W. Kley: Computational Astrophysics

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Computational Astrophysics
1. Kapitel: Sonnensystem
Wilhelm Kley
Institut für Astronomie & Astrophysik
Kepler Center for Astro and Particle Physics
Sommersemester 2011
W. Kley: Computational Astrophysics
1. Zweikörperproblem
Übersicht
1. Zweikörperproblem
- Keplergesetze
- Bewegungsgleichungen
- Planetenbahnen
- Keplergleichung
- Nullstellensuche
- Fixpunkt-Iteration
W. Kley: Computational Astrophysics
1
1. Zweikörperproblem
Übersicht
1.1 Zweikörperproblem
- Keplergesetze
- Bewegungsgleichungen
- Planetenbahnen
- Keplergleichung
- Nullstellensuche
- Fixpunkt-Iteration
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2
1. Zweikörperproblem
Keplergesetze
1) Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, wobei die
Sonne sich in einem Brennpunkt der Ellipse befindet (1609)
2) Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht gleiche Flächen
in gleichen Zeiten (Astronomia Nova, 1609)
3) Das Quadrat der Bahnperiode (P ) ist proportional zum Kubus
des mittleren Abstandes (Große Halbachse a) von der Sonne
(Harmonices Mundi, 1619)
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3
Relativkoordinaten
1. Zweikörperproblem
P
r
S
rp
r
s
O
O: Koordinatenursprung
S: Sonne, ~r s Radiusvektor zur Sonne
P: Planet, ~r p Radiusvektor zum Planeten
~r = ~r p − ~r s Vektor von Sonne zum Planeten
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Bewegungsgleichungen
1. Zweikörperproblem
Für die Sonne
~r
GMsmp(~r p − ~r s)
¨
Ms ~r s = Ms ~as =
= GMsmp 3
3
|~r p − ~r p|
r
(1)
Für den Planeten
~r
GMsmp(~r p − ~r s)
¨
= − GMsmp 3
mp~r p = mp~ap = −
3
|~r p − ~r s|
r
(2)
Subtraktion Ms× (2) - mp× (1) und teilen durch Ms + mp
⇒ Gleichung für die Relativbewegung
~r
¨
µ~r = µ~a = − GM µ 3
r
(3)
Mit:
µ = Msmp/(Ms + mp)
M = Ms + mp
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5
1. Zweikörperproblem
Äquivalentes Einkörperproblem
Das Zweikörperproblem kann auf ein äquivalentes Einkörperproblem für die Relativbewegung reduziert werden
~r
¨
µ~r = − GM µ 3
r
(4)
Der Planet bewegt sich wie ein Körper der reduzierten Masse
µ = Msmp/(Ms + mp) im Feld der Zentralmasse M = Ms + mp.
~r ist der Relativvektor (von Sonne zum Planeten).
Erhaltungsgrößen :
Energie
1 2
Mµ
E = µv − G
2
r
(5)
~ = µ~r × ~v
L
(6)
Drehimpuls
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6
1. Zweikörperproblem
Bewegungsgleichungen
~ (Drehimpuls/Masse)
Spezifischer Drehimpuls h
~
~ ≡ µh
L
~ ⊥ ~r , d.h. Bewegung in Ebene senkrecht zu L.
~
Es gilt h
~ also h = Lz /µ
Wähle KO-System mit z-Achse parallel zu L,
x = r cos φ,
y = r sin φ
Die Bewegungsgleichung (4) lautet nun
r2φ̇ = h
r̈ − rφ̇
2
k
= − 2
r
(7)
(8)
mit k = G M .
