Rechnerische Analyse der Eigenschaften von

DIPLOMARBEIT
Rechnerische Analyse
der Eigenschaften
von
Polymerlichtwellenleitern
ausgeführt am
Institut für Nachrichtentechnik und Hochfrequenztechnik
der Technischen Universität Wien
von
Gerhard Schmid
Erlgasse 29/29
1120 Wien
Matrikelnr.: 9425239
Wien, im September 2005
Betreuer:
Prof. Dr. Walter R. Leeb
Dr. Martin Pfennigbauer
Zusammenfassung
Der Anstoß für meine Arbeit war die Entwicklung von optischen Datenübertragungssystemen
auf der Oberfläche von Leiterplatten. Die Firma AT&S arbeitet daran, integrierte PolymerLichtwellenleitersystemen für optischen Backplanes für die Telekommunikation herzustellen.
Frühere Versuche von AT&S ergaben, wie im Kapitel 1 veranschaulicht, eine elliptische transversale Brechungsindexverteilung mit gaußförmigem Profil. Dies war der Anlass für eine genauere
Untersuchung der Eigenschaften elliptischer Wellenleiter. Da für solche Wellenleiterstrukturen
keine analytischen Lösungen zur Berechnung existieren, wurde mit der Methode der finiten
Differenzen gearbeitet.
Der erste Schritt war, herauszufinden, wie die normierten Größen bei elliptischen Wellenleitern
definiert sind. In der Literatur findet man keine einheitliche Definition. Eine Art der Normierung wurde jedoch am häufigsten vorgeschlagen. Mit dieser Normierung wurden zunächst auch
alle Berechnungen durchgeführt. Im Kapitel 2 werden diese Überlegungen, ausgehend von den
Grundlagen der Elektrotechnik, aufgearbeitet.
Der nächste Schritt war die Erstellung eines Matlab-Programmkerns, der mit Hilfe der Methode
der finiten Differenzen Berechnungen an beliebigen Wellenleiterstrukturen durchführen kann.
Mit diesem Kern wurden Programme entwickelt, die folgende Berechnungen ermöglichen: die
transversale Verteilung der elektrischen oder magnetischen Feldstärke, Dispersionsdiagramme,
die Abhängigkeit von Grenzfrequenzen von der Elliptizität, doppelbrechende Eigenschaften und
Koppeleffizienzen. Das Programm für die Berechnung von Dispersionsdiagrammen ist mit einem
aufwändigen Algorithmus versehen, welcher in der Lage ist, die Modenzahl automatisch zu
bestimmen.
Vorerst galt es aber herauszufinden, in welchem Bereich die Genauigkeit des Programms liegt.
Dafür wurden Vergleiche mit Wellenleitern angestellt, für die exakte Lösungen existieren. Dabei
konnten die Parameter für die Simulation für eine bestmögliche Übereinstimmung optimiert
werden. Eine hohe Genaugkeit des Programms, aber auch gewisse Schwächen dieser Methode
konnten nachgewiesen werden. In Kapitel 3 werden die Grundlagen der verwendeten Methode
aufgearbeitet und es wird gezeigt, wie man in Matlab Berechnungen mit Hilfe der Methode der
finiten Differenzen anstellen kann. Es werden jeweils Lösungen spezieller Wellenleiter diskutiert.
Bei der Berechnug der Grenzwellenlänge des HE21 -Modus in Abhängigkeit der Elliptizität zeigte
sich, dass eine andere als die in der Literatur am häufigsten vorgeschlagene Art der Normierung
eine bessere Vergleichbarkeit der Wellenleiter ermöglicht. Es konnte nachgewiesen werden, dass
für einen Singlemode-Betrieb ein zirkulärsymmetrischer Wellenleiter die günstigsten Eigenschaften hat.
Im Kapitel 4 werden Einkopplungsmechanismen untersucht. Es konnte gezeigt werden, dass die
besten Einkopplungseffizienzen ebenso mit zirkulärsymmetrischen Wellenleitern erreichbar sind
und jede Abweichung von der Zirkulärsymmetrie die Koppeleffizienz verschlechtert. Die Berechnungen ergaben, dass unter der Annahme eines gaußförmigen und kohärenten Laserstrahls und
eines gaußförmigen Wellenleiterprofils eine Koppeleffizienz von nahezu 100% erreicht werden
kann.
i
Inhaltsverzeichnis
1 Motivation
1
2 Grundlagen
2.1 Wellenführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Moden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Dispersionsdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Normierte Größen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Normierte Größen bei elliptischen Wellenleitern
2.4 Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
6
6
7
9
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.
3 Analytische und numerische Berechnungen
11
3.1 Die Methode der finiten Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1 Die semivektorielle Methode der finiten Differenzen (SV-FDM) . . . . . . 14
3.1.2 Die skalare Methode der finiten Differenzen (SC-FDM) . . . . . . . . . . . 18
3.2 Programmierung in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Abschätzung der Grenzen der Genauigkeit des Programms . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1 Vergleich der skalaren Methode der finiten Differenzen mit einer exakten
Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.2 Vergleich der semivektoriellen Methode der finiten Differenzen mit einer
exakten Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Berechnung der transversalen Feldverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Berechnung des Dispersionsdiagramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6 Berechnung der Grenzfrequenz des HE21 -Modus eines elliptischen Wellenleiters
in Abhängigkeit von der Elliptizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7 Berechnung der Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.8 Berechnungsbeispiele von speziellen Wellenleiterstrukturen . . . . . . . . . . . . . 38
3.8.1 Elliptische Stufenindexwellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.8.2 Elliptische Wellenleiter mit gaußförmigem Indexprofil . . . . . . . . . . . 41
3.8.3 GIO - Graded-Index Oval-Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.8.4 W-shaped Plastic Optical Fiber (W-shaped POF) . . . . . . . . . . . . . 45
4 Einkopplung
47
4.1 Das Überlappungsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Anwendungen im Zusammenhang mit der Methode der finiten Differenzen . . . . 47
4.2.1 Berechnung der Koppeleffizienz in Abhängigkeit der Elliptizität bei Stufenindexwellenleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ii
INHALTSVERZEICHNIS
4.2.2
iii
Berechnung der Koppeleffizienz in Abhängigkeit der Elliptizität bei Gauß’scher
Brechungsindexverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Anhang
54
Literaturverzeichnis
57
Kapitel 1
Motivation
Der immer höhere Bedarf an Bandbreite in technischen Kommunikationsnetzen macht die Entwicklung neuer Technologien für die Datenübertragung innerhalb von Systemen notwendig. In
der Weitverkehrstechnik werden schon heute ausschließlich Glasfasern verwendet. Der nächste
Schritt ist die Verwendung von optischen Datenkanälen in Zugangsnetzen. Um die enormen
Datenraten in Zukunft überhaupt noch verarbeiten zu können, liegt die Entwicklung von optischen Datenübertragungssystemen auf Leiterplatten nahe. Damit werden hohe Bandbreiten
ermöglicht mit den bekannten Vorteilen, wie geringes Übersprechen, Robustheit gegenüber elektromagnetischen Störungen und keine elektromagnetische Abstrahlung.
Für Anwendungen in der Luft- und Raumfahrt wurde eine optische Backplane, basierend auf
Multimode-Polymerwellenleitern, entwickelt. Über die ursprünglich geplanten Anwendungen
hinaus ergeben sich auch Einsatzmöglichkeiten im Bereich der Telekommunikation [1]. Die
Firma AT&S arbeitet derzeit daran, integrierte Polymer-Lichtwellenleiter-Systeme für optische Backplanes herzustelllen [2], [3]. Als Sendeelemente werden Laserdioden mit Fabry-PerotResonatoren, neuerdings auch Laser mit vertikalen Resonatoren (VCSEL) bei einer Wellenlänge
von 850 nm verwendet. Die Wellenleiter werden mit einem sequenziellen Verfahren (Direktschreiben) in einer Polymerschicht hergestellt.
Den prinzipiellen Aufbau einer optischen Backplane zeigt Abb. 1.1. Es wird auf die Oberfläche
der Leiterplatte eine Polymerschicht aufgetragen, in die mittels des Effektes Zwei-Photonen”
Absorbtion“ (Two-Photon-Absobtion - TPA) mit einem gepulsten Laser hoher Intensität der
Lichtwellenleiter geschrieben wird [4]. Die Abb. 1.2 zeigt das Prinzip des Schreibverfahrens. Der
Effekt, der den Brechungsindex verändert, tritt nur im Bereich des Brennpunktes auf, wodurch
eine Begrenzung des Wellenleiterkerns gegeben ist. Erste Versuche der Firma AT&S wurden mit
einer Anordnung der Laseroptik durchgeführt, die, wie es etwa Abb. 1.2 zeigt, eine elliptische
Form des Wellenleiterkerns mit näherungsweise gaussförmigem Brechungsindexverlauf hervorrbrachte. Die Größenordnungen der Wellenleiter waren dabei etwa 3 µm × 60 µm.
Dies war der Anlass für meine Arbeit. Untersuchungen wurden daher zunächst über elliptische
Wellenleiter und in der Folge über Wellenleiter mit gaussförmigem Brechungsindexprofil angestellt. Da für solche Wellenleiterstrukturen keine analytischen Lösungen existieren, wurden
Berechungen mit Hilfe der Methode der finiten Differenzen durchgeführt. In weiterer Folge wurde die Einkopplung von elliptischen Laserstrahlen in elliptische Wellenleiter untersucht. Dabei
