.22 25 413
0:32
-3.0
359
0.15 37 273
Daniel Delling – Algorithmen für Routenplanung – Vorlesung 5
Lehrstuhl für Algorithmik I
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Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
800 1000 1200
800 1000 1200
600
400
200
0
200
400
600
CH aggressive
CH economical
HNR
0
query time [µs]
Dijkstra Rank
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
Dijkstra rank
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Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Zusammenfassung Highway Hierarchies
iteratives ausdünnen des Graphen
Knotenreduktion durch Kontraktion
Kantenreduktion durch entfernen von Nicht-Autobahn-Kanten
Distanz-Tabelle auf oberen Levels
schnelle Vorberechnung
Korrektheitsbeweis schwierig
aufwendige Datenstrukturen
erster Ansatz, der Europa/USA effizient als Eingabe nutzen konnte
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Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Zusammenfassung Highway-Node Routing
Multi-Level Overlay-Graphen
Overlay-Graph respektiert Abstände im Originalgraphen
vereinfacht das Konzept von HH
einfache Datenstrukturen
einfacher Korrektheitsbeweis
reduziert Speicherverbrauch gegenüber HH
Problem: nutzt HH als ein Eingabe
langsamer als HH
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Highway Hierarchies
Highway-Node Routing
Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Zusammenfassung Contraction Hierarchies
vereinfacht HNR nochmals
n Hierarchielevel
Knotenreduktion durch Kontraktion
Kantenreduktion durch Zeugensuche
speichere Kanten nur am unwichtigeren Knoten
negativer Speicherverbrauch
einfaches Konzept
hohe Beschleunigung
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Contraction Hierarchies
Experimente
Zusammenfassung
Literatur
Highway Hierarchies:
Sanders/Schultes 06,08
Highway-Node Routing:
Schultes/Sanders 07
Contraction Hierarchies:
Geisberger et al. 08,09
Anmerkung:
wird auf der Homepage verlinkt
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