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Flächensatz
1. Zweikörperproblem
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dr
Fläche dS des
schraffierten Dreiecks
xx
r
O
1
~
dS = |~r × dr|
2
teile durch dt
1
Ṡ = |~r × ~v |
2
mit (7)
1
Ṡ = h
2
(9)
d.h. Drehimpulserhaltung ⇒ Zweites Keplersches Gesetz
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1. Zweikörperproblem
Radial-Gleichung
Einsetzen der Drehimpulsgleichung ergibt (k = GM )
h2
k
r̈ + 2 − 3 = 0
r
r
(10)
Multiplikation mit ṙ und Integration über die Zeit t liefert
1 2 k
h2
ṙ − + 2 = 2
r 2r
(11)
= E/µ spezifische Energie (Energie/Masse) des Planeten
Definiere effektives Potential
h2
k
Veff (r) = − + 2
r 2r
(12)
ṙ2 + 2Veff (r) = 2
(13)
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9
1. Zweikörperproblem
Effektives Potential
Veff (r)
ε3
r
O
ε2
ε1
Kreisbahn
Ellipse
Parabel
Hyperbel
Zentrifugalpotential:
für r → 0 abstoßend.
ε0
r0
= 0
< 1 < 0
= 2 = 0
= 3 > 0
k
h2
Veff (r) = − + 2
r 2r
(gebunden)
(gebunden)
(marginal gebunden)
(ungebunden)
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Die Form der Bahn
1. Zweikörperproblem
dr dφ
1
Mit ṙ =
und u =
dφ dt
r
2
du
2ku 2
2
⇒
+u − 2 = 2
dφ
h
h
nochmal ableiten: ⇒ Binet’s Gleichung:
d2u
k
+u= 2
2
dφ
h
(14)
inhomogene Oszillatorgleichung
p
r=
1 + e cos(φ − φ0)
Die Lösung lautet
(15)
Gleichung für Kegelschnitt = 1. Keplersches Gesetz
in Gl.14
⇒
e=
2
2h
1+ 2
k
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1/2
h2
,p=
≡ a(1 − e2)
k
(16)
11
Die Ellipse
1. Zweikörperproblem
F Fokus (Sonne)
P Planet
semi lactus rectum
p = a ( 1 − e 2 ) r (Abstand: F-P)
a große Halbachse
b kleine (b ≤ a)
P
b
r
E
Aphel
a
O
φ
F
Perihel
Exzentrizität
e = (1 − b2/a2)1/2
q = a(1 − e) (Perihel)
Q = a(1 + e) (Aphel)
φ wahre Anomalie
q=a(1−e)
( Winkel: Perihel - Planet)
E: exzentrische Anomalie
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1. Zweikörperproblem
Energie und Drehimpuls
Im Perihel rp und Aphel ra ist v ⊥ r, also gilt
L = µrpvp = µrava
1 2 GM µ
1 2 GM µ
E = µvp −
= µva −
2
rp
2
ra
mit rp = a(1 − e) und ra = a(1 + e) folgt (NOTE: L = µh, E = µ)
p
L = µ GM a(1 − e2),
GM µ
E=−
2a
(17)
Integriere Flächensatz (9) über ganze Periode P : πab/P = h/2
p
mit b = a (1 − e2)
2 3
4π
a
2
P =
GM
d.h. Das Dritte Keplersche Gesetz
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(18)
13
1. Zweikörperproblem
Der Planet in der Bahn I
Die radiale Bewegungsgleichung lautete (11)
2B C
+ 2
ṙ = A +
r
r
2
mit A = 2,
allg. Lsg.
(19)
C = −h2
Zr
Zt
dr
q
= dt
2B
C
A
+
+
r0
t0
r
r2
B = k,
B
Substitution:
r = a (1 − e cos E) ; a = − ;
A
Lsg.: (mit Perihel bei t = t0) Kepler Gleichung
(20)
(21)
1/2
AC
e= 1− 2
B
2π
M = (t − t0) = E − e sin E
P
(22)
M mittl. Anomalie, P Periode., E = 0 Perihel, E = π Aphel.