konnte gezeigt werden, dass die stark elliptische Form äußerst ungünstig für die Einkopplung
und Wellenleitung ist. Die besten Einkopplungs- und Ausbreitungseigenschaften werden mit
zirkulärsymmetrischen Wellenleitern erzielt. Daher wurde die Laseroptik der Fa. AT&S dahin-
1
KAPITEL 1. MOTIVATION
2
gehend geändert, dass zirkulärsymmetrische Wellenleiter mit etwa gaussförmigem Brechungsindexverlauf und einem Durchmesser von etwa 20 µm erreicht werden.
Polymerschicht
Sender
(Laser)
1
Lichtwellenleiter
+
i
Empfänger
(Photodiode)
Leiterplatte
Abbildung 1.1: Schnitt durch die optische Backplane. Die Zeichnung ist nicht maßstabgetreu.
Laser
)
Laserstrahl
Linse
)
Lichtwellenleiter
Polymerschicht
Leiterplatte
Abbildung 1.2: Prinzip des Verfahrens zum direkten Schreiben der Wellenleiter. Nur im Bereich
des Brennpunktes des Laserstrahls tritt der Effekt, der den Brechungsindex verändert, auf.
Kapitel 2
Grundlagen
In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Wellenführung beschrieben. Es wird die Wellengleichung ausgehend von den Maxwell-Gleichungen in vektorieller und skalarer Form hergeleitet.
Im letzten Abschnitt dieses Kapitels wird auf modale Doppelbrechung eingegangen.
2.1
Wellenführung
Die Maxwell-Gleichungen in ganz allgemeiner Form (z.B. [5], [6]) lauten
~ ×H
~ = J~ + ∂t D,
~
∇
~ ×E
~ = −∂t B,
~
∇
~ ·B
~ = 0,
∇
~ ·D
~ = ρ.
∇
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
~ der vektorielle räumliche Differentialoperator,
Hier ist ∇
~ = e~x ∂ + e~y ∂ + e~z ∂ ,
∇
∂x
∂y
∂z
(2.5)
~ ist die magnetische Feldstärke, J~ die elektrische Stromdichte,
mit den Basisvektoren e~i , H
~
~ die magnetische Flussdichte, D
~ die
∂t die zeitliche Ableitung, E die elektrische Feldstärke, B
elektrische Flussdichte und ρ die Raumladungsdichte.
Ist das Medium in z-Richtung homogen und werden nur zeitlich harmonische Vorgänge betrachtet, sind für das elektrische und das magnetische Feld Ansätze der Form
~
E(x,
y, z, t) = ~e(x, y) · exp j(ωt − βz),
~
H(x, y, z, t) = ~h(x, y) · exp j(ωt − βz)
(2.6)
(2.7)
gerechtfertigt. Dabei sind ~e(x, y) und ~h(x, y) die transversalen Komponenten der elektrischen
bzw. magnetischen Feldstärke, β ist die Ausbreitungskonstante des Feldes in z-Richtung, ω ist
die Kreisfrequenz des Feldes und t ist die Zeit.
3
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
4
Um die Wellengleichung herzuleiten, können wir daher die zeitliche Ableitung durch −jω ersetzen und schreiben die Maxwell-Gleichungen unter der Annahme von Quellen- und Stromfreiheit
~ = εE
~ und B
~ = µH
~ an:
(ρ = 0, J~ = 0) und Einführen der Materialgleichungen D
~ ×H
~
∇
~ ×E
~
∇
~
~
∇ · µH
~ · εE
~
∇
~
= jωεE,
(2.8)
~
= −jωµH,
(2.9)
= 0,
(2.10)
= 0.
(2.11)
Die Dielektrizitätszahl ε setzt sich aus der Dielektrizitätskonstante des leeren Raums ε0 =
As und der Permittivität des Mediums ε zusammen, ε = ε · ε , bzw. ε = ε · n2 ,
8, 856 · 10−12 Vm
r
0
r
0
wobei n der Brechungsindex des Mediums ist.
Analog setzt sich die Permeabilität µ aus der Permeabilitätskonstante des leeren Raums µ0 =
Vs und der relativen Permeabilitätszahl des Mediums µ zusammen µ = µ · µ . Wir
4π · 10−7 Am
r
0
r
~
~
nehmen an, dass µr konstant und µr = 1, und können somit statt (2.10) ∇ · H = 0 schreiben.
Durch Anwenden des Rotor-Operators,
~=∇
~ × A,
~
rotA
(2.12)
auf (2.9), Verwenden der Vektor-Beziehung,
~ × (∇
~ × V ) = ∇(
~ ∇
~ · V ) − ∇2 V,
∇
(2.13)
mit dem Laplace-Operator,
∇2 =
∂x2 ∂y2 ∂z2
+ 2 + 2,
x2
y
z
(2.14)
Einführen der Wellenzahl,
√
k = ω εµ0 ,
(2.15)
und Einsetzen von (2.10) und (2.11) können wir die vektorielle Wellengleichung für das elektrische Feld anschreiben:
!
~ r
∇ε
2~
~
~ + k2 E
~ = 0.
∇ E+∇
·E
(2.16)
εr
Analog können wir für die magnetische Feldstärke vorgehen:
~ +
∇2 H
~ r ∇ε
~ ×H
~ + k2 H
~ = 0.
× ∇
εr
(2.17)
Nur wenn die relative Permittivität räumlich konstant ist, kann in (2.16) und (2.17) jeweils der
zweite Term entfallen und die vektorielle Wellengleichung auf die Helmholtz-Gleichung reduziert
werden:
∇2 Φ + k 2 Φ = 0,
(2.18)
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
5
wobei Φ ein skalares Feld repräsentiert, da mit dieser Gleichung nicht zwischen der elektrischen
und magnetischen Feldstärke unterschieden werden kann.
Die z-Ableitung kann aufgrund der räumlich harmonischen Vorgänge durch −jβ ersetzt werden.
Damit wird in der weiteren Vorgehensweise der Nabla-Operator in eine z-Komponente und in
eine Normal-Komponente aufgeteilt:
~ = e~x ∂ + e~y ∂ + e~z ∂ = e~x ∂ + e~y ∂ − jβ = ∇
~ ⊥ − jβ
∇
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
(2.19)
Somit können wir die Helmholtz-Gleichung für das skalare Feld anschreiben:
∇2⊥ Φ + (k 2 − β 2 )Φ = ∇2⊥ Φ + k02 (εr − neff )Φ = 0.
(2.20)
wobei der effektive Brechungsindex
neff =
β
k0
(2.21)
ist und k0 der Wellenvektor des leeren Raums ist. Die Gleichung (2.20) hängt nur von der axialen
Verteilung des Brechungsindex und nicht von dessen Ableitung ab. Bei geringen Änderungen
des Wertes von εr über den Wellenleiterquerschnitt liefert diese Formel ausreichend genaue
Ergebnisse. Näheres dazu siehe Abschnitt 3.3.
2.2
Moden
Die Wellengleichung liefert bei der Berechnung von Wellenleitern i.A. mehrere Lösungen. Jede
dieser Lösungen charakterisiert einen Modus. Physikalisch unterscheiden sich die Moden in der
Anzahl und Lage der Intensitätsmaxima des Feldes (Beispiele siehe Abb. 3.13 oder Abb. 3.14).
Die Lösungen werden mit Indizes versehen, beispielsweise bei zirkulärsymmetrischen Wellenleitern mit LPm,l . LP bedeutet Linear Polarisiert“, der Index m steht für die Anzahl der
”
Intensitätsmaxima in azimutaler Richtung, l für die Anzahl der Maxima in radialer Richtung
[5].
Bei rechteckigen, bzw. elliptischen Wellenleitern findet man in der Literatur unterschiedliche
Indizierungen. In [7] werden die Moden bei Rechteckhohlleitern mit HExy oder EHxy indiziert,
wobei die HE aus den H-Wellen der Parallelplattenleitung hervorgehen. Die dominierenden Felder sind das E-Feld in Richtung der transversal größeren Abmessung des Kerns und das H-Feld
in Richtung der kleineren Abmessung. Die Indizes x und y geben die Anzahl der Intensitätsmaxima in x- bzw. y-Richtung an, wenn die größere Abmessung in x-Richtung liegt. In [8] werden
x , bzw. mit E y bezeichnet, wobei p und q die Anzahl der Maxima in x- bzw.
die Moden mit Epq
pq
y-Richtung bedeuten und der hochgestellte Index die Polarisation des dominierenden E-Feldes
andeutet.
Bei elliptischen Wellenleitern findet man sowohl LP- [9] als auch HE-Bezeichungen [10]. Da
die LP-Indizierung der zirkulärsymmetrischen Fasern nicht unterscheidet, in welcher azimutalen
even -Moden
Position die Maxima liegen, muss noch ein weiterer Index eingeführt werden. Bei LPmn
liegen m Maximas in Richtung der transversal größeren Abmessung des Wellenleiters und n in
odd -Moden umgekehrt.
der kleineren, bei LPmn
Jeder Modus hat i.A. unterschiedliche Eigenschaften, wie die Grenzfrequenz oder die Ausbreitungskonstante.
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
6
HE00
-
HE01
-
HE10
-
EH00
666
EH01
666 ???
EH10
666
???
Abbildung 2.1: Modenzahlen nach [7]. Die Ellipsen deuten die Intensitätsmaxima, die Pfeile die
Richtung und Höhe der elektrischen Feldstärke an.
Moden, die näherungsweise die gleichen Eigenschaften aufweisen, werden degenerierte Moden
genannt und mit einem Index zusammengefasst. Bei zirkulärsymmetrischen Wellenleitern mit
schwacher Führung existieren bei m = 0 zwei, bei m ≥ 1 vier degenerierte Moden.
2.3
Dispersionsdiagramm
Das Dispersionsdiagramm ist bei Lichtwellenleitern von fundamentaler Bedeutung. Es zeigt
für alle möglichen Lösungen der Wellengleichung in der Faser die Ausbreitungskonstante als
Funktion der Frequenz. Viel verbreiteter ist jedoch die Darstellung in normierter Form, wie in
Abb. 2.2, wobei auf der Abszisse die normierte Frequenz V und auf der Ordinate die normierte
Ausbreitungskonstante B aufgetragen wird. Parameter sind die Modenzahlen. In einem solchen
Diagramm kann man beispielsweise ablesen, wie viele und welche Moden zu einer bestimmten
Frequenz ausbreitungsfähig sind und welche Ausbreitungskonstante diese haben. Alle Moden
außer dem Grundmodus haben eine Grenzfrequenz. Von großem Interesse ist oft der Wert der
Grenzfrequenz des zweiten Modus, da diese aussagt, unter welchen Bedingungen sich nur ein
Modus ausbreiten kann (→ Singlemode-Betrieb).
2.3.1
Normierte Größen
Um ein Dispersionsdiagramm unabhängig von den absoluten Abmessungen des Wellenleiters
darstellen zu können, werden normierte Größen verwendet.
Da die Felder im Mantel mit zunehmendem Abstand vom Kern sehr rasch abklingen, kann
man davon ausgehen, dass sie am äußeren Rand des Mantels nahezu null sind. Abbildung
2.3 zeigt die Geometrie und das transversale Brechungsindexprofil eines zirkulärsymmetrischen
