Lösungshinweise 7

RINKENS/MARX
ELEMENTE DER STOCHASTIK
SOSE 08
Hausaufgabe 07
Lösungshinweise
Aufgabe 1: Die Diebe von Bagdad, Teil 1 (nach A. Engel)
Der Kalif von Bagdad pflegte Diebe in einen dunklen Keller zu werfen. Aber vorher bekam jeder Dieb
noch eine Chance: er durfte mit verbundenen Augen eine der drei unten abgebildeten Urnen wählen
und aus der gewählten Urne eine Kugel ziehen. Zog er eine weiße Kugel, war er frei.
•OO
•OO•O
OOO
••O•OO
O
a. Modelliere die Situation als zweistufigen Zufallsversuch.
i.
Was ist die erste Stufe, was die zweite?
ii.
1. Stufe: Wahl der Urne
2. Stufe: Ziehen einer Kugel
Gib die Ergebnismenge an.
Ω={(Urne 1|schwarz), (Urne 1|weiß), (Urne 2|schwarz), (Urne 2|weiß), (Urne 3|schwarz), (Urne 3|weiß)}
iii.
Gib eine Wahrscheinlichkeitsverteilung an. Welche Wahrscheinlichkeit ordnest du welchem Elementarereignis warum zu?
{(Urne 1|schw)}
1 1
·
3 6
iv.
{(Urne 1|weiß)}
1 5
·
3 6
{(Urne 2|schw)}
1 2
·
3 6
{(Urne 1|weiß)}
1 4
·
3 6
{(Urne 3|schw)}
1 3
·
3 6
{(Urne 3|weiß)}
1 3
·
3 6
Nun ist die Frage: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Dieb auf diese Weise
wieder frei kommt?“ Beantworte dazu die folgenden Aufgaben:
• Gib das Ereignis als Teilmenge der Ergebnismenge an.
E={ (Urne 1|weiß), (Urne 2|weiß), (Urne 3|weiß)}
•
Welche Wahrscheinlichkeit wird aufgrund deiner Wahrscheinlichkeitsfunktion diesem
Ereignis zugeordnet? Begründe.
Mit Kolmogorov (Additivität) gilt: P(E)= ·
·
·
b. Modelliere als einstufigen Zufallsversuch.
i.
Gib die Ergebnismenge an.
Ω={schwarz, weiß}
ii.
Gib eine Wahrscheinlichkeitsverteilung an. Welche Wahrscheinlichkeit ordnest du welchem Elementarereignis warum zu?
1 1
·
3 6
iii.
{schwarz}
1 2 1 3
·
·
3 6 3 6
1 5
·
3 6
{weiß}
1 4
·
3 6
1 3
·
3 6
Nun ist die Frage: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Dieb auf diese Weise
wieder frei kommt?“ Beantworte dazu die folgenden Aufgaben:
• Gib das Ereignis als Teilmenge der Ergebnismenge an.
E={weiß}
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•
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Welche Wahrscheinlichkeit wird aufgrund deiner Wahrscheinlichkeitsfunktion diesem
Ereignis zugeordnet? Begründe.
·
·
P(E) = ·
Aufgabe 2: Die Diebe von Bagdad, Teil 2
Mehmet war ein besonders pfiffiger Dieb. Er sagte zum Kalifen: „Ich ändere ja nichts an der Zahl der
weißen oder schwarzen Kugeln, wenn ich sie ein wenig anders auf die Urnen verteile, bevor man mir
die Augen verbindet. Also bleiben die Chancen, frei zu kommen, gleich.“ Das leuchtete dem Kalifen
ein. Dir auch?
a. Beschreibe, wie du die Situation modellierst. Gib jeweils eine Ergebnismenge an. Gib jeweils eine
geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilung an. Gib das Ereignis „der Dieb kommt frei“ als Teilmenge der Ergebnismenge an. Welche Wahrscheinlichkeit wird dem Ereignis zugeordnet?
i.
•O•
O
•OO•O
OOOOO•
O
OOO
ii.
•OO•O
iii.
•O•OO•OO
O
••OOO
O
••O••OO
••OO•OO
OO
i)
{(Urne 1|schw)}
1 2
·
3 6
{(Urne 1|weiß)}
1 4
·
3 6
P(E)= ·
·
{(Urne 2|schw)}
1 2
·
3 6
{(Urne 1|weiß)}
1 4
·
3 6
{(Urne 3|schw)}
1 2
·
3 6
{(Urne 3|weiß)}
1 4
·
3 6
{(Urne 2|schw)}
1 2
·
3 6
{(Urne 1|weiß)}
1 4
·
3 6
{(Urne 3|schw)}
1 4
·
3 6
{(Urne 3|weiß)}
1 3
·
3 7
{(Urne 2|schw)}
1 3
·
3 9
{(Urne 1|weiß)}
1 6
·
3 9
{(Urne 3|schw)}
1 3
·
3 9
{(Urne 3|weiß)}
1 6
·
3 9
·
ii)
{(Urne 1|schw)}
1 0
·
3 6
{(Urne 1|weiß)}
1 5
·
3 5
P(E)= ·
·
·
iii)
{(Urne 1|schw)}
0
P(E)=0
{(Urne 1|weiß)}
0
·
·
b. Verteile nun selber die Kugeln (natürlich anders als in a), so dass die Wahrscheinlichkeit i) gleich,
ii) schlechter, iii) besser als in Aufgabe 1 sind.
c.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei optimaler Verteilung (Was heißt das?)?
Die Wahrscheinlichkeit kann prinzipiell höchstens 1 sein. Das wäre der Fall, wenn aus jeder der 3 Urnen mit der
Wahrscheinlichkeit 1 eine weiße Kugel gezogen werden würde, d.h. in jeder Urne dürften nur weiße Kugeln liegen.
RINKENS/MARX
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Das geht aber nicht, da es auch schwarze Kugeln gibt. Das Ziel muss es also sein, in zwei Urnen mit minimalem Einsatz weißer Kugeln die Wahrscheinlichkeit 1 zu erzeugen und alle restlichen Kugeln in die dritte Urne zu legen.