Einf¨uhrung in die Astrophysik Vorlesung an der Universität W¨urzburg

Einführung in die Astrophysik
Vorlesung an der Universität Würzburg
Jens Niemeyer
Lehrstuhl für Astronomie
Universität Würzburg
Inhaltsverzeichnis
1
2
Astrophysik in Größenordnungen
1.1 Energieskalen . . . . . . . . . . .
1.1.1 Ruhemassenenergie . . . .
1.1.2 Atomare Energieskalen . .
1.1.3 Molekulare Energieskalen
1.1.4 Nukleare Energieskalen .
1.1.5 Gravitationsenergie . . . .
1.2 Astrophysikalische Strukturen . .
1.2.1 Das Universum . . . . . .
1.2.2 Galaxien . . . . . . . . .
1.2.3 Planeten und Sterne . . . .
1.2.4 Zusammenfassung . . . .
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Materie und Strahlung
2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Beobachtungsgrößen . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Teilchen mit und ohne Ruhemasse . . . . . .
2.1.3 Durchlässigkeit der Erdatmosphäre . . . . .
2.2 Astrophysikalische Strahlungsquellen . . . . . . . .
2.2.1 Radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Mikrowellen und Submillimeter . . . . . . .
2.2.3 Infrarot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Optisch und Ultraviolet . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Röntgen und Gamma . . . . . . . . . . . . .
2.3 Freie Teilchen im thermischen Gleichgewicht . . . .
2.3.1 Dichte, Druck und Energiedichte . . . . . . .
2.3.2 Gleichgewichtsverteilungen . . . . . . . . .
2.3.3 Nichtentartetes, nichtrelativistisches Gas . .
2.3.4 Entartetes nichtrelativistisches Fermionengas
2.3.5 Ultrarelativistisches Gas . . . . . . . . . . .
2.3.6 Zusammenfassung: Zustandsgleichungen . .
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Sternaufbau
4.1 Die Sternaufbaugleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Massenschichtung . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Hydrostatisches Gleichgewicht . . . . . . . . . .
4.1.3 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Radiativer Energietransport . . . . . . . . . . .
4.1.5 Konvektiver Energietransport . . . . . . . . . .
4.1.6 Auftreten von Konvektionszonen, Hayashi-Linie
4.1.7 Zusammenfassung: Sternaufbaugleichungen . . .
4.2 Nukleare Energieerzeugung . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Zeitskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Nukleare Reaktionsraten . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Erreichen der Brennphasen . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Wasserstoffbrennen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Höhere Brennprozesse . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Neutrinoverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Thermische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Nichtthermische Prozesse . . . . . . . . . . . .
4.4 Die Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Globale Messgrößen . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Helioseismologie . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Das Standard-Sonnenmodell . . . . . . . . . . .
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2.5
3
4
Astrophysikalische Strahlungsprozesse . . . . . . . . .
2.4.1 Atomare und molekulare Prozesse . . . . . . .
2.4.2 Strahlung im Magnetfeld . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Streuprozesse von Photonen und Elektronen . .
Grundlagen des Strahlungstransports . . . . . . . . . .
2.5.1 Wesentliche Begriffe . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Die Strahlungstransportgleichung . . . . . . .
2.5.3 Lokales thermisches Gleichgewicht (LTE) . . .
2.5.4 Die Eddington-Näherung für Sternatmosphären
2.5.5 Emissions- und Absorptionslinienspektren . .
2.5.6 Struktur von Spektrallinien . . . . . . . . . . .
Stellare Beobachtungsgrößen
3.1 Größe und Entfernung . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Entfernung . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Radius . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Oberflächen-Schwerebeschleunigung
3.2 Helligkeit und Leuchtkraft . . . . . . . . . .
3.2.1 Scheinbare Helligkeit . . . . . . . . .
3.2.2 Farbe . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Absolute Helligkeit . . . . . . . . . .
3.3 Sternspektren . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Die Oberflächentemperatur . . . . . .
3.3.2 Spektralklassen . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Das Hertzsprung-Russell-Diagramm .
3.3.4 Leuchtkraftklassen . . . . . . . . . .
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4.4.4
5
6
7
Solare Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sternentwicklung
5.1 Allgemeine Eigenschaften . . . . . . . .
5.1.1 Der Virialsatz . . . . . . . . . . .
5.1.2 Homologe Entwicklung . . . . .
5.2 Entwicklungsstadien im Detail . . . . . .
5.2.1 Interstellares Medium . . . . . .
5.2.2 Sternentstehung . . . . . . . . . .
5.2.3 Protosterne . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Von der Hauptreihe zum Riesenast
5.2.5 Nach dem Riesenast . . . . . . .
5.2.6 Pulsationsveränderliche . . . . .
81
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Endstadien der Sternentwicklung
6.1 Supernovae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 SNe Typ II und Ib,c: Kern-Kollaps massiver Sterne . . . . .
6.1.2 SNe Typ Ia: Thermonukleare Explosionen Weißer Zwerge .
6.1.3 Supernova-Lichtkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Weiße Zwerge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Vorkommen und Erscheinungsformen . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Charakteristische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Entwicklung von Weißen Zwergen . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Neutronensterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Zur Geschichte und Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Vorkommen und Erscheinungsformen . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Charakteristische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4 Struktur von Neutronensternen . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.5 Pulsare und ihre Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Schwarze Löcher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Schwarzschildradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Auftreten und Erscheinungsformen von Schwarzen Löchern
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120
121
Unsere Galaxis
7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Galaktische Koordinatensysteme
7.1.2 Sternpopulationen . . . . . . .
7.2 Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Die Scheibe . . . . . . . . . . .
7.2.2 Der Bulge . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Der sichtbare (stellare) Halo . .
7.2.4 Der dunkle Halo . . . . . . . .
7.3 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Geschwindigkeit der Sonne . .
7.3.2 Die Rotationskurve . . . . . . .
7.3.3 Dunkle Materie . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
8
9
Galaxien
8.1 Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Elliptische Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Spiralgalaxien und Irreguläre Galaxien . . . . . . . .
8.3 Globale Galaxieneigenschaften und ihre Korrelationen . . . .
8.3.1 Die Leuchtkraftfunktion . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Die Tully-Fisher-Relation . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Die Faber-Jackson-Relation . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4 Die Fundamentalebene . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.5 Die Dn -σ-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.6 Zentrale Schwarze Löcher und Galaxieneigenschaften
8.4 Aktive Galaxienkerne (AGN) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Allgemeine Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Massenabschätzung des SBH . . . . . . . . . . . . .
8.4.3 Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Galaxiengruppen und -haufen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Die lokale Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2 Morphologie von Galaxienhaufen . . . . . . . . . . .
8.5.3 Dynamische Massenbestimmung . . . . . . . . . . . .
8.5.4 Massenbestimmung durch Röntgenemission . . . . . .
8.5.5 Cooling Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.6 Der Sunyaev-Zeldovich-Effekt . . . . . . . . . . . . .
8.5.7 Der Butcher-Oemler-Effekt . . . . . . . . . . . . . .
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159
159
Homogene Kosmologie
9.1 Die Säulen der Urknalltheorie . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Das Friedmann-Robertson-Walker (FRW) Universum . .
9.2.1 Die Robertson-Walker Metrik . . . . . . . . . .
9.2.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4 Zusammenhang zwischen Dichte und Krümmung
9.3 Wichtige Längen- und Zeitskalen . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Horizont und Alter . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Kosmologische Entfernungsmaße . . . . . . . .
9.3.3 Das Hubble-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Motivation und Definition . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Skalarfeld-Inflation . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Erzeugung von Störungen . . . . . . . . . . . .
9.5 Thermische Entwicklung des Universums . . . . . . . .
9.5.1 Bedingung für thermisches Gleichgewicht . . . .
9.5.2 Temperaturabängigkeit von ρ und P . . . . . . .
9.5.3 Neutrino-Entkopplung . . . . . . . . . . . . . .
9.5.4 Primodiale Nukleosynthese . . . . . . . . . . .
9.5.5 Beobachtung primordialer Isotope . . . . . . . .
9.5.6 Übergang von Strahlungs- zu Materiedominanz .
9.5.7 Rekombination und Photonen-Entkopplung . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
10 Inhomogene Kosmologie
10.1 Lineares Anwachsen der Störungen . . . . . . . . . . .
10.1.1 Jeans-Analyse mit expandierendem Hintergrund
10.1.2 Eigenschaften der Lösungen . . . . . . . . . . .
10.1.3 Die Transferfunktion . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Vergleich mit Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Das Materie-Leistungsspektrum . . . . . . . . .
10.2.2 Anisotropien in der Hintergrundstrahlung . . . .
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190
192
194
195
195
196
1
6
ASTROPHYSIK IN GRÖSSENORDNUNGEN
1
Astrophysik in Größenordnungen
Die Astrophysik umfaßt Phänomene, die sich von den kleinsten (subatomaren) bis zu den größten (kosmologischen) Zeit- und Längenskalen abspielen. Deshalb ist es für Astrophysiker wichtig, sich schnell ein Bild von den
relevanten Größenordungen machen zu können.
1.1
Energieskalen
1.1.1
Ruhemassenenergie
Teilchen mit der Ruhemasse m haben eine Ruhemassenenergie von
Emass = mc2
(1.1)
Wichtige Größenordnungen:
• Elektron: Emass = me c2 ' 0.5 MeV.
• Nukleon: Emass ' mp c2 ' 1 GeV.
• Atomkern: Emass ' Amp c2 mit der Nukleonenzahl A.
• Gesamtsystem (me vernachlässigbar): Emass = M c2 ' N Amp c2 mit der Teilchenzahl N .
Bem.: 1 eV entspricht ungefähr der thermischen Energie kT bei T ' 104 K.
1.1.2
Atomare Energieskalen
Betrachte ein Elektron im Coulombfeld eines Atomkerns mit der Ladung Zq. Der Hamiltonoperator lautet:
Ĥ =
p̂2
Zq 2
−
2me
r
(1.2)
Die Wellenfunktion des Elektrons sei ψ(x, L), wobei L eine Längenskala bezeichnet, auf der sich ψ signifikant
ändert. Dann ist
2 ψ|p̂ |ψ
= −~2 ψ|∇2 |ψ
'
~2
L2
(1.3)
(in Übereinstimmung mit der Unschärferelation Lp ' ~).
Daraus folgt für die Energieeigenwerte des Elektrons:
D
E
E(L) =
ψ|Ĥ|ψ
'
~2
Zq 2
−
2me L2
L
(1.4)
1
7
ASTROPHYSIK IN GRÖSSENORDNUNGEN
Gl. (1.4) wird minimiert bei Lmin = a0 /Z, wobei
a0
≡
≡
'
λe
≡
α
≡
~2
me q 2
λe
2πα
0.5 × 10−8 cm
(Bohrradius)
h
(Comptonwellenlänge des Elektrons)
me c
q2
1
'
(Feinstrukturkonstante)
~c
137
(1.5)
An der Stelle Lmin ist die Energie Emin = −Z 2 a mit
a
me q 4
2~2
1 2
α me c2
=
2
' 13.6 eV
(Rydberg-Energie)
≡
(1.6)
a0 und a entsprechen der Größe und Energie eines Wasserstoffatoms (Z = 1). Die Photonenwellenlänge, die a
entspricht, ist
λ
hc
a
2λe
=
α2
' 103 Å
=
(1.7)
und liegt im UV-Bereich.
Bem.: Als Faustregel gilt: E/[1 eV] ≡ (λ/[12345 Å])−1 .
Die atomare Bindungsenergie eines Festkörpers entsteht aus residualen elektromagnetischen Kräften zwischen den
Atomen und kann mit 0.1 . . . 1a abgeschätzt werden. Die Teilchenzahldichte eines Festkörpers ist n ∼ (2a0 )−3 '
1024 cm−3 .
1.1.3
Molekulare Energieskalen
Betrachte ein zweiatomiges Molekül mit Atomabstand ∼ a0 . Die reduzierte Masse der zwei Atomkerne sei µ ∼
mp . Es existieren zwei Freiheitsgrade und ihre entsprechenden Energieskalen:
Schwingung:
Bei einer Auslenkung von ∼ a0 ist die potentielle Energie ∼ a . Daraus ergibt sich die charakteristische
Schwingungsfrequenz und -energie:
a
2
ωosc
'
µa20
Eosc ≡ ~ωosc
1/2
me
'
a
mp
' 0.25 eV
(1.8)
1
8
ASTROPHYSIK IN GRÖSSENORDNUNGEN
mit a = ~2 /me a20 .
Rotation:
Mit dem Drehimpuls J ∼ ~ um die Verbindungsachse erhält man die Rotationsenergie:
J2
µa2
0 me
'
a
mp
'
Erot
' 10−3 a
' 10−2 eV
(1.9)
Die entsprechenden Wellenlängen von molekularen Übergängen liegen im infraroten Bereich.
1.1.4
Nukleare Energieskalen
Nukleonen werden durch die residuale starke Wechselwirkung mit einer Bindungsenergie von ∼ 8 MeV pro Nukleon zu Atomkernen gebunden.
Um zwei Protonen in einer nuklearen Fusionsreaktion zu verbinden, müssen sie sie in den Abstand ihrer ComptonWellenlänge λp ≡ h/mp c gebracht werden. Dabei muß die Coulombabstoßung vom Betrag
q ' q 2 /l ' (α/2π)mp c2 ' 1 MeV
(1.10)
überwunden werden, welches der thermischen Energie bei 1010 K entspricht.
Der quantenmechanische Tunnelprozess erlaubt jedoch schon Fusionsreaktionen, wenn die de Broglie-Wellenlängen
der Protonen,
λdB
h
mp v
c
= λp
v
≡
(1.11)
überlappen.
Wegen q ' mp v 2 /2 ist v/c ∼ α/π und damit
nuc '
α2
mp c2 ' 1 keV
2π 2
(1.12)
Man schreibt meistens nuc ' ηα2 mp c2 mit η ∼ 0.1.
1.1.5
Gravitationsenergie
In der Newtonschen Theorie der Gravitation ist die Gravitationsenergie eines Systems der Größe R und Masse M
durch
Gm2p N 2
GM 2
'
(1.13)
Egrav '
R
R
gegeben, wobei G die Newtonsche Gravitationskonstante ist.
Bem.: Im Gegensatz zu den bisher eingeführten Bindungsenergien ist Egrav nicht extensiv, d.h. nicht proportional
zur Teilchenzahl.
1
ASTROPHYSIK IN GRÖSSENORDNUNGEN
9
Abbildung 1: Himmelsaufnahme der kosmischen Hintergrundstrahlung durch den WMAP-Satelliten. Die Störungen haben eine Amplitude von 10−5 .
Die Gravitationsenergie pro Teilchen lautet:
grav
Egrav
N
1/3
4π
=
Gm2p N 2/3 n1/3
3
≡
(1.14)
mit der Teilchenzahldichte n ≡ 3N/4πR3 .
Wird die Gravitationsenergie vergleichbar mit der Ruhemassenenergie aus Gl. (1.1), so müssen Effekte der Allgemeinen Relativitätstheorie berücksichtigt werden. Da
R
Egrav
M
(1.15)
' 0.7
Emass
1033 g
1 km
sieht man, dass dies der Fall ist, wenn ein Objekt der Masse unserer Sonne auf einen Radius von ca. 1 km komprimiert wird.
1.2
1.2.1
Astrophysikalische Strukturen
Das Universum
Für die Physik auf sehr großen Skalen, d.h. bei sehr großen Abständen, gelten eine Reihe praktischer Vereinfachungen:
1. Da alle anderen Kräfte entweder kurzreichweitig (starke/schwache WW) oder abgeschirmt (elektromagnetische WW) sind, dominiert allein die Gravitationswechselwirkung.
2. Die “Körnigkeit” der Materieverteilung kann vernachlässigt werden, so dass man die Materie als isotrope
(keine ausgezeichnete Richtung) und homogene (kein ausgezeichneter Punkt) Flüssigkeit betrachten kann
(Abb. (1)).
3. Das gleiche gilt für die Geschwindigkeit der Materie, die von allen Orten aus gleich aussehen muss.
Aus (3) folgt, dass
v(t) = H(t)r
(1.16)
1
10
ASTROPHYSIK IN GRÖSSENORDNUNGEN
(v: Geschwindigkeitsvektor, r: Ortsvektor, t: Zeit). Die Funktion H(t) ist der Hubbleparameter, er hat die Einheit
1/Zeit.
Da v = ṙ bekommt man durch Integration:
r = a(t)x
ȧ
H(t) =
a
(1.17)
a(t) ist der sog. Skalenfaktor des Universums.
Die Koordinaten x sind zeitlich konstant für jeden Massepunkt – man kann sie sich als feste Markierungen von
Galaxien vorstellen. Sie heißen “mitbewegte Koordinaten”.
Alles Interessante steckt also in der Funktion a(t). Ihre Dynamik wird durch die Allgemeine Relativitätstheorie
bestimmt, man kann sie aber auch (natürlich mit Einschränkungen) aus Newtonscher Sicht erklären.
Die kinetische und potentielle Energie eines Massepunktes (Galaxie etc.) ist
Ekin
=
=
Epot
=
=
=
1
mv 2
2
2
ȧ
1
m
a(t)2 x2
2
a
GM m
−
r
V ρ(t)Gm
−
r
4πGm
−
ρ(t) a(t)2 x2
3
(1.18)
innerhalb einer Kugel mit Radius r = a(t)x und mittlerer Dichte ρ(t).
Nehmen wir an, dass die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant ist:
1 2 4πG
ȧ −
ρ(t) a(t)2 = konstant
2
3
(1.19)
2
ȧ
8πG
k
=
ρ(t) − 2
a
3
a
(1.20)
oder
H 2 (t) ≡
Gl. (1.20) heißt Friedmanngleichung und ist trotz der Newtonschen Herleitung auch in der ART gültig, wenn ρ
für die gesamte Energiedichte der Materie steht (nicht nur die Ruhemassendichte).
In dimensionsloser Schreibweise lautet Gl. (1.20):
Ω−1=
k
H 2 a2
(1.21)
mit dem Dichteparameter:
Ω≡
8πGρ
3H 2
(1.22)
Die Statistik der Mikrowellenhintergrund-Fluktuationen weist darauf hin, dass Ω ' 1 bzw. k ' 0.
Aus Entfernungs- und Rotverschiebungsmessungen von veränderlichen Sternen und Supernovae wissen wir durch
Gl. (1.16), dass der heutige Hubbleparameter (t = t0 )
H0 ' 71
km
s Mpc
(1.23)
1
11
ASTROPHYSIK IN GRÖSSENORDNUNGEN
ist (1 Mpc ≈ 3 × 1024 cm, “Megaparsec”).
Aus H0 erhält man eine Zeit- und eine Längenskala. Die Zeitskala (“Hubblezeit”) ist eine grobe Abschätzung für
das Alter des Universums:
tH ∼ H0−1 ∼ 1010 Jahre
(1.24)
Die Längenskala ctH (“Hubblelänge”) entspricht ungefähr der Strecke, die Licht seit t = 0 zurückgelegt hat und
begrenzt damit das der Beobachtung zugängliche Universum:
lH ∼ cH0−1 ∼ 3000 Mpc
(1.25)
Die Anzahldichte n von (nichtrelativistischen) Teilchen mit Ruhemasse mc2 kT wird durch die kosmische
Expansion im Verhältnis 1/V ∼ a−3 verdünnt. Das gleiche gilt deshalb für ihre Energiedichte, ρmat ∼ nmc2 .
Bei masselosen bzw. ultrarelativistischen (mc2 kT ) Teilchen muss man zusätzlich beachten, dass ihre Wellenlänge λ im Verhältnis zu a gedehnt (“rotverschoben”) wird. Die Energiedichte ist deshalb ρrad ∼ nhc/λ ∼ a−4 .
Da die Strahlungsenergiedichte ρrad ∼ T 4 ist, folgt, dass T ∼ a−1 . Dementsprechend (weil H > 0) war das
Universum früher kleiner, dichter und heißer. Das ist der Ursprung des Wortes “Urknall”.
Im sehr frühen Universum muss die Energiedichte von Strahlung dominiert gewesen sein. Man kann leicht abschätzen,
wann der Übergang von Strahlungs- zu Materiedominanz stattgefunden hat:
• Heute misst man eine thermische kosmische Hintergrundstrahlung mit T ∼ 2.7 K (Abb. (1)); das entspricht
der Energiedichte ρrad (t0 ) ∼ 5.7 × 10−13 erg/cm3 bzw. der Massendichte ρrad /c2 ∼ 5.7 × 10−34 g/cm3 .
• Die heutige Massendichte ist ρmat (t0 ) ∼ 10−30 g/cm3 ∼ 1.7 × 103 ρrad /c2 .
• Aus ρmat /ρrad ∼ a ∼ T −1 folgt, dass Materie begann, über Strahlung zu dominieren, als das Universum
um den Faktor ∼ 1.7 × 103 kleiner und heißer war als heute.
Die Größe des Universums zur Zeit t relativ zur heutigen wird oft direkt durch die Rotverschiebung z der damals
ausgesandten Strahlung ausgedrückt:
1+z ≡
λ0
a0
=
λt
a(t)
(1.26)
Betrachten wir jetzt die Zeitentwicklung von a. Wir wissen heute, dass die Konstante k in Gl. (1.20) sehr klein
bzw. = 0 ist. Mit ρ ∼ a−3 in der materiedominierten Phase liefert Gl. (1.20):
a(t) =
t
t0
2/3
,
t0 = (6πGρ0 )−1/2
(1.27)
wenn a0 = a(t0 ) ≡ 1.
Natürlich ist das Universum nicht völlig homogen, denn auf kleinen Skalen existieren Strukturen wie Galaxien,
Galaxienhaufen usw. Sie sind nach heutiger Meinung durch den Kollaps kleiner Dichtestörungen in der kosmischen
Flüssigkeit entstanden (Abb. (1)).
Um zu sehen, wie diese Störungen in der materiedominierten Phase (ρ ∼ a−3 ) anwachsen, schreiben wir Gl. (1.20)
um, indem wir beide Seiten nach der Zeit ableiten und ausnützen, dass ρ̇ = −3Hρ.
Ein paar Umformungen ergeben:
4πGρa
3 2
1
= −
2
9t0 a2
ä = −
(1.28)
1
ASTROPHYSIK IN GRÖSSENORDNUNGEN
12
Jetzt führen wir kleine Störungen des Skalenfaktors ein indem wir a durch a + δa ersetzen und linear in δa
entwickeln:
d2 (δa)
4
δa
=
2
2
dt
9t0 a3
4 δa
=
(1.29)
9 t2
Gl. (1.29) hat die anwachsende Lösung δa ∝ t4/3 ∝ a2 . Die entsprechenden Dichtestörungen verhalten sich wie
δρ
δa
= −3
ρ
a
(1.30)
∝ a
Sie wachsen also mit der Zeit an.
Diese Störungen sind nichts anderes als Potentialmulden der Gravitationsenergie. Eine Störung mit der Größe R
und Amplitude δρ entspricht dem Gravitationspotential (∇2 φ ∼ R−2 φ ∼ δρ):
φ ∝ R2 δρ
∝ a2 ρ a
∝ const
(1.31)
wegen ρ ∝ a−3 für Materie.
Das Gravitationspotential der Störungen ist also zeitlich konstant. Wir können es deshalb mit Hilfe der gemessenen
Geschwindigkeitsdispersion in Galaxienhaufen, vcluster ∼ 103 km/s, abschätzen:
φ'
GM
2
' vcluster
R
(1.32)
Da Photonen, die aus einer Potentialmulde herausklettern, Energie verlieren (Gravitationsrotverschiebung), wirken
sich die Störungen auf die Temperatur der oben erwähnten kosmischen Hintergrundstrahlung aus:
δT
T
δν
ν
φ
'
c2
v
2
cluster
'
c
' 10−5
'
(1.33)
Diese Temperaturstörungen werden tatsächlich beobachtet, siehe Abb. (1).
Wenn die Dichtestörungen ausreichend groß sind, kollabieren sie durch ihre eigene Schwerkraft und werden zu
gebundenen Systemen. Der Kollaps wird erst aufgehalten, wenn das Gas nicht mehr schnell genug kühlen kann
und einen Gegendruck aufbaut. Dies signalisiert die Entstehung von Galaxien.
1.2.2
Galaxien
Der dominante Kühlprozess im jungen Universum ist die thermische Bremsstrahlung von Elektronen, die im Coulombfeld von Protonen gestreut werden.
Die die Abhängigkeit der Energieverlustrate von der Dichte, Temperatur usw. des Plasmas kann man einfach
abschätzen:
1
13
ASTROPHYSIK IN GRÖSSENORDNUNGEN
• Als Zweiteilchenprozess ist sie proportional zu n2 (n: Teilchenzahldichte).
• Jeder Streuprozess dauert eine Zeit ∼ v −1 ∝ (kT )−1/2 .
• Die Energie, die von allen streuenden Elektronen abgestrahlt wird, liefert einen weiteren Faktor kT .
Zusammen ergibt das die Abhängigkeit
˙ ∝ n2 (kT )1/2
(1.34)
Daraus ergibt sich die charakteristische Kühlzeit
tcool
∼
˙
∝
nkT
n2 (kT )1/2
= n−1 (kT )1/2
(1.35)
Diese müssen wir mit der Kollaps- oder Freifallzeit einer Gaswolke mit Radius R und Masse M vergleichen. Die
einzige Größe mit der Einheit Zeit, die man aus R, M und G bilden kann, ist
tgrav ∼
GM
R3
−1/2
(1.36)
Nur Systeme mit tcool < tgrav können kollabieren, ohne dass sich ein thermischer Gegendruck aufbaut. Das
entspricht einer Forderung an den Radius, R < Rg .
Setzen wir tcool ≈ tgrav und lösen nach R auf, finden wir (mit Hilfe von M ∝ nmp R3 und Etherm ∼ Epot
kT ∼ GM mp /R), dass Rg nur noch von Naturkonstanten und nicht von n oder T abhängt.
Berücksichtigung aller Koeffizienten liefert:
Rg
1/2 α 3 mp
λe
'
αG me
2π
' 74 kpc
(1.37)
wobei wir die Gravitations-Feinstrukturkonstante αG = Gm2p /~c ' 6 × 10−39 eingeführt haben.
Nehmen wir außerdem an, dass die Temperatur der kollabierenden Wolken nach unten durch das Ionisationspotential begrenzt ist (sonst können sie nicht mehr kühlen), also kT ' GM mp /R > α2 me c2 , finden wir die
entsprechende Massenskala M > Mg :
Mg
'
α5
2
αG
mp
me
1/2
' 3 × 1044 g
mp
(1.38)
Man lernt daraus folgendes:
• Systeme mit R ' 70 kpc und M ' 1044 g ' 1011 M (M ' 1033 g ist eine Sonnenmasse) können
effizient kühlen und fragmentieren. Das sind typische Galaxienmassen.
• Nachdem das Gas langsam weitergekühlt hat, erreicht es einen endgültigen Radius im Bereich ∼ 10 - 20
kpc, der typischen Ausdehnung großer Galaxien.
• Das ergibt eine Dichte von ρgal ∼ 10−25 g/cm3 , also ca. 105 mal größer als die heutige mittlere Dichte des
Universums.
1
14
ASTROPHYSIK IN GRÖSSENORDNUNGEN
• Angenommen, die Gaswolken kollabierten, als δρ ∼ 100ρ̄. Dann war die mittlere Dichte damals ca. 1000
ρ0 bzw. der Skalenfaktor war um den Faktor 10 kleiner. Das entspricht der Rotverschiebung zgal ∼ 9, bei
der der Großteil der Galaxienentstehung stattgefunden hat.
• Wenn die kollabierenden Gebiete damals dicht gepackt waren, d.h. ihre Zentren ca. 150 kpc voneinander
entfernt waren, haben sie jetzt typische Abstände von 150(1 + z)kpc ∼ 1.5 Mpc. Das entspricht tatsächlich
dem charakteristischen Abstand großer Galaxien.
• Größere gravitativ gebundene Systeme wie Galaxienhaufen (R ∼ 10 Mpc, M ∼ 1047 g) existieren, können
aber noch nicht vollständig abgekühlt sein (T ∼ GM mp /Rk ∼ 4 × 107 K). Ihre (baryonische) Hauptkomponente ist daher weiterhin heißes Plasma.
1.2.3
Planeten und Sterne
Die kleinsten Strukturen des Universums werden durch atomare Bindungskräfte zusammengehalten, größere durch
ihre Eigengravitation. Die größten Planeten liegen ungefähr an der Grenze dieser Regimes, was uns erlaubt, ihre
Masse abzuschätzen.
Die atomare und gravitative Bindungsenergie pro Teilchen mit mittlerem Abstand a0 ∼ 10−8 cm (vgl. Gl. (1.5))
−3
ist (mit n = a−3
):
0 = NR
a
∼
grav
∼
q2
∼ q 2 n1/3
a0
GN m2p
∼ GN 2/3 n1/3 m2p
R
(1.39)
(vgl. Gl. (1.6) und Gl. (1.14)).
Sie sind vergleichbar groß, wenn
N ∼ NG
≡
α
αG
3/2
∼ 1054
(1.40)
mit α und αG wie in Gl. (1.37).
Das ergibt eine typische Masse Mplanet ∼ NG mp ∼ 1030 g und einen typischen Radius Rplanet ∼ N 1/3 a0 ∼ 1010
cm und entspricht in etwa den Maßen von Jupiter.
Bem.: Ersetzt man in Gl. (1.40) α durch die Feinstrukturkonstante der starken Wechselwirkung, αs ∼ 100α, findet
man:
3/2
αs
Ns ∼
∼ 1057
αG
Ms
∼ Ns mp ∼ 1033 g
Rs
∼ Ns1/3 as0 ∼ 106 cm
(1.41)
mit as0 ∼ 10−5 a0 , also einen Neutronenstern.
Bei größeren Massen (Sterne) passt sich die Dichteverteilung dem hydrostatischen Gleichgewicht an, d.h. der
thermische (oder Entartungs-) Druckgradient kompensiert die Gravitationskraft. Bei kleineren Massen (Planeten,
Kometen usw.) ist die Gravitation strukturell vernachlässigbar und die Dichte nahezu konstant, so dass M ∝ R3 .
1
15
ASTROPHYSIK IN GRÖSSENORDNUNGEN
Sterne können im Zentrum Energie durch Kernfusion erzeugen. Die Fusion von H zu He ist möglich, wenn kT &
nuc ∼ ηα2 mp c2 mit η ∼ 0.1, vgl. Gl. (1.12).
Ist der Stern ausreichend groß (massereich), kontrahiert er aufgrund seiner Wärmeabstrahlung solange, bis er im
Zentrum die nötige Temperatur zur Kernfusion erreicht hat.
Ist der Stern allerdings zu klein, verhindert der Druck entarteter Elektronen im Zentrum einen weiteren Temperaturanstieg. Diese Grenzmasse zwischen richtigen “brennenden” Sternen und sog. Braunen Zwergen können wir
abschätzen, indem wir die Gravitations- und Fermienergie miteinander vergleichen.
Die (nichtrelativistische) Entartungsenergie pro Teilchen wird durch die Fermienergie gegeben:
F =
~2
(3π 2 n)2/3
2me
(1.42)
Hydrostatisches Gleichgewicht bedeutet in diesem Fall grav ∼ F (vgl. Gl. (1.39)). Diese Beziehung können wir
benützen, um n aus der gleichzeitigen Bedingung kT ∼ grav & nuc zu eliminieren. Daraus folgt wieder eine
Bedingung an die Teilchenzahl, N > N∗ mit
N∗
∼ (2η)3/4 (3π 2 )1/2
mp
me
3/4 α
αG
3/2
∼ 4 × 1056
(1.43)
Die zugehörige Masse ist M∗ = N∗ mp ∼ 4 × 1032 g und entspricht ungefähr der Masse der kleinsten Sterne.
Unsere Sonne, wie oben erwähnt, hat die Masse M ∼ 2 × 1033 g.
Der Vergleich mit Mg aus Gl. (1.38) zeigt, dass die die typische Zahl von Sternen in einer Galaxie durch Naturkonstanten abgeschätzt werden kann:
Ns =
Mg
M∗
=
α7
αG
1/2 me
mp
1/4
' 1012
(1.44)
−1/3
Der typische Abstand zweier Sterne in einer Galaxie ist d∗ ∼ Rg Ns
sie für fast alle Zwecke als Punktquellen.
1.2.4
∼ 1 pc. In dieser Entfernung erscheinen
Zusammenfassung
Universum:
• Hubblezeit (Alter des Universums): tH = H −1 ∼ 1010 Jahre
• Hubbleradius (Größe des beobachtbaren Universums): lH = ctH ∼ 3000 Mpc
• Rotverschiebung des Strahlungs-Materie-Übergangs: z ∼ 1000
Galaxien:
• Skalenvergleich: tcool ∼ tgrav
• charakteristischer Radius bei Entstehung: RG ∼ 70 kpc; endgültiger Radius nach weiterer Kühlung
∼ 10 - 20 kpc
• charakteristische Masse: MG ∼ 1044 g
• charakteristischer Abstand heute: ∼ 1.5 Mpc
1
ASTROPHYSIK IN GRÖSSENORDNUNGEN
Jupiterähnliche Planeten:
• Skalenvergleich: a ∼ grav
• charakteristische Masse: ∼ 1030 g
• charakteristischer Radius: ∼ 1010 cm
Kleinste Sterne:
• Skalenvergleich: F ∼ nuc ∼ grav
• charakteristische Masse: ∼ 1032 g
• Anzahl der Sterne in einer Galaxie: ∼ 1012
• Abstand zwischen Sternen innerhalb einer Galaxie: ∼ 1 pc
Astronomische Konstanten:
Sonnenmasse
Sonnenradius
Sonnenleuchtkraft
Sonneneffektivtemperatur
Erdmasse
Erdradius
Lichtjahr
Parsek
1 M
1 R
1 L
T
1 M⊕
1 R⊕
1 ly
1 pc
Astronomische Einheit
(Siderisches) Jahr
1 AU
1y
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
'
1.989 × 1033 g
6.9599 × 1010 cm
3.826 × 1033 erg s−1
5770 K
5.974 × 1027 g
6.378 × 108 cm
9.4605 × 1017 cm
3.0857 × 1018 cm
3.2616 ly
1.4960 × 1013 cm
3.155815 × 107 s
π × 107 s
16
2
17
MATERIE UND STRAHLUNG
2
Materie und Strahlung
2.1
Allgemeines
Wir erhalten Informationen über astrophysikalische Prozesse im Wesentlichen durch die Detektion von Strahlung
mit Hilfe von Teleskopen, Satelliten oder Teilchendetektoren.
2.1.1
Beobachtungsgrößen
Allgemeine beobachtbare Eigenschaften von astronomischen Strahlungsquellen:
1. Himmelsposition.
2. Helligkeit bzw. gesamter Strahlungsfluss.
3. Spektrum, d.h. Strahlungsfluss als Funktion der Wellenlänge bzw. Energie.
4. Zeitverlauf der Helligkeit.
5. Bei ausgedehnten Quellen (Galaxien, Galaxienhaufen): räumliche Struktur bzw. Morphologie.
2.1.2
Teilchen mit und ohne Ruhemasse
Die Energie eines Teilchens ist
E
p
p2 c2 + m2 c4
p2
+ ...
= mc2 +
2m
=
für v c
(2.1)
Dabei ist
• c = 2.9979 × 1010 cm/s: die Lichtgeschwindigkeit
• m: die Ruhemasse. Für Photonen ist m = 0.
• p = |p|: Betrag des Impulses p = γmv (m > 0) bzw. p = ~k (m = 0). γ = (1 − v 2 /c2 )−1/2 ist der
Lorentzfaktor.
Obwohl es keinen strikten Unterschied zwischen Materie und Strahlung gibt, benützen wir den Begriff “Materie”
in der Regel für nichtrelativistische Teilchen (v c) während “Strahlung” für ultrarelativistische Teilchen (v ' c)
verwendet wird.
Photonen mit m = 0, also elektromagnetische Strahlung, sind in der Astronomie die wichtigsten Informationsträger. Weitere Strahlungsarten mit astronomischer Relevanz sind Neutrinos, hochenergetische kosmische Teilchen
und Gravitationswellen.
Elektromagnetische Strahlung kann auf zwei Weisen betrachtet werden:
Klassische Betrachtung:
Elektromagnetische Wellen sind Lösungen der Maxwellgleichungen. Die Quellen sind beschleunigte Ladungen.
Zusammenhang zwischen Wellenlänge λ und Frequenz ν:
λν = c
(2.2)
(z.B. λ = 1 m ≡ ν = 300 MHz).
Je größer die Wellenlänge, desto besser ist generell die klassische Näherung (diese etwas schwammige Aussage wird später konkretisiert werden).
2
18
MATERIE UND STRAHLUNG
Abbildung 2: Durchlässigkeit der Erdatmosphäre für elektromagnetische Strahlung.
Quantentheoretische Betrachtung:
Gas aus Photonen = masselosen Austauschteilchen der elektromagnetischen Kraft.
Für die Energie von Photonen gilt:
E
2.1.3
= ~|k|c
= ~ω
= hν
hc
=
λ
,
h = 6.6261 × 10−27 cm2 g/s (Plancksche Konstante)
(2.3)
Durchlässigkeit der Erdatmosphäre
Die Erdatmosphäre ist nur in bestimmten Wellenlängenbereichen für elektromagnetische Strahlung durchlässig
(Abb. (2)):
Radiofenster: λ ∼ einige mm bis ca. 50 m. Abschirmung durch die Ionosphäre bei größeren Wellenlängen: die
Elektronendichte durch Sonneneinstrahlung folgt aus dem Gleichsetzen von Ionisations- und Rekombinationsrate und liefert ne ∼ 4 × 105 cm−3 .
Die entsprechende Plasmafrequenz und -wellenlänge ist:
2 1/2
q ne
νplasma =
πm
' 6 MHz
λ ' 50 m
(2.4)
Bei kleineren Frequenzen (größeren Wellenlängen) gleichen die Elektronen des Plasmas das elektrische Feld
der Strahlung aus, so dass keine elektromagnetischen Wellen propagieren können.
Infrarotfenster: λ ∼ 10µm bis ca. 1 mm. Absorption durch Molekülbanden (H2 O, CO2 , O3 , . . . ). Mehrere
Fenster im nahen IR.
Optisches Fenster: λ ∼ 3000 Å bis ca. 20000 Å (sichtbarer Bereich: 3800 Å – 7500 Å).
UV, Röntgen, Gamma: λ . 3000 Å. Fast vollständige Absorption durch O3 (Ozon), sowie O, O2 , N2 . Beobachtung nur durch Satelliten.
2.2
Astrophysikalische Strahlungsquellen
Die folgenden Quellen sind Beispiele für die Vielfalt an astronomischen Objekten, von denen wir Strahlung empfangen.
2
MATERIE UND STRAHLUNG
2.2.1
19
Radio
Bereich:
λ ' 3 cm . . . 10 m
ν ' 3 × 107 . . . 1010 Hz
T ' 10−3 . . . 0.5 K
Diskrete Quellen:
Supernova-Überreste, Radiogalaxien, Quasare, etc. Emission hauptsächlich durch Synchrotronstrahlung.
HII-Regionen in der Nähe massiver Sterne: Emission durch thermische Bremsstrahlung. H-Wolken (neutraler Wasserstoff): 21-cm-Linie durch Hyperfein-Übergang.
Gebräuchliche Einheit für den Strahlungsfluss im Radiobereich (vgl. Kap. (2.5.1)): 1 Jansky = 1 Jy ≡ 10−26
W m−2 sr−1 Hz−1 .
Diffuser Hintergrund:
Galaktische Scheibe, Halo, unaufgelöste extragalaktische Quellen.
2.2.2
Mikrowellen und Submillimeter
Bereich:
λ ' 0.02 . . . 3 cm
ν ' 1010 . . . 3 × 1012 Hz
T ' 0.5 . . . 300 K
Diskrete Quellen:
Staubwolken, Quasare, etc.
Diffuser Hintergrund:
Kosmischer Mikrowellenhintergrund, T ' 2.73 K. Vgl. Kap. (1.2.1).
2.2.3
Infrarot
Bereich:
λ ' 8000 Å. . . 0.02 cm
ν ' 3 × 1012 . . . 1014 Hz
T ' 300 . . . 4000 K
Diskrete Quellen:
Heiße Staubwolken, Sternentstehungsgebiete, etc. Emission u.a. durch molekulare Prozesse.
Diffuser Hintergrund:
Interstellarer und interplanetarischer Staub, galaktische Scheibe, rotverschobener Beitrag der Epoche der
Galaxienentstehung.
2.2.4
Optisch und Ultraviolet
Bereich:
λ ' 100 . . . 8000 Å
ν ' 1014 . . . 3 × 1016 Hz
T ' 4000 . . . 3 × 104 K
Diskrete Quellen:
Sterne, Galaxien, Quasare. Ca. 1010 Quellen. Atomare Emissionsprozesse.
2
20
MATERIE UND STRAHLUNG
Diffuser Hintergrund:
Unaufgelöste Sterne und Galaxien, Rückstreuung durch interstellares Gas.
2.2.5
Röntgen und Gamma
Bereich:
λ ' . . . 100 Å
E ' 0.12 keV . . .
T ' 3 × 104 K . . .
Diskrete Quellen (Röntgen):
Galaktisch: Supernova-Überreste (SNR), akkretierende Binärsysteme (Akkretion auf Weißen Zwerg, Neutronenstern oder Schwarzes Loch). Extragalaktisch: Quasare, intergalaktisches Gas in Galaxienhaufen.
Emissionsprozesse: nuklearer Zerfall (z.B. SNR), thermisch (z.B. Akkretion), thermische Bremsstrahlung
(Haufengas).
Diskrete Quellen (Gamma):
Keine thermischen Quellen. Nichtthermische Emission z.B. durch inverse Comptonstreuung in akkretierenden Systemen (Binärsysteme, Quasare) und nukleare Prozesse.
Diffuser Hintergrund:
Intergalaktisches Plasma (T ∼ 109 K
Röntgen), Wechselwirkungen von hochenergetischer kosmischer
Strahlung mit interstellarem Medium (Gamma), unaufgelöste Punktquellen, Zerfall von 26 Al (1.8 MeV).
2.3
Freie Teilchen im thermischen Gleichgewicht
Wir betrachten jetzt ein Gas freier Teilchen, die durch Stöße miteinander in Kontakt stehen.
2.3.1
Dichte, Druck und Energiedichte
Die Verteilungsfunktion ist die Anzahl von Teilchen dN im 6-dimensionalen Phasenraumelement d3 xd3 p:
dN = f (x, p, t) d3 xd3 p
(2.5)
Aus f kann man folgende thermodynamischen Größen berechnen (wir nehmen an, dass f im Impulsraum isotrop
ist):
Dichte:
Z∞
ρ(x) = mn(x) ≡ m
f (p) 4πp2 dp
(2.6)
0
Druck: Impulsübertrag dp auf die Fläche L2 pro Zeitintervall dt:
P (x) ≡
=
1 dhpi
L2 dt
Z∞
1
p vf (p) 4πp2 dp
3
0
weil vf L2 dt Teilchen während dt die Fläche L2 durchströmen.
(2.7)
2
21
MATERIE UND STRAHLUNG
Energiedichte:
Z∞
e ≡
E(p) f (p) 4πp2 dp
0
≡ ρc2 + ρ
(wenn m 6= 0)
(2.8)
wobei wir als spezifische innere Energie eingeführt haben.
Für nichtrelativistische Teilchen wird aus Gl. (2.8) mit Gl. (2.1):
Z∞
ρ =
p2
f (p) 4πp2 dp
2m
(innere Energiedichte)
0
Z∞
=
1
2
=
3
P
2
pv f (p) 4πp2 dp
0
(2.9)
Für ultrarelativistische Teilchen bzw. Photonen ist E = pc. Gl. (2.8) und Gl. (2.7) ergeben:
Z∞
erad
=
pc f (p) 4πp2 dp
0
=
2.3.2
3Prad
(2.10)
Gleichgewichtsverteilungen
Das thermische Gleichgewicht (der Zustand, der die Entropiedichte maximiert) wird durch die Temperatur T
gekennzeichnet.
Im thermischen Gleichgewicht findet man die Verteilungsfunktion z.B. aus dem großkanonischen Ensemble (Landau & Lifschitz V):
fT =
gs
1
h3 exp E−µ ± 1
kT
(2.11)
(k = 1.3807 × 10−16 erg/K: Boltzmannkonstante, gs : Spinentartungsfaktor, µ: chemisches Potential, “+” für
Fermionen, “-” für Bosonen).
Das chemische Potential µ wird bei gegebener Teilchenzahlerhaltung (mc2 kT ) durch
Z
n = fT d3 p = const
(2.12)
festgelegt (vgl. Gl. (2.6)). Für Photonen ist µ = 0.
Der Entartungsparameter η = µ/kT zeigt, ob das Gas entartet (η 1) oder nichtentartet (η −1) ist. Wir
wenden uns zuerst dem nichtentarteten Fall zu.
2
22
MATERIE UND STRAHLUNG
2.3.3
Nichtentartetes, nichtrelativistisches Gas
Wenn η −1 ist der Exponentialfaktor in Gl. (2.11) 1 und damit:
Ek (p) − µ
gs
fT = 3 exp −
h
kT
(2.13)
mit Ek (p) = p2 /2m (Gl. (2.1); wir absorbieren mc2 in µ → µ − mc2 ).
Gl. (2.12) liefert
n
=
=
gs
(2πmkT )3/2 eη
h3
gs η
h
e
,
λT ≡ √
3
λT
2πmkT
(2.14)
λT ist die thermische Wellenlänge. Sie ist proportional zur de Broglie-Wellenlänge λdB = h/mv eines Teilchens
im thermischen Gleichgewicht (kT ∼ mv 2 ).
Damit folgt die Maxwell-Boltzmann-Verteilung (MB):
n
p2
fT =
exp −
2mkT
(2πmkT )3/2
(2.15)
Mit Gl. (2.15) können wir die kinetische Energiedichte aus Gl. (2.9) ausrechnen:
ρ =
3
nkT
2
(2.16)
Man kann sich den Begriff der Entartung veranschaulichen, indem man den mittleren Abstand der Teilchen, r =
n−1/3 , mit der thermischen Wellenlänge λT vergleicht.
Für η −1 gilt Gl. (2.14), so dass nach ein paar Umformungen:
λT
η ∼ 3 ln
(2.17)
r
η −1 und damit fehlende Entartung ist gleichbedeutend mit λT r. Wenn der mittlere Teilchenabstand viel
größer ist als die thermische Wellenlänge der Teilchen, kann man sie wie klassische Teilchen behandeln.
Bem.: Fehlende Entartung ⇔ T groß, ρ klein.
2.3.4
Entartetes nichtrelativistisches Fermionengas
Die einzigen in der Astrophyik relevanten entarteten Gase sind fermionisch (Elektronen und Neutronen). Sie werden durch die Fermi-Dirac-Verteilung (FD) beschrieben:
fT =
gs
1
h3 exp E−µ + 1
kT
Wenn η 1 wird Gl. (2.18) näherungsweise zur Stufenfunktion (eine Konsequenz des Pauli-Prinzips):
1
,
E k . EF ∼ µ
fT →
0
,
E k & EF
(2.18)
(2.19)
2
23
MATERIE UND STRAHLUNG
√
EF ist die Fermienergie, der entsprechende Impuls pF = 2mEF der Fermiimpuls. Sie markieren die Obergrenze der besetzten Zustände.
Mit Gl. (2.12) findet man in diesem Grenzfall, bis auf ein paar Vorfaktoren, dass
n ∝ (2πmkT η)3/2
Damit ist
η∝
λT
r
(2.20)
2
(2.21)
und η 1 wenn λT r. Die Quanteneigenschaften der Teilchen können im entarteten Fall nicht vernachlässigt
werden.
Der Fermiimpuls als Funktion der Dichte ist definiert durch Gl. (2.6):
ρ
=
mgs
h3
ZpF
4πp2 dp
0
pF
4πmgs 3
=
pF
3h3
1/3
3
ρ1/3
= h
4πmgs
(2.22)
Der Druck eines entarteten nichtrelativistischen Fermigases folgt aus Gl. (2.7):
P
=
ZpF
4πgs
3mh3
p4 dp
0
4πgs 5
p
=
15mh3 F
∝ ρ5/3
(2.23)
In hochrelativistisch entarteten Gasen ist der Druck
P
=
4πgs
3h3
ZpF
p3 c dp
0
πgs 4
=
p
3h3 F
∝ ρ4/3
(2.24)
In der Astrophysik sind:
• Hauptreihensterne (z.B. Sonne): nichtentartet, nichtrelativistisch
MB
• Weiße Zwerge: Ionen MB, Elektronen nichtrelativistisch entartet
FD
• Neutronensterne: Neutronen nichtrelativistisch entartet
FD
Wie wir später sehen werden, führt relativistische Entartung zu hydrostatischer Instabilität und damit zur ChandrasekharGrenzmasse.
