Formelsammlung diskrete Strukturen I

Formelsammlung
diskrete Strukturen I
<[email protected]>
Stand: 27.05.2005 - Version: 1.0.0
Erhältlich unter http://privat.macrolab.de
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung “Dis- 2 Kombinatorik
krete Strukturen 1 für Informatiker” von Dr. Markus
2.1 Elementare Zählprinzipien . . . . . . . .
Wessler an der Universität Kassel im Sommersemester
2004.
2.1.1 Auswahlen . . . . . . . . . . . .
Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen
2.1.2 Rechenregeln für BinomialkoeffiDownload zur Verfügung. Das Urheberrecht und sonzienten . . . . . . . . . . . . . . .
stige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständig2.1.3 Summenregel . . . . . . . . . . .
keit der Inhalte übernehmen kann.
2.1.4 Produktregel . . . . . . . . . . .
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
5
5
5
5
5
5
2.1.5
Gleichheit . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.6
Doppeltes Abzählen . . . . . . .
5
2.1.7
Schubfachprinzip . . . . . . . . .
5
Permutationen . . . . . . . . . . . . . .
6
2
Logik & Aussagen . . . . . . . . . . . .
2
1.1.1
Verknüpfungen . . . . . . . . . .
2
1.1.2
Rechenregeln . . . . . . . . . . .
2
2.2.1
Definition . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.3
Quantoren . . . . . . . . . . . . .
3
2.2.2
Zyklus . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.4
Eigenschaften von Aussagen . . .
3
2.2.3
Stirlingzahl . . . . . . . . . . . .
6
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.1
Beschreibung . . . . . . . . . . .
3
1.2.2
Standardmengen . . . . . . . . .
3
1.2.3
Intervalle . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.4
Operationen . . . . . . . . . . . .
3
1.2.5
Rechenregeln . . . . . . . . . . .
4
Beweisverfahren . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.1
direkter Beweis . . . . . . . . . .
4
1.3.2
indirekter Beweis . . . . . . . . .
4
1.3.3
Kontraposition . . . . . . . . . .
4
1.3.4
Vollständige Induktion I.33 . . .
4
Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1
2.2
3 Rekursionen
Lineare Rekursionsgleichungen . . . . .
6
3.1.1
Definition . . . . . . . . . . . . .
6
3.1.2
lineare
Rekursionsgleichung
1. Ordnung . . . . . . . . . . . .
6
lineare
Rekursionsgleichung
2. Ordnung . . . . . . . . . . . .
6
Fibonacci-Folge . . . . . . . . . .
7
Erzeugende Funktionen . . . . . . . . .
7
4
3.2.1
Definition . . . . . . . . . . . . .
7
injektiv . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2.2
Rechenregeln . . . . . . . . . . .
7
1.4.2
surjektiv . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2.3
Inverse . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4.3
bijektiv . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4.4
isomorph . . . . . . . . . . . . .
5
3.2.4
Wichtige Erzeugende Funktionen
7
Sonstiges . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2.5
1.5.1
5
Lösen von linearen Rekursionsgleichungen durch erzeugende
Funktionen . . . . . . . . . . . .
7
Ganzzahliger Anteil . . . . . . .
3.1
6
3.1.3
3.1.4
3.2
1
2
1
4 Graphentheorie
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5.3
Varianz . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1
Definition Graph . . . . . . . . .
8
4.1.2
Grad & Gradfolge . . . . . . . .
8
4.1.3
Regulär . . . . . . . . . . . . . .
8
Eulersche und hamiltonische Graphen .
9
4.2.1
Weg & Eigenschaften . . . . . .
9
4.2.2
Abstand & Durchmesser . . . . .
9
4.2.3
eulerscher Graph . . . . . . . . .
9
4.2.4
zusammenhängend . . . . . . . .
9
4.2.5
Kreis . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2.6
Teilgraph . . . . . . . . . . . . .
9
4.2.7
hamiltonischer Graph . . . . . .
9
4.2.8
Adjazenzmatrix . . . . . . . . . .
9
Bipartite Graphen . . . . . . . . . . . .
9
4.3.1
bipartit & Matching . . . . . . .
9
4.3.2
Heiratssatz / Existenz eines perfekten Matching . . . . . . . . .
9
Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.4.1
Baum & Blätter . . . . . . . . .
10
4.4.2
aufspannender Baum . . . . . . .
10
Eulerscher Satz . . . . . . . . . . . . . .
10
Äquivalenz von Graphen / ebene
Graphen . . . . . . . . . . . . . .
• Disjunktion
a ∨ b: a oder b
10
4.5.2
Eulerscher Satz . . . . . . . . . .
10
• Antivalenz (XOR)
a ∨˙ b: entweder a oder b
4.5.3
Satz von Kuratowski . . . . . . .
10
10
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie . . .
10
5.1.1
Definitionen . . . . . . . . . . . .
10
5.1.2
Laplacescher
Wahrscheinlichkeitsraum . . . . . . . . . . . . .
10
5.1.3
bedingte Wahrscheinlichkeit . . .
11
5.1.4
Formel von der vollständigen
Wahrscheinlichkeit . . . . . . . .
11
Unabhängigkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . .
11
5.2.1
Definition . . . . . . . . . . . . .
11
5.2.2
Binomialverteilung . . . . . . . .
11
5.2.3
Hypergeometrische Verteilung . .
11
Erwartungswert und Varianz . . . . . .
11
5.3.1
Zufallsvariable . . . . . . . . . .
11
5.3.2
Erwartungswert . . . . . . . . . .
11
12
Die hinter den Überschriften angegebenen Nummern
beziehen sich auf die Seitenzahlen des Buches “Diskrete
Mathematik” von Martin Aigner (5. Auflage).
8
5 Wahrscheinlichkeitstheorie
5.2
5.3.3
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1
5.1
8
GRUNDLAGEN
Grundlagen der Logik und der Mengenlehre sind in
meiner “Formelsammlung Mathe I/II für Informatiker”
nach zuschlagen.
