trinomial

Hans Walser, [20150106]
Regelmäßige Zahlenvielecke
1 Worum es geht
Mit Hilfe der Bi-, Tri- und Tetranomialzahlen werden Zahlenanordnungen im regelmäßigen Dreieck, im Quadrat und im regelmäßigen Sechseck konstruiert.
2 Binomialkoeffizienten
2.1 Ausgangslage
Die Abbildung 1 zeigt oben Mitte das Pascalsche Dreieck der Binomialkoeffizienten.
Das Dreieck ist unten offen, in der Abbildung 1 ist nur die Situation bis zur Reihe
Nummer 6 (Nummerierung beginnt mit null) angegeben. Das Dreieck hat eine senkrechte Symmetrieachse.
Abb. 1: Binomialkoeffizienten
In der Abbildung 1 sind unten zwei weitere Dispositionen des Pascalschen Dreiecks der
Binomialkoeffizienten angegeben.
Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
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2.2 Überlagerung
Die Idee ist nun, diese drei Dreiecke zu überlagern. Die Überlagerungsfigur hat dann
die Symmetrien des regelmäßigen Dreiecks.
Dann haben wir in jedem Feld drei Zahlen.
Wir können diese drei Zahlen auf verschiedene Arten miteinander verrechnen. Um die
Symmetrie zu erhalten, müssen die ternären Rechenoperationen gegenüber Permutationen der drei Zahlen invariant sein. Als Beispiele bieten sich etwa an:
f ( x, y, z ) = x + y + z
f ( x, y, z ) = xy + yz + zx
f ( x, y, z ) = xyz
f ( x, y, z ) = max ( x, y, z )
f ( x, y, z ) = min ( x, y, z )
2.3 Beispiele
2.3.1 Produkt
Wir arbeiten mit dem Produkt der drei Zahlen. Die Abbildung 2 zeigt die Situation für
verschieden große Dreiecke. Wir erkennen an den Rändern die gewöhnlichen Binomialkoeffizienten.
Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
Abb. 2: Produkte
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Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
2.3.2 Summe
Abb. 3: Summe
2.3.3 Summe der Produkte von je zwei Zahlen
Abb. 4: Summe der Produkte von je zwei Zahlen
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Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
2.3.4 Maximum
Abb. 5: Maximum der drei Zahlen
2.3.5 Minimum
Abb. 6: Minimum
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Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
2.4 Färbung
In der Abbildung 7 wird mit dem Produkt gearbeitet. Die Felder sind gefärbt je nachdem, welchen Wert das Produkt modulo 8 annimmt (Tab. 1).
x mod 8
RGB
0
1
2
3
4
5
6
7
0, 0, 0 1, 0, 0 0, 1, 0 1, 1, 0 0, 0, 1 1, 0, 1 0, 1, 1 1, 1, 1
Farbe
Tab. 1: Farbcode
Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
Abb. 7: Färbung modulo 8
Eine Veränderung der Ausmaße des Dreieckes verändert die Farben.
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Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
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2.5 Parkettierung
Die Dreiecke haben keinen glatten Rand. Das macht Probleme bei einer Parkettierung.
Wenn wir mit zwei Farben auskommen wollen, müssen wir Lücken einbauen (Abb. 8).
Abb. 8: Parkettierung mit Lücken
Die Mittelpunkte der Parkettsteine bilden ein regelmäßiges Sechseckraster (Abb. 9).
Abb. 9: Regelmäßiges Sechseckraster
Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
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Bei vier Farben geht es lückenlos (Abb. 10).
Abb. 10: Lückenlose Parkettierung
Allerdings bilden die Mittelpunkte der Parkettsteine nun kein regelmäßiges Sechseckraster mehr (Abb. 11). Die Sechsecke sind affin verzerrt.
Abb. 11: Kein regelmäßiges Sechseckraster
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3 Trinomialkoeffizienten
3.1
Die Koeffizienten
(
)
n
Wir arbeiten mit den Koeffizienten von x 2 + x + 1 . Es ist:
( x2 + x + 1) = 1
1
( x2 + x + 1) = 1x2 + 1x + 1
2
2
x
+
x
+
1
(
) = 1x 4 + 2x 3 + 3x2 + 2x + 1
3
( x2 + x + 1) = 1x6 + 3x5 + 6x 4 + 7x 3 + 6x2 + 3x + 1
4
( x2 + x + 1) = 1x8 + 4x 7 + 10x6 + 16x5 + 19x 4 + 16x 3 + 10x2 + 4x + 1
5
2
x
+
x
+
1
(
) = 1x10 + 5x9 + 15x8 + 30x 7 + 45x6 + 51x5 + 45x 4 + 30x 3 + 15x2 + 5x + 1
0
Diese Trinomialkoeffizienten können symmetrisch in einem Karoraster angeordnet
werden gemäß Abbildung 12. Wir haben ein nach unten offenes Zahlendreieck.