2
24
MATERIE UND STRAHLUNG
Abbildung 3: Spektrum der kosmischen
Hintergrundstrahlung, aufgenommen vom
COBE-Satelliten. Es ist das beste gemessene Planckspektrum überhaupt.
2.3.5
Ultrarelativistisches Gas
Wenn mc2 kT (z.B. Photonen) ist die Teilchenzahl nicht erhalten
lung:
fT =
gs
h3 exp
1
E
kT
−1
µ = 0. Gl. (2.11) wird zur Planckvertei-
(2.25)
Im speziellen Fall von Photonen ist gs = 2 (Polarisationszustände) und E = pc = hν. Aus Gl. (2.8) und Gl. (2.25)
folgt die Energiedichte:
2 Z
hν
h
erad =
hνfT 4π
dν
c
c
Z
4π
1
2hν 3
dν
=
hν
c
c2 exp kT
−1
Z
4π
≡
Bν (T ) dν
c
4
=
σT 4
,
σ = 5.67 × 10−8 W m−2 K−4
c
(2.26)
= a T 4,
a = 7.566 × 10−15 erg cm−3 K−4
Die letzten zwei Zeilen sind das Stefan-Boltzmann-Gesetz.
Die Funktion Bν (T ) ist das bekannte Planckspektrum, das – unabhängig von der chemischen Zusammensetzung
des strahlenden Materials – die spektrale Energiedichte eines thermischen Strahlers charakterisiert:
Bν (T ) =
2hν 3
c2 exp
1
hν
kT
−1
(2.27)
Thermische Strahlung wird aus historischen Gründen auch “Hohlraum-” oder “Schwarzkörperstrahlung” genannt.
Das beste gemessene Planckspektrum ist das Spektrum der kosmischen Hintergrundstrahlung (Abb. (3)).
2
25
MATERIE UND STRAHLUNG
Abbildung 4: Planckspektrum in logarithmischer Form für verschiedene Temperaturen. Beachte, dass die Kurven
sich nicht überschneiden, weshalb die Messung von Bν bei einer festen Frequenz die Temperatur eindeutig festlegt.
Eigenschaften des Planckspektrums (vgl. Abb. (4)):
• Bei hohen Frequenzen (hν kT ) hat Gl. (2.27) die Form
Bν (T ) '
2hν 3
hν
exp
−
c2
kT
(2.28)
(Wiensche Näherung).
• Bei niedrigen Frequenzen (hν kT ) hat Gl. (2.27) die Form
Bν (T ) '
2ν 2
kT
c2
(2.29)
(Raleigh-Jeans-Näherung).
• Das Maximum von Bν verschiebt sich mit wachsender Temperatur zu höheren Frequenzen (kleineren Wellenlängen). Für die Wellenlänge am Maximum gilt das Wiensche Verschiebungsgesetz:
λmax T = 0.2897 cm K
(2.30)
2
26
MATERIE UND STRAHLUNG
Wir können jetzt – zumindest aus statistischer Sicht – konkretisieren, wann Photonen sich eher als Welle oder als
Teilchen verhalten:
• Ist hν kT , folgt aus Gl. (2.25) die Besetzungszahl nν ≡ h3 fT /gs ' kT /hν, entsprechend
der klassiP
schen Erwartung, dass jede Polarisationsmode die Energie Eν = kT /2 beiträgt und nν = Eν /hν.
• Ist hν kT , folgt aus Gl. (2.25) die Besetzungszahl nν ' exp[−hν/kT ], entsprechend der MB-Verteilung
für nichtentartete Teilchen (wegen nν 1).
Folglich überwiegt für hν kT der Teilchencharakter und für hν kT der Wellencharakter von Photonen.
2.3.6
Zusammenfassung: Zustandsgleichungen
Die Zustandsgleichung liefert den Zusammenhang zwischen dem Druck P , der Dichte ρ (oder n), der Energiedichte e bzw. ρ und der Temperatur T .
Alle Aussagen beziehen sich auf ideale Gase, d.h. freie, punktförmige Teilchen, die nur durch kurzreichweitige
Stöße wechselwirken.
Nichtentartet, nichtrelativistisch: (Gl. (2.9),Gl. (2.16))
P
2
ρ
3
= nkT
ρ
=
kT
µa mp
=
,
µa : mittleres Atomgewicht
(2.31)
Nichtrelativistisch entartete Fermionen: (Gl. (2.9),Gl. (2.23))
P
2
ρ
3
= A1 ρ5/3
=
(2.32)
Hochrelativistisch entartete Fermionen: (Gl. (2.10),Gl. (2.24))
P
1
e
3
= A2 ρ4/3
=
(2.33)
Die Faktoren A1 und A2 sind für Elektronen und Neutronen verschieden, weil sie die Ruhemasse m enthalten.
Ultrarelativistische Bosonen, Photonen: (Gl. (2.10), Gl. (2.26))
P
=
=
1
e
3
4
σT 4
3c
(2.34)
Allgemein lassen sich die ersten Zeilen von Gl. (2.31) – Gl. (2.34) als
P = (Γ − 1)(e − ρc2 )
schreiben, wobei Γ der jeweilige Adiabatenindex ist.
(2.35)
2
27
MATERIE UND STRAHLUNG
2.4
Astrophysikalische Strahlungsprozesse
Durch die Beobachtung des Strahlungsspektrums kann man auf die Entstehungs- und Propagationsprozesse zurückschließen.
Man unterscheidet, je nach Art der Wechselwirkung der Photonen mit gebundenen oder ungebundenen Elektronen:
Absorption, Emission (spontan oder stimuliert) oder Streuung, jeweils mit diskretem (gebunden-gebunden) oder
kontinuierichem Spektrum.
Die Wechselwirkungsrate kann mit Hilfe des Streu- oder Wirkungsquerschnitts σ(E) berechnet werden. Er wird
allgemein durch die Größe
σ(E) ≡
Anzahl der Reaktionen/Teilchen/Zeit
Anzahl der einfallenden Teilchen/Fläche/Zeit
(2.36)
definiert und hat die Einheit [Fläche]; seine Größenordnung ist z.B. für ein Wasserstoffatom σ ' π(2a0 )2 '
3.5 × 10−16 cm2 .
Die charakteristische Distanz, die ein Teilchen zwischen zwei Reaktionen oder Streuprozessen zurücklegt, ist die
mittlere freie Weglänge lmfp ≡ 1/nσ.
Bem.: Wir verwenden σ je nach Zusammenhang für den Streuquerschnitt, die Stefan-Boltzmann-Konstante
(vgl. Gl. (2.26)) oder ein Flächenelement im Strahlungsstrom. Die jeweilige Interpretation wird dem Leser als
Denksportaufgabe überlassen.
2.4.1
Atomare und molekulare Prozesse
gebunden↔gebunden: Strahlung mit diskreten Frequenzwerten ν (“Linien”), deren Energie E nach Gl. (2.3)
durch den Energieunterschied zweier gebundener Zustände – also solcher mit negativer Energie – von Hüllenelektronen (Atome, Ionen) oder Rotations- bzw. Schwingungszustände (Moleküle) gegeben ist.
Man unterscheidet Absorption, spontane und stimulierte Emission, je nachdem, ob die Energie des Endzustands höher oder niedriger als die des Anfangszustands ist. Vgl. Abb. (5).
Das häufigste Element im Universum ist der Wasserstoff. Seine atomaren Elektronenzustände haben die
Energieeigenwerte:
q2 Z 2
En = −
(2.37)
2a0 n2
Sie sind durch die Drehimpulszustände entartet:
gn = 2
n−1
X
(2l + 1) = 2n2
(2.38)
l=0
Die Balmer-Linien Hα , Hβ , Hγ usw. sind definiert durch n = 2 → n = 3, 4, . . . . Vgl. Abb. (6).
Molekulare Übergänge sind u.a. im interstellaren Medium und in kalten Sternatmosphären relevant. Sie
erfolgen zwischen Schwingungszuständen (nahes IR) oder Rotationszuständen (sub-mm, mm, Radio).
Die An- und Abregung der Elektronen- oder Molekülzustände kann auch über Teilchenstöße erfolgen. Dadurch stehen sie im thermischen Kontakt mit dem Gas.
Im thermischen Gleichgewicht bestimmt die MB-Verteilung (Gl. (2.15)) die relativen Besetzungszahlen ni,j
der Zustände mit der Energie Ei,j und den statistischen Gewichten gi,j :
ni
gi
Ei − Ej
=
exp −
(2.39)
nj
gj
kT
2
28
MATERIE UND STRAHLUNG
Abbildung 5: Strahlungsprozesse in der Atomhülle.
gebunden↔frei: Ionisations- oder Rekombinationsstrahlung
Abbildung 6: Übergänge im Wasserstoffatom.
kontinuierlich.
Die Photonenenergie hν ist die Summe aus der Ionisationsenergie und der kinetischen Energie des ionisierenden/rekombinierenden Elektrons:
p2
hν = Eion + e
(2.40)
2me
Aus Gl. (2.14) erhält man die Teilchenzahldichte der unionisierten Atome (Index A), Ionen (I) und Elektronen (e):
nA
=
nI
=
ne
=
gA
(2πmA kT )3/2 eηA
h3
gI
(2πmA kT )3/2 eηI e−Eion /kT
h3
2
(2πme kT )3/2 eηe
h3
(2.41)
mit ge = 2 und mI ≈ mA .
Aufgrund der Energieerhaltung (e(vorher)= e(nachher)) ist die Summe der chemischen Potentiale erhalten
und deshalb:
ηA = ηI + ηe
(2.42)
Deshalb erlaubt das Produkt nI ne /nA , alle ηs zu eliminieren, und man erhält die Sahagleichung für die
Besetzungszahlen der Ionisationszstände im thermischen Gleichgewicht:
nI ne
gI 2
Eion
3/2
(2πm
kT
)
exp
−
=
e
nA
gA h3
kT
(2.43)
2
29
MATERIE UND STRAHLUNG
Die Photoionisation von H− -Ionen ist die dominante Quelle der Kontinuumsopazität in kalten Sternen. Bei
heißen Sternen liefert die Photoionisation von H und He dominante Beiträge.
Der Wirkungsquerschnitt (vgl. Gl. (2.36)) für die Photoionisation eines Wasserstoffatoms im Zustand n
durch ein Photon mit der Wellenlänge λ lautet:
σphoto = 1.31 × 10
frei↔frei: Elektrobremsstrahlung
−15
n
−5
λ
5000 Å
3
cm2
(2.44)
kontinuierlich.
Ein freies Elektron wird im Coulombfeld eines Ions abgebremst. Die Photonenenergie entspricht dem Unterschied der kinetischen Energien des Elektrons vorher und nachher.
Sind die Elektronen und Ionen im thermischen Gleichgewicht, ergibt sich die thermische Bremsstrahlung,
die uns schon in Kap. (1.2.2) begegnet ist.
Frei-Frei-Opazität liefert einen wichtigen Beitrag zur Gesamtopazität heißer Sterne.
2.4.2
Strahlung im Magnetfeld
Zyklotronstrahlung: Strahlung nichtrelativistischer Elektronen (E me c2 ∼ 0.5 MeV) im Magnetfeld B.
Die Strahlungsfrequenz entspricht der Umlauffrequenz der Elektronen um den senkrechten Anteil des Magnetfelds B⊥ , der sog. Zyklotronfrequenz:
νzyk =
qB⊥
2πme
(2.45)
Im interstellaren Magnetfeld (B ∼ 10−5 G) ist νzyk ∼ 28 Hz, also nicht nachweisbar.
Synchrotronstrahlung: Strahlung relativistischer Elektronen (E & me c2 ) im Magnetfeld B.
Kontinuierliches Spektrum mit Maximum bei
νsyn =
νzyk
2
E
me c2
2
(2.46)
Z.B. νsyn ∼ 1010 Hz (λ ∼ 5 cm) für E ∼ 1010 eV (weiche kosmische Strahlung) im interstellaren Magnetfeld.
Wegen der Gyrationsebene der Elektronen senkrecht zur Magnetfeldrichtung ist die Synchrotronstrahlung
vollständig in dieser Ebene polarisiert (Abb. (7)).
In astrophysikalischen Plasmen kann die Energieverteilung relativistischer Elektronen meistens durch ein
Potenzgesetz ausgedrückt werden:
dNe
∝ E −g
(2.47)
dE
(z.B. g ' 3.3 im interstellaren Medium unserer Galaxie). Damit lässt sich das Synchrotronspektrum berechnen.
Synchrotronstrahlung ist ein Beispiel für nichtthermische Strahlung. Man beobachtet sie u.a. in:
• Rotierenden Magnetosphären von Neutronensternen.
• Supernova-Überresten.
• Galaktischen Magnetfeldern von Spiralgalaxien.
2
30
MATERIE UND STRAHLUNG
Abbildung 7: Synchrotronstrahlung.
• Galaxienhaufen.
• Aktiven Galaxienkernen.
Landaustrahlung: In sehr starken Magnetfeldern (EB ∼ E) befinden sich die e− in diskreten Zuständen (“Landauniveaus”).
Die Energieabstände sind
Elan = hνzyk =
2.4.3
~eB
me
(2.48)
Streuprozesse von Photonen und Elektronen
Rayleighstreuung: Streuung niederenergetischer Photonen an gebundenen Elektronen. Ursache für den blauen
Himmel. Relevant in den Atmosphären von Überriesen.
σR (λ) =
8πq 4
3m2e c4
λ0
λ
4
In Wasserstoff ist λ0 = 1026 Å.
Thomsonstreuung: Streuung niederenergetischer Photonen an freien Elektronen.
(2.49)
2
31
MATERIE UND STRAHLUNG
Der Streuquerschnitt folgt aus einer Entwicklung der Klein-Nishina-Formel für α = hν/me c2 1:
56 2
σT (ν) = σT 1 − 2α + α + . . .
5
8πq 4
(2.50)
= 6.65 × 10−25 cm2
σT ≡
3m2e c4
Thomsonstreuung ist relevant für den Strahlungstransport in Sternen, dem interstellaren Medium, Quasaren
und im frühen Universum vor der Rekombination.
Comptonstreuung: Streuung hochenergetischer Photonen an freien, niederenergetischen Elektronen oder umgekehrt (“inverse Comptonstreuung”).
Aus der Klein-Nishina-Formel folgt:
8πq 4 3
σC (ν) =
3m2e c4 8α
1
ln(2α) +
2
(2.51)
Inverse Comptonstreuung produziert Röntgen- und Gammastrahlung aus langwelligeren Photonen und tritt
u.a. auf in:
• Röntgenemission von Jets und aktiven Galaxienkernen.
• Streuung der Hintergrundstrahlung an heißen Elektronen im intergalaktischen Gas von Galaxienhaufen
Sunyaev-Zeldovich (SZ) Effekt.
2.5
Grundlagen des Strahlungstransports
In den meisten Fällen erreichen uns Photonen nicht direkt vom Ort ihrer Erzeugung (z.B. Sternzentrum), sondern
sie wechselwirken mit der Materie auf dem Weg zu uns durch häufige Absorption und Emission. Diesen Prozess
nennt man Strahlungstransport.
2.5.1
Wesentliche Begriffe
Intensität:
Das Strahlungsfeld wird an jedem Ort durch seine (frequenzabhängige) Intensität Iν gekennzeichnet.
Sie ist definiert durch die Strahlungsenergie dEν , die pro Zeiteinheit dt und (zur Strahlungsrichtung senkrechte) Flächeneinheit dA im Frequenzintervall [ν, ν + dν] in das Raumwinkelelement dΩ = sin θdθdφ
fließt (Abb. (8)):
dEν
= Iν dt dA dν dΩ
= Iν dt cos θdσ dν dΩ
(2.52)
Die Intensität hat die Einheit [erg cm−2 s−1 Hz−1 sterad−1 ]. dσ ist ein infinitesimales Flächenelement, das
zur Strahlungsrichtung im Winkel θ geneigt ist; die Richtung der Winkelkoordinate φ liegt in der Ebene dσ.
Im euklidischen Raum und ohne Absorption ist Iν unabhängig vom Abstand zur Strahlungsquelle, siehe
Abb. (9).
Die Energie, die durch die senkrecht zur Verbindungslinie projezierten Oberflächen fließt, ist wegen der
Energieerhaltung identisch: dEν = dEν0 , wobei
dEν
dEν0
= Iν dt cos θdσ dν dΩ
= Iν0 dt cos θ0 dσ 0 dν dΩ0
(2.53)
2
32
MATERIE UND STRAHLUNG
Abbildung 8: Zur Definition der Intensität.
Abbildung 9: Zur Abstandsunabhängigkeit
der Intensität.
Für die Raumwinkel, unter denen die Flächen erscheinen, gilt:
dΩ
dΩ0
= r−2 cos θ0 dσ 0
= r−2 cos θdσ
(2.54)
Daraus folgt mit Gl. (2.53):
Iν = Iν0
(2.55)
Das einfachste Beispiel liefert das globale thermische Gleichgewicht. In diesem Fall ist das Strahlungsfeld
isotrop (richtungsunabhängig) und die Intensität ist die Planckverteilung Gl. (2.27):
Iνtherm = Bν (T )
Die Gesamtintensität ist definiert als Integral von Iν über die Frequenz:
Z
I=
Iν dν
(2.56)
(2.57)
2
33
MATERIE UND STRAHLUNG
Abbildung 10: Zur Definition des Strahlungsdrucks.
Die mittlere Intensität findet man durch Intergrieren von Iν über den vollen Raumwinkel und Normierung
mit 1/4π:
Z
1
Iν dΩ
hIν i =
4π
Z2π Zπ
1
(2.58)
=
dφ dθ Iν sin θ
4π
0
0
Strahlungsdruck:
Der Strahlungsdruck im Frequenzband [ν, ν + dν] lässt sich aus dem Impulsübertrag von Photonen auf das
(fiktive) Flächenelement dA herleiten, vgl. Carroll & Ostlie S.260 und Abb. (10):
Z
1
Pν =
Iν cos2 θ dΩ
(2.59)
c
Im isotropen (Iν winkelunabhängig) bzw. thermischen (Gl. (2.56)) Strahlungsfeld wird daraus:
Pνiso
=
Pνtherm
=
4π
Iν
3c
4π
Bν (T )
3c
(2.60)
Das Integral von Pνtherm über ν liefert mit Gl. (2.26), wie erwartet, Gl. (2.34).
Strahlungsfluss:
Der spektrale Strahlungsfluss Fν ist die Strahlungsleistung im Spektralbereich [ν, ν+dν] pro Flächeneinheit.
Aus Gl. (2.52) folgt:
Z
Fν dσ =
Iν cos θdσdΩ
(2.61)
2
34
MATERIE UND STRAHLUNG
Bem.: Vorsicht: in manchen Büchern wird die gleiche Funktion als πFν definiert.
Der Gesamtstrahlungsfluss (auch “bolometrischer Fluß” genannt) ist definiert als
Z
F=
Fν dν
(2.62)
In isotropen Strahlungsfeldern fließt in beiden Richtungen gleichviel Strahlung durch die Fläche, deshalb ist
F = 0. An Sternoberflächen ist dagegen die Einstrahlung (π/2 < θ ≤ π) vernachlässigbar, während man
I out als konstant über die Ausstrahlungshemisphäre (0 < θ ≤ π/2) annehmen kann:
Fo
Z2π
=
Zπ/2
dθ I out cos θ sin θ
dφ
0
0
= πI
out
(2.63)
In großer Entfernung r von einem Stern mit Radius R erscheint dieser unter einem Raumwinkel Ω =
πR2 /r2 . Dann ist der beobachtete Strahlungsfluss fν in Abhängigkeit vom Strahlungsfluss an der Sternoberfläche Fνo :
R2
(2.64)
fν = I out Ω = Fνo 2
r
Leuchtkraft:
Die Gesamtstrahlungsleistung einer Oberfläche A ist die Leuchtkraft L:
L = AF
(2.65)
Die Leuchtkraft hat die Einheit [Energie/Zeit], also [erg/s] in CGS- oder [W] in SI-Einheiten.
An der Sternoberfläche eines Sterns mit Radius R ist die Leuchtkraft L = 4πR2 F o . Im Abstand r von
einem Stern mit der Leuchtkraft L misst man wegen Gl. (2.64) den Strahlungsfluss
f (r) =
L
4πr2
(2.66)
Effektivtemperatur:
Wäre die Sternoberfläche ein perfekter Schwarzkörperstrahler, ergäbe sich ihre Leuchtkraft aus Gl. (2.26),
Gl. (2.56), Gl. (2.63) und Gl. (2.65). Analog wird die Effektivtemperatur Teff definiert, auch wenn der
Stern nicht exakt thermisch strahlt:
L =
4
Teff
=
4
4πR2 σTeff
Z
1
Iν cos θ dΩdν
σ
(2.67)
Absorption:
Die in Kap. (2.4) diskutierten Absorptionssprozesse lassen sich durch ihren effektiven Wirkungsquerschnitt
pro Volumeneinheit beschreiben, der Absorptionskoeffizient (oder Opazität) κν genannt wird:
κν
≡ nσν
1
=
lmfp
(2.68)
2
35
MATERIE UND STRAHLUNG
Abbildung 11: log(κ/ρ) [m2 ] als Funktion von log(λ) [nm] für die Sonne (T ' 5000 K) und für τ Sco (T ' 28000
K).
Er hat die Einheit [1/Länge] (Vorsicht: manchmal steht κν auch für den Wirkungsquerschnitt pro Masseneinheit, d.h. κν → κν ρ).
Beim Durchgang der Strahlung durch eine Schicht der Dicke ds ändert sich die Intensität um
dIν = −Iν κν ds
(2.69)
κν hängt von den Besetzungszahlen (Gl. (2.39)) und dem Ionisationszustand (Gl. (2.43)) ab und ist damit
eine Funktion von T , der Teilchenzahldichte n und der chemischen Zusammensetzung des Gases.
Die Berechnung von κν erfordert die Berücksichtigung von mehreren 106 Linien und g-f-Übergängen.
Abb. (11) zeigt das Ergebnis für zwei typische Temperaturen.
Optische Tiefe:
Die Integration von Gl. (2.69) entlang einer radialen Sichtlinie ergibt (Erklärung folgt):
Iν = Iν0 e−τν
(2.70)
d.h. das Licht verliert auf der Strecke τν ' 1 um den Faktor 1/e an Intensität.
τν ist die optische Tiefe, definiert als
dτν ≡ −κν ds
(2.71)
2
36
MATERIE UND STRAHLUNG
Abbildung 12: Die vertikale optische Tiefe
in planparallelen Sternatmosphären.
Das Integral darüber liefert die Differenz der optischen Tiefe am Ende des Lichtwegs (Index f) (z.B. beim
Austritt aus der Atmosphäre) und zu Beginn (Index i):
τνf
−
τνi
Zs
=−
κν ds0
(2.72)
0
Die optische Tiefe an der Sternoberfläche sei τνf = 0. Dann folgt für die optische Tiefe an einem Punkt
innerhalb der Atmosphäre, von dem aus uns das Licht erreicht:
τν ≡
τνi
Zs
=
κν ds0
(2.73)
0
Ist τν 1 ist das Medium “optisch dick”, bei τν 1 wird es “optisch dünn” genannt.
Zur Analyse von Sternatmosphären, die wir hier als planparallele Schichten betrachten, benötigen wir die
vertikale optische Tiefe τνv , siehe Abb. (12). Es gilt:
τνv = cos θ τν
(2.74)
Emission:
Die Emission von Photonen mit der Frequenz ν (z.B. durch die Prozesse aus Kap. (2.4)) führt zur Erhöhung
der Intensität.
Analog zum Absorptionskoeffizienten wird sie durch den (richtungsunabhängigen) Emissionskoeffizienten
ν beschrieben, der wiederum eine Funktion der thermischen und chemischen Zustandsgrößen des Gases ist.
Beim Durchgang durch eine Schicht der Dicke ds ist
dIν = ν ds
(2.75)
2
37
MATERIE UND STRAHLUNG
2.5.2
Die Strahlungstransportgleichung
Wir betrachten in diesem Kapitel (und allen anderen) ausschließlich zeitlich stationäre Gase, so dass keine partiellen Zeitableitungen in den Gleichungen auftreten.
Fasst man Gl. (2.69) und Gl. (2.75) zusammen, erhält man:
dIν
= −κν Iν + ν
ds
(2.76)
Im thermischen Gleichgewicht ist dIν /ds = 0, weil das Strahlungsfeld homogen und isotrop ist. Gl. (2.76) wird
dann mit Hilfe von Gl. (2.56) zu
ν
= Bν (T )
(2.77)
κν
(Kirchhoffscher Satz).
Selbst ohne thermisches Gleichgewicht wird eine analoge Größe definiert, die Ergiebigkeit Sν (“source function”):
Sν ≡
ν
κν
(2.78)
Mit Gl. (2.71) folgt daraus die Strahlungstransportgleichung:
dIν
= Iν (τν ) − Sν (τν )
dτν
(2.79)
oder mit Gl. (2.74):
cos θ
dIν
= Iν (τν ) − Sν (τνv )
dτνv
Multiplikation von Gl. (2.79) mit e−τν ergibt:
dIν
− Iν e−τν = −Sν e−τν
dτν
d −τν
(e Iν ) = −Sν e−τν
dτν
Z0
0
0 −τν
Iν − Iν e
= − Sν e−τν dτν0
(2.80)
(2.81)
τν
Im letzten Schritt haben wir von innen (optische Tiefe τν , Intensität Iν0 ) nach außen (τν = 0) integriert.
Daraus erhält man schließlich die integrale Strahlungstransportgleichung:
Iν (τν = 0) =
Iν0 e−τν
Z0
−
0
Sν e−τν dτν0
(2.82)
τν
Häufig nimmt man näherungsweise an, dass die Opazität frequenzunabhängig ist. Eine solche Modellatmosphäre
wird graue Atmosphäre genannt.
R
Gl. (2.80) wird dann (mit S ≡ Sν dν) zu:
cos θ
dI
= I(τ ) − S(τ v )
dτ v
(2.83)
2
38
MATERIE UND STRAHLUNG
Durch Integration über den Raumwinkel folgt daraus mit Gl. (2.58), Gl. (2.61) und Gl. (2.62):
dF
= 4π(hIi − S)
dτ v
(2.84)
Eine weitere nützliche Gleichung finden Rwir durch Multiplikation von Gl. (2.83) mit cos θ und anschließende
Integration über den Raumwinkel. Wegen cos θdΩ = 0 folgt mit Gl. (2.59) und Gl. (2.61):
dP
1
= F
dτ v
c
(2.85)
In Kugelkoordinaten wird daraus:
κ
dP
=− F
dr
c
Der Strahlungsfluss wird also durch den Gradienten des Strahlungsdrucks “getrieben”.
2.5.3
(2.86)
Lokales thermisches Gleichgewicht (LTE)
Das thermodynamische Gleichgewicht, von dem in Kap. (2.3) die Rede war, gilt steng genommen nur für geschlossene Systeme. Strahlende Objekte, die somit Energie verlieren, können sich nicht im globalen thermischen
Gleichgewicht befinden.
Andererseits sind häufig folgende Bedingungen erfüllt:
1. Elastische Teilchenstreuungen erzeugen eine MB Verteilung (Gl. (2.15)) für die Atome und Ionen.
2. Atomare An- und Abregungen durch anelastische Stöße dominieren über Strahlungsprozesse, so dass die
Besetzungszahlen durch Gl. (2.39) und Gl. (2.43) gegeben sind.
In diesem Fall hat die emittierte Strahlung die Planckverteilung (Gl. (2.77)):
Sν = Bν (T )
(2.87)
(aber im Allgemeinen nicht Iν = Bν ) lokales thermisches Gleichgewicht (LTE).
Man kann abschätzen, ob LTE eine gute Näherung ist, indem man die Energiedichte der Photonen (Gl. (2.26)) mit
derjenigen der Ionen (Gl. (2.16)) vergleicht:

LTE
 1
3
erad
T [K]
'
1
LTE
fragwürdig
= 36.5
→
(2.88)

ρ
n [cm−3 ]
1
Non-LTE
Im sog. Non-LTE (NLTE) müssen die Besetzungszahlen und Ionisationszustände explizit durch Integration der Ratengleichungen berechnet werden, was häufig erhebliche numerische Kopfschmerzen verursacht. Beispiele hierfür
sind Sternwinde, das interstellare Medium und – besonders heimtückisch – Supernovae vom Typ Ia.
Manchmal macht es dennoch Sinn, von der Temperatur als Parameter zu sprechen, wenn man sie durch eine der
folgenden Messvorschriften definiert:
• Die Strahlungstemperatur folgt aus der Näherung eines Sternspektrums mit einem Planckspektrum der
Temperatur T .
• Die Anregungstemperatur beschreibt die Besetzungszahlen der atomaren oder molekularen Zustände mit
Hilfe von Gl. (2.39).
• Die Ionisationstemperatur folgt aus der Sahagleichung Gl. (2.43).
• Die kinetische Temperatur wird aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung Gl. (2.15) berechnet, wenn die
Impulsverteilung bekannt ist.
2
39
MATERIE UND STRAHLUNG
Abbildung 13: Zur Eddington-Näherung.
2.5.4
Die Eddington-Näherung für Sternatmosphären
Nach dem kurzen Abstecher ins LTE kommen wir zurück zu einer wichtigen Anwendung der Strahlungstransportgleichungen: der Analyse von Sternatmosphären. In aller Allgemeinheit wird diese heutzutage mit numerischen
Methoden betrieben, aber man kann ein paar wichtige Eigenschaften durch vereinfachende Modellannahmen verstehen.
Da dem Strahlungsfeld innnerhalb einer Sternatmosphäre keine Energie hinzugefügt oder entzogen wird, ist der
Strahlungsfluss definitionsgemäß unabhängig von der optischen Tiefe. Damit folgt aus Gl. (2.84):
hIi = S
Gl. (2.85) lässt sich nun einfach integrieren:
P =
τ
F +C
c
(2.89)
(2.90)
mit der Integrationskonstanten C.
Um den Strahlungsfluss durch die Intensität auszudrücken, folgen wir einer Näherung von Sir Arthur Eddington
(1882 – 1944), einem der einflussreichsten Astrophysiker des letzten Jahrhunderts, der sog. Eddington-Näherung:
1. Die Intensität sei gegeben durch die Summe einer (jew. tiefenabhängigen) einfallenden (I in ) und ausfallenden (I out ) Komponente, siehe Abb. (13).
2. An der Obergrenze der Atmosphäre sei die Einstrahlung verschwindend gering: I in (τ v = 0) = 0.
Durch einfache Verallgemeinerung der Herleitung von Gl. (2.63) findet man:
1 out
(I
+ I in )
2
= π(I out − I in )
2π out
=
(I
+ I in )
3c
4π
=
hIi
3c
hIi =
F
P
(2.91)
(2.92)
(2.93)
(2.94)
2
40
MATERIE UND STRAHLUNG
Die Integrationskonstante in Gl. (2.90) folgt aus Gl. (2.94) und hI(τ v = 0)i = F/2π:
C=
2
F
3c
(2.95)
Damit wird Gl. (2.90) zu einer Gleichung für die mittlere Intensität als Funktion der optischen Tiefe (zur Erinnerung: F ist unabhängig von τ v ):
2
3
F τv +
hIi =
4π
3
3σ 4
2
=
Teff τ v +
(2.96)
4π
3
mit der Definition der Effektivtemperatur Gl. (2.67) und Gl. (2.65).
Schließlich verwenden wir die Annahme des LTE, um mit Gl. (2.87), Gl. (2.89) und Gl. (2.26) die mittlere Intensität
durch die lokale (tiefenabhängige!) Gastemperatur T auszudrücken:
hIi =
σ 4
T
π
(2.97)
Zusammen erhält man damit Temperaturschichtung einer planparallelen Atmosphäre in der Eddington-Näherung:
T 4 (τ v ) =
3 4
T
4 eff
τv +
2
3
(2.98)
Daraus lernt man folgendes über Sternatmosphären:
• Die Effektivtemperatur Teff entspricht der Gastemperatur T in der optischen Tiefe τ v ' 2/3, nicht τ v = 0,
wie man vielleicht vermutet hätte.
• Die Oberfläche, deren Ausstrahlung man im statistischen Mittel beobachtet, liegt bei τ v ' 2/3. Sie definiert
die Photosphäre des Sterns.
• Bei Wellenlängen, deren Opazität hoch ist, liegt τ v = 2/3 näher an der Oberfläche des Sterns. Wenn die
Temperatur nach außen abnimmt, entspricht dies einer geringeren lokalen Gastemperatur
geringerer Intensität einer Absorptionslinie.
• Am Rand der Sternscheibe bildet die Sichtlinie einen größeren Winkel θ mit der Radialrichtung des Sterns,
als in der Mitte. Aus Gl. (2.74) folgt wiederum, dass τ v = 2/3 dort einer geringeren radialen Tiefe und
daher einer geringeren Temperatur entspricht
Mitte-Rand-Verdunklung, Abb. (14).
2.5.5
Emissions- und Absorptionslinienspektren
Die Frage, in welchen Situationen Emissions- oder Absorptionslinien zu erwarten sind, kann durch einen Vergleich
der Terme in der integralen Strahlungstransportgleichung Gl. (2.82) beantwortet werden.
Als Vereinfachung betrachten wir ein Gas im LTE mit der räumlich konstanten Temperatur T , das auf der Strecke
s von einer Strahlungsquelle durchleuchtet wird. Gl. (2.82) lässt sich mit Hilfe von Gl. (2.87) schreiben:
Iν = Iν0 e−τν + Bν (T )(1 − e−τν )
Wir betrachten folgende Grenzfälle:
(2.99)
2
41
MATERIE UND STRAHLUNG
Abbildung 14:
Verdunklung.
Zur
Mitte-Rand-
Abbildung 15: Arten von Spektren.
Iν0 ' 0, τν 1 (Hintergrunds-Strahlungsquelle schwach, Gas ist optisch dünn):
Taylorentwicklung von Gl. (2.99) um τν = 0 ergibt
Iν ' τν Bν = κν s Bν
(2.100)
Intensität ist hoch, wo κν groß ist, und umgekehrt. Da κν insbesondere in diskreten Energieübergängen
groß ist (Kap. (2.4)), sieht man ein Emissionslinienspektrum.
Beispiele: Sternwinde, späte Supernovaspektren (“Nebelphase”), Quasarspektren.
Iν0 ' 0, τν 1 (Hintergrunds-Strahlungsquelle schwach, Gas ist optisch dick):
Dann ist
Iν ' Bν
(2.101)
d.h. das Gas ist ein Schwarzkörperstrahler. Das beste Beispiel ist die kosmische Hintergrundstrahlung (Abb. (3)).
2
42
MATERIE UND STRAHLUNG
Abbildung 16: Form einer Absorptionslinie und ihre Äquivalenzbreite W .
Iν0 6= 0, τν 1 (Hintergrunds-Strahlungsquelle stark, Gas ist optisch dünn):
Gl. (2.99) wird durch Entwicklung nach τν zu
Iν
' Iν0 (1 − τν ) + Bν τν
= Iν0 − κν s (Iν0 − Bν )
Wenn Bν < Iν0 und κν groß (Linienübergang)
sphären, H-Wolken vor Quasaren.
Wenn Bν > Iν0 und κν groß
2.5.6
(2.102)
Absorptionslinienspektrum. Beispiele: Sternatmo-
Emissionslinienspektrum. Beispiel: Sonnenkorona.
Struktur von Spektrallinien
Die Lage, Tiefe und Form von Spektrallinien als Funktion der Wellenlänge enthalten eine Fülle von Informationen
über den thermischen Zustand und die chemische Komposition eines astronomischen Objekts.
Man bezeichnet die spektrale Region außerhalb von Spektrallinien als Kontinuum, gekennzeichnet durch den
Kontinuumsfluss F c (z.B. ein Planckspektrum bei thermischen Strahlern).
Die Tiefe einer Absorptionslinie wird durch die relative Abweichung des Flusses von F c gemessen, das Integral
darüber ist die sog. Äquivalenzbreite (Abb. (16):
Z
F c − Fλ
W ≡
dλ
(2.103)
Fc
Die folgenden Prozesse beeinflussen die Form bzw. die Breite einer Linie:
Natürliche Breite:
Die endliche Lebensdauer eines angeregten Zustands führt über das Heisenbergsche Unschärfeprinzip, ∆E∆t '
~, zu einer natürlichen Breite
λ2
1
1
+
(2.104)
∆λ '
2πc ∆ti
∆tf
wenn ∆ti bzw. ∆tf die Lebensdauern des Anfangs- bzw. Endzustands sind.
2
43
MATERIE UND STRAHLUNG
In der Astrophysik dominieren in der Regel die anderen Verbreiterungsmechanismen, so dass die natürliche
Linienbreite meistens irrelevant ist.
Dopplerverbreiterung:
Thermische Bewegungen der Gasteilchen entlang der Sichtlinie bewirken eine Verbreiterung über den Dopplereffekt,
∆λ/λ = ±|vr |/c. Das Maximum der MB-Verteilung für die Geschwindigkeit liegt bei v =
p
2kT /m (vgl. Übungsaufgabe), so dass:
r
2λ 2kT
∆λ '
(2.105)
c
m
(bei λ0 + ∆λ fällt die Linie um den Faktor 1/e ab).
√
Der Schritt zur Halbwertsbreite liefert einen weiteren Faktor ln 2. Des weiteren können turbulente Geschwindigkeitsfluktuationen vtur zur Dopplerverbreiterung beitragen:
s
2λ
2kT
2
∆λ =
+ vtur ln 2
(2.106)
c
m
Das Dopplerprofil fällt nach außen, der MB-Verteilung folgend, exponentiell ab und ist deshalb meistens nur
im Linienkern wichtig.
Druck- bzw. Stoßverbreiterung:
Die An- und Abregung von Zuständen durch Stöße wirkt ähnlich wie die natürliche Linienbreite. Die resultierende Linienverbreiterung lässt sich ebenso durch eine Zeitunschärfe parametrisieren, die sich durch die
mittlere Zeit zwischen Stößen abschätzen lässt:
∆t
'
=
lmfp
vr
m
1
nσ 2kT
(2.107)
Daraus ergibt sich:
∆λ
=
'
λ2 1
c π∆tr
λ2 nσ 2kT
c π
m
(2.108)
Die Druckverbreiterung ist also direkt proprtional zur Dichte des Gases.
Das Profil der Druckverbreiterung ist ein sog. Lorentzprofil (“Dämpfungsprofil”), das in den Linienflügeln
wie ∼ ν −2 abfällt. Dort dominiert es wegen seines langsameren Abfalls im Vergleich zur exponentiell
abfallenden Dopplerverbreiterung (siehe Abb. (17))
die Breite der Linienflügel ist proportional zur Teilchenzahldichte, die Breite des Linienkerns ist proportional zur Teilchengeschwindigkeit ∼ T 1/2 .
Die Faltung aus Doppler- und Dämpfungsprofil wird Voigtprofil genannt (anschaulich: “jeder Streifen im
Dämpfungsprofil wird noch einmal dopplerverbreitert”). Es hat die Form (x ∝ ν):
+∞
Z
φ(ν) ∝
−∞
exp(−y 2 )
dy
α2 + (x − y)2
(2.109)
2
MATERIE UND STRAHLUNG
44
Abbildung 17: Dopplerkern und Dämpfungsflügel einer Absorptionslinie.
Die Informationen aus der spektroskopischen Beobachtung von Sternen und anderen Objekten lassen sich mit den
Werkzeugen der Atom- und Strahlungsphysik, die in diesem Kapitel vorgestellt wurden, in physikalische Aussagen
übersetzen. Das geschah eine lange Zeit mit ausgefeilten analytischen Methoden, die aber inzwischen weitgehend
an Bedeutung verloren haben. Statt dessen werden heute detaillierte Modellatmosphären numerisch analysiert und
an die Beobachtungen gefittet, um die zugrunde liegenden Parameter zu extrahieren.
3
STELLARE BEOBACHTUNGSGRÖSSEN
3
3.1
3.1.1
45
Stellare Beobachtungsgrößen
Größe und Entfernung
Entfernung
Parallaxenmethode:
Die direkteste Entfernungsmessung ist die parallaktische Methode. Sie beruht auf der Änderung der Himmelsposition des Sterns als Funktion der Jahreszeit (siehe Abb. (18)).
Abbildung 18: Parallaktische Entfernungsmessung.
Die Parallaxe ist der Winkel, unter dem der Erdbahnradius (1 Astronomische Einheit = 1 AU = 1.5 × 1013
cm) vom Abstand des Sterns aus erscheint. Man definiert 1 Parsec = 1 pc = 3 × 1018 cm entsprechend einer
Parallaxe von 1 Bogensekunde.
Mit terrestrischen Teleskopen kann man parallaktische Entfernungen bis zu 10 pc mit ca. 10% Genauigkeit
messen. Der Hipparcos-Satellit misst Entfernungen bis ca. 1 kpc.
Standardkerzen:
Mit Hilfe der parallaktischen Entfernung kann man die nächste Stufe der astronomischen “Entfernungsleiter”
eichen: die Cepheiden. Dabei handelt es sich um pulsierende Sterne, deren Pulsationsfrequenz mit ihrer
Leuchtkraft zusammenhängt. Mehr dazu in Kap. (5.2.6).
Cepheiden sind ein Beispiel für sog. Standardkerzen, deren Leuchtkraft man glaubt zu kennen bzw. auf
unabhängige Weise bestimmen zu können. Durch Messung ihres Strahlungsflusses kann man dann gemäß
Gl. (2.66) den Abstand bestimmen.
Diese Methode funktioniert auch für kosmologische Abstände, bei denen die Expansion und Geometrie des
Universums spürbar werden. Die derzeit besten kosmologischen Standardkerzen sind Typ Ia Supernovae
(Kap. (6.1.2)).
3.1.2
Radius
Bedeckungsveränderliche:
Die Lichtkurve eines Doppelsternsystems, in dem ein Partner periodisch den anderen bedeckt, sei bekannt.
3
46
STELLARE BEOBACHTUNGSGRÖSSEN
Abbildung 19: Radiusmessung mit Bedeckungsveränderlichen.
Dann ist (vgl. Abb. (19); D, d: Sterndurchmesser, L: Bahnlänge, P : Umlaufzeit):
t 4 − t1
P
t 3 − t2
P
D
L
=
=
,
D+d
L
D−d
L
d
L
(3.1)
Ist zudem durch spektroskopische Beobachtungen (Dopplereffekt) die Bahngeschwindigkeit v = L/P bekannt, folgen daraus d und D.
Mondokkultation:
Beobachtung der Lichtkurve eines Sterns bei Durchgang der Mondbahn durch die Sichtlinie liefert Sternradius mit Genauigkeit bis maximal ∼ 0.0100 .
3
47
STELLARE BEOBACHTUNGSGRÖSSEN
Abbildung 20: Das VLT-Interferometriesystem
Leuchtkraftradius:
Sind die Leuchtkraft L eines Sterns ( seine Entfernung!) und seine Effektivtemperatur Teff (z.B. aus dem
Spektrum) bekannt, kann R durch Gl. (2.67) bestimmt werden.
Interferometrie:
Durch Überlagerung der Wellenzüge, die von gegenüberliegenden Seiten einer Kreisscheibe ausgestrahlt
und an zwei getrennten Orten gemessen werden, kann man ein Interferenzmuster erzeugen. Daran lässt sich
der Winkel, unter dem die Kreisscheibe erscheint, ablesen.
Die theoretische Auflösungsgrenze eines Interferometers, dessen Empfänger den Abstand D haben, ist
λ
D
λ[400nm]
≈ 0.100
D[1m]
φ =
1.22
(3.2)
Diese Technik wurde schon lange erfolgreich an einzelnen Teleskopen durchgeführt, wo sie allerdings von
der Größe des Teleskops begrenzt ist. Seit kurzem wird sie auch mit mehreren getrennten optischen Teleskopen erprobt, z.B. dem Very Large Telescope (VLT) der ESO mit Basislänge bis zu 200 m (Abb. (20)).
3.1.3
Masse
Eine direkte Bestimmung der Sternmasse ist nur in Doppelsternsystemen möglich. Ungefähr die Hälfte aller beobachteten Sternsysteme sind Doppelsterne.
Die Lösung des gravitativen Zweikörperproblems führt zu den Keplerschen Gesetzen, die Johannes Kepler (1571
– 1630) durch Beobachtungen der Planetenbahnen im Sonnensystem fand:
1. Keplersches Gesetz: Die Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne im Brennpunkt.
2. Keplersches Gesetz: Der Radiusvektor eines Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen, siehe
Abb. (21).
3
48
STELLARE BEOBACHTUNGSGRÖSSEN
Abbildung 21: Zum 2. Keplerschen Gesetz.
Die Punkte entlang der Planetenbahn haben
identische Zeitabstände.
3. Keplersches Gesetz: Die Kuben der Halbachsen verhalten sich wie die Quadrate der Umlaufzeiten.
Kurz darauf fand Isaac Newton die physikalische Eklärung dieser Gesetze: die Bahnen von Massepunkten im
1/r-Potential sind Kegelschnitte
Ellipsen für gebundene Systeme; der Schwerpunkt befindet sich in einem
der Brennpunkte (1. K.G.). Die Drehimpulserhaltung (folgt aus Rotationsinvarianz) liefert das 2. K.G. und die
Integration geschlossener Bahnen liefert das 3. K.G. in der Form:
P2 =
4π 2 3
a
GM
(3.3)
(M ≡ M1 + M2 : Gesamtmasse; a: große Halbachse des Orbits der reduzierten Masse µ ≡ M1 M2 /M um die
Gesamtmasse im Schwerpunkt).
Zurück zur Massenbestimmung. Man klassifiziert Doppelsternsysteme nach der Art und Menge der Informationen,
die man über ihre Parameter erhalten kann:
Visuelle Doppelsterne:
Hier sind beide Sterne beobachtbar, d.h. man kennt die Umlaufperiode P sowie die großen Halbachsen a1 , a2
beider Sterne um den gemeinsamen Schwerpunkt (der Neigungswinkel i der Bahn zur Sichtlinie ergibt sich
aus der Abweichung des Schwerpunkts vom Brennpunkt der Ellipse, siehe Abb. (22)).
Aus dem 3. Keplerschen Gesetz (Gl. (3.3)) folgt mit Hilfe des Schwerpunktsatzes und a = a1 + a2 :
M1 + M2
a1 M1
M1
4π 2 (a1 + a2 )3
GP 2
= a2 M2
, M2
=
Astrometrische Doppelsterne:
Hier kann nur der hellere Sterne bebachtet werden (
(3.4)
a1 , P ). Damit erhält man aus Gl. (3.3) nur die
3
49
STELLARE BEOBACHTUNGSGRÖSSEN
Abbildung 22: Ein auf die Sichtfläche projizierter elliptischer Orbit ergibt ebenfalls
einen elliptischen Orbit, dessen Brennpunkt
aber nicht dem projizierten Brennpunkt entspricht.
eingeschränkte Information M2 3 /M 2 :
a1
a
M23
M2
=
=
M2
M
4π 2 a31
GP 2
(3.5)
Spektroskopische Doppelsterne:
In diesem Fall beobachtet man die Dopplerverschiebung der Spektrallinien eines oder beider Sterne als
Funktion der Zeit und erhält daraus ihre Geschwindigkeitskurven entlang der Sichtlinie.
Daraus kann man die Größe a1 sin i berechnen, wobei die Bahnneigung i jetzt unbekannt ist. Gl. (3.5) liefert:
4π 2 a31 sin3 i
M 3 sin3 i
= 2 2
2
GP
M
(3.6)
Die rechte Seite wird Massenfunktion genannt. Für statistische Zwecke nützt man aus, dass sin3 i ' 0.59.
Sind beide Spektren beobachtbar, erhält man auf die gleiche Weise die Massenfunktion des anderen Sterns
und damit das Massenverhältnis M1 /M2 .
Spektrale Massenbestimmung:
Wie gleich gezeigt wird, lässt sich die Schwerebeschleunigung
g=
GM
R2
(3.7)
aus der Analyse von Sternspektren ableiten. Ist der Radius bekannt (s.o.), kann man daraus die Masse ausrechnen.
