Teil2 PDF - Universität Hamburg

5. Formale Grundlagen der Quantenmechanik
5.1
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Ortsraum & Impulsraum
Ortsraum HR : Raum aller differenzierbaren Funktionen ψ(r): R3 → C mit
d3r |ψ(r)|2 < ∞
Es ist manchmal nützlich, noch allgemeinere Funktionen zuzulassen
Der Ortsraum als Vektorraum:
(φ+ψ)(r) = φ(r)+ψ(r)
Funktionen werden punktweise addiert
(λφ)(r) = λ φ(r)
Erinnerung:
Ein Vektoraum V ist ein Menge in der eine Addtion und eine skalare Multiplikation definiert sind.
Für φ, ψ ∈ V , λ ∈ C :
φ + ψ , λφ ∈ V
HR ist ein Vektorraum mit Skalarprodukt:
mit Rechenregeln so wie für reelle Zahlen
hψ | φi
≡
d3r ψ*(r) φ(r)
und somit ein Hilbert-Raum
Erinnerung:
Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung h | i : V
α, β ∈ V, λ ∈ C ⇒
α≠0
5.2
×V
→
C
mit den Eigenschaften:
hφ |α + λβi = hφ |αi + λ hφ |βi , hα |βi = hβ |αi*
⇒ hα |αi > 0
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Exkurs: Allgemeine Hilbert-Räume
Wellenfunktionen enthalten die volle Information über ein physikalisches System. Man bezeichnet
normierte Elemente ψ(r) ∈ HR , hψ|ψi = 1
auch als “quantenmechanische Zustände”
bzw. kurz als “Zustände”
Komplexwertige skalare Wellenfunktionen sind nicht immer ausreichend, um die Zustände
eines physikalischen Systems zu charakterisieren. Der quantenmechanische Zustandsraum
besitzt aber im Allgemeinen die Struktur eines Hilbertraums. Deshalb ist es sinnvoll, allgemeine
Hilberträume H zu betrachten.
Ein Hilbertraum H ist ein Vektorraum mit Skalarprodukt: h | i : H
α, β ∈ H, λ ∈ C ⇒
α≠0
×H
→ C
hφ |α + λβi = hφ |αi + λ hφ |βi , hα |βi = hβ |αi*
⇒ hα |αi > 0
Zwei Zustände φ, ψ ∈ H heißen