und Fraunhofersche Beugung am Spalt und an einer Kante.

Fresnelsche- und Fraunhofersche Beugung
am Spalt und an einer Kante.
Köln, 2005
Zusammenfassung
Interferenz oder Beugungserscheinungen treten bei allen Wellenformen auf und
sind eine grundlegende Erscheinung in der Optik. Sie sind deshalb in vielen Gebieten der Physik und der Technik von Bedeutung.
Bei Beugung unterscheidet man zwischen Fraunhoferscher und Fresnelscher Beugung. Fraunhofersche Beugung ist ein Spezialfall der Fresnelschen Beugung. Ist der
Beobachtungsschirm weit von der beugenden Öffnung entfernt, können die sphärischen
Elementarwellen auf dem Schirm durch ebene Wellen angenähert werden. Man spricht
in diesem Fall von Beugung im Fernfeld bzw. von Fraunhoferscher Beugung. Ist der
Beobachtungsschirm so nahe an der beugenden Öffnung, dass die Krümmung der Wellenfronten der Elementarwellen auf dem Schirm wenigstens näherungsweise berücksichtigt werden muss, kommt man in den Bereich der sogenannten Fresnel Beugung.
Man beobachtet Fraunhofersche Beugung, wenn sowohl der Beobachtungspunkt
als auch die Lichtquelle so weit vom Beobachtungshindernis (Spalt, Kante) entfernt
sind, dass das Quadrat der Spaltbreite gegen die Abstände Lichtquelle — Beugungshindernis und Beobachtungspunkt — Beugungshindernis vernachlässigbar klein ist. Ist
einer der beiden Abstände zu klein oder der Spalt zu breit für diese Näherung, beobachtet man Fresnelsche Beugung. Mit Fresnelscher Beugung lässt sich auch Beugung
an der Kante (ein im Prinzip unendlich großer Spalt) beschreiben. Um gute Ergebnisse
zu erhalten benötigt man eine ausgedehnte, kohärente Lichtquelle mit möglichst konstanter Intensität auf der Querschnittsfläche des Strahlenbündels. Dies wird realisiert
durch den Einsatz des Lasers.
INHALTSVERZEICHNIS
i
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
Laser
1
1.1
Aktives Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Lasermoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Optischer Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Der Helium – Neon – Laser
6
2.1
Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Das He-Ne Energieschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Schwellenbedingung für die Laseroszillation . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4
Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4.1
Resonatortypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4.2
Wellenlängen- und Modenselektion . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.3
Das Etalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Versuchsaufbau
3.1
Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2
Interferenz und Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1
4
12
Beugungsmuster an einen Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3
Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4
Befehlsübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Literatur
17
1
1
1
LASER
Laser
Das Wort LASER ist ein Akronym für Light Amplification by Stimulated Emission of
Radiation - zu deutsch „Lichtverstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung“. Das
Wort „Laser“ bezeichnet eigentlich ein Prinzip, es wird aber heute auch als Bezeichnung für
die Laserstrahlquelle benutzt. Die Hauptkomponenten eines Lasers sind das laseraktive,
lichtverstärkende Medium und in der Regel ein aus zwei Spiegeln bestehender Optischer
Resonator.
Spiegel
Spiegel
aktives Medium
Laserstrahl
Energieeinkopplung
"Pumpen"
Abbildung 1: Laser
Der erste Laser wurde 1960 von Th. Maiman realisiert. Es handelte sich um einen Blitzlampen angeregten Rubinlaser. Heute gibt es mannigfaltige technische Ausführungsformen
des Laserprinzips. Es gibt Laser mit Abmessungen im sub-mm-Bereich ebenso wie LaserSysteme, die eigene große Gebäude füllen. Die Ausgangsleistungen variieren von nW bis
TW (10−9 − 1012 W). Maiman’s Rubinlaser emittierte Licht im roten Spektralbereich bei
694 nm. Heute sind Lasermedien bekannt, die Licht mit Wellenlängen von einigen hundert
µm bis in den weichen Röntgenbereich um einige nm Wellenlänge emittieren. Wellenlänge und Ausgangsleistung des jeweiligen Lasers werden durch die Anwendung vorgegeben.
Laser werden in vielen Gebieten eingesetzt, als Beispiele seien genannt:
• Optoelektronik
CD-Spieler und CD-ROM Laufwerke (Halbleiterlaser)
Datenübertragung durch Glasfaserkabel
• Medizin
Ophtalmologie
Dermatologie
• Messtechnik
Vermessungswesen im Berg - und Tunnelbau etc.
Vermessen von Werkstückoberflächen
Analytik (z.B. mobile Umweltanalyse)
• Fertigungstechnik
Schneiden
Schweißen
Oberflächenbehandlung etc.