1
Grundlagen
1.1
Logik & Aussagen
Eine Aussage ist ein Sprachkonstrukt, das entweder
wahr oder falsch ist. Für zwei Aussagen A und B exisiteren Verknüpfungen.
1.1.1
Verknüpfungen
• Negation
¬a: nicht a
• Implikation
a ⇒ b: aus a folgt b
• Äquivalenz
a ⇐⇒ b: a und b sind äquivalent (gleichwertig)
• Konjunktion
a ∧ b: a und b
1.1.2
Rechenregeln
• Kommutativgesetz
a∧b=b∧a
a∨b=b∨a
• Assoziativgesetz
(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)
(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
• Distributivgesetz
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
• De Morgan
¬ (a ∨ b) = (¬a) ∧ (¬b)
¬ (a ∧ b) = (¬a) ∨ (¬b)
• doppelte Negation
¬ (¬a) = a
• neutrales Element
a∨f=a
a∧f=f
a∨w=w
a∧w=a
3
1.2 Mengen
• inverses Element
a ∨ (¬a) = w
a ∧ (¬a) = f
1.1.3
Quantoren
• Allquantor ∀x : ϕ(x)
für alle x gilt ϕ(x).
z.B. ∀x ∈ N : x2 ∈ N = ∀xN : x2 ∈ N
• Existenzquantor ∃x : ϕ(x)
es gibt (mindestens) ein x für das ϕ(x) gilt.
z.B. ∃x ∈ N : ϕ(x) = ∃xN : ϕ(x)
• ∃!x : ϕ(x) oder ∃1 x : ϕ(x)
es gibt genau ein x für das ϕ(x) gilt.
• Negation ∀x : H(x) ⇔ ¬∃x : ¬H(x)
Es gilt für alle x, H(x) ⇔ Es gibt nicht ein x, für
das H(x) nicht gilt.
1.1.4
Eigenschaften von Aussagen
Widerspruch (Symbol: Blitz (\lightning)) heißt eine
zusammengesetzte Aussage, wenn sie immer falsch
ist.
z.B. A ∧ ¬A
Tautologie heißt eine Aussage, wenn sie immer wahr
ist.
z.B. A ∨ ¬A
1.2
Mengen
Eine Menge ist die Gesamtheit einer Zahl von Objekten unserer Anschauung oder Intuition (nach dem Mathematiker Cantor)). Die Objekte heißen Elemente und
wir schreiben a ∈ M (a ist Element der Menge A) bzw.
a∈
/ A ⇔ ¬ (a ∈ M ).
1.2.1
Beschreibung
• Ganzen Zahlen
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
• Rationalen
Zahlen
o
n
Q = pq |p ∈ Z ∧ q ∈ N
• Reellen Zahlen
R = {jeder Punkt auf dem Zahlenstrahl}
– positiven reellen Zahlen
R>0 = {x ∈ R|x > 0}
• Komplexen
Zahlen
√ Z = x + iy|x, y ∈ R, i = −1
• N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
1.2.3
Intervalle
• offenes Intervall
(a, b) := {x ∈ R|a < x < b}
• halboffenes Intervall
(a, b] := {x ∈ R|a < x ≤ b} bzw. (a, b(
[a, b) := {x ∈ R|a ≤ x < b} bzw. )a, b)
• abgeschlossenes Intervall
[a, b] := {x ∈ R|a < x < b} bzw. )a, b(
1.2.4
Operationen
• Gleichheit
A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) ⇔ (x ∈ A ⇔ x ∈ B)
• Teilmenge
A ⊆ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
• echte Teilmenge
A ( B ⇔ (A ⊆ B ∧ A 6= B)
• Vereinigung
A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Disjunkte Vereinigung
A ∪˙ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Beschreibung Z =Menge der ganzen Zahlen
• Schnitt
A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Auswahl M = {x ∈ Z|x ist gerade}
• Ohne (Differenz)
A\B = {x|x ∈ A ∨ x ∈
/ B}
Aufzählung W = {M ontag, Dienstag, . . .}
• | mit der Eigenschaft
1.2.2
Standardmengen
• Leere Menge
Ø = {}
• Natürlichen Zahlen
N = {1, 2, 3, . . .}
– Natürlichen Zahlen mit 0
N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}
• symmetrische Differenz
A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
• geordnete Paare
A × B = {(x, y) |x ∈ A ∧ y ∈ B}
• Potenzmenge
P (M ) = {A|A ⊆ M }
• Komplementärmenge
für A ⊆ M ist Ā = {x ∈ M |x ∈
/ A}
• Anzahl der Elemente
|M | =Anzahl der Elemente von M
4
1
1.2.5
Rechenregeln
• Kommutativgesetz
A∪B =B∪A
A∩B =B∩A
A∆B = B∆A
• Assoziativgesetz
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A∆ (B∆C) = (A∆B) ∆C
• Distributivgesetz
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• De Morgan
A∩B = A∪B
A∪B = A∩B
• doppelt invers
A=A
• neutrales Element
A∪Ø=A
A∩Ø=Ø
• inverses Element
A∩A=Ø
A ∪ A =Grundmenge
1.3
1.3.1
Beweisverfahren
direkter Beweis
1.3.4
1. Induktionsanfang: A(1) gilt
2. Induktionsannahme: für jedes n gilt A(n)
3. Induktionsschritt: Zeige: aus A(n) folgt A(n + 1).
(bzw. A(n + 1) lässt sich mit Hilfe der Annahme
A(n) beweisen)
1.4
1.3.3
Kontraposition
Abbildungen
Eine Abbildung ist eine eindeutige Zuordnung, d.h. zu
jedem Urbild wird genau ein Bild zugeordnet.