3.1.4
Oberflächen-Schwerebeschleunigung
Es ist möglich, aus dem Linienspektrum eine einfache Abschätzung der Gravitationsbeschleunigung g an der
Sternoberfläche zu erhalten (und daraus von M oder R, wenn die jew. andere Größe bekannt ist).
3
50
STELLARE BEOBACHTUNGSGRÖSSEN
Dafür verwenden wir ein Gleichung, die später (Kap. (4.1.2)) für die Beschreibung des hydrostatischen Gleichgewichts in Sternen eingeführt wird (Gl. (4.4)):
dP
= −gρ
(3.8)
dr
In der Sternatmosphäre können wir T ' const annehmen. Dann folgt aus Gl. (2.31):
dP
dr
dρ
dr
kT dρ
µa mp dr
ρ
= −
,
lP
=
lP ≡
kT
gµa mp
(3.9)
Bem.: lP = |dr/d ln P | ist die Druckskalenhöhe. Sie ist ein Maß für die charakteristische Längenskala, auf der
sich P und ρ merklich ändern.
Sternspektren geben Aufschluß über die Physik in der Nähe der Photosphäre, d.h. bei einer optischen Tiefe τ ∼
2/3, vgl. Kap. (2.5.4). Aus Gl. (2.71) folgt:
dτν
= −κν dr
' −ρfα,ν dr
(3.10)
wobei die Oszillatorstärken fα,ν aus der Atomphysik berechnet werden können.
Eingesetzt in Gl. (3.9) und integriert (lP , fα,ν ≈ const) liefert Gl. (3.10) (mit Hilfe von Gl. (2.98)):
ρ(τ )
=
g
=
τ
lP fα,ν
3kTeff fα,ν ρ(τ = 2/3)
2µa mp
(3.11)
Die Dichte ρ erhält man aus Gl. (2.39) und Gl. (2.43) sowie aus der Form der Linien.
3.2
3.2.1
Helligkeit und Leuchtkraft
Scheinbare Helligkeit
Die scheinbare Helligkeit ist ein (historisches) Maß für den gemessenen Strahlungsfluss f (Gl. (2.64)). Es lehnt
sich an die griechische Magnitudenskala an, die praktisch die logarithmische Intensitätsempfindlichkeit des menschlichen Auges wiedergab.
Sie ist definiert als:
fν
mν ≡ −2.5 log
(3.12)
fν (Vega)
In diesem sog. “‘klassischen” oder “Vega”-Helligkeitssystem ist Vega (ein A0V Stern, s.u.) der Standardstern,
dessen Helligkeit in allen Frequenzen = 0 ist.
Das modernere “AB”-Helligkeitssystem ist so gewählt, dass Vega- und AB-Helligkeiten bei 5500 Å übereinstimmen:
fν
mν ≡ −2.5 log
(3.13)
3.6308 × 10−23 W Hz−1 m−2
3
51
STELLARE BEOBACHTUNGSGRÖSSEN
Abbildung 23: Transmissionsfunktionen
für Johnson UBV und Kron-Cousins RI.
Ebenfalls gezeigt ist das Spektrum eines
G5V-Sterns.
In den meisten Beobachtungen misst man den integrierten Fluss in verschiedenen Filterbändern i, die durch ihre
Transmissionsfunktion Ti (ν) charakterisiert werden:
R
fν Ti (ν)dν
mi ≡ −2.5 log R
(3.14)
fν (Vega)Ti (ν)dν
Die gebräuchlichsten Filter sind die Systeme von Johnson (UBVRIJHKLMN) und Kron-Cousins, siehe Abb. (23).
Dabei ist U = nahes UV, B = blau, V = sichtbar (grün), R = rot, I = nahes IR, JHKLMN = IR.
Die bolometrische Helligkeit mbol ist die Helligkeit integriert über das gesamte Frequenzband (f anstatt fν in
Gl. (3.12)).
3.2.2
Farbe
Als Farbe oder Farbenindex definiert man die Differenz der Filterhelligkeiten in verschiedenen Bändern, z.B.
U−B
B−V
≡ mU − mB
≡ mB − mV
usw.
(3.15)
Positive Werte bedeuten rote Objekte, negative bezeichnen blaue Objekte. Der Vergleich von U-B und B-V ergibt
das Zweifarbendiagramm, siehe Abb. (24).
3.2.3
Absolute Helligkeit
Die absolute Helligkeit ist ein Maß für die Leuchtkraft eines Sterns. Man definiert sie als die scheinbare Helligkeit,
die dieser Stern in einer Entfernung von 10 pc haben würde:
M ≡ m − 2.5 log
f (r = 10pc)
f
(3.16)
Mit Gl. (2.66) folgt daraus das sog. Entfernungsmodul:
m − M = 5 log
r
10pc
(3.17)
m ist eine Messgröße, d.h. wenn M bekannt ist (z.B. aus der Lichtkurve von Supernovae), kann die Entfernung
bestimmt werden ( Standardkerzen).
3
52
STELLARE BEOBACHTUNGSGRÖSSEN
Abbildung 24: .Zweifarbendiagramm
für verschiedene Spektraltypen. Der
Verfärbungsweg zeigt die rötende Wirkung
des interstellaren Staubes.
Umrechnung von absoluter Helligkeit in Leuchtkraft (z.B. in Einheiten der Sonnenleuchtkraft L ):
L
Mbol − Mbol, = −2.5 log
L
(3.18)
mit Mbol, = 4.72 und L = 3.9 × 1033 erg/s.
3.3
Sternspektren
Sternspektren enthalten eine Fülle von Informationen, u.a. über die Oberflächentemperatur, die Masse, den Radius,
die Leuchtkraft und die chemische Zusammensetzung eines Sterns.
Ein paar historische Daten:
1815: Entdeckung von Absorptionslinien im Sonnenspektrum durch Fraunhofer in München (“Fraunhoferlinien”).
1859: Identifizierung von Natrium sowie Neuentdeckung von Caesium und Rubidium in Sternspektren von Kirchhoff und Bunsen in Heidelberg.
1842: Vorhersage des Doppler-Effekts durch Doppler, gefunden 1890 durch Scheiner (Potsdam) und Keeler (Lick
Observatory).
3
STELLARE BEOBACHTUNGSGRÖSSEN
53
Abbildung 25: Beispiele für Sternspektren
und ihre Klassifikationen.
3.3.1
Die Oberflächentemperatur
Die in Gl. (2.67) definierte Effektivtemperatur ist ein gutes Maß für die Temperatur der Sternoberfläche, oder,
genauer gesagt, der Photosphäre (vgl. Gl. (2.98)).
Sie lässt sich durch den Vergleich des Sternspektrums (z.B. Abb. (25)) mit einem Planckspektrum (Gl. (2.27)),
dessen einziger freier Parameter die Temperatur ist, abschätzen.
Sind die Effektivtemperatur (aus dem Spektrum) und die Leuchtkraft (aus der Helligkeit und dem Abstand) bekannt, kann man daraus den Sternradius berechnen (oder umgekehrt, bei geeigneten Kombinationen).
3.3.2
Spektralklassen
Es gibt mehrere Klassifizierungssysteme von Sternspektren (siehe z.B. Voigt). Das bekannteste davon ist das
Harvard-System.
Darin werden die Sterne in einer 1-dimensionalen Sequenz entsprechend ihrer Farbe, Effektivtemperatur (vgl. Gl. (2.67))
und spektralen Eigenschaften eingeordnet, siehe Abb. (26) und Abb. (27).
3
STELLARE BEOBACHTUNGSGRÖSSEN
Abbildung 26: Die Harvard-Klassifikation.
Abbildung 27: Spektrale Eigenschaften der Harvard-Klassifikation.
54
3
STELLARE BEOBACHTUNGSGRÖSSEN
55
Wer sich die Buchstabenreihenfolge unbedingt merken möchte, kann das je nach Geschmack auf Englisch:
Oh Be A Fine Girl/Guy, Kiss Me (Right Now – Smack),
Deutsch:
Offenbar Benutzen Astronomen Furchtbar Gerne Komische Merksprüche,
oder Bayerisch tun:
Ohne Bier Aus’m Fass gibt’s Koa Mass
(Für Fans von Monsterfilmen habe ich noch: “Overseas broadcast: A flash! Godzilla kills Mothra! (Rodan named
successor.)” zu bieten.)
Für die Feineinteilung werden den Buchstaben noch Ziffern zwischen 0 und 9 angehängt.
3.3.3
Das Hertzsprung-Russell-Diagramm
Das bekannteste Zustandsdiagramm der Astronomie ist das Hertzsprung-Russell-Diagramm, in dem die Leuchtkraft (für Theoretiker) bzw. die absolute Helligkeit (für Beobachter) als Funktion der effektiven Temperatur (Theoretiker) bzw. des Spektraltyps (Beobachter) aufgetragen wird, siehe Abb. (30).
Abbildung 28: Hertzsprung-Russel-Diagramm für Beobachter (links) und Theoretiker (rechts, die gestrichelten
Linien zeigen jew. konstante Radien).
Da jedoch die Farbe von Sternen oft einfacher zu bestimmen ist, als das Spektrum, wird die Leuchtkraft häufig als
Funktion der Farbe (z.B. V-I) gezeigt
Farb-Helligkeits-Diagramm, Abb. (29).
Die physikalische Bedeutung des HR-Diagramms wird in Kürze besprochen.
3.3.4
Leuchtkraftklassen
Zusätzliche Information erhält man aus der Leuchtkraft. Man teilt die Sterne in folgende Leuchtkraftklassen ein
(Yerkes-System, vgl. Abb. (30)):
Ia: Helle Superriesen
Ib: Superriesen
II: Helle Riesen
III: Normale Riesen (“Riesenast”)
3
56
STELLARE BEOBACHTUNGSGRÖSSEN
Abbildung 29: Farb-Helligkeits-Diagramm
von 41453 Sternen, beobachtet vom
Hipparcos-Satelliten.
IV: Unterriesen
V: Hauptreihensterne/Zwergsterne
VI: Unterzwerge
WD: Weiße Zwerge
90 % aller Sterne befinden sich auf der Hauptreihe.
Die vollständige Klassifikation eines Sterns hat die Form “G2V” (Sonne) oder “A0V” (Vega).
3
STELLARE BEOBACHTUNGSGRÖSSEN
Abbildung 30: Leuchtkraft-Klassifikation im Hertzsprung-Russell-Diagramm.
57
4
58
STERNAUFBAU
4
Sternaufbau
Wir machen folgende vereinfachenden Annahmen:
• Nur Einzelsterne werden betrachtet. Obwohl ca. 50 % aller Sterne in Doppelsternsystemen leben, ist deren
Evolution – soweit sie vom jew. Partnerstern beeinflusst wird – nur unvollständig verstanden.
• Der Massenverlust ist vernachlässigbar gering.
• Rotation und Magnetfelder werden ebenfalls vernachlässigt.
Folglich können wir uns auf kugelsymmetrische Systeme beschränken
der einzige Ortsparameter ist der Abstand vom Sternzentrum, r.
Unser Ziel ist es, das Dichte-, Temperatur- und chemische Kompositionsprofil von Sternen als Funktion von r zu
verstehen. In Kap. (5) wird dann die Zeitentwicklung eines Sterns in Abhängigkeit von der Sternmasse skizziert.
Zur Beschreibung der Sternstruktur und deren Evolution benötigt man die sog. Sternaufbaugleichungen.
4.1
4.1.1
Die Sternaufbaugleichungen
Massenschichtung
Wir definieren M (r) als die Masse innerhalb der Kugel mit Radius r:
Zr
M (r) ≡
ρ(r0 ) 4πr02 dr0
(4.1)
0
Die erste Sternaufbaugleichung ist dann einfach:
dM (r)
= 4πr2 ρ(r)
dr
(4.2)
Alternativ kann man M als unabhängige und r(M ) als abhängige Variable wählen. Dann wird aus Gl. (4.1):
dr(M )
1
=
2
dM
4πr ρ(r)
(4.3)
Diese sog. Lagrangekoordinaten haben die schöne Eigenschaft, sich mit den Masseschalen des Sterns mitzubewegen. Das ist insbesondere für numerische Lösungen der Sternaufbaugleichungen vorteilhaft.
4.1.2
Hydrostatisches Gleichgewicht
Die Gravitationskraft, die den Stern zusammenhält, wird durch den Druckgradienten (nicht den Druck!!) stabilisiert, so dass sich ein hydrostatisches Gleichgewicht einstellt.
Die entsprechende zweite Sternaufbaugleichung lautet:
dP (r)
GM (r)
=−
ρ(r)
dr
r2
(4.4)
bzw. in Lagrangekoordinaten mit Hilfe von Gl. (4.2):
dP (M )
GM
=−
dM
4πr4
(4.5)
4
59
STERNAUFBAU
Der Druck ist Summe aus zahlreichen Beiträgen, von denen in der Regel einer der ersten beiden dominiert:
P = Pnichtentartet + Pentartet (+Prad + Pν + PB + . . . )
(4.6)
Zur Lösung von Gl. (4.4) braucht man noch eine Randbedingung, für die man meistens
P (∞) = 0
(4.7)
wählt.
Folgendes ist zu beachten:
1. Damit man von hydrostatischem Gleichgewicht ausgehen kann, muss die Entwicklungszeitskala des Sterns
(meistens durch das Kernbrennen festgelegt) viel größer sein als seine hydrodynamische Zeitskala, thyd ∼
tgrav ∼ (Gρ)−1/2 (Gl. (1.36)).
Ist diese Bedingung nicht erfüllt (z.B. bei Explosionen) muss man die hydrodynamischen Gleichungen
verwenden, um z.B. die Geschwindigkeit der Masseschalen zu berechnen.
Die nukleare Entwicklungszeit der Sonne ist ca. 1010 Jahre, ihre hydrodynamische Zeitskala ∼ 25 min.
2. Gl. (4.2) und Gl. (4.4) sind 2 Gleichungen für die 3 Unbekannten M , P und ρ. Ist die Zustandsgleichung
von der Form P = f (ρ) (unabhängig von T ), wie z.B. bei entarteten Gasen (Gl. (2.32), Gl. (2.33)), oder ist
T (P ) bekannt (z.B. adiabatische Schichtung) ist das Gleichungssystem bereits vollständig. Solche Systeme
werden Polytrope genannt (s.u.).
Im allgemeinsten Fall ist dagegen T (r) eine weitere unbekannte Funktion, ohne die die Zustandsgleichung
nicht gelöst werden kann. Deshalb muss man den Energietransport berücksichtigen.
3. Mit ρ ∼ M/R3 macht die Abschätzung dP/dr ∼ Pc /R aus Gl. (4.4):
Pc ∼
M2
R4
(4.8)
Wenn außerdem P ∼ ρΓ wie in entarteten Gasen, wird daraus:
2−Γ
R ∝ M 4−3Γ
(4.9)
Man sieht daran, dass bei Γ = 4/3 (relativistische Entartung, Gl. (2.33)) etwas Drastisches passieren
muss. In diesem Fall existiert kein hydrostatisches Gleichgewicht und der Stern kollabiert Kern-KollapsSupernova.
4. Gl. (4.2) und Gl. (4.4) können auch zu einer Differentialgleichung zweiter Ordnung kombiniert werden. Das
Ergebnis ist die (kugelsymmetrische) Poissongleichung:
1 d r2 dP
= −4πGρ
(4.10)
r2 dr ρ dr
5. Gl. (4.4) und Gl. (2.31) erlauben eine schnelle Abschätzung der Zentraltemperatur Tc eines (nichtentarteten)
Sterns mit dem Radius R und der Masse M :
P
GM ρ
∼
R
R2
µa mp GM
Tc ∼
(4.11)
k
R
Für die Sonne ergibt das Tc ∼ 2 × 107 K. Der genaue Wert ist Tc = 1.3 × 107 K.
Des weiteren zeigt Gl. (4.11), dass die Zentraltemperatur eines Stern abfällt, wenn sein Radius bei konstanter
Masse vergrößert wird.
4
60
STERNAUFBAU
4.1.3
Energieerhaltung
Nach Gl. (2.65) ist die Energie, die pro Zeiteinheit durch eine Kugelschale mit dem Radius r fließt, durch die
Leuchtkraft L(r) gegeben.
Ohne Energiequellen oder -senken bleibt L(r) konstant. Schreibt man den lokalen Energiegewinn bzw. -verlust
pro Zeit- und Masseneinheit als ±, folgt die dritte Sternaufbaugleichung:
dL(r)
= 4πr2 ρ(r)
dr
(4.12)
Sie hat die Randbedingungen L(0) = 0 und L(∞) = Lstern .
setzt sich wieder aus mehreren Beiträgen zusammen:
= grav + nuk − ν − x
(4.13)
mit:
grav : Energiegewinn/verlust durch adiabatische Kontraktion/Expansion:
!
Ṗ
Ṫ
grav = cP T ∇ad −
P
T
d ln T
∇ad ≡
(adiabatischer Temperaturgradient)
d ln P S=const
1
= 1−
(wegen P ∼ ρΓ , T ∼ ρΓ−1 )
Γ
cP
Γ =
(Verhältnis der spezifischen Wärmen)
cV
(4.14)
In statischen Sternen ist Ṗ = Ṫ = 0 und deshalb grav = 0.
nuk : Energiegewinn durch Kernfusion. Mehr dazu in Kap. (4.2).
−ν : Energieverlust durch Neutrinoabstrahlung, wenn diese ungehindert durch den Stern entweichen (immer der
Fall, außer im Protoneutronenstern während einer Kollaps-Supernova).
Neutrinoverluste sind irrelevant für das Wasserstoffbrennen (Sonne), werden spürbar beim Heliumbrennen
und dominieren beim Kohlenstoffbrennen und in höheren Brennzyklen.
−x : Energieverlust durch exotische (d.h. postulierte), schwach wechselwirkende Teilchen (z.B. Axionen, KaluzaKlein-Anregungen usw.).
Dieser Term kann durch astronomische Beobachtungen (z.B. Kühlfunktion Weisser Zwerge, Breite des Neutrinopulses von SN 1987A) nach oben begrenzt werden und liefert damit wichtige Einschränkungen an die
Existenz solcher Teilchen.
4.1.4
Radiativer Energietransport
In Sternen sind zwei Arten von Energietransport relevant: Strahlung und Konvektion. Wir beginnen mit dem Strahlungsenergietransport.
Dafür können wir die Diffusionsnäherung verwenden. Warum?
Die mittlere freie Weglänge von Photonen ist lmfp ∼ 1/κ entsprechend einer optischen Tiefe ∼ 1. Den Absorptionskoeffizienten für Verhältnisse, wie sie z.B. in der Sonne herrschen, kann man mit der Thomsonstreuung
abschätzen.
4
61
STERNAUFBAU
Die mittlere Dichte der Sonne ist
−3
∼ 1g cm−3
ρ ∼ 1033 g 1011 cm
(4.15)
Mit mp ∼ 1 Gev ∼ 10−24 g folgt daraus die Elektronendichte ne ∼ 1024 cm−3 .
Nach Gl. (2.50) ist σT = 6.65 × 10−25 cm2 und damit:
κ ∼ σT ne ∼ 1 cm−1
(4.16)
Das ergibt lmfp ∼ 1 cm ∼ 10−11 R . Natürlich müssen wir hier aufpassen, denn innerhalb der Sonne variiert
die Dichte zwischen ca. 102 bis 10−7 g cm−3 und entsprechend ändert sich κ (ganz abgesehen von der Schwierigkeit mit mittleren Opazitäten). In Sternen gilt aber allgemein bis zur Photosphäre lmfp lP = dr/d ln P
(Druckskalenhöhe), so dass die Diffusionsnäherung gültig ist.
Für Diffusionsprozesse gilt das Ficksche Gesetz:
j = −D ∇n
(4.17)
(j: Fluss, D = lmfp v/3: Diffusionskoeffizient, n: Teilchenzahldichte).
Im unserem Fall betrachten wir den Strahlungsfluss F = L/4πr2 der Strahlungsenergiedichte erad = aT 4
(Gl. (2.26)) mit dem Diffusionskoeffizienten D = c/3κ. Gl. (4.17) wird dann zu:
c d
L(r)
=−
(aT 4 )
4πr2
3κ dr
(4.18)
Das ergibt die vierte Sternaufbaugleichung (Strahlung):
3κ
L(r)
dT (r)
=−
dr
16πacT 3 r2
(4.19)
Analog zu Gl. (4.14) können wir wieder eine dimensionslose Größe berechnen, die ein Maß für die Temperaturschichtung im Falle reines Strahlungstransports ist. Der radiative Temperaturgradient ist definiert als:
∇rad
≡
=
=
d ln T
d ln P
−1
P dT dP
T dr
dr
3κL(r)P
16πacT 4 GM (r)ρ
(4.20)
Uns bleibt noch die Berechnung eines geeigneten mittleren Opazitätkoeffizienten κ aus den frequenzabhängigen
κν in Kap. (2.4). Dafür nehmen wir wieder LTE an, so dass nach Gl. (4.17) für jede Frequenz gilt:
Fν
∝
=
1 dBν (T )
κν
dr
1 dBν (T ) dT
κν
dT
dr
(4.21)
Für den Gesamtstrahlungsstrom gilt dann:
Z
F
=
∝
≡
Fν dν
Z
1 dBν (T )
dT
dν
dr
κν
dT
Z
dT 1
dBν (T )
dν
dr κ
dT
(4.22)
4
62
STERNAUFBAU
Daraus folgt das Rosseland-Mittel für die Opazität:
R 1 dBν (T )
dν
1
= RκνdB dT
(T
)
ν
κ
dν
(4.23)
dT
κν kann man aus den verschiedenen Absorptions- und Streuprozessen in Kap. (2.4) berechnen:
κν = σ ν n
4.1.5
,
σν = σgg + σgf + σff + σT + . . .
(4.24)
Konvektiver Energietransport
Wir betrachten ein kleines Flüssigkeitselement im Druckgleichgewicht mit seiner Umgebung, das “per Hand” ein
kleines Stück von r0 auf r1 angehoben wird. Geschieht dies langsam genug, dehnt es sich adiabatisch aus und
kühlt entsprechend ab (vgl. Gl. (4.14)): T0 → T1 .
Ist nun seine endgültige Dichte am neuen Ort ρ1 , berechnet aus Gl. (2.31), geringer als die seiner Umgebung ρu1 ,
dann wird es durch die Auftriebskraft weiter steigen. Dies nennt man konvektive Instabilität.
Ist es dagegen am neuen Ort dichter als seine Umgebung (ρ1 > ρu1 ), sinkt es wieder ab, bis es seinen Ursprungsort
erreicht. In diesem Fall ist die Schichtung konvektiv stabil.
Wegen dem Druckgleichgewicht ist P1 = P1u . Das Stabilitätskriterium ρ1 > ρu1 ist deshalb gleichbedeutend mit
T1 < T1u .
Stabilität heißt also:
dT
> dT
dr
dr
u
ad d ln T
> d ln T
(4.25)
d ln P
d ln P
ad
u
Nehmen wir jetzt an, dass die Temperaturschichtung der Umgebung durch Strahlungsenergietransport gegeben ist.
Dann ist
d ln T
= |∇rad |
(4.26)
d ln P
u
und wir erhalten das Schwarzschild-Kriterium für konvektive Instabilität:
|∇ad | < |∇rad |
=⇒
Konvektion
(4.27)
mit ∇ad aus Gl. (4.14) und ∇rad aus Gl. (4.20).
Durch Fragmentierung und Mischung der konvektiven Ströme wird sehr effizient Energie transportiert. Es bildet sich eine turbulente, nicht-kugelsymmetrische Strömung aus, deren Zeitskalen wesentlich kleiner sind als die
Entwicklungszeitskala des Sterns.
Man hat folgende Möglichkeiten, den konvektiven Energietransport zu berechnen:
1. Ist die Geschwindigkeit der konvektiven Strömungen viel kleiner als die Schallgeschwindigkeit und die
Durchmischung praktisch vollständig, passt sich die Temperaturschichtung der adiabatischen Schichtung
an, d.h.
d ln T 1
(4.28)
d ln P → |∇ad | = 1 − Γ
Mit Gl. (4.4) folgt daraus die vierte Sternaufbaugleichung (Konvektion):
dT (r)
1
T ρ GM (r)
=− 1−
dr
Γ(ρ, T )
P
r2
Diese Situation tritt hauptsächlich bei zentraler Konvektion (M & 1.4M ) auf.
(4.29)
4
63
STERNAUFBAU
2. Erreicht die Konvektionsgeschwindigkeit z.T. Bruchteile der lokalen Schallgeschwindigkeit (hauptsächlich
in den Außenschichten, M . 1.4M ), ist die Mischung nicht mehr effizient genug, um eine adiabatische
Schichtung zu erreichen.
In diesem Fall löst man meistens ein System von Modellgleichungen, die den konvektiven Transport näherungsweise beschreiben: die sog. Mischungsweggleichungen. Sie enthalten im Wesentlichen einen freien Parameter (die “Mischungsweglänge” lconv ), der durch Beobachtungsgrößen kalibriert werden muss
(vgl. Kap. (4.4.3)).
Das genauere Verständnis des konvektiven Mischens in der Sternentwicklung ist eines der zentralen Probleme
der heutigen stellaren Astrophysik. Dazu versucht man alles Mögliche, von stochastischen Modellen bis zu 3dimensionalen hydrodynamischen Simulationen.
Durch Konvektion wird natürlich nicht nur Energie transportiert, sondern auch die chemische Komposition durchmischt. Das kann einen mehr oder weniger starken Einfluss auf die Evolution eines Sterns haben.
4.1.6
Auftreten von Konvektionszonen, Hayashi-Linie
Aus den Lösungen der Sternaufbaugleichungen weiss man, dass Konvektionszonen für Hauptreihensterne in den
folgenden Fällen auftreten:
M & 1.4M :
konvektive Zentralregion, radiative Hülle. Für M & 20M wird der Strahlungsdruck relevant.
M . 1.4M :
konvektive Hülle, radiativer Kern. Für M . 0.3M ist der Stern vollständig konvektiv.
Darüber hinaus sind Vor-Hauptreihensterne (vgl. Kapitel über Sternentstehung) und Sterne auf dem Riesenast
vollständig konvektiv. Diese Sterne haben alle, weitgehend unabhängig von ihrer Größe, dieselbe Effektivtemperatur und leben deshalb auf einer Linie im HR-Diagramm, der sog. Hayashi-Linie.
Um diese Tatsache zu verstehen, betrachten wir das Druckgleichgewicht an der Photosphäre, an der die Strahlung
entweicht und die die konvektive Region nach außen begrenzt.
Innerhalb der Photosphäre ist der Temperaturgradient exakt adiabatisch, Gl. (4.28). Das Integral darüber ergibt:
Pinnen
Γ
= CT Γ−1
= CT 5/2
(Γ =
5
)
3
(4.30)
Die Abhängigkeit der Integrationskonstanten C von M , R und µa können wir mit Hilfe von Gl. (4.8) und Gl. (4.11)
im Sternzentrum festlegen. Es folgt:
C ∝ M −1/2 R−3/2 µ−5/2
(4.31)
a
An der Photosphäre gilt Gl. (3.11) bzw. g ∝ M/R2 ∝ P hκi /ρ. Des weiteren liefert die Atomphysik (hier ohne
Herleitung), dass hκi ∝ ρP 0.7 T 5.3 , so dass insgesamt:
Paußen ∝ T −3.1 M 0.6 R−1.2
(4.32)
An der Photosphäre (T = Teff ) ist Pinnen = Paußen . Gleichsetzen von Gl. (4.30) und Gl. (4.32) ergibt:
Teff ∝ M 0.2 R0.06 µ0.45
a
(4.33)
Man erkennt daran, dass die Hayashi-Linie bei nahezu konstanter Effektivtemperatur im HR-Diagramm verläuft,
mit sehr schwacher Abhängigkeit von M , R und µa . Sie markiert die Grenze der hydrostatischen Stabilität:
• Links von der Hayashi-Linie ist Teff größer
|∇rad | kleiner
der Stern ist teilweise radiativ.
• Rechts von der Hayashi-Linie müsste |∇ad | > 1 − 1/Γ sein, d.h. der Stern wäre sofort vollständig konvektiv
und läge wieder auf der Hayashi-Linie
keine hydrostatisch stabilen Lösungen möglich.
4
64
STERNAUFBAU
4.1.7
Zusammenfassung: Sternaufbaugleichungen
Ein Sternmodell besteht aus folgenden Zutaten:
1. Den Sternaufbaugleichungen Gl. (4.2), Gl. (4.4), Gl. (4.12) und Gl. (4.19) (wenn |∇ad | > |∇rad |) oder
Gl. (4.29) (wenn |∇ad | < |∇rad |).
2. Einer Zustandsgleichung, z.B. Gl. (2.31).
3. Berechnungsvorschriften für die Opazität κ (z.B. Gl. (4.23))
größte Unsicherheit im Sonnenmodell!
4. Kernfusions-Ratengleichungen für nuk (Kap. (4.2)).
5. Für massive Sterne (M & 8M
ν .
4.2
4.2.1
O-Brennen wird erreicht): Ratengleichungen für die Neutrinoverluste
Nukleare Energieerzeugung
Zeitskalen
Wir wissen durch Radioaktivitäts-Altersbestimmungen von Meteoriten und auf der Erde, dass die Sonne mindestens 4.6 × 109 Jahre alt sein muss.
Chemische Reaktionen können die heutige Sonnenleuchtkraft (L = 3.9 × 1033 erg/s) nur für ca. 104 Jahre
aufrechterhalten.
Eine weitere Energiequelle ist die Gravitationsenergie, die bei der Kontraktion der Sonne freigesetzt wird:
Epot, ∼
2
GM
R
(4.34)
Die resultierende Zeitskala ist die Kelvin-Helmholtz-Zeit der Sonne,
tKH
Epot,
L
' 107 Jahre
≡
(4.35)
Das Rätsel der solaren Energiequelle konnte erst mit Hilfe der Kernphysik gelöst werden. Schon 1920 schlug
Eddington vor, dass die Sonne durch Fusion von Wasserstoff zu Helium Energie erzeugen kann.
Bei der Reaktion 4 H →4 He wird die Bindungsenergie
∆EHe
= ∆m c2
= 26.72 MeV
= 4.288 × 10−5 erg
(4.36)
frei.
Berücksichtigt man, dass nur 75 % der Sonnenmasse aus H besteht (der Rest ist im wesentlichen primordiales He),
und dass nur ca. 10 % davon zentral genug ist, um zu verbrennen (folgt aus Sonnenmodellen, s.o.), findet man die
nukleare Zeitskala der Sonne:
tnuk
Enuk,
L
' 1010 Jahre
≡
(4.37)
4
65
STERNAUFBAU
Abbildung 31: Potential V und Wellenfunktion Ψ eines Protons im Feld eines anderen.
4.2.2
Nukleare Reaktionsraten
In Kap. (4.1.2) wurde gezeigt, dass die Zentraltemperatur der Sonne ca. 1.3 × 107 K
kT ' 1.7 keV beträgt. Im Gegensatz dazu hat die Coulomb-Barriere zwischen zwei Protonen eine Höhe im Bereich von 1 MeV,
vgl. Gl. (1.10).
Gl. (2.15) sagt uns, dass die Wahrscheinlichkeit eines Protons mit der kinetischen Energie von 1 MeV ungefähr
E
exp −
' 10−434
(4.38)
kT
ist.
Der Sonne stehen aber nur ca. 1057 Protonen zur Verfügung (Gl. (1.43)). So gesehen ist die Wahrscheinlichkeit für
eine erfolgreiche Fusionsreaktion verschwindend gering.
Die Lösung des Problems liegt in der Quantenmechanik, wie Gamow erkannte. Der quantenmechanische Tunnelprozess führt dazu, dass Atomkerne bereits verschmelzen können, wenn ihre Wellenfunktionen überlappen
(Abb. (31)).
Dies tritt ein, wenn ihr Abstand von der Größenordnung ihrer de Broglie-Wellenlänge λdB , definiert in Gl. (1.11),
ist. Das zu überwindende Coulombpotential beträgt dann:
q
=
=
Z1 Z2 q 2
λdB
Z1 Z2 q 2 mp v
h
(4.39)
4
66
STERNAUFBAU
Abbildung 32: Das Produkt aus der MBVerteilung für die kinetische Energie von
Protonen im Sonnenzentrum (gepunktete
Linie) und der Tunnelwahrscheinlichkeit
∼ exp(−bE −1/2 ) (multipliziert mit 103
zur besseren Sichtbarkeit; gestrichelte Linie) ergibt den “Gamow-Peak” (multipliziert mit 106 ; durchgezogene Linie).
(Zi : Kernladungszahl des Kerns i).
Die Tunnelwahrscheinlichkeit muß geringer werden, je größer das Verhältnis aus Coulombpotential und kinetischer
Energie der Teilchen ist:
q
2Z1 Z2 q 2
1
=
∼√
(4.40)
E
hv
E
Eine quantenmechanische Rechnung zeigt, dass die Abhängigkeit von diesem Verhältnis exponentiell ist, ∼ exp(−E −1/2 ).
Für die Berechnung von nuklearen Reaktionsraten benötigen wir den in Gl. (2.36) definierten Wirkungsquerschnitt.
Dieser enthält u.a. den Tunnelterm:
b
σ(E) ∝ exp − √
E
3/2 2
2 π Z1 Z2 µ1/2 q 2
b ≡
(4.41)
h
(µ ist die reduzierte Masse der Atomkerne, vgl.Gl. (3.3)).
Das Produkt aus Tunnel- und Maxwell-Boltzmann-Wahrscheinlichkeit ergibt den sog. Gamow-Peak, siehe Abb. (32).
Man erkennt daran auch, dass die Fusion schwererer Kerne aufgrund ihrer stärkeren Coulombabstoßung nur bei
höheren Temperaturen stattfinden kann.
Es ist faszinierend, dass ohne den “exotischen” quantenmechanischen Tunnelprozess Sterne nicht leuchten würden
(zumindest nicht sehr lange).
Zurück zum Wirkungsquerschnitt für nukleare Reaktionen. Seine vollständige Form kann man vereinfachen, indem
man die stärkste Abhängigkeit von der Energie herausfaktorisiert. Wie im Zusammenhang mit Gl. (2.36) gezeigt
wurde, ist σ proportional zu einem Maß für die Oberfläche des betrachteten Teilchens. Ausgedrückt durch die de
Broglie-Wellenlänge Gl. (1.11) lautet diese im nichtrelativistischen Fall (E ∝ v 2 ):
σ(E) ∝ πλ2dB
1
∝
E
(4.42)
4
67
STERNAUFBAU
Man schreibt σ(E) deshalb als Produkt aus einer Funktion S(E), die die gesamte Kernphysik beinhaltet und
außerhalb von Resonanzen eine langsam variierende Funktion von E ist, mit E −1 und dem Tunnelfaktor:
σ(E) ≡
S(E)
exp(−bE −1/2 )
E
(4.43)
Um uns aus dem Wirkungsquerschnitt, Gl. (2.36), die Reaktionsrate rij (≡ Anzahl der Reaktionen von Teilchensorte i mit Teilchensorte j pro Zeit) pro Volumeneinheit zu beschaffen, betrachten wir anstelle einer formalen
Herleitung wieder einmal nur die Abhängigkeiten.
Wir beginnen mit dem Nenner von Gl. (2.36). Die Anzahl der Teilchen i im Energiebereich [E . . . E + dE], die
auf eine Einheitsfläche pro Zeiteinheit einfallen, ist proportional zu:
1. Der Maxwell-Boltzmann-Verteilung, Gl. (2.15), auf der Energieschale E = p2 /2m:
≡ fT (p) p2 dp
dp
∝ fT (p) E
dE
dE
∝ E 1/2 exp(−E/kT )dE
fT (E)dE
(4.44)
2. Der Teilchengeschwindigkeit: v ∝ E 1/2 .
3. Dem Anteil der Sorte i an der Gesamtteilchenzahldichte: ni /n.
Das Produkt dieser Faktoren mit σ(E) aus Gl. (4.43) liefert die Anzahl der Reaktionen pro Teilchen j und Zeit im
Energiebereich [E . . . E + dE], d.h. wir müssen noch mit nj multiplizieren und über E integrieren:
Z∞
rij
=
ni n j
σ(E)v(E) fT (E)dE
n
0
=
2
kT
3/2
ni nj
(πµ)1/2
Z∞
b
E
S(E) exp − 1/2 exp −
dE
kT
E
(4.45)
0
Jetzt können wir die Energie des Gamow-Peaks, dem Maximum des Integranden in Gl. (4.45), ausrechnen:
Egam =
bkT
2
2/3
(4.46)
Die Funktion S(E) wird oft – abgesehen von Resonanzen – als im Bereich des Gamow-Peaks konstant genähert
(S(E) ' S(EGam )). Sie wird in Experimenten, die zumeist bei höheren Teilchenenergie stattfinden als sie in
Sternen relevant sind, durch Extrapolation zu niedrigeren Energien bestimmt. Treten allerdings an den betreffenden
Energien Resonanzen auf, wie es z.B. bei der Produktion von 16 O der Fall ist, liefert diese Methode sehr falsche
Ergebnisse (siehe Abb. (33)).
Bem.: Bei hohen Dichten wird zusätzlich die Abschirmung des Coulombpotentials der Atomkerne durch freie
Elektronen relevant (electron screening), welches die Reaktionsraten gegenüber den unabgeschirmten Raten signifikant erhöht.
Gl. (4.45) lässt sich in der Umgebung einer gegebenen Temperatur näherungsweise als Potenzgesetz schreiben.
Dafür führen wir den Masseanteil,Xi ≡ ni mi /ρ, der Teilchensorte i ein, dessen Summe naturgemäß immer gleich
1 ist (außerdem schreibt man jeweils X, Y , Z für die Masseanteile von H, He und allem anderen = “Metalle”).
4
68
STERNAUFBAU
Abbildung 33: Einfluß von nuklearen Resonanzen auf die Funktion S(E).
Wir erhalten aus Gl. (4.45):
rij ' r0 Xi Xj ρ2 T β
(4.47)
(im Falle von Mehrteilchenwechselwirkungen oder Elektronenabschirmung kann die Abhängigkeit von ρ stärker
werden). Der Exponent β folgt durch Taylorentwicklung aus Gl. (4.45).
Wird in jeder Reaktion die Energie Qij freigesetzt, so wird die Energieerzeugungsrate pro Masseeinheit (zur
Erinnerung: rij ist die Reaktionsrate pro Volumeneinheit) durch Qij rij /ρ gegeben:
β
ij
nuk = Qij r0 Xi Xj ρT
(4.48)
in den Einheiten [erg g−1 s−1 ].
4.2.3
Erreichen der Brennphasen
Die Coulomb–Abstoßung zwischen Atomkernen (∼ Z1 Z2 ) bewirkt eine Hierarchie der verschiedenen nuklearen
Brennphasen in T (vgl. Kap. (4.2.2)).
• Nukleare Brennphasen sind zeitlich und räumlich getrennt. Sie führen zu einer Zwiebelschalenstruktur des
Sterns in späten Entwicklungsphasen.
• Die thermonukleare Asche“ einer Brennphase wird zum Brennstoff“ für die sich anschließende Brennpha”
”
se.
• Ob eine weitere Brennphase stattfindet, hängt von der erreichbaren Maximaltemperatur und daher von der
Sternmasse ab
Die Anzahl der thermonuklearen Brennphasen ist durch die Masse des Sterns bestimmt.
• Für M & 8 − 10M werden alle kernphysikalisch möglichen thermonuklearen Brennphasen durchlaufen.
Kontraktion des Sternzentrums führt zur Erhöhung der Entartung und zur Erhöhung der Zentraltemperatur, solange
das Gas nicht stark entartet ist. Die möglichen Endstadien der Sternentwicklung sind Weiße Zwerge, Neutronensterne oder Schwarze Löcher.
Die Zündkurven sind durch die relevanten thermonuklearen bzw. pykonuklearen Reaktionsraten bestimmt:
4
69
STERNAUFBAU
Brennphase
H–Brennen
He–Brennen
Zündtemperatur
[109 K]
Asche“
”
Energieerzeugung
[1018 erg/g]
H
0.02
4
5∼8
γ
He
0.2
12
C, 16 O,
Ne
0.7
γ
Ne, 24 Mg,
O, 23 Na
0.5
ν
O, 24 Mg,
Si, . . .
0.1
ν
Brennstoff
1
4
He, 14 N
22
C–Brennen
12
C
20
0.8
16
Ne–Brennen
20
Ne
16
1.5
28
O–Brennen
16
Si–Brennen
28
56
Kühlung durch
O
2
28
Si, 32 S
0.5
ν
Si
3.5
56
Ni, A ≈ 56
0.1 − 0.3
ν
Ni
6 ∼ 10
n, 4 He, p
−8
ν
Tabelle 1: Zusammenfassung der Brennphasen mit ihrer Brennstoffen, -produkten und Zündtemperaturen.
• In thermonuklearen Reaktionen ist die kinetische Energie der Reaktanten durch die Wärmebewegung der
Atomkerne gegeben:
3
(4.49)
hEkin i = kT
2
d.h. es existiert eine Schwellentemperatur für jede Brennphase.
• In pykonuklearen Reaktionen ist die kinetische Energie der Reaktanten durch die Nullpunktsenergie der
Ionen gegeben:
1/2
3 4π
~e 1/2
E0 =
ρ
(4.50)
2 3
Amu
d.h. es existiert eine Schwellendichte ρpyk für jede Reaktion.
Der Übergang zwischen beiden Brennmoden (als Funktion von ρ und T ) ist kontinuierlich.
Für ρ > ρpyk setzen die Kernreaktionen sehr schnell ein. Typische Werte (τpyk ' 105 a) sind:
ρpyk (1 H
ρpyk (4 He
ρpyk (12 C
4.2.4
→
→
→
He) ≈ 106 g cm−3
C) ≈ 109 g cm−3
24
Mg) ≈ 1010 g cm−3
4
12
(4.51)
Wasserstoffbrennen
Ca. 90 % aller Sterne brennen gerade Wasserstoff zu Helium
geschehen:
Hauptreihensterne. Das kann auf zwei Arten
1. Die pp-Kette dominiert für M . 1.1M . Siehe Abb. (34). Für die Bedingungen im Zentrum der Sonne gilt:
4
STERNAUFBAU
70
Abbildung 34: Die pp-Ketten des Wasserstoffbrennens. Beachten Sie die geringe Rate des ersten Schrittes in der
ppI-Kette als Folge der schwachen Wechselwirkung.
4
71
STERNAUFBAU
Abbildung 35: Der CNO-Zyklus. Beachten Sie, dass C weder erzeugt noch vernichtet wird, es dient nur als
“nuklearer Katalysator”.
• 69% des 4 He wird über die ppI-Kette erzeugt. Von den übrigen 31% entstehen:
• 99.7% durch die ppII-Kette und
• 0.3% durch die ppIII-Kette.
Im Bereich von T ' 1.5 × 107 K (Sonnenzentrum) ergibt sich die Energieerzeugungsrate:
pp ' hQrpp i X 2 ρT64
(4.52)
mit hQrpp i = 1.07 × 10−5 erg cm3 g−2 s−1 , X ≡ XH und T6 ≡ T /106 K ' 15.
2. Die CNO-Kette, entdeckt im Jahr 1938 von Hans Bethe, dominiert für M & 1.1M . Siehe Abb. (35).
Die Sonne erzeugt nur ca. 1 % ihrer Energie durch CNO-Brennen, den Rest durch pp-Brennen, vgl. Abb. (38).
Im Bereich von T ' 1.5 × 107 K lautet die Energieerzeugungsrate:
CNO ' hQrCNO i XXCNO ρT619.9
(4.53)
mit hQrCNO i = 8.24 × 10−24 erg cm3 g−2 s−1 . Man erkennt, dass der CNO-Zyklus wesentlich stärker temperaturabhängig ist als das pp-Brennen.
4.2.5
Höhere Brennprozesse
Bis zum Eisen wird durch die Fusion von leichten Atomkernen zu schwereren Energie freigesetzt, schwerere Kerne
als Eisen sind energetisch ungünstiger (Abb. (37)).
Abb. (37) zeigt auch, dass die sog. α-Nuklide, die aus mehreren He-Kernen zusammengesetzt sind, besonders stabil
sind (wobei 8 Be noch nicht an die Bindungsenergie von 4 He heranreicht). Deshalb laufen auch die Brennprozesse
in Sternen grob gesprochen in Viererschritten ab.
Auf das Wasserstoffbrennen folgen die Phasen:
Heliumbrennen (T & 108 K):
Wie oben erwähnt wurde, ist 8 Be schwächer gebunden als 4 He (∆E = −95 keV), so dass Be praktisch
“übersprungen” werden muss.
4
72
STERNAUFBAU
Abbildung 36: Der Triple-α-Prozess (Heliumbrennen).
Genauer gesagt ist die Lebensdauer gelegentlich erzeugter 8 Be-Kerne so gering, dass sofort eine weitere
Reaktion mit 4 He stattfinden muss, um das stärker gebundene 12 C zu erzeugen.
Zusammen ergibt das den sog. triple-α-Prozess: 3 4 He →12 C, der 7.28 MeV freisetzt (Abb. (36)).
Die Reaktionsrate des triple-α-Prozesses hängt quadratisch von der Dichte ab (3-Teilchen-Prozess!) und ist
extrem temperaturempfindlich (vgl. Abb. (38). Bei T ' 108 K ist
3α ' hQr3α i Y 3 ρ2 T841
(4.54)
mit Y ≡ XHe und T8 ≡ T /108 K.
Schon während des He-Brennens finden weitere α-Reaktionen bis hinauf zu 28 Si statt (z.B. 12 C(α, γ)16 O,
16
O(α, γ)20 Ne usw.).
Bem.: Besonders kritisch ist die 12 C(α, γ)16 O-Reaktion, deren Rate aufgrund einer pikant gelegenen C-Resonanz
(ohne die diese Reaktion praktisch nicht stattfinden könnte) höchst unsicher ist. Sie ist für einen großen Teil
der bestehenden Unsicherheiten theoretischer Sternmodelle verantwortlich. Interessant: nur durch eine Reihe von
kernphysikalischen “Zufällen” sind C und O (unsere Lebensgrundlagen!) die Hauptprodukte der Kernfusion in
Roten Riesensternen.
Die Nebenreaktion 22 Ne(α, n)25 Mg ist wichtig, weil sie freie Neutronen produziert, die im sog. s-Prozess
(“slow”) an schwere Kerne angelagert werden und dadurch Nuklide jenseits des Eisen synthetisieren.
Kohlenstoff-Brennen (T & 6 × 108 K):
Die Verschmelzung von zwei 12 C-Kernen produziert 24 Mg +γ, 23 Mg +n, 23 Na +p und 20 Ne +α.
Neutrinoveluste werden erstmals vergleichbar mit der Energieerzeugungsrate, vgl. Abb. (39).
Neon-Brennen (T & 109 K):
Hauptreaktion: 20 Ne +γ ↔16 O +α.
Die Reaktion befindet sich im Gleichgewicht zwischen Fusion und Photodissoziation.
Sauerstoff-Brennen (T & 2 × 109 K):
Die Verschmelzung von zwei 16 C-Kernen produziert 32 S +γ, 31 S +n, 31 P +p, 28 Si +α und 24 Mg +2α.
4
STERNAUFBAU
73
Abbildung 37: Nukleare Bindungsenergie als Funktion der Massenzahl.
Silizium-Brennen (T & 4 × 109 K):
Diese letzte Phase des nicht-explosiven Kernbrennens (danach folgen nur noch Supernova-Explosionen)
erzeugt 56 Ni, 56 Co und 56 Fe durch zahlreiche Reaktionen – dominiert durch α-Reaktionen – aus 28 Si.
4.3
Neutrinoverluste
Neutrinoverluste spielen eine große Rolle in der Entwicklung massiver Sterne (M & 8M ), lassen sich aber auch
bei der Kühlung Weißer Zwerge nachweisen.
Man unterscheidet thermische und nichtthermische Neutrinoprozesse. Im folgenden wird die Verlustrate pro Volumeneinheit mit Pν [erg cm−3 s−1 ] und die Verlustrate pro Masseneinheit mit ν ≡ Pν /ρ [erg g−1 s−1 ] bezeichnet
(vgl. Gl. (4.12)).
4.3.1
Thermische Prozesse
Paarvernichtungs-Neutrinos:
Bei kT & 0.1me c2 (T & 5 × 108 K) werden Elektronen-Positronen-Paare erzeugt, die in νe + ν̄e zerfallen
4
74
STERNAUFBAU
Abbildung 38: Energieerzeugungsrate als
Funktion von T für pp-, CNO- und HeBrennen.