Stufenindexwellenleiters. Man nimmt daher bei der Berechnung an, dass der Mantel unendlich
ausgedehnt ist (siehe Abb. 2.4).
Die üblichen Normierungen (z.B. [5]) bei Wellenleitern mit zirkulärsymmetrischem Kern mit
Radius a sind (siehe Abb. 2.4):
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
7
Normierte Ausbreitungskonstante B →
1
LP01
0.9
LP11
0.8
LP21
LP02
0.7
LP31
LP12
0.6
LP41
0.5
LP22
LP03
LP51
0.4
0.3
LP32
LP61
LP13
0.2
0.1
LP42
0
0
2
4
6
Normierte Frequenz V →
8
10
Abbildung 2.2: Dispersionsdiagramm eines zirkulärsymmetrischen Stufenindexwellenleiters
• Normierte transversale Komponente im Kern:
U 2 = a2 (k12 − β 2 )
(2.22)
• Normierte transversale Abklingkonstante im Mantel:
W 2 = a2 (β 2 − k22 )
(2.23)
• Daraus lassen sich die normierte Frequenz
2
2
2
2
V =U +W =a
(k12
−
k22 )
2
=a
2π
λ
2
(n21 − n22 ),
(2.24)
• und die normierte Ausbreitungskonstante
B2 =
W2
β 2 − k02 n22
=
,
V2
k02 n21 − k02 n22
(2.25)
2 2
ableiten, wobei ki = 2π
λ ni ist. Ist β > k0 n2 , folgt, dass B reell ist und Ausbreitung möglich ist.
2
2
Ist β < k0 n2 folgt, dass B imaginär ist und es sich um einen Modus handelt, der abgestrahlt
wird.
2.3.2
Normierte Größen bei elliptischen Wellenleitern
Für die normierte Frequenz finden sich in der Literatur unterschiedlichste Definitionen. Miyamoto [11] z.B. definiert
q
V = k0 b n21 − n23 ,
(2.26)
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
8
x, y
*z
6
R
n2
6
n
2b
y
Mantel
6
2a 6
?
x
-
n1
Y
Kern
?
Abbildung 2.3: Geometrie und transversales Brechungsindexprofil eines zirkulärsymmetrischen
Stufenindexwellenleiters.
k2 36
W
a
n2
6
2a
?
n1
s
β
3
.j
βk1 U
a
s s?
a
β
k1
k2
...
...
...
...
Radius
Ausbreitungskonstante
Wellenvektor im Kern
Wellenvektor im Mantel
n2
Abbildung 2.4: Definition der Abkürzungen. Dargestellt sind die Verhältnisse im Wellenleiterkern und -mantel. Der Mantel wird für die Berechnung unendlich ausgedehnt angenommen.
wobei Wellenleiterstrukturen mit drei verschiedenen Brechungsindizes untersucht werden und
für die Normierung die kleinere Abmessung der Ellipse verwendet wird. Mashashi [12] verwendet
ebenfalls die kleinere Abmessung, Kamala [13] dagegen die größere Abmessung,
V 2 = a2 k02 n21 − n22 .
(2.27)
Eine ganz andere Definition liefert Oh [14]:
V =
aeff =
√
√
2π
aeff neff 2∆,
λ
(2.28)
ab, neff wird in dieser Literatur nicht näher erläutert.
Der relative Brechungsindexunterschied ist mit
∆=
definiert.
n21 − n22
2n21
(2.29)
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
9
n2
y
6
6
−ρ
2b
ρ
-x
n1
?
2a
-
Abbildung 2.5: Definition der Bezeichnungen für die Abmessungen eines elliptischen Wellenleiters.
Hu [9] begründet seine Definition etwas genauer:
V =
2b √
qm1 + qm2 ,
ρ
(2.30)
wobei
1
2
qm1 = ρ2 k 2 n2co − βm
,
4
1
2
−qm2 = ρ2 k 2 n2cl − βm
4
(2.31)
(2.32)
die charakteristischen Werte der Moden sind, nco und ncl die Brechungsindizes von Kern (core)
und Mantel (cladding) sind, und ρ der Brennpunkt der Ellipse ist.
Durch Einsetzen erhält man
q
2πb
V =
n21 − n22 .
(2.33)
λ
Die normierte Ausbreitungskonstante B ergibt sich dann,
β 2 − k 2 n2cl
qm2
W2
B=
= 2 = 2 m2
.
(2.34)
qm1 + qm2
V
k nco − k 2 n2cl
Wir haben somit eine Normierung für elliptische Wellenleiter gefunden, die in der Literatur sehr
häufig verwendet wird und können damit Berechnungen durchführen, die gut vergleichbar sind.
2.4
Doppelbrechung
Bei der Berechnung des Dispersionsdiagramms einer zirkulärsymmetrischen Stufenindexfaser
stößt man auf folgende charakteristische Gleichung ([5], [7]):
2 0
Kν0 (W )
n1 Jν (U )
Kν0 (W )
Jν0 (U )
+
+
=
U Jν (U ) W Kν (W ) n22 U Jν (U ) W Kν (W )
2
1
1
n1 1
1
2
ν
+
+
.
U2 W2
n22 U 2 W 2
(2.35)
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
10
Jν und Kν sind die Besselfunktionen, bzw. modifizierten Besselfunktionen zweiter Art, ν-ter
Ordnung, Jν0 und Kν0 deren Ableitung nach dem Argument. Der ganzzahlige Index ν gibt dabei
die Anzahl der Maxima in azimutaler Richtung an. Betrachtet man nur rotationssymmetrische
Moden (ν = 0), so ist die rechte Seite der Gleichung gleich null. Man kann zeigen, dass dann
für TM-Moden
n21 Jν0 (U )
Kν0 (W )
+
= 0,
n22 U Jν (U ) W Kν (W )
(2.36)
Kν0 (W )
Jν0 (U )
+
=0
U Jν (U ) W Kν (W )
(2.37)
und für TE-Moden
gelten muss [15].
Beschränkt man sich auf schwache Führung (∆ 1), entfallen in (2.35) die jeweils zweiten
Klammern auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen und es reicht, folgende transzendente Gleichung zu lösen:
0
Jν (U )
Kν0 (W )
1
1
2
+
=ν
+
.
(2.38)
U Jν (U ) W Kν (W )
U2 W2
Unter Verwendung der Rekursionsformeln (siehe Anhang) für Besselfunktionen vereinfacht sich
(2.35) zu
√ √
√ Km−1 V B
√
Jm−1 V 1 − B
√ .
=− B
√
(2.39)
1−B
Jm V 1 − B
Km V B
Interessant dabei ist, dass die Formel für schwache Führung (2.39) bei rotationssymmetrischen
Moden die gleichen Ergebnisse liefert wie die Formel für TE-Moden (2.37). Rotationssymmetrische TE-Moden sind unabhängig vom Brechungsindexunterschied, nur bei TM-Moden wirkt
sich ∆ auf die Ergebnisse aus.
Kapitel 3
Analytische und numerische
Berechnungen
In diesem Kapitel wird die Methode der finiten Differenzen (FDM - Finite-Difference Method“)
”
erklärt. Im Weiteren wird gezeigt wie diese Methode in Matlab implementiert werden kann. Für
Wellenleiter, für die eine analytische Lösung existiert, wird diese angegeben und die Berechnungsergebnisse werden mit den Ergebnissen der FDM verglichen. Somit kann man abschätzen,
wie genau die Ergebnisse des Programms sind, bzw. in welchen Grenzen das Programm genaue Ergebnisse liefert. Es werden jeweils Beispiele für die Berechnung und deren Ergebnisse
diskutiert.
3.1
Die Methode der finiten Differenzen
Mit Hilfe der FDM lassen sich Wellengleichungen für Strukturen, für die keine analytische
Lösung existiert, näherungsweise lösen. Die FDM ist eine Methode, bei der ein begrenzter Bereich in eine (hohe) begrenzte Anzahl von Punkten diskretisiert wird, sodass Berechnungen auf
numerische Weise durchgeführt werden können. Sie basiert auf einer Taylor-Reihennäherung
und ermöglicht die Approximation von Wellengleichungen derart, dass der Wert eines einzelnen Punktes nur von den Werten seiner Nachbarpunkte und der Differenz zu diesen abhängig
ist. Damit wird das Problem in eine Eigenwertgleichung übergeführt, für deren Berechnung es
leistungsvolle Algorithmen zum Beispiel in Matlab gibt.
Mit den Definitionen aus Abb. 3.1 werden die Funktionswerte f1 , f2 und f3 durch
f1 = f (−h1 )
f2 = f (h2 )
f3 = f (0)
(3.1)
ausgedrückt. Wenn man die Taylor-Reihe
f (x) =
∞
X
∂ n f (x) 1
(x − x0 )n
∂xn n!
(3.2)
n=0
nach dem zweiten Glied abbricht und x0 = 0 wählt, können wir f1 und f2 in Abb. 3.1 als
Taylor-Reihen Näherungen anschreiben:
11
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
12
f2
f (x) 6
f3
f1
−h1
0
h2
-
x
h1
h2
Abbildung 3.1: Differenzenapproximation für Ableitungen
- -
1
1
h1 f 0 (0) + h21 f 00 (0) + O(h31 )
1!
2!
1
1 2 00
0
0
f2 = f (0) + f (0) − h2 f (0) + h2 f (0) + O(h32 ).
1!
2!
f1 = f (0) + f 0 (0) −
(3.3)
(3.4)
Wenn man (3.3) von (3.4) subtrahiert, erhält man
f2 − f1 = (h2 + h1 )f 0 (0) +
1 2
h2 − h21 f 00 (0) + O(h3 ),
2
(3.5)
woraus man mit der Abschätzung [16]
O(h3 )
= O(h2 )
h
eine Näherung für die erste Ableitung herleiten kann,
f 0 (0) =
f2 − f1
1 2
h2 − h21 f 00 (0) + O(h2 ).
+
h1 + h2 2
(3.6)
(3.7)
Wir ersetzen jetzt die erste Ableitung durch folgende Näherung:
f 0 (0) =
f2 − f1
.
h1 + h2
(3.8)
Man sieht, dass, wenn man h1 = h2 , sprich äquidistante Abstände wählt der zweite Term in
(3.7) entfällt und der Fehler O(h2 ) ist. Wählt man h1 6= h2 , entfällt dieser Term nicht, er trägt
somit zur Vergrößerung des Fehlers bei, dieser ist O(h).
Analog können wir für die zweite Ableitung vorgehen,
f 00 (0) =
2 h2 f1 − (h1 + h2 )f3 + h1 f2
,
h 1 h2
h1 + h2
(3.9)
wobei für den Fehler das Selbe wie für die erste Ableitung gilt.
Wir haben also Ausdrücke gefunden, die die erste, bzw. zweite Ableitung ersetzen können, wobei
der Fehler verschwindet, wenn h → 0 geht. Es handelt sich also um ein Verfahren, mit dem man
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
13
beliebig genaue Berechnungen durchführen kann, wenn man die Abstände der Unterteilungen
hinreichend klein wählt. Dies bedeutet in der Praxis jedoch eine hohe Anzahl von Berechnungspunkten, was wiederum die Rechen- und Hauptspeicherleistung von Rechneranlagen strapaziert.
Die finiten Differenzen für den eindimensionalen Fall
Wie in Abb. 3.2 gezeigt, wird eine eindimensionale Wellenfunktion in n Punkte geteilt. Man
erhält ein n-dimensionales Gleichungssystem, welches man mit einem Rechenprogramm lösen
kann.
f0
f1
f2
f3
fn−1 fn
fn+1
-
Abbildung 3.2: Maschen für die finiten Differenzen im eindimensionalen Fall
Das Gleichungssystem einer gewöhnlichen Differentialgleichung 1. Ordnung ((∂x + C)f (x) = 0)
lautet zum Beispiel:

