Lösung der Poisson-Gleichung mit Green`schen Funktionen

130
Elektrostatik
VIII.2 Bestimmung des Potentials aus der Poisson-Gleichung
Im § VIII.1.3 wurde das elektrostatische Potential erzeugt durch eine Ladungsverteilung (VIII.12a)
mithilfe des Gauß’schen Gesetzes hergeleitet. Eine alternative Vorgehensweise zur Bestimmung von
Φ(~r) besteht darin, die Poisson-Gleichung
4Φ(~r) = −
ρel.(~r)
0
(VIII.4)
direkt zu lösen. In diesem Abschnitt werden einige allgemeinen(38) mathematischen Rezepte und
Ergebnisse zur Lösung dieser Differentialgleichung vorgestellt.
VIII.2.1 Green’sche Funktionen
Die Poisson-Gleichung (VIII.4) ist ein Beispiel von partieller Differentialgleichung, hier zweiter
Ordnung.
Definition: Eine Funktion G(~r,~r 0 ) zweier vektoriellen Variablen ~r,~r 0 heißt Green’sche (y) Funktion
zur Poisson-Gleichung, wenn sie eine Lösung der partiellen Differentialgleichung
4~r G(~r,~r 0 ) = δ (3)(~r − ~r 0 )
(VIII.18)
ist, mit 4~r dem Laplace-Operator bezüglich der Variablen ~r.
Aus einer solchen Lösung der Gl. (VIII.18) folgt eine Lösung der Poisson-Gleichung (VIII.4) mit
fast jedem beliebigen rechten Glied, und zwar
Z
−1
Φ(~r) =
G(~r,~r 0 )ρel.(~r 0 ) d3~r 0 ,
(VIII.19)
0
unter der offensichtlichen Beschränkung, dass das Integral existieren soll.
Wendet man nämlich den Laplace-Operator 4~r auf das so definierten Potential an, so kann der
Differentialoperator in das Integral über ~r 0 eingezogen werden:
Z
−1 4~r G(~r,~r 0 ) ρel.(~r 0 ) d3~r 0 ,
4~r Φ(~r) =
0
Unter Verwendung der definierenden Gleichung (VIII.18) wird das Integral zur Faltung von
der δ (3) -Distribution mit der Ladungsdichte ρel., so dass sich die rechte Seite zu −ρel.(~r)/0
vereinfacht.
2
Bemerkung: Im obigen Beweis wurde die spezifische Form des Laplace-Operators nirgendwo benutzt.
Somit können Green’sche Funktionen auch für andere Differentialoperatoren, d.h. andere Differentialgleichungen, eingeführt werden, als „Antwort“ zur lokalisierten „Anregung“ modelliert durch eine
δ-Distribution.
VIII.2.2 Lösung der Poisson-Gleichung auf R3
Die Poisson- (VIII.4) und Laplace-Gleichung (VIII.5) wurden durch Mathematiker aufwändig
untersucht, woraus eine Menge Resultate zur Existenz und Eindeutigkeit ihrer Lösungen resultiert.
In diesem und im nächsten Paragraphen werden einige dieser Ergebnisse kurz dargestellt.
Betrachte man zuerst die Poisson-Gleichung, und daher die assoziierte partielle Differentialgleichung (VIII.18), auf dem ganzen dreidimensionalen Raum R3 . Dann lautet eine Green’sche
Funktion zur Poisson-Gleichung
−1
.
(VIII.20)
G(~r,~r 0 ) =
4π|~r − ~r 0 |
(38)
(y)
Das heißt, dass sie auch auf andere Differentialgleichungen anwendbar sind.
