Winkel über 180

6a Winkel über 180°
1
Um welchen Winkel kann man diesen Schneekristall drehen, damit er mit sich zur Deckung
kommt? Gib alle möglichen Winkel an.
2
An einem Geodreieck reicht die Winkelskala nur bis 180°. Wie kannst du einen Winkel von
244° zeichnen?
Die Winkel von 0° bis 360° werden auf die folgende Art eingeteilt:
60
0
14
10
120
13
100
110
80
90
70
0
120
13
110
100
80
90
0
10
10
0
15
15
30
160
20
160
0
40
14
0
50
60
90
80
90
100
100
70
110
80
110
0
12
12
0
0
40
0
14
13
0
13
30
170
170
20
15
0
160
170
0
15
160
ε
20
10
170
0
15
50
0
14
50
160
60
14
0
δ
70
170
70
15
0
80
30
160
90
20
10
10
10
170
100
14
0
80
0
14
0
180° < ε < 360°
überstumpfer Winkel
40
0
15
13
30
160
110
120
50
20
20
20
10
170
60
40
0
14
γ
70
30
30
0
15
80
40
30
20
160
90
90
0
40
40
30
170
100
100
13
110
110
120
50
120
60
40
50
60
70
Tipp:
Zur genauen Messung
eines Winkels ist es oft
zweckmäßig, seine
Schenkel zu verlängern.
β
70
13
0
80
50
90
60
100
50
70
60
80
α
70
90
80
100
90
δ = 180°
gestreckter Winkel
110
100
90° < γ < 180°
stumpfer Winkel
120
0° < α < 90°
β = 90°
spitzer Winkel rechter Winkel
13
0
Beachte:
Mit den griechischen
Buchstaben bezeichnet
man sowohl den Winkel
selbst als auch seine
Größe.
Einen Winkel von 360° nennt man Vollwinkel.
Die Winkelskala eines Geodreiecks reicht nur bis 180°. Zum Messen und Zeichnen eines
überstumpfen Winkels bieten sich zwei verschiedene Wege an.
Messen eines überstumpfen Winkels:
1. Möglichkeit:
Man zerlegt gedanklich diesen Winkel α in
einen gestreckten Winkel und einen Winkel,
der kleiner als 180° ist.
2. Möglichkeit:
Man misst den Winkel, der dem überstumpfen Winkel β zum Vollwinkel fehlt.
n
6
20
30
10
5
40
4
90
3
100
110
2
1
0
0
10
3
90
80
70
60
30
40
50
17
0
4
20
16
0
30
150
2
140
1
120
20
40
50
60
ablesen
bei 70°
40
β
S
130
10
50
80
30
0
50
10
10
60
20
11
0
70
90
11
0
110
100
0
120
12
0
80
0
140
17
70
0
130
4
130
120
80
150
0
140
130
1
1
15
140
90
160
2
2
16
150
3
3
7
160
70
170
4
S
5
170
5
60
7
6
α
6
7
ege
anl
10
7
en
leg
an
α = 180° + 55° = 235°
Der abgelesene Winkel wird zu 180°
(gestreckter Winkel) addiert.
6
5
ablesen
bei 55°
β = 360° – 70° = 290°
Der abgelesene Winkel wird von 360°
(Vollwinkel) subtrahiert.
81a
© Ernst Klett Verlag GmbH,Stuttgart 2004 | www.klett.de
Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Autorin: Christine Kestler
Grafiken: R. Hungreder, Leinfelden; U. Bartl, Weil der Stadt
Fotos: Klett-Archiv, Stuttgart
Seite aus: Lambacher Schweizer 5, Ausgabe Bayern,
für Gymnasien
Klett-Nr: 3-12-731160-5
1
Winkel über 180°
Zeichnen eines überstumpfen Winkels, z. B.
1. Möglichkeit:
Weil 305° = 180° + 125° fügt man zum
gestreckten Winkel einen Winkel von
125° hinzu.
Die Drehrichtung kann bei
einem Winkel durch einen
Pfeil verdeutlicht werden.
γ = 305°:
2. Möglichkeit:
Weil 305° = 360 – 55° genügt es, diesen
Winkel von 55° zu zeichnen. Der Winkel γ
ist der Winkel, der 55° zum Vollwinkel fehlt.