Mengen f : V → W
f : Urmenge → Bildmenge
Elemente von Mengen a 7→ f (a)
f : Urbild 7→ Bild
1.4.1
injektiv
wenn es zu jedem unterschiedlichen Urbild auch unterschiedliche Bilder gibt.
a 6= b ⇒ f (a) 6= f (b)
• f injektiv ⇔ f −1 (f (a)) = a
• f : A → B injektiv ⇒ |A| ≤ |B|
– durch Einschränken von B kann f bijektiv
gemacht werden
1.4.2
indirekter Beweis
Vollständige Induktion I.33
A(n) Aussage für natürliche Zahlen
Diesen Beweis erhält man durch gezielte Umformung
der Aussagen bzw. durch logisches Schließen (Implikation).
1.3.2
GRUNDLAGEN
surjektiv
heißt eine Abbildung f : A → B, wenn es zu jedem EleAuch Widerspruchsbeweis genannt. Hier versuch man ment aus dem Bildraum auch mindestens ein passendes
Urbild gibt.
die Gleichwertigkeit von
∀bB : ∃aA : f (a) = b
(A ⇒ B) ⇔ ((A ∧ (¬B)) ⇒ F alsch)
• f surjektiv ⇔ f f −1 (b) = b
auszunutzen.
• f : A → B surjektiv ⇒ |A| ≥ |B|
z.B.: “Wenn es regnet ist die Straße nass.” ⇔ “Es regnet
und die Straße ist nicht nass, ist ein Widerspruch.”
1.4.3 bijektiv
Hier wird versucht die Aussage umzudrehen (beruht
auf Tautologie).
ist eine Abbildung f , wenn sie surjektiv und injektiv
ist. Dies sind 1:1 - Abbildungen.
(A ⇒ B) ⇔ ((¬B) ⇒ (¬A))
• Bei endlichen Mengen:
f : A → B bijektiv (surjektiv & injektiv) ⇒ |A| =
|B|
z.B.: “Wenn es Regnet ist die Straße nass.” ⇔ “Wenn
die Straße nicht nass ist, kann es nicht geregnet haben.”
• es existiert bei bijektiven Abbildungen eine Umkehrabbildung.
5
2.1 Elementare Zählprinzipien
1.4.4
isomorph
Eine Abbildung f heißt isomorph, wenn sie bijektiv und
linear ist. (entspricht Umbenennung der Elemente)
1.5
Sonstiges
1.5.1
Ganzzahliger Anteil
Der ganzzahlige Abteil einer Zahl x kann wie folgt dargestellt werden (Abrunden):
⌊x⌋ := max {k ∈ Z|k ≤ x}
2
Kombinatorik
2.1
Elementare Zählprinzipien
2.1.1
Auswahlen
Wir betrachten eine Menge M mit n Elementen. Wie
viele Auswahlen von k Elementen aus M gibt es:
1. Variationen
• Entwicklung
Dreiecks
des
Pascalschen
n+1
n
n
=
+
k
k
k−1
• Binomalentwicklung
Pn
n
n
(a + b) = i=0
an−i bi
i
Pn
n
= 2n
•
k=0
k
n
n
•
=
=1
0
n
n
n
•
=
=n
1
n−1
n
n−1
•
= nk
k
k−1
n
k
n
n−j
•
=
k
j
j
k−j
Pn
n
•
k 2 = n (n − 1) 2n−2
k=1
k
P
r
s
r+s
=
•
k∈Z
k
n+k
r+n
(a) mit Wiederholung und mit Berücksichtigung
2.1.3 Summenregel
der Reihenfolge
nk
P
S = ∪˙ i=1,...,n Si ⇒ |S| = ni=1 |Si |
(b) ohne Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge (speziell für k = n Per- Man klassifiziere Elemente von S in sich gegenseitig
mutation)
ausschließende Eigenschaften.
n!
n
=
k!
k
(n − k)!
2.1.4 Produktregel
2. Kombinationen
S = S1 × . . . × Sn ⇒ |S| =
Qn
i=1
|Si |
(a) mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
2.1.5 Gleichheit
n−1+k
S, T endliche Mengen. Falls es eine bijektive Abbildung
k
von f : S → T gibt, so gilt |S| = |T |
(b) ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
2.1.6 Doppeltes Abzählen
n
k
S, T endliche Mengen, R ⊆ S ×T . Für a ∈ S bezeichnet
l (a) die Zahl der Elemente b ∈ T mit (a, b) ∈ R und
entsprechend für b ∈ T sei r (b) die Zahl der Elemente
2.1.2 Rechenregeln für Binomialkoeffizienten
a ∈ S mit (a, b) ∈ R. Dann
X
X
•
|R| =
l (a) =
r (b)
n
n
a∈S
b∈T
=
k
n−k
n!
2.1.7 Schubfachprinzip
=
k! (n − k)!
n · . . . · (n − k + 1)
S, T endliche Mengen, f : S → T Abbildung. Falls
=
1 · . . . · (k − 1) · k
|S| > |T |, so ist f nicht injektiv.
6
3 REKURSIONEN
2.2
2.2.1
3
Permutationen
Definition
Rekursionen
3.1
Lineare Rekursionsgleichungen
Eine Permutation ist eine Auswahl von n Elementen
aus einer n-elementigen Menge mit Berücksichtigung 3.1.1 Definition
der Reihenfolge.
Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung σ : Eine Gleichung der Form
{1, . . . , n} → {1, . . . , n}. Die Menge aller solchen Peran = c1 an−1 + c2 an−2 + . . . + ck an−k + bk (n ≥ k)
mutationen heißt symmetrische Gruppe und wir bezeichnen sie mit Sn
mit den Anfangsbedingungen
• |Sn | = n!
a0 = b0 , a1 = b1 , . . . , ak−1 = bk−1
2.2.2
Zyklus
Ein Zyklus (i1 , . . . , it ) der Länge t einer Permutation σ
ist ein Tupel mit σ (ij ) = ij+1 , σ (it ) = i1 .
heißt lineare Rekursionsgleichung (RG) k-ter Ordnung.