G. Green, 1793–1841
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VIII.2 Bestimmung des Potentials aus der Poisson-Gleichung
~ ≡ ~r − ~r 0 und R ≡ |R
~ |; dann gilt dank der Kettenregel 4~r = 4 ~ . Da die
Beweis: Sei R
R
0
~ = ~0 hat, wird erstens eine „regularisierte“ Version
Funktion (VIII.20) ein Pol für ~r = ~r bzw. R
~ ≡
Gε R
−1
4π R2 + ε2
√
ohne Divergenz im Ursprungspunkt eingeführt, wobei ε am Ende der Berechnung gegen Null zu
nehmen ist. Die Funktion Gε hängt nur vom Betrag R abhängt, so dass im Raum der Variablen
~ kugelsymmetrisch um den Nullpunkt ist. Demzufolge ist es interessant, in Kugelkoordinaten
R
(R, θR~ , ϕR~ ) zu arbeiten, wobei das Problem unabhängig von den zwei Winkeln θR~ , ϕR~ ist. Daher
vereinfacht sich der Laplace-Operator 4R~ zu
∂2
2 ∂
+
∂R2
R ∂R
ohne den üblichen winkelabhängigen Anteil. Wendet man diesen Operator auf Gε an, so ergibt
sich dank einfacher Ableitungen
2
1
~ = 3ε
.
4R~ Gε R
2
4π (R + ε2 )5/2
(3) ~ (3)
Die Funktion im rechten Glied sei mit δε R
bezeichnet. Für festes ε besitzt δε die folgenden
Eigenschaften:
~ | ≥ |ε|;
~ ≤ 3ε für |R
• δε(3) R
4π
3
• δε(3) ~0 =
;
4π|ε|
Z
Z a
Z a
3R2 ε2
~ d3 R
~ =
~ 4πR2 dR =
• sei a > 0; dann gilt
δε(3) R
dR, d.h.
δε(3) R
2
2 5/2
~
|R|≤a
0
0 (R + ε )
a
Z
3
R3
a3
(3) ~
~
δε R d R =
=
.
(R2 + ε2 )3/2 0
(a2 + ε2 )3/2
~
|R|≤a
Betrachte man jetzt den Grenzwert ε → 0. Laut der ersten Eigenschaft gilt in diesem Limes
(3) ~ ~ 6= ~0. Somit wird der Peak bei R
~ = ~0 (zweite Eigenschaft) unendlich
= 0 für R
lim δε R
(3)
schmal und hoch. Schließlich geht das Integral von δε über eine Kugel mit Radius a gegen 1,
(3)
unabhängig von der Wahl von a. Diese Eigenschaften zeigen, dass δε eine Darstellung der
dreidimensionalen δ-Distribution ist, entsprechend dem nachzuprüfenden Ergebnis.(39)
2
Setzt man jetzt die Green’sche Funktion (VIII.20) in die Beziehung (VIII.19) ein, so ergibt sich
genau das elektrostatische Skalarpotential (VIII.12a)
Z
ρel.(~r 0 )
Φ(~r) =
d3~r 0 .
(VIII.21)
0|
4π
|~
r
−
~
r
3
0
R
Dabei wird die vorsichtige Beschränkung des § VIII.1.3 c auf Punkten ~r, die nicht zum durch die
Ladungsverteilung besetzten Raumvolumen V gehören, jetzt automatisch aufgehoben.
Ein Problem bei der Konstruktion des elektrischen Potentials aus der Poisson-Gleichung besteht
darin, dass die Funktion (VIII.20) nicht die einzige Green’sche Funktion zur Poisson-Gleichung auf
R3 ist.
Betrachtet man nämlich eine Lösung F der Laplace-Gleichung — eine harmonische Funktion —
auf R3 , so ist G2 (~r,~r 0 ) ≡ G(~r,~r 0 ) + F (~r − ~r 0 ) auch eine mögliche Green’sche Funktion.
In der Tat gilt 4~r G2 (~r,~r 0 ) = 4~r G(~r,~r 0 ) + 4~r F (~r − ~r 0 ) = δ (3)(~r − ~r 0 ) + 0.
(39)
2
Die Funktion (VIII.20) kann auch direkt gefunden werden, indem die definierende Differentialgleichung (VIII.18)
im Fourier-Raum aufgestellt wird.