 
f2
f0 
0
...
...
0
Cf1 − 2h
− 2h
 f1

f
...
0  
0 
 − 2h Cf2 − 2h3


 
f2
f4

 0
− 2h Cf3 − 2h
...
0 = 0 
(3.10)
,
 .
.. 
..
..
..
.. 
..
 .
 


.
.
.
.
.
. 
 .
0
...
...
0
− fn−1
2h
Cfn
fn+1
2h
wobei der linke Nachbar des ersten Wertes f1 und der rechte Nachbar des letzten Wertes fn
durch die Randwerte f0 und fn+1 ersetzt werden. Im zweidimensionalen Fall (Nx Unterteilungen
in x-Richtung und Ny Unterteilungen in y-Richtung) wird die Dimension des Gleichungssystems
Nx × Ny .
Dirichlet-Bedingung
Die Wellenfunktion außerhalb des betrachteten Bereichs wird 0 gesetzt:
f0 = 0, fn+1 = 0;
(3.11)
Neumann-Bedingung
Die Normalableitung der Wellenfunktion am Rand des betrachteten Bereichs wird 0 gesetzt,
d.h. die Terme der Gl. (3.8) werden durch die gewünschten Werte der Steigung ersetzt.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
3.1.1
14
Die semivektorielle Methode der finiten Differenzen (SV-FDM)
∂
Nachdem man Gl. (2.16) auflöst und ∂z
= −jβ verwendet und die Gleichung nach der x- und
y-Komponente separiert, erhält man folgende Gleichungen:
∂
1 ∂εr
∂ 2 Ex
∂
1 ∂εr
∂ 2 Ex
2
2
+
+ (k0 εr − β )Ex +
(3.12)
Ex +
Ey = 0,
∂x2
∂x εr ∂x
∂y 2
∂x εr ∂y
und
∂ 2 Ey
∂ 2 Ey
∂
+
+
2
2
∂x
∂y
∂y
1 ∂εr
Ey
εr ∂y
+
(k02 εr
∂
− β )Ey +
∂y
2
1 ∂εr
Ex
εr ∂x
= 0.
(3.13)
Analog können wir ausgehend von (2.17) für die magnetische Feldstärke vorgehen. Wir erhalten
∂ 2 Hx ∂ 2 H x
1 ∂εr ∂Hx
1 ∂εr ∂Hy
+
−
+ (k02 εr − β 2 )Hx +
=0
2
2
∂x
∂y
εr ∂y ∂y
εr ∂y ∂x
(3.14)
∂ 2 Hy
∂ 2 Hy
1 ∂εr ∂Hy
1 ∂εr ∂Hx
−
+
+ (k02 εr − β 2 )Hy +
= 0.
2
2
∂x
εr ∂x ∂x
∂y
εr ∂x ∂y
(3.15)
und
Die jeweils letzten Terme in (3.12) - (3.15) vor dem Gleichheitszeichen berücksichtigen die gegenseitige Beeinflussung zwischen der x-gerichteten und der y-gerichteten Feldstärke. Dieser
Term ist üblicherweise sehr klein. Vernachlässigt man diesen, kann man die Gleichungen für die
x- und y-gerichtete Feldstärken vollständig trennen. Man spricht dann von der semivektoriellen Wellengleichung. Die numerische Lösung mit Hilfe der finiten Differenzen nennt man die
semivektorielle finite-Differenzen Methode SV-FDM.
Wie man zu Ausdrücken für die Methode der finiten Differenzen kommt, wird am Beispiel
der elektrischen Feldstärke in x-Richtung Ex gezeigt. Für alle anderen Feldkomponenten wird
lediglich die Lösung angegeben.
(p, q − 1)
hy
hx
(p − 1, q)
hx
(p, q)
(p − 1, q)
hy
(p, q + 1)
Abbildung 3.3: Diskretisierung für die Methode der finiten Differenzen
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
15
Quasi TE-Modus, Ex -Repräsentation Mit den Definitionen in Abb. 3.3 werden die Funktionswerte der elektrischen Feldkomponente an den korrespondierenden Punkten durch
Ep,q
Ep+1,q
Ep−1,q
Ep,q+1
Ep,q−1
=
=
=
=
=
E(xp , yq )
E(xp+1 , yq )
E(xp−1 , yq )
E(xp , yq+1 )
E(xp , yq−1 )
ausgedrückt.
Wie in (3.12) in semivektorieller Form,
∂ 2 Ex
1 ∂εr
∂ 2 Ex
∂
+
+
E
+ (k02 εr − β 2 )Ex = 0,
x
∂x2
∂x εr ∂x
∂y 2
(3.16)
(3.17)
durch finite-Differenzen Approximationen ersetzt werden kann, wird für die einzelnen Terme
erklärt.
Unter Verwendung von (3.9) können die zweite x-Ableitung der elektrischen Feldstärke durch
∂ 2 Ex
1
= 2 · (Ep+1,q + Ep−1,q − 2Ep,q ) ,
2
∂x
hx
(3.18)
und die zweite y-Ableitung der elektrischen Feldstärke durch
∂ 2 Ex
1
= 2 · (Ep,q+1 + Ep,q−1 − 2Ep,q )
2
∂y
hy
(3.19)
ersetzt werden.
Um einen Ausdruck für den zweiten Term in (3.17) zu erhalten, halbieren wir vorerst die
Abstände und erhalten unter verwendung von (3.8)
Ep−1/2,q = E(xp , yq )
εr (p −1/2, q) = 21 [εr (p, q) + εr (p − 1, q)]
∂εr = h1x [εr (p, q) − εr (p − 1, q)] .
∂x (3.20)
p−1/2,q
Damit können wir
1 ∂εr E
εr ∂x =
p−1/2,q
1 εr (p, q) − εr (p − 1, q)
(Ep,q + Ep−1,q )
hx εr (p, q) + εr (p − 1, q)
(3.21)
ableiten und erhalten schließlich
∂
∂x
1 ∂εr
E
εr ∂x
"
2 1 εr (p + 1, q) − εr (p, q)
= 2
(Ep+1,q + Ep,q )
hx hx εr (p + 1, q) + εr (p, q)
1 εr (p, q) − εr (p − 1, q)
−
(Ep,q + Ep−1,q ) .
hx εr (p, q) + εr (p − 1, q)
(3.22)
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
16
Eingesetzt in (3.17) können wir Ausdrücke für die finiten Differenzen für das x-gerichtete elektrische Feld anschreiben:
2εr (p − 1, q)
2εr (p + 1, q)
1
1
Ep−1,q + 2
Ep+1,q
2
hx εr (p, q) + εr (p − 1, q)
hx εr (p, q) + εr (p + 1, q)
2
1 εr (p, q) − εr (p − 1, q)
1 εr (p, q) − εr (p + 1, q)
+ − 2 − 2
Ep,q
− 2
hx hx εr (p, q) + εr (p − 1, q) hx εr (p, q) + εr (p + 1, q)
1
1
1
+ 2 Ep,q−1 + 2 Ep,q+1 − 2 Ep,q + k02 εr (p, q) − β 2 Ep,q = 0,
hy
hy
hy
(3.23)
αw Ep−1,q + αe Ep+1,q + αn Ep,q−1 + αs Ep,q+1
+(αx + αy )Ep,q + k02 εr (p, q) − β 2 Ep,q = 0,
(3.24)
bzw.
mit den Abkürzungen
αw =
2εr (p−1,q)
1
,
h2x εr (p,q)+εr (p−1,q)
αe =
2εr (p+1,q)
1
,
h2x εr (p,q)+εr (p+1,q)
αn =
1
,
h2y
αs =
1
,
h2y
(3.25)
αx = − h22 −
x
1 εr (p,q)−εr (p−1,q)
h2x εr (p,q)+εr (p−1,q)
r (p+1,q)
− h12 εεrr (p,q)−ε
(p,q)+εr (p+1,q)
x
= − h42 + αe + αw ,
x
αy =
− h22
y
Quasi TE-Modus, Hy -Repräsentation
= −αn − αs .
Von (3.15) in semivektorieller Form
∂ 2 Hy
∂ 2 Hy
1 ∂εr ∂Hy
−
+
+ (k02 εr − β 2 )Hy = 0,
∂x2
εr ∂x ∂x
∂y 2
(3.26)
können wir finite-Differenzen Ausdrücke für die y-gerichtete magnetische Feldstärke herleiten.
αw Ep−1,q + αe Ep+1,q + αn Ep,q−1 + αs Ep,q+1
+(αx + αy )Ep,q + k02 εr (p, q) − β 2 Ep,q = 0,
(3.27)
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
17
mit
αw =
2εr (p,q)
1
,
h2x εr (p,q)+εr (p−1,q)
αe =
2εr (p,q)
1
,
h2x εr (p,q)+εr (p+1,q)
αn =
1
,
h2y
αs =
1
,
h2y
αx =
− h12
x
−
− h12
2εr (p,q)
εr (p,q)+εr (p+1,q)
x
(3.28)
2εr (p,q)
1
h2x εr (p,q)+εr (p−1,q)
= −αe − αw ,
αy = − h22 = −αn − αs .
y
Quasi TM-Modus, Ey -Repräsentation Für die Ausdrücke für die y-gerichtete elektrische
Feldstärke im quasi TM-Modus gehen wir von (3.13) aus:
∂ 2 Ey
∂ 2 Ey
1 ∂εr
∂
2
2
+
+
E
(3.29)
y + (k0 εr − β )Ey = 0.
∂x2
∂y 2
∂y εr ∂y
Und erhalten
αw Hp−1,q + αe Hp+1,q + αn Hp,q−1 + αs Hp,q+1
+(αx + αy )Hp,q + k02 εr (p, q) − β 2 Hp,q = 0,
(3.30)
mit
αw =
1
,
h2x
αe =
1
,
h2x
αn =
2εr (p,q−1)
1
,
h2y εr (p,q)+εr (p,q−1)
αs =
2εr (p,q+1)
1
,
h2y εr (p,q)+εr (p,q+1)
αx =
− h22
x
= −αe − αw ,
αy = − h22 −
y
1 εr (p,q)−εr (p,q−1)
h2y εr (p,q)+εr (p,q−1)
r (p,q+1)
− h12 εεrr (p,q)−ε
(p,q)+εr (p,q+1)
y
=
− h42
y
+ αn + αs .
(3.31)
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
Quasi TM-Modus, Hx -Repräsentation
Feldstärke von (3.14) aus:
18
Analog gehen wir für die x-gerichtete magnetische
αw Hp−1,q + αe Hp+1,q + αn Hp,q−1 + αs Hp,q+1
+(αx + αy )Hp,q + k02 εr (p, q) − β 2 Hp,q = 0,
(3.32)
1 ∂εr ∂Hx
∂ 2 H x ∂ 2 Hx
+
−
+ (k02 εr − β 2 )Hx = 0,
∂x2
∂y 2
εr ∂y ∂y
(3.33)
mit
αw =
1
,
h2x
αe =
1
,
h2x
αn =
2εr (p,q)
1
,
h2y εr (p,q)+εr (p,q−1)
αs =
2εr (p,q)
1
,
h2y εr (p,q)+εr (p,q+1)
αx =
− h22
x
(3.34)
= −αe − αw ,
2εr (p,q)
αy = − h12 εr (p,q)+ε
r (p,q−1)
y
2εr (p,q)
− h12 εr (p,q)+ε
r (p,q+1)
y
= −αn − αs .
3.1.2
Die skalare Methode der finiten Differenzen (SC-FDM)
Schreiben wir die Helmholtz-Gleichung (2.20) nochmal aufgelöst nach der x- und y-Ableitung
an:
∂2Φ ∂2Φ
+
+ (k 2 − β 2 )Φ = ∇2⊥ Φ + k02 (εr − neff )Φ = 0.
∂x2
∂y 2
(3.35)
Durch Anwenden der Differenzenapproximationen (3.8) und (3.9) erhalten wir
αw Φp−1,q + αe Φp+1,q + αn Φp,q−1 + αs Φp,q+1
+(αx + αy )Φp,q + k02 εr (p, q) − β 2 Φp,q = 0,
(3.36)
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
19
mit
αw =
1
,
h2x
αe =
1
,
h2x
αn =
1
,
h2y
αs =
1
,
h2y
(3.37)
αx = − h22 = −αe − αs ,
x
αy =
3.2
− h22
y
= −αn − αs .
Programmierung in Matlab
Wie man die semivektorielle Methode der finiten Differenzen für die Lösung von Wellengleichungen einsetzen kann, wird für den Quasi TE-Modus gezeigt. Auf die Herleitung für den Quasi
TM-Modus wird nicht eingegangen, sie erfolgt analog. Um die Gleichungen mit Hilfe der Methode der finiten Differenzen zu lösen, werden diese in eine Eigenwertaufgabe übergeführt. Für
Eigenwertberechnungen stehen leistungsvolle Werkzeuge in Matlab zur Verfügung.
Maschen für die finiten Differenzen
2Ny + 1
Ny + 1
1
(Nx − 2)Ny + 1
(Nx − 1)Ny + 1
2
(Nx − 1)Ny + 2
3
(Nx − 1)Ny + 3
Ny − 2
Nx Ny − 2
Ny − 1
Nx Ny − 1
Ny
Nx Ny
2My 3My
(Nx − 1)My
Abbildung 3.4: Maschen für die finiten Differenzen im zweidimensionalen Fall.
Zunächst wird das Gebiet, in dem die Berechnung durchgeführt werden soll, diskretisiert. Wir
verwenden dazu einen quadratischen Raster mit äquidistanten Abständen, siehe Abb. 3.4. Um
ein Gleichungssystem zu erstellen, werden diese Punkte in einen Vektor Φ gebracht. Der Zusammenhang des Index in diesem Vektor, r, zu den Indizes im Raster ist folgendermaßen erklärt,
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
20
wenn (p, q) die Indizierung in x−, bzw. y−Richtung ist:
r = (p − 1)Ny + q.
(3.38)
Um zu einer Eigenwertaufgabe zu kommen, schreiben wir (3.24) anders an,
αw Φp−1,q p, q + αe Φp+1,q + αn Φp,q−1 + αs Φp,q+1
+(αx + αy )Φp,q + k02 εr (p, q)Φp,q = β 2 Φp,q ,
(3.39)
wobei man erkennen kann, dass es sich um eine Eigenwertgleichung handelt:
AΦ = β 2 Φ,
(3.40)
mit dem Eigenvektor Φ und dem Eigenwert β 2 .
Da der Wert eines beliebigen Punktes im Gebiet von den Werten von vier Nachbarpunkten
abhängt, wird die globale Matrix A eine Hauptdiagonale und vier Nebendiagonalen aufweisen
und daher folgende Form haben:


a1,1
a1,2 0 . . . 0 a1,1+Ny
0...

 a2,1
a2,2
a3,3
0...0
a2,2+NY 0 . . .




.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.



 ..
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.


A=
ar,r
ar,r+1 0 . . . 0 ar,r+Ny 0 . . . 

 ar,r−Ny 0 . . . 0 ar,r−1


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

. 
.
.
.
.