Abbildung 39: (T ) für nukleare Brennphasen und Neutrinoveluste
können:
e+ + e− → νe + ν̄e
(4.55)
Im nichtentarteten Fall ist Pν nur eine Funktion der Temperatur (nichtrelativistisch: Pν ∝ T 3 exp(−2me c2 /kT ),
relativistisch: Pν ∝ T 9 ). Daraus folgt, dass ν ∝ ρ−1 .
Im entarteten Fall ist der Phasenraum für e+ und e− besetzt
Pν unterdrückt.
Photoneutrinos:
Streuung von Photon an Elektron erzeugt Neutrino-Antineutrino-Paar:
e− + γ → ν + ν̄ + e−
(4.56)
4
STERNAUFBAU
Abbildung 40: Aus Beaudet, Petrosian & Salpeter 1967: ApJ 150, 979.
75
4
76
STERNAUFBAU
Im nichtentarteten, nichtrelativistischen Fall ist Pν ∝ ne ∝ ρ und damit ν dichteunabhängig. Entartung
unterdrückt den Prozess (s.o.).
Der Photoneutrinoprozess hat nur eine geringfügige Relevanz (im He- und C-Brennen), weil bei hohen
Temperaturen die Paarvernichtungs- und bei hohen Dichten die Plasmaneutrinos überwiegen.
Plasmaneutrinos:
Wichtig bei hohen Dichten, dominieren in entarteten Situationen (Weiße Zwerge, Neutronensterne).
Plasmonen (γp ) sind quantisierte kollektive Plasmaanregungen (Plasmawellen), die sich grob gesprochen
wie Photonen mit Ruhemasse benehmen. Dies folgt aus der Plasma-Dispersionsrelation (vgl. Gl. (2.4)):
ω2
E 2 = ~2 ω 2
= k 2 c2 + ωplasma 2
= ~2 k 2 c2 +
~2 ωplasma 2 4
c
c4
= p2 c2 + meff 2 c4
,
meff ≡
~ωplasma
c2
(4.57)
Im Vakuum verbietet die Impulserhaltung den Prozess γ → ν + ν̄, aber im Plasma ist
γp → ν + ν̄
(4.58)
erlaubt.
Bei niedrigen Dichten wächst Pν mit ρ und T an, da mehr und “schwerere” Plasmonen erzeugt werden. Bei
sehr hohen Dichten (~ωplasma kT ) ist Pν ∝ exp(−~ωplasma /kT ) und fällt wieder ab. Siehe Abb. (40).
Weitere thermische Prozesse:
• Neutrino-Bremsstrahlung: e− +A Z → e− +A Z + ν + ν̄.
• Photocoulomb-Neutrinos: γ +A Z →A Z + ν + ν̄.
4.3.2
Nichtthermische Prozesse
“Normale” schwache Wechselwirkung:
• β-Zerfall: A Z →A (Z + 1) + e− + ν̄e
• e+ -Zerfall: A Z →A (Z − 1) + e+ + νe
• Elektroneneinfang: p + e− → n + ν̄e
URCA-Prozess:
Abregung angeregter Kernzustände (z.B. thermisch) über Zwischenkerne mittels schwacher Wechselwirkung. Beispiel:
(56 Fe)∗ (e+ νe ) 56 Mn (e− ν̄e ) 56 Fe
(4.59)
Verlust eines Neutrino-Antineutrino-Paars pro Zyklus.
In zentralen, entarteten Konvektionszonen kann es auch zum konvektiven URCA-Prozess kommen:
e− -Einfang bei hohen Dichten (energetisch vorteilhaft bei hoher Fermienergie)
konvektiver Transport in Region mit niedrigerer Dichte
β-Zerfall energetisch günstiger
Verlust eines Neutrino-Antineutrino-Paars pro Zyklus.
Der konvektive URCA-Prozess spielt eine wichtige Rolle in der Vorläuferentwicklung von Typ Ia Supernovae.
4
77
STERNAUFBAU
Abbildung 41: Die Sonne aus Sicht des SOHO-Satelliten.
4.4
4.4.1
Die Sonne
Globale Messgrößen
Entfernung: D = 149597870 ± 2 km ≡ 1 AU. Bekannt aus Radar-Entfernungsmessungen anderer Planeten.
Masse: M = (1.9891±0.0012)×1030 kg. Bekannt aus Vermessung der Planetenbahnen und Laborbestimmung
von G.
Radius: R = (6.9626 ± 0.0007) × 108 m. Bekannt aus Messung des Winkeldurchmessers bei bekanntem
Abstand. Daraus folgt die mittlere Dichte hρ i = 1.408 g cm−3 .
Leuchtkraft: L = (3.845 ± 0.006) × 1026 W. Bekannt aus gemessenem Strahlungsfluss (Solarkonstante) bei
bekanntem Abstand. Daraus folgt die Effektivtemeperatur Teff = 5777 ± 2.5 K.
Alter: A = (4.55 ± 0.05) × 109 J. Bekannt aus der Häufigkeit von 87 Rb in Meteoriten.
4
78
STERNAUFBAU
4.4.2
Helioseismologie
Abbildung 42: Zur Helioseismologie.
Die Analyse der Schwingungsmoden der Sonne, gewissermaßen ihr “Klang”, erlaubt einen Einblick in ihr Innenleben, ähnlich wie der Klang eines Musikinstruments etwas über dessen Aufbau und Material aussagt.
Seit ca. 1960 wurden sog. 5-min-Oszillationen (eigentlich ca. 3 - 12 min) durch den Dopplereffekt in Spektrallinien der Sonne beobachtet.
Seit ca. 1975 weiss man, dass sie durch akustische Schwingungen (p-Moden) erklärt werden können, die in der
Sonne resonieren. Die Lage der “Kavität” für jede Mode ist dabei von der thermodynamischen Struktur der Sonne
abhängig.
Dies erlaubt eine Vermessung der Sonnenstruktur, die unter dem Namen Helioseismologie bekannt ist.
Seit 1996 hat der SOHO-Satellit der NASA, der mit speziellen Helioseismologie-Instrumenten (GOLF, MDI , VIRGO)
ausgerüstet ist, zur Präzisierung dieser Methode beigetragen.
Eine lineare Störungsanalyse der hydrdynamischen Gleichungen mit hydrostatischem Hintergrund zeigt, dass es 2
Arten von Wellen gibt, die sich in der Sonne ausbreiten können (Abb. (42)):
p-Moden:
Akustische Wellen, deren Rückstellkraft durch den Druckgradienten geliefert wird. Propagieren in stabilen
und konvektiven Regionen.
p-Moden werden sowohl innen (durch die steigende Schallgeschwindigkeit) als auch außen totalreflektiert,
wobei die Lage der Reflektionsgrenzen von der thermodynamischen Struktur der Sonne abhängt
ihr
Wellenspektrum ist diskret, die Eigenfrequenzen der Moden mit festen Wellenlängen sind Funktionen der
Sonnenstruktur.
g-Moden:
Schwerewellen, deren Rückstellkraft durch die Gravitation geliefert wird. Propagieren nur in stabilen Regionen.
4
STERNAUFBAU
79
Abbildung 43: Rotationsgeschwindigkeiten und Strömungen in der Sonne.
Abbildung 44:
Relative Abweichung
der durch Helioseismologie gemessenen
Schallgeschwindigkeit der Sonne von der
theoretisch berechneten.
g-Moden durchlaufen auch das Sonnenzentrum und sind deshalb besonders für die thermische Struktur der
Brennregion, in der auch die solaren Neutrinos erzeugt werden, relevant.
Durch Invertierung der gemessenen Frequenz-Wellenlängen-Beziehungen, d.h. dem “Best Fit” dieser Daten an
ein berechnetes Sonnenmodell, kann man die Qualität des Standard-Sonnenmodells überprüfen. Abb. (44) zeigt
das eindrucksvolle Ergebnis am Beispiel der Schallgeschwindigkeit.
Ein weiteres wichtiges Ergebnis ist die Vermessung der Rotationsgeschwindigkeiten der Sonne in ihrem Innern
4
STERNAUFBAU
80
(Abb. (43)). Dabei wurde u.a. ein nicht vermuteter “Jet-Stream” in der Nähe der Pole gefunden.
4.4.3
Das Standard-Sonnenmodell
Um ein theoretisches Modell für den Aufbau der Sonne zu erhalten, löst man die Gleichungen, die in Kap. (4.1.7)
zusammengefasst wurden, numerisch.
Abbildung 45: Entwicklung der Sonne seit ihrer Entste- Abbildung 46: Die Massenanteile von H, 4 He und 3 He in
hung im Standard-Sonnenmodell. Aufgrund der Ände- der Sonne als Funktion des Radius.
rungen ihrer chemischen Zusammensetzung wurde die
Sonne größer und heller.
Abbildung 47: Temperatur- (links) und Dichtestruktur der Sonne als Funktion des Radius.
4
81
STERNAUFBAU
Abbildung 48: Leuchtkraftprofil (links) und dessen Ableitung (rechts, ∝ nuk (r)) als Funktion des Radius.
Dabei geht man wie folgt vor:
1. Das Anfangsmodell ist ein chemisch homogener Stern mit M = M .
2. Man variiert die anfängliche He-Konzentration Y0 derart, dass für das Alter A = A die Leuchtkraft L =
L ist Y0, = 0.256.
3. Ein weiterer freier Parameter ist das Verhältnis aus Mischungsweglänge und Druckskalenhöhe (vgl. Gl. (3.9)),
α≡
lconv
lP
(4.60)
das in die Mischungswegtheorie der Konvektion einfliesst. Man wählt α so, dass R = R ist
α ' 1.38.
4. Damit findet man eine Lösung der Sternaufbaugleichungen mit einer äußeren Konvektionszone (r & 0.75R ),
in der sich aber nur ca. 1.7% der Sonnenmasse befinden. Der Sonnenkern ist radiativ, H-Brennen findet innerhalb von r . 0.25R statt.
4.4.4
Solare Neutrinos
Bei der Fusion von Wasserstoff zu Helium ergibt sich folgendes Nettobudget:
4p + 2e− →4 He + 2νe + 26.2 MeV
(4.61)
Für jede 26.2 MeV Energie strahlt die Sonne also 2 Neutrinos ab. Die gemessene Leuchtkraft der Sonne entspricht einem Neutrinofluss von 6.4 × 1010 cm−2 s−1 . Dieser verteilt sich wie folgt auf die nuklearen Reaktionen
(Abb. (49)):
p+p
7
Be + e−
8
B
→
→
→
2
H + e+ + νe
7
Li + νe
8
Be + e+ + νe
CNO-Brennen
,
,
,
,
90%
8%
0.01%
2%
(4.62)
4
82
STERNAUFBAU
Abbildung 49: Energiespektrum solarer Neutrinos.
Abbildung 50: Schematischer Aufbau des
Homestake-Experiments.
4
83
STERNAUFBAU
Abbildung 51: Schematischer Aufbau eines Cherenkov-Neutrinodetektors.
Seit 1967 haben Raymond Davis Jr. (Nobelpreis 2002 zusammen mit M. Koshiba und R. Giacconi) und seine
Kollegen versucht, solare Neutrinos mit 100000 Gallonen C2 Cl4 (Tetrachloroäthylen, einer Reinigungsflüssigkeit)
in der Homestake-Mine South Dakota über die Reaktion
νe +37 Cl →37 Ar + e−
(4.63)
nachzuweisen (Abb. (50)).
Dabei wird ca. 1 radioaktives Argon-Atom pro Tag produziert, das mit einer Halbwertszeit von 35 Tagen zerfällt.
Die Reaktion ist nur für B und Be-Neutrinos sensitiv.
Das Ergebnis war überraschend: es wurden zwar eindeutig Neutrinos nachgewiesen, aber nur mit ca. einem Drittel
der vorhergesagten Rate.
Die Lösung konnte entweder in Problemen mit dem Sonnenmodell liegen, oder in einer neuen Eigenschaft von
Neutrinos, der bereits postulierten Neutrino-Oszillationen. Besonders wichtig: letztere setzen eine nichtverschwindende Ruhemasse der Neutrinos voraus.
Es folgten weitere Neutrino-Experimente: Kamiokande (japanischer Cherenkov-Detektor, Abb. (51)), GALLEX
− 71
(europäisches 71
31 Ga(νe , e )32 Ge-Experiment im Gran Sasso-Tunnel), SAGE (Russland, gleiche Reaktion) und
Super-Kamiokande (Cherenkov), mit dem 1998 erstmals Neutrino-Oszillationen in der Erdatmosphäre nachgewiesen wurden.
1999 wurde das Sudbury Neutrino Observatory (SNO) in Ontario, Kanada in Betrieb genommen (mit “geliehenen”
1000 Tonnen schwerem Wasser), mit dem erstmals auch νµ und ντ nachgewiesen werden konnten. Im Juni 2001
wurden die ersten Ergebnisse veröffentlicht, die eine Lösung des solaren Neutrinoproblems durch Oszillationen
nahelegten. Sie wurden im April 2002 bestätigt, damit gilt das Problem als gelöst.
Im Dezember 2002 fand das japanische KAMLAND-Experiment, in dem Reaktor-Antineutrinos nachgewiesen werden, ν̄-Oszillationen auf der Erde und legte dadurch die letzte verbleibende Unsicherheit, den sog. “ν-Mischungswinkel”,
fest.
4
STERNAUFBAU
Abbildung 52: Gemessene Neutrinoraten aller Experimente im Vergleich mit der theoretischen Vorhersage.
84
5
85
STERNENTWICKLUNG
5
5.1
5.1.1
Sternentwicklung
Allgemeine Eigenschaften
Der Virialsatz
Der Virialsatz ist eine statistische Aussage über ein System wechselwirkender Teilchen. Zur Ableitung des Virialsatzes geht man von der Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts, Gl. (4.4) bzw. Gl. (4.5), aus.
Integration von Gl. (4.5) über den Stern liefert
ZM
dP
4πr
dM = −
dM
3
0
ZM
GM
dM
r
(5.1)
0
Nach partieller Integration wird daraus:
M
4πr P 0 −
3
ZM
dr
P dM = Egrav
dM
12πr2
(5.2)
0
(Egrav : Gravitationsbindungsenergie).
Da der Druck an der Sternoberfläche verschwindet, ist der erste Term auf der linken Seite der obigen Gleichung
gleich Null. Mit Gl. (4.3) folgt daraus der Virialsatz (für ρ 6= 0):
ZM
Egrav = −3
P
dM
ρ
(5.3)
0
Mit Gl. (2.8) und Gl. (2.35) lässt sich Gl. (5.3) auch als
Egrav
ZM
= −3 (Γ − 1)dM
0
= −3(Γ − 1) ET
(5.4)
schreiben (ET : thermische Energie).
Betrachtet man ein ideales Gas (Gl. (2.31)) mit Γ = 5/3, so folgt aus dem Virialsatz:
Egrav = −2ET
(5.5)
Kontrahiert ein Stern, so erhöht sich der Betrag seiner (negativen) Gravitationsbindungsenergie |Egrav | und seine
Dichte nimmt zu. Die bei der Kontraktion freigesetzte Gravitationsbindungsenergie −δEgrav > 0 wird zur Hälfte
abgestrahlt Erad = −δEgrav /2. Die andere Hälfte erhöht die thermische Energie des Sterns (δET = −δEgrav /2 >
0), d.h. der Stern wird heißer.
Ein Stern kann nicht abkühlen! Solange sich die Sternmaterie durch ein ideales Gas beschreiben lässt, führt die
durch die Gravitation angetriebene Entwicklung eines Sterns zu immer höheren Dichten und Temperaturen.
5.1.2
Homologe Entwicklung
Aus Sternentwicklungsrechnungen ergibt sich, dass die Kontraktion in guter Näherung selbstähnlich verläuft. Für
Polytrope gilt dies exakt [siehe Kippenhahn & Weigert, S. 191ff].
5
86
STERNENTWICKLUNG
Eine Entwicklung heißt selbstähnlich oder homolog, wenn
r̃(M )
R̃
=
= const
r(M )
R
(5.6)
gilt, wobei r und R zwei beliebige radiale Positionen im Stern vor der Kontraktion, und r̃ und R̃ die entsprechenden
Koordinaten der gleichen Masseschalen nach der Kontraktion sind.
Für jede Masseschale dM = dM̃ gilt wegen Gl. (4.2):
dM = 4πr2 ρ(r)dr
ρ(r̃)
=
ρ(r)
4πr̃2 ρ(r̃)dr̃
2
r̃
ρ(r̃) r̃
= 4πr2
ρ(r)
dr
r
ρ(r) r
=
−3
r̃
r
(5.7)
Ebenso folgt aus Gl. (4.4):
P (r̃)
=
P (r)
−4
r̃
r
(5.8)
Im Fall einer homologen Entwicklung (Gl. (5.6)) gilt deshalb:
dρ
ρ
dP
P
dr
r
dr
= −4
r
= −3
(5.9)
Parametrisiert man die Zustandsgleichung durch den Ansatz (das mittlere Molekulargewicht µa sei dabei konstant
angenommen)
ρ ∝ P α T −δ
(5.10)
so folgt
dρ
dP
dT
=α
−δ
ρ
P
T
(5.11)
Kombiniert man die Beziehungen in Gl. (5.9), so erhält man
d ln T
4α − 3
=
d ln ρ
3δ
(5.12)
Für ein ideales Gas gilt α = 1 und δ = 1, d.h. d ln T /d ln ρ = 1/3, während im Falle eines entarteten Elektronengas α ∈ [3/5, 3/4], δ ≈ 0 und d ln T /d ln ρ < 0 sind.
Mit Hilfe von Gl. (5.12) lässt sich die Entwicklung eines Sterns in der T –ρ–Ebene anschaulich verstehen, vgl. Abb. (53).
Abb. (53) zeigt die Entwicklungspfade der Zentren dreier Sterne (schwarze Linien) der Massen M1 > M2 > M3
in der Temperatur–Dichte–Ebene. Das Vektorfeld zeigt die Richtung an, in die sich ein homolog kontrahierender
Stern entwickeln würde.
Im linken, oberen Teil der Figur ist die Zusandsgleichung die eines idealen Gas, d.h. die Pfeile haben den Anstieg
1/3. Die grüne Linie ist durch den Enartungsparameter η = 0 definiert (vgl. S.21). Unterhalb dieser Linie muss
die Entartung der Elektronen berücksichtigt werden.
Auf der gelben Linie gilt α = 3/4 und damit d ln T /d ln ρ = 0, d.h. auf der Linie sind die Pfeile horizontal
und unterhalb der Linie zeigen sie nach unten. Oberhalb der roten, blauen bzw. rosa Linie findet H–Brennen,
He–Brennen, bzw. C–Brennen statt.
5
STERNENTWICKLUNG
87
Abbildung 53: Entwicklungspfade von Sternen mit verschiedener Masse in der log T − log ρ-Ebene.
Die Entwicklung des Sterns mit der Masse M1 wird kaum durch Entartungseffekte beeinflusst; sein Zentrum heizt
sich während der Kontraktion kontinuierlich auf.
Im Zentrum des Sterns der Masse M2 (< M1 ) tritt Entartung auf; die homologe Kontraktion kann die Temperatur
maximal auf einige 107 K erhöhen.
Im Falle des Sterns der Masse M3 (< M2 ) ist die maximal erreichbare Zentraltemperatur noch geringer. Für M2
und M3 wird die Zündtemperatur für die Heliumfusion nicht erreicht.
Umfangreiche Sternentwicklungsrechnungen ergeben das folgende Bild (siehe auch Abb. (54), Abb. (63)):
• Kein H–Brennen, wenn MH . 0.08M . Sterne entarten bereits bei der Kontraktion zur Hauptreihe.
• Kein He–Brennen, wenn MHe . 0.35M . Entartung tritt nach dem H–Brennen auf falls M . 0.5M . Im
Massenbereich 0.5 . M/M . 2.5 durchläuft ein Stern das He–Brennen in Form eines He–Blitzes.
• Kein C–Brennen, wenn MC . 0.9M . Entartung tritt nach dem He–Brennen auf (M . 8 − 10M ).
5.2
5.2.1
Entwicklungsstadien im Detail
Interstellares Medium
Das interstellare Gas tritt im wesentlichen in drei physikalischen Formen auf: der kalten (T ∼ 102 K), warmen
(T ∼ 104 K) und heißen (T & 106 K) Phase.
5
STERNENTWICKLUNG
88
Abbildung 54: Entwicklung der Zentraltemperatur und Zentraldichte in der
Dichte–Temperatur–Ebene von Sternen unterschiedlicher Masse (Werte in Einheiten
von Sonnenmassen). Die gestrichelten Linien sind die Zündkurven für H-, He- und
C–Brennen. Die gestrichelte Gerade markiert (bei nicht allzu hohen Temperaturen) die ungefähre Grenze zwischen nicht–
entartetem und entartetem Elektronengas
[Iben, 1991, ApJ Suppl 76, 55].
Diese Phasen stehen im Druckgleichgewicht. Sie stehen nicht im thermischen Gleichgewicht, weil Energie durch
das System fließt: das Gas wird durch Sternwinde und Supernovae aufgeheizt und kühlt durch Strahlungsverluste.
Das kalte interstellare Medium (ISM) hat die höchste Dichte (n & 1 cm−3 ) aller Phasen. Es besteht aus folgenden
Komponenten:
HI-Wolken
Nichtionisierter Wasserstoff (HI) bildet Wolken mit einigen pc Durchmesser und M ∼ 500M . Sie sind
nicht gravitativ gebunden und existieren nur aufgrund des Druckgleichgewichts mit ihrer Umgebung.
Wegen der geringen Temperatur von ca. 100 K ( ∼ 10−2 eV) kann der H-Grundzustand nicht angeregt
werden, weil dazu mindestens 10 eV nötig sind (vgl. Gl. (2.37)).
Es existiert allerdings ein Hyperfein-Übergang zwischen den Spinzuständen von Proton und Elektron mit
∆E = 6 × 10−6 eV λ = 21 cm (Radio), siehe Abb. (57).
Der 21-cm-Übergang ist streng verboten mit einer Lebensdauer von 107 Jahren. Die HI-Dichte und thermische Stoßanregung sind jedoch ausreichend, um die Linie beobachtbar zu machen. Sie ist das wichtigste
Werkzeug für die Vermessung der Rotationskurve von Galaxien (einschließlich der unseren). Im Labor kann
die 21-cm-Linie nicht beobachtet werden, weil die erreichbaren Dichten noch zu hoch sind Stoßabregung
dominiert.
Molekülwolken
Molekülwolken sind sehr kalte (T . 20 K) und dichte (n ∼ 102 cm−3 ) Wolken mit Massen bis zu 106 M
und Radien bis zu 60 pc (Riesenmolekülwolken, GMC). Sie befinden sich in den galaktischen Spiralarmen
und sind bevorzugte Orte der Sternentstehung.
Radio- und IR-Beobachtungen von Molekülwolken zeigen eine Vielfalt an Molekülen, von CO (λ = 2.6 mm
Rotationsübergang) über H2 O und HCN (Zyanid) bis zu Äthylalkohol (CH3 CH2 OH). Die Wolken enthalten
große Mengen an Staub (s.u.), der die Moleküle vor UV-Strahlung schützt.
Molekularer Wasserstoff (H2 ) kann nur indirekt nachgewiesen werden, meistens durch die 2.6-mm-Linie
von CO. Die Kollisionsraten hängen von der Gasdichte und -temperatur ab und lassen daher eine Aussage
über die Anwesenheit von H2 zu.
5
STERNENTWICKLUNG
89
Abbildung 55: Der Entwicklungszyklus der Sterne (von Hans Ritter, MPA).
Die innere Dynamik der Molekülwolken ist sehr komplex. Sie sind hochgradig turbulent und weisen zum
Teil starke Magnetfelder auf. Simulationen von kollabierenden Molekülwolken gehören zu den großen Herausforderungen der aktuellen Forschung im Gebiet der Sternentstehung.
Interstellarer Staub
Interstellarer Staub besteht haupsächlich aus Silikaten (Sand) und Kohlenwasserstoffverbindungen (Ruß),
wie man an seinem Emissionsspektrum im IR erkennen kann. In kalten Umgebungen sind die Staubkörner
oft mit H2 O- und CO2 -Eis bedeckt.
Er wird in den äußeren Atmosphären von Roten Riesen produziert und in deren Spätphasen in das ISM
geblasen.
Die Wechselwirkung mit Photonen wird durch Mie-Streuung dominiert, die auftritt, wenn die Ausdehnung der Streupartikel d mit der Wellenlänge des Lichts vergleichbar ist. Ihre Wellenlängenabhängigkeit ist
σMie ∝ λ−1 (bei λ d dominiert die Rayleighstreuung mit σR ∝ λ−4 , Gl. (2.49)).
Beobachtete Extinktionskurven zeigen ein lokales Maximum bei 2175 Å(4.6 µm), das durch makroskopische, nadelförmige Graphitteilchen erklärt wird. Die Form folgt aus dem Polarisationsgrad (einige Prozent)
des gestreuten Lichts, der durch die Ausrichtung (und Rotation) der Teilchen senkrecht zu den Feldlinien
eines interstellaren Magnetfelds produziert wird.
Staub absorbiert bevorzugt UV und optisches Licht, das im IR re-emittiert wird. Dieser Prozess ist wichtig
5
STERNENTWICKLUNG
90
Abbildung 56: Endprodukte der Sternentwicklung als Funktion ihrer Masse bzw. Lebenszeit auf der Hauptreihe
(von Hans Ritter, MPA).
für die Kühlung von Sternentstehungsgebieten. Er erklärt auch die typische Rötung von Sternspektren, die
durch Staub hindurch beobachtet werden (vgl. den Verfärbungsweg in Abb. (24)).
Darüber hinaus wird blaues Licht wegen der Wellenlängenabhängigkeit der Mie-Streuung stärker aus der
Sichtlinie herausgestreut als rotes, vgl. Abb. (58). Man findet es in blauen Reflexionsnebeln außerhalb der
Sichtlinie zu hellen Sternen, die hinter Staubwolken liegen, wieder.
HII-Wolken gehören zum warmen ISM. Sie treten meistens in der Nähe massiver (O oder B) Sterne auf, die ihre
Umgebung ionisieren. Bei der Rekombination kaskadiert das Elektron durch mehrere Übergänge im sichtbaren
Spektrum, u.a. die rote Balmer (n = 3 → n = 2) Linie HII-Regionen erscheinen rot leuchtend.
Die Größe einer HII-Region lässt sich durch die Annahme eines Gleichgewichts zwischen Rekombination und
Ionisation abschätzen. Es seien:
• N die Zahl der ionisierenden Photonen, die pro Sekunde vom Zentralstern emittiert werden.
• αne nH die Anzahl der Rekombinationen pro Sekunde und Volumeneinheit (α ist hier ein quantenmechanischer Effizienzparameter ' 3 × 10−13 cm3 s−1 bei T ' 8000 K).
5
91
STERNENTWICKLUNG
Abbildung 57: 21-cm-Übergang zwischen
den Hyperfeinzuständen des HI-Atoms.
Abbildung 58: Kleinere Wellenlängen werden stärker von Staub absorbiert und gestreut als größere. Deshalb erscheint ein
Stern hinter einer Staubwolke für Beobachter A gerötet, während das gestreute blaue
Licht als Reflexionsnebel von Beobachter
B gesehen wird.
• ne ' nH , wenn das Gas fast ausschließlich aus Wasserstoff besteht.
• V = (4π/3)RS3 das Volumen der HII-Region mit dem Strömgren-Radius RS .
Multiplikation der Rekombinationsrate mit dem Strömgren-Volumen und Gleichsetzen mit der Ionisationsrate liefert:
1/3
3N
−2/3
RS =
nH
(5.13)
4πα
(typischerweise . 1 pc).
Das heiße ISM wird durch Supernova-Überreste dominiert. Sie kühlen hauptsächlich durch thermische Bremsstrahlung. Ein prominentes Beispiel ist der Crab-Nebel, Abb. (59), der Überrest einer Supernova, die 1054 explodierte.
5
STERNENTWICKLUNG
92
Abbildung 59: Der Crab-Nebel, aufgenommen mit dem VLT der ESO. Das blaue Licht wird von diffuser Synchrotronstrahlung produziert.
5.2.2
Sternentstehung
Eine Gaswolke kollabiert, wenn ihre Eigengravitation den Gasdruckgradienten überwiegt. Wann dies geschieht,
lässt sich durch eine lineare Stabilitätsanalyse abschätzen.
Dazu nimmt man zunächst eine homogene Dichte- und Temperaturverteilung an, der eine kleine ortsabhängige
Störung überlagert wird. Dann entwickelt man die hydrodynamischen Gleichungen linear nach der Störungsamplitude.
Das resultierende System linearer Differentialgleichungen hat Lösungen, die entweder oszillieren oder exponentiell
wachsen bzw. abfallen. Die Existenz wachsender Lösungen wird lineare Instabilität genannt.
Im Fall der Gravitationsinstabilität von Gaswolken wurde diese Analyse von Jeans durchgeführt. Er fand heraus,
dass nur Störungen mit Wellenlängen > λJ , der sog. Jeanslänge, anwachsen.
Sobald Inhomogenitäten ins Spiel kommen, werden Beschleunigungen durch Druckgradienten wichtig, d.h. man
betreibt Hydrodynamik. Die grundlegenden Gleichungen der Hydrodynamik idealer Flüssigkeiten sind die Euler-
5
93
STERNENTWICKLUNG
gleichungen, die die Masse- und Impulserhaltung wiederspiegeln:
∂ρ
∂t
∂v
∂t
∆Φ
+ ∇(ρv) = 0
+
=
1
(v∇)v = − ∇P − ∇Φ
ρ
4πGρ
(5.14)
Die letzte Gleichung ist die Poissongleichung für das Gravitationspotential Φ. v bezeichnet die lokale Geschwindigkeit der Flüssigkeit.
Die Euler- und Poissongleichungen sind gekoppelte partielle Differentialgleichungen für die Variablen ρ, v und Φ,
wobei ρ und P durch die Zustandsgleichung verbunden sind.
Insbesondere sind die Gleichungen nichtlinear durch den Trägheitsterm ((v∇)v) in der Impulsgleichung. Das
führt zu der faszinierenden Komplexität der Lösungen (z.B. Turbulenz), macht sie aber bis auf wenige (weitgehend
langweilige) Ausnahmefälle analytisch unlösbar.
Um festzustellen, ob die homogene Lösung (ρ, P =const, v = 0) stabil ist oder ob kleine Abweichungen sofort
anwachsen, teilt man die Variablen in ihre homogenen und inhomogenen Anteile auf:
ρ
P
v
Φ
→
→
→
→
ρ + δρ(x, t)
P + δP (x, t)
v + δv(x, t)
Φ + φ(x, t)
(5.15)
Dabei werden die Störungen δρ, δP , δv und φ als klein im Vergleich zu den Hintergrundwerten angenommen.
Dann kann man die Gleichungen (5.14) als Taylorreihe schreiben, in der alle Terme quadratischer und höherer
Ordnung in den Störungen vernachlässigt werden (Linearisierung):
∂δρ
+ ρ(∇δv) = 0
∂t
∂δv
c2
= − s ∇δρ − ∇φ
∂t
ρ
∆φ = 4πGδρ
(5.16)
Die Größe cs in der linearisierten Eulergleichung ist die adiabatische Schallgeschwindigkeit (wir betrachten nur
adiabatische Störungen):
1/2
∂P
=
∂ρ S=const
s
ΓP
=
ρ
cs
(5.17)
Wir nehmen außerdem an, dass es keine räumlichen Variationen der Zustandsgleichung gibt, so dass
c2s =
δP
δρ
(5.18)
Gl. (5.16) kann zu einer einzigen linearen PDGl zweiter Ordnung für δρ umgeformt werden:
∂ 2 δρ
− c2s ∆δρ = 4πGρδρ
∂t2
(5.19)
5
94
STERNENTWICKLUNG
Ausgedrückt durch den Dichtekontrast,
δρ(x)
ρ
ρ(x) − ρ
ρ
δ(x) ≡
=
(5.20)
lautet Gl. (5.19):
∂2δ
− c2s ∆δ = 4πGρδ
(5.21)
∂t2
Gl. (5.21) hat ganz offensichtlich die Form einer Wellengleichung. Aufgrund ihrer Linearität lässt sie sich leicht
mit dem Ansatz ebener monochromatischer Wellen lösen:
δ(r, t) = Ae−i(kr−ωt)
(5.22)
Die Frequenz ω muss dabei die Dispersionsrelation
ω 2 = c2s k 2 − 4πGρ
(5.23)
erfüllen.
Wenn ω imaginär ist, zeigt Gl. (5.22), dass exponentiell wachsende Moden existieren. Dies ist gleichbedeutend
mit einer Instabilität des Systems, in diesem Fall der Jeans-Instabilität. Reale Frequenzen führen hingegen zu
oszillierenden Moden, den Schallwellen.
Man sieht in Gl. (5.23), dass ω unterhalb einer kritischen Größe der Wellenzahl imaginär wird. Dieser Wert wird
Jeans-Wellenzahl genannt:
s
4πGρ
kJ =
(5.24)
c2s
Entsprechend ist die Jeanslänge definiert,
λJ =
2π
kJ
(5.25)
Störungen mit viel größerer Wellenlänge (k kJ ) wachsen bzw. zerfallen exponentiell mit der sog. dynamischen
Zeitskala,
1
τd ∼ √
(5.26)
4πGρ
√
τd ist, bis auf einen Faktor 3, identisch mit der Freifallzeitskala tgrav aus Gl. (1.36).
Anhand von Gl. (5.26) findet man eine weitere physikalische Interpretation der Jeans-Instabilität: wenn die dynamische (oder Freifall-)Zeitskala einer Dichtestörung kleiner wird als die Schalllaufzeit, mit der die Druck-Rückstellkraft kommuniziert wird (τs ∼ λ/cs ), kollabiert die Störung.
Schließlich kann man die minimale Masse berechnen, die durch die Jeans-Instabilität kollabiert, die sog. Jeansmasse. Es ist die Masse innerhalb einer Kugel mit dem Jeansradius RJ ≡ λJ /2:
MJ
=
=
4π 3
R ρ
3 J
s
π 5 c6s
36 G3 ρ
5
' 1.37 × 10 M
T
102 K
3/2 ρ
−24
10
gcm−3
−1/2
µ−3/2
(5.27)
5
95
STERNENTWICKLUNG
Abbildung 60: Aus Hayashi C.,“Evolution
of Protostars” ARAA 4, 171 (1966).
mit Hilfe von Gl. (2.31) und Γ = 5/3.
Unter den Bedingungen des kalten ISM ist MJ wesentlich größer als eine typische Sternmasse. Auf der anderen
Seite scheinen GMCs ihre Jeansmasse zu überschreiten, sie müssen also durch turbulenten und magnetischen
Druck stabilisiert werden.
Des Rätsels Lösung liegt in der Fragmentation kollabierender Wolken: Da die Dichte beim Kollaps bei ungefähr
konstanter Temperatur anwächst, wird die Jeansmasse kleiner
kleinere Inhomogenitäten wachsen an
der
Prozess kaskadiert zu immer kleineren Skalen.
Sobald das kollabierende Gas optisch dick wird, kann die thermische Energie (Virialsatz!) nicht mehr abgestrahlt
werden
das Wolkenfragment kollabiert adiabatisch, der Kaskadenprozess wird gestoppt: Aus T ∝ ρΓ−1 folgt
mit Γ = 5/3 aus Gl. (5.27), dass MJ ∝ ρ1/2 , d.h. die Jeansmasse wächst mit wachsender Dichte.
Trotz der Kombination komplexer Prozesse, die beim Kollaps eine Rolle spielen (Drehimpulstransport, Turbulenz,
Magnetfelder, Kühlungsinstabilitäten, . . . ), beobachtet man eine nahezu universelle Massenfunktion gebildeter
Sterne (“Initial Mass Function”, IMF):
dN
∝ M −1.35
dM
,
Mmax ∼ 100M
(5.28)
(Salpeter-IMF).
Die Universalität der stellaren IMF ist ein weiteres Beispiel für die großen Fragen der aktuellen Astrophysik.
5.2.3
Protosterne
Ein kollabierendes Wolkenfragment, das später zu einem Stern mit M ∼ 1M wird, durchläuft folgende Phasen:
1. Solange das Fragment optisch (bzw. IR) dünn ist, verläuft der Kollaps isotherm bei T ≈ 10 K.
2. Bei n ' 1011 cm−3 wird das Gas optisch dick und heizt sich auf. Der thermische Druck verlangsamt den
Kollaps vorübergehend. Das Objekt ist ab jetzt ein Protostern.
3. Bei T ' 1000 K und n ' 1016 cm−3 beginnt die Dissoziation von H2 im Zentrum. Die resultierende
Kühlung beschleunigt den Kollaps wieder auf dynamische Zeitskalen (∼ tgrav ).
5
STERNENTWICKLUNG
96
Abbildung 61: Skizze eines T Tauri Sterns
mit Akkretionsscheibe und protostellarem
Jet. Die Linienprofile werden durch die
überlagerte Emission der dopplerverschobenen Gasregionen produziert. Aus Snell et
al. 1980, Ap.J.Lett. 239, L17.
4. Bei T ' 104 K und n ' 1022 cm−3 setzt die zweite quasi-stationäre Kontraktionsphase ein. Der Kern
(10−3 M , 10 R ) ist von einer optisch dicken Hülle mit Radius ∼ 106 R umgeben.
5. Die weitere Entwicklung verläuft auf der Kelvin-Helmholtz-Zeitskala tKH . Der Stern wird zum Vor-Hauptreihenstern. Die Opazität ist sehr hoch, so dass der Temperaturgradient steil und der Stern vollständig
konvektiv wird er bewegt sich auf der Hayashi-Linie (Abb. (60)).
Beobachtete Sterne in dieser Phase im Massebereich M ' 0.5 . . . 3M , die starke Leuchtkraftschwankungen auf Zeitskalen von Tagen sowie starke Emissionslinien aufweisen, werden T Tauri Sterne genannt. Sie
sind häufig von Akkretionsscheiben umgeben und zeigen zum Teil starke magnetische Aktivität und Jets
(die wiederum mit Herbig-Haro-Objekten assoziiert werden). Siehe Abb. (61).
6. Bei T ' 107 K und n ' 1026 cm−3 beginnt schließlich das Wasserstoffbrennen im Kern (Kap. (4.2.4)). Der
Stern ist jetzt auf der Hauptreihe, wo er ca. 90 % seines Lebens verbringt.
5.2.4
Von der Hauptreihe zum Riesenast
Der Ort eines Sterns auf der Hauptreihe wird durch seine Masse festgelegt. Der Einfluss der chemischen Komposition macht sich durch die “Breite” der Hauptreihe bemerkbar.
Nachdem der Großteil des Wasserstoffs im Kern verbraucht ist, setzt das Wasserstoff-Schalenbrennen außerhalb
des He-Kerns ein.
Die brennende Schale bewegt sich nach außen, während der He-Kern langsam kontrahiert. Insgesamt steigt dadurch
die Temperatur im Zentrum, so dass sich der Stern aufbläht “Riesen”
der Stern wird “rot”.
Dabei bleibt die Leuchtkraft nahezu konstant, d.h. nach Gl. (2.67) sinkt Teff
Am rechten Ende des HRD erreicht der Stern (nach ∼ tKH !) wieder die Hayashi-Linie und bewegt sich darauf
nach oben Riesenast, siehe Abb. (63) und Abb. (62).
5
97
STERNENTWICKLUNG
Abbildung 62: HR-Diagramm des Kugelsternhaufens M3.
5.2.5
Nach dem Riesenast
Die Entwicklung nach dem Riesenast hängt von der Masse des Sterns ab:
M . 0.5M
Der Heliumkern wird vollständig entartet, bevor He-Brennen (Kap. (4.2.5)) einsetzen kann. Die Kontraktion
stoppt. Später wird die Hülle abgestoßen, der Stern wird zum He-Weißen Zwerg.
0.5M . M . 2.5M
Die Masse des He-Kerns wächst durch das H-Schalenbrennen. He-Brennen beginnt, aber der Kern ist schon
teilweise entartet. Die Temperatur, und damit 3α ∝ T 40 , steigt schlagartig an, weil der Kern nicht durch
Expansion kühlen kann Kern-Helium-Blitz.
Ein Kern-Helium-Blitz erreicht für wenige Sekunden L ∼ 1011 L , ist aber nicht direkt beobachtbar, weil
die Energie erst langsam an die Sternoberfläche diffundieren muss.
Anschließend brennt He im Kern stabil. Der Stern lebt auf dem Horizontalast (Abb. (63)).
Ist das Helium im Kern verbraucht, bildet sich eine He-Brennschale. Der Stern bewegt sich wieder in Richtung Hayashi-Linie Asymptotischer Riesenast (AGB).
Weitere Brennphasen werden, wiederum aufgrund der Kern-Entartung, nicht erreicht. Der Stern endet als
C-O-Weißer Zwerg.
M & 2.5M
He-Brennen im Kern setzt unter nichtentarteten Bedingungen ein
bis zum AGB wie oben. (Abb. (64),Abb. (65)).
kein He-Flash. Weitere Entwicklung
In der AGB-Phase massiver Sterne können Schalen-Helium-Blitze auftreten, wenn die H-Brennschale soviel He auf die darunter liegende He-Brennschale deponiert, dass das He kurzzeitig entartet. Diese Pulse
entstehen periodisch mit einer Periode von 103 . . . 105 Jahre, je nach Sternmasse.
5
STERNENTWICKLUNG
98
Abbildung 63: Entwicklungspfade von Sternen mit M . 1M im HR-Diagramm. Aus Iben I., PASP 83, 697
(1971).
5
STERNENTWICKLUNG
99
Abbildung 64: Entwicklungspfad eines Sterns mit M = 5M im HR-Diagramm. Aus Iben I. 1967, ARAA 5,
571.
5
100
STERNENTWICKLUNG
Abbildung 65: Struktur eines Sterns mit M = 5M als Funktion der Zeit (Achtung: die Zeitachse ist nichtlinear!).
In den gestreiften Regionen findet Kernbrennen statt, die wolkigen Regionen sind konvektiv. Aus Kippenhahn,
Thomas & Weigert 1965, Z. Astrophysik 61, 241.
Wenn der Stern die Temperatur Teff ' 2.5 × 104 K überschreitet, wird die abgestoßene Hülle ionisiert und
emittiert (verbotene) H, O und N-Linien
Planetarische Nebel, Abb. (66). Sie erreichen Ausdehnungen
bis zu ∼ 0.3 pc.
Ab M & 8M durchlaufen die Sterne alle Brennphasen bis zum Eisen. Die höheren Brennphasen sind so
kurz, dass sie im HRD nicht erscheinen.
Der Fe-Kern wird bei Sternen mit M & 8M relativistisch entartet
wird zur Kern- Kollaps-Supernova (Kap. (6.1.1)).
5.2.6
er kollabiert (Gl. (4.9)). Der Stern
Pulsationsveränderliche
In Abb. (63) schneidet der Horizontalast den sog. Instabilitätsstreifen. Hier leben Sterne, die hydrostatisch instabil
gegenüber Pulsationen sind.
Alle Sterne “schwingen” mit charakteristischen Frequenzen, die von den Schwingungsmoden (Multipolen) abhängen
(vgl. Kap. (4.4.2)). Für die Monopolschwingung (einfache radiale Schwingung, der “Grundton”) ist die Periode
identisch mit der Freifallzeitskala aus Gl. (1.36),
P ∼ tgrav
(5.29)
5
101
STERNENTWICKLUNG
Abbildung 66: Der Planetarische Nebel IC 418.
Normalerweise werden diese Schwingungen gedämpft, weil die Schwingungsenergie in Strahlung umgewandelt
wird. Gibt es jedoch einen Mechanismus, der diese Energie wieder zurückführt, entsteht eine Instabilität.
Der sog. κ-Mechanismus hat diese Eigenschaft. Er beruht auf dem steilen Anstieg der effektiven Opazität (vgl. Gl. (4.23))
bei T ∼ 104.5 K, der typischen Sterntemperatur im Instabilitätsstreifen:
Bei der Kontraktion erhitzt sich das Gas
κ wächst
weniger Energie kann während der Kontraktionsphase nach außen transportiert werden
der aufgebaute Druckgradient führt zu einer Expansion über die Gleichgewichtslage hinaus
κ sinkt schlagartig ab, welches eine Unterkühlung des Gases mit sich bringt
der Druckgradient wird abgebaut, eine weitere starke Kontraktion beginnt.
Dieser Prozess verläuft im Instabilitätsstreifen resonant, d.h. die Schwingung wird phasenrichtig “angeschubst”.
Dadurch entstehen makroskopische Pulsationen aus kleinen Störungen.
5
102
STERNENTWICKLUNG
Abbildung 67: δ-Cephei-Stern in der
Virgo-Galaxie M100 (HST Key Project).
Der Instabilitätsstreifen liegt bei ungefähr konstanter Effektivtemperatur und konstanter Masse im HR-Diagramm,
so dass wegen Gl. (1.36), Gl. (2.67) und Gl. (3.18):
P
M
∼ R3/2
∼ L3/4
∼ −3 log P + const
(5.30)
Die sog. Cepheiden (δ-Cephei-Sterne) haben eine beobachtete Perioden-Leuchtkraft-Beziehung von
MV ' −2.7 log P [Tage] − 1.6
(5.31)
Das macht sie zu den besten Standardkerzen des lokalen Universums, d.h. in etwa bis hinaus zum Virgohaufen
(. 20 Mpc) bei Beobachtungen mit dem Hubble-Weltraumteleskop, z.B. Abb. (67)
“HST Key Project” zur
Bestimmung der Hubblekonstanten.
Die P -L-Beziehung von Cepheiden wurde 1908 von Henrietta Leavitt entdeckt und 1925 von Hubble verwendet
um zu beweisen, dass der Andromedanebel eine eigenständige Galaxie in einem Abstand von mehreren Hundert
kpc ist.
Inzwischen sind weitere Klassen pulsierender Sterne mit P -L-Beziehungen bekannt (Abb. (68)):
• W Virginis Sterne, auch Population II Cepheiden genannt ( metallärmere Sterne ), treten im Galaktischen
Halo, in Kugelsternhaufen und nahe des Galaktischen Zentrums auf.
• RR Lyrae Sterne (Pop II) haben die geringste Varianz in L, sind aber weniger leuchtkräftig als Cepheiden
nicht in großen Entfernungen beobachtbar.
5
STERNENTWICKLUNG
103
Abbildung 68: P -L-Beziehung von Pulsationsveränderlichen.
6
104
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Abbildung 69: Klassen von Supernovae.
6
Endstadien der Sternentwicklung
6.1
Supernovae
6.1.1
SNe Typ II und Ib,c: Kern-Kollaps massiver Sterne
Wichtigste Eigenschaften:
• Lichtkurven wachsen in ca. 2 Wochen auf einige % der Helligkeit einer Galaxie an (Mmax ' −18), fallen dann auf einer Zeitskala von einigen Monaten wieder ab. Starke Variationen in Höhe und Verlauf der
Lichtkurven unterschiedliche Vorläufersterne.
• Treten nur in jungen Sternpopulationen auf, d.h. in Spiralarmen von Spiralgalaxien und in irregulären Galaxien, nicht in elliptischen Galaxien massive Vorläufersterne.
• SN II: starke H-Absorbtionslinien in Spektren nahe Maximum. SN Ib: kein H ( SN I), kein Si, aber He.
SN Ic: kein H, He, Si
Vorläufersterne haben H bzw. H und He-Hüllen abgestoßen, bevor sie kollabierten
(“Wolf-Rayet-Sterne”).
• Ca. 2-3 SN II pro Galaxie pro Jahrhundert. Letzte SN II in unserer (bzw. benachbarter) Galaxie: SN 1987A
in der Großen Magellanschen Wolke. Nachweis des Neutrinoflusses mit Kamiokande (12 ν)
Nobelpreis
2002 für Masatoshi Koshiba.
• Energie: ∼ 1049 erg in Photonen, ∼ 1051 erg in kinetischer Energie, & 1053 erg in Neutrinos
selbst
geringe Kopplung der Neutrinos an die Materie hat starken Einfluss, wahrscheinlich treiben Neutrinos die
Explosion.
• Ursprung schwerer Elemente jenseits des Fe (r-Prozess
Isotope.
bisher ungeklärter Ursprungsort) und radioaktiver
6
105
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Abbildung 70:
Zwiebelschalenstruktur
eines Kern-Kollaps-Supernova-Vorläufersterns.