132
Elektrostatik
Da es unendlich viele harmonische Funktionen auf R3 , beispielsweise jede lineare Funktion der Form
F (~r) = ax1 + bx2 + cx3 , gibt es auch unendlich viele Green’sche Funktionen.
Einzigartig bei der Funktion (VIII.20) unter den Green’schen Funktionen zur Poisson-Gleichung
ist aber, dass sie im Unendlichen |~r − ~r 0 | → ∞ Null wird. Dementsprechend verschwindet das
Potential (VIII.21) weit von der Ladungsverteilung (wenn die letztere nur ein endliches Raumgebiet
besetzt).
Genauer kann man zeigen, dass die einzigen harmonischen Funktionen auf R3 — und allgemeiner
auf Rn für jede n ∈ N∗ —, die überall endlich bleiben, die identisch konstanten Funktion sind.
Bemerkung: Addiert man zur Funktion (VIII.20) eine Konstante K ∈ R, so unterscheidet sich das
aus Gl. (VIII.19) resultierende Potential von dem Wert (VIII.21) um eine additive Konstante — das
Produkt aus K und der Gesamtladung der Verteilung geteilt durch 0 —, die nichts am elektrischen
Feld ändert.
VIII.2.3 Lösung der Poisson-Gleichung auf einem endlichen Gebiet von R3
VIII.2.3
a Mathematische Fragestellung und Ergebnisse
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Anstatt einer Lösung der Poisson-Gleichung auf dem ganzen Raum kann man auch eine Lösung
auf einem endlichen Gebiet V von R3 suchen — entsprechend z.B. dem elektrostatischen Potential
in einem leeren Hohlraum im Inneren von Materie. Ist die letztere irgendein Metall, in welchem frei
bewegliche elektrische Ladungsträger vorhanden sind, so können sich solche Ladungen möglicherweise auf der Oberfläche ∂ V des Bereichs V befinden: dann dienen diese Ladungen als Quellen für
das elektrische Skalarpotential im Hohlraum.
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∂V
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V
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Abbildung VIII.1
Meistens wird die entsprechende (Oberflächen)Ladungsdichte nicht explizit präzisiert. Stattdessen werden in der mathematischen Formulierung Randbedingungen für das zu festzustellende
Potential Φ(~r) vorgegeben, entsprechend seinem Verhalten auf der Oberfläche ∂ V , das physikalisch
„von außen“ gesteuert wird. Dazu wird oft angenommen, dass im Hohlraum Vakuum herrscht, so dass
sich die Poisson-Gleichung auf die Laplace-Gleichung 4Φ(~r) = 0 vereinfacht. Bei der Fragestellung
handelt es sich dann um ein sog. Randwertproblem.
Ein solches mathematisches Randwertproblem ist für physikalische Anwendungen nur dann nützlich, wenn es wohlgestellt ist. Dies bedeutet, dass das Problem eine Lösung hat, die eindeutig ist —
möglicherweise bis auf eine additive Konstante — und stetig von den vorgegebenen Randbedingungen abhängt. Bei der Poisson-Gleichung ist es insbesondere der Fall für zwei einfache Arten von
Randbedingungen:
133
VIII.2 Bestimmung des Potentials aus der Poisson-Gleichung
• bei Dirichlet (z) -Randbedingungen (oder Randbedingungen erster Art) werden die Werte des
Potentials Φ(~r) — oder allgemeiner der zu bestimmenden Funktion — an der Oberfläche ∂ V
vorgeschrieben;
• bei Neumann (aa) -Randbedingungen (oder Randbedingungen zweiter Art) wird die Normalenableitung ∂n Φ(~r) vorgegeben, wobei die letztere die Änderungsrate in der Richtung senkrecht
~ r) schreiben, mit ~en (~r) den
zur Oberfläche ist. Diese Ableitung lässt sich auch als ~en (~r) · ∇Φ(~
Normaleinheitsvektor zur Oberfläche im Punkt ~r ∈ ∂ V .