.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
. . . 0 aN,N −Ny
0...
0
aN,N −1 aN,N
Den Elementen der globalen Matrix sind folgende Werte zu geben:
αw
αe
αn
αs
2
αx + αy + k0 εr (p, q)
=
=
=
=
=
ar,r−N y ,
ar,r+N y ,
ar,r−1 ,
ar,r+1 ,
ar,r .
(3.41)
Löst man dieses Eigenwertproblem zum Beispiel in Matlab mit
[u,d] = eigs(H,moden,sigma,opts);
werden die Eigenvektoren u und Eigenwerte d der Matrix H auf iterative Weise berechnet. Mit
moden werden dabei die Anzahl der Eigenwerte festgelegt. sigma ist ein Parameter, der festlegt,
nach welchen Eigenwerten gesucht werden soll, zum Beispiel nach den Eigenwerten mit dem
höchsten Betrag bei symmetrischen Matrizen (SC-FDM) oder nach solchen mit dem höchsten
Realteil bei nicht symmetrischen Matrizen (SV-FDM). In der Variable opts können verschiedene
Optionen bei der Eigenwertberechnung vorgegeben werden, wie zum Beispiel Toleranz oder
maximale Anzahl der Iterationsschritte.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
21
Die Eigenvektoren stellen Feldverteilungen der verschiedenen Moden, die Eigenwerte das Quadrat der Ausbreitungskonstante des jeweiligen Modus dar. Nachdem man einen Eigenwert gefunden hat, wird daraus die normierte Ausbreitungskonstante mit
s
β 2 − k02 n22
B=
,
(3.42)
k02 n21 − k02 n22
berechnet und ein gefundener Eigenvektor zur Visualisierung wieder in eine Matrix mit
ms = reshape(u(:,i),nxy(1),nxy(2));
gebracht. Dabei sind nxy(1) und nxy(2) die Anzahl der Berechnungspunkte in x- bzw. yRichtung (in diesem Programm immer gleich) und i der Index des jeweiligen Modus. Danach
wird der Vektor normiert, sodass zum Beispiel das Maximum 1 ist.
3.3
Abschätzung der Grenzen der Genauigkeit des Programms
Es wurden Vergleiche an einem Wellenleiter angestellt, für den eine Lösung existiert, die beliebig
genau berechnet werden kann. Es wurde daher ein Wellenleiter mit zirkulärsymmetrischem Kern
gewählt. Für die jeweiligen Berechnungen wird das Dispersionsdiagramm für die exakte Lösung
gezeigt und mit dem der FDM verglichen.
3.3.1
Vergleich der skalaren Methode der finiten Differenzen mit einer exakten Lösung
Für die Berechnungen wurde einheitlich ein Bereich von 50 µm × 50 µm gewählt und der Wellenleiterkern in die Mitte gesetzt. Die x- und y- Achse wurden in gleich große Teile unterteilt.
Die Anzahl der Gesamtpunkte steigt somit quadratisch mit der Anzahl der Punkte in einer
Richtung. Die Anzahl der Elemente in der Matrix des Programms steigt wiederum quadratisch
mit dieser. Simulationen mit hohen Auflösungen dauern daher extrem lange bzw. sind sie mit
unzureichendem Hauptspeicher unmöglich durchzuführen.
Erhöht man die Abmessungen des Kerns, erhöht sich zwar die Anzahl der Berechnungspunkte
im Kern, sodass das Feld im Kern exakter berechnet werden kann, der Mantel wird jedoch relativ zum Kern kleiner. Das Feld breitet sich somit eher bis an den Rand der Berechnungsfläche
aus. Zweifelsfrei wird sich das Ergebnis in der Nähe von Cut-Off Frequenzen verbessern, wenn
man den Kerndurchmesser kleiner wählt, da dort das Feld bis weit in den Mantel eindringt.
Die Annahme des unendlich weit ausgedehnten Mantels wird dann besser genähert. In Bereichen allerdings, wo das Feld stark im Kern konzentriert ist, das entspricht höheren Werten der
normierten Frequenz, bleiben dann nur wenige Punkte für die Berechnung des Feldes im Kern.1
Diese Tatsache wird sich bei höheren Moden besonders stark auswirken, da man dort starke
Änderungen des Feldes im Kern erwarten muss.
Es sind somit zwei Fragen zu klären:
1
Für das numerische Berechnungsprogramm spielt es keine Rolle, wie groß der absolute Kerndurchmesser
ist, da man mit normierten Frequenzen arbeitet, in der Praxis würde das sehr wohl eine Rolle spielen, da die
absolute Frequenz z.B. bei kleinerem Durchmesser erhöht werden müsste. Man käme in einen Bereich, in dem
die Materialeigenschaften sich stark ändern.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
22
• Ab welcher Auflösung gibt es keine wesentliche Verbesserung mehr?
• Welcher Kerndurchmesser liefert die genauesten Ergebnisse?
Der Vergleich wurde an einem Wellenleiter durchgeführt, für den eine Lösung existiert, die
man exakt berechnen kann. Es wurde daher eine zirkulärsymmetrische Stufenindexfaser mit
schwacher Führung gewählt. Dabei ist die transzendente Gleichung
√ √
K
V B
√
m−1
√
Jm−1 V 1 − B
√ =− B
√
(3.43)
1−B
Jm V 1 − B
Km V B
zu lösen. Dies ist zwar nur auf numerische Weise durchführbar, kann aber beliebig genau berechnet werden. Solche Berechnungen wurden mit Matlab durchgeführt. Es wurde dann ein
Dispersionsdiagramm gezeichnet, welches gut mit den Ergebnissen aus der Berechnung mit der
Methode der finiten Differenzen verglichen werden kann. Abbildung 3.5 beispielsweise zeigt ein
solches Dispersionsdiagramm.
Normierte Ausbreitungskonstante B →
1
LP01
0.9
LP11
0.8
LP21
LP02
0.7
LP31
LP12
0.6
LP41
0.5
LP22
LP03
LP51
0.4
0.3
LP32
LP61
LP13
0.2
0.1
0
0
LP42
2
4
6
Normierte Frequenz V →
8
10
Abbildung 3.5: Numerische Lösung der transzendenten Gleichung für Stufenindexwellenleiter
mit zirkulärsymmetrischem Kern, Näherung für schwache Führung.
In Abb. 3.6 sind das Ergebnis der exakten Lösung, sowie die Ergebnisse der Methode der finiten
Differenzen mit verschiedenen Auflösungen aufgetragen. Man erkennt, dass das Programm bereits bei einer Teilung der x- und y-Achse in jeweils 400 Punkte sehr genaue Ergebnisse liefert,
während die Linien bei 500 × 500 Punkten praktisch schon ident mit der exakten Lösung sind.
Für die Berechnung eines Dispersionsdiagramms, wie es beispielsweise in Abb. 3.5 zu sehen ist,
mit einer Auflösung von 500 × 500 Punkten, benötigte der Rechner mit 2,4 Ghz Taktfrequenz
etwa 2 Tage.
Es wurden Simulationen mit verschiedenen Kerndurchmessern und konstanter Berechnungsfläche durchgeführt. In Abb. 3.8 erkennt man, dass das Ergebnis jener Simulation mit dem
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
Normierte Ausbreitungskonstante B →
1
0.9
0.8
Numerische Loesung
f.D. 300Pt., ρ = 3µm
f.D. 400Pt., ρ = 3µm
f.D. 500Pt., ρ = 3µm
23
LP01
LP11
0.7
0.6
0.5
LP21
0.4
LP02
0.3
0.2
LP31
0.1
LP12
0
0
1
2
3
4
Normierte Frequenz V →
5
6
Abbildung 3.6: Vergleich der Ergebnisse der Methode der finiten Differenzen mit verschiedenen
Auflösungen mit der exakten Lösung. Es wurde mit einem Kerndurchmesser von ρ = 3 µm
gerechnet.
Normierte Ausbreitungskonstante B →
1
0.9
0.8
Exakte Loesung
f.D. 400Pt., ρ = 6 µm
f.D. 400Pt., ρ = 3 µm
f.D. 400Pt., ρ = 1,5 µm
LP01
LP11
0.7
0.6
0.5
LP21
0.4
LP02
0.3
0.2
LP31
0.1
LP12
0
0
1
2
3
4
Normierte Frequenz V →
5
6
Abbildung 3.7: Vergleich der Ergebnisse der Methode der finiten Differenzen mit der exakten
Lösung von verschiedenen Kerndurchmessern. Die Anzahl der Berechnungspunkte wurde mit
400×400 und der berechnete Bereich mit 50 µm × 50 µm konstant gehalten.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
Normierte Ausbreitungskonstante B →
0.04
0.035
0.03
24
Exakte Loesung
f.D. 400Pt., ρ = 6 µm
f.D. 400Pt., ρ = 3 µm
f.D. 400Pt., ρ = 1,5 µm
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
Normierte Frequenz V →
0.95
1
Abbildung 3.8: Vergrößerung des Ausschnittes des Bereichs, wo B des Grundmodus sehr kleine
Werte annimmt. Das Feld breitet sich hier weit in den Mantel aus.
kleinsten Kerndurchmesser, also mit größtem Bereich im Mantel, mit der exakten Berechnung
am besten übereinstimmen. Dies gilt an den Stellen, wo die Linien in die Nähe von Null gehen.
Allerdings sieht man in der Abb. 3.7, dass dabei das Ergebnis dieser Simulation bei höheren Moden nicht mehr so genau ist. Optimal scheint daher ein Wert zwischen 1, 5 µm und 3 µm zu sein.
Die Anzahl der Berechnungspunkte wurde auf 400 × 400 festgelegt, da bei höheren Auflösungen
dieser Effekt kaum mehr feststellbar ist.
3.3.2
Vergleich der semivektoriellen Methode der finiten Differenzen mit
einer exakten Lösung
Bei der SC-FDM wird in (3.12) sowohl der letzte Term vor dem Gleichheitszeichen als auch
der zweite Term vernachlässigt. Dieser zweite Term ist von der Änderung der transversalen
Brechungsindexverteilung abhängig. Bei geringen transversalen Änderungen des Wertes von εr
wird diese Methode ausreichend genaue Ergebnisse liefern. Mit dieser Gleichung ist allerdings
nicht unterscheidbar, wie das Feld polarisiert ist und ob TE oder TM Bedingungen vorliegen;
die Felder bekommen TEM-Charakter.
Die semivektorielle Methode der finiten Differenzen berücksichtigt hingegen den 2. Term in
(3.12), nicht aber den letzten Term vor dem Gleichheitszeichen, welcher die gegenseitige Beeinflussung zwischen der x-gerichteten elektrischen Feldstärke Ex und der y-gerichteten elektrischen
Feldstärke Ey beschreibt. Demnach kann man mit dieser Methode zwar die Polarisation der Wellen berücksichtigen, man kann jedoch mit dieser Methode nur Berechnungen durchführen, bei
denen die Feldlinien annähernd parallel sind.
Um die Genauigkeit des Programms der SV-FDM zu testen, wurde wiederum ein Vergleich
mit einem zirkulärsymmetrischen Stufenindex-Wellenleiter durchgeführt. Für TM- bzw. TEBedingungen sind die Gleichungen (2.36), bzw. (2.37) zu lösen, was auf numerische Weise belie-
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
25
big genau erfolgen kann. Abbildung 3.9 zeigt das Ergebnis für den Grundmodus, verglichen mit
der SV-FDM. Es wurde ein sehr hoher Brechungsindexunterschied gewählt, um das Verhalten
gut sichtbar zu machen. Es ist bereits der Fehler, den die SV-FDM durch die oben erwähnte
Vernachlässigung liefert, zu erkennen. Das Ergebnis für den Grundmodus weicht (bei diesem
sehr hohen Brechungsindexunterschied) deutlich von dem Ergebnis der exakten Lösung ab.
Normierte Ausbreitungskonstante B →
1
LP01
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
Exakte Loesung TE
Exakte Loesung TM
SV−FDM TE
SV−FDM TM
0.2
0.1
0
0
2
4
6
Normierte Frequenz V →
8
10
Abbildung 3.9: Exakte Lösung verglichen mit der semivektoriellen Methode der finiten Differenzen für einen zylindrischen Wellenleiter mit ∆ = 0,3.
Betrachtet man nur die Differenz zwischen dem TE- und TM-Modus, was in der Praxis oft
genügt, stellt man fest, dass auch diese einen erheblichen Fehler aufweist (siehe Abb. 3.10).
Aus diesem Grund wurde eine Abschätzung durchgeführt, die zeigen sollte, bis zu welchem
transversalen Brechungsindexunterschieden die SV-FDM noch ausreichend genaue Ergebnisse
liefert. Dazu wurden der relative Fehler des Grundmodus als TE-Welle und TM-Welle sowie
die Differenz der TE- und TM-Wellen berechnet und über ∆ iteriert. Abbildung 3.11 zeigt das