• Entstehung von Neutronenstern oder Schwarzem Loch. Mögliche Emission von Gravitationswellen.
• Mögliche Verbindung mit einer Klasse von Gammablitzen durch die Entstehung von Jets bei der Akkretion
in das Schwarze Loch “Hypernovae”, seit ca. 4 Jahren aktives Forschungsgebiet.
Aspekte der Explosionsphysik:
• Der Stern hat am Ende seiner thermonuklearen Entwicklung eine “Zwiebelschalenstruktur”, Abb. (70).
• Fe-Kern (M ∼ 1.2M , ρ ∼ 1010 g cm−3 ) dissoziiert in α, n, p
des Kerns.
Energie wird verbraucht
Kontraktion
• Elektroneneinfänge auf freie Protonen im Kern senken die Elektronendichte und damit den Entartungsdruck
Kontraktion wird zu Kollaps mit Zeitskala ∼ 0.05 s.
• Bei ρ & ρnuc ∼ 1015 g cm−3 wird die Zustandsgleichung abrupt inkompressibler
hung.
Rückprall, Stoßentste-
• Stoß propagiert nach außen, dissoziert dabei Fe in α, n, p und verliert Energie durch Neutrinos
stagniert in der Hülle!
der Stoß
• Der dichte Kern (Protoneutronenstern) emittiert Neutrinos, die teilweise innerhalb der Stoßregion absorbiert
werden und ihre Energie deponieren
der Stoß wird “wiederbelebt”
verzögerter Explosionsmechanismus. Dabei spielt insbesondere die Konvektion in der Heizregion eine wichtige Rolle, Abb. (71).
6
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
106
Abbildung 71: Konvektionszone im Zentrum einer Supernova etwa 0.1 sec nach der Stoßentstehung. Der Neutronenstern in der Mitte hat einen Radius von etwa 50 km, die Stoßfront am äußeren Rand befindet sich bei knapp
300 km (E. Müller und T. Janka, MPA).
6
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
107
Abbildung 72: Bolometrische Lichtkurven einiger Typ Ia Supernovae. Aus Contardo et al., A&A 359, 876 (2000)
• Die numerische Modellierung von SNe II ist aufgrund des komplizierten Neutrinotransports (keine Diffusionsnäherung!) eine große Herausforderung
bisher gibt es keine selbstkonsistenten, funktionierenden
Explosionsmodelle.
6.1.2
SNe Typ Ia: Thermonukleare Explosionen Weißer Zwerge
Wichtigste Eigenschaften:
• Lichtkurven wachsen in ca. 2 Wochen auf ca. 30 % der Helligkeit einer Galaxie an (Mmax ' −19), fallen
dann auf einer Zeitskala von einigen Monaten wieder ab.
Familie von Ereignissen, die von kleiner absoluter Helligkeit mit schnell abfallender Lichtkurve bis zu hoher
absoluter Helligkeit mit langsam abfallender Lichtkurve reicht (aber Variationsbreite immer noch kleiner als
bei SN II), Abb. (72).
Nach Korrektur der absoluten Helligkeit durch die Lichtkurvenform verbleibt nur noch ca. 12% Variationsbreite (Abb. (73))
hervorragende Standardkerzen bis zu kosmologischen Entfernungen, Nachweis
der beschleunigten Expansion des Universums.
• Treten in allen Sternpopulationen auf, d.h. auch in elliptischen Galaxien (allerdings keine der sehr hellen
Ereignisse) (zum Teil?) alte Vorläufersterne.
6
108
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Abbildung 73: Die “Multi-Color Light
Curve Shape”-Korrektur für die Helligkeiten von SNe Ia. Aus Riess et al. (1996).
• Kein H in den Spektren, aber starke Si-Absorptionslinien, außerdem Ca, Mg. In den späten (“Nebel–”)Spektren
starke Fe-Emissionslinien
“Tomographie” der Explosionsprodukte, d.h. außen mittelschwere Elemente,
innen Eisengruppenelemente.
• Ca. 1 SN Ia pro Galaxie pro Jahrhundert. Mittlerweile findet man mehrere Hundert SNe Ia pro Jahr, indem
man viele Tausend Galaxien gleichzeitig beobachtet.
• Gesamtenergie: ∼ 1051 erg. Das beobachtete Licht wird durch radioaktiven Zerfall von
56
Fe produziert etwa 0.5 M Ni muss während der Explosion erzeugt werden.
56
Ni →
56
Co →
• Hauptproduzenten von Eisengruppenelementen.
• Kein kompakter Überrest.
Aspekte der Explosionsphysik:
• Standardmodell: SNe Ia sind thermonukleare Explosionen von C+O Weissen Zwergen, die in einem Doppelsternsystem Materie akkretieren und bis fast zur Chandrasekhar-Masse (MCh ∼ 1.4M ) anwachsen (Hoyle
& Fowler 1960).
6
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
109
Abbildung 74: Dreidimensionale Struktur der thermonuklearen Flamme in einer hydrodynamischen Simulation
von Typ Ia Supernovae (M. Reinecke, MPA).
Das klingt einfach, ist aber alles andere als geklärt: in den meisten Fällen wird das akkretierte Gas schon
lange vorher instabil und explodiert ( klassische Novae) oder bildet eine gemeinsame Hülle. Sog. SuperSoft X-Ray Sources sind vielleicht gute Kandidaten. Das Vorläufer-Problem von SNe Ia ist besonders wegen
ihrer kosmologischen Relevanz sehr akut.
• Die Verhältnisse im Kern (ρ ∼ 1010 g cm−3 , T ∼ 109 K) erlauben C+C-Fusion, deren Energieerzeugung
irgendwann die Neutrinoverluste übersteigt thermonuklearer Runaway.
• Aufgrund der Entartung kann der Stern nicht durch Expansion kühlen, d.h. T wächst, bis die Entartung
aufgehoben wird T ∼ 1010 K. Bei dieser Temperatur ist die Brennzeitskala von C nur noch ∼ 10−12 s!
• Es bildet sich eine sehr dünne (∼ 10−5 cm) thermonukleare “Flamme”, die durch Wärmeleitung mit ∼ 106
cm/s propagiert Unterschallverbrennung = Deflagration.
Die Alternative, eine stoßwellengetriebene Überschallverbrennung (Detonation), würde den gesamten Stern
zu Ni verbrennen und kein Si erzeugen (Arnett 1969) nicht mit den Spektren vereinbar.
• Die Flamme wird turbulent durch die Rayleigh-Taylor-Instabilität (“Milch im Tee”) und vergrössert dadurch ihre effektive Brenngeschwindigkeit. Die Stärke der Explosion hängt wesentlich von diesem Prozess
ab, der nur schwierig in Simulationen zu modellieren ist (Abb. (74)).
• Durch die Unterschallverbrennung kann der Stern ein wenig expandieren, bevor er verbrennt
Erzeugung
von mittelschweren Elementen in den Außenregionen. Möglicherweise findet dann noch ein spontaner Über-
6
110
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
gang zu einer Detonation statt (Delayed Detonation), der die hohe Geschwindigkeit der Explosionsprodukte
erklären könnte.
• Ein weiteres schwieriges Problem ist die Berechnung synthetischer Spektren und Lichtkurven aus den Explosionsmodellen, da kein LTE angenommen werden kann und das Problem vollständig zeitabhängig ist.
6.1.3
Supernova-Lichtkurven
Das Licht einer Supernova wird vorwiegend durch den radioaktiven Zerfall von (hauptsächlich) 56 Ni → 56 Co →
Fe produziert:
56
56
28 Ni
56
27 Co
→
→
56
+
27 Co + e + νe + γ
56
+
26 Fe + e + νe + γ
(6.1)
Die Halbwertzeit der ersten Reaktion ist τ1/2 = 6.1 Tage, die der zweiten τ1/2 = 77.7 Tage. Die Zerfallsrate λ,
definiert durch die Zeitentwicklung der Teilchenzahl N (t),
dN
= −λN ,
dt
(6.2)
folgt aus der Halbwertzeit:
λ=
ln 2
τ1/2
(6.3)
Die typische Form von SN-Lichtkurven – Anstieg innerhalb von Tagen, Erreichen eines Maximums, Abfall innerhalb von Monaten – wird durch den Wettbewerb zwischen Deposition und Abstrahlung der Photonen verursacht:
1. Zu Beginn wird mehr Energie deponiert, als abgestrahlt werden kann
die Leuchtkraft wächst an.
2. Das Gas des SN-Überrests expandiert es wird optisch dünner; gleichzeitig sinkt die Depositionsrate der
Anstieg geht in einen Abfall über. Zum Zeitpunkt des Maximums ist die Depositionsrate ungefähr gleich der
Leuchtkraft (“Arnettsches Gesetz”).
3. Im späteren Verlauf wird das expandierende Gas vollständig optisch dünn, so dass die gesamte Zerfallsenergie praktisch sofort abgestrahlt wird (“Nebelphase”). Dann folgt für die Steigung der Lichtkurve ( Übungsaufgabe!):
d log10 L
dt
dMbol
dt
6.2
6.2.1
= −0.434λ
=
1.086λ
(6.4)
Weiße Zwerge
Historische Entwicklung
1834 Bessel (1784 – 1846) entdeckt variable Eigenbewegung von Sirius
ter.
Doppelstern mit unsichtbarem Beglei-
1862 A.G. Clark findet Sirius–Begleiter nahe am vorausberechneten Ort. Aus den Bahnelementen und der Paral1
L
laxe folgt für Sirius B: M ∼ 1M , L ∼ 400
1915 Adams bestimmt den Spektraltyp (F) von Sirius B
T ≈ 8500 K, R ≈ R /55, hρi ≈ 61000 g cm−3 .
6
111
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Sterntyp
Druckquelle
WD
NS
Fermidruck
relativistischer
entarteter
Elektronen
starke WW,
Fermidruck
nicht-relativ.
entarteter
Neutronen
BH
Hauptreihenstern
(H–Brennen)
chemische
Zusammensetzung
He
C/O
O/Ne/Mg
Masse [M ]
Radius
< 1.44
≈ 104 km
Vorläuferstern [M ]
0.8 – ∼ 8
n (∼ 90%),
p,e− (∼ 10%)
∼ 0.1 – ∼ 3
≈ 10 km
∼ 8 – ∼ 25
–
–
&3
Rs =
Gasdruck,
Strahlung
H (∼ 74%)
He (∼ 24%)
Metalle“ (∼ 2%)
”
0.08 – ∼ 100
0.1R –
∼ 20R
2GM
c2
& 25 ?
–
Tabelle 2: Übersicht über kompakte stellare Objekte.
1924 A.S. Eddington formuliert Paradoxon: Hohe Dichte nur bei vollständiger Ionisation, d.h. bei hohen Temperaturen möglich. Ein Stern mit so hoher Dichte braucht Energie um abzukühlen!
1925 Adams misst die Gravitationsrotverschiebung von Sirius B (vR ≈ 20 km/s) und bestätigt damit die Voraussagen der Allgemeinen Relativitätstheorie und die hohe mittlere Dichte von Sirius B.
1926 R.H. Fowler löst Eddingtons Paradoxon: Vollständige Ionisation nicht nur bei hoher T möglich, sondern
auch bei T → 0, wenn nur der Druck hoch genug ist (Druckionisation).
Pauli-Prinzip, d.h. Fermi–Dirac–Statistik für das Elektronengas (Entartungsdruck) Zustandsgleichung ist
Gl. (2.32) Weiße Zwerge sind Polytrope mit Γ = 5/3, d.h. aus Gl. (4.9) folgt R ∝ M −1/3 .
1931 S. Chandrasekhar verallgemeinert Fowlers Ansatz: Berücksichtigung der speziellen Relativitätstheorie relativistische Entartung (Gl. (2.33), Γ = 4/3)
Grenzmasse für WD: Chandrasekhar-Masse MCh '
1.4M , vgl. Gl. (4.9).
Beginn der Kontroverse mit Eddington, der behauptet, relativistische Entartung gäbe es nicht, folglich auch
keine Grenzmasse. Die Masse–Radius–Beziehung sei R ∝ M −1/3 für beliebige M .
Chandrasekhar sucht Unterstützung bei Physikern (u.a. bei Bohr und Pauli), die sich aber nicht öffentlich
zur Sache äussern.
1939 Chandrasekhar zieht Schlusstrich unter die Affaire und schreibt sein Buch An Introduction to the Study of
”
Stellar Structure“. Dann wendet er sich anderen Dingen zu. Die Kontroverse endet letztlich mit Eddingtons
Tod.
6.2.2
Vorkommen und Erscheinungsformen
Als Einzelsterne:
Unauffällige, schwache, bläuliche Sterne (Nobs . 2000; siehe Abb. (75)).
Zentralsterne Planetarischer Nebel, die sehr heiß (T & 105 K) und blau sind (N ≈ 500).
6
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
112
Abbildung 75: Das linke Bild zeigt eine irdische Aufnahme des der Erde nächstgelegenen (≈ 2 kpc) Kugelsternhaufens M4. Man sieht darauf vorwiegend alte, rote Riesensterne. Die HST–Aufnahme (rechts) eines kleinen Teils
von M4 zeigt acht Weiße Zwerge (innerhalb der blauen Kreise) zusammen mit den viel helleren anderen Sternen
des Kugelsternhaufens.
In Doppelsternsystemen:
Ohne Akkretion (d.h. ohne Anlagerung von Materie):
Unauffällige, schwache, bläuliche Sterne, die vom Begleitstern überstrahlt werden und daher schwer zu
finden sind.
Anzahl: N ≈ 10, bzw. wenn man auch Binärsystem mit Radiopulsaren betrachtet N & 20 .
Beispiele: Sirius B (1892 von A.C. Clark entdeckt; Bahnperiode: 49.9 a; R = 0.008 R ; M = 1.05M ;
hρi = 3 × 106 g cm−3 ), Procyon B, 40 Eri B.
Mit Akkretion (Abb. (76)):
Novae, Zwergnovae und verwandte Objekte (sehr auffällige veränderliche Sterne mit zum Teil starken
Helligkeits-Ausbrüchen (Novae): N ≈ 1000
6.2.3
Charakteristische Größen
Masse: hM i = 0.58 M mit σM ≈ 0.1, d.h. wenige WD mit M . 0.4M und M & 0.8M (siehe Abb 77).
Radius: hRi = 0.012 R
Dichte: hρi = 4.7 × 105 g cm−3
6
113
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Abbildung 76: Skizze eines Doppelsternsystem mit Akkretionsscheibe
Schwerebeschleunigung: hGM/R2 i = 1.1 × 108 g cm−3 (d.h. ≈ 105 g)
Leuchtkraft: L ≈ 10−3 L . . . 10−2 L
6.2.4
Entwicklung von Weißen Zwergen
Unter der Annahme M = const folgt aus der Masse–Radius–Beziehung R(t) = const bzw. Ṙ = 0. Damit gilt für
die zeitliche Änderung der Gravitationsbindungsenergie:
M

Z
∂
GMr
(6.5)
Ėgrav = − 
dMr  = 0 ,
∂t
r
0
d.h. es wird keine Gravitationsbindungsenergie frei.
Nimmt man weiterhin an, dass nuk = 0, d.h. dass keine thermonukleare Energieerzeugung stattfindet, so folgt für
die Leuchtkraft L des WD:
L = −ĖT ,
(6.6)
d.h. er bezieht seine Leuchtkraft vollständig aus seinem thermischen Energiereservoir.
Daher gilt: Die Entwicklung von WD besteht aus Abkühlung.
6
114
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Abbildung 77: Massenverteilung von Weißen Zwergen.
Die Abkühlzeit ergibt sich aus
τ
= −
=
ET
ĖT
ET
.
L
(6.7)
Aus Gl. (2.67) folgt
log L = 4 log Teff + 2 log[R(M )] + const ,
(6.8)
log L = 4 log Teff + const
(6.9)
= 10−2 . . . 10−3 L
' 10−2 R
' (1 . . . 2) × 104 K
(6.10)
d.h. für eine gegebene Masse gilt:
Beobachtungen liefern als typische Werte
L
R
Teff
6
115
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Eine Abschätzung der Abkühlzeit von WD ergibt
τ≈
3 kT0
5 µa mB L
M/M
L/L
5/7
(6.11)
wobei T0 = T (r0 ) mit r0 = r(η = 0) die Temperatur am Rande des entarteten Teils des (praktisch isothermen)
WD ist.
Für T0 ≈ 3 × 107 K und µa = 14 (C/O) erhält man
t = 1.7 × 10
6
M/M
L/L
5/7
[Jahre] .
(6.12)
Zusätzliche Energiequellen und Senken für Weiße Zwerge:
• Neutrinoverluste sind in WD mit L & 0.1L die dominierende Energiesenke (Plasmaneutrinos, Kap. (4.3)).
• Latente Wärme, die bei der Kristallisation der Ionen (Phasenübergang 1. Art) frei wird.
• Gravitationsbindungsenergie, die durch die Entmischung des WD (nach teilweiser Kristallisation) frei
wird.
6.3
6.3.1
Neutronensterne
Zur Geschichte und Bedeutung
Geschichte:
1931 Chandrasekhar findet maximale Masse für Weiße Zwerge: MCh = 5.76 Ye 2 M .
1932 Chadwick entdeckt das Neutron; Landau sagt NS voraus und berechnet deren maximale Masse.
1934 Baade & Zwicky: Neutronensterne entstehen in Supernovae.
1939 Oppenheimer & Volkoff: Erste Neutronensternmodelle.
1967 Hewish et al. entdecken die Radiopulsare.
1968 Gold: Pulsare sind rotierende Neutronensterne; Entdeckung des Krebspulsars im Supernovaüberrest SNR 1054.
1969 Entdeckung des Krebspulsars im Visuellen.
1971 Entdeckung der Röntgenpulsare mit UHURU (z.B. Her X-1); Deutung als akkretierende Neutronensterne in
engen Doppelsternsystemen.
1974 Hulse & Taylor entdecken den Binärpulsar PSR 1913 + 16.
1976 Trümper et al.: Erste Messung der Magnetfeldstärke eines Neutronensterns am Röntgenpulsar Her X-1.
1982 Entdeckung des ersten ms–Pulsars PSR 1937 + 214 mit einer Periode von P = 1.5578 ms.
1987 Entdeckung des ersten ms–Pulsars in einem Kugelsternhaufen (M 28).
1992 Entdeckung der ersten extrasolaren Planeten (3 Stück) um den ms–Pulsar PSR 1257 + 12.
2000 Entdeckung des jungen Neutronensterns (∼ 300 Jahre) im Supernovaüberrest Cas A durch das
Röntgenobservatorium.
CHANDRA
6
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
116
Abbildung 78:
Hα –Aufnahme der
Umgebung des Millisekunden–Pulsars
PSR 0437-4715. Der Pfeil zeigt die Bewegungsrichtung des Pulsars an. Der
leuchtschwache Stern direkt hinter der
Stoßfront ist ein Weißer Zwerg, der zusammen mit dem Pulsar ein Doppelsternsystem
bildet. Der Abstand zwischen Pulsar und
Bugstoßwelle beträgt etwa 1400 AU.
Bedeutung:
• Endstadium der Entwicklung massereicher Sterne (M & 8 M ) nach einer Gravitationskollaps–Supernova
(SNe II, Ib, Ic).
• Möglicherweise das Ergebnis eines akkretionsinduzierten Kollaps eines Weißen Zwergs mit M ≈ MCh .
• Neutronensterne erlauben das Studium von Materie bei extrem hoher Dichte ((ρ > ρnuc = 2 × 1014 g cm−3 )
und in extrem starken Magnetfeldern (B & 1013 Gauss).
• Akkretierende Neutronensterne führen zu (rekurrierenden) thermonuklearen H-Explosionen auf der Oberfläche (“Röntgenblitze”
Analogon zu den klassischen Novae). Sie gehören zu den leuchtkräftigsten stellaren Röntgenquellen in der Milchstrasse (LX & 1038 erg/s)
• Radiopulsare erlauben Studium der Elektrodynamik bei starken Feldern, Beschleunigung von relativistischen Teilchen, Erzeugung von γ–Strahlung. Pulsare in engen Doppelsternen sind wichtig als relativistische
Laboratorien.
6.3.2
Vorkommen und Erscheinungsformen
Als Einzelsterne:
Radiopulsare (N ≈ 1300), z.B. Crab- und Vela–Pulsar; Eigenbewegung PSR J0437-4715 (Bugstoßwelle;
Abb. (78)); als Gravitationslinse; sonst praktisch nicht beobachtbar!
Ausnahme: RX J 1856.35-37.54 durch ROSAT- und HST–Beobachtungen wegen der großen Nähe des Objekts (d = 61 pc; Abb. (79))
In Doppelsternsystemen:
Ohne Akkretion:
6
117
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Abbildung 79: HST–Aufnahme des (nicht–
pulsierenden) isolierten Neutronensterns
RX J185635-3754. Er wurde zuerst durch
seine intensive Röntgenstrahlung mit ROSAT gefunden (Walter et al. 1996, Nature
379, 233) und später mit dem HST entdeckt (Walter & Matthews 1997, Nature
389, 358). Der Neutronenstern ist sehr heiß
(T ≈ 1.2 106 K) und seine Entfernung beträgt nur 61 pc (Walter 2001, ApJ 549, 433).
Er ist damit der uns nächstgelegene Neutronenstern.
Binärpulsare, Millisekunden–Pulsare (N ≈ 100):
PSR B1913+16: Hulse–Taylor–Pulsar; NS–NS–System geeignet zum Testen der Allgemeinen Relativitätstheorie
PSR B1937+214: bisher kürzeste gemessene Pulsperiode (1.55781 ms) eines Millisekunden–Pulsar; außerdem extrem genaue Uhr (Ṗ = 1.05 10−19 , d.h. Ungenauigkeit pro Jahr etwa 3 ps!); N ≈ 50
PSR B1821-24: Erster entdeckter Pulsar in Kugelsternhaufen (M28); N ≈ 50
PSR B1257+12, Millisekunden–Pulsar mit 3 Planeten!
Mit Akkretion:
Massereiche (HMXB) (N ≈ 70) und massearme (LMXB) (N ≈ 120) Röntgendoppelsterne oder Röntgenpulsare.
6.3.3
Charakteristische Eigenschaften
• Teff & 106 K ≈ 0.1 keV
Röntgenstrahlung.
• teilweise sehr starke Magnetfelder 1012 bis einige 1013 Gauß (vielleicht bis 1015 Gauß im Falle von Magnetaren).
• einige mit fast kritischer Rotation (wenige msec), aber auch Spinperioden von bis zu 10 s.
6
118
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Abbildung 80: Schematischer Aufbau von
Neutronensternen und anderen hypothetischen kompakten Sternen (mit freundlicher
Genehmigung von Fridolin Weber, Univ.
Notre Dame, USA).
• hohe Eigengeschwindigkeit: hvi ≈ 450 km/sec; Rekordhalter: ≈ 3000 km/sec, d.h. v ≈ 0.01c
3 1050 erg; Ursache?
Ekin ≈
• Assoziation mit Supernova–Überresten (SNR): z.B. Crab, Vela (N ≈ 10).
• Population: ≈ 105 aktive Radiopulsare in der Milchstrasse; ≈ 108 insgesamt in der Milchstrasse; aus Alter
der Milchstrasse (1010 Jahre) und Entstehungsrate (1 Pulsar pro 100 Jahre).
6.3.4
Struktur von Neutronensternen
Neutronensterne haben eine Art Schalenstruktur (siehe Abb. (80)).
• Die äußere Kruste besteht aus einem Gitter von vollständig ionisierten Eisenatomkernen und einem entarteten Elektronengas. Sie ist einige hundert Meter dick. Die Dichte in der äußeren Kruste nimmt nach innen
zu. Erreicht sie die den Wert von 3 × 1011 g cm−3 , so verdampfen die Neutronen aus den Kernen (“neutron
drip”).
• Die sich anschließende innere Kruste besteht aus schweren Kernen, einem entarteten Elektronengas und
einem Neutronengas. Sie ist etwa 1 km dick.
• Oberhalb von Kerndichte und noch weiter innen im NS ist die Materie so dicht gepackt, dass die Neutronen nun eine Art Flüssigkeit bilden, zusammen mit einem geringen Anteil von Elektronen, supraleitenden
Protonen und Myonen. Diese superfluide Neutronen–Flüssigkeit enthält die meiste Masse des NS.
• Im eigentlichen Zentrum massereicher NS werden die physikalischen Eigenschaften der Materie noch bizarrer. Die Dichte errecht etwa den 10–fachen Wert der Kerndichte, und die Quarks als Bausteine der Neutronen
werden frei gesetzt. Das Zentrum eines NS mit 2M könnte aus Quarkmaterie bestehen.
6.3.5
Pulsare und ihre Entwicklung
Die beobachteten Pulsare lassen sich in zwei Klassen einteilen (siehe Abb. (81)): normale“ Pulsare (≈ 800) mit
”
Rotationsperioden 0.03 [sec] . P . 8 [sec] und Millisekundenpulsare (≈ 50) mit Rotationsperioden 1.5 [msec] .
6
119
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Abbildung 81:
odenverteilung.
Beobachtete Pulsarperi-
Abbildung 82:
Magnetfeld–Perioden–
Diagramm für Pulsare (aus Glendenning,
1998, Nuclear Physics A638, 239).
P . 30 [msec]. Man nimmt an, dass Pulsare als normale“ Pulsare geboren werden und sich auf sehr langen Zeits”
kalen zu Millisekundenpulsaren entwickeln.
• Der rotierende Core eines massereichen Sterns kollabiert zu einem Neutronenstern. Infolge Drehimpulserhaltung rotiert der neugeborene NS schneller und besitzt wegen der sehr hohen elektrischen Leitfähigkeit
des Plasmas im Core infolge von Magnetflusserhaltung ein sehr starkes Magnetfeld (B ' 1012 Gauss;
sogenannte Magnetare können sogar Magnetfelder bis einige 1014 Gauss besitzen)
Ein junger NS ist ein
rotierender, magnetischer Dipol, der elektromagnetische Strahlung emittiert.
6
120
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
• Der rotierende, magnetische NS ist als Pulsar beobachtbar, wenn seine gerichtete, elektromagnetische Strahlung die Erde einmal pro Rotationsperiode überstreicht.
• Durch die Abstrahlung verliert der Neutronenstern Energie, die er aus seiner Rotationsenergie deckt. Dadurch wird er mit der Zeit langsamer, d.h. die Rotationsperiode nimmt zu (Ṗ ' +10−15 sec/sec). Die Rotationsenergie ist ausreichend, damit der NS für etwa 107 Jahre als ( normaler“) Pulsar aktiv sein kann.
”
• In einem Magnetfeld–Perioden–Diagramm bewegt sich der NS infolge des Drehimpulsverlusts durch seine
Abstrahlung von links oben nach rechts, Abb. (82). Er stirbt“ als aktiver Pulsar, wenn eine bestimmte
”
Kombination von Rotationsperiode und Magnetfeldstärke einen Grenzwert unterschreitet.
• Durch Massen- und Drehimpuls–Akkretion von einem Begleitstern (entweder ursprünglich vorhanden oder
später eingefangen) beginnt der Pulsars wieder schneller zu rotieren (spin–up). Während der langen Akkretionsphase reduziert sich das Magnetfeld des Pulsars durch Ohmsche Dissipation. Der Pulsar bewegt sich
im Magnetfeld–Perioden–Diagramm von rechts oben nach links unten (Abb. (82)).
• Der NS wird als Millisekundenpulsar wiedergeboren: Er kann wieder strahlen, da sein schwächeres Magnetfeld durch seine schnellere Rotation kompensiert wird. Da das Magnetfeld nun schwächer ist (B '
108 Gauss), ist auch die Abbremsung sehr gering (Ṗ ' +10−19 sec/sec). Das charakteristische Abbremsalter τc ≡ P/(2Ṗ ) beträgt etwa 109 Jahre Millisekundenpulsare sind extrem genaue Uhren.
6.4
Schwarze Löcher
6.4.1
Schwarzschildradius
Damit ein Testteilchen der Masse m von der Oberfläche eines Körpers der Masse M und des Radius R zu beliebig
großen Abständen gelangen kann, muss seine kinetische Energie mindestens gleich seiner potentiellen Energie
sein:
1
GM m
mv 2 =
(6.13)
2
R
Die entsprechende kritische Geschwindigkeit heißt Fluchtgeschwindigkeit und ist durch
r
2GM
v=
(6.14)
R
gegeben.
Setzt man v = c, d.h. betrachtet man die physikalisch maximale Fluchtgeschwindigkeit, so erhält man bei gegebener Masse M einen kritischen Radius, den Schwarzschildradius:
Rs =
2GM
c2
(6.15)
Wird ein Objekt der Masse M auf die Größe seines Schwarzschildradius komprimiert, wird die Fluchtgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit.
Objekte mit R < RS nennt man Schwarze Löcher. Die mittlere Dichte eines Schwarzen Lochs der Masse M
kann man gemäß
M
hρi >
(6.16)
(4π/3)RS3
abschätzen.
6
121
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Objekt
Nukleon
Mensch
Erde
Sonne
WD
NS
Masse [g]
10−24
105
6 1027
2 1033
2 1033
2 1033
2 1042
(109 M )
Radius [cm]
10−15
102
6 108
7 1010
109
106
Rs [cm]
10−52
10−23
0.9
3 105
3 105
3 105
3 1014
(20 AU)
Rs /R
10−37
10−25
10−9
4 10−6
3 10−4
0.3
Tabelle 3: Schwarzschildradien verschiedender Objekte.
Abbildung 83: Beobachtete Massen von
Neutronensternen und Schwarzen Löchern
(Charles, 1998, astro-ph/9806217 und
Theory of Black Hole Accretion Disks,
CUP, p.1). Man beachte die geringe Breite
der Massenverteilung der Neutronensterne. Alle gemessenen BH–Massen liegen
deutlich oberhalb der (kanonischen) Maximalmasse eines Neutronensterns von
3.2M (schraffierte vertikale Linie).
Setzt man die Definition des Schwarzschildradius ein, so folgt
6
c
3 1
hρi >
32π M 2 G3
1.84 × 1016 h g i
∼
(M/M )2 cm3
(6.17)
Für ein stellares Schwarzes Loch mit M = M übersteigt die mittlere Dichte einen Wert von 2 × 1016 g cm−3 ,
was etwa 100-facher Kernmateriedichte entspricht.
Für ein massereiches Schwarzes Loch von 109 Sonnenmassen gilt hρi > 0.02 g cm−3 . Dieser Dichtewert entspricht der Schüttdichte von Stroh!
Für die Entstehung eines Schwarzen Lochs sind daher nicht notwendigerweise sehr hohe Dichten erforderlich.
6.4.2
Auftreten und Erscheinungsformen von Schwarzen Löchern
Als Einzelsterne:
Praktisch nicht beobachtbar, außer durch Gravitationslinseneffekt
6
122
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Abbildung 84: Geschwindigkeitsmessung
des heißen Gases der rotierenden Akkretionsscheibe im Zentrum der aktiven Galaxie M87. Das Gas bewegt sich mit bis
zu 500 km/s auf uns zu (bzw. von uns
weg). Diese hohen Geschwindigkeiten weisen auf ein massereiches Schwarzes Loch
hin (MBH ≈ 3 109 M ).
In Doppelsternsystemen:
Ohne Akkretion:
Praktisch nicht beobachtbar; kein Beispiel bekannt.
Mit Akkretion:
Röntgendoppelsterne, einige Kandidaten (z.B. Cyg X-1).
Als massereiche Schwarze Löcher:
Vorkommen: in aktiven Galaxienkernen (AGN’s); Maschine“ zur Produktion extragalaktischer Jets
”
Masse: 106 M . MBH . 109 M
Leuchtkraft: L . 1047 erg/s; Akkretionsleuchtkraft Lac = GM Ṁ /R für ein Objekt mit R ≈ RS :
LBH
ac ≈
h erg i
c2
Ṁ
Ṁ ≈ 3 1046
2
M /Jahr s
Nachweis: Keplerbewegung von Gas im Akkretionsstrudel“ (Abb. (84) und Abb. (85))
”
(6.18)
6
ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
123
Abbildung 85: Galaxie NGC 4527, wo
man die Keplerbewegung um das zentrale Schwarze Loch durch eine Reihe von
Wasser–Masern genau vermessen kann.
7
UNSERE GALAXIS
124
Abbildung 86: Die Milchstraße in allen Wellenlängenbereichen.
7
7.1
Unsere Galaxis
Allgemeines
Unsere Galaxis ist die Milchstraße. Sie ist eine Spiralgalaxie (Sbc) mit einem Scheibendurchmesser von ca. 50
kpc. Siehe Abb. (86) für eine Darstellung in allen Wellenlängenbereichen.
Ihre Gesamtmasse in sichtbarer Materie (Sterne, Staub, etc.) beträgt ca. 9 × 1010 M .
Ihre Leuchtkraft im B-Band beträgt LB ' 2.3 × 1010 L . Nimmt man den IR-Bereich (hauptsächlich Staubemission) dazu, erhält man die ungefähre bolometrische Leuchtkraft Lbol ' 3.6 × 1010 L .
Die Sonne befindet sich in ca. 8 kpc Entfernung vom Galaktischen Zentrum und ca. 30 pc oberhalb der Scheibenebene.
7.1.1
Galaktische Koordinatensysteme
Das Galaktische Koordinatensystem ist ein sphärisches Koordinatensystem mit Ursprung im Sonnensystem und
Äquatorebene in der Galaktischen Ebene; Abb. (87), Abb. (88).
Es besteht aus 2 Winkelkoordinaten:
7
125
UNSERE GALAXIS
Abbildung 87: Das Galaktische Koordinatensystem mit Zentrum in der Sonne.
Abbildung 88: Vergleich der galaktischen,
äquatorialen und ekliptischen Koordinatensysteme.
Galaktische Breite b ∈ [−90◦ , 90◦ ]:
Winkel zwischen Objekt und Galaktischer Ebene. b = 90◦ : Galaktischer Nordpol (NGP), beste Richtung für
die Beobachtung extragalaktischer Objekte. Bei kleinen b (. ±10◦ ) blickt man durch die Scheibe
hohe
Staubabsorption, viele Vordergrundsterne.
Galaktische Länge l ∈ [0◦ , 360◦ ]:
Winkelkoordinate in der Galaktischen Ebene. l = 0◦ : Galaktisches Zentrum.
Für die Kinematik der Milchstraße selbst ist ein zylindrisches Koordinatensystem nützlich, dessen Ursprung im
Galaktischen Zentrum liegt, siehe Abb. (89).
Es besteht aus 3 Koordinaten:
z: Höhe über der Scheibe.
R: Entfernung vom Galaktischen Zentrum (GZ) in der Scheibenebene. Entfernung der Sonne ≡ R0 .
7
126
UNSERE GALAXIS
Abbildung 89: Zylindrisches Galaktisches
Koordinatensystem mit Ursprung im Galaktischen Zentrum.
θ: Winkel zwischen Linien GZ-Sonne und GZ-Stern in der Scheibenebene.
7.1.2
Sternpopulationen
Die chemische Zusammensetzung eines Sterns kann durch die Massenanteile von Wasserstoff X, Helium Y und
“Metallen”, d.h. allem anderen, Z ausgedrückt werden.
Diese Größen sind normiert, d.h. X + Y + Z = 1. Für die Sonne ist X = 0.70, Y = 0.28, Z = 0.02.
Die Metallizität wird genauer durch das Eisen-zu-Wasserstoff-Verhältnis gemessen (Grund: Fe-Linien sind leicht
nachweisbar):
[Fe/H] ≡ log(Fe/H)∗ − log(Fe/H)
(7.1)
Sterne haben eine große Bandbreite an Metallizität: −4.5 . [Fe/H] . 1.0.
Die mittlere Metallizität ist mit dem durchschnittlichen Alter einer Gruppe von Sternen korreliert (Alter-MetallizitätsBeziehung). Je jünger ein Stern, desto mehr Generationen an Supernovae können vor seiner Entstehung stattgefunden haben desto mehr Fe ist im ISM vorhanden, aus welchem der Stern entsteht.
Dabei ist allerdings zu beachten:
• Fe wird hauptsächlich durch SNe Ia produziert, die erst nach einigen 109 Jahren auftreten. Keine instantane
Durchmischung große Variationsbreite in Metallizität bei gleichem Alter.
• Anderer wichtiger Indikator: [O/H]. O wird hauptsächlich durch SNe II in das ISM abgegeben
∼ 107 Jahre nach der ersten Sternentstehung, also praktisch sofort.
schon
Anhand dieser Eigenschaft lassen sich Sternpopulationen definieren (Baade, ca. 1940):
Population I:
Metallreich ([Fe/H] & −1, Z ' 0.02), treten in galaktischen Scheiben und offenen Sternhaufen auf.
Population II:
Metallarm ([Fe/H] . −1, Z ' 0.001), treten in galaktischen Halos und Kugelsternhaufen auf.
Man muss auch beachten, daß die Metallizität einen Einfluss auf die Farbe eines Sterns hat: mehr Fe
blaues
Licht wird in der Sternatmosphäre absorbiert
Stern erscheint röter (außerdem werden Rote Riesen durch die
höhere Opazität größer und röter).
7
127
UNSERE GALAXIS
Abbildung 90: Komponenten und Struktur
der Galaxis.
7.2
Struktur
Die Galaxis setzt sich – wie die meisten Spiralgalaxien – aus 3 Hauptkomponenten zusammen: der Scheibe, dem
zentralen Bulge und dem Halo. Siehe Abb. (90).
7.2.1
Die Scheibe
Die Scheibe besteht aus:
der dünnen Scheibe:
Enthält das meiste Gas
Gebiet der Sternentstehung
junge Population.
Eigenschaften:
• Masse ∼ 6 × 1010 M , Alter . 12 × 109 Jahre, Durchmesser ∼ 50 kpc.
• Skalenhöhe ∼ 50 pc
Sonne ist Mitglied der dünnen Scheibe.
• Masse-zu-Leuchtkraft-Verhältnis:
M M
∼3
L dünne Scheibe
L
(7.2)
• Sterne hauptsächlich Pop I, Z ∼ 0.02, −0.5 . [Fe/H] . 0.3.
• Weitere Unterteilung in junge und alte dünne Scheibe. Die alte dünne Scheibe ist dicker (∼ 325 pc).
der dicken Scheibe:
Ältere Sternpopulation
entweder hat die Sternentstehung dort früher geendet als in der dünnen Scheibe,
oder Sterne der dünnen Scheibe sind in die dicke Scheibe gewandert bzw. “verdampft”.
Eigenschaften:
• Masse ∼ 3 × 109 M , Durchmesser ∼ 50 kpc. Die Sterndichte ist nur ∼ 2% der dünnen Scheibe.
• Skalenhöhe ∼ 1.4 kpc.
• Sterne hauptsächlich Pop II, Z ∼ 0.001, −1.6 . [Fe/H] . −0.4.
7
UNSERE GALAXIS
128
Abbildung 91: Struktur der Galaxis mit
zentralem Bulge, der möglicherweise balkenförmig ist.
7.2.2
Der Bulge
Der Bulge ist eine zentrale Verdickung mit Skalenhöhe ∼ 400 pc, wahrscheinlich in Form eines Balkens (vgl. Abb. (91)).
Eigenschaften:
• Starke Staubextinktion (∼ 28 mag im visuellen)
hauptsächlich im IR beobachtbar, vgl. Abb. (86). Ausnahme: “Baades Fenster”, ca. 4◦ unterhalb des Galaktischen Zentrums, l ∼ 1◦ .
• Masse ∼ 1010 M , Durchmesser ∼ 2 kpc.
• Gemischte Sternpopulation Pop I/II, −1 . [Fe/H] . 1. Die junge Komponente könnte auch Teil der dünnen
Scheibe sein.
• Die radiale Abhängigkeit der Flächenhelligkeit I [L pc−2 ] folgt in etwa dem de Vaucouleur-Profil:
"
!#
1/4
R
I(R) ' I(Re ) exp −7.67
−1
(7.3)
Re
7
129
UNSERE GALAXIS
Dabei ist Re der Effektivradius, definiert durch den Radius, innerhalb dessen sich die Hälfte der Gesamtleuchtkraft befindet.
• Masse-zu-Leuchtkraft-Verhältnis:
M
M ∼3
L Bulge
L
(7.4)
also ähnlich wie in dünner Scheibe.
7.2.3
Der sichtbare (stellare) Halo
Masse ∼ 109 M , Durchmesser ∼ 100 kpc, −4.5 . [Fe/H] . −0.5.
Besteht aus:
Kugelsternhaufen:
Es gibt zwei Familien von Kugelsternhaufen (KSH) im Halo:
1. Alt, [Fe/H] < −0.8: sphärische Verteilung.
2. Jung, [Fe/H] > −0.8: abgeflachte Verteilung, mögliche Assoziation mit der dicken Scheibe.
Der Abstand der meisten KSH vom Galaktischen Zentrum ist r . 35 kpc. Es existieren wenige KSH mit 66
kpc . r . 100 kpc, die möglicherweise “eingefangen” wurden.
Feldsterne:
Große Geschwindigkeit senkrecht zur Galaktischen Ebene. Bis zu r ∼ 50 kpc.
Das Anzahldichten-Profil der metallarmen KSH und der Feldsterne hat die Form:
nHalo ∝ r−3.5
(7.5)
Hochgeschwindigkeitswolken:
H-Wolken bei großen |b|; hohe, negative Radialgeschwindigkeiten. “Magellanscher Strom”: folgt Magellanschen Wolken, möglicherweise durch Gezeitenwechselwirkung mit Galaktischer Scheibe.
7.2.4
Der dunkle Halo
Wie im nächsten Kapitel gezeigt wird, existiert mit großer Wahrscheinlichkeit noch eine weitere Komponente, die
aus nichtleuchtender (dunkler) Materie besteht. Sie bildet einen wesentlich größeren Halo als die stellare Komponente.
Eigenschaften:
• Wahrscheinlich nahezu sphärische Struktur, r & 100 kpc, genauer Durchmesser unbekannt.
• Dichteprofil:
ρ(r) ∝ (a2 + r2 )−1
(7.6)
mit a = 2.8 kpc, folgt aus Rotationskurve (s.u.). Der Parameter a ist nötig, um die innere Region richtig zu
beschreiben (ρ ∼ const).
• Masse innerhalb r = 25 kpc ca. 1.9 × 1011 M , innerhalb r = 230 kpc (falls Profil bis dahin wie oben) ca.
1.3 × 1012 M .
7
130
UNSERE GALAXIS
7.3
7.3.1
Kinematik
Geschwindigkeit der Sonne
Definition 1:
Geschwindigkeitskomponenten im zylindrischen Koordinatensystem der Galaxis, Abb. (89):
Π≡
dR
dt
,
Θ≡R
dθ
dt
Z≡
,
dz
dt
(7.7)
Definition 2:
Lokales Ruhesystem der Sonne (local standard of rest, LSR): Ortskoordinaten der Sonne, Geschwindigkeitskompenenten diejenigen einer perfekten Kreisbahn um das Galaktische Zentrum:
ΠLSR = 0
,
ΘLSR = Θ0
,
ZLSR = 0
(7.8)
Definition 3:
Pekuliargeschwindigkeit der Sonne: Sonnenbewegegung relativ zum LSR,
V ≡ (Π , Θ − Θ0 , Z )
(7.9)
Abbildung 92: Schematische Darstellung
der Pekuliargeschwindigkeiten von Sternen
in der Sonnenumgebungen, unterteilt nach
Sternpopulationen. Je älter die Sterne, desto weniger sind ihre Geschwindigkeiten
mit der galaktischen Rotation korreliert.
Der Mittelpunkt der Einhüllenden liefert
die Geschwindigkeit des LSR.
Man findet V durch Messung der Pekuliargeschwindigkeiten vieler Sterne relativ zur Sonne. Deren Mittelwert
hat aufgrund der Stellardynamik die Form einer Kreisbahn (Radialgeschwindigkeit ∝ Geschwindigkeitsdispersion)
um das Galaktische Zentrum plus V . Daraus folgt:
V = (−9, 12, 7) km/s
(7.10)
Man beobachtet außerdem eine Alters-Geschwindigkeits-Beziehung: die ältesten (metallärmsten) Sterne haben
die größten Pekuliargeschwindigkeiten.
Es fehlt noch die Bestimmung von Θ0 , der Rotationsgeschwindigkeit des LSR. Sie ergibt sich aus der Asymmetrie
der stellaren Pekuliargeschwindigkeiten von Halo-Sternen, von denen man annehmen kann, dass sie im Mittel
nicht (bzw. sehr langsam) um das Zentrum rotieren, vgl. Abb. (92). Ergebnis:
Θ0 ' 220 km/s
Daraus folgen
(7.11)
7
131
UNSERE GALAXIS
Abbildung 93: Zur Tangentialpunkt-Methode.
• die Umlaufzeit der Sonne:
P =
2πR0
' 230 × 106 Jahre
Θ0
(7.12)
• die Masse innerhalb des Sonnenorbits (aus dem 3. Keplergesetz Gl. (3.3) oder einfach Ekin = Epot ):
M (R0 ) =
7.3.2
Θ20 R0
' 8.8 × 1010 M
G
(7.13)
Die Rotationskurve
Die Galaktische Rotationskurve Θ(R) kann für R < R0 (nach innen) mit der Tangentialpunktmethode vermessen werden. Vorgehensweise:
• Messe die 21-cm-Emission von HI ( Galaxis ist optisch dünn) entlang eines Sehstrahls mit |l| ≤ π/2.
Man sieht eine Überlagerung von Maxima, die von verschiedenen HI-Wolken stammen, vgl. Abb. (93).
• Die maximale Radialgeschwindigkeit vrmax – und damit die größte Dopplerverschiebung der 21-cm-Linie –
entspricht derjenigen Wolke, die vom Sehstrahl tangential an ihre (näherungsweise) Kreisbahn geschnitten
wird, R = R0 sin l.
• Damit erhält man:
vrmax = Θ(R) − Θ0 sin l
und daraus Θ(R).
(7.14)
7
UNSERE GALAXIS
132
Abbildung 94: Rotationskurve der Galaxis. Aus Clemens 1985, ApJ, 295, 422.
Für R > R0 nimmt vr kein Maximum an, so dass man die Tangentialpunktmethode nicht anwenden kann. Man
muss die Radialgeschwindigkeiten von Objekten messen, deren Abstand bekannt ist (z.B. Pulsationsveränderliche)
und daraus die Rotationskurve rekonstruieren.
Ergebnis (Abb. (94)):
Die Rotationskurve fällt nach außen nicht ab sondern ist nahezu konstant!
Dieses Ergebnis findet man allgemein für die Rotationskurven von Spiralgalaxien, siehe Abb. (104).
Das steht im Widerspruch zum Keplergesetz, wenn die Masse der Galaxie innerhalb des Radius RG konzentriert
ist: v 2 (R) = M (RG )G/R v ∼ R−1/2 für R > RG . Dies ist der Fall für die sichtbare Materie (Sterne, HI, . . . ),
deren Dichte nach außen hin exponentiell abfällt.
v(R) ∼ const deutet dagegen auf eine Masseverteilung M (R) ∼ R hin
ρ ∼ r−2 (vgl. Gl. (7.6))
entweder
das Gravitationsgesetz ist falsch (unwahrscheinlich und theoretisch äußerst unästhetisch), oder es gibt noch eine
weitere, dunkle, Materiekomponente: Dunkle Materie.
7.3.3
Dunkle Materie
Neben der Beobachtung flacher Rotationskurven von Spiralgalaxien gibt es inzwischen eine Reihe unabhängiger
Indizien für die Existenz Kalter Dunkler Materie (Cold Dark Matter, CDM):
Kosmologie:
Messungen der Leuchtkraft-Rotverschiebungs-Verteilung von SNe Ia und der Statistik der TemperaturAnisotropien der kosmischen Hintergrundstrahlung (Abb. (1)) ergeben das Bild eines Universums, das zu
ca. 23% aus nichtbaryonischer Dunkler Materie, 4% aus baryonischer Materie und 73% aus sog. Dunkler
Energie, die später beschrieben wird, besteht.
7
UNSERE GALAXIS
133
Das ist konsistent mit dem Ergebnis der primordialen Nukleosynthese (ebenfalls später), dass der baryonische Anteil an der Gesamtdichte des Universums Ωb ' 0.04 sein muss, um die beobachtete Häufigkeit von
primordialem He und D zu erklären.