Stimmt die Oberfläche ∂ V lokal mit der (x1 , x2 )-Ebene überein, so ist der lokale Normal~ ist gleich ∂Φ/∂x3 , was auch mit ∂3 Φ bezeichnet wird.
einheitsvektor ~e3 , d.h. ~en · ∇Φ
Bemerkung: Im Fall von Neumann-Bedingungen ist die Vorschrift von ∂n Φ(~r) auf ∂ V äquivalent
~ r) = −∇Φ(~
~ r) in jedem Punkt der
zur Angabe der normalen Komponente des elektrischen Feldes E(~
Oberfläche.
Die Existenz einer Lösung der Poisson-Gleichung auf V und ihre stetige Abhängigkeit von den
Randbedingungen sind im allgemeinen Fall nicht trivial zu zeigen. Dagegen ist der Beweis der
Eindeutigkeit bis auf eine additive Konstante ziemlich einfach.
Dieser Beweis macht die sog. erste Green’sche Identität, gültig für zwei (zweimal differenzierbare)
reellwertige Funktionen f1 , f2
Z
I
3
~
~
f1 (~r) ∂n f2 (~r) d2 S
(VIII.22)
∇f1 (~r) · ∇f2 (~r) + f1 (~r)4f2 (~r) d ~r =
V
∂V
zu Nutze.
~ · (f1 ∇f
~ 2 ) = ∇f
~ 1 · ∇f
~ 2 + f1 4f2 , d.h. nach Integration und
Beweis: Die Kettenregel gibt ∇
Anwendung des Gauß’schen Integralsatzes
Z
Z
I
~ 1 · ∇f
~ 2 + f1 4f2 d3~r = ∇
~ · (f1 ∇f
~ 2 ) d3~r =
~ 2 · d2~S .
∇f
f1 ∇f
V
V
∂V
2~
2
Dabei ist das vektorielle Oberflächenelement d S gleich d S ~en , woraus die Identität folgt.
2
Sind Φ1 , Φ2 nämlich zwei Lösungen der Poisson-Gleichung auf V mit beliebiger rechter Seite und
gegebenen Dirichlet- bzw. Neumann-Randbedingungen, dann ist ihre Differenz U ≡ Φ2 − Φ1 eine Lösung der Laplace-Gleichung 4U (~r) = 0 für ~r ∈ V , mit verschwindenden Dirichlet- bzw.
Neumann-Randbedingungen U (~r) = 0 bzw. ∂n U (~r) = 0 für ~r ∈ ∂ V . Die erste Green’sche Identität
mit f1 = f2 = U lautet dann
Z
I
3
~
~
∇U (~r) · ∇U (~r) + U (~r)4U (~r) d ~r =
U (~r) ∂n U (~r) d2 S .
V
∂V
Das Integrand auf der rechten Seite, und daher das Integral, verschwindet wegen der Randbedingungen. Wiederum ist der zweite Term in den eckigen Klammern auf der linken Seite ebenfalls Null,
denn U erfüllt die Laplace-Gleichung. Deshalb bleibt nur
Z
~ (~r) 2 d3~r = 0
∇U
V
~ (~r) identisch auf V verschwindet, d.h. wenn U (~r) konstant
übrig, was nur dann möglich ist, wenn ∇U
auf V ist: U (~r) = K, wobei K = 0 falls Dirichlet-Bedingungen vorgegeben sind. Somit unterscheiden
sich Φ1 und Φ2 nur um eine additive Konstante.
(z)
P. G. Lejeune Dirichlet, 1805–1859
(aa)
C. Neumann, 1832–1925
134
Elektrostatik
VIII.2.3
b Physikalische Anwendungen
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Faraday Käfig
Als erste Anwendung der obigen mathematischen Ergebnisse kann man das elektrische Feld in
einem leeren Hohlraum innerhalb einer metallischen Oberfläche ∂ V bestimmen.