Ergebnis. Bis zu einem relativen Brechungsindexunterschied von wenigen Prozent liefert das
Programm akzeptabel genaue Ergebnisse.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
0.35
Differenz (TM − TE) Exakte Loesung
Differenz (TM − TE) SV−FDM
0.3
Differenz B(TM) − B(TE) →
26
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
Normierte Frequenz V →
8
10
Relativer Fehler der normierten Ausbreitungskonstante B →
Abbildung 3.10: Doppelbrechung: Differenz zwischen TE- und TM-Modus des Grundmodus
eines zylindrischen Wellenleiters mit ∆ = 0,3, Vergleich der exakten Lösung mit der SV-FDM.
0.7
0.6
rel. Fehler [B(TM) − B(TE)]
rel. Fehler [B(TE)]
rel. Fehler [B(TM)]
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 −3
10
−2
−1
10
10
Relativer Brechungsindexunterschied ∆ →
Abbildung 3.11: Relativer Fehler der SV-FDM in Abhängigkeit des relativen Brechungsindexunterschiedes.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
3.4
27
Berechnung der transversalen Feldverteilung
Wie mit Hilfe von Matlab die transversale Abhängigkeit des Betrags der Transversalkomponente der elektrischen Feldstärke berechnet werden kann, ist in einem Flussdiagramm in Abb. 3.12
angedeutet. Bei der Berechnung und Darstellung der transversalen Feldverteilung werden Eigenvektoren der globalen Matrix H ausgewertet. Diese Eigenvektoren entsprechen den möglichen Feldverteilungen. Zur Darstellung werden sie in eine Matrix gebracht und beispielsweise
so normiert, dass das Maximum gleich 1 ist. Wesentlich dabei ist, dass die Eigenvektoren den
Feldverteilungen der verschiedenen Moden entsprechen.
Beispiele von Feldverteilungen sind in Abb. 3.13, bzw. in Abb. 3.14 als Konturplot zu sehen. Der
Berechnungsbereich beträgt 50 µm × 50 µm, dargestellt wird der Ausschnitt mit 10 µm × 10 µm
um den Kern. Es wurde mit 500 × 500 Punkten gerechnet.
Parameter einlesen
transversale Brechungsindexverteilung berechnen → n(x, y)
Wellenlänge λ aus V berechnen
aus Brechungsindexverteilung die α-Vektoren berechnen
aus den α-Vektoren die globale Matrix H aufbauen
Eigenwerte und Eigenvektoren von H berechnen
Eigenvektoren für die Darstellung in eine Matrix transformieren
Eigenvektoren so normieren, dass das Feldstärkemaximum 1 ist
Ergebnis darstellen
Abbildung 3.12: Flussdiagramm zur Berechnung der transversalen Feldverteilung.
0
−1
10
0
−10
0
−1
10
0
y [µm] −10
−10
0
−1
10
y [µm] −10
−10
0
x [µm]
10
−10
10
0
x [µm]
HE12
1
0
−1
10
0
y [µm] −10
HE22
0
0
10
0
x [µm]
1
0
−1
10
y [µm] −10
HE31
1
28
HE21
1
10
0
x [µm]
E/max(|E|)
E/max(|E|)
y [µm] −10
E/max(|E|)
E/max(|E|)
HE11
1
E/max(|E|)
E/max(|E|)
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
−10
10
0
x [µm]
HE41
1
0
−1
10
0
y [µm] −10
−10
0
x [µm]
10
Abbildung 3.13: Darstellung der transversalen elektrischen Feldstärke verschiedener Moden eines
elliptischen Stufenindexwellenleiters im Bereich des Wellenleiterkerns. Die Abmessungen des
Kerns sind 2a = 8 µm, 2b = 4 µm und V = 3,2.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
10
HE11
0
−10
−10
−5
0
x [µm]
5
y [µm]
y [µm]
10
−5
0
x [µm]
5
y [µm]
y [µm]
0
−5
0
x [µm]
5
10
HE12
0
−10
−10
10
−5
0
x [µm]
5
10
10
HE22
0
−5
0
x [µm]
5
10
y [µm]
10
y [µm]
0
10
HE31
−10
−10
HE21
−10
−10
10
10
−10
−10
29
HE41
0
−10
−10
−5
0
x [µm]
5
10
Abbildung 3.14: Konturplot der transversalen elektrischen Feldstärke verschiedener Moden eines
elliptischen Stufenindexwellenleiters im Bereich des Wellenleiterkerns. Die Abmessungen des
Kerns sind 2a = 8 µm, 2b = 4 µm und V = 3,2. Dieses Bild entspricht einer zweidimensionalen
Darstallung von Abb. 3.13.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
3.5
30
Berechnung des Dispersionsdiagramms
In Abb. 3.16 ist angedeutet, wie das Programm für die Berechnung von Dispersionsdiagrammen
in Matlab programmiert wurde. Da die Eigenwerte dem Quadrat der Ausbreitungskonstante β
entsprechen, werden diese ausgewertet. Die Eigenvektoren, die der transversalen Feldverteilung
entsprechen und bei der Berechnung von Matlab ohnedies auch geliefert werden, werden für
die Bestimmung der Moden herangezogen. Dies erfolgt, indem die Intensitätsmaxima in x- und
y-Richtung bei rechteckigen oder elliptischen Wellenleitern gezählt werden. Bei zirkulärsymmetrischen Wellenleitern wird die Anuzahl der Maxima in radialer und azimutaler Richtung gezählt
(siehe Abb. 3.15). Bei zirkulärsymmetrischem Kern ist noch zu beachten, dass die Anzahl der
Intensitätsmaxima in azimutaler Richtung durch zwei geteilt wird.
y
6
y
s
6
6
-x
-x
-
Abbildung 3.15: Skizze der Modenbestimmung in Matlab. Die Kreise deuten Bereiche mit Intensitäsmaxima an. Im Beispiel links ein HE42 - Modus und rechts ein LP42 - Modus.
In Matlab kann bei der Eigenwertberechnung durch einen Parameter die Anzahl der zu berechnenden Eigenwerte und -vektoren, welche der Anzahl der Moden entspricht, angegeben werden.
Wie man in Abb. 3.16 sieht, wird die Anzahl der zu berechnenden Moden vorerst auf eins belassen. Der Grund dafür ist folgender: Bei einem bestimmten Wert der normierten Frequenz ist
bei ausbreitungsfähigen Moden das Feld stark auf den Kern konzentriert und der größte Teil
des Feldes in der für die Berechnung zugrunde gelegten Fläche ist somit annähernd null. Das
Programm liefert nach relativ wenigen Iterationsschritten ein Ergebnis. Werden hingegen auch
nicht ausbreitungsfähige Moden2 , bei denen sich das Feld sehr weit in den Mantel erstreckt,
berechnet, dauert es sehr lange, bis ein Ergebnis vorliegt. Erst wenn der Modus mit dem geringsten Wert von B ausbreitungsfähig ist, wird die Anzahl der zu berechnenden Moden erhöht.
Die gesamte Rechenzeit kann durch diese Maßnahme stark reduziert werden.
2
Diese Moden erkennt man daran, dass die normierte Ausbreitungskonstante B negativ ist. Sie sind für das
Dispersionsdiagramm nicht von Interesse.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
Parameter einlesen
transversale Brechungsindexverteilung berechnen → n(x, y)
Modenanzahl := 1
normierte Frequenz V wird über den Berechnungsbereich iteriert
Wellenlänge λ aus V berechnen
aus Brechungsindexverteilung und λ die α-Vektoren berechnen
aus den α-Vektoren die globale Matrix H aufbauen
Eigenwerte und Eigenvektoren von H berechnen
aus Eigenwert normierte Ausbreitungskonstante B berechnen
Anhand des Eigenvektors Modus bestimmen und zugehöriges B zuordnen
wenn der Modus mit dem geringsten B ausbreitungsfähig (B > 0) ist, Modenanzahl erhöhen
alle Ergebnisse zwischenspeichern
Ergebnis darstellen
Abbildung 3.16: Flussdiagramm zur Berechnung von Dispersionsdiagrammen.
31
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
3.6
32
Berechnung der Grenzfrequenz des HE21 -Modus eines elliptischen Wellenleiters in Abhängigkeit von der Elliptizität
Bei der Berechnung der Grenzfrequenz des ersten höheren Modus nach dem Grundmodus wurde
die Elliptizität lt. Abb. 3.17 über den gewünschten Bereich iteriert. Bei jedem Wert wurde in
einer zweiten Schleife die normierte Frequenz auf approximative Weise erhöht bzw. erniedrigt,
je nachdem, ob der HE21 -Modus ausbreitungsfähig ist oder nicht. Da dieses Verfahren mit
sehr vielen Durchläufen und somit mit vielen Berechnungen verbunden ist, stellt es die höchste
Anforderung an die Rechenzeit.
Parameter einlesen
transversale Brechungsindexverteilung berechnen → n(x, y)
Startwert für V festlegen
die Elliptizität wird über den Berechnungsbereich iteriert
Korrekturwert für die Normierte Frequenz V wird über den angegebenen Bereich erniedrigt
Wellenlänge λ aus V berechnen
aus Brechungsindexverteilung und λ die α-Vektoren berechnen
aus den α-Vektoren die globale Matrix H aufbauen
Eigenwerte und Eigenvektoren von H berechnen
aus Eigenwert normierte Ausbreitungskonstante B berechnen
Ist B von HE21 positiv?
ja
V um Korrekturwert erniedrigen
nein
V um Korrekturwert erhöhen
alle Ergebnisse zwischenspeichern
Ergebnis darstellen
Abbildung 3.17: Flussdiagramm zur Berechnung der Grenzwellenlänge des HE21 -Modus.
Wie bereits besprochen, ist die gängigste Definition der normierten Frequenz in der Literatur
(z.B. [5], [11]) bei elliptischen Wellenleitern jene, welche die kleinere Abmessung als Bezuglänge
verwendet,
q
2πb
n21 − n22 .
(3.44)
V =
λ
Die Simulationen mit elliptischen Wellenleitern wurden fast alle mit dieser Normierung durchgeführt.
Dass mit dieser Definition die Grenzfrequenz des ersten höheren Modus mit steigender Elliptizität sinkt (siehe Abb. 3.21), ist einfach zu erklären: Zieht man b als Bezugslänge zur Normierung
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
33
heran, verhält sich eine Erhöhung der Elliptizität so, als würde b konstant gehalten werden und
a steigen (siehe Abb. 3.18). Somit erhöht sich die Fläche des Kerns. Wellen mit höheren Wellenlängen können sich besser ausbreiten.
Denkbar sind aber auch andere Normierungen, zum Beispiel in [13] auf a; in diesem Fall sinkt
b bei Erhöhung der Elliptizität (siehe Abb. 3.19), die Fläche wird geringer, die Grenzfrequenz
steigt.
q
2πa
(3.45)
V =
n21 − n22 ,
λ
√
Eine weitere Möglichkeit ist die Normierung auf ab, dem geometrischen Mittel,
√ q
2π ab
(3.46)
V =
n21 − n22 ,
λ
ähnlich wie in [14] (siehe auch (2.28)):
V =
√
2π
aeff neff 2∆.
λ
(3.47)
Diese Normierung ruft bei Erhöhung der Elliptizität ein Verhalten hervor, als würde die Fläche
des Kerns konstant gehalten werden, da die Fläche einer Ellipse
A = πab
(3.48)
ist (siehe Abb. 3.20). Dabei wird die Grenzfrequenz auch etwas sinken, da die größte Abmessung
des Kerns steigt.
Die Ergebnisse von Simulationen mit den verschiedenen Normierungen zeigt Abb. 3.21.
y
6
6
2b
-x
-
?
2a
-
Abbildung 3.18: Zieht man zur Normierung b heran, wirkt sich eine Erhöhung der Elliptizität
so aus, als würde b konstant gehalten und a erhöht werden.
Diese Erkenntnisse zeigen, dass die Interpretation der Eigenschaften von Wellenleitern in Abhängigkeit von der Elliptizität sehr stark von der zugrundegelegten Normierung abhängt. Verwendet
man beispielsweise (3.44), sinkt die Grenzfrequenz des betrachteten Modus mit zunehmender Elliptizität scheinbar sehr stark, während sie unter Verwendung von (3.45) sogar steigt. Bei diesen
beiden Normierungen ist die physikalische Interpretation, wie gezeigt wurde, äußerst schwierig.
Verwendet man jedoch die Normierung (3.46), erhält man Ergebnisse, die für Untersuchungen
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
34
y
6
6
2b
-x
?
6
?
2a
-
Abbildung 3.19: Zieht man zur Normierung a heran, wirkt sich eine Erhöhung der Elliptizität
so aus, als würde a konstant gehalten und b verringert werden.
y
6
6
?
2b
-x
-
6
?
2a
Abbildung 3.20: Zieht man zur Normierung