Für bk = 0 heißt die Gleichung homogen, sonst inhomogen. Ziel ist es einen geschlossenen Ausdruck zu finden.
• Jede Permutation lässt sich aus Zyklen zusammen3.1.2 lineare Rekursionsgleichung 1. Ordnung
setzen, wo jede Ziffer insgesamt nur einmal vorkommt
Eine (inhomogene) lineare RG 1.Ordnung
• Ein Zweierzyklus wird auch Transposition genannt.
a0 = b0 , an = c1 an−1 + b1 (n ≥ 1)
• Ein Zyklus der Länge t kann man auf t verschiehat die Lösung
dene weisen schreiben, die wir aber miteinander

Identifizieren
cn1 b0

b0 + nb1
• Ein Zyklus ist eine Art “Ring-Rechtsshift” der daan =
 n
cn −1
zugehörigen Einträge in der Permutation
c1 b0 + c11 −1 b1
• Zyklen sind elementfremd, wenn sie keine Ziffer
gemeinsam haben
• elementfremde Zyklen lassen sich in ihrer Reihenfolge vertauschen
• Einerzykel (enthalten nur eine Ziffer) ändern nicht
die Reihenfolge, und müssen nicht hingeschrieben
werden, wohl aber mitgezählt
σ
=
=
2.2.3
1
2
2 3
1 5
4 5
3 4
(1, 2) (3, 5, 4) (6)
6
6
Die Anzahl sn,k von Permutationen σ ∈ Sn , die aus
genau k Zyklen besteht, heißt Stirlingzahl 1.Art (jede
Ziffer taucht nur einmal auf / Zyklen sind elementfremd)
Abbildung
• Für n, k ∈ N (n ≥ k) gilt:
sn,k = sn−1,k−1 + (n − 1) sn−1,k
Pn
(x+n−1)!
k
•
k=1 sn,k x = (x−1)!
möglich
Eine homogene lineare RG 2. Ordnung hat
a0 = b0 , a1 = b1 , an = c1 an−1 + c2 an−2 (n ≥ 2)
an = Aαn − Bβ n
Stirlingzahl
• sn,n = 1
nur identische
(1) (2) . . . (n)
lineare Rekursionsgleichung 2. Ordnung
• bei c21 + 4c2 > 0 die Reelle Lösung:
• z.B: eine 6er Permutation aus 3 Zyklen
3.1.3
(b1 = 0)
(c1 = 1)
(sonst)
σ
=
wobei α, β die zwei (verschiedenen) Lösungen der
Gleichung
t2 − c1 t − c2 = 0 sind
r
r
c1
c21
c21
c1
+
+ c2 β =
−
+ c2
α=
2
4
2
4
und
A=
b1 − b0 β
α−β
B=
b1 − b0 α
α−β
• bei c21 + 4c2 = 0 die Reelle Lösung:
an = (nb1 − (n − 1) αb0 ) αn−1
α=
c1
2
• bei c21 + 4c2 < 0 die komplexe Lösungen. Formeln
siehe bei c21 + 4c2 > 0.
7
3.2 Erzeugende Funktionen
3.1.4
3.2.4
Fibonacci-Folge
Die Fibonacci-Folge
F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 (n ≥ 2)
hat die Lösung:
1
Fn = √
5
• Fn+1 =
Pn
√ !n
1+ 5
1
−√
2
5
k=0
n−k
k
√ !n
1− 5
2
3.2
3.2.1
•
•
P
P
P
n≥0
n≥0
n≥0
(n + 1) xn =
n+k
k
n2 xn =
1
(1−x)2
xn =
1
(1−x)k+1
x(x+1)
(1−x)3
Pn
• bn =
k=0 ak die Folgen zu den erzeugenden
Funktionen A (x) , B (x)
B (x) = A(x)
1−x
(n ≥ 1)
3.2.5
Lösen von linearen Rekursionsgleichungen durch erzeugende Funktionen
Erzeugende Funktionen
Gegeben ist eine lineare Rekursionsgleichung k-ter
Ordnung
Definition
Sei (an )n∈N0 eine Folge. Die formale Potenzreihe
X
A (x) :=
an xn
n≥0
heißt erzeugende Funktion zur Folge (an ).
3.2.2
• geometrische
Reihe
P
n
1
(αx)
=
n≥0
1−αx
P
x
n
•
n≥0 (n) x = (1−x)2
•
2
• F2n−1 = Fn−1
+ Fn2
• F2n = Fn (2Fn−1 + Fn )
n 1 1
Fn+1
Fn
•
=
1 0
Fn
Fn−1
Wichtige Erzeugende Funktionen
Rechenregeln
Sind (an ) , (bn ) zwei Folgen mit entsprechenden Funktionen A (x) , B (x), dann:
Summe (cn ) := (an + bn )
P
Hat erzeugende Funktion C (x) = n≥0 cn xn und
wir schreiben C (x) = A (x) + B (x)
Pn
Produkt (cn ) := ( k=0 ak bn−k )
P
Hat erzeugende Funktion C (x) = n≥0 cn xn und
wir schreiben C (x) = A (x) B (x)
a0 =b0 ,...,ak−1 =bk−1
an =
Pk
i=1
ci an−i (n≥k)
Ansatz (Siehe Algorithmus 1 auf der
P nächsten Seite) Hierbei ersetzt man A (x) = n≥0 an xn durch
die Rekursionsdefinition. Dabei entstehen Terme
die wieder nur ein an mit verschobenen Summationsbereich enthalten. Hier kann man nun durch
Umformung das ganze wieder in ein Polynom plus
A (x) bringen.