Großskalige Struktur:
Die Klumpungsstatistik von Galaxien, gemessen z.B. mit Galaxiensurveys, ist nur mit der aktuellen Theorie
der Strukturentstehung verträglich, wenn es CDM in ca. der oben genannten Menge gibt. Heiße Dunkle
Materie würde hingegen kleinskalige Strukturen durch Diffusionseffekte zerstören.
Zusammensetzung von Galaxienhaufen:
Die baryonische Masse von Galaxienhaufen wird durch das heiße intergalaktische Medium dominiert, welches durch Beobachtung der Röntgenstrahlung freier Elektronen “gewogen” werden kann.
Auf der anderen Seite kennt man die Gesamtmasse einiger Haufen durch das Virialtheorem und die Temperatur der Elektronen, oder durch die Verzerrung von Hintergrundgalaxien (schwacher Gravitationslinseneffekt). Zusammen ergeben beide Messungen das Baryonen-CDM-Verhältnis der Galaxienhaufen.
Schenkt man nun der primordialen Nukleosynthese Glauben, die ein Ergebnis für den Anteil baryonischer
Materie an der Gesamtmasse des Universums liefert, folgt wieder der obige Wert von ca. 23% CDM im
ganzen Universum.
Alle Methoden ergeben mehr oder weniger konsistente Resultate für die Gesamtmasse der Dunklen Materie. Es
fällt zunehmend schwerer, an ihrer Existenz zu zweifeln bzw. eine Alternative vorzuschlagen, die alle diese Beobachtungen gleichwertig erklärt.
Dennoch steht eine positive Identifizierung der Dunklen Materie noch aus. Im Gegensatz zur Dunken Energie gibt
es aber eine große Zahl sinnvoller Kandidaten, die sich grob in 2 Klassen einteilen lassen:
WIMPs (Weakly Interacting Massive Particles):
Schwach wechselwirkende Elementarteilchen mit hoher (∼ einige 100 GeV) Ruhemasse
frei”.
kalt, “druck-
Die Existenz solcher Teilchen wird u.a. von der Theorie der Supersymmetrie vorhergesagt
leichtester
supersymmetrischer Partner (LSP), z.B. das Neutralino χ01 . Das LSP sollte eine ähnliche Ruhemasse
wie das Higgs-Teilchen haben. Es ist wegen der sog. R-Parität, die zur Stabilisierung des Protonenzerfalls
benötigt wird, stabil.
Nachweismöglichkeiten:
• Direkt: Durch Nachweis in hochempfindlichen Teilchendetektoren (z.B. CRESST, EDELWEISS , DAMA ,
CDMS ). Elastische Stöße mit Nukleonen
Emission von Phononen, die in supraleitenden Detektoren
nachgewisen werden. Erde “schwimmt” durch CDM-Halo
jahreszeitliche Modulation erwarten,
erlaubt Separation vom Hintergrund.
Stand 2004: Die DAMA-Kollaboration behauptete 2000, ein Signal gefunden zu haben. Dies konnte
bisher von anderen Gruppen, insbesondere CDMS, nicht bestätigt werden.
In weiterer Zukunft ist hoffentlich ein direkter Nachweis in Beschleunigern (z.B. LHC) möglich.
• Indirekt: Durch Nachweis hochenergetischer Photonen aus dem Zentrum massiver Galaxien, die durch
seltene Paarvernichtungsereignisse von WIMPs produziert werden (z.B. MAGIC), bzw. Nachweis hochenergetischer Neutrinos im Mittelmeer (ANTARES) oder im antarktischen Eis (AMANDA).
MACHOs (MAssive Compact Halo Objects):
Leuchtschwache, kompakte Objekte mit ∼ stellaren Massen, z.B. Weiße Zwerge, Neutronensterne, Schwarze Löcher oder andere, exotische Objekte.
Nachweis durch den Mikrolinseneffekt, vorgeschlagen von B. Paczyńsky (1986):
7
UNSERE GALAXIS
134
• Die Masse eines Objekts (“Linse”) krümmt den Weg von Lichtstrahlen eines dahinter gelegenen, leuchtenden Objekts (“Quelle”), so dass das Bild der Quelle verformt bzw. aufgespalten wird
Gravitationslinseneffekt.
• Für stellare Massen im Halo der Galaxis ist die Bildaufspaltung unbeobachtbar, aber dafür ist eine
relative Verstärkung der Quelle detektierbar, wenn diese durch die optische Achse Beobachter-Linse
hindurchläuft symmetrische, achromatische Lichtkurven unveränderlicher Sterne.
• Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ereignis ist ∼ 10−7 , wenn die der Halo ausschließlich aus
MACHOs besteht
man muss mehrere Millionen Quellen gleichzeitig beobachten
Magellansche
Wolken (MACHO , EROS) oder Bulge (OGLE).
p
• Primäre Messgröße: Zeitskala der Lichtkurve, tE ∼ M D/v, wobei M , D und v die Masse, Entfernung und transversale Geschwindigkeit der Linse sind
keine eindeutige Messung der Masse und
Entfernung möglich.
Ergebnisse:
• 1993 wurden von den 3 oben genannten Gruppen die ersten Ereignisse gemeldet, siehe Abb. (95)
• Inzwischen ∼ 20 Ereignisse in Richtung der Magellanschen Wolken, ∼ 100 in Richtung Bulge.
• Die hohe Linsenwahrscheinlichkeit in Richtung Bulge kann durch die Existenz eines Balkens erklärt
werden, siehe Abb. (91).
• Bester Fit, wenn ca. 20% der Halomasse aus MACHOs bestünde, mit hMMACHO i ∼ 0.5M .
Probleme:
• “Unästhetisches” Ergebnis, wenn es mehr als nur eine Sorte Dunkler Materie geben sollte. Aber das
heißt nicht, dass es falsch ist.
• Damit wissen wir immer noch nicht, was MACHOs sind. Weiße Zwerge mit hMWD i ∼ 0.5M :
eher nicht, denn deren Vorläufersterne hätten das Galaktische Gas zu stark mit Metallen angereichert
Widerspruch mit beobachteten Sternpopulationen. Neutronensterne, Schwarze Löcher: werden in
SNe II nicht mit diesen Massen erzeugt, außerdem ebenfalls Metallizitätsproblem.
Damit bleiben exotische Lösungen (primordiale Schwarze Löcher, Bosonensterne, . . . ) übrig, deren
Entstehungsmechanismen mehr als unklar sind.
Aus diesen Gründen wird die Interpretation der Linsenereignisse durch Halo-Linsen oft bezweifelt. Es gibt
Hinweise durch linsende Doppelsternsysteme, dass sich zumindest ein Teil der Linsen in der Nähe der Quellen befindet “Self-Lensing”.
7
135
UNSERE GALAXIS
Abbildung 95:
8
136
GALAXIEN
Abbildung 96:
Galaxie.
8
8.1
M31, die Andromeda-
Galaxien
Historische Entwicklung
ca. 1770 Kant (1724 – 1804) und Wright (1711 – 1786) spekulieren, dass die Milchstraße eine stellare Scheibe ist,
die aus vielen Sonnensystemen wie dem unseren besteht. Kant schlägt außerdem vor, dass die beobacheten
“Nebel” weit entfernte Sternansammlungen gleicher Natur sind.
William Herschel produziert die erste quantitative Sterntafel der Galaxis.
Charles Messier (1730 – 1817) legt den ersten Katalog von 103 Nebeln an. Er besteht aus Gasnebeln (z.B.
Orion ≡ M42), SN-Überresten (z.B. Crab ≡ M1), offenen Sternhaufen (z.B. Pleiaden ≡ M45), Kugelsternhaufen (z.B. KSH in Herkules ≡ M13) sowie nahen Galaxien (z.B. Andromeda ≡ M31, Abb. (96)).
1845 William Parsons findet die Spiralstruktur in einigen Nebeln
“Spiralnebel”.
1912 Vesto Slipher detektiert dopplerverschobene Linien in Spiralnebeln
Rotation.
1920 Shapley und Curtis debatieren an der National Academy of Sciences in Washington D.C. die Natur der Nebel
in der ersten Großen Debatte der Astronomie. Shapley ist davon überzeugt, dass sie Bestandteile der Galaxis
sind, während Curtis die extragalaktische Interpretation bevorzugt.
1923 Edwin Hubble (1889 – 1953) findet Cepheiden in M31 und berechnet deren Entfernung mit ca. 285 kpc
(heutiger Wert: 770 kpc). Damit wird endgültig akzeptiert, dass es Galaxien neben der unseren gibt.
8.2
Klassifikation
Die geläufigste Klassifikation von Galaxien nach ihren morphologischen Eigenschaften geht auf Hubble zurück
die Hubble-Sequenz. Sie entspricht nicht der zeitlichen Entwicklungsgeschichte von Galaxien. Siehe Abb. (97).
Die Oberklassen sind elliptische Galaxien, Spiralgalaxien und irreguläre Galaxien, wobei sich Spiralgalaxien in
solche mit und ohne Balken unterteilen lassen. Die Übergangsklasse von Ellipsen zu Spiralen sind linsenförmige
Galaxien (lenticulars), die mit S0 bzw. SB0 (mit Balken) bezeichnet werden.
8
137
GALAXIEN
Abbildung 97: Die Hubble-Sequenz zur morphologischen Galaxienklassifikation.
8.2.1
Elliptische Galaxien
Definition:
Elliptische Isophoten (Konturen mit konstanter Leuchtkraft), keine geordnete Substruktur.
Bezeichnung:
En mit n = 10; = 1−b/a: Elliptizität; a, b: große und kleine Halbachse
Klassifikation ist abhängig von Projektionseffekten.
E0 nahezu sphärisch. Beachte:
Dynamik:
Mittle Stoßzeit der Sterne (“Relaxationszeit”) 1010 Jahre stoßfreies Gas. Elliptische Verteilung wegen
anisotroper Verteilungsfunktion der Sterne im Impulsraum. Rotationsabplattung in der Regel unwichtig.
Die Kinematik von E’s weist darauf hin, dass auch sie von einem dunklen Halo umgeben sind.
Weitere Unterteilung:
E’s umfassen einen weiten Bereich (ca. Faktor 106 ) an Masse und Leuchtkraft. Man unterscheidet:
• cD galaxies: extrem leuchtkräftig (MB ∼ −25) und groß (bis zu ∼ 1 Mpc und 1014 M ), M/LVerhältnis hoch (bis zu 750M /L
viel Dunkle Materie), ausgedehntes Helligkeitsprofil, mehrere
104 Kugelsternhaufen. Treten nur im Zentrum dichter Galaxienhaufen auf. Beispiel: M87 im Zentrum
des Virgohaufens, Abb. (98).
8
GALAXIEN
138
Abbildung 98: M87 (Virgo A), die zentrale
cD-Galaxie des Virgo-Haufens.
• giant ellipticals (gE): MB ∼ −23, (normal) ellipticals (E), compact ellipticals (cE): mittlere Leuchtkraft (MB ∼ −15 bis -23), 108 – 1013 M , D ∼ 1 . . . 200 kpc.
• dwarf ellipticals (dE): niedrige Leuchtkraft (MB ∼ −13 bis -19), 107 – 109 M . Geringere Metallizität
und Oberflächenhelligkeit als vergleichbar helle E’s und cE’s.
• dwarf spheroidals (dSph): geringe Leuchtkraft (MB ∼ −8 bis -15), nur in der Lokalen Gruppe beobachtbar. 107 – 108 M , D ∼ 0.1 . . . 0.5 kpc.
• blue compact dwarfs (BCD): blauer und gasreicher als typische E’s: hB − V i ' 0 . . . 0.3 A-Klassen
Sterne
hohe Sternentstehungsrate. Entsprechend hoher Gasanteil und kleines M/L. M ∼ 109 M ,
D . 3 kpc.
Zusammensetzung:
Alte Sternpopulationen
Abknickpunkt der Hauptreihe im HRD liegt bei kleinen Temperaturen
E’s
sind optisch rot (außer BCDs). Hohe Metallizität (außer bei sehr großen z). Nur geringe Mengen an Gas
und Staub (aber nicht =0 wie früher vermutet). Aufgrund eines historischen Fehlers (Hubble dachte, seine
Sequenz entspräche der Evolutionsreihenfolge) werden E’s auch als Frühtyp-Galaxien bezeichnet.
8
GALAXIEN
139
Abbildung 99: Metallizität von Galaxien als Funktion ihrer absoluten Helligkeit.
Oberes Bild: dE’s (Quadrate), E’s (Kreise und Dreiecke). Unteres Bild: Spiralen
(Kreise), Irreguläre (Quadrate). Aus Zaritsky et al. 1994, ApJ, 420, 87.
Abbildung 100: Effektivradius Re (links) und mittlere Flächenhelligkeit von Elliptischen Galaxien als Funktion
ihrer absoluten Helligkeit MB .
Die Metallizität in allen Galaxien (auch Spiralgalaxien) nimmt mit ihrer Leuchtkraft zu, vgl. Abb. (99)
Sternentstehung in massiveren Galaxien begünstigt?
Helligkeitsprofil:
E’s folgen weitgehend dem de Vaucouleur-Profil Gl. (7.3), nur in den Außenregionen fällt das Profil bei
besonders leuchtkräftigen Galaxien langsamer ab (und umgekehrt).
Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Re und MB der Galaxien. Dabei liegen normale E’s und Zwerge auf
deutlich unterschiedlichen Sequenzen. Ähnliches gilt für die Korrelation zwischen mittlerer Flächenhelligkeit und
MB . Siehe Abb. (100). Eine mögliche Interpretation ist die geringere Gravitationsbindungsenergie von Zwergen
kleinerer Gasanteil geringere Metallizität.
8
140
GALAXIEN
Abbildung 101:
M104 (“SombreroGalaxie”), eine Sa-Sb Galaxie von der
Seite gesehen.
8.2.2
Spiralgalaxien und Irreguläre Galaxien
Definition:
Spiralgalaxien bestehen aus einer Scheibe mit Spiralarmstruktur, einem zentralen Bulge und einem ausgedehnten Halo, vgl. Kap. (7.2). Unterteilung in normale Spiralen (S) (z.B. Abb. (101), Abb. (102)) und
Balkenspiralen (SB) (z.B. Abb. (103)).
Irreguläre Galaxien haben wenig (Irr I) oder keine (Irr II) innere Struktur.
Bezeichnung:
Sx bzw. SBx mit x = a, ab, b, bc, c, . . .
“Frühtyp”- bis “Spättyp”-Spiralen (wieder kein Zusammenhang
mit Entwicklung; allgemein sind Spiralen “Spättyp” im Vergleich zu Ellipsen).
Innerhalb dieser Sequenz (früh. . . spät) ist:
• das Bulge-Scheiben-Verhältnis abnehmend: Lbulge /Ldisk ∼ 0.3 . . . 0.05 für Sa. . . Sc.
• der Spiralarm-Öffnungswinkel zunehmend: ∼ 6◦ . . . 18◦ für Sa. . . Sc.
• die Substruktur (Klumpung) der Spiralarme zunehmend deutlich.
• die maximale Rotationsgeschwindigkeit abnehmend: ∼ 300 . . . 175 km/s für Sa. . . Sc, nur ∼ 70 km/s
für Irr.
• die Farbe zunehmend blauer: B − V ∼ 0.75 . . . 0.52 für Sa. . . Sc, ∼ 0.4 für Irr
an Sternentstehungsgebieten, d.h. heißen Sternen.
zunehmender Anteil
• der Gasanteil an der Gesamtmasse zunehmend: hMgas /Mtot i ∼ 0.04 . . . 0.16 für Sa. . . Sc, ∼ 0.25 für
Irr.
8
141
GALAXIEN
Abbildung 102: NGC 4414, eine typische
Spiralgalaxie.
Abbildung 103: NGC 1300, eine typische
Balkenspiralgalaxie.
• die relative Anzahl der Kugelsternhaufen abnehmend (noch größer in E’s und cD’s).
Zusammensetzung:
Je später der Typ, desto größer der Anteil junger, massiver Sterne und der Sternentstehungsrate (siehe oben).
Spiralen sind im Zentrum röter als außen, weil im Bulge der Gasgehalt und damit die Sternentstehungsrate
geringer ist als in den Spiralarmen (außerdem ist im Zentrum die Metallizität höher Sterne röter).
Dynamik:
Messung der Rotationskurven über HI-Emission und Sternbahnen mit Hilfe des Dopplereffekts.
Das Ergebnis bestätigt die Messung innerhalb der Milchstraße (Kap. (7.3.2):
Die Rotationskurven von Spiralgalaxien fallen außerhalb des sichtbaren Halos nicht ab sondern bleiben fast
8
142
GALAXIEN
Abbildung 104: Rotationskurven mehrerer
Spiralgalaxien. Alle sind im beobachtbaren
Außenbereich konstant oder steigen sogar
an.
konstant.
Ein Abfallen der Rotationsgeschwindigkeiten bei großen Radien wird nicht beobachtet, siehe Abb. (104).
Die (fast) universell akzeptierte Erklärung ist, wie in Kap. (7.3.2) argumentiert, dass Galaxien in einen
dunklen Halo eingebettet sind, dessen Dichte nach außen mit ρ ∼ R−2 abfällt
M (R) ∼ R. Siehe
Abb. (105) und Kap. (7.3.3).
Abbildung 105: Anteile der Massenkomponenten einer Spiralgalaxie an der Rotationskurve.
8
GALAXIEN
143
Die Größe der dunklen Galaxien-Halos ist unbekannt.
Spiralstruktur:
Spiralarme sind blau, gasreich und enthalten die meisten massiven Sterne.
Sie können keine rotierenden Materieströme sein, weil sie dann aufgrund der differentiellen Rotation der
Galaxien schon längst aufgewickelt wären.
Vermutlich sind die Spiralarme kohärente Dichtewellen, die das Gas lokal komprimieren und damit die
Sternentstehungsrate erhöhen.
Helligkeitsprofil:
Der Bulge folgt dem de Vaucouleur-Profil Gl. (7.3), die Scheibe hat ein ∼ exponentielles Profil.
8.3
8.3.1
Globale Galaxieneigenschaften und ihre Korrelationen
Die Leuchtkraftfunktion
Definition der Leuchtkraftfunktion Φ(L): Φ(L)dL ≡ Anzahldichte von Galaxien mit Leuchtkraft ∈ [L, L + dL].
Probleme, die bei der Bestimmung zu beachten sind, sind die großräumigen Strukturen der Galaxienverteilung
( vollständige Stichprobe?) und der sog. Malmquist Bias: in Stichproben, die durch den Strahlungsfluss begrenzt sind (z.B. Detektionslimit), sind leuchtschwache Objekte unterrepräsentiert volumenbegrenzte Stichproben nötig.
Abbildung 106: Die Schechter-Leuchtkraftfunktion für die statistische Verteilung von Galaxienleuchtkräften.
8
GALAXIEN
144
Abbildung 107: Leuchtkraftfunktionen
zweier Galaxienstichproben, in der Umgebung unserer Galaxis (oben) und im VirgoGalaxienhaufen (unten). Aus Binggeli et al.
1988, ARA&A, 26, 509.
Eine gute Näherung für die gemessene Leuchtkraftfunktion ist die Schechter-Leuchtkraftfunktion, Abb. (106):
∗ α
Φ
L
L
Φ(L) =
exp − ∗
(8.1)
L∗
L∗
L
Dabei sind typische Messwerte:
• L∗B ' 1.2 × 1010 h−2 L : Charakteristische Leuchtkraft, oberhalb derer die Leuchtkraftfunktion ∼ exponentiell abfällt.
• α ' −1: Steigung im log Φ-log L-Diagramm für kleine L.
• Φ∗ ' 1.6 × 10−2 h3 Mpc−3 : Normierungsdichte, gute Näherung für die mittlere Dichte von L∗ -Galaxien.
Bem.: Gl. (8.1) ist eine gute Näherung für die Leuchtkraftfunktion der Gesamtverteilung aller Galaxien; die Einzelverteilungen von Ellipsen, Spiralen usw. weichen zum Teil stark davon ab; Abb. (107).
8
145
GALAXIEN
8.3.2
Die Tully-Fisher-Relation
Beobachtet (Tully & Fisher 1977): die maximale Rotationsgeschwindigkeit von Spiralgalaxien ist korreliert mit
ihrer Leuchtkraft:
α
Lspiral ∝ vmax
(8.2)
,
α'4
Abbildung 108: Die Tully-Fisher-Relation
für Spiralgalaxien.
Die TF-Relation ist besser, je langwelliger der Filter ist, in dem die Leuchtkraft gemessen wird
Sternentstehung und Staub beeinflusst.
Ursache der TF-Relation:
• Die Kepplerbeziehung kann geschrieben werden als:
2
L
vmax R
L =
M
G
2 4
L
vmax
=
M
G2 hIi
weniger durch
(8.3)
mit der mittleren Flächenhelligkeit hIi = L/R2 .
• Daraus folgt die TF-Relation, wenn das Masse-Leuchtkraft-Verhältnis M/L und hIi für alle Galaxien gleich
ist. Dabei bezieht sich M auf die Gesamtmasse, d.h. Sterne (M∗ ), Gas (Mgas ) und dunkle Materie (Mcdm ).
• Da man erwarten kann, dass die Verhältnisse M∗ /L und Mbaryon /Mcdm = (M∗ + Mgas )/Mcdm konstant
sind, sollte die TF-Relation für Galaxien mit hohem Gasanteil schlechter erfüllt sein als für solche mit
geringem Gasanteil.
8
146
GALAXIEN
Abbildung 109:
Die Faber-JacksonRelation für Ellipsen und Spiralbulges.
• Das wird tatsächlich beobachtet, und die TF-Relation wird besser, wenn man den Gasanteil mit berücksichtigt.
8.3.3
Die Faber-Jackson-Relation
Die FJ-Relation ist das Äquivalent zur TF-Relation für Ellipsen und Spiralbulges. Sie verbindet die Geschwindigkeitsdispersion im Zentrum σ0 mit ihrer Leuchtkraft (Abb. (109)):
Lelliptical ∝ σ0α
,
α'4
(8.4)
Die physikalische Begründung der FJ-Relation ist analog zu derjenigen der TF-Relation, wenn man die Keplerbeziehung durch den Virialsatz ersetzt. Die Beobachtungen haben allerdings eine größere Streuung um Gl. (8.4) als
bei der TF-Relation.
8
147
GALAXIEN
8.3.4
Die Fundamentalebene
Mit Hilfe der FJ-Relation können weitere Korrelationen für elliptische Galaxien gefunden werden.
Wegen Gl. (7.3) ist die mittlere Flächenhelligkeit (innerhalb Re ) mit dem Effektivradius korreliert:
−0.66
Wegen L ∝ Re2 hIie ∝ hIie
Re ∝ hIie
−0.83
(8.5)
hIie ∝ L−3/2
(8.6)
ist
Mit Gl. (8.4) sind dann σ0 und Re korreliert. Insgesamt liegen alle elliptischen Galaxien im Parameterraum
(Re , hIie , σ0 ) in der Nähe der sog. Fundamentalebene (fundamental plane)
−0.85
Re ∝ σ01.4 hIie
8.3.5
(8.7)
Die Dn -σ-Relation
Sei Dn derjenige Durchmesser in einer elliptischen Galaxie, innerhalb dessen hIi den Wert 20.75 magB arcsec−2
annimmt.
Für ein de Vaucouleur-Profil Gl. (7.3) gilt:
Dn
∝ Re Ie0.8
−0.85
∝ σ01.4 hIie
mit Gl. (8.7).
Da Ie ∼ hIie folgt
Ie0.8
Dn ∝ σ01.4 Ie0.05
(8.8)
(8.9)
d.h. Dn ist nahezu unabhängig von Ie .
Die beste Übereinstimmung mit Beobachtungen liefert
Dn [kpc] = 2.05(σ0 [100km/s])1.33
(8.10)
mit nur ca. 15%Streuung, d.h. wesentlich besser als die FJ-Relation.
8.3.6
Zentrale Schwarze Löcher und Galaxieneigenschaften
Die Schwarzschildradien supermassiver Schwarzer Löcher (SBH) in Galaxienkernen sind nicht direkt auflösbar.
Deshalb sucht man nach kinematischen Indizien für die Anwesenheit eines SBH.
p
Das ist möglich, wenn die typische Keplergeschwindigkeit um das SBH ∼ GMsbh /R mit der Geschwindigkeitsdispersion σ der Sterne im Galaxienzentrum vergleichbar wird, d.h. innerhalb eines Radius
R
GMsbh
σ2
∼ 0.4 (Msbh [106 M ]) (σ[100km/s])−2 pc
∼
(8.11)
0.4 pc entsprechen einem Winkel von 0.1 Bogensekunden in einem Abstand von 1 Mpc, das ist mit dem HST
auflösbar. Man erwartet also sowohl einen Anstieg der Geschwindigkeitsdispersion, als auch (wenn vorhanden)
der Rotationsgeschwindigkeit um das Zentrum in der Form ∼ (Msbh /R)1/2 , wenn ein SBH im Zentrum sitzt.
Siehe Abb. (84) für ein Beispiel .
Auf diese Weise hat man inzwischen mehrere Dutzend SBHs in Galaxienkernen entdeckt. Dabei wurden interessante Korrelationen von Msbh mit den Eigenschaften der Bulge-Komponente der Galaxien (Bulge bei Spiralen,
ganze Galaxie bei Ellipsen) gefunden, vgl. Abb. (110):
8
148
GALAXIEN
Abbildung 110: Korrelationen der Masse des zentralen SBH mit der Leuchtkraft LB und der Geschwindigkeitsdispersion σe der Bulge-Komponente der zugehörigen Galaxie.
• Beziehung zwischen Msbh und Bulge-Leuchtkraft:
1.11
Msbh ∝ LB,bulge
(8.12)
(mit signifikanter Streuung).
• Beziehung zwischen Msbh und Bulge-Geschwindigkeitsdispersion:
3.75
Msbh ∝ σbulge
(8.13)
mit Streuung im Bereich der Fehlerbalken der Beobachtungen, also signifikante Korrelation.
Die Ursache dieser Zusammenhänge ist noch nicht verstanden. Sie weisen auf einen physikalischen Zusammenhang zwischen der Entstehung von Bulgekomponenten und ihren zentralen SBHs hin.
8.4
8.4.1
Aktive Galaxienkerne (AGN)
Allgemeine Eigenschaften
Das Licht normaler Galaxien wird von Sternen dominiert, d.h. es ist eine Überlagerung fast thermischer Spektren
im Bereich zwischen ∼ 5000 und ∼ 20000 Å.
Im Gegensatz dazu strahlen die Kerne mancher Galaxien in einem weitaus breiteren Spektralbereich, von Radiobis zu γ-Wellenlängen; Abb. (111). Man nennt sie Aktive Galaktische Kerne (Active Galactic Nuclei, AGN).
Die Emission eines nichtthermischen, linear polarisierten Radiospektrums im GHz-Bereich deutet auf Synchrotronstrahlung von hochrelativistischen Elektronen hin (vgl. Gl. (2.46), Abb. (112)).
Im Radiobereich lässt sich oftmals eine komplexe Struktur erkennen: kompakte (selbst mit VLBI nicht auflösbare!)
Quelle, die über dünne Jets mit 2 Radiokeulen (radio lobes) verbunden ist. Ausdehnung des Systems bis zu 1 Mpc,
siehe Abb. (113). Daraus lässt sich schließen, dass diese Systeme mindestens 1 Mpc ×c ∼ 107 Jahre alt sind.
8
GALAXIEN
149
Abbildung 111: Typisches Kontinuumsspektrum von AGNs. Der “blue bump”
wird als thermische Komponente interpretiert (fehlt in Blazars). Der Turnover
bei ∼ 1012 Hz wird mit SynchrotronSelbstabsorption im Plasma erklärt.
Abbildung 112: Synchrotronspektrum aus
der Überlagerung einzelner Elektronenspektren mit unterschiedlichen Energien.
Der Turnover bei kleinen Energien ist nicht
eingezeichnet.
Eine Klasse von AGNs, die Quasare, gehört zu den leuchtkräftigsten Objekten des beobachteten Universums
(Lbol ∼ 1047 erg/s). Sie werden bis zu Rotverschiebungen z ∼ 6 gefunden; ihre Energie wird in einem Raumgebiet
. 1 pc freigesetzt (genauer: Variation um mehr als 50% in . 1 Tag R . 1 Lichttag ∼ 3 × 1015 cm).
Demgegenüber kann man durch eine Abschätzung wie in Kap. (4.2.1) feststellen, dass der Schwarzschildradius
Gl. (6.15) einer Menge von Kernbrennstoff, die diese Leuchtkraft über eine Zeit ∼ 107 Jahre aufrecht erhalten
kann, ebenfalls von der Größenordnung 1 Lichttag ist
thermonukleare Energieerzeugung ist zu ineffizient,
Gravitationseffekte dominieren.
Aus diesem Grund nimmt man an, dass die Energie durch Akkretion von Masse in ein SBH im Zentrum der
AGNs freigesetzt wird (siehe z.B. Abb. (114)). Dabei wird nach dem Virialtheorems Gl. (5.3) ca. die Hälfte der
gewonnenen potentiellen Energie in Wärme umgesetzt und schließlich abgestrahlt.
Diese Schlussfolgerung ist mit den folgenden Punkten konsistent:
8
150
GALAXIEN
Abbildung 113: Radiogalaxie NGC 6251
mit zunehmender Auflösung betrachtet. Bei
niedrigeren Frequenzen sieht man deutlich
die Radio-Lobes, bei höheren dominiert der
Jet.
• Die Jetrichtungen bei sehr kleinen (∼ 10−3 ”) und sehr großen Abständen (Radiokeulen) vom Zentrum sind
identisch
die Ausströmrichtung muss über ∼ 107 Jahre fast konstant sein. Erklärung: Ein rotierendes
SBH wirkt wie ein Gyroskop.
• Man hat in Seyfert-Galaxien eine doppler- und gravitationsverschobene Eisenlinie gemessen, deren Profil
darauf schließen lässt, dass sie aus einem Bereich mit wenigen Rs Durchmesser eines SBHs emittiert wurde.
• SBHs werden auch in den Zentren normaler Galaxien vermutet, siehe Kap. (8.3.6).
8.4.2
Massenabschätzung des SBH
Der Strahlungsstrom, der durch die Wärme der Akkretionsscheibe produziert wird, übt durch Streuungen eine Kraft
auf die Materie aus. Dies erzeugt einen Druckgradienten ∇Prad , der – bei grober Annahme von Kugelsymmetrie
8
151
GALAXIEN
Abbildung 114: Radio- (links) und HST- (rechts) Aufnahme der elliptischen Galaxie NGC 4261. Im Zentrum der
Galaxie wird ein SBH vermutet, dessen Akkretionsscheibe im rechten Bild zu sehen ist.
– durch Gl. (2.86) und Gl. (2.65) gegeben wird:
∇Prad ≡
dP
dr
κ
= − F
c
κ L
= −
c 4πr2
(8.14)
Wenn die Wechselwirkungen von Thomsonstreuung (Gl. (2.50)) dominiert werden, gilt für die Opazität κ nach
Gl. (2.68):
ρ σT
(8.15)
κ = n σT '
mp
Andererseits wirkt auf das Scheibengas die Gravitationskraft des SBH (die Masse der Scheibe sei vernachlässigbar), mit dem entsprechenden Druckgradienten ∇Pgrav aus Gl. (4.4):
∇Pgrav ≡
dP
GMsbh
=−
ρ
dr
r2
(8.16)
8
152
GALAXIEN
Für eine gravitativ gebundene Scheibe muss daher gelten:
∇Prad
< ∇Pgrav
4πc
≡
GMsbh mp
σT
Msbh
erg/s
' 1.3 × 1038
M
L < Ledd
(8.17)
Ledd ist die Eddington-Leuchtkraft des SBH. Damit Masse akkretiert werden kann, muss L < Ledd sein; umgekehrt kann man aus der beobachteten Leuchtkraft eine untere Grenze an die Masse des SBH ableiten:
σT L
4πGcmp
' 8 × 107
≡
M > Medd
L
46
10 erg/s
M
(8.18)
leuchtkräftige AGN (QSO) haben Massen Msbh & 108 M , Seyfert-Galaxien haben Msbh & 106 M .
Bem.: Bei diesem Argument wurde isotrope Emission angenommen. Anisotrope Emission, z.B. entlang der
Jet achsen, kann das Eddington-Limit verletzen, aber wahrscheinlich nicht um einen großen Faktor.
Wird der Energiestrom der einfallenden Masse ṁc2 mit der Effizienz in Leuchtkraft umgesetzt, so dass L =
ṁc2 (o.H.: ≤ 0.06 für nichtrotierende BHs, ≤ 0.29 für maximal rotierende BHs), lässt sich die EddingtonAkkretionsrate definieren:
ṁedd
≡
Ledd
c2
' 2 × 10−9
Msbh
Jahr
−1
(8.19)
Sie ist die maximale Akkretionsrate bei Annahme isotroper Emission.
Schließlich können wir die charakteristische Zeit abschätzen, in der das SBH signifikant an Masse hinzugewinnt:
τsbh
≡
Msbh
ṁ
8
' 5 × 10
Ledd
L
Jahre
(8.20)
Auf kosmologischen Zeitskalen können SBHs also selbst bei hoher Effizienz signifikant an Masse gewinnen.
8.4.3
Klassifikation
Zur Klassifikation von AGN siehe auch Abb. (115).
QSOs (Quasi-stellar objects):
Leuchtkräftigste AGN: Lqso . 1000L∗ . Überstrahlen ihre Galaxie
punktförmige Objekte.
Eigenschaften: blaues optisches Spektrum, starke und breite Emissionslinien, hohe Rotverschiebungen.
Weitere Unterteilung in radiolaute QSOs
Quasare und radioruhige QSOs (ca. 90%). Der Übergang ist
allerdings kontinuierlich, wahrscheinlich keine wirklich getrennten Klassen.
Quasare sind auch im γ-Bereich sichtbar.
8
153
GALAXIEN
Abbildung 115: Zusammenfassung der AGN-Klassifikation.
Seyfert-Galaxien:
Historisch die ersten bekannten AGNs. Trennung von QSOs hauptsächlich historisch, weniger physikalisch.
Eigenschaften: geringere Leuchtkraft als QSOs, leben in Spiralgalaxien.
Weitere Aufteilung in Seyfert 1 (breite und schmale Emissionslinien) und Seyfert 2 (nur “schmale” –
i.Vgl. mit Seyfert 1 – Emissionslinien). Fließender Übergang von Seyfert 1 zu radioruhigen QSOs ( “Typ
1 QSOs”).
Radiogalaxien:
Elliptische Galaxien mit aktivem Kern.
Weitere Unterteilung wie bei Seyfert-Galaxien in solche mit und ohne breite Emissionslinien: BLRG (broad-
8
154
GALAXIEN
Abbildung 116: Skizzen eines aktiven Galaxienkerns, die den Ursprung der verschiedenen Strahlungskomponenten verdeutlichen.
line radio galaxies) bzw. NLRG (narrow-line radio galaxies).
Fließender Übergang von BLRG zu Quasaren (höhere optische Leuchtkraft).
Geringe γ-Emission.
Blazars:
AGNs mit stark zeitlich variierender Radio- und optischer Strahlung (. Tage).
Bekanntestes Mitglied: BL Lacertae
“BL Lac-Objekte”: keine starken Linien, aber hoch polarisiert.
Blazars sind ebenfalls γ-leuchtkräftig.
Aufgrund ihrer Ähnlichkeiten ordnet man AGNs in diese Oberklassen ein:
Typ 1 Objekte:
Typ 1 QSOs, Seyfert 1, BLRG, Quasare.
Typ 2 Objekte:
Typ 2 QSOs (bisher nur unsichere Kandidaten gefunden), Seyfert 2, NLRG.
Blazars:
BL Lac Objekte, OVVs (optically violent variables).
Ein großes aktuelles Forschungsgebiet ist der Versuch, die Familie der AGNs physikalisch zu vereinigen oder
zumindest ihre Unterschiede zu erklären. Dabei wurden in der letzten Zeit durch neue Beobachtungen der “missing
links” große Fortschritte erzielt.
Wie oben erläutert wurde, stützt man sich auf die Annahme, dass alle AGNs von einem SBH, das über eine
Akkretionsscheibe Material akkretiert und senkrecht dazu einen hochenergetischen Jet produziert, angetrieben
werden (Abb. (116). Die unterschiedlichen Eigenschaften der AGN-Unterklassen lassen sich wahrscheinlich durch
Variation der folgenden Parameter erklären:
• Masse des SBH, Msbh .
• Akkretionsrate in das SBH, ṁsbh .
8
155
GALAXIEN
Abbildung 117: Skizze der Struktur einer
Akkretionsscheibe in AGNs.
Abbildung 118: Skizzen der Struktur radioruhiger (links) und radiolauter (rechts) AGNs.
• Blickwinkel in Bezug auf die Richtung des Jets.
Dann ergibt sich folgendes Bild:
Typ 2 Objekte:
Wir blicken horizontal zur Akkretionsscheibe auf das System. Die Zentralregion ( Emission der breiten
Emissionslinien) ist durch den molekularen Torus verdeckt, man sieht nur die schmalen Emissionslinien.
In manchen Fällen sieht man Licht der Kernregion, das von Gaswolken ober- oder unterhalb des Kerns
reflektiert wird, Abb. (117).
Typ 1 Objekte:
Hier blicken wir schräg auf das System, d.h. auch die heiße Innenregion ist sichtbar
en.
breite Emissionslini-
Die Unterscheidung in radioruhige (Seyfert 1, QSO 1) und radiolaute (BLRG, Quasare) Objekte könnte
durch unterschiedliche Msbh in elliptischen und Spiralgalaxien erklärbar sein, vgl. Abb. (118).
8
156
GALAXIEN
Abbildung 119: Die Lokale Gruppe.
Blazars:
Blick direkt auf die Jetachse sehr kurze Variabilitätszeiten. Manchmal werden die Emissionslinien vollständig
von der Jetstrahlung überdeckt BL Lac Objekte, sonst OVVs.
8.5
Galaxiengruppen und -haufen
Galaxien sind auch auf größeren Skalen “geklumpt”, d.h. man findet sie in hierarchisch strukturierten Masseverdichtungen. Das ist konsistent mit ihrer Entstehung aus kleinen Dichtefluktuationen durch Gravitationskollaps,
vgl. Kap. (1.2.1).
Man definiert:
Galaxiengruppen:
N . 50 Mitglieder, Durchmesser D . 1.5h−1 Mpc, Masse M ∼ 3 × 1013 M .
Galaxienhaufen:
N & 50 Mitglieder, Durchmesser D & 1.5h−1 Mpc, Masse M & 3 × 1014 M für massive Haufen. Haufen
sind die größten gravitativ gebundenen Objekte des Universums.
Der Übergang zwischen Galaxiengruppen und -haufen ist fließend.
(Reguläre) Haufen und Gruppen enthalten bevorzugt Frühtyp-Galaxien (z.B. Coma: ca. 90%)
rote Galaxien.
Spiralen (Sternentstehung
blaue Galaxien) sind größtenteils sog. Feldgalaxien, d.h. sie sind keiner Struktur
zugeordnet.
8.5.1
Die lokale Gruppe
Die Milchstraße ist Mitglied der Lokalen Gruppe, die ca. 35 Galaxien innerhalb von ∼ 1 Mpc enthält (Abb. (119).
Sie enthält zwei weitere Spiralgalaxien: M31 (Andromeda, Abstand ∼ 0.77 Mpc, Abb. (96)) und M33.
Die uns nächsten Galaxien sind die Große und Kleine Magellansche Wolke (LMC, SMC). Beide sind irreguläre
Galaxien, so wie ca. 11 weitere Mitglieder der lokalen Gruppe. Alle anderen sind Zwerggalaxien, die sich bevorzugt nahe den großen Galaxien befinden.
Innerhalb von ∼ 10 Mpc befinden sich ca. 6 weitere Gruppen.
8
157
GALAXIEN
8.5.2
Morphologie von Galaxienhaufen
Man unterscheidet (mit fließenden Übergängen):
Reguläre Haufen:
kompakt, dominiert von Frühtyp-Galaxien, häufig cD-Galaxie (ausgedehnte stellare Hülle, Mehrfachkerne)
im Zentrum, hohe Anzahl an Mitgliedern
relaxierter Zustand.
Irreguläre Haufen:
offen, viele Spiralen, weniger Mitglieder, ausgeprägte Substruktur
nichtrelaxierter Zustand.
Nächster Galaxienhaufen: Virgo (irregulärer Haufen), Entfernung ∼ 16 Mpc, ca. 250 große Galaxien, ca. 2000
kleinere. Ca. 62 % S + Irr.
Nächster regulärer Haufen: Coma, Entfernung ∼ 90 Mpc, ca. 1000 bekannte Mitglieder. Ca. 7 % S + Irr.
8.5.3
Dynamische Massenbestimmung
Galaxienstöße in Haufen sind vernachlässigbar selten
für die Haufendynamik stoßfreies Gas, keine Flüssigkeit.
Die Geschwindigkeitsdispersion der Galaxien v 2 folgt daher nicht aus dem LTE, sondern wurde durch den
Kollaps aus Dichtestörungen aufgeprägt (violent relaxation).
Dennoch können wir das Virialtheorem Gl. (5.5) anwenden, denn es gilt nicht nur für Flüssigkeiten, sondern
allgemein für selbstgravitierende (auch stoßfreie) Systeme. Dafür definieren wir:
X
M ≡
mi
i
2
v
rG
1 X
mi vi2
≡
M i
−1

X mi mj

≡ 2M 2 
rij
(gravitativer Radius)
i6=j
ET
≡
EG
≡
1 2
M v
2
GM 2
−
rG
(8.21)
Aus Gl. (5.5) folgt dann:
rG v 2
M=
G
(8.22)
Da man v 2 und rG nicht direkt messen kann, geht man zu den projizierten Größen über. Sei σv2 die projizierte
Geschwindigkeitsdispersion. Dann gilt für isotrope Geschwindigkeitsverteilungen:
2
v = 3σv2
Ebenso gilt, wenn Rij der projizierte Abstand der Galaxien i und j ist, dass RG = 2rG /π mit

−1
X mi mj

RG ≡ 2M 2 
Rij
i6=j
(8.23)
8
158
GALAXIEN
Abbildung 120: Mosaikbild des ComaHaufens im Röntgenlicht, aufgenommen
mit der EPIC-Kamera des XMM-NewtonTeleskops.
und damit:
M
3πRG σv2
2G
' 1.1 × 1015 M (σv [1000 km/s])2 (RG [Mpc])
=
in typischen Größenordnungen.
Verglichen mit der optischen Gesamtleuchtkraft der Haufengalaxien findet man:
M M
∼ 300 h
L Haufen
L
(8.24)
(8.25)
also mehr als Faktor 10 größer als typische Frühtyp-Galaxien.
Daraus schloss schon Zwicky (1933) durch Beobachtung des Coma-Haufens, dass sich nur ein kleiner Teil der
Haufenmaterie in Sternen befindet.
Die dynamische Massenbestimmung wird allerdings durch Projektions- und Anisotropie-Effekte beeinflusst.
8.5.4
Massenbestimmung durch Röntgenemission
Wie zuerst vom UHURU-Röntgensatelliten entdeckt wurde, sind Galaxienhaufen starke Röntgenstrahler mit Leuchtkräften bis zu LX ∼ 1045 erg/s. Die Röntgenstrahlung von Haufen ist räumlich ausgedehnt (∼ Mpc) und zeitlich
nicht variabel. Siehe z.B. Abb. (120).
Das Spektrum der Strahlung ist konsistent mit thermischer Bremsstrahlung (frei-frei) eines heißen Gases, vgl. Kap. (1.2.2)
und Kap. (2.4.1). Die Emissivität ist also eine Funktion der Dichte und der Temperatur des Gases (vgl. Gl. (1.34)).
Da die Schalllaufzeit durch einen typischen Galaxienhaufen, ts ∼ 7 × 108 Jahre, viel kleiner als das Alter der
Haufen (∼ 109 Jahre) ist, kann man von hydrostatischem Gleichgewicht ausgehen, d.h. Gl. (4.4) ist gültig.
8
GALAXIEN
Mit Gl. (2.31) lässt sich Gl. (4.4) (bei sphärischer Symmetrie) umschreiben zu:
kT r2
d ln ρ d ln T
M (r) = −
+
Gµa mp
dr
dr
159
(8.26)
ρ(r) und T (r) können durch Invertierung bzw. Fits einfacher Modelle an die Daten aus der gemessenen (projizierten) radialen Intensitätsverteilung bestimt werden. Damit lässt sich schließlich die Masse des Haufens sowie –
durch Integration von ρ(r) – diejenige des Haufengases berechnen.
Ergebnis:
Die Masse von Galaxienhaufen besteht zu ca. 3% aus Sternen in Galaxien, ca. 15% aus intergalaktischem Gas und
∼ 82% aus dunkler Materie.
Bem.: Eine dritte, unabhängige, Methode zur Massenbestimmung von Galaxienhaufen benutzt den Gravitationslinseneffekt. Die Ergebnisse sind konsistent mit den anderen Methoden.
8.5.5
Cooling Flows
Wie schon in Kap. (1.2.2) abgeschätzt wurde, ist die Kühlzeit (Gl. (1.35)) des Gases in Galaxienhaufen viel größer
als die dynamische Zeitskala.
Dies gilt wegen tcool ∼ n−1 jedoch nicht im dichten Zentrum des Haufens. Dort kann lokal tcool < tgrav sein,
d.h. das hydrostatische Gleichgewicht ist verletzt.
Dann passiert folgendes:
das Gas kühlt effizient
der Druck wird verringert
weiteres Gas strömt von außen nach
dabei wird es komprimiert und kühlt ab
eine nach innen gerichtete Strömung setzt ein: cooling flow.
Cooling flows werden durch ein starkes zentrales Maximum der Röntgenintensität beobachtet. Die Frage nach
dem weiteren Schicksal des einströmenden Gases ist bisher nicht völlig geklärt – vielleicht wird es auf die zentrale
cD-Galaxie akkretiert bzw. bewirkt deren Entstehung?
8.5.6
Der Sunyaev-Zeldovich-Effekt
Photonen des Mikrowellen-Hintergrundes werden an den heißen Elektronen des Haufengases gestreut (inverse
Compton-Streuung, siehe Kap. (2.4.3)) und erhalten dadurch eine höhere Energie.
Dies führt zu einer lokalen Abweichung vom Planck-Spektrum der Hintergrundstrahlung
Sunyaev-Zeldovich
(SZ)-Effekt. Der Grad der Abweichung hängt von der Temperatur und Dichte des Gases, integriert über die Sichtlinie, ab.
Da die Dichte und Temperatur des Gases aus der Röntgenintensität bzw. dem Röntgenspektrum abgeleitet werden
können, erlaubt der SZ-Effekt eine Messung des Haufendurchmessers D entlang der Sichtlinie. Unter der Annahme
sphärischer Symmetrie ergibt der Quotient aus D und dem Winkeldurchmesser Θ die sog. Winkelentfernung des
Haufens
der SZ-Effekt erlaubt die Messung der Baryonendichte und der Entfernung von Galaxienhaufen.
8.5.7
Der Butcher-Oemler-Effekt
Wie oben erwähnt wurde, enthalten Haufen und Gruppen vorwiegend rote, d.h. Frühtyp-, Galaxien während blaue
(Spiral-) Galaxien hauptsächlich als Feldgalaxien anzutreffen sind.
8
GALAXIEN
160
Diese Eigenschaft ändert sich bei höheren Rotverschiebungen: dort ist der Anteil blauer Galaxien in Haufen höher
als in lokalen Haufen Butcher-Oemler-Effekt.
Es scheint also, als ob sich Spiralgalaxien im Laufe der Zeit in Frühtyp-Galaxien umwandeln, z.B. durch Verlust
ihres Gases durch die Relativbewegung zum Haufengas.
Diese Hypothese ist mit der Beobachtung konsistent, dass das Haufengas eine hohe Metallizität besitzt, die aus
früheren Sterngenerationen stammen muss.
9
161
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 121: Wichtigste Methoden zur
Messung astronomischer Entfernungen.
9
Homogene Kosmologie
9.1
Die Säulen der Urknalltheorie
Der Begriff “Urknall” (big bang) geht auf Fred Hoyle zurück, der sich damit über dieses Modell lustig machen
wollte (er hat es bis zu seinem Tod in 2001 nicht akzeptiert).
Das Urknallmodell macht die folgende Aussage:
Das Universum befand sich vor endlicher Zeit (ca. 14 Gyrs) in einem extrem heißen und dichten Zustand und
expandiert seitdem, wobei es sich abkühlt und verdünnt.