Fläche konstant.
√
-
ab heran, bleibt bei Erhöhung der Elliptizität die
praktischer Anwendungen leicht zu interpretieren sind. Man denke an die Möglichkeit der Untersuchung mechanisch deformierter zirkulärer Fasern, die durch Deformation eine elliptische
Form annehmen, oder an ähnliche Anwendungen. Um leicht Vergleiche anstellen zu können,
wird daher empfohlen, stets diese Normierung zu verwenden.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
4.5
4
Vcutoff(HE21) →
3.5
35
Normierung auf b
Normierung auf √(ab)
Normierung auf a
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
2
3
4
Elliptizitaet a/b →
5
6
Abbildung 3.21: Vergleich der Grenzfrequenzen des HE21 -Modus bei verschiedenen Definitionen
der normierten Frequenz
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
3.7
36
Berechnung der Doppelbrechung
Wie die Doppelbrechung in Matlab berechnet wird, skizziert Abb. 3.22. Ein Ergebnis eines elliptischen Wellenleiters mit gaußförmigem Brechungsindexprofil zeigt Abb. 3.23. Wie in Abschnitt
3.3 bereits ausführlich diskutiert, liefert die semivektorielle Methode der finiten Differenzen, die
bei dieser Berechnung zur Anwendung kommt, bei zunehmendem ∆ sehr ungenaue Ergebnisse.
Diese Methode scheint für diese Berechnung nicht besonders geeignet zu sein, sondern vielmehr
für die Abschätzung maximal auftretender Feldstärken, beispielsweise in Halbleiterbauelementen.
Parameter einlesen
Brechungsindexverlauf berechnen → n(x, y)
Berechnungsvariable = Ex
normierte Frequenz V wird über den Berechnungsbereich iteriert
Wellenlänge λ aus V berechnen
aus Brechungsindexverteilung die Parameter α-Vektoren berechnen
aus den α-Vektoren die globale Matrix H aufbauen
Eigenwerte und Eigenvektoren von H berechnen
aus Eigenwert normierte Ausbreitungskonstante B berechnen
anhand des Eigenvektors Modus bestimmen und zugehöriges B zuordnen
alle Ergebnisse zwischenspeichern
Berechnungsvariable = Ey
Normierte Frequenz V wird über den Berechnungsbereich iteriert
Wellenlänge λ aus V berechnen
aus Brechungsindexverteilung die Parameter α-Vektoren berechnen
aus den α-Vektoren die globale Matrix H aufbauen
Eigenwerte und Eigenvektoren von H berechnen
aus Eigenwert normierte Ausbreitungskonstante B berechnen
anhand des Eigenvektors Modus bestimmen und zugehöriges B zuordnen
alle Ergebnisse zwischenspeichern
Doppelbrechung = B(Ex ) − B(Ey )
Ergebnis darstellen
Abbildung 3.22: Flussdiagramm zur Berechnung der Doppelbrechung.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
37
14
[Differenz B(Ex) − B(Ey)]*103 →
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
Normierte Frequenz V →
5
6
Abbildung 3.23: Doppelbrechung des Grundmodus eines elliptischen Wellenleiters mit
gaußförmigem Brechungsindexprofil. Die Parameter sind: ∆ = 0,05, σa /σb = 3.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
3.8
38
Berechnungsbeispiele von speziellen Wellenleiterstrukturen
An den folgenden Beispielen kann man durch einen Vergleich mit Abb. 3.5 erkennen, dass die
besten Ausbreitungseigenschaften ein zirkulärsymmetrischer Stufenindexwellenleiter hat. Bei
dieser Form steigt die normierte Ausbreitungskonstante der Moden bei Erhöhung der normierten
Frequenz am stärksten, und jede andere Form weist eine geringere Grenzfrequenz des zweiten
Modus auf.
3.8.1
Elliptische Stufenindexwellenleiter
Abbildungen 3.24 und 3.25 zeigen den transversalen Brechungsindexverlauf eines Stufenindexwellenleiters mit elliptischem Kern, wobei a und b die Abmessungen der Ellipse sind, n1 und n2
die Brechungsindizes des Kerns bzw. des Mantels.
y
6
6
n2
n1
2b
-x
?
2a
-
Abbildung 3.24: Querschnitt des Kerns eines elliptischen Stufenindexwellenleiters.
n
6
−a
n
6
n1
n1
n2
n2
-
a
x
−b
-
b
y
Abbildung 3.25: Transversaler Brechungsindexverlauf des elliptischen Stufenindexwellenleiters.
Abbildungen 3.26 bis 3.28 zeigen Dispersionsdiagramme elliptischer Wellenleiter verschiedener
Elliptizität, die mit Hilfe der Methode der finiten Differenzen berechnet wurden. Diese Diagramme wurden mit der Normierung auf b (3.44) durchgeführt. Wie in Abschnitt 3.6 dikutiert wurde,
sinkt dabei die Grenzfrequenz des HE21 -Modus sehr stark. Dies gilt auch, wie man in den Diagrammen erkennen kann, für alle anderen höheren Moden. Insbesondere hat der HE31 -Modus
in Abb. 3.26 eine höhere Grenzfrequenz als der HE12 -Modus, in Abb. 3.28 eine geringere. Das
bedeutet, dass sich auch die Reihenfolge der Moden mit der Elliptizität ändert. Dieser Effekt
ist darauf zurückzuführen, dass bei hoher Elliptizität Moden mit mehr Maxima in x-Richtung
(wenn die größere Abmessung der Ellipse in x-Richtung liegt) eher ausbreitungsfähig sind, da
sie der Form nach besser angepasst sind.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
39
Normierte Ausbreitungskonstante B →
1
0.9
HE11
0.8
HE21
0.7
HE12
0.6
HE31
0.5
HE22
0.4
HE
HE41
13
0.3
HE32
0.2
0.1
0
0
HE23
HE51
1
2
3
Normierte Frequenz V →
4
5
Abbildung 3.26: Dispersionsdiagramm eines elliptischen Stufenindexwellenleiters mit einem
Verhältnis a/b = 1,5.
Normierte Ausbreitungskonstante B →
1
0.9
HE11
0.8
HE
0.7
HE31
HE12
21
0.6
HE
HE22
41
0.5
0.4
HE32
HE51
HE13
0.3
HE
42
HE23
HE61
0.2
0.1
0
0
1
2
3
Normierte Frequenz V →
4
5
HE52
HE33
Abbildung 3.27: Dispersionsdiagramm eines elliptischen Stufenindexwellenleiters mit einem
Verhältnis a/b = 2.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
40
Normierte Ausbreitungskonstante B →
1
0.9
HE11
HE21
0.8
HE31
HE41
HE12
HE51
HE22
0.7
0.6
HE32
HE61
0.5
HE
HE42
71
HE
HE13
52
HE
HE23
0.4
0.3
81
0.2
HE
62
HE33
0.1
0
0
HE
HE91
HE72
43
1
2
3
Normierte Frequenz V →
4
5
Abbildung 3.28: Dispersionsdiagramm eines elliptischen Stufenindexwellenleiters mit einem
Verhältnis a/b = 3.
Die Unregelmäßigkeit in Abb. 3.28 etwa bei V = 4 im unteren Bereich ist darauf zurückzuführen,
dass es unter Umständen schwierig ist, höhere Moden bei geringen Werten der Ausbreitungskonstante richtig zu Identifizieren. Die Höhe der Feldstärken sind gering und die Anzahl der
Maximas hoch, gewisse Punkte werden durch den Algorithmus falschen Linien zugeordnet.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
3.8.2
41
Elliptische Wellenleiter mit gaußförmigem Indexprofil
Wellenleiter mit gaußförmiger transversaler Verteilung des Brechungsindexprofil entstehen beispielsweise, wenn mit einem leistungsstarken Laser der Wellenleiter direkt in Polymerschichten
geschrieben wird. Dabei werden die Eigenschaften des Zwei Photonen Absorbtionsprozesses
(TPA - Two Photon Absorption) ausgenutzt. Abbildungen 3.29 und 3.30 zeigen den transversalen Brechungsindexverlauf eines Wellenleiters mit gaußförmigem Brechungsindexprofil und
unterschiedlichen Abmessungen in x- und y-Richtung, σa und σb des Wellenleiterkerns. Für das
Programm der Methode der finiten Differenzen wird der Brechungsindexverlauf mit folgender
Formel modelliert,
1 x
−( 12
2
n(x, y) = n2 + (n1 − n2 ) · e−( 2 σa ) · e
y 2
)
σb
,
(3.49)
wobei n1 der Brechungsindex im Zentrum des Kerns ist und n2 der Brechungsindex weit entfernt
vom Kern ist. Abb. 3.31 zeigt ein Ergebnis der Berechnung der Methode der finiten Differenzen.
y
6
6
σb
-x
?
σa
-
1.52
1.52
1.516
1.516
Brechungsindex →
Brechungsindex →
Abbildung 3.29: Querschnitt des Wellenleiterkerns bei gaußförmigem Brechungsindexprofil.
1.512
1.508
1.508
1.504
1.504
1.5
−10
1.512
−5
0
x [µm] →
σa
5
10
1.5
−10
−5
0 σb
y [µm] →
5
10
Abbildung 3.30: Transversale Brechungsindexverteilung im Bereich des Wellenleiterkerns.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
42
Normierte Ausbreitungskonstante B →
1
0.9
0.8
HE11
0.7
HE21
0.6
HE12
HE31
0.5
HE41
HE
22
0.4
HE13
HE51
HE
HE32
HE61
23
HE
42
HE71
0.3
0.2
HE
52
HE
0.1
0
0
24
1
2
3
Normierte Frequenz V →
4
5
Abbildung 3.31: Dispersionsdiagramm eines elliptischen Wellenleiters mit gaußförmiger transversaler Brechungsindexverteilung und einem Verhältnis σa /σb = 2. Aus Platzgründen wurden
einige Modenbezeichnungen weggelassen.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
3.8.3
43
GIO - Graded-Index Oval-Core
Elliptische Gradientenindexfasern haben einen Brechungsindexverlauf wie etwa in Abb. 3.32
gezeigt und werden vor allem eingesetzt, um Laserstrahlen mit elliptischer transversaler Intensitätsverteilung in zirkuläre Strahlen zu transformieren. Solche Laserstrahlen entstehen beispielsweise bei Halbleiterlasern. Dies verbessert die Koppeleffizienz in standardisierte Fasern,
welche zirkuläre Intensitätsprofile haben [17], [18], [19].
Für die Berechnung mit der Methode der finiten Differenzen wurde die transversale Intensitätsverteilung wie folgt modelliert,
p
n(x, y) = n1 − (n1 − n2 ) · xa 2 + yb 2 ,
(x − f )2 + y 2 ≤ f
(3.50)
p
n(x, y) = n2,
(x − f )2 + y 2 > f
√
wobei der Brennpunkt der Ellipse f = a2 − b2 ist. Der Brechungsindex im Zentrum, welches
gleichzeitig der Ursprung des transversalen Koordinatensystems ist, ist n1 . Außerhalb der Ellipse
ist der Brechungsindex n2 .
Abbildung 3.32: Qualitatives transversales Brechungsindexprofil einer GIO (Quelle: [17]).
Abb. 3.33 zeigt ein Dispersionsdiagramm einer GIO, das mit Hilfe der Methode der finiten
Differenzen berechnet wurde.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
44
Normierte Ausbreitungskonstante B →
1
0.9
0.8
HE11
0.7
HE
21
0.6
HE
31
0.5
HE
HE12
41
0.4
HE22
HE51
0.3
HE32
HE61
0.2
HE13
HE
HE42
71
HE
HE23
81
52
0.1
0
0
1
2
3
4
Normierte Frequenz V →
5
6
Abbildung 3.33: Dispersionsdiagramm einer GIO mit einem Verhältnis a/b = 3. Dieses Dispersionsdiagramm wurde mit Hilfe der Methode der finiten Differenzen berechnet.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
3.8.4
45
W-shaped Plastic Optical Fiber (W-shaped POF)
W-shaped POF haben einen transversalen Brechungsindexverlauf, wie es Abb. 3.34 zeigt. Der
Unterschied zu konventionellen graded index (GI) POF“ ist das Tal“ im Brechungsindexver”
”
lauf. Solche Fasern werden beispielsweise in LAN’s eingesetzt und weisen eine höhere Bandbreite
als GI-POF auf [20].
1.52
1.52
1.515
Brechungsindex →
Brechungsindex →
1.515
1.51
1.505
1.51
1.505
1.5
1.5
1.495
1.495
1.49
−400
−200
0
200
400
1.49
−400
Radius →
Abbildung 3.34: Transversaler Brechungsindexverlauf einer W-shaped POF.
−200
0
Radius (µ m) →
200
400
Abbildung 3.35: Transversaler Brechungsindexverlauf der Approximation mit
(3.51).
Mathematisch können solche Fasern durch folgenden Verlauf approximiert werden (siehe Abb. 3.35)
[20],
n(r) = n1 1 − 2ρ∆
= n2
r g 1/2
a
0≤r≤a
r ≥ a,
(3.51)
wobei ρ die Tiefe des Tals im Indexprofil bestimmt und der Index g das Profil des Brechungsindex, wie bei herkömmlichen Gradientenindexprofilen, bestimmt.