Koeffizienten Zusammenfassen (aus letzter Gleichung) zu di
A (x)
=
k−1
X
di xi + A (x)
i=0
=
i=1
Pk−1
i=0
1−
k
X
Pk
di xi
i=1
ci xi
(ci xi )
• Erzeugende Funktionen lassen sich gliedweise Inte- Faktorisieren des Nenners (Bestimmen von
und mi )
grieren und Differenzieren, um so neue erzeugende
Funktionen zu konstruieren.
r
k
X
Y
m
(1 − αi x) i
ci xi =
1−
i=1
i=1
3.2.3 Inverse
αi
P
n
von
erzeugende Funktion zu Partialbruchbruchzerlegung (Bestimmen
Sei A (x) =
n≥0 an x
g
(x))
(a
).
Dann
heißt
die
erzeugende
Funktion
B
(x)
=
i
n
P
Pr
n
gi (x)
A (x) = i=1 (1−α
m
n≥0 bn x invers zu A (x), falls A (x) B (x) = 1
i x) i
gi (x) wird von x unabhängig, wenn beim Faktori• Hier ist 1 die erzeugende Funktion zur Folge
sieren des Nenners komplexe Lösungen zugelassen
(1, 0, 0, . . .)
werden. Dies erleichtert die Anwendung des
P
nächsten Punktes.
n
• Die erzeugende Funktion A (x) = n≥0 an x hat
eine inverse erzeugende Funktion (auch: A (x) ist Erstellen von Erzeugenden Funktion für A (x)
invertierbar) genau dann, wenn a0 6= 0
8
4
GRAPHENTHEORIE
Algorithm 1 : Ansatz zum Lösen von LRG mit erzeugenden Funktionen
P
Ansatz A (x) = n≥0 an xn
Startwerte einsetzten A (x) =
Rekursion einsetzten A (x) =
Index verschieben A (x) =
Pk−1
i=0
Pk−1
i=0
Pk−1
i=0
bi xi +
bi xi +
bi xi +
P
Pk
Pk
i=1
i=1
an xn
P
n≥k
n
n≥k ci an−i x
P
ci xi n≥k−i an xn
Ergänzen und A (x) ersetzen
Pk−i−1
Pk−1
Pk−1
an xn + ck xk A (x)
A (x) = i=0
bi xi + i=1
ci xi A (x) − n=0
0
B
B r
B
B
B
P
B
A(x)= n≥0 B
B
B
B
B i=1
@
X
1
gi (x)
|
mi − 1 + n
n
{z
f
αni
}
– Hat
der
d-dimensionale
Hyperwürfel
(E, K) die Ecken v1 , . . . , v2d , so hat der
(d + 1)-dimensionale Hyperwürfel die Ecken
w1 , . . . , w2d , w1′ , . . . , w2′ d und die Kanten
C
C
C
C
C
C
n
x C
C
C
C
C
A
{{wi ,wj },{wi ,wj }|i6=j∧{vi ,vj }∈K}
Koeffizientenvergleich
Wenn alle gi nicht von x abhängig sind, so ist
f = an , wenn nicht muss diese Formel noch etwas
umgestellt werden. Hiermit wäre ein geschlossener
Ausdruck für an gefunden.
4
Graphentheorie
4.1
4.1.1
∪{{wi ,wi′ }|1≤i≤2d }
– ein d-dimensionaler Hyperwürfel ist d-regulär
– ein 2n-dimensionaler Hyperwürfel ist ist eulersch
4.1.2
Grundlagen
Grad & Gradfolge
Sei G = (E, K) ein Graph mit E = {v1 , . . . , vn }. Der
Grad der Ecke v ist
Definition Graph
deg (v) = |{z ∈ G|v ∈ z}|
Ein schlichter Graph ist ein Paar G = (E, K), wobei
E = {v1 , . . . , vn } eine endliche nicht leere Menge von
Ecken und K ⊆ {{vi , vj } |i 6= j} eine Menge von Kan- Schleifen müssen hierbei doppelt gezählt werden! Der
Grad gibt die Anzahl der Kanten an, die v als Ecke
ten ist.
haben.
Ein Graph (manchmal auch “Multipgraph” genannt)
erlaubt zusätzlich Schleifen (d.h. {vi , vi }) und auch Das n-Tupel (deg (v1 ) , . . . deg (vn )) heißt Gradfolge von
G.
Mehrfachkanten (d.h.
{vi , vj }n hat eine Vielfachheit von n) mit einer gewissen Vielfachheit.
• G schlicht und |E| = n ⇒ |k| ≤
n
2
• Vn = vollständiger (schlichter) Graph. D.h. das alle Ecken über kanten mit jeder anderen Ecke verbunden sind.
– V2n+1 ist eulersch
– Vn ist (n − 1)-regulär
– Vn ist mit n ≥ 5 nicht plättbar
• Hyperwürfel
•
P
v∈E
deg (v) = 2 |K|
• Die Anzahl der Ecken mit ungeradem Grad ist gerade
• Es gibt einen schlichten Graphen G mit der Gradfolge (d1 , . . . , dn ) mit d1 ≥ . . . ≥ dn genau
dann, wenn es einen Graphen mit der Gradfolge
(d2 − 1, . . . , dd1 +1 − 1, dd1 +2 , . . . , dn ) gibt.
4.1.3
Regulär
Der Graph G = (E, K) heißt k-regulär, falls alle Ecken
von
G den selben Grad k haben.
– der 0-dimensionale Hyperwürfel hat eine
Ecke, und keine Kante
• Vn ist (n − 1)-regulär
– jeder Hyperwürfel ist hamiltonisch
9
4.3 Bipartite Graphen
4.2
4.2.1
Eulersche und hamiltonische Gra- 4.2.7 hamiltonischer Graph
phen
Weg & Eigenschaften
Sei G = (E, K) ein Graph, und v, e ∈ E.
Ein Weg von v nach w ist eine Folge von Ecken
(v = v1 , v2 , . . . , vm = w) mit der Eigenschaft, dass alle
{vi , vi+1 } ∈ K (Kanten von G) sind. Der Weg heißt
geschlossen (bzw. offen), falls v = w (bzw. v 6= w).