Abb. 12: Trinomialkoeffizienten
Jede Zahl ist die Summe der drei Zahlen, welche in der oberen Reihe direkt darüber
sowie links und rechts davon stehen.
Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
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3.2 Überlagerung
Die Abbildung 13 zeigt nun quadratische Ausschnitte aus dem Dreieck der Trinomialkoeffizienten in vier verschiedenen Anordnungen.
Abb. 13: Ausschnitte
Wir können nun die vier Quadrate überlagern und in jedem Feld die vier Zahlen geeignet verrechnen.
Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
Die Abbildungen 14 und 15 zeigen Überlagerungen mit Summen und Produkten.
Abb. 14: Summen
Abb. 15: Produkte
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3.3 Färbung
Wir arbeiten wieder mit einer modularen Färbung gemäß Tabelle 1. In den Beispielen
der Abbildung 16 ist mit Summen gearbeitet worden.
Abb. 16: Färbung modulo 8
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Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
3.4 Parkettierung
Die Parkettierung macht keine Probleme (Abb. 17). Die Mittelpunkte der Parkettsteine
bilden ein Quadratraster, das allerdings etwas schräg in der Landschaft hängt.
Abb. 17: Parkettierung
4 Tetranomialkoeffizienten
4.1
Die Koeffizienten
(
)
n
Wir arbeiten mit den Koeffizienten von x 3 + x 2 + x + 1 . Es ist:
( x 3 + x2 + x + 1) = 1
1
( x 3 + x2 + x + 1) = 1x 3 + 1x2 + 1x + 1
2
( x 3 + x2 + x + 1) = 1x6 + 2x5 + 3x 4 + 4x 3 + 3x2 + 2x + 1
3
( x 3 + x2 + x + 1) = 1x9 + 3x8 + 6x 7 + 10x6 + 12x5 + 12x 4 + 10x 3 + 6x2 + 3x + 1
4
( x 3 + x2 + x + 1) = 1x12 + 4x11 + 10x10 + 20x9 + 31x8 + 40x 7 + 44x6 + 40x5 + 31x 4 + 20x 3 + 10x2 + 4x + 1
0
Die Koeffizienten passen nun wieder in ein Hexagonalraster (Abb. 18).
Abb. 18: Tetranomialkoeffizienten
Jede Zahl ist die Summe der vier Zahlen, die in der Reihe darüber symmetrisch oberhalb der Zahl positioniert sind.
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4.2 Überlagerung
Die Abbildung 19 zeigt einen hexagonalen Ausschnitt aus dem Dreieck der Tetranomialkoeffizienten.
Abb. 19: Hexagonaler Ausschnitt
Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
Die Abbildung 20 zeigt die sechs Anordnungen für die Überlagerung.
Abb. 20: Bereitstellung zur Überlagerung
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Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
Die Abbildungen 21 und 22 zeigen Summe und Produkt in der Überlagerung.
Abb. 21: Summe
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Abb. 22: Produkt
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Hans Walser: Regelmäßige Zahlenvielecke
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4.3 Färbung
Die Abbildungen 23 und 24 zeigen Färbungen gemäß Tabelle 1 für Summe und Produkt.
Abb. 23: Färbung, Summe
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Abb. 24: Färbung, Produkt
Sobald drei Primfaktoren 2 vorkommen, wird es schwarz.
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4.4 Parkettierung
Die Parkettierung geht gut, braucht aber drei Farben (Abb. 25). Die Mittelpunkte der
Parkettsteine bilden ein regelmäßiges Dreiecksraster.
Abb. 25:Parketteriung
5 Wie geht es weiter?
Die Frage ist falsch gestellt. Es müsste heißen: Geht es weiter?
Wir können zwar problemlos zum Beispiel Pentanomialkoeffizienten bilden. Diese lassen sich auch in einem Quadratraster anordnen. Und die Hexanomialkoeffizienten lassen sich in einem Hexagonalraster anordnen. Allerdings werden bei den Koeffizientendreiecken die Winkel an der Spitze immer stumpfer, ein passendes regelmäßiges Vieleck müsste mehr Ecken haben. Das ist aber in der Rastergeometrie nicht möglich.