Winkelbezeichnungen:
Neben kleinen griechischen Buchstaben kann man Winkel auch durch ihre Schenkel oder
durch drei Punkte bezeichnen.
h
Beachte:
B
l
e
α = = (g, h) = = ASB ist der Winkel,
enk
Sch
der durch Drehung des
β
1. Schenkels g = [SA auf den
α
2. Schenkel h = [SB entsteht.
S
Schenk
el
β = = (h, g) = = BSA ist der Winkel,
g
der durch Drehung des
A
1. Schenkels h = [SB auf den
2. Schenkel g = [SA entsteht.
Beispiel 1
Trage die Punkte A (– 4 ; – 3), B (8 ; – 3), C (4 ; – 1) und D (1 ; 2) in ein Koordinatensystem ein.
Verbinde die Punkte in alphabetischer Reihenfolge zum Viereck ABCD.
Bezeichne die Winkel im Viereck und miss sie! Addiere die Größen dieser vier Winkel.
Lösung:
D
y
Wenn die Winkel wie in der Zeichnung
δ
benannt werden, betragen ihre Größen:
1
x
α = = BAD = 45°,
β
= = CBA = 27°,
1
–4 –3 –2 –1
2 3 4 5
6
7
8
C
–1
γ
=
= DCB = 198°,
γ
δ
=
= ADC = 90°.
–2
Summe
der Innenwinkel des Vierecks:
β
α
A
B
45° + 27° + 198° + 90° = 360°
Erinnerung:
[SA bedeutet Halbgerade.
Beispiel 2
Trage an die Halbgerade g den Winkel δ = = (g, h) = 330° an.
Lösung:
Weil δ = 180° + 150° fügt man
Weil 330° = 360° – 30°, erhält man δ,
zum gestreckten Winkel einen
wenn man vom Vollwinkel 30° abzieht.
Winkel von 150° hinzu.
oder
Drehung gegen den Uhrzeigersinn
Drehung im Uhrzeigersinn
δ = 330° = 180° + 150°
δ = 330° = 360° – 30°
3
4
5
10
20
10
40
2
0
13
50
0
120
110
60
100
90
80
70
14
0
120
110
90
100
80
40
g
1
15
80
0
6
7
160
90
70
1
170
50
60
70
–30°
60
100
2
0
110
3
14
120
14
0
0
50
0
4
0
15
h
markieren bei
150°, danach
2. Schenkel
zeichnen.
0
14
13
5
160
20
6
15
30
7
170
20
7
160
0
15
30
6
30
5
40
4
10
3
20
2
160
0°
δ S
g
1
30
0
40
1
170
10
2
80
3
170
30°
δ S
4
90
5
100
6
0
13
7
50
anlegen
60
Positive und negative
Winkel am Kreis:
70
3
110
0
120
–3
0
13
Zum Vergleich: Positive
und negative Zahlen am
Zahlenstrahl:
h
markieren bei 30°
(im Uhrzeigersinn), danach
2. Schenkel
zeichnen.
81b
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2
Winkel über 180°
Aufgaben
Innenwinkel haben ihre
Scheitel in den Eckpunkten
und liegen im Inneren der
Figur.
3
7
Zeichne Winkel mit der angegebenen
Größe. Schreibe dazu, von welcher Art der
Winkel ist (z. B. spitzer Winkel).
a) 75°
b) 90°
c) 125° d) 160°
e) 180° f) 237° g) 270° h) 315°
Zeichne „nach Augenmaß“ (d. h. nur
mit dem Lineal, ohne zu messen) einen
Winkel der gegebenen Größe. Miss dann
seine wirkliche Größe mit dem Geodreieck.
Berechne die Abweichung.
4
Winkelgröße
30° 130° 175°
Übertrage die Figur in dein Heft. Miss alle
Innenwinkel und benenne sie. Welche sind
spitz, recht, stumpf oder überstumpf?
gezeichnet
37°
K
G
L
I
H
N
D
O
C
A
8
E
B
5
Was für ein Tier wurde
hier gezeichnet?
Drehe die Zeichnung auch
einmal um 90°.