Der Weg heißt (Kanten-)einfach, falls alle Kanten
{vi , vi+1 } paarweise verschieden sind.
Der Weg heißt eckeneinfach, falls alle Ecken vi paarweise verschieden sind (für i = 1, . . . , m − 1).
Die Länge eines Weges, ist die Anzahl der Kanten, die
er enthält.
• eckeneinfach ⇒ kanteneinfach
4.2.2
Abstand & Durchmesser
Bei einem zusammenhängenden Graphen ist der Abstand zweier Ecken die Länge des kürzesten Weges, der
diese Ecken verbindet.
Sei G ein Graph. Falls es in G einen Kreis gibt, der alle
Ecken von G enthält, so heißt G ein hamiltonischer
Graph und der Kreis heißt Hamiltonkreis.
• Ist G ein hamiltonischer Graph, so besitzt G einen
Teilgraphen H mit:
– EH = EG
– H ist zusammenhängend
– |EH | = |KH |
• Traveling Salesman Problem
4.2.8
Adjazenzmatrix
Die Adjazenzmatrix zu einem Graphen mit v1 , . . . , vn
ist die n × n-Martix M = (aij ), wobei aij die Anzahl
der Kanten zwischen der Ecke vi und vj ist. M k = (bij )
gibt mit bij an, wie viele Wege der Länge k es zwischen
i und j gibt.
4.3
Bipartite Graphen
4.3.1 bipartit & Matching
Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier
Ecken.
˙ 2
Ein Graph G = (E, K) heißt bipartit, falls E = E1 ∪E
und K nur aus Knoten besteht, die jeweils eine Ecke
aus E1 mit einer aus E2 verbinden.
4.2.3 eulerscher Graph
Eine Teilmenge K ′ ⊆ K heißt Matching, falls kei′
G heißt eulerscher Graph, falls es in G einen geschlosse- ne zwei Kanten aus K eine gemeinsame Ecke besit′
nen (Kanten-)einfachen Weg gibt, der jede Kante von zen. Ein Matching heißt perfekt, falls |K | = |E1 | oder
′
|K | = |E2 |.
G enthält. Diesen Weg nennen wir eulersche Linie.
• G ist eulerscher Graph ⇔ jede Ecke von G hat
geraden Grad und G ist zusammenhängend
• Problem der Königsberger Brücken
4.2.4
• ein bipartiter Graph Gm,n (mit |E1 | = n und
|E2 | = m), heißt vollständig, wenn je zwei Ecken
aus verschiedenen Ecken durch eine Kante verbunden sind.
– für n, m gerade ⇔ Gm,n ist eulersch
zusammenhängend
– für n = m ≥ 2 ⇔ Gm,n hamiltonisch
– GEW-Graph: n = 3 m = 3
Ein Graph G heißt zusammenhängend, falls je 2 verschiedene Ecken durch einen (offenen) eckeneinfachen
Weg verbunden werden können.
– für n, m ≥ 3 ist Gm,n nicht plättbar
4.3.2
4.2.5
Kreis
Heiratssatz / Existenz eines perfekten
Matching
˙ 2 , K) ein bipartiter Graph. Für jede
Sei G = (E, K) ein Graph. Ein geschlossener eckenein- Sei G = (E1 ∪E
Teilmenge U ⊆ E1 definieren wir deg (U ) := Anzahl
facher Weg in G heißt Kreis.
der Ecken aus E2 , die mit einer Ecke aus U verbunden
sind. Dann gilt:
4.2.6 Teilgraph
U besitzt ein perfektes Matching, genau dann wenn
Sei G = (EG , KG ) ein Graph. Ein Graph H = ∀U ⊆ E1 : deg (U ) ≥ |U |.
(EH , KH ) heißt Teilgraph von G, falls EH ⊆ EG und
KH ⊆ KG .
• deg (U ) ≤
P
v∈U
deg (v)
10
5
• jeder bipartite k-reguläre Graph hat ein perfektes
Matching
• Wenn |E1 | =
6 |E2 | ⇒ Kanten weglassen und Teilgraph betrachten
4.4
4.4.1
4.5.3
WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE
Satz von Kuratowski
Ein Graph ist genau dann nicht plättbar, wenn er V5
oder GEW als Teilgraphen enthält.
• Der GEW -Graph (der vollständige bipartite 3Graph, G3,3 ) ist nicht plättbar
Bäume
– Problem 3 Häuser mit 3 Versorgern (Gaß,
E lektrizität, W asser) kreuzungsfrei zu verbinden.
Baum & Blätter
Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph ohne
Kreis.
• V5 ist nicht plättbar
Die Ecken vom Grad 1 heißen Blätter .
• Jeder Baum mit mehr als einer Ecke, hat (mindestens) ein Blatt
• Jeder zusammenhängende Graph G mit n Ecken
ist genau dann ein Baum, wenn er n − 1 Kanten
hat.
5
Wahrscheinlichkeitstheorie
5.1
5.1.1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definitionen
Sei Ω eine höchstens abzählbare Menge (d.h. es gibt
eine surjektive Abbildung f : N → Ω) und sei P :
Sei G = (E, K) ein Graph. Ein Teilgraph von G heißt P (Ω) → [0, 1] (P von Probability = Wahrscheinlichaufspannender Baum von G, falls es ein Baum ist, der keit) eine Abbildung mit den Eigenschaften:
alle Ecken von G enthält.
• P (Ω) = 1
• jeder zusammenhängende Graph besitzt einen auf• P ist additiv auf
Pdisjunkten Mengen:
spannenden Baum
P (∪˙ n≥0 An ) = n≥0 P (An )
4.4.2
4.5
4.5.1
aufspannender Baum
Eulerscher Satz
Äquivalenz von Graphen / ebene Graphen
Dann heißt (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, falls Ω endlich), und P heißt die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf
Ω. P (A) nennen wir die Wahrscheinlichkeit von A.