Es ist konsistent mit allen bisherigen Beobachtungen und dient als Grundlage für die gesamte moderne Kosmologie. Alle Konkurrenzmodelle (z.B. das “steady state universe”) müssen große Verrenkungen machen, um alle
Beobachtungen erklären zu können.
Die zentralen Beobachtungen, die das Urknallmodell stützen, sind:
1. Die gleichförmige Expansion des Universums.
Nachgewiesen 1929 durch Edwin Hubble mit Hilfe von Cepheiden-Entfernungsmessungen. Siehe Abb. (121)
für eine Zusammenfassung der Methoden zur Entfernungsmessung
Wichtigster Parameter: Die Hubble-Konstante H0 , die die derzeitige Expansionsrate des Universums angibt.
Hubble fand das (lineare) Hubble-Gesetz, das die Rotverschiebung z (für kleine Abstände über die Dopplerverschiebung als Fluchtgeschwindigkeit interpretierbar) mit dem Abstand d verbindet:
H0 d = cz
(9.1)
Mehr dazu in Kap. (9.3.3).
2. Thermische elektromagnetische Strahlung, die in allen Richtungen die gleiche Temperatur besitzt (kosmische Hintergrundstrahlung); Abb. (1).
Vorausgesagt von Gamow (1946), aber damals nicht ernst genommen.
9
HOMOGENE KOSMOLOGIE
162
Gefunden 1965 durch Arno Penzias und Robert Wilson als Störeffekt während ihrer Arbeit an Antennenkalibrierungen bei den Bell-Labs. Gleichzeitig (und völlig unabhängig) liefen Experimente an, die nach genau
dieser Strahlung suchen sollten.
1992 zeigt der Satellit COBE die exakte Schwarzkörperstrahlung bei T ' 2.73 K und findet erstmals kleine
(∼ 10−5 ) Temperaturanisotropien, die schon seit ca. 1965 vermutet wurden.
3. Die Entstehung leichter Elemente im frühen Universum (primordiale Nukleosynthese), die die beobachteten Verhältnisse richtig voraussagt.
Erste Berechnung der Elemententstehung im jungen Universum durch George Gamow (Alpher, Bethe &
Gamow 1948). Quantitative Vorhersagen durch numerische Rechnungen von Wagoner, Hoyle & Fowler
1969. Wichtigste Ergebnisse:
• Es existieren nur ≤ 3 leichte Neutrinosorten.
• Der Anteil der baryonischen Materie liegt (in einem mehr oder weniger flachen Universum) nur im
Prozentbereich.
Nachweis von primordialem Deuterium in Ly-α-Wolken durch Tytler & Burles (1998)
Messung des Baryonenanteils.
bisher genaueste
Bem.: An dieser Stelle ist es vielleicht angebracht, auf ein paar häufig auftretende Missverständnisse hinzuweisen:
1. Der Urknall war keine Explosion im üblichen Sinne, weil er nicht an einem bestimmten Punkt im Raum
auftrat, sondern an allen Orten gleichzeitig. Das Universum kann problemlos zur Zeit des Urknalls eine
unendliche räumliche Ausdehnung gehabt haben – selbst wenn alle Punkte um uns herum in einem beliebig
kleinem Volumen komprimiert waren, können unendlich viele Punkte außerhalb dieses Volumens gewesen
sein.
2. Die Expansion des Universums bedeutet nicht, dass sich alle Strukturen des Universums (inkl. Galaxien,
Sonnensysteme, wir selbst etc.) gleichförmig vergrößern! Die kosmische Expansion bezieht sich ausschließlich auf (gravitativ oder sonstwie) ungebundene Systeme.
9.2
Das Friedmann-Robertson-Walker (FRW) Universum
Der allgemeinen Konvention in der Hochenergiephysik und Kosmologie folgend, verwenden wir im folgenden
natürliche Einheiten, in denen c = ~ = k = 1 ist. Damit folgt, dass es nur noch eine fundamentale Einheit gibt:
Energie.
Es gilt:
[Energie] = [Masse] = [Temperatur] = [Länge]−1 = [Zeit]−1
(9.2)
Des weiteren werden wir die Summenkonvention verwenden, in der implizit über gleiche Indizes in Produkten
summiert wird. Dabei laufen griechische Indizes (meistens µ, ν) von 0 . . . 3 (“Raumzeit”) und lateinische Indizes
(meistens i, j) von 1 . . . 3 (“Raum”).
9
163
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Energie
Temperatur
Masse
Länge
Zeit
Anzahldichte
Massendichte
Megaparsek
1 GeV
1 GeV
1 GeV
1 GeV−1
1 GeV−1
1 GeV3
1 GeV4
1 Mpc
=
=
=
=
=
=
=
=
1.6022 × 10−3 erg
1.1605 × 1013 K
1.7827 × 10−24 g
1.9733 × 10−14 cm
6.5822 × 10−25 s
1.3014 × 1041 cm−3
2.3201 × 1017 g cm−3
1.5637 × 1038 GeV−1
Tabelle 4: Wichtigste Umrechnugsfaktoren für natürliche Einheiten.
9.2.1
Die Robertson-Walker Metrik
In Kap. (1.2.1) haben wir die Dynamik des Universums auf sehr großen Skalen aus der Sicht der Newtonschen
Physik beschrieben und damit Gl. (1.20) für den Skalenfaktor a(t) hergeleitet.
In diesem Kapitel kehren wir zu der gleichen Fragestellung zurück, behandeln sie aber jetzt mit der derzeit besten
Theorie für die Physik der Raumzeit, Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie (ART). Dabei werden wir Gl. (1.20)
wiederfinden (sonst würde niemand das Newtonsche Argument benützen. . . ) und um weitere Gleichungen für die
Energieerhaltung und Beschleunigung der Expansion erweitern.
Um das Universum mathematisch beschreiben zu können, machen wir, wie in Kap. (1.2.1), zwei wichtige Annahmen über die Welt auf sehr großen Skalen:
1. Gravitation dominiert über alle anderen Kräfte (weil nicht abschirmbar).
2. Die Materie ist homogen und isotrop verteilt (“kosmologisches Prinzip”).
1.
Wir müssen im Rahmen der ART arbeiten, d.h. die Metrik spielt eine zentrale Rolle. Grob gesprochen ist
die Metrik ein Tensor, der den Abstand zwischen den Punkten der 4-dimensionalen Raumzeit wiedergibt. Sie lässt
sich durch ein 4-dimensionales Linienelement ausdrücken
2.
Wir können diese Symmetrien ausnützen, um einen einfachen allgemeinen Ansatz für die Metrik zu bekommen
die Robertson-Walker Metrik. Sie ist die allgemeinste Form einer Raumzeit mit isotropen und
homogenen Raumsektionen.
Isotropie bedeutet, dass es für einen Beobachter keine ausgezeichnete Richtung gibt, d.h. der Himmel sieht in alle
Richtungen gleich aus. Das wird am eindrucksvollsten von der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung
(CMBR) demonstriert, die auf 10−5 genau überall die gleiche Temperatur (ca. 2.73 K) hat (Abb. (1)).
Homogenität besagt, dass kein Punkt im Raum ausgezeichnet ist. Dem Kopernikanischen Prinzip zufolge sollten
auch Beobachter in anderen Galaxien die Isotropie der CMBR sehen – damit ist das Universum auch homogen.
Bem.: Es gibt sowohl isotrope Räume, die nicht homogen sind, als auch umgekehrt. Finden Sie Beispiele!
Da sich alle Beobachter im Universum auf eine globale Zeitkoordinate t einigen können (z.b. durch Messung der
CMBR-Temperatur), ist der allgemeinste Ansatz für das Linienelement:
ds2
= gµν dxµ dxν
= dt2 − σij dxi dxj
= dt2 − dl2
(9.3)
(gµν ist die Metrik; zum Vergleich, die statische flache (Minkowski) Raumzeit hat die Metrik gµν = ηµν =
diag(1, −1, −1, −1) in kartesischen Koordinaten bzw. σij = δij in Gl. (9.3)).
9
164
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 122: Mögliche Geometrien der
Raumsegmente einer isotropen und homogenen Raumzeit: geschlossen, offen und
flach.
Die 3-Metrik σij ist isotrop und damit auch sphärisch symmetrisch, d.h. wir können schreiben:
dl2 = R2 λ2 (r)dr2 + r2 dΩ2
2
2
2
mit der Metrik der 2-Kugel dΩ = dθ + sin θdφ .
Homogenität
die skalare 3-Krümmung ist räumlich konstant und hat die Form 3 R = 6K/R2
2 −1/2
(1 − Kr )
(wird hier nicht gezeigt). Ausserdem bleibt Gl. (9.4) unter
K
r
R
(9.4)
2
k = K/|K| = −1, 0, 1
p
→ r |K|
p
→ R/ |K|
λ(r) =
→
(9.5)
invariant. Dementsprechend haben die Raumsektionen konstante negative (“offen” bzw. hyperbolisch), positive
(“geschlossen” bzw. sphärisch) oder verschwindende Krümmung (“flach” bzw. euklidisch). Siehe Abb. (122).
Die vollständige Robertson-Walker Metrik lautet:
dr2
ds = dt − R (t)
+ r2 dΩ2
1 − kr2
2
2
2
(9.6)
R(t) ist der Skalenfaktor. Er hat die Einheit einer Länge, die so normiert ist, dass ihr heutiger Wert R0 die heutige
Krümmung des Universums bestimmt:
6k
3
(9.7)
R0 = 2
R0
Damit ist die Koordinate r dimensionslos.
Wir werden häufig die dimensionslose Form des Skalenfaktors verwenden, a(t) = R(t)/R0 , die auf den heutigen
Wert normiert ist:
dr2
2
2
2
2
2
2
ds = dt − a (t)R0
(9.8)
+ r dΩ
1 − kr2
9
165
HOMOGENE KOSMOLOGIE
9.2.2
Kinematik
Physikalische Abstände skalieren mit dem Skalenfaktor der RW-Metrik Gl. (9.8): l(t) = a(t)l0 . Zwei Beobachter
A und B mit “kleinem” Abstand δl0 = δl/a(t) sehen den jew. anderen mit einer Geschwindigkeit
d
δl
dt
= ȧδl0
ȧ
δl
=
a
δv
=
(9.9)
Strahlung der Frequenz ω, die von A ausgeht, wird von B dopplerverschoben gemessen:
δω
ω
= −δv
ȧ
= −
δl
a
ȧ
= −
δt
a
δa
= −
a
(9.10)
Integration ergibt
ω ∝ a−1
(9.11)
Die Rotverschiebung z eines Objekts, dessen zur Zeit te emittiertes Licht uns heute erreicht, wird definiert durch
1+z ≡
ω(te )
1
=
ω0
a(te )
(9.12)
Weil die Rotverschiebung implizit die Zeit te festlegt, wird z häufig als alternative (weil direkt messbare) Zeitkoordinate verwendet.
Die Rotverschiebung ist nichts anderes als die Ausdehnung des Universums zur Zeit der Lichtemission relativ zur
heutigen (z.B. z = 1 entspricht halber Größe usw.).
Bem.: Achtung Verwechslungsgefahr! Die obige Herleitung der Rotverschiebung mit Hilfe des Dopplereffektes,
den Beobachter mit kleinen Abständen messen, soll nicht zur Annahme verleiten, dass die Rotverschiebung bei
großen (kosmologischen) Abständen mit dem relativistischen Dopplereffekt erklärt werden kann (wie es in manchen Büchern steht). Das ist falsch! Unsere Herleitung darf nur im infinitesimalen, nicht im globalen, Sinne verstanden werden. Siehe Diskussion zum Hubble-Gesetz später.
Ähnliches gilt für Teilchenimpulse: ein massives Teilchen habe bei A die Geschwindigkeit v. Wenn es bei B eine
Zeit δt = δl/v später ankommt, hat B gegenüber A die Geschwindigkeit
ȧ
δu =
δl
a
δa
v
(9.13)
=
a
9
166
HOMOGENE KOSMOLOGIE
B sieht das Teilchen also um den Betrag
δv
v − δu
−v
1 − vδu
δa
= −(1 − v 2 )v
+ O(δu2 )
a
=
(9.14)
langsamer als A.
Das Verhalten des 3-Impulses folgt aus der Integration von Gl. (9.14):
|p| ∝ √
1
v
∝
a
1 − v2
(9.15)
Wenn sich ein Beobachter bezüglich der RW-Metrik bewegt, fällt sein Impuls mit 1/a ab und er kommt zur Ruhe.
Die Kurven konstanter RW-Raumkoordinaten sind Geodäten, d.h. er bleibt in Ruhe. Das RW-System wird deshalb
auch mitbewegtes (“comoving”) Bezugssystem genannt.
Betrachte ein Ensemble von dN Teilchen mit der Verteilungsfunktion f (x, p, t), wie sie in Gl. (2.5) definiert
wurde:
dN = f dV d3 p
(9.16)
Aus dV ∝ a3 , d3 p ∝ a−3 und dN =const folgt, dass f erhalten bleibt.
Gleiches gilt für das Planckspektrum Bν (T ) masseloser Teilchen, Gl. (2.27). Da Bν (T ) ∝ ν 3 fT mit fT aus
Gl. (2.25) bleibt die spektrale Form der Planckverteilung während der kosmologischen Expansion erhalten. Und
weil fT eine Funktion von ω/T ist, folgt aus Gl. (9.11), dass
T ∝ a−1
9.2.3
(9.17)
Dynamik
Bevor wir uns an die Zeitentwicklung von a(t) wagen, können wir vieles aus dem Verhalten von Materie in einem
RW-Universum lernen. Man beschreibt sie durch eine ideale Flüssigkeit, d.h. Materie, die in ihrem Ruhesystem
isotrop ist. Dieser Begriff ist sehr allgemein und beinhaltet u.a. Gas, Strahlung und “Staub” aus Galaxien.
Für praktische Zwecke ist eine ideale Flüssigkeit eine solche, die im Ruhesystem vollständig durch ihre Energiedichte ρ und ihren Druck P beschrieben werden kann.
Bem.: Achtung Konventionsänderung! Bisher (vgl. Kap. 2) hat ρ die Ruhemassendichte und e die Energiedichte
bezeichnet. Weil in der Kosmologie die Ruhemassendichte entweder vernachlässigbar klein ist (strahlungsdominiertes Universum: e ∼ T 4 ρ; beachte natürliche Einheiten!) oder mit der Energiedichte gleichgesetzt werden
kann (materiedominiertes Universum: 1 e ' ρ), wird sie eigentlich nie gebraucht. Deshalb verwendet man
ρ üblicherweise für die Energiedichte; diese Konvention wird im folgenden übernommen.
Dafür braucht man den Energie-Impuls-Tensor T µν (die “4-Impuls-Flussdichte”). Homogenität macht Tµν diagonal und Isotropie bedeutet, dass die räumlichen Komponenten identisch sind. Im lokalen Intertialsystem ist also:


ρ 0 0 0
 0 P 0 0 

T µν = 
(9.18)
 0 0 P 0 
0 0 0 P
Die koordinatenunabhängige Verallgemeinerung davon lautet:
T µν = (ρ + P )U µ U ν − P g µν
(9.19)
9
167
HOMOGENE KOSMOLOGIE
(U µ ist die 4-Geschwindigkeit). Gl. (9.19) ist durch die Tensorenschreibweise offensichtlich kovariant und geht
im lokalen Inertialsystem (U µ = (1, 0, 0, 0), g µν = η µν ) in Gl. (9.18) über. Im allgemeinen Ruhesystem (U µ =
(1, 0, 0, 0)) ist die einfachste Schreibweise T µν = diag(ρ, −P, −P, −P ).
Energie- und Impulserhaltung werden durch die verschwindende kovariante Divergenz von T µν ausgedrückt:
∇ν T µν = 0
(9.20)
Die µ = 0–Komponente von Gl. (9.20) gibt in der RW-Metrik die Energieerhaltung in einem homogenen, isotropen
Universum wieder:
ȧ
ρ̇ = −3 (ρ + P )
(9.21)
a
Bem.: Wenn Ihnen die Herleitung von Gl. (9.21) zu kompliziert war, können Sie versuchen, das gleiche Ergebnis
mit Hilfe des 1. Hauptsatzes der Wärmelehre herzuleiten: dE ≡ d(ρa3 ) = −P da3 .
Mit der einfachen, aber häufig gültigen Parametrisierung der Zustandsgleichung des Universums
P = wρ
(9.22)
ρ̇
ȧ
= −3 (1 + w)
ρ
a
(9.23)
ρ = ρ0 a−3(1+w)
(9.24)
wird Gl. (9.21) zu
und lässt sich integrieren (wenn w =const):
Z.B. gilt in der materiedominierten Phase des Universums, wenn die Ruhemassendichte nichtrelativistischer Teilchen über die Strahlungsenergiedichte dominiert (T 4 ρ):
P ∼ nT ρ
(9.25)
und damit w ' 0.
Die wichtigsten Fälle in der Kosmologie sind:
Strahlung:
Materie (“Staub”):
Vakuum-Energiedichte:
w=
1
3
w=0
w = −1
ρ ∝ a−4
ρ ∝ a−3
ρ = const
(9.26)
Bem.: In der letzten Zeile von Gl. (9.26) kann man von rechts nach links argumentieren: weil die VakuumEnergiedichte per Definition konstant ist, muss w = −1 sein. Später werden wir sehen, dass die “kosmologische
Konstante” tatsächlich diese Eigenschaft hat.
Gl. (9.24) zeigt auch, dass diejenigen Materieanteile mit dem größten w am stärksten durch die Expansion verdünnt
(“rotverschoben”) werden. Umgekehrt ausgedrückt dominiert in der Frühzeit des Universums das größte w (laut
Gl. (9.26) ist das die Strahlung), während das kleinste w (Vakuum-Energie) erst vor kurzem eine relevante Größenordnung erhalten haben kann.
9
168
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Wir benötigen noch eine Gleichung für a(t), um ρ(t), P (t) bestimmen zu können. Diese bekommen wir aus den
Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie.
Die Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors folgt aus den Einsteinschen Feldgleichungen:
1
Gµν ≡ Rµν − Rgµν − Λgµν = 8πGTµν
2
(9.27)
• Gµν : der Einstein-Tensor, das dynamische Feld der Theorie, beschreibt die Geometrie der Raumzeit mit
Hilfe der Metrik gµν .
• Rµν = Rλµλν : der Ricci-Tensor, Kontraktion des Riemannschen Krümmungstensors:
Rρσµν =
1
(∂µ ∂σ gρσ − ∂µ ∂ρ gνσ − ∂ν ∂σ gρµ + ∂ν ∂ρ gµσ )
2
(9.28)
• R = Rµµ = g µν Rµν : der Ricci-Skalar.
• Λ: die kosmologische Konstante, wurde bis vor kurzem gerne = 0 gesetzt. Heute vielleicht das wichtigste
Problem der theoretischen Physik.
• G: die Newtonsche Gravitationskonstante. Teilchenphysiker drücken sie gerne durch die (reduzierte)
Planckmasse Mpl = (8πG)−1/2 ∼ 1018 GeV aus.
Die Friedmann-Gleichung (unsere alte Bekannte aus der Newtonschen Diskussion in Kap. (1.2.1), Gl. (1.20)) ist
im relativistischen Zusammenhang die 0-0–Komponente von Gl. (9.27):
2
8πG
Λ
k
ȧ
=
ρ+ − 2 2
H ≡
a
3
3
a R0
2
(9.29)
Darin wird die Ausdehnungsrate des Universums durch den Hubble-Parameter beschrieben:
ȧ
a
(9.30)
2
ȧ
k
= −8πGP − 2 2
a
a R0
(9.31)
H=
Die i − i–Komponente von Gl. (9.27) ergibt:
ä
2 +
a
Bem.: Aufgrund der kontrahierten Bianci-Identität (∇µ Gµν = 0) sind nur zwei der Gleichungen (9.21),(9.29) und
(9.31) voneinander unabhängig.
Aus der Differenz von Gl. (9.29) und Gl. (9.31) erhält man einen Ausdruck für die Beschleunigung der Expansion:
Ḣ + H 2 =
ä
a
4πG
Λ
(ρ + 3P ) +
3
3
4πG
Λ
= −
ρ(1 + 3w) +
3
3
= −
(9.32)
Das bedeutet, dass alle Arten der Materie mit w > −1/3 abbremsend wirken, während w < −1/3 die Expansion
beschleunigt.
9
169
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Wir können Λ auch einfach als Bestandteil der kosmologischen Flüssigkeit ansehen, indem wir den Λ-Term in
(9.27) auf die rechte Seite holen und als Teil des Energie-Impuls-Tensors interpretieren:
Λ
Tµν
Λ
gµν
8πG
= ρΛ gµν
=
(9.33)
In dieser Interpretation ist Λ ein Maß für die Vakuum-Energiedichte der Raumzeit, und damit ein Fall für die
Quantengravitation. Wir lernen also durch Beobachtung des ganz Großen (Kosmologie) etwas über die Eigenschaften des ganz Kleinen (Quantenstruktur der Raumzeit).
Vergleichen wir (9.19) und (9.33), finden wir
PΛ = −ρΛ
(9.34)
d.h. w = −1, wie wir in (9.26) für die Vakuum-Energiedichte vorausgesagt haben. Im Weiteren wird angenommen,
dass Λ einen Teil von ρ und P ausmacht und deshalb nicht mehr explizit in den dynamischen Gleichungen erwähnt.
Aus (9.32) folgt schließlich, dass eine positive Vakuum-Energiedichte beschleunigend wirkt. Dieser Effekt wurde
mit großer Wahrscheinlichkeit vor kurzem nachgewiesen; man findet:
1/4
ρΛ ∼ 10−3 eV
(9.35)
1/4
Dagegen liefert die Quantenfeldtheorie die naive Abschätzung ρΛ ∼ Mpl = 1018 GeV. Der gemessene Wert
von ρΛ ist also ca. 120 Größenordnungen zu klein – ein Problem, das sich nicht einfach auf Beobachtungsfehler
abschieben lässt.
Jetzt sind wir in der Lage, die Zeitabhängigkeit von ρ und P auszurechnen. Dies geschieht am einfachsten durch
Integration von Gl. (9.30):
Z a(t)
da
t=
(9.36)
a
H
0
wobei wir a(t = 0) = 0 angenommen haben. H(a) folgt wiederum aus der Friedmann-Gleichung (9.29) wenn
ρ(a) bekannt ist.
Für allgemeine ρ(a) lässt sich das Integral nur numerisch lösen, aber die relevantesten Fälle lassen sich durch ein
flaches Universum (k = 0) und Zustandsgleichungen mit konstantem w ((9.24) und (9.26)) abdecken. Dann folgt:
a(t) ∝ tn
9.2.4
,
n=
2
3(1 + w)
(9.37)
Zusammenhang zwischen Dichte und Krümmung
Der Dichteparameter Ω ist definiert als
Ω
=
=
8πG
ρ
3H 2
ρ
ρcrit
(9.38)
mit der kritischen Dichte ρcrit :
3H 2
(9.39)
8πG
Der Grund für die Bezeichnung “kritische Dichte” wird klar, wenn man die Friedmann-Gleichung (9.29) umschreibt zu:
ρcrit =
Ω−1
=
k
H 2 a2 R02
∝ ȧ−2
(9.40)
9
170
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Ω setzt sich – ebenso wie ρ – aus Beiträgen von Materie, Strahlung und Vakuumenergie zusammen:
Ω = Ωm + Ωr + ΩΛ
(9.41)
Das Vorzeichen von k, und damit die Krümmung der RW-Metrik, ist also durch die Dichte ρ im Verhältnis zu ρcrit
festgelegt:
ρ < ρcrit ⇔ Ω < 1 ⇔ k = −1 ⇔
“offen”
ρ = ρcrit ⇔ Ω = 1 ⇔ k = 0 ⇔
“flach”
(9.42)
ρ > ρcrit ⇔ Ω > 1 ⇔ k = +1 ⇔ “geschlossen”
Die rechte Seite von (9.40) ist zeitabhängig. Damit ist auch Ω zeitabhängig, es sei denn, die rechte Seite von
Gl. (9.40) verschwindet. Ω = 1 (d.h. das flache Universum) ist also ein Fixpunkt der Friedmann-Dynamik.
Selbst wenn Λ > 0 war unser Universum bis vor kurzem materie- oder strahlungsdominiert. Aus Gl. (9.32) folgt
dann, dass ȧ mit der Zeit kleiner wird, d.h. die Expansion verlangsamt sich. Laut Gl. (9.40) wird also |Ω−1| = |Ωk |
mit der Zeit größer. Ω = 1 ist demnach ein instabiler Fixpunkt.
Alles deutet darauf hin, dass unser Universum tatsächlich flach ist (Ω0 = 1). Die Frage, warum wir uns auf einem
instabilen Fixpunkt befinden, ist als das sog. Flachheitsproblem bekannt. Offensichtlich lässt es sich durch eine
hypothetische Beschleunigungsphase im frühen Universum (w < −1/3 ä > 0) lösen, die sog. Inflation.
Die beste Messung der räumlichen Geometrie des Universums und damit von Ω0 erlaubt die Mikrowellen-Hintergrundstrahlung (anschaulich: erstes Maximum des Leistungsspektrums = Horizontlänge während der Rekombination von H, deren gemessener Winkeldurchmesser von der Krümmung abhängig ist); mehr dazu in Kap. (10.2.2).
Das wahrscheinlich robusteste Ergebnis des WMAP-Satelliten ist, dass unser Universum mit hoher Wahrscheinlichkeit räumlich flach ist:
Ω0 = 1.02 ± 0.02
(9.43)
(vgl. Abb. (1), Abb. (137) und Abb. (123)).
9.3
9.3.1
Wichtige Längen- und Zeitskalen
Horizont und Alter
Die meistgebrauchte Längen- bzw. Zeitskala der Kosmologie ist der Hubbleradius c H −1 (heute c H0−1 ) bzw. die
Hubblezeit H −1 (heute H0−1 ). In dieser Zeit bzw. über diese Strecke werden kosmologische Effekte (Expansion,
Krümmung) spürbar.
Eine der fundamentalen Fragen in der Kosmologie ist diejenige nach dem Bereich des Universums, der sich in kausalem Kontakt befindet. Mit anderen Worten, wie weit war ein anderer Beobachter zur Zeit t = 0 von uns entfernt,
wenn uns ein Lichtsignal, das damals ausgesandt wurde, heute erreicht? Diese Größe wird der Teilchenhorizont
dhor genannt.
Der physikalische Abstand zum Horizont hängt über das Linienelement, Gl. (9.6), mit dem Koordinatenabstand
rhor zusammen:
Z rhor
Z rhor
dr
√
√
dhor =
grr dr = R(t)
(9.44)
1 − kr2
0
0
Das Integral über r auf der rechten Seite (mit der unbekannten Integrationsgrenze rhor ) lässt sich in ein Integral
über t umformen. Dafür nützen wir aus, dass sich Licht auf dem Lichtkegel ds2 = 0 ausbreitet. Nach Gl. (9.6) gilt
auf Geodäten (dΩ = 0):
Z t
Z rhor
dr
dt̃
√
=
(9.45)
1 − kr2
0
0 R(t̃)
Der Teilchenhorizont zur Zeit t ist also durch
Z
dhor (t) = R(t)
0
t
dt̃
R(t̃)
(9.46)
9
171
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 123: Wahrscheinlichkeitskontouren der WMAP-Ergebnisse in der Ωm - ΩΛ -Ebene, allein (links oben)
und kombiniert mit anderen CMB-Messungen (rechts oben), der Hubble-Konstanten des HST-Key-Projects (links
unten) und den SN Ia-Daten (rechts unten). Die gestrichelte Linie zeigt Ω0 = 1. Aus Spergel et al. (2003).
gegeben.
Wenn R(t) ∝ tn (siehe Gl. (9.37)), dann ist dhor für n < 1 (bzw. w > −1/3; vgl. Gl. (9.32)) endlich und
dhor (t) =
1
t
1−n
(9.47)
Wenn dhor (t0 ) endlich ist, ist unser Vergangenheits-Lichtkegel durch einen Teilchenhorizont begrenzt, d.h. keine
Informationen aus größeren Entfernungen können uns bisher erreicht haben. Das gilt, obwohl alle physikalischen
Abstände bei R → 0 gegen 0 gehen.
Insbesondere ist es schwer zu verstehen, warum Gebiete ausserhalb von dhor (t), beispielsweise zur Zeit der Rekombination, im thermischen Gleichgewicht sind, wie es die Hintergrundstrahlung andeutet – das ist das sog. Horizontproblem. Genau wie das Flachheitsproblem (Kap. 9.2.4) lässt es sich durch eine frühe Phase mit w < −1/3
beheben.
Das Alter des Universums bei einer bestimmten Rotverschiebung kann man direkt aus Gl. (9.36) ausrechnen:
Z a(z)
da
t=
(9.48)
a
H
0
wobei a(z) = (1 + z)−1 aus der Definition der Rotverschiebung (9.12) folgt.
9
172
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 124: Kausale Struktur des Universums ohne (links) und mit (rechts) Inflation. Die vertikale Zeitachse
ist die sog. konforme Zeit η, definiert durch dη = dt/a(t). Ohne Inflation entspricht t = 0 einem endlichen
η, die Inflation verschiebt t = 0 zu η → −∞. Damit überschneiden sich die Rückwärts-Lichtkegel der letzten
Streufläche und das Horizontproblem wird gelöst.
Dabei kann man die vereinfachende Näherung machen, dass die jeweils letzte Phase der Evolution (Strahlung,
Materie, etc.) zu allen Zeiten galt, da (zumindest bei n < 1) dieser Bereich das Integral dominiert.
Für ein fast flaches Universum (Ω0 − 1 1) ist das Ergebnis:
−1/2
t ' n H0−1 (1 + z)−1/n Ω0
(9.49)
mit n aus Gl. (9.37). Das heutige Alter, t0 , ist also etwas geringer als die heutige Hubblezeit H0−1 .
Zum Schluss noch ein paar echte Zahlen. Die Unsicherheit in der Messung der heutigen Hubblekonstanten wird
meistens mit dem dimensionslosen h parametrisiert:
H0 = 100 h
km
h
≈
s Mpc
3000Mpc
(9.50)
wobei der letzte Schritt c = 1 benützt.
Für das heutige Alter findet man also
t0 = 6.52 h−1 Gyr
(9.51)
Das ist nur am untersten Ende der zugelassenen Werte für h mit dem Alter der ältesten Kugelsternhaufen vereinbar.
Dieses Problem wird gelöst, wenn tatsächlich eine positive kosmologische Konstante existiert, wie jüngste Messungen andeuten. Dann ist das Alter erheblich größer (hier für ein flaches Universum, ohne Herleitung):
√ 1 + ΩΛ
2
1
ln √
(9.52)
t0 = H0−1 √
3
ΩΛ
1 − ΩΛ
Am untersten sinnvollen Ende, Ωm = 1 − ΩΛ = 0.2 ist t0 1.6 mal größer als bei Ωm = 1 und gleichem h.
Der derzeitige “Best Fit” an die Messungen des WMAP-Satelliten ergibt:
h = 0.71 ± 0.04
und
t0 = 13.7 ± 0.2 Gyr
(9.53)
9
173
HOMOGENE KOSMOLOGIE
9.3.2
Kosmologische Entfernungsmaße
In einer allgemeinen gekrümmten Raumzeit macht das Konzept der Entfernung zweier Beobachter zu einer festen
Zeit keinen Sinn. Im RW-Universum existiert zumindest eine globale Zeit, so dass die Entfernung entlang einer
Kurve auf t =const Hyperflächen zwar definiert, aber leider nicht messbar ist.
• Die mitbewegte Entfernung zu einem Objekt im Koordinatenabstand r1 , dessen bei t1 emittiertes Licht wir
gerade (r = 0, t = t0 ) empfangen, kann analog zu Gl. (9.46) berechnet werden:
Z r1
dr
√
χ = R(t0 )
1
− kr2
0
Z t0
dt
= R0
R(t)
t1
Z t0
dt
=
t1 a(t)
Z 1
da
=
(9.54)
2 H(a)
a
a(t1 )
Für k = 0 ist χ = R0 r1 .
Da χ selbst keine Messgröße ist, besteht seine Hauptaufgabe in der Verknüpfung des Koordinatenabstands
r1 (erste Zeile in Gl. (9.54)) mit den kosmologischen Parametern, die in die Berechnung der letzten Zeile
einfließen. Für w = 0 (Ω0 ≡ Ωm ) gibt es dafür eine explizite Lösung (die Mattig-Relation):
√
2Ω0 z + (2Ω0 − 4)( Ω0 z + 1 − 1)
R 0 r1 =
H0 Ω2 (1 + z)
• Die Leuchtkraftentfernung wird analog zum statischen euklidischen Fall durch
r
L
dL =
4πF
(9.55)
(9.56)
definiert, wobei L die Leuchtkraft einer geeigneten Standardkerze und F der gemessene Strahlungsfluss ist.
Betrachten wir den Fluss einer (monochromatischen) Quelle im Koordinatenabstand r1 , deren Leuchtkraft
L(r1 ) proportional zur Anzahl und Energie der Photonen ist, die pro Zeiteinheit eine Kugelschale mit der
Oberfläche 4πR02 r12 durchströmen (vgl. Gl. (9.8); Achtung: der Radius dieser Kugelschale ist χ 6= R0 r1
wenn k 6= 0):
L(r1 )
(9.57)
F=
4πR02 r12
Im Vergleich mit der Leuchtkraft L, die lokal an der Quelle gemessen wird, wird L(r1 ) um den Faktor a2
abgeschwächt: Einmal durch die Vergrößerung des Zeitintervalls δt ∼ 1/a, mit dem die Photonen durch
die expandierende Schale strömen, und zum zweiten durch die Abnahme der Photonenenergie ∼ a. Aus
Gl. (9.57) wird damit:
La2
F=
(9.58)
4πR02 r12
Mit Gl. (9.56) folgt deshalb:
dL =
R 0 r1
= R0 r1 (1 + z)
a
(9.59)
9
174
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 125: Drei kosmologische Entfernungsmaße in einem flachen expandierenden Universum (Bezeichnungen wie im
Text). Die Linienpaare zeigen jeweils ein
reines Materieuniversum (dünne Linien)
und eines mit 70 % kosmologischer Konstante (dicke Linien). Bei fester Rotverschiebung sind die Entfernungen in einem
Λ-Universum größer als ohne Λ.
Um mit dL arbeiten zu können, muss noch die explizite Erwähnung von r1 eliminiert werden. Das geschieht
allgemein mit Hilfe von Gl. (9.54) bzw. für ein w = 0-Universum mit Gl. (9.55) (leider geht das nicht ebenso
einfach für ΩΛ 6= 0). Damit wird dL eine Funktion von Ωm , Ωr und ΩΛ , die durch Messung von dL (z) mit
geeigneten Standardkerzen (z.B. SNe Ia) bestimmt werden können.
• Die Winkelentfernung ist wieder in Analogie zum euklidischen Raum definiert, indem die physikalische
Größe A mit einer Quelle mit dem von ihr aufgespannten Winkel θ verglichen wird:
dA =
A
θ
(9.60)
Der beobachtete Winkeldurchmesser folgt aus Gl. (9.6):
θ
dA
A
R(t1 )r1
= R(t1 )r1
= a R 0 r1
=
(9.61)
Es gilt:
dL = (1 + z)2 dA
(9.62)
Abb. (125) zeigt, dass alle Entfernungsmaße für ein flaches Universum mit Vakuumenergie-Beitrag größer sind
als ohne. Der Grund liegt an der langsameren Expansion zu früheren Zeiten, so dass die Photonen in einem ΛUniversum länger unterwegs sind Objekte erscheinen leuchtschwächer bei gleicher Rotverschiebung.
9.3.3
Das Hubble-Gesetz
Gl. (9.54) für r1 als Funktion der kosmologischen Parameter kann auch durch Taylorentwicklung näherungsweise
gelöst werden. Dafür schreibt man:
a(t) =
R(t)
1
= 1 + H0 (t − t0 ) − q0 H02 (t − t0 )2 + . . .
R0
2
(9.63)
Hier wurde der Abbremsungsparameter
q0 ≡ −
R̈(t0 )
R0
Ṙ2 (t0 )
(9.64)
eingeführt, dessen Vorzeichenkonvention (und Name) nur noch historische Bedeutung haben – eine Beschleunigung hatte niemand erwartet.
9
175
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Gl. (9.63) wird in die zweite Zeile von Gl. (9.54) eingesetzt, integriert, und (t − t0 ) durch z = H0 (t0 − t) + . . .
substituiert. Da das Integral in der ersten Zeile von Gl. (9.54) in linearer Ordnung = r1 ist, findet man schließlich:
1
1
r1 =
z − (1 + q0 )z 2 + . . .
(9.65)
R0 H0
2
Einsetzen in Gl. (9.59) liefert das Hubble-Gesetz:
1
H0 dL = z + (1 − q0 )z 2 + O(z 3 )
2
(9.66)
Der erste Term auf der rechten Seite ergibt (wenn man c wieder an seine rechtmäßige Stelle setzt) das lineare
Hubble-Gesetz Gl. (9.1), das für z 1 gültig ist und bei größeren Rotverschiebungen durch weitere Terme
korrigiert werden muss. Der kubische Term (O(z 3 )) wurde erstmals 2004 signifikant gemessen (Riess et al. 2004).
Häufig sieht man in der astronomischen Literatur, dass Entfernungen in Einheiten von [h−1 Mpc] angegeben
werden. Das zeigt, dass eigentlich nur die Rotverschiebung z bekannt ist und die Entfernung aus dem HubbleGesetz Gl. (9.1) und der Parametrisierung der Hubble-Konstanten H0 , Gl. (9.50), ausgerechnet wurde.
9.4
9.4.1
Inflation
Motivation und Definition
In Kap. (9.2.3) wurden einige Probleme des heißen Urknallmodells angesprochen. Hier eine kurze Wiederholung
und Erweiterung:
1. Flachheitsproblem:
Aus der Friedmann-Gleichung (9.29) folgt für den Dichteparameter Ω (Gl. 9.40):
Ω−1=
k
∝ ȧ−2
H 2 a2 R02
(9.67)
Der Term aH = ȧ kann laut Gl. (9.32) bei Strahlungs- oder Materiedominanz (konkret: für w > −1/3) nur
mit der Zeit kleiner werden, also wächst jede Abweichung des Dichteparameters Ω von 1 (Flachheit) mit der
Zeit an.
Zum Beispiel muss, um das heutige Universum zu erklären, zur Zeit der primordialen Nukleosynthese (t ∼ 1
s) gegolten haben:
|Ω − 1| . 10−16
(9.68)
2. Horizontproblem:
Das Horizontproblem folgt z.B. aus Gl. (9.47) und besagt, dass für w > −1/3 der in kausalem Kontakt
stehende Bereich des Universums begrenzt ist.
Wieder ein Beispiel: Da zrek zeq kann man die physikalische Länge des Teilchenhorizonts, Gl. (9.46),
gut mit reiner Materiedominanz (n = 2/3 in Gl. (9.47)) abschätzen:
dhor (zrek ) =
2
−1/2
(1 + zrek )−3/2 Ω0
H0
(9.69)
mit Gl. (9.49).
Der Winkeldurchmesser, den Regionen mit diesem physikalischen Durchmesser bei zrek heute am Himmel
einnehmen, ist
dhor (zrek )
θrek =
(9.70)
dA
9
176
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 126: Der Hubbleradius zur Zeit
der Rekombination entspricht in etwa dem
Winkeldurchmesser des Mondes.
mit der Winkelentfernung dA aus Gl. (9.60).
Schließlich liefert Gl. (9.55) (für ein Universum ohne Λ) bei z 1 näherungsweise:
2
H 0 Ω0 z
r
Ω0
'
' 2◦
zrek
dA (z) '
θrek
(9.71)
Zur Zeit der Rekombination wären im Falle w > −1/3 seit dem Urknall nur Gebiete von ca. 2 Winkelgrad
Durchmesser kausal gekoppelt (Abb. (126)). Auf der anderen Seite ist die Temperatur des CMBR in allen
Richtungen bis auf 10−4 exakt identisch.
Eine andere Formulierung des Horizontproblems ist, dass der mitbewegte Hubbleradius (aH)−1 = ȧ−1
aufgrund Gl. (9.32) für w > −1/3 mit der Zeit anwächst. Deshalb stehen im Laufe der Zeit immer größere
Gebiete in kausalem Kontakt.
3. Problem der Relikte:
Wenn der Heiße Urknall bei sehr hohen Temperaturen begann, können evtl. Relikte früherer Phasen bis in
die Gegenwart überleben und u.U. zu Widersprüchen mit den Beobachtungen führen. Beispiele:
• Historische Wichtigkeit haben magnetische Monopole, die in spontanen Symmetriebrechungen während
der GUT-Phase entstanden sein könnten. Ihre Abwesenheit war eines der Hauptargumente für Inflation
in Guths (1981) klassischer Veröffentlichung.
• Heute wird das Gravitino, der Spin-3/2 Supergravitationspartner des Gravitons, als das größte Problem
angesehen. Seine Masse ist in den meisten SUGRA Modellen ca. 100 GeV. Sie geraten in Konlikt mit
der primordialen Nukleosynthese, falls der heiße Urknall früher als T & 109 GeV begonnen hat.
• Die Superstring-Theorie sagt die Existenz von Moduli-Feldern voraus, deren Massen und Wechselwirkungsraten denen der Gravitinos ähnlich sind, und damit auch ihre Konsequenzen.
• Neben den oben erwähnten Monopolen treten in manchen Szenarios auch topologische Defekte höherer Dimension auf, wie z.B. kosmische Strings etc. Sie bereiten nur Probleme, wenn ihre Energie pro
Einheitslänge ca. 1016 GeV übersteigt.
9
177
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 127: Der mitbewegte Hubbleradius nimmt während der Inflation ab (mitbewegte Skalen “verlassen den Horizont”)
und danach wieder zu (mitbewegte Skalen
“treten in den Horizont ein”).
Wie zuerst von Guth (1981) erkannt wurde (obwohl schon andere, wie z.B. Starobinsky, schon früher mit ähnlichen
Ideen gearbeitet haben), löst man alle Probleme auf einen Schlag mit Hilfe der Inflation.
Im Laufe der Zeit haben sich drei – wegen Gl. (9.32) äquivalente – Definitionen der Inflation eingebürgert:
1. Inflation, Definition I:
Inflation ist eine Epoche, in der das Universum beschleunigt expandiert:
ä > 0
(9.72)
2. Inflation, Definition II:
Inflation ist eine Epoche, in der der mitbewegte Hubbleradius abnimmt:
d 1
<0
dt aH
(9.73)
Das bedeutet, dass das beobachtbare Universum, in mitbewegten Koordinaten betrachtet, kleiner wird. Mit
anderen Worten, mitbewegte Wellenlängen verlassen während der Inflation den Horizont. Siehe Abb. (127).
3. Inflation, Definition III:
Inflation ist eine Epoche, in der
ρ + 3P < 0
(9.74)
bzw. w < −1/3 für eine Zustandsgleichung der Form (2.35). Da wir in der Regel ρ ≥ 0 annehmen, ist dies
gleichbedeutend mit der Forderung nach P < 0.
Inzwischen sollte klar sein, warum damit das Flachheits- und das Horizontproblem gelöst werden können. Das
Problem der Relikte wird durch die “Verdünnung” aller Teilchenfelder aufgrund der starken Zunahme von a gelöst
(natürlich nur für Relikte, die vor der Inflation produziert wurden).
9
178
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Schon kurz nach ihrer Einführung wurde erkannt, dass die Inflation noch einen weiteren nützlichen “Nebeneffekt”
hat: Sie erlaubt die Vorhersage von kleinen Inhomogenitäten auf dem flachen und homogenen Hintergrund als
Folge von Quantenfluktuationen während der Inflation. Dies ist heute ihre wahrscheinlich wichtigste Eigenschaft.
Diese kleinen Störungen liefern die “Anfangsbedingungen” für die Entstehung von Strukturen (Galaxien, Galaxienhaufen usw.) im Universum, siehe Kap. (10). Konkrete Voraussagen der Inflation sind, dass die Störungen
nahezu skaleninvariant, adiabatisch (keine Entropiestörungen) und gaußverteilt sind.
9.4.2
Skalarfeld-Inflation
Die Eigenschaft P < 0 wird generisch von homogenen Skalarfeldern erfüllt. Deshalb wenden wir uns jetzt den
Eigenschaften kosmologischer Skalarfelder zu.
Bisher sind zwar noch keine Skalarfelder (Spin-0) in der Natur entdeckt worden, aber Theoretiker lieben sie dennoch. Zum einen braucht man sie zur Massenerzeugung durch spontane Symmetriebrechung (Higgs), zum anderen
wimmelt es in supersymmetrischen Modellen geradezu von ihnen.
Die Lagrangedichte L eines Skalarfeldes φ mit Potential V ist gegeben durch
Lφ =
1 µν
g ∂µ φ∂ν φ − V (φ)
2
(9.75)
Für den Druck und die Energiedichte eines Skalarfeldes muss man zuerst dessen Energie-Impulstensor ausrechnen,
der die im lokalen Ruhesystem die Form Gl. (9.18) annimmt (wen’s interessiert: bekommt man aus Variation von
Gl. (9.75) nach gµν ). Daran erkennt man:
ρφ = T00
Pφ δij = Tij
1 2
φ̇ + V (φ)
2
1 2
=
φ̇ − V (φ) δij
2
=
(9.76)
Bei einem langsam variierenden Skalarfeld (φ̇2 V ) ist also tatsächlich Pφ ≈ −ρφ und damit Definition III
(9.74) erfüllt.
Betrachten wir den Fall eines einzelnen, homogenen Skalarfeldes φ im frühen Universum, dessen Energiedichte
über alle anderen evtl. vorhandenen Felder dominiert. Wir nennen φ das Inflatonfeld.
Des weiteren fordern wir, dass das Potential V “flach” ist, so dass sich der Wert von φ nur langsam ändert φ̇2 V . In diesem Fall “rollt das Feld langsam das Potential herunter” (slow-roll inflation).
Wenn φ nicht ganz homogen ist oder nicht vollständig über alles andere dominiert, aber die Bedingungen für
Inflation gegeben sind (weff < −1/3), dann werden diese Eigenschaften nach kurzer Inflationszeit gegeben sein.
Das selbe gilt für die Vernachlässigung des Krümmungsterms in der Friedmann-Gleichung.
Die Friedmann-Gleichung (9.29) wird in diesem Fall zu:
1
1 2
2
H
=
φ̇ + V (φ)
2
3Mpl
2
'
V (φ)
2
3Mpl
(9.77)
Ein Inflationsmodell besteht aus einem geeigneten Potential und einer Möglichkeit, die Inflation zu beenden und
das Universum “aufzuheizen” Beginn des heißen Urknalls. Eine moderne Klassifikation von Inflatonpotentialen
wird in Abb. (128) gezeigt.
Anfang:
Man geht (mit wichtigen Ausnahmen!) davon aus, dass die Inflation in der Nähe der Planckskala begann:
V 1/4 (φi ) ∼ Mpl
(9.78)
9
179
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 128: Klassifikation von geeigneten Potentialen für das Inflatonfeld nach
dem typischen Wertebereich für φ.
In dieser Phase ist die geläufige Vorstellung, dass das Universum ein “chaotischer” (A. Linde) Schaum ist, in dem
φ an manchen Stellen homogen genug ist, um eine Inflationslösung zu erlauben.
Früher lässt sich das Universum nicht ohne Quantengravitation beschreiben. Wenn die Inflation später beginnt,
würde ein geschlossenes Universum innerhalb einer Planckzeit kollabieren.
Länge:
Die Länge der inflationären Phase drückt man durch die Anzahl der e-Faltungen aus:
af
N ≡ ln
(9.79)
ai
Um das Horizont- und Flachheitsproblem zu lösen, braucht man mindestens N ≈ 62 . . . 70, aber die meisten
Modelle liefern wesentlich größere Werte für N
1. Das Universum ist nach der Inflation mit extrem hoher Genauigkeit flach.
2. Der Bereich, der vor der Inflation in kausalem Kontakt stand, erstreckt sich weit jenseits unseres heutigen
Teilchenhorizonts.
Ende:
Das Ende der Inflation wird erreicht, wenn die Slow-Roll-Bedingung φ̇2 V verletzt wird. Dies geschieht bei
ausreichend kleinem V (φ)
die Expansionsrate H ist klein
die Evolution von φ wird nicht mehr ausreichend
durch die Expansion gedämpft.