7°
a) Die Erde dreht sich täglich einmal um
ihre Achse. Um welchen Winkel dreht sie
sich in einer Stunde?
b) Die Sonne geht um 5.00 Uhr (um
7.00 Uhr) auf. Um wie viel Grad dreht
sich die Erde bis zum Sonnenuntergang
um 21.00 Uhr (um 17.00 Uhr)?
F
M
Abweichung
225° 330°
Ein Käfer krabbelt um das Viereck ABCD.
Er startet in A und ändert in B, C, D seine
Richtung. In A dreht er sich schließlich so,
dass er wieder nach B schaut. Zeichne das
Viereck in dein Heft; miss die Größen aller
Winkel, um die sich der Käfer gedreht hat
und berechne deren Summe.
9
Übertrage die Figur in dein Heft. Miss die
Größe der Winkel.
a) = (a, b)
b) = (a, d)
c) = (b, d)
d) = (c, d)
e) = (d, c)
f) = (d, a).
c
b
d
a
C
D
B
Zu Aufgabe 10:
Welche Winkel kann man
zwischen zwei Geraden
messen? Welcher Unterschied ist zwischen
= (g, h) und = (h, g)?
A
h
g
6
Zeichne für verschiedene Uhrzeiten die
Stellung der Uhrzeiger und miss jeweils den
dazwischenliegenden Winkel. Der kleine
Zeiger soll dabei immer den 1. Schenkel
darstellen.
10
Gegeben sind die Punkte A (–2 ; –1), B (6 ; 4)
und C (0 ; 5).
a) Zeichne die Geraden g = AB und
h = AC und miss = (g, h) = = BAC.
b) Zeichne die Gerade k, die die Gerade h
in C schneidet mit = (k, h) = = (g, h).
Wie liegen die Geraden g und k zueinander?
c) Zeichne durch A eine zu g senkrechte
Gerade s. Wie groß sind = (g, s) und
= (h, s)?
e) Miss den Abstand der Parallelen.
81c
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für Gymnasien
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3
Winkel über 180°
11
13
Zeichne die Buchstaben A, K und M
möglichst groß in dein Heft und miss alle
bei den Buchstaben auftretenden Winkel.
12
Bei einem Kompass beginnt die Gradeinteilung im Norden (0°) und verläuft über
Osten (90°), Süden (180°) und Westen
(270°) nach Norden zurück. Den im Uhrzeigersinn gemessenen Winkel zwischen
der Nordrichtung und der Zielrichtung
nennt man den Kurswinkel.
a) Übertrage mit Hilfe eines Gitters
(Abstand der Gitterlinien 1 cm) die Lage
vom Birkenhof, Eichberg, Jagdhaus und
Pulvermühle in dein Heft.
b) Ermittle mit Hilfe des Geodreiecks den
Kurswinkel vom Birkenhof zum Eichberg (vom Eichberg zur Pulvermühle;
vom Eichberg zum Jagdhaus).
Bestimme auch die jeweiligen Entfernungen (Maßstab 1 : 100 000) möglichst
genau.
c) Ermittle die Kurswinkel von deinem Heimatort zu den nächstgrößeren Städten.
a) Der Wind kommt von Süden (S). Er
dreht sich dann über Süd-Ost (SO) nach
Osten (O). Um wie viel Grad hat er sich
gedreht?
b) Der Wind dreht sich von Osten (O) über
Nord (N) nach Nord-West (NW). Um
wie viel Grad hat er sich gedreht?
c) Um wie viel Grad hat sich der Wind
gedreht, wenn er seine Richtung von
Nord-Nord-Ost (NNO) über West (W)
nach Süd-Süd-Ost (SSO) ändert?
14
Wie kann man von außen den Winkel der
Mauer einer Burganlage messen?
G15
Berechne.
a) (945 – 122) – [556 + (341 – 175)]
b) –21 · 4 + [28 – 3 · (21 + 19)] · (–2)
c) 15 · 19 + 12 · 15 + 15 · 9
d) (42 + 4 · 7) · 4 – (146 + 23) : 13
G16
Ein Sportfahrrad kostet bei Barzahlung
985 $. Bei Ratenzahlung sind für das Rad
12 Monatsraten von 91 $ zu bezahlen.
Wie viel spart man bei Barzahlung?
81d
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