Wir nennen A ∈ P (Ω) ein Ereignis in Ω, und falls
Ein zusammenhängender Graph heißt eben, falls sich |A| = 1, Elementarereignis.
keine Kanten kreuzen.
Ā = Ω\A heißt Gegenereignis zu A.
Zwei Graphen G = (E, K) und G′ = (E ′ , K ′ ) heißen
äquivalent, falls es eine bijektive Abbildung ϕ : E → E ′ ∅ heißt unmögliches Ereignis und Ω sicheres Ereignis.
gibt, so dass {v, w} eine Kante von G ist, genau dann
wenn {ϕ (v) , ϕ (w)} eine Kante von G′ ist.
• A⊆B⊆Ω:
Ein Graph, der zu einem ebenen Graphen äquivalent
ist, heißt plättbar.
4.5.2
Eulerscher Satz
In einem Graphen mit e Ecken, k Kanten und f Flächen (von den Kanten abgetrennt) gilt stets
e−k+f =2
– P (B\A) = P (B) − P (A)
– P (A) ≤ P (B)
• P Ā = 1 − P (A)
• P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
5.1.2
Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, P ) heißt Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum,
|A|
• Maximale Kantenanzahl bei einem plättbaren falls |Ω| < ∞ und ∀A
P(Ω) : P (A) = |Ω| .
Graphen mit n (≥ 3) Ecken.
k (n) = 3 (n − 2)
• insbesondere ∀w
Ω : P ({w}) =
1
|Ω|
11
5.3 Erwartungswert und Varianz
5.1.3
bedingte Wahrscheinlichkeit
5.2.2
Binomialverteilung
Sei (Ω, P ) ein diskreter W-Raum, A, B ⊆ Ω, P (B) > 0. Wir betrachten Ω = {0, 1} mit P (0) = p und P (1) =
1 − p. Die Binomialverteilung
n
P (A ∩ B)
PA (B) P (A)
PB (A) =
=
bn,p (k) =
pk (1 − p)n−k
P (B)
P (B)
k
heißt bedingte W-keit von A bezüglich B (d.h. die Wkeit von A, falls man schon weiß, dass B erfüllt ist).
• (Ω, P ) ein diskreter W-Raum, A1 , . . . , An ⊆ Ω,
P (A1 ∩ . . . ∩ An−1 ) > 0.
P (A1 ∩ . . . ∩ An ) = P (A1 )
5.1.4
n
Y
PA1 ∩...∩Ai−1 (Ai )
i=2
Formel von der vollständigen Wahrscheinlichkeit
gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, das bei
n-maligen Wiederholen genau k-mal ein Ereigniss mit
der Wahrscheinlichkeit p auftritt.
• z.B. 10-maliger Münzwurf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das genau 7 Mal Zahl kommt:
b10, 12 (7)
• ist bezüglich verschiedenen k disjunkt
• E (X) = np
• V (X) = np (1 − p) = npq
5.2.3
Hypergeometrische Verteilung
(Ω, P ) ein diskreter W-Raum, A1 , . . . , An ⊆ Ω mit Ω =
˙ 2 ∪˙ . . . ∪A
˙ n , P(Ai ) > 0, B ⊆ Ω mit P (B) > 0. Situation: Urne mit n Kugeln, davon seien n1 ausgeA1 ∪A
zeichnet. Wir ziehen r Kugeln (r ≤ n). Wie viele dieser
Dann:
r Kugeln gehören zu den n1 ausgezeichnet?
n−n1 n1
n
X
r−k
k
P (Ai ) PAi (B)
P (B) =
hn,n1 ,r (k) =
n
i=1
r
P (Ai ) PAi (B)
PB (Ai ) = Pn
i=1 P (Ai ) PAi (B)
• Für n = 2:
P (B) = P (A) PA (B) + P Ā PĀ (B)
5.2
• ist bezüglich verschiedenen k disjunkt
• Bei großen Zahlen (r ≪ n1 ) lässt sich hn,n1 ,r (k) ≈
br, nn1 (k) annähern
• E (X) =
Unabhängigkeit und Wahrschein- 5.3
lichkeitsverteilung
5.3.1
5.2.1
Definition
n1
n r
Erwartungswert und Varianz
Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable ist eine Funktion X : Ω → R.
Sei (Ω, P ) ein diskreter W-Raum. Wir nennen zwei
Ereignisse A, B ⊆ Ω unabhängig voneinander, falls 5.3.2 Erwartungswert
P (B) = 0 oder P (A) = PB (A). Diese Aussage ist
Sei (Ω, P ) ein diskreter W-Raum. Eine ZufallsvariaÄquivalent zu P (A ∩ B) = P (A) P (B).
ble X : Ω → R gibt den Ausgang eines ZufallsexAllgemein heißen A1 , A2 , . . . , An ⊆ Ω unabhängig von- periments in Ω an. Sie besitzt die Wertemenge W =
einander, falls für alle {i1 , . . . , ik } ⊆ {1, . . . , n} mit {X (a) |a ∈ Ω}.
k ≥ 2 gilt:
Der Erwartungswert von X ist
k
X
Y
E (X) =
x P (X nimmt x an)
P Aij
P (Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) =
Werte x von X
j=1
=
n
x P (X = x)
x
n
Eine Verteilungsfunktion P : Ω →Q[0, 1] die jedem
n
(A1 , . . . , An ) 7→ P n ((A1 , . . . , An )) = i=1 P (Ai ) Tupel von Ereignissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.
X
=
X
x∈W
x P X −1 (x)
12
5
• E (E (X)) = E (X)
• E (aX + b) = aE (X) + b
(a 6= 0)
• E (X1 + X2 ) = E (X1 ) + E (X2 )
• Wenn X1 , X2 unabhängig sind:
E (X1 X2 ) = E (X1 ) E (X2 )
5.3.3
Varianz
Sei (Ω, P ) ein diskreter W-Raum. Eine Zufallsvariable X : Ω → R gibt den Ausgang eines Zufallsexperiments in Ω an. Sie besitzt die Wertemenge W =
{X (a) |a ∈ Ω}.