• Forschung
Laserfusion Diagnostik
Vermessung des Abstandes Erde Mond
1
1.1
2
LASER
Aktives Medium
Die Laserlichterzeugung findet im aktiven Medium eines Lasers statt. Energie wird in geeigneter Form von außen in das aktive Medium gepumpt und zum Teil in Strahlungsenergie
umgewandelt. Die in das aktive Medium gepumpte Energie besitzt in der Regel eine relativ
hohe Entropie, das heißt geringe Ordnung, während die resultierende Laserstrahlung einen
hohen Ordnungszustand aufweist und damit eine relativ geringe Entropie besitzt. In einem
Laser wird also hochentropische Energie in niederentropische Energie umgewandelt. Es
gibt aktive Lasermedien in allen Aggregatzuständen:
• fest (kristallin oder amorph)
• flüssig
• gasförmig bzw. Plasmazustand
Die Form der Energieeinkopplung wird wesentlich vom Aggregatzustand bestimmt. Viele gasförmige Lasermedien werden z.B. mit Hilfe einer Gasentladung angeregt. Hierbei
wird elektrische Energie auf freie Elektronen übertragen, die ihre Energie durch Stöße mit
Atomen bzw. Molekülen abgeben. Festkörper - und Flüssigkeitslaser können nur optisch
gepumpt werden, Strahlung einer gewöhnlichen Lampe oder eines anderen Lasers wird im
aktiven Medium absorbiert und die Energie bei einer längeren Wellenlänge wieder emittiert.
Energie
Anregung
Kontinuum
Strahlungsabregung
Elektronenstoß
Photoabsorption
Grundzustand
Abbildung 2: aktives Medium
Atome bzw. Moleküle liegen normalerweise im sogenannten Grundzustand vor. Der Grundzustand ist ein stabiler Zustand, Atome im Grundzustand können keine Energie abgeben.
Atome besitzen weitere Zustände, deren Energie größer als die des Grundzustandes ist und
in die die Atome durch Energiezufuhr übergehen können. Die Energie kann von anderen
Teilchen, insbesondere freien Elektronen, oder von Lichtquanten, Photonen stammen. Aus
einem angeregten Zustand können die Atome unter Energieabgabe wieder in energetisch
tiefer liegende Zustände übergehen, z.B. in den stabilen Grundzustand. Die Überschußenergie kann an ein anderes Teilchen, z.B. ein Elektron oder ein anderes Atom, oder an ein
1
3
LASER
Photon abgegeben werden, das dann emittiert wird, wobei die Energie des Photons gleich
der Energiedifferenz zwischen dem oberen und dem unteren Niveau ist. Die Strahlungsabregung kann spontan oder durch andere Photonen stimuliert erfolgen. Die stimulierte
Emission ist eine Grundvoraussetzung für Lasertätigkeit.
1.2
Inversion
Der Laserübergang findet zwischen zwei bestimmten Niveaus oder Niveaugruppen, dem
oberen (E2 ) und unteren (E1 ) Laserniveau statt. Wesentlich für das Funktionieren eines
Lasers ist, dass zwischen diesen beiden Energieniveaus ein sogenannter Inversionszustand
erreicht wird, das energetisch höher gelegene Niveau muss stärker besetzt sein als das energetisch tieferliegende Niveau.
Besetzungsdichte
Besetzungsdichte
E2
E2
E1
E1
thermische
Besetzung
Inversion
Abbildung 3: Inversion
In Systemen im thermodynamischen Gleichgewicht ist diese Bedingung nie erfüllt. Das
thermische Gleichgewicht ist gerade dadurch ausgezeichnet, dass das untere Niveau immer stärker besetzt ist als das höhere. Laser müssen also fern ab vom thermodynamischen
Gleichgewichtszustand betrieben werden. Zum Erreichen des Inversionszustandes sind immer mehr als die beiden eigentlichen Laserniveaus notwendig. So ist das untere Laserniveau in den wenigsten Fällen der Grundzustand und gepumpt wird in der Regel über
sogenannte Pumpniveaus, die energetisch über dem oberen Laserniveau liegen.
1.3
Lasermoden
Das Strahlungsfeld eines Lasers besitzt keine über den Querschnitt homogene Intensitätsverteilung. Die Intensität ist transversal zur Ausbreitungsrichtung moduliert und fällt nach
außen hin nicht abrupt, sondern stetig ab. Dies wird durch Beugung verursacht, die bei der
Lichtausbreitung immer auftritt und auf die Wellennatur des Lichtes zurückzuführen ist.
Wenn man von einer homogenen Intensitätsverteilung auf einem der Laserspiegel ausgeht,
wird bei der Ausbreitung von einem Laserspiegel zum anderen Spiegel bedingt durch Beugung die Intensitätsverteilung verändert. Nach vielen Umläufen stellt sich dann eine Intensitätsverteilung ein, die sich von Umlauf zu Umlauf reproduziert. Diese ausgezeichneten Intensitätsverteilungen sind die Eigenlösungen des Optischen Resonators. Es gibt im
Prinzip sehr viele solcher Eigenlösungen. Einer dieser Eigenlösungen kommt aber eine
besondere Bedeutung zu. Es handelt sich dabei um den sogenannten Grundmode des Optischen Resonators. In vielen Fällen kann der Grundmode in guter Näherung durch den
1
4
LASER
0
1
2
n
...
2a
L
Abbildung 4: Beugungsbilder
sogenannten Gauß’schen Strahl beschrieben werden. Beim Gauß’schen Strahl hat die radiale Intensitätsverteilung ein Gauß’förmiges Profil.