Jetzt muss man den Zerfall des Inflatons in andere Teilchen berücksichtigen. Die (ältere) Theorie des langsamen,
thermischen Zerfalls in Fermionen wird Reheating, die des resonanten Zerfalls in Bosonen Preheating genannt.
Ihre genaue Berechnung erfordert die Spezifizierung des Teilchenmodells (z.B. MSSM).
Eines der wesentlichen Ziele ist die Berechnung der endgültigen Temperatur nach der Thermalisierung, die den
heißen Urknall einläutet, und die damit verbundene Häufigkeit evtl. entstehender Relikte.
9
HOMOGENE KOSMOLOGIE
180
Abbildung 129: Vergleich der Mechanismen für Hawkingstrahlung (links) und Inflationsstörungen (rechts). In beiden Fällen
wandeln sich virtuelle Teilchen durch die
Eigenschaften der Raumzeit in reale Teilchen um. Im Fall der Inflation geschieht
dies durch kausale Trennung der Partner
außerhalb des Hubbleradius.
9.4.3
Erzeugung von Störungen
Eine wichtige Eigenschaft der Inflationstheorie ist ihre Fähigkeit, den Ursprung kleiner Fluktuationen auf einem
nahezu völlig homogenen und isotropen Hintergrund zu erklären. Diese Fluktuationen sieht man als Anisotropien
im Mikrowellen-Hintergrund; sie bilden den Keim der großskaligen Struktur der Galaxien und Galaxienhaufen.
Die Argumentation läuft ungefähr wie folgt:
1. Quantenfluktuationen des Inflatonfeldes δφ führen zu Unterschieden in der zeitlichen Synchronisierung mitbewegter Hyperflächen und damit zu (adiabatischen) Krümmungsstörungen.
2. Kleine Inflatonstörungen benehmen sich lokal wie masselose, freie Skalarfelder. Deren Fourierkomponenten
sind unabhängig und gehorchen harmonischen Oszillatorgleichungen.
3. In der semiklassischen Näherung werden die Inflatonstörungen quantisiert, während der homogene Anteil
von φ (das “Kondensat”) klassisch beschrieben wird. Die Quantisierung führt zu Nullpunktsschwingungen
der Fouriermoden, die beim Austritt aus dem Horizont “einfrieren” (Abb. (129)).
4. Aufgrund von Gl. (9.77) bleibt H während der Slow-Roll-Phase nahezu konstant. Deshalb ist auch die Amplitude der Nullpunktsschwingungen beim Horizontaustritt fast zeitunabhängig. Damit wird das Störungsspektrum skaleninvariant.
5. Die Amplitude der Störungen erlaubt außerdem eine Abschätzung des Wertes von H während der Inflation.
9.5
Thermische Entwicklung des Universums
Mit dem Reheating (bzw. Preheating) nach der Inflation beginnt die thermische Phase der Kosmologie (dem “Urknall” im eigentlichen Sinne), in der dem Universum eine Temperatur T (t) zugeordnet werden kann. Heute ist dies
die Temperatur der Hintergrundstrahlung: T0 = 2.73 K.
Ab jetzt wird implizit mit einem räumlich flachen Universum gerechnet (k = 0 in Gl. (9.29)). Abgesehen davon,
dass neueste Messungen genau diesen Fall nahelegen, ist diese Näherung im frühen Universum, mit dem wir uns
jetzt beschäftigen, auch im Falle eines offenen oder geschlossenen Universums mit Ω0 = O(1) sehr gut (warum?).
9
181
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 130: Die gesamte thermische Entwicklung des Universums gemäß Fermilab.
9.5.1
Bedingung für thermisches Gleichgewicht
Die Temperaturentwicklung des Universums ist wegen T ∝ a−1 durch die Hubblerate gegeben:
Ṫ
= −H
T
(9.80)
Solange die Wechselwirkungen zwischen den Teilchen schnell genug sind, um mit der Expansion Schritt zu halten,
durchläuft das Universum eine Abfolge von Zuständen im (nahezu) thermischen Gleichgewicht.
Dazu müssen wir die Wechselwirkungsrate Γ von Teilchen mit der Anzahldichte n, dem Streuquerschnitt σ und
der mittleren Geschwindigkeit |v|,
Γ ∼ nσ|v|
(9.81)
mit der Expansionsrate H vergleichen.
9
182
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Betrachte den häufigen Fall Γ ∝ T n . Dann stößt ein Teilchen ab der Zeit t
Z ∞
Nww =
Γ(t̃)dt̃
t
1
Γ
=
|t
n−2 H
(9.82)
Mal in einem strahlungsdominierten Universum.
Wenn n > 2 ist die Zahl der Stöße für Γ ≈ H kleiner als 1. Deshalb können wir annehmen, dass sich Teilchen mit
Γ H im thermischen Gleichgewicht mit dem Universum befinden, solche mit Γ H nicht (sie “frieren aus”).
Wird die Wechselwirkung durch den Austausch massiver Eichbosonen mit Masse mX verursacht, wie z.B. durch
W ± , Z 0 in der schwachen WW bei T . 300 GeV, ist
σ ∼ G2X T 2 ∝
T2
m4X
(9.83)
wenn T . X.
9.5.2
Temperaturabängigkeit von ρ und P
Wir benötigen die Energiedichte ρ und den Druck P eines idealen Gases, das aus Teilchenspezies i mit Anzahldichte ni , Ruhemasse mi , Temperatur Ti , chemischem Potential µi und gi inneren Freiheitsgraden besteht.
Im nichtrelativistischen Fall (mi Ti ) gilt für Fermionen und Bosonen:
3/2
mi T i
−(mi − µi )
ni = gi
exp
2π
Ti
X
ρ =
ni mi
Spezies i
P
=
X
ni T i ρ
(9.84)
Spezies i
Für relativistische Teilchen (mi Ti ) ist
ρ =
P
g∗
=
=
π2
g∗ T 4
30
1
π2
ρ=
g∗ T 4
3
90
4
X
Ti
7
gi
+
T
8
Bosonen i
X
Fermionen i
gi
Ti
T
4
(9.85)
Hier bezeichnet g∗ die Gesamtzahl der effektiv masselosen (mi T ) Freiheitsgrade. der Faktor 7/8 kommt von
der unterschiedlichen Statistik von Bosonen und Fermionen.
9.5.3
Neutrino-Entkopplung
Das Ausfrieren relativistischer Teilchen vom thermischen Gleichgewicht kann gut anhand der Neutrino-Entkopplung
demonstriert werden. Bei sehr hohen Temperaturen werden sie durch ν̄ν ↔ e+ e− usw. im thermischen Gleichgewicht gehalten.
Der Streuquerschnitt ist σ ∼ G2f T 2 (Gl. 9.83) mit der Fermikonstanten Gf , und ihre Anzahldichte skaliert mit
n ∝ T 3.
9
183
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Damit ist die Wechselwirkungsrate
Γ = nσ|v| ∼ G2f T 5
(9.86)
2
∼ T 4 ) ist
und mit (9.29) (H 2 Mpl
Γ
G2 T 5
∼ 2f
∼
H
T /Mpl
T
1 MeV
3
.
(9.87)
Bei T ∼ 1 MeV entkoppeln die (leichten) Neutrinos also vom kosmischen Plasma. Danach fällt die Neutrinotemperatur mit Tν ∝ a−1 ab.
Kurz nach der ν-Entkopplung fällt die Temperatur unter die Ruhemasse von e+ -e− -Paaren, deren Entropie an die
Photonen übertragen wird, aber nicht an die entkoppelten Neutrinos. Weil wegen der Entropieerhaltung g∗ T 3 =
const gilt, erhöht dieser Vorgang die Photonen-Temperatur um den Faktor (11/4)1/3 , der dritten Wurzel aus dem
Verhältnis der Freiheitsgrade vor und nach der e+ -e− -Paarvernichtung.
Da die Photonen-Temperatur heute T ∼ 2.74 K ist, folgt für die heutige Temperatur der Neutrino-Hintergrundstrahlung:
Tν ∼ 1.96 K.
9.5.4
Primodiale Nukleosynthese
Vorbedingungen (T 1 MeV, t 1 s):
Da praktisch alle vorhandenen Neutronen zu 4 He verbraucht werden, ist das Verhältnis von p und n zur Zeit der
primordialen Nukleosynthese besonders wichtig.
n und p gehen durch die schwache Wechselwirkung ineinander über:
n
νe + n
e+ + n
↔ p + e− + ν̄e
↔ p + e−
↔ p + ν̄e
(9.88)
(9.89)
(9.90)
(9.91)
Im chemischen Gleichgewicht ist
nn
np
Ggw
Q
= exp −
T
(9.92)
mit
Q ≡ mn − mp = 1.293MeV
(9.93)
Um herauszufinden, wann dieses Verhältnis ausfriert, benötigen wir die Wechselwirkungsrate Γpe→νn . Sie ähnelt
derjenigen für Neutrinostreuung Gl. (9.86) und verhält sich für kleine und große Temperaturen wie:
(T /me )3
Q
Γpe→νn =
exp −
,
T Q, me
τn
T
7π
(1 + 3ga2 ) G2f T 5
,
T Q, me
=
(9.94)
60
wobei τn ≈ 10.5 min/ ln(2) die mittle Zerfallszeit freier Neutronen und ga ≈ 1.26 die Axialvektorkopplung von
Nukleonen bezeichnen.
Vergleicht man Γ mit der Expansionsrate H ∼ 5.5T 2 /Mpl , findet man
Γ
∼
H
T
0.8 MeV
3
(T & me )
d.h. bei Temperaturen oberhalb von ca. 0.8 MeV befinden sich n und p im Gleichgewicht (9.92).
Kurz vor dem Beginn der primordialen Nukleosynthese herrschen also folgende Bedingungen:
(9.95)
9
184
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 131:
Der Verlauf des
Neutronen-Protonen-Verhältnisses
nach
dem Einfrieren im Vergleich zum Gleichgewichtswert.
1. Das Universum ist strahlungsdominiert (w = 1/3).
2. Die relativistischen Freiheitsgrade sind: e± , γ und drei leichte (m . 1 MeV) Neutrinos. Das ergibt g∗ =
10.75.
3. Die Massenanteile der leichten Elemente sind:
Xn ≈ Xp
XA≥2
= 0.5
≤ 10−11
(9.96)
(9.97)
Ausfrieren der Neutronen und Protonen (T ≈ 0.8 MeV, t ≈ 1 s):
Kurz nachdem die Neutrinos ausgefroren sind (Kap. 9.5.3) und die γ-Temperatur durch Vernichtung der e± -Paare
um den Faktor (11/4)1/3 erhöht wurde, frieren die schwachen Wechselwirkungen aus, die n und p im Gleichgewicht gehalten hatten.
Gl. (9.92) liefert bei dieser Temperatur den Wert
nn
1
≈
np
6
(9.98)
Nach dem Ausfrieren bleibt dieser Wert nicht konstant, weil freie Neutronen mit der Halbwertszeit ln(2)τn zerfallen (Abb. 131).
Nukleosynthese (T ≈ 0.3 . . . 0.1 MeV, t ≈ 1 . . . 3 min):
Zu diesem Zeitpunkt ist das n/p-Verhältnis auf ca. 1/7 abgefallen. Zum Vergleich, der Gleichgewichtswert aus
Gl. (9.92) bei T = 0.3 MeV ist 1/74. Das macht deutlich, wie sensitiv die Vorhersagen der primordialen Nukleosynthese auf den Zeitpunkt des Ausfrierens von n und p sind.
Bei T ≈ 3 MeV ist im nuklearen statistischen Gleichgewicht (NSE) X4 → 1. Dieser Wert kann jedoch nicht erreicht werden, weil die zur Produktion von 4 He nötigen leichteren Isotope (D, 3 H und 3 He) nicht im ausreichenden
Maße zur Verfügung stehen. Das liegt u.a. an ihrem geringen NSE-Massenanteil von Xi . 10−12 .
Erst bei T ≈ 0.1 MeV wird das Deuterium-Nadelör durchbrochen und praktisch alle noch vorhandenen Neutronen
9
185
HOMOGENE KOSMOLOGIE
werden zu 4 He gebunden. Der resultierende Masseanteil von He kann deshalb leicht abgeschätzt werden:
X4
≈
=
=
=
4n4
nN
4(nn /2)
nn + np
2(nn /np )
1 + (nn /np )
1
4
(9.99)
Obwohl die Bindungsenergien der höheren α-Elemente (12 C, 16 O,usw.) größer sind als die von 4 He werden diese
Isotope praktisch nicht produziert, weil die Coulomb-Abstoßung die jew. Produktionsraten minimiert (außerdem
fehlt die triple-α-Reaktion wegen der geringen Nukleonendichte).
Es werden Spurenanteile von 7 Li produziert (X7 ≈ 10−9 ), sowie geringe Mengen an unverbranntem D und 3 He
hinterlassen (X2,3 ≈ 10−4 ).
Abhängigkeiten von kosmologischen Parametern:
√
1. g∗ : Da H ∝ g∗ T 2 führt z.B. eine Erhöhung von g∗ bei gleicher Temperatur zu schnellerer Expansion,
1/6
und damit zu einem früheren Ausfrieren von n und p (Γ ∝ T 5 ∼ H
Tausfrier ∝ g∗ ).
Damit ist das n/p-Verhältnis beim Ausfrieren höher (vgl. Gl. 9.92) und somit auch später bei der Nukleosynthese. Das erhöht den vorhergesagten Wert von 4 He, da alle vorhandenen n verbraucht werden (Gl. 9.99).
Dieser Zusammenhang erlaubte Hoyle & Tayler schon 1964, die Anzahl leichter Neutrinosorten auf Nν ≤ 4
festzulegen, lange vor den Beschleunigerdaten über die Z 0 -Zerfallsbreite.
Auch heute noch ist die primordiale Nukleosynthese eine wichtige Hürde für neue Theorien, die zusätzliche
leichte Teilchen vorhersagen.
2. Baryonenzahl: Eine höhere Baryonenzahl führt zu früherer und verstärkter Produktion von D, 3 H und 3 He
und damit früherer Nukleosynthese von 4 He, d.h. bei etwas höherem n/p.
X4 ist nicht besonders sensitiv auf Änderungen der Baryonenzahl, weil sich das n-p-Verhältnis zu dieser
Zeit nicht mehr stark ändert. Aber die Mengen an übriggelassenen D und 3 He sinken stark mit steigender
Baryonenzahl aufgrund der höheren Reaktionsraten, die diese Isotope zu 4 He verbrennen.
Insbesondere jüngste Messungen von D-Absorptionslinien in weit entfernten Wasserstoffwolken, die von
Quasaren durchleutet werden, lassen eine genaue Analyse von ΩB h2 zu (Abb. 132).
Das Ergebnis ist erstaunlich konsistent mit völlig unabhängigen Resultaten aus dem CMBR-Anisotropiespektrum!
Die Diskrepanz zwischen dem Wert für die Baryonendichte, der aus der primordialen Nukleosynthese folgt,
ΩB ≈ 0.05
(9.100)
und der gesamten Materiedichte von Ωm ≈ 0.3 (z.B. aus Röntgenbeobachtungen von Galaxienhaufen) ist das
stärkste Argument für die Existenz von ca. Ωdm ≈ 0.25 an nichtbaryonischer, nichtrelativistischer Materie, der
sog. dunklen Materie.
9.5.5
Beobachtung primordialer Isotope
Die Beobachtung der Produkte der primordialen Nukleosynthese ist mit zahlreichen systematischen Unsicherheiten behaftet, die stark von der späteren Evolution der jew. Häufigkeiten abhängen. Doch dabei wurden in den
letzten Jahren durch Benutzung der 10m-Klasse optischer Teleskope (Keck, VLT) und des HST große Fortschritte
erzielt, weil man in immer weiteren Entfernungen suchen kann (und damit zu früheren Zeiten).
Hier ein kurzer Überblick:
9
HOMOGENE KOSMOLOGIE
186
Abbildung 132: Vergleich von Theorie und
Beobachtung der primordialen Isotope D,
3
H, 3 He und 4 He. Der vertikale Balken
zeigt den Bereich des Überlapps.
Deuterium:
Das “Baryometer” D wird heutzutage hauptsächlich in entfernten (z & 3) Wasserstoffwolken, den sog. “Lymanα-Wolken”, beobachtet. Auch hier sind die Messungen sehr kompliziert, weil die Kernmassenverschiebung
der D-Absorptionslinie gegenüber der H-Linie nicht einfach von einer Dopplerverschiebung der H-Linie zu
unterscheiden ist. Aber zumindest hat man nicht das Problem der galaktischen D-Messungen, dass D in der
Vorhauptreihenentwicklung von Sternen in 3 He umgewandelt wird.
Helium-4:
Auch hier muss man in möglichst großer Entfernung suchen, um Verschmutzung durch stellares 4 He zu
vermeiden. Man benutzt hierfür die Emissionslinien der optischen Rekombinationslinien von 4 He in metallarmen extragalaktischen H II-Regionen.
Helium-3:
3
He+ wird ebenfalls in metallarmen H II-Regionen beobachtet, allerdings mit Radioteleskopen (das äquivalent zur 21 cm-Linie von H). 3 He wird in massereichen Sternen zu 4 He verbrannt, in massearmen Sternen
kann unvollständiges H-Brennen dagegen zu einer relativen Anreicherung von 3 He führen.
Lithium-7:
7
Li wird in der Sternentwicklung abgereichert, während Spallation bei der Kollision von kosmischer Stahl-
9
187
HOMOGENE KOSMOLOGIE
ung mit der interstellaren Materie 7 Li produziert werden kann. Man beobachtet es am besten in den Absorptionsspektren von heissen, metallarmen Pop II Halosternen. Die genaue Modellierung dieser Sterne und
ihrer Atmosphären ist hierfür besonders wichtig.
9.5.6 Übergang von Strahlungs- zu Materiedominanz
Als das Universum ca. 1000 Jahre alt war, begann die Materie (bzw. “Staub”, also alles Nichtrelativistische) aufgrund ihrer langsameren Rotverschiebung die Gesamtenergiedichte zu dominieren.
Damit begann auch die Epoche der Strukturentstehung durch Gravitationskollaps von Dichtefluktuationen. Um diesen Zeitpunkt abzuschätzen, müssen wir die heutigen Energiedichten von relativistischer und nichtrelativistischer
Materie ausrechnen und blauverschieben, bis sie identisch sind.
Aus g∗ (heute) = 3.36 lassen sich die heutige Strahlungs-Energiedichte und ihr Anteil an Ω berechnen (Gl. 9.85,9.29):
ργ
Ω γ h2
≈ 8 × 10−34 g cm−3
≈ 3 × 10−5
(9.101)
Auf der anderen Seite ist die heutige Energiedichte in nichtrelativistischer Materie, ausgedrückt durch ihren Anteil
an Ω:
ρm ≈ 1.9 × 10−29 Ωm h2 g cm−3
(9.102)
Da ργ ∝ a−4 und ρm ∝ a−3 ist (mit T0 ∼ 2.75 K)
ργ
ρm
Teq
teq
=
1
= 1 + zeq ≈ 2.3 × 104 Ωm h2
aeq
= T0 (1 + zeq ) ≈ 5.5 Ωm h2 eV
2 −1 −1/2
H Ω
(1 + zeq )−3/2
≈
3 0 m
≈ 1.4 × 103 (Ωm h2 )−1/2 Jahre
(9.103)
(Für schnelle Abschätzungen kann man mit h ' 0.7 und Ωm ' 0.3 rechnen.)
9.5.7
Rekombination und Photonen-Entkopplung
Eine weitere entscheidende Phase im Leben des jungen Universums war die Entkopplung der Photonen von der
Materie. Seitdem bewegen sich Photonen praktisch frei durch das Universum. Damit begann gewissermaßen die
“dunkle Zeit” der Kosmologie, die erst mit der Entstehung der ersten Sterne endete.
Wie gehabt, vergleicht man die Wechselwirkungsrate Γγ mit der Expansionsrate H, um den Zeitpunkt der Entkopplung zu berechnen. In diesem Fall wird die Wechselwirkung von Photonen mit Materie durch Thomsonstreuung
an freien Elektronen mit der Anzahldichte ne dominiert (vgl. Gl. (2.50)):
Γγ ≈ n e σ T
,
σT = 6.65 × 10−25 cm2
(9.104)
Damit ist klar, dass zur Zeit der Rekombination der Elektronen und Nukleonen zu Atomen die Anzahldichte ne ,
und damit Γγ , praktisch verschwanden. Liefe dieser Prozess im thermischen Gleichgewicht ab, könnte er durch
die Sahagleichung Gl. (2.43) beschrieben werden.
Tatsächlich liefert die Sahagleichung zwar eine Beschreibung der anfänglichen Abweichungen von der vollständigen Ionisierung, aber schon bald darauf werden Nichtgleichgewichtseffekte wichtig. Einer davon ist die Tatsache,
dass die Rekombinationsphotonen selbst so energetisch sind, dass sie sofort wieder zu Ionisation führen. Der
Schlüssel sind verbotene 2-Photonen-Übergange, die niederenergetische Photonen erzeugen. Sie sind sehr langsam und führen zu einer starken Abweichung von den Vorhersagen der Sahagleichung.
9
188
HOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 133: Während der Rekombination bildeten sich Wasserstoff- und Heliumatome aus den Atomkernen und freien Elektronen. Anschließend konnten sich
Photonen praktisch ungehindert ausbreiten.
Durch Lösung Rder Ratengleichungen findet man das interessante Ergebnis, dass die optische Tiefe für Thomsonstreuung, τ = ne σT dr, unabhängig von den kosmologischen Parametern ist:
τ (z) = 0.37
z 14.25
1000
(9.105)
τ (z) variiert stark mit der Rotverschiebung. Daraus folgt, dass die Verteilungsfunktion für die Rotverschiebung,
bei der die Photonen das letzte Mal gestreut haben, P (z)dz ∼ exp(−τ )dτ , ein scharfes Maximum besitzt. Sie
lässt sich gut durch eine Gaußverteilung mit
hzrek i = 1065
,
σz = 80
(9.106)
fitten.
Das ist die sog. letzte Streufläche, deren Struktur man heute in der Hintergrundstrahlung beobachten kann.
10
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
189
Abbildung 134:
Physikalische Größe
λphys ∝ a einer Störung im Vergleich zum
Hubbleradius H −1 ∝ a1/n (Kap. 9.3).
Nach dem “Break Away”, d.h. wenn die
Störung nichtlinear wird und sich von der
kosmischen Expansion abkoppelt, bleibt
λphys praktisch konstant (aus Kolb & Turner, S. 326).
¿
10
Inhomogene Kosmologie
Das heutige Universum ist auf kleinen Skalen sehr inhomogen (Galaxien, Sterne, Planeten, . . . ). Nur auf Skalen
& 100 Mpc ist das Universum “glatt” und kann durch ein FRW-Modell beschrieben werden.
Die mittlere Dichte von Galaxien ist ca. 105 mal, diejenige von Galaxienhaufen ca. 103 mal höher als die mittlere
Dichte des Universums ρ̄.
Die Temperatur-Anisotropien in der kosmischen Hintergrundstrahlung haben eine Amplitude von ca. 10−4 , und die
Dichteschwankungen sind von der gleichen Größenordnung. Zur Zeit der Rekombination (T ≈ 0.26 eV, a ≈ 10−3 )
als die kosmische Hintergrundstrahlung “frei” wurde war das Universum offensichtlich wesentlich homogener als
heute.
Wie hat sich das Universum vom damaligen Zustand in den heutigen entwickelt? Das folgende Bild ist heute das
allgemein anerkannte Standard-Szenario:
• Kleine, primordiale Dichtestörungen wachsen durch die Gravitations- (Jeans)-Instabilität zu den heutigen
Galaxien, Haufen, etc. an, nachdem sie “in den Horizont eintreten”, d.h. nachdem ihre Ausdehnung kleiner
wird als die Horizontlänge (siehe Abb. 134).
• Dichtestörungen stoßfreier Materie (kalte dunkle Materie (CDM)) beginnen anzuwachsen, sobald das Universum materiedominiert ist. Heiße dunkle Materie (z.B. leichte Neutrinos) ist zu diesem Zeitpunkt noch
relativistisch, so dass die Störungen “ausgewaschen” werden, im Widerspruch zu den Beobachtungen.
• Baryonische Inhomogenitäten können erst nach der Rekombination anwachsen, weil sie vorher an das Photonengas gekoppelt sind ihre Jeanslänge ist größer als der Horizont.
10.1
Lineares Anwachsen der Störungen
Solange die Dichtestörung klein ggü. der Hintergrunddichte ist (bzw. der Dichtekontrast, Gl. (5.20), klein ggü. 1),
kann man das Anwachsen der Störungen in linearer Näherung betrachten. Dies verläuft in ähnlicher Weise wie die
10
190
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Jeansanalyse in Kap. (5.2.2), die Sie sich an dieser Stelle am besten noch einmal anschauen.
Für die nichtlineare Evolution von Dichtestörungen gibt es vereinfachende (semi)analytische Methoden (Zel’dovichNäherung, sphärischer Kollaps, Press-Schechter-Theorie etc.), die aber heutzutage durch massive numerische sog.
N-body-Simulationen dominiert werden. Auf die Ergebnisse dieses Feldes können wir hier nicht tiefer eingehen.
Die zwei wesentlichen Unterschiede zur Betrachtung des Jeansproblems in Kap. (5.2.2) sind:
1. Die Expansion des Hintergrunds führt eine neue Längen- bzw. Zeitskala ein: die Horizontskala H −1 . Weit
innerhalb des Horizonts (l H −1 ) kann weiterhin mit Newtonscher Gravitationstheorie gerechnet werden,
außerhalb müssten wir im Rahmen der ART arbeiten
relativistische Störungstheorie, deren Ergebnisse
unten nur kurz zusammengefasst werden.
2. Wir müssen die verschiedenen Komponenten des Universums sorgfältig unterscheiden. Störungen in der
Strahlungs-Energiedichte
wachsen nicht an, weil ihre Jeanslänge immer vergleichbar mit der Horizontlänge
√
ist (cs = 1/ 3
λJ ∼ H −1 ; Gl. (5.25)). Ähnliches gilt für Störungen in der baryonischen Komponente
(H, He, etc.) vor der Rekombination als Folge ihrer starken Kopplung an die Photonen durch Thomsonstreuung. Störungen der (kalten) dunklen Materie hingegen können schon anwachsen, sobald das Universum
materiedominiert ist.
10.1.1
Jeans-Analyse mit expandierendem Hintergrund
Nachdem wir in Kap. (5.2.2) das Jeans-Problem auf einem statischen Hintergrund gelöst haben, wenden wir uns
dem kosmologisch relevanten Fall zu, in dem der Hintergrund expandiert. Da wir mit den Newtonschen Gleichungen rechnen, müssen wir uns auf Skalen innerhalb des Horizonts sowie Störungen von nichtrelativistischen
Komponenten (CDM, Baryonen) beschränken.
Die Hauptrolle spielt dabei wieder der dimensionslose Dichtekontrast δ, Gl. (5.20). Da wir an der Dynamik kleiner
(linearer) δs interessiert sind und sich lineare Differentialgleichungen einfach in Fourierkomponenten zerlegen
lassen, brauchen wir die Fouriertransformierte von δ:
Z
V
δ(x) =
δk e−ikx d3 k
(2π)3
V
Z k
1
δk =
δ(x)eikx d3 x
(10.1)
V
V
Die mitbewegte Wellenzahl k = |k|, die oben eingeführt wurde, ist über den Skalenfaktor mit der physikalischen
Wellenzahl κ verbunden:
k
κ(t) =
(10.2)
a(t)
Genau wie x ist auch k zeitunabhängig. Man kann es als “Markierung” von Strukturen, die zu einer bestimmten
Zeit t die charakteristische (Wellen)länge
l = a(t) λ = a(t)
2π
k
(10.3)
haben, verstehen.
Zurück zum expandierenden Jeansproblem. Wir machen den Ansatz (r(t) = a(t)x sei die physikalische Koordinate):
ρ
v
∆Φ
= ρ(t0 ) a(t)−3
dr
ȧ
=
= r = Hr
dt
a
4π
=
Gρ r
3
(10.4)
10
191
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Dabei gehorcht H der Friedmann-Gleichung. Im inhomogenen Fall definieren wir H wie folgt:
1
∇v
3
(10.5)
1 X
∂
ei
a i
∂xi
(10.6)
H=
mit
∇≡
Gl. (10.4) macht offensichtlich nur auf Skalen innerhalb des Horizonts Sinn, da die Geschwindigkeit für r ≥ H −1
größer als die Lichtgeschwindigkeit wird. Eine weitere Erinnerung, dass die Newtonsche Theorie nur innerhalb
des Horizonts funktioniert.
Mit dem gleichen Störungsansatz (5.15) wie in Kap. (5.2.2) findet man folgende linearisierte Gleichungen:
∂δρ
+ 3Hδρ + v∇δρ + ρ∇δv = 0
∂t
∂δv
c2
+ Hδv + (v∇)δv = − s ∇δρ − ∇φ
∂t
ρ
∆φ = 4πGδρ
(10.7)
Wir können Gl. (10.7) vereinfachen, indem wir von partiellen zu vollständigen Zeitableitungen, sowie von der
Orts- zur Wellenzahldarstellung (vgl. Gl. 10.1) übergehen. In unserem Fall gilt:
(δρ).
≡
∇
→
dδρ
∂δρ
=
+ v∇δρ
dt
∂t
k
−i
a
(δv ebenso)
(10.8)
Des weiteren ersetzen wir wieder δρ durch δ, wobei wir jetzt natürlich berücksichtigen müssen, dass ρ ∼ a−3 auch
zeitabhängig ist und damit
ρ δ̇ = (δρ). + 3Hρ δ
(10.9)
Insgesamt wird (10.7) zu:
δ̇k
v̇k
φk
i
kvk = 0
a
i
i
+ Hvk = c2s kδk + kφk
a
a
4πGρ
= − 2 a2 δk
k
−
(10.10)
Anders ausgedrückt,
δ̇k = −3 δHk
(10.11)
und, im flachen Universum,
2
2
k
δk = −
φk
(10.12)
3 aH
Genau wie im statischen Fall kann das Gleichungssystem (10.10) in eine PDGl zweiter Ordnung für δ umgeformt
werden (ab hier lassen wir den Index k weg):
δ̈ + 2H δ̇ +
c2s k 2
− 4πGρ
a2
δ=0
(10.13)
Diese Gleichung beschreibt das lineare Wachstum von Dichtestörungen nichtrelativistischer Flüssigkeiten auf SubHorizontskalen. Sie lässt sich mit Bessel-Funktionen lösen, jedoch sind wir nur an einigen einfachen Grenzfällen
interessiert.
10
192
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
10.1.2
Eigenschaften der Lösungen
Statischer Grenzfall:
Wie erwartet, reduziert sich Gl. (10.13) zu (5.19) im Fall a =const. Ebenso sieht man, dass die JeansWellenzahl
kJ = a κJ
(10.14)
(vgl. 5.24) hier eine ähnliche Rolle spielt wie im statischen Fall.
Der Unterschied zwischen dem statischen und dem expandierenden Fall liegt im Auftreten des HubbleDämpfungsterms 2H δ̇ im expandierenden Universum. Die Interpretation ist einfach: Je schneller das Universum expandiert, desto stärker wird das Anwachsen von Störungen gedämpft.
Baryonische Materie:
Vor der Rekombination sind die Baryonen durch Thomsonstreuungen an die Photonen gekoppelt und “spüren”
deren Druckkräfte, d.h. c2s = 1/3.
Gl. (5.25) liefert in diesem Fall die Abschätzung , dass λJ ∼ H −1
alle Sub-Horizontskalen sind stabil. Eine genaue Rechnung zeigt, dass die baryonische Jeansmasse größer ist als die Masse der Baryonen
innerhalb des Horizonts: MJB /MhorB ≈ 26.
Baryonische Störungen innerhalb des Horizonts oszillieren für z > zrek als Schallwelle mit δ(t) ∼ exp(±iω(t)t),
wobei
cs k
(10.15)
ω(t) =
a(t)(1 − n)
für a ∼ tn .
Nach der Rekombination (z < zrek ) nimmt die Schallgeschwindigkeit der Baryonen schlagartig ab, so dass
die Störungen kollabieren können. Dabei “fallen” sie in die Potentialmulden der dunklen Materie, deren
Störungen schon früher (z = zeq , siehe weiter unten) zu wachsen beginnen konnten. Kurze Zeit später hat
der baryonische Dichtekontrast denjenigen der dunklen Materie “eingeholt”.
Bem.: Modelle ohne einen signifikanten Anteil an kalter dunkler Materie haben große Probleme, den heutigen
Dichtekontrast baryonischer Materie zu erklären, weil der oben beschriebene Effekt fehlt.
Kalte dunkle Materie:
Im Falle kalter (= nichtrelativistischer) dunkler Materie (z.B. WIMPs, MACHOs) können wir den cs -Term
in Gl. (10.13) vernachlässigen, weil P ρ bzw. cs 1 gilt.
• Materiedominierte Epoche (z < zeq ): Für ein flaches, materiedominiertes Universum (H = 2/3t,
ρ = (6πGt2 )−1 ) lautet Gl. (10.13):
δ̈ +
4
2
δ̇ − 2 δ = 0
3t
3t
(k kJ )
(10.16)
Gl. (10.16) hat eine wachsende und eine abfallende Lösung:
δ+ (t)
t
t0
2/3
t
t0
−1
= δ+ (t0 )
∼ a(t)
δ− (t)
= δ− (t0 )
(10.17)
10
193
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
wobei t0 eine (vorläufig beliebige) Anfangszeit ist. Zu späten Zeiten ist nur die wachsende Mode
wichtig.
Wir sehen hier den wesentlichen Unterschied zur Jeans-Instabilität im statischen Hintergrund:
Die Expansion des Hintergrunds schwächt die Instabilität ab und führt zu algebraischem Anwachsen
anstelle des exponentiellen Wachstums.
• Strahlungsdominierte
Epoche (z > zeq ): Betrachten wir den Fall mehrerer Komponenten ρj , so dass
P
ρ = ρj . Dann wird die Evolutionsgleichung für eine nichtrelativistische Komponente i zu
δ̈i + 2H δ̇i +
X ρj c2s,i k 2
δ
−
4πGρ
δj = 0
i
a2
ρ
j
(10.18)
Nehmen wir jetzt an, i stünde für die nichtrelativistische (= kalte) dunkle Materie während der strahlungsdominierten Phase (also ρi ρ und H = 1/2t). Für Jeans-instabile Moden (k kJ ) folgt aus
Gl. (10.18), wenn die Stahlung homogen ist (δγ = 0):
δ̈i +
1
δ̇i = 0
t
(10.19)
Man sieht sofort, dass nur Störungen mit δ̇i (t0 ) =
6 0 wachsen können, und selbst diese nur logarithmisch:
t
δi (t) = δi (t0 ) 1 + a ln
(10.20)
t0
Das Ergebnis ist also, dass
Dichtestörungen auf Sub-Horizontskalen in der strahlungsdominierten Phase des frühen Universums
nicht anwachsen.
Der Grund liegt – im Gegensatz zum Fall der baryonischen Störungen vor der Rekombination – in der
Expansion des Hintergrunds, die in der strahlungsdominierten Phase zu schnell ist, um das Anwachsen
der Störungen innerhalb des Horizonts zu erlauben.
Störungen außerhalb des Horizonts:
Hierfür benötigen wir die relativistische Störungstheorie, die unseren Rahmen deutlich sprengen würde.
Aber ihre (für unsere Zwecke) wichtigsten Ergebnisse lassen sich recht schnell zusammenfassen.
Man kann eine Größe φk definieren, die sich genau wie die Potentialstörung in Gl. (10.10) und Gl. (10.12)
verhält und folgendes zeigen:
φk ist außerhalb des Horizonts nur eine Funktion von w, d.h. es ist konstant in Phasen mit konstanter
Zustandsgleichung.
(Das gleiche gilt übrigens für φk innerhalb des Horizonts in der materiedominierten Phase, wie Sie selbst
überprüfen können. Davon haben wir schon in Kap. (1.2.1) Gebrauch gemacht!)
Aus Gl. (10.10) findet man durch Einsetzen von ρ(a) für die jeweilige Epoche:
δksuperhorizon ∝
für Störungen außerhalb des Horizonts.
a2
a
(strahlungsdominierte Phase)
(materiedominierte Phase)
(10.21)
10
194
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
10.1.3
Die Transferfunktion
Für den Vergleich von Theorie und Beobachtung brauchen wir eine Vorhersage für die Abhängigkeit der heutigen
(z = 0) Störungsamplituden von ihrer typischen Ausdehnung bzw. von k.
Man definiert eine Abbildung der Störungsamplitude bei beliebigen z auf δ(z = 0), die sog. (lineare) Transferfunktion Tk :
δk (z = 0) ≡ Tk δk (z)D(z)
(10.22)
D(z) ist der lineare Wachstumsfaktor, den man aus Gl. (10.17), Gl. (10.20) und Gl. (10.21) erhält. Er ist unabhängig von k
er beeinflusst nur die Höhe, nicht die Form des Spektrums.
Man sieht sofort, dass der Übergang von Strahlungs- zu Materiedominanz bei z = zeq eine besondere Skala auszeichnet: alle Störungen, die vorher in den Horizont eintraten, wurden bis zu diesem Zeitpunkt an ihrem weiteren
Wachstum gehindert, während diejenigen außerhalb des Horizonts weiterwuchsen. Die entsprechende (inverse)
Längenskala ist
keq ≡ aeq Heq ≈ 14h−2 Mpc−1
(10.23)
Daran lässt sich das grobe Verhalten von Tk erkennen:
• Störungen, die nach dem Strahlungs-Materie-Übergang in den Horizont eintraten, d.h. solche mit k < keq
(große Skalen), wuchsen inner- und außerhalb des Horizonts gleich schnell (∼ a, Gl. (10.17) und Gl. (10.21))
Tk = 1.
• Störungen, die vor dem Strahlungs-Materie-Übergang in den Horizont eintraten, d.h. solche mit k > keq
(kleine Skalen), konnten nicht wachsen (δk = const) und fielen um den Faktor k −2 (Gl. (10.12)) hinter den
anderen zurück.
Gl. (10.20) erlaubt eine etwas genauere Aussage, derzufolge die Transferfunktion noch eine logarithmische Korrektur erhält, T (k) ∝ k −2 ln k.
Eine genaue Berechnung der Transferfunktion auf allen Skalen erfordert die Berücksichtigung des Druckgradienten und der nichtidealen Flüssigkeitseffekte (Freestreaming der dunklen Materie und Neutrinos, Photonen- und
damit vebundene Baryonendiffusion,). Das macht man meistens numerisch oder mit Hilfe von Parametrisierungen.
Für unsere Zwecke reicht die folgende Zusammenfassung:
• Für kalte dunkle Materie (CDM) gilt:
T (k) = 1
2
keq
T (k) ≈
k
,
k < keq
,
k > keq
(10.24)
Der Übergang ist fließend.
• Früher wurde auch heiße dunkle Materie (HDM), z.B. aus massiven Neutrinos, diskutiert. Da Neutrinos in
diesem Fall vor dem Strahlungs-Materie-Übergang noch relativistisch wären, würden sie durch Freestreaming alle Störungen auswaschen (T (k > keq ) ∼ exp(−k)). Das ist heute durch Beobachtungen praktisch
ausgeschlossen.
• Der Vollständigkeit halber: es gibt noch gemischte Modelle, die mehr als eine Sorte dunkler Materie (CHDM,
“Cold-Hot-Dark-Matter”) oder warme dunkle Materie mit m ∼ 1 keV (so dass Skalen unterhalb ∼ 1 Mpc
relativistisch in den Horizont eintraten) postulieren. Sie sind weder nötig noch attraktiv, aber deshalb nicht
unbedingt falsch.
10
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
10.2
Vergleich mit Beobachtungen
10.2.1
Das Materie-Leistungsspektrum
195
Jetzt sind wir schon fast in der Lage, die lineare Theorie mit Beobachtungen zu vergleichen. Dabei ist zu beachten,
dass Beobachtungen (z.B. durch Galaxiensurveys) nur statistische Aussagen machen können, also z.B. über δk2 .
Den mathematischen Formalismus hierfür werden wir überspringen und einfach per Dekret das Leistungsspektrum
der Dichtestörungen,
Pδ (k) ∝ δk2 ,
(10.25)
einführen.
Das Leistungsspektrum ist über eine Fouriertransformation mit der Zweipunkt-Korrelationsfunktion verknüpft,
welche mit Hilfe von großen Galaxiensurveys (z.B. 2dFGRS, SDSS) bestimmt werden kann (das ist leichter gesagt
als getan, muss hier aber reichen).
Abbildung 135:
Das Spektrum des
Materie-Dichtekontrasts Pδ (k) , theoretisch (für das ΛCDM-Modell mit Ωm =
0.28, ΩΛ = 0.72, h = 0.72) und beobachtet.
Uns interessiert an dieser Stelle nur die k-Abhängigkeit von Pδ , nicht die absolute Amplitude. Dafür genügt es,
die Potenzen von k zu zählen:
Pδ (k, z = 0) ∝ Tk2 δk2 (z → ∞)
k4 2
∝ Tk2
φk (z → ∞)
(10.26)
4
(aH)
Die Anfangsbedingungen für
φk liefert die Inflation (Kap. (9.4.3)): φ2k (z → ∞) ∝ k −3 , damit die Störungsamplitude pro Dekade (∝ k 3 φ2k ) skaleninvariant ist. Zur Erinnerung: seit ihrer Entstehung befanden sich diese
Störungen außerhalb des Horizonts
φk = const.
Damit liefert Gl. (10.26):
k
k < keq
Pδ (k) ∝
(10.27)
k −3
k > keq
Abb. (135) zeigt die gemessenen Daten und die vollständige theoretische Vorhersage (inkl. Normierung und detaillierter Transferfunktion) für Pδ (k).
10
196
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Abbildung 136: Illustration der physikalischen
Ursachen
für
CMBRTemperaturanisotropien.
Neben
den
im Text beschriebenen Effekten treten
weitere Störungen durch zeitabhängige
Potentiale
(Rees-Sciama-Effekt)
und
Streuung an heißen Elektronen (SunyaevZel’dovich-Effekt) entlang der Sichtlinie
auf.
10.2.2
Anisotropien in der Hintergrundstrahlung
Die gleichen Störungen, die später zu Galaxien und Galaxienhaufen anwachsen, spiegeln sich in kleinen Temperaturanisotropien in der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung (CMBR) wieder. Da sich Photonen seit
der Rekombination bei z = zrek praktisch frei bewegen, lässt sich das Problem auf Störungen auf der letzten
Streufläche, Gl. (9.106), reduzieren.
Folgende Effekte tragen zur Entstehung von Temperaturstörungen bei, vgl. Abb. (136):
Sachs-Wolfe-Effekt:
Dieser Effekt dominiert auf sehr großen Skalen, genauer gesagt für Winkeldurchmesser θ & θrek (Gl. (9.71)).
Er beruht auf Gravitationseffekten durch Potentialstörungen auf der letzten Streufläche:
1. Die Photonen verlieren Energie, wenn sie eine Potentialstörung verlassen, und werden daduch gekühlt.
Diese sog. Gravitationsrotverschiebung hat die Amplitude δT /T = φ/c2 = φ.
2. Die Potentialstörungen verursachen eine relativistische Zeitdilatation, so dass wir an diesen Stellen auf
eine frühere und damit heißere Phase des Universums blicken. Da δt/t = φ und T ∝ 1/a ∝ t−2/3 ,
liefert dieser Effekt einen entgegengerichteten Term der Größe δT /T = −(2/3)φ.
Insgesamt erhalten wir für den Sachs-Wolfe-Effekt:
δT 1
= φ
T SW
3
(10.28)
Dopplereffekt:
Ein weiterer Beitrag wird durch die Streuung der Photonen an Plasma mit der Pekuliargeschwindigkeit δv
produziert. Ist r der Einheitsvektor in Sichtrichtung, lautet dieser Term:
δT δv · r
=
= δv · r
T doppler
c
(10.29)
Der Dopplereffekt wird ungefähr bei θ ' θrek wichtig und führt zu einem Anwachsen des Leistungsspektrums der Temperaturanisotropien bei der entsprechenden Wellenzahl. Sofort anschließend wird er auf kleinen Skalen (größeren Wellenzahlen) von adiabatischen Effekten dominiert.
10
197
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
Adiabatische Effekte:
Im Prinzip sollten Störungen in der Photonen-Anzahldichte, nγ ∝ T 3 zu Temperaturstörungen der Größe
δT
δnγ
1
=
= δ
T
3nγ
3
(10.30)
Da die letzte Streufläche durch eine konstante Temperatur, nämlich diejenige der Wasserstoffrekombination,
definiert ist, erscheint das Auftreten von Temperaturstörungen durch lokale Dichteschwankungen eigentlich
paradox. Dass sie dennoch erscheinen, liegt daran, dass dichtere (heißere) Regionen später rekombinieren
sie sind weniger rotverschoben
sie erscheinen heißer.
Aus T ∝ a−1 folgt
δT
T
δa
a
δnγ
3nγ
= −
=
(10.31)
wegen nγ ∝ a−3 .
In linearer Ordnung ist der adiabatische Beitrag also identisch mit der naiven Abschätzung weiter oben:
δT 1
= δ
T ad
3
(10.32)
Skalen mit Winkeldurchmesser θ . θrek befanden sich zur Zeit der Rekombination innerhalb des Horizonts
waren in kausalem Kontakt. Hier müssen weitere Effekte berücksichtigt werden:
sie
1. Störungen in der Strahlungsflüssigkeit sind durch Photonendiffusion gegenüber denjenigen der Baryonen
gedämpft (Silk-Dämpfung).
2. CDM-Störungen wachsen nach zeq an, während baryonische Störungen noch bis zrek an den Strahlungsdruck gekoppelt sind und deshalb um den Faktor ∼ (1 + zeq )/(1 + zrek ) ∼ 10 unterdrückt sind. In dieser
Phase oszilliert das gekoppelte Baryonen-Photonengas gemäß Gl. (10.15) als Schallwellen
man sieht akustische Oszillationen im CMBR-Spektrum.
Die Kombination verschiedener Effekte auf Skalen . θrek ist zu kompliziert, um mit analytischen Methoden
berechnet werden zu können. Man behilft sich mit numerischen Lösungen der Boltzmann-Gleichung für den Photonentransport, z.B. mit dem Standardprogramm CMBFAST.
Qualitativ sind CMBR-Spektren gekennzeichnet durch:
• Ein nahezu flaches Sachs-Wolfe-Plateau auf sehr großen Skalen.
• Ein Anwachsen bei der Multipolzahl (entspricht k bei Kugelflächenfunktionen) l ' 100 wenn Doppler- und
adiabatische Prozesse wichtig werden.
Dies geschieht bei θ ' θrek , welches nach Gl. (9.71) primär von Ω0 abhängt
Die Lage des ersten Doppler- (oder akustischen) Maximums ist ein gutes Maß für die räumliche Krümmung
des Universums.
Wie in Kap. (9.2.4) erwähnt wurde, sind die aktuellen Ergebnisse konsistent mit einem flachen Universum,
Ω0 = 1.
10
INHOMOGENE KOSMOLOGIE
198
Abbildung 137: WMAP-Leistungsspektrum
der CMB-Anisotropien. Die durchgezogene Linie zeigt das Best-Fit-Universum mit
ΩΛ = 0.73 ± 0.04, Ωb = 0.044 ± 0.004
(konsistent mit der primordialen Nukleosynthese) und Ωm = 0.27 ± 0.04 (konsistent mit Galaxiensurveys) (Tegmark et al.
2004).
• Eine Reihe von Oszillationen bei größeren l (kleine θ), deren Amplitude auf kleineren Skalen zunehmend
stärker durch die endliche Breite der letzten Streufläche σz (Gl. (9.106)) gedämpft werden.
Die Lage und relative Höhe der akustischen Peaks hängt im Prinzip von allen wesentlichen kosmologischen Parametern ab. Dies ist der Grund für den gewaltigen Aufwand, der in den vergangenen 10 Jahren (und weiter bis
zum Start des PLANCK-Satelliten der ESA ca. 2007) betrieben wurde bzw. wird, um das CMBR-Spektrum zu
vermessen.
Die Übereinstimmung dieser Messungen mit den theoretischen Voraussagen ist sicherlich einer der Höhepunkte
der modernen Kosmologie. Seit den Ergebnissen des WMAP-Satelliten (siehe Abb. (137)) ist keine theoretische
Kurve mehr nötig, um die Form des Spektrums bis zum zweiten akustischen Peak klar zu erkennen!