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14
Der Planet in der Bahn II
1. Zweikörperproblem
Kepler-Gleichung ist transzendente Gleichung, Lösung iterativ
starte zu einer festen Zeit (eg. t = P/4) mit Anfangswert E0 (eg. π/2),
und iteriere
Ek+1 = M + e sin Ek
(23)
Berechne wahre Anomalie φ mit
r
φ
1+e
E
tan
=
tan
2
1−e
2
(24)
und Abstand r nach (15)
p
r=
1 + e cos(φ − φ0)
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15
Planetenbewegung
1. Zweikörperproblem
Umlaufzeiten:
siderische: Wahre Umlaufzeit P eines Planeten um die Sonne
synodische: Umlauf relativ zur Sonne,
Psyn Zeit zwischen 2 Konjunktionen
Mittlere Bahngeschwindigkeiten:
Relativgeschwindigkeit:
nerde, nplanet
nerde − nplanet = 2π/Psyn
Für äußere Planeten (nerde > nplanet )
1
1
1
=
−
Psyn Perde Pplanet
Beispiel Mars Psyn = 2.14 Jahre
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16
1. Zweikörperproblem
Bahnelemente I
Vollständige Beschreibung der Bahn durch:
- 2 Bahnelemente a, e (Große Halbachse, Exzentrizität)
- 3 Winkel, welche die Orientierung der Bahn angeben
- 1 Zeitursprung TP, z.B. der Durchgang durch Perihel
Referenzkoordinatensystem:
Kartesisches System: Im Ursprung die Sonne
x − y Ebene = Ekliptikebene = Ebene der Erdbahn
z-Achse in Richtung des Drehimpulse der Erdbahn
x-Achse in Richtung des aufsteigenden Knotens der Erdbahn,
(Frühlingspunkt (-Äquinoktium, Tag- und Nachtgleiche), Widderpunkt)
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17
1. Zweikörperproblem
Bahnelemente II
a,e
Frühlingspunkt
Knoten :
aufsteigender
absteigender
i Inklination
∠ Erdbahn-Eklipt.
Ω Länge des
aufsteig. Knotens
in Ekliptik
ω Länge des
Perihels vom in Bahnebene
TP Periheldurchgang
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1. Zweikörperproblem
Bahnelemente III
Mit allen 6 Größen a, e, i, Ω, ω, TP ist
eindeutige Bestimmung des Position des Planeten möglich
Damit können z.B. die Orte ~r und die Geschwindigkeiten ~v des
Planeten eindeutig angegeben werden.
Bewegungsgleichungen (9 Körper, Sonne + 8 Planeten)
~ri
¨
~i, i = 1, ..., 9
~ri = −GMi
+
F
|~ri|3
(25)
F~i Störungen der anderen Körper auf i-ten Planeten (Masse mi)
Mi = (M + mi)
Gl. nicht exakt lösbar, näherungweise Ellipsen plus Störungen
⇒ Variation der Bahnelemente
z.B. variiert e♁ zwischen 0 und 0.06, heute 0.0167
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1. Zweikörperproblem
Überblick: Sonnensystem
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20
1. Zweikörperproblem
Bahnelemente der Planeten
Momentane Bahnelemente der Planeten
Name
Symb. Gr. Halbachse
a [AU]
Merkur '
0.3871
Venus ♀
0.7233
Erde
1.0000
♁
Mars
1.5237
♂
Ceres
2.766
Jupiter X
5.2026
Saturn Y
9.5549
Uranus Z
19.2184
Neptun [
30.1104
Pluto
\
39.5447
Exzent.
e
0.2056
0.0068
0.0167
0.0934
0.077
0.0488
0.0555
0.0463
0.0090
0.2490
Inklin.
Grad
7o000
3o240
1o510
10o400
1o180
2o290
0o460
1o460
17o090
Periode
[Jahre]
0.241
0.615
1.00
1.88
4.601
11.9
29.5
84.0
165
248
Die Bahnelemente variieren (oskulieren) aufgrund der Wechselwirkungen untereinander
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