1.4
Optischer Resonator
Im einfachsten Fall kann man sich einen Resonator als allseits geschlossenen Kasten mit
hoch reflektierenden Wänden vorstellen. Da die Laserwellenlängen viel kleiner sind als
ein solcher Kasten realistischerweise sein könnte, würden viele verschiedene Moden oder
Eigenschwingungen angeregt (hier spielen technische Begrenzungen eine Rolle, aber insbesondere die Tatsache, dass für eine hinreichende Verstärkung das Lasermedium ein Mindestvolumen haben muss). Die Laserstrahlung wäre dann nicht mehr gebündelt. Um eine Vorzugsrichtung auszusondern, werden sogenannte offene Optische Resonatoren eingesetzt. Dabei werden zwei Spiegel parallel und auf eine gemeinsame optische Achse zentriert in einem Abstand angeordnet, der sehr viel größer ist als der Spiegeldurchmesser. Der
Teil der Strahlung, der nicht nahezu parallel zur optischen Achse emittiert wird, verlässt den
Optischen Resonator sehr schnell und wird nicht weiter verstärkt. Offene Optische Resonatoren wirken somit nur für die Strahlung als rückkoppelndes Element, die nahezu parallel
zur optischen Achse verläuft, es wird ein bestimmter Strahlungsmode diskriminiert, alle
anderen Moden werden unterdrückt (oder die meisten anderen). Das Strahlungsfeld eines
Lasers besitzt keine über den Querschnitt homogene Intensitätsverteilung. Die Intensität ist
transversal zur Ausbreitungsrichtung moduliert und fällt nach außen hin nicht abrupt, sondern stetig ab. Dies ist durch Beugung bedingt, ein Phänomen, dass auf die Wellennatur des
Lichtes zurückzuführen ist. Intensitätsverteilungen, die sich nach einem Umlauf durch den
Resonator reproduzieren, nennt man Eigenlösungen oder Eigenmoden des Optischen Resonators. Näherungsweise können diese Eigenmoden in kartesischen Koordinaten durch die
Gauß-Hermite’schen Funktionen bzw. in Zylinderkoordinaten durch Gauß-Laguerre’sche
Funktionen beschrieben werden. Im allgemeinen müssen zur Berechnung von Laserstrahlungsmoden aber numerische Methoden eingesetzt werden.
Die Strahlung eines Lasers wird innerhalb des optischen Resonators hin - und her reflektiert. Dabei überlagern sich Teilwellen vieler Umläufe. Wenn die Wellenlänge des Strahlungsfeldes ein Vielfaches des doppelten Spiegelabstandes beträgt, überlagern sich die Teilwellen konstruktiv, andernfalls destruktiv. Dies führt zu einer Wellenlängenselektion, der
Laserresonator schränkt somit nicht nur die mögliche Ausbreitungsrichtung, sondern auch
1
LASER
5
die Frequenz des Laserlichtes ein. Zusätzlich zu diesem frequenzbegrenzenden Effekt des
Resonators sorgt die nichtlineare Wechselwirkung des Laserstrahlungsfeldes mit dem aktiven Medium für eine weitere Verringerung der Bandbreite. In hochstabilen Lasern können
Bandbreiten von unter 1 Hz erreicht werden (bei einer Mittenfrequenz von etwa 5·1014 Hz).
2
2
DER HELIUM – NEON – LASER
6
Der Helium – Neon – Laser
Der im Versuch verwendete Helium-Neon-Laser ist ein Gaslaser. In Gaslasern wird die
optische Verstärkung durch eine Gasentladung in Gasen bzw. Gasgemischen erzeugt.
2.1
Allgemeine Grundlagen
Abbildung 5: Laser
Wie oben erwähnt besteht ein Laser aus einem geeignetem Medium (z.B.Rubinkristall,
CO2 , He-Ne Gemisch). Dieses Medium wird zwischen zwei sich gegenüberstehenden
Spiegeln platziert. Durch spontane Emission wird ein Photon in Richtung auf einen Spiegel entsandt. Von dort wird es zurückreflektiert und löst durch induzierte Emission weitere
Photonen aus, die nach Reflexion an den Spiegeln, in das Medium zurückkehren und weitere Photonen induzieren. Dieser Prozess schaukelt sich lawinenartig auf. Die Reflektivität
eines der Spiegel (Auskoppelspiegel) ist etwas verringert, dort tritt ein Bruchteil des Lichts
aus und bildet den externen Laserstrahl.
2.2
Das He-Ne Energieschema
Der He-Ne Laser war der erste kontinuierlich arbeitende Laser. Einer der Gründe dafür war,
dass das He-Ne Energieschema durch spektroskopische Untersuchungen gut bekannt war.
Im Bild 6 sind nur die Niveaus eingezeichnet die für die Anregungs- und Laserprozesse bei
der Wellenlänge von 632 nm von Bedeutung sind. Die Zustände 2 1 S1 und 2 1 S0 des Heliums sind metastabil, optische Übergänge in den Grundzustand sind also nicht möglich.
Die s Zustände des Heliums werden durch Elektronenstöße erreicht. Der 2 1 S0 Zustand
liegt etwas unter dem Niveau des 3s Neonniveau, die thermische Energie reicht allerdings
aus, um die Lücke zu überwinden. Neben den Elektronenstößen gibt es noch die Atomstöße: Ein angeregtes Heliumatom gelangt in den Grundzustand, weil es seine Energie zur
Anregung eines Neonatoms abgibt. Beide Prozesse bilden die Grundlage für die Erzeugung der Besetzungsinversion im Ne-System. Die Lebensdauer der s Zustände des Neons
ist etwa 10 mal höher als die der p Zustände. Das 2s Niveau entleert sich durch spontane
Emission in den 1s Zustand. Da der optische Übergang in den tieferen Zustand „verboten“
ist, erfolgt die Abregung der Neonatome durch Stöße mit der Kapillarwand. Neon besitzt
eine Vielzahl derartiger Übergänge, optische Übergänge erfolgen allerdings nur von dem
3s2 → 2pi . Übergänge im Infrarotbereich erfolgen von 2si → 2pi .
2.3
Schwellenbedingung für die Laseroszillation
Der Laser schwingt, wenn die Verstärkung des Lichtfeldes durch induzierte Emission stärker ist als die Verluste im Resonator. Durchläuft eine Lichtwelle das Lasermedium, so
2
7
DER HELIUM – NEON – LASER
+
He
19
18
+
Ne
Energy, in 10.000 cm -1 units
17
16
2
1
2p5
3S
S
2 3S
collision
infrared laser
2S
2p5 4s
15
infrared
laser 1:15m
14
red laser
3:39m
0:6328m
2p
2p5 3p
1S
2p5 3s
13
diffussion to walls
12
e impat
11
1 1S
2p6
Helium
Neon
Abbildung 6: He–Ne Energieschema
ändert sich ihre Intensität I auf der Strecke dz um
dI = α I dz
(1)
Also ist
I(z) = I0 e−αz
Die Proportionalitätskonstante α bezeichnet man als Absorptionskoeffizient des Mediums.
Die Absorption sei bedingt durch optische Übergänge zwischen zwei Niveaus 1 und 2. Es
gilt
I = u(ν) c0
Daraus folgt
dI
dI dt
1 dI
1 du(ν)
=
= 0
= 0 c0
dz
dt dz
c dt
c
dt
Andererseits gilt aber:
du
dN1
dN2
= hν
− hν
dt
dt
dt
Da nun dN1 /dt = −B12 N1 n(ν) und dN2 /dt = −B21 N2 n(ν) gilt, folgt:
du
= hνB21 (N2 − N1 ) u(ν)
dt
Setzt man dies in Gleichung (2) ein und ersetzt u(ν) durch I/c0 ergibt dies
dI
hν
= 0 B21 (N2 − N1 ) I(z)
dz
c
(2)
2
8
DER HELIUM – NEON – LASER
Ein Vergleich mit (1) zeigt:
α=−
hν
B21 (N2 − N1 )
c0
Setzt man g(ν) als die normierte Intensitätsverteilung, erhält man:
α(ν) = −
h(ν)
B21 (N2 − N1 )g(ν)
c0
Die Lichtintensität im Resonator nimmt durch Beugung und Durchtritt durch die Spiegel
4
um den Faktor δ = R1 R2 βlm
ab. Dabei ist β der Faktor mit dem sich die Amplitude
des Lichts beim einmaligen Durchgang durch den Resonator ändert und Ri bezeichnet das
Reflexionsvermögens des Spiegels.
Damit der Laser schwingt, müssen die Verluste kleiner sein als die Verstärkung durch das
Lasermedium. Die Laserwirkung setzt ein, wenn die Größe der Inversion N2 − N1 einen
kritischen Wert, den Schwellwert
(N2 − N1 ) = −In
4
(R1 R2 βlm
)
2hν
B
g(ν)
d0
21
c0
überschreitet (d0 : Länge der Kapillare).
2.4
Resonatoren
Resonatoren haben den Zweck, das Licht in einem oder wenigen Moden zu konzentrieren,
damit die Strahlungsdichte darin so groß wird, dass die induzierte Emission gegenüber der
spontanen Emission überwiegt.
2.4.1
Resonatortypen
Man unterteilt die am häufigsten verwendeten Resonatortypen in fünf Klassen:
1. Resonatoren mit planparallelen Spiegeln
Dieser Resonator besteht aus zwei parallelen geraden Spiegeln, die sich gegenüber
stehen. Die Distanz L zwischen den Spiegeln sollte ein Vielfaches k der halben Wellenlänge betragen, damit sich stehende Wellenzüge bilden. Die Resonanzfrequenzen
c
kc
. Der Abstand 2L
zwischen zwei Resonanzfrequenzen wird
ergeben sich zu ν = 2L
Frequenzabstand genannt. Unterschiedliche Resonanzfrequenzen bezeichnet man als
longitudinale Moden.
2. Resonatoren mit konzentrischen sphärischen Spiegeln bestehen aus zwei sphärischen
Spiegeln mit identischem Krümmungsradius R im Abstand 2R.
Abbildung 7: Konzentrische Spiegel
Die Krümmungsmittelpunkte stimmen also überein. Die Resonanzfrequenzen entsprechen denen im Fall der planparallelen Spiegel.
2
DER HELIUM – NEON – LASER
9
Abbildung 8: Konfokale Spiegel
3. Resonatoren mit konfokalen Spiegeln
In diesem Fall werden zwei sphärische Spiegel mit Radius R so angeordnet, dass ihre Brennpunkte zusammenfallen. Die Resonanzfrequenzen sind durch geometrischoptische Betrachtungen nicht zu berechnen. Praktisch ist dieser Resonator allerdings
leichter einzustellen als der planparallele, da auch nicht zur optischen Achse parallele
Strahlen verstärkt werden.
4. Allgemeiner Hohlspiegel-Resonator
Abbildung 9: Allgemeine Hohlspiegel-Anordnung
Hier befinden sich zwei Spiegel identischen Krümmungsradius in einem Abstand
zueinander, der zwischen Fällen zwei und drei liegt.
5. Kreislaufresonatoren
Abbildung 10: Spiegel in Kreislauf-Anordnung
Mehrere nicht-parallel angeordnete Spiegel leiten den Lichtstrahl entlang eines geschlossenen Weges der Länge L. Die Resonanzbedingung ist dann ν = kc
L . Der
Vorteil ist die größere räumliche Ausdehnung der Cavity.
Für Laser mit hoher Leistung (mehr als 2 kW) möchte man zu häufige Oszillationen zwischen den Spiegeln vermeiden, um diese nicht zu beschädigen. Zu diesem Zweck baut
man instabile Resonatoren. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass der oszillierende Strahl
schräg zur optischen Achse aus der Cavity geführt wird. Die Intensitätsverteilung im LaserQuerschnitt ist dann ein Ring. Dieser ist schwierig zu fokussieren.
2
10
DER HELIUM – NEON – LASER
Abbildung 11: Schema des instabilen Resonators
2.4.2
Wellenlängen- und Modenselektion
In der Praxis ist es von Bedeutung, bestimmte Moden des Lasers zu selektieren. Man unterscheidet zwischen longitudinalen und transversalen Moden:
Eine ebene Welle läuft zwischen zwei Spiegeln hin und her. Die Wellenzüge überlagern
sich zu stehenden Wellen:
λ
L=q·
2
Die verschiedenen q zugeordneten stehenden Wellen bezeichnet man als longitudinale
Grundmoden TEM00q — der dritte Index wird meist ignoriert — und dementsprechend q
als longitudinale Modenzahl. der Frequenzabstand zwischen zwei Moden ist ∆νq = c0 /2L.
Transversale Moden TEMplq zeichnen sich neben einer hohen Frequenz auch durch einen
hohen Feldquerschnitt aus. Die macht es einfach, transversale Mode zu selektieren. Dies
kann z.B. durch den Einsatz einer Lochblende an geeigneter Stelle geschehen. Longitudinale Modenselektion ist etwas aufwendiger. Wenn man Lasertätigkeit in einer transversalen
Mode erreicht hat, kann der Laser immer noch auf verschiedenen longitudinalen Moden
oszillieren. Zur long. Modenselektion gibt es zwei Möglichkeiten: entweder erreicht man,
dass der Modenabstand größer wird als die Halbwertsbreite der Verstärkungsfunktion, oder
die Verluste der anderen Moden müssen so weit erhöht werden, dass nur noch eine Mode
oszilliert. In der Praxis gibt es verschiedene Möglichkeiten, longitudinale Moden zu selektieren, häufig benutzt man das Etalon.
2.4.3
Das Etalon
Ein Etalon ist eine planparallele Platte aus durchsichtigem Material, z.B. Quarzglas, mit
einer verspiegelten Oberfläche. Ein solches Etalon weist frequenzabhängige, periodische
Transmissionsmaxima, bzw. Verlustminima auf.
Etalon
Lasermedium
Abbildung 12: Etalon
2
11
DER HELIUM – NEON – LASER
Der Frequenzabstand ∆νmax benachbarter Transmissionsmaxima ist gegeben durch:
∆νmax =
c
2d(n2 − sin2 Θ)1/2
c : Lichtgeschwindigkeit, d : Dicke, n : Brechungsindex, Θ Neigungswinkel der Normalen
gegenüber der Resonatorachse
Durch den Winkel Θ erreicht man nun, dass die Frequenz νmax bzw. die Wellenlänge λmax
eines Transmissionsmaximums mit der der Resonatormode zusammenfällt:
λmax =
2d 2
2L
(n − sin2 Θ)1/2 =
m
q
Dadurch ist es möglich, Moden, die eigentlich aufgrund der Schwellwertbedingung oszillieren könnten, höhere Verluste entgegenzubringen und sie damit zu unterdrücken.
3
3
12
VERSUCHSAUFBAU
Versuchsaufbau
LASER
Detektor
Raumfilter
Optik
Kante oder
Spalt
Bewegung
des Detektors
Abbildung 13: Fernrohr
Der Laserstrahl wird mit Hilfe einer Optik aufgeweitet. Diese besteht aus einem Raumfilter
und einer Konvexlinse, in deren einem Brennpunkt sich der Raumfilter befindet.
Abbildung 14: Fernrohr
Die Optik des Fernrohrs mit Raumfilter ist vorjustiert und sollte daher nicht verändert werden.
Somit ist der aufgeweitete Laserstrahl nach dem Passieren der Konvexlinse wieder parallel
und kann nun auf die Kante oder den Spalt treffen. Die dahinter entstandene Beugungserscheinung wird mit Hilfe des Detektors, entlang einer Geraden, abgefahren.
Der Detektor, bestehend aus einer Fotodiode und einem Vorverstärker, kann innerhalb einer gewissen Messstrecke, mit einem Schrittmotor, hin und her bewegt werden. Die vom
Detektor gemessenen Intensitäten werden, nachdem sie verstärkt worden sind, mit Hilfe
einer AD-Karte in Binärwerte umgewandelt und mit dem PC aufgenommen.
3.1
Kohärenz
Beleuchtet man eine Tischplatte nacheinander mit zwei Glühlampen, so erzeugen sie an
einer beliebigen Stelle der Tischplatte die Strahlungs-Intensität I1 und I2 . Wird nun die
Tischplatte gleichzeitig beleuchtet, so addieren sich die Intensitäten I1+2 = I1 + I2 . Die
Addition der Intensitäten ist charakteristisch für Inkohärenz. Anders ist es bei monochromatischem Licht.
3
13
VERSUCHSAUFBAU
Überlagern sich zwei eben Wellen, die in die gleiche Richtung laufen, die gleiche Schwingungsrichtung und Frequenz haben, so ist die resultierende Feldstärke gleich der Summe
der Einzelfeldstärken:
Eres = E1m cos(ω t − k z1 ) + E2m cos(ω t − k z2 )
E1m , E2m sind die Amplituden der beiden Teilwellen. Es gilt ω = 2π f und k = 2π/λ.
Zur Berechnung der Intensität wird zunächst quadriert und Additionstheoreme angewandt.
Ziel ist, die Summationen in den Argumenten zu entfernen, um zeitliche Mittelung zu ermöglichen.
2
Eres
2
= E1m
(cos2 kz1 cos2 ωt + sin2 kz1 sin2 ωt + 2 cos kz1 sin kz1 cos ωt sin ωt)
2
+E2m
(cos2 kz2 cos2 ωt + sin2 kz2 sin2 ωt + 2 cos kz2 sin kz1 cos ωt sin ωt)
+E1m E2m cos ωt sin ωt (cos kz1 sin kz2 + cos kz2 sin kz1 )
+E1m E2m cos2 ωt sin kz1 sin kz2 + sin2 ωt cos kz1 cos kz2
RT
Es gilt bekanntermaßen hcos2 i = T1 0 cos2 tdt = 12 , und genauso für den Sinus. Außerdem verschwindet der zeitliche Mittelwert von cos sin wegen Symmetrie. Mit Hilfe eines
weiteren Additionstheorems ergibt sich dann:
Ires =
p
1
(I1 + I2 ) + I1 · I2 cos(k(z1 − z2 ))
2
Dabei wird noch benutzt, dass h̄cos2 (ω t − k z) = 1/2 ist. I1 , I2 sind die Intensitäten der
beiden Teilwellen. Die resultierende Intensität beider Wellen hängt empfindlich von dem
Gangunterschied ∆ = z2 − z1 bzw. der Phasendifferenz
δφ =
2π
· (z2 − z1 )
λ
der beiden Wellen ab.
Beträgt in einem Raumpunkt der Gangunterschied zwischen zwei Wellen ein ganzzahliges
Vielfaches ihrer Wellenlänge, tritt konstruktive Interferenz auf und die Intensitäten der resultierenden Welle wird maximal. Ist der Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches
der halben Wellenlänge, interferieren sie destruktiv und schwächen bzw. löschen sich aus.
Diese Interferenzfähigkeit des Lichtes bezeichnet man als Kohärenz.
Die Interferenzfähigkeit hängt von den spektralen Eigenschaften (schmales oder breites
Spektrum) und der räumlichen Ausdehnung der Lichtquelle ab. Die spektralen Eigenschaften kann man der sogenannten zeitlichen Kohärenz, die Ausdehnung der Lichtquelle der
räumlichen Kohärenz zuordnen. Die zeitliche Kohärenz kann man z.B. durch ein Michelson Interferometer bestimmen. Ein Maß für die zeitliche Kohärenz elektromagnetischer
Wellen ist die Kohärenzlänge lc , definiert als maximaler Gangunterschied. Daraus ergibt
sich die Kohärenzzeit
lc
τc =
c
c = Lichtgeschwindigkeit.
Die Kohärenzlänge ist der maximale Abstand längs der Ausbreitungsrichtung eines Lichtstrahls, bei dem die Phasen der Wellen des Lichtbündels noch korreliert sind.