Abb. 3.36 zeigt ein Dispersionsdiagramm, das mit Hilfe der Methode der finiten Differenzen
berechnet wurde. Bemerkenswert dabei ist, dass die Moden im Vergleich zu einer konventionellen
(Graded Indexed - GI) POF erst bei wesentlich höheren Frequenzen ausbreitungsfähig sind. Im
berechneten Bereich sind somit weniger Moden vorhanden.
KAPITEL 3. ANALYTISCHE UND NUMERISCHE BERECHNUNGEN
46
Normierte Ausbreitungskonstante B →
1
0.9
LP01
0.8
0.7
0.6
LP11
0.5
LP
21
0.4
LP
02
0.3
LP31
0.2
0.1
0
0
LP
12
2
4
6
Normierte Frequenz V →
8
10
Abbildung 3.36: Dispersionsdiagramm einer W-shaped POF mit ρ = 2, g = 2,9.
Normierte Ausbreitungskonstante B →
1
0.9
LP01
0.8
0.7
LP
11
0.6
LP
LP21
02
0.5
0.4
LP31
LP12
0.3
0.2
LP41
LP03
LP22
0.1
0
0
2
4
6
Normierte Frequenz V →
8
10
Abbildung 3.37: Zum Vergleich ein Dispersionsdiagramm einer konventionellen (Graded Indexed
- GI) POF mit den gleichen Parametern.
Kapitel 4
Einkopplung
Im Folgenden wird die Koppeleffizienz verschiedener Laserstrahlen und verschiedener Wellenleiter berechnet. Es wird speziell auf die Eigenschaften von elliptischen Laserstrahlen bei der
Einkopplung in elliptische Wellenleiter eingegangen. Es wird gezeigt, dass die besten Einkopplungseffizienzen mit zirkulären Wellenleitern erreichbar sind und jede Abweichung von der Zirkulärsymmetrie die Koppeleffizienz verschlechtert.
4.1
Das Überlappungsintegral
Bei der Berechnung der Koppeleffizienz ist das Überlappungsintegral
Z Z
2
∗
η=
EL (x, y) · EW (x, y)dA
(4.1)
A
∗ die konjugiert Komzu berechnen, wobei EL die transversale Feldverteilung des Lasers und EW
plexe der transversalen Feldverteilung des Grundmodus des Wellenleiters ist [21]. Die Feldverteilungen werden so normiert, dass die Gesamtleistung jeweils gleich 1 ist.
4.2
Anwendungen im Zusammenhang mit der Methode der finiten Differenzen
Bei der Methode der finiten Differenzen liegen die Daten in diskreter Form vor und werden
daher über die Berechnungsfläche summiert,
2
X X
∗
η=
EL (x, y) · EW
(x, y) · hx · hy ,
x y
(4.2)
wobei hx und hy die finiten Abstände in x- bzw. y-Richtung sind (siehe Abschnitt 3.1). Das
Feldprofil des Laserstrahls wurde mit dem gleichen Raster diskretisiert, der für die Methode der
finiten Differenzen zur Anwendung kommt.
47
KAPITEL 4. EINKOPPLUNG
48
y
6
6
2b 2σlb 6
-x
?
?
la
2σ-
2a
-
Abbildung 4.1: Die Abmessungen des Wellenleiters sind a und b, die des Laserstrahls σla und
σlb .
4.2.1
Berechnung der Koppeleffizienz in Abhängigkeit der Elliptizität bei
Stufenindexwellenleitern
Bei der Berechnung der Koppeleffizienz von elliptischen Wellenleitern wurde angenommen, dass
ein elliptischer Laserstrahl mit Gauß’scher Intensitätsverteilung eingekoppelt wird. Die Abbn.
4.1 und 4.2 zeigen die transversale Brechungsindexverteilung des Wellenleiters und die Intensitätsverteilung des Laserstrahls. Das Verhältnis σla /σlb des Laserstrahls ist gleich der Elliptizität des Wellenleiters. Bei der Berechnung wurden σla und σlb des Laserstrahls gleichermaßen
variiert. Die Abmessungen des Wellenleiters und die Feldverteilung des Grundmodus werden
somit konstant gehalten.
1.52
1.516
0.8
1.512
0.6
1.508
0.4
1.504
0.2
1.5
−10
−5
σla
0
x [µm] →
a5
0
10
Brechungsindex
Intensitaet
1
1.516
0.8
1.512
0.6
1.508
0.4
1.504
0.2
1.5
−10
Intensitaet (normiert) →
1
Brechungsindex →
Brechungsindex
Intensitaet
Intensitaet (normiert) →
Brechungsindex →
1.52
−5
0 σlb b
y [µm] →
5
0
10
Abbildung 4.2: Intensitätsverlauf des Laserstrahls und transversale Brechungsindexverteilung
in der x- bzw. y-Achse. Die Größen σla σlb werden bei der Berechnung variiert.
In Abb. 4.3 ist auf der Abszisse die kleinere transversale Abmessung des Laserstrahls σlb der
Ellipse aufgetragen, auf der Ordinate die Koppeleffizienz. Um einen objektiven Vergleich anstellen zu können, wurden die verschieden elliptischen Wellenleiter so gewählt, dass sie die gleiche
Fläche haben. Die normierte Frequenz wurde mit V = 1,3 konstant gehalten. Diese Darstellung vermittelt den Eindruck, dass die Position der maximalen Koppeleffizienz nach links, also
Richtung kleinerer Abmessungen des Laserstrahls wandert. Es wurde dabei jedoch nicht berücksichtigt, dass durch die Variation der Abmessungen auch die Wellenlänge über
q
2πb
n21 − n22
λ=
(4.3)
V
beeinflusst wird.
KAPITEL 4. EINKOPPLUNG
49
1
0.9
Koppeleffizienz →
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
Elliptizitaet = 1
Elliptizitaet = 3/2
Elliptizitaet = 2
Elliptizitaet = 3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
σlb/2b →
0.8
1
Abbildung 4.3: Vergleich der Koppeleffizienzen verschiedner elliptischer Wellenleiter bei konstant
gehaltenem V = 1,3. Die Abmessung der Ellipse mit der Elliptizität = 1 ist 5 µm × 5 µm, die
anderen haben den gleichen Flächeninhalt.
Dies legt den Schluss nahe, dass ein besserer Vergleich der Kurven angestellt werden kann, wenn
nicht die normierte Frequenz, sondern die Wellenlänge konstant gehalten wird. Den folgenden
Berechnungen wird jeweils ein Bereich von 50 µm × 50 µm zugrunde gelegt. In Abb. 4.4 ist das
Ergebnis dieser Berechnung dargestellt. Auf der Abszisse wird nicht die absolute Größe von σla ,
sondern das Verhältnis der Abmessung des Laserstrahls zur Abmessung des Kerns aufgetragen.
Die Elliptizität des Laserstrahls ist wiederum gleich der Elliptizität des Wellenleiterkerns. Die
Wellenlänge wird mit λ = 2 µm konstant gehalten. Die Kurven liegen so zueinander, dass die
Positionen des Maximums etwa untereinander liegen. So kann ein besserer Vergleich angestellt
werden.
In Abb. 4.5 erkennt man, wie es bereits aus Abb. 4.4 prognostiziert werden konnte, dass die maximal mögliche Koppeleffizienz mit steigender Elliptizität geringer wird. Optimale Einkopplung
erreicht man daher mit Wellenleitern der Elliptizität gleich 1, also mit zirkulärsymmetrischem
transversalen Indexprofil. Die strichlierte Linie zeigt die Position der maximalen Koppeleffizienz.
Der treppenförmige Verlauf ist auf die geringe Auflösung der Methode der finiten Differenzen
des Bereichs des Kerns zurückzuführen. Da sich die Anzahl der Punkte im Bereich des Kerns bei
Erhöhung der Elliptizität nicht bei jedem Schritt gleich stark ändert und da sich die Position
des Maximums nur in einem sehr kleinen Bereich ändert, erhält man diesen Verlauf. Es wurde
ohnehin bereits mit großen Kerndurchmessern (Kernabmessungen 5 µm × 5 µm bei Elliptizität
= 1 und 50 µm × 50 µm Berechnungsfläche) und 600 × 600 Berechnungspunkten gearbeitet. Eine
weitere Erhöhung der Kernabmessungen scheint nach den Erkenntnissen aus Abschnitt 3.3 nicht
mehr sinnvoll.
KAPITEL 4. EINKOPPLUNG
50
1
0.9
Koppeleffizienz →
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
Elliptizitaet = 1
Elliptizitaet = 3/2
Elliptizitaet = 2
Elliptizitaet = 3
0.2
0.1
0
0
0.5
σlb/2b →
1
1.5
Abbildung 4.4: Vergleich der Koppeleffizienzen von verschieden elliptischen Wellenleitern. Bei
gleicher Wellenlänge λ = 2 µm. Die Abmessung der Ellipse mit der Elliptizität = 1 ist 5 × 5 µm,
die anderen haben den gleichen Flächeninhalt.
1
0.5
0.9
0.8
ηmax
0.7
(σlb/2b)max 0.4
(σlb/2b)max →
ηmax →
0.45
0.6
0.5
1
2
3
4
5
6
7
Elliptizitaet →
8
9
0.35
10
Abbildung 4.5: Abhängigkeit der maximalen Koppeleffizienz von der Elliptizität des Wellenleiters und dessen Position.
KAPITEL 4. EINKOPPLUNG
4.2.2
51
Berechnung der Koppeleffizienz in Abhängigkeit der Elliptizität bei
Gauß’scher Brechungsindexverteilung
y
6
6
2σwb 2σlb 6
-x
?
?
la
2σ-
2σwa
-
Abbildung 4.6: Abmessungen des Wellenleiters und des Laserstrahls.
1.52
1.516
0.8
1.512
0.6
1.508
0.4
1.504
0.2
1.5
−20
−10
0 σla σwa
x [µm] →
10
0
20
Brechungsindex
Intensitaet
1
1.516
0.8
1.512
0.6
1.508
0.4
1.504
0.2
1.5
−10
Intensitaet (normiert) →
1
Brechungsindex →
Brechungsindex
Intensitaet
Intensitaet (normiert) →
Brechungsindex →
1.52
−5
0 σlb σwb
y [µm] →
5
0
10
Abbildung 4.7: Intensitätsverlauf des Laserstrahls in der x- bzw. y-Achse. σla σlb werden bei der
Berechnung variiert.
Es wurde ein Gauß’sches transversales Brechungsindexprofil angenommen. Abbn. 4.6 und 4.7
zeigen die Abmessungen und den transversalen Verlauf von Laserstrahl und Wellenleiterkern.
In Abb. 4.8 ist auf der Abszisse das Verhältnis von σlb des Laserstrahls zu σwb des Wellenleiters
aufgetragen, auf der Ordinate die Koppeleffizienz. Dabei wurde die Wellenlänge mit λ = 2 µm
konstant gehalten, die Elliptizität des Laserstrahls ist wieder gleich der Elliptizität des Wellenleiters. Als günstige Wahl der Abmessungen des Wellenleiters 2σla und 2σlb ergab sich je 3 µm
bei Elliptizität = 1. Die anderen Wellenleiter haben für eine möglichst gute Vergleichbarkeit das
gleiche Produkt σla · σlb . Man erkennt in Abb. 4.9, dass hier die Koppelefizienz ebenfalls besser
ist, je geringer die Elliptizität ist.
Man sieht, dass theoretisch sehr hohe Koppeleffizienzen von nahezu 1 erreicht werden können.
Hier sei angemerkt, dass es sich um die Auswertung des Summenintegrals handelt, und dass
der Grundmodus näherungsweise gaußförmig ist. Der Laserstrahl wird als ideal gaußförmig
angenommen, Verluste, wie Reflexionen werden nicht berücksichtigt. In der Praxis sind solch
hohe Effizienzen nicht erreichbar, da der Laserstrahl nicht exakt gaußförmig ist und da man mit
Reflexionen und anderen parasitären Effekten konfrontiert ist.
KAPITEL 4. EINKOPPLUNG
52
1
0.9
Koppeleffizienz →
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
Elliptizitaet = 1
Elliptizitaet = 3/2
Elliptizitaet = 2
Elliptizitaet = 3
0.2
0.1
0
0
0.5
σlb/σwb →
1
1.5
Abbildung 4.8: Vergleich der Koppeleffizienzen von verschiedenen Wellenleitern mit Gauß’scher
Brechungsindexverteilung. Bei gleicher Wellenlänge λ = 2 µm. Die Abmessungen des Laserstrahls 2σla = 2σlb = 3 µm bei Elliptizität = 1, die anderen Wellenleiter haben das gleiche
Produkt σla · σlb .
KAPITEL 4. EINKOPPLUNG
53
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
(σlb/σwb)max →
ηmax →
1
ηmax
0.6
0.6
(σlb/σwb)max
0.5
1
2
3
4
5
6
7
Elliptizitaet →
8
9
0.5
10
Abbildung 4.9: Abhängigkeit der maximalen Koppeleffizienz von der Elliptizität des Wellenleiters mit Gauß’schem Brechungsindexprofil und dessen Position.
Anhang
54
Rekursionsformeln für Besselfunktionen
Die Rekursionsformeln oder Funktionalgleichungen für Besselfunktionen lauten [15]:
Jn+1 (U ) + Jn−1 (U ) = 2 Un Jn (U ),
n
Kn+1 (W ) − Kn−1 (W ) = 2 W
Kn (W ),
J−n = (−1)n Jn ,
K−n = Kn ,
2Jn0 = Jn−1 − Kn+1 ,
−2Kn0 = Kn−1 − Kn+1 ,
Jn0 (U )
U Jn (U )
=
Jn−1
U Jn
0 (W )
Kn
W Kn (W )
=
Kn−1
W Kn
55
−
−
n
U2
n
W2
= − JUn+1
Jn +
n+1
= −K
W Kn +
n
,
U2
n
.
W2
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