Da ∂ V metallisch ist, können sich darauf freie Ladungsträger befinden. Im statischen Fall dürfen
sie diese Ladungen definitionsgemäß nicht bewegen. Demzufolge darf kein elektrisches Feld in der
~ = −∇Φ
~ = ~0 auf ∂ V , so dass das Skalarpotential Φ dort konstant ist:
Metallfläche vorhanden sein, E
Φ(~r) = Φ0 für ~r ∈ ∂ V . Dies stellt eine Dirichlet-Randbedingung für das elektrostatische Potential
im Hohlraum dar.
Dort soll Φ wegen der Abwesenheit von Ladungen Lösung der Laplace-Gleichung 4Φ(~r) = 0
sein. Eine Lösung, die auch die Randbedingung erfüllt, ist einfach die konstante Funktion Φ(~r) = Φ0
für ~r ∈ V . Wegen der Eindeutigkeit ist dies in der Tat die einzige Lösung. Daraus folgt dann
~ = −∇Φ
~ = ~0 im Hohlraum, der als Faraday-Käfig bezeichnet wird.
E
Spiegelladungsmethode
Basierend auf die Eindeutigkeit der Lösung der Poisson-Gleichung für vorgegebene DirichletRandbedingungen lässt sich eine andere Methode zur Lösung der Poisson-Gleichung in einem Gebiet
von R3 formulieren.
Sei ein zu lösendes Problem P1 , bei dem eine Fläche ∂ V ein Raumgebiet
V abgrenzt, in welP
(3)(~
q
δ
r
−
~xa ) befinden, mit
chem sich Ladungen entsprechend einer Ladungsdichte ρel.(~r) =
a a
~xa den Positionen der Ladungen. Als (Dirichlet)-Randbedingung wird angenommen, dass ∂ V eine
Äquipotentialfläche ist, d.h. Φ(~r) ist konstant auf ∂ V .
Sei dann ein anderes Problem P2 ohne Fläche jedoch mit denselben Ladungen an den gleichen
Positionen ~xa sowie zusätzlichen Ladungen – sog. „Spiegelladungen“ — außerhalb V . Wenn das
(lösbare!) Problem P2 zu einem Potential Φ führt, wovon eine Äquipotentialfläche mit der Fläche
∂ V vom Problem P1 übereinstimmt, dann ist das Potential von P2 im Volumen V genau gleich
dem gesuchten Potential von P1 .
Als Beispiel dieser Methode kann man das folgende Problem (P1 )
betrachten: im Halbraum x < 0 befindet sich ein elektrischer Leiter,
q0
q
dessen Oberfläche bei x = 0 eine Äquipotentialfläche ist;(40) im Punkt
• a - a -•
~xq = (a, 0, 0) außerhalb des Leiters sitzt eine Punktladung q.
x
Im Bereich x > 0 soll das Skalarpotential Lösung der Poisson-Gleichung
(3)
4Φ(~r) = −qδ (~r − ~xq )/0 sein, mit der Randbedingung Φ = Φ0 für
Abbildung VIII.2
x = 0.
Ein passendes, einfach lösbares Problem P2 besteht aus zwei Punktladungen in einem sonst
leeren Raum: q ist immer noch in ~xq , während eine zweite (Spiegel-)Punktladung q 0 im Punkt
−~xq = (−a, 0, 0) sitzt. Diese Ladungen erzeugen das Skalarpotential
Φ(~r) =
Lösung von 4Φ(~r) =
q
q0
+
,
4π0 |~r − ~xq | 4π0 |~r + ~xq |
−q (3)
q0
δ (~r − ~xq ) − δ (3)(~r + ~xq ) im ganzen Raum.
0
0
Dieses Potential stellt auch eine spezielle Lösung der Gleichung 4Φ(~r) = −qδ (3)(~r −~xq )/0 für x ≥ 0
dar, die für q 0 = −q konstant (und Null) bei x = 0 ist. Das Potential Φ ist also auch Lösung für
x ≥ 0 des ursprünglichen Problems P1 .
(40)
Dies ist immer der Fall bei elektrischen Leitern im Gleichgewicht, d.h. ohne Bewegung von Ladungen, wie schon
bei der Beschreibung des Faraday-Käfigs argumentiert wurde.