Die Kohärenzzeit hängt mit einer wichtigen Eigenschaft des Lichtes nämlich seiner spektralen Bandbreite zusammen. Je größer die Frequenz- bzw. die Wellenlängenbreite (Bandbreite) des Spektrums einer Lichtquelle ist, desto kleiner ist die Kohärenzzeit (mittlere
Dauer der emittierten Wellenzüge).
3
14
VERSUCHSAUFBAU
Ist ∆ f die Frequenzbreite des Spektrums, so gilt:
∆f ∼
1
c
=
τc
lc
Die zeitliche Kohärenz ist also ein Maß für die spektrale Reinheit der elektromagnetischen
Strahlung.
Aus der letzten Gleichung wird deutlich, dass ideal monochromatisches Licht (∆ f = 0)
aus unendlich langen Wellenzügen bestehen muss.
Überblick über verschiedene Spektrallampen im Vergleich zum He-Ne-Laser.
Niederdruck
Spektrallampen
Ne
Cd
Kr
He-Ne-Laser
λ = c/f
[ nm ]
623.8
643.8
605.78
632.8
lc
[m]
3 · 10−2
3 · 10−1
1 · 102
5 · 103
τc
[s]
1 · 10−10
1 · 10−9
3 · 10−2
1, 6 · 10−5
∆ f /f
3, 4 · 10−6
3, 4 · 10−7
1, 1 · 10−9
2, 1 · 10−11
Die angegebenen Werte sind statistische Mittelwerte. Praktisch verkürzen sich diese Längen auf ein Bruchteil der angegebenen Werte. Auftreten von stimulierter Emission erklärt
die hohe Kohärenzlänge des Lasers.
Das Beugungsbild eines Spalts der Breite d hat sein erstes Intensitätsminimum bei einem
Winkel α, der gegeben ist durch d sin α = λ (Vergleiche 3.2.1). Eine ausgedehnte Lichtquelle erzeugt bei entsprechender Form das gleiche Beugungsbild wie ein Spalt. Zur Beobachtung von Interferenzeffekten müssen wir uns auf das Innere des Hauptmaximums
des Beugungsbildes der Lichtquelle beschränken. Dies gelingt bestimmt, wenn unser Versuchsaufbau d sin α < λ2 erfüllt. Diese Bedingung heißt „räumliche Kohärenzbedingung“.
Für kreisförmige Lichtquellen gilt prinzipiell die gleiche Argumentation. Der veränderten
Geometrie wird Rechnung getragen, indem ein Faktor 1.22 in die Formel für das erste Interferenzminimum eingefügt wird: d sin α = 1.22λ. Für die räumliche Kohärenzbedingung
spielt das aber keine Rolle.
3.2
Interferenz und Beugung
Anders als bei Teilchenstrahlen treten bei Wellen Interferenz und Beugung auf. Die Interferenz ist die Überlagerung zweier oder mehrerer kohärenter Wellen, die an einem Raumpunkt zusammentreffen. Unter Beugung versteht man die Abweichung der Wellenausbreitung von der geometrischen Strahlrichtung an einem Hindernis oder einer Öffnung im
Strahlengang. Der Beobachter misst an einem bestimmten Ort das Feld der Welle, das
durch die Superposition der einfallenden Welle mit anderen Feldern entsteht. Wobei diese
Überlagerung den Maxwellschen Gleichungen mit den für das Hindernis entsprechenden
Randbedingungen genügen muss (Mie Streuung). Unglücklicherweise ist die Klasse der
analytisch auf diese weise lösbaren Probleme zu klein. Leichter läßt sich das resultierende Beugungsmuster aus den Huygensschen Prinzip berechnen, womit die meisten Beugungsphänomene ausreichend beschrieben werden können.
Beugung und Interferenz lassen sich manchmal nicht klar unterscheiden, sie können nicht
klar voneinander getrennt werden. Interferenz kann mit Hilfe einer Fourierreihe beschrieben werden, Beugung durch eine Fouriertransformation. Nun ist aber die Fourierreihe ein
Spezialfall der Fouriertransformierten, in gleicher Weise können Interferenzerscheinungen
mit Hilfe der Beugungungstheorie erklärt werden.
3
15
VERSUCHSAUFBAU
3.2.1
Beugungsmuster an einen Einzelspalt
Der Einzelspalt läßt sich behandeln wie ein unendlich dichtes Gitter. Eine recht einfache
Methode die Spaltbreite zu bestimmen zeigt die folgende Abbildung:
α
α
d
α
b
Α
∆x
Abbildung 15: Spalt 1
Abbildung 16: Spalt 2
Zunächst bestimmt man den Abstand b zwischen den ersten beiden Beugungsmaxima. Aus
Abb. 16 wird ersichtlich, dass folgende Beziehung gilt:
tan(α) =
b/2
A
Aus Abb. 15 folgt
∆x = d · sin(α).
Nun verlangen wir, dass die Wellen konstruktiv interferieren. Das heißt sie haben einen
Gangunterschied von n λ. Also
nλ
sin(α) =
.
d
Da tan(α) = sin(α)/ cos(α) ist die Spaltbreite gegeben durch
d=
2 A nλ
.
b cos(α)
Ist der Winkel α sehr klein, so gilt: cos(α) ≈ 1.
3.3
Versuchsdurchführung
Vorsicht: NIEMALS direkt in den Laserstrahl blicken, da
es ansonsten zu einer Verletzung der Netzhaut kommen kann!!!
Zu Beginn des Versuches wird der Detektor und der Verstärker eingeschaltet, da diese eine gewisse Vorlaufzeit benötigen. Dann startet man das Messprogramm mit dem Befehl
beugung.
Mit dem Befehl mm_home wird der Detektor an die 0 Position gefahren.
1. Offset einstellen
Hierzu verwendet man den Befehl mm_oszi(100) . Das Messprogramm gibt nun
permanent die gemessenen Werte auf dem Bildschirm aus. Mit Hilfe eines Blatt Papiers, welches vor den Detektor gehalten wird, dunkelt man diesen ab. Nun stellt man
den Offset so ein, dass die gemessenen Werte bei ca. 100 Counts angezeigt werden.
3
VERSUCHSAUFBAU
16
2. Verstärkungsfaktor einstellen
Man sucht den Maximalwert, indem man den Detektor schrittweise durch den zu
messenden Bereich fährt. Hat man diesen, justiert man die Verstärkung so, dass der
Maximalwert bei ca. 4000 Counts liegt.
3. Offset kontrollieren
Nach dem einstellen des Verstärkungsfaktor verändert sich auch wieder der Offset
und muss möglicherweise korrigiert werden. Bei einer solchen Korrektur verändert
sich auch wieder der Verstärkungsfaktor, so dass Schritt 1. und 2. mehrmals wiederholt werden müssen, bis die Werte im gewünschten Bereich liegen.
4. Grundrauschen
Zuerst wird die Messstrecke von Position 0 bis Position 20000, ohne Laser durchgemessen, um mögliche äußere Einflüsse (z.B.: Lampen, Sonnenlicht, etc.) später von
den Spektren subtrahieren zu können.
5. Messung:
Nun verwendet man den Befehl mm_home um den Detektor wieder an die Anfangsposition zurück zu setzen und startet die eigentliche Messung mit dem Befehl
mm_mes(20000,5). Wenn der Vorgang beendet ist (was einige Minuten dauert)
speichert man die gemessenen Werte mit dem Befehl mm_save("filename")
ab.
6. Messung mit Spalt:
Nun wird der Laser eingeschaltet.
In den Strahlengang des aufgeweiteten Laserstrahls wird nun ein Spalt gestellt. Punkt
1. 2. und 3. werden wieder durchgeführt. Das durch den Spalt resultierende Beugungsbild wird wie unter 5. beschrieben gemessen. Dabei muss nur der Bereich gemessen werden, in dem sich die Beugungserscheinung befindet.
Nun wird der Abstand zwischen Spalt und Detektor verändert und die Messung erneut durchgeführt. (Je größer die Entfernung zwischen Spalt und Detektor ist, um so
mehr geht die Beugungsfigur von der Fresnelschen in die Fraunhofersche Beugung
über.)
Es werden nun noch zwei weitere Spalte so gemessen.
7. Messung mit Kante:
Nun wird der Spalt durch eine Kante ersetzt. Punkt 1. 2. und 3. werden wieder durchgeführt. Das durch die Kante resultierende Beugungsbild wird wie unter 5. beschrieben gemessen. Dabei muss wieder nur der Bereich gemessen werden, in welchem
sich die Beugungserscheinung befindet.
4
17
LITERATUR
3.4
Befehlsübersicht
mm_home
mm_go(wert)
mm_va_full
mm_va_slow
mm_va(wert)
mm_oszi(schritt)
mm_mes(distanz, schritt)
mm_save("filename")
4
Fährt den Detektor an die Anfangsposition und setzt diese auf Null.
Fährt den Detektor mit der aktuellen Geschwindigkeit an die Position
wert.
Die aktuelle Geschwindigkeit ist nun maximal.
Die aktuelle Geschwindigkeit ist nun minimal.
Setzt die aktuelle Geschwindigkeit auf den Wert wert.
Gibt den aktuell gemessenen Wert des Detektors permanent auf den
Bildschirm aus.
Dabei kann man mit den Tasten
+ und - die Position des Detektors um die Schrittgröße
schritt nach vorn oder zurück verändern. Mit
v
kann die derzeitige Schrittgröße verändert werden. Mit
q
verlässt man die oszi Funktion.
Beginnt an der aktuellen Stelle mit der Messung bis zur angegebene
Distanz distanz mit der Schrittgröße schritt.
Speichert die Messdaten unter dem angegebenen Namen filename
ab. Der Name sollte nicht länger als 8 Buchstaben sein.
Literatur
• Eugene Hecht, Optik, Addison-Wesley
• Bergman & Schäfer, Optik
• Gerthsen, Physik, Springer
• Demtröder, Laserspektroskopie, Springer-Verlag
• Lauterborn, Kurz, Wiesenfeldt, Kohärente Optik, Springer Verlag
• E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, 1984
• Amnon Yariv, Quantum Electronics, John Wiley & Sons, 1989