Die Varianz von X ist
2
V (X) = E (X − E (X))
2
= E X 2 − (E (X))
• V (aX + b) = a2 V (X)
(a 6= 0)
• Wenn X1 , X2 unabhängig sind:
V (X1 + X2 ) = V (X1 ) + V (X2 )
WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE
Index
Äquivalenz, 2
äquivalent, 2
Abbildung, 5
Abbildungen, 4
abgeschlossenes Intervall, 3
Abrunden, 5
Abstand, 9
Abzählen, 5
Adjazenzmatrix, 9
aequivalenz von Graphen, 10
Allquantor, 3
Antivalenz, 2
Assoziativgesetz, 2, 4
aufspannender Baum, 10
Aufzählung, 3
Aussagen, 2
Auswahl, 3
Auswahlen, 5
Baum, 10
Bescheibung, 3
Beweisverfahren, 4
bijektiv, 4, 6
Binomalentwicklung, 5
Binomialkoeffizient, 5
Binomialverteilung, 11
bipartit, 9
Blaetter, 10
De Morgan, 2, 4
Differenz, 3
Differenz, symmetrische, 3
Differenzieren, 7
direkterBeweis, 4
Disjunkte, 3
Disjunktion, 2
diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, 10
Distributivgesetz, 2, 4
Doppeltes Abzählen, 5
Durchmesser, 9
eben, 10
echte Teilmenge, 3
Ecken, 8
eckeneinfach, 9
eindeutige, 4
einfach, 9
Elementarereignis, 10
Elemente, 3
elementfremd, 6
endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, 10
Ereignis, 10
Erwartungswert, 11
Erzeugende Funktionen, 7
eulersch, 9
eulersche Linie, 9
eulerscher Graph, 9
Eulerscher Satz, 10
Existenzquantor, 3
Fibonacci-Folge, 7
Folge, 7
folgt, 2
Ganze Zalen, 3
ganzzahliger Anteil, 5
geeordnete Paare, 3
Gegenereignis, 10
geometrische Reihe, 7
Gesamtheit, 3
geschlossener Ausdruck, 6
geschlossener Weg, 9
GEW, 9
GEW-Graph, 10
Gleichheit, 3, 5
gleichwertig, 2
Grad, 8
Gradfolge, 8
Graph, 8
Graphentheorie, 8
Grundlagen, 2
halboffenes Intervall, 3
hamiltonisch, 9
hamiltonischer Graph, 9
Hamiltonkreis, 9
Heiratssatz, 9
homogen, 6
Hypergeometrische Verteilung, 11
Hyperwuerfel, 8
Implikation, 2
implikation, 4
indirekter Beweis, 4
Induktion, 4
Induktionsanfang, 4
Induktionsannahme, 4
Induktionsschritt, 4
inhomogen, 6
injektiv, 4, 5
Integrieren, 7
Intervall, 3
Inverse, 7
inverses Element, 3, 4
isomorph, 5
Kanten, 8
kanteneinfach, 9
Kombination, 5
Kombinatorik, 5
Kommutativgesetz, 2, 4
Komplementärmenge, 3
Komplexe Zahlen, 3
Konjungtion, 2
Kontraposition, 4
Kreis, 9
Kuratowski, 10
13
14
Laenge, 9
Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum, 10
Logik, 2
Matching, 9
Mehrfachkanten, 8
Menge, 3
Menge Operationen, 3
Mengen, 3
Multipgraph, 8
Natürliche Zalen, 3
Negation, 2, 3
Neutrales Element, 2, 4
nicht, 2
Objekten, 3
oder, 2
offener Weg, 9
offenes Intervall, 3
Ohne, 3
Paare, 3
Pascalsches Dreieck, 5
perfekt, 9
Permutation, 5
Permutationen, 6
plaettbar, 10
Potenzmenge, 3
Potenzreihe, 7
Producktregel, 5
Produkt, 7
Quantifikatoren, 3
Rationale Zalen, 3
Reelle Zahlen, 3
Regulär, 8
regulär, 8
Reihenfolge, 5
Rekursionen, 6
Rekursionsgleichungen, 6
Lineare, 6
RG, 6
Schleifen, 8
schlichter Graph, 8
Schließen, 4
Schnitt, 3
Schubfachprinzip, 5
sicheres Ereignis, 10
Standdardmengen, 3
Stirlingzahl, 6
Summe, 7
Summenregel, 5
surjektiv, 4
symmetrische Differenz, 3
symmetrische Gruppe, 6
Teilgraph, 9
Teilmenge, 3
Teilmenge(echte), 3
INDEX
Transposition, 6
Umkehrabbildung, 4
Umkehrfunktion, 4
unabhaengig voneinander, 11
Unabhaengigkeit, 11
unabhaenig voneinander, 11
und, 2
unmoegliches Ereignis, 10
Varianz, 12
Variation, 5
Vereinigung, 3
Verknüpfungen, 2
Vollständige Induktion, 4
vollstaendig, 9
vollstaendige Wahrscheinlichkeit, 11
vollstaendiger schlichter Graph, 8
Wahrscheinlichkeit, 10
Wahrscheinlichkeitsraum, 10
diskreter, 10
endlicher, 10
Wahrscheinlichkeitstheorie, 10
Diskrete, 10
Wahrscheinlichkeitsverteilung, 10
Warscheinlichkeitsverteilung, 11
Weg, 9
Wiederholung, 5
Wiederspruchsbeweis, 4
XOR, 2
Zählprinzipien, 5
Zalen, 3
Zufallsvariable, 11
Zuordnung, 4
zusammenhängend, 9
Zweierzyklus, 6
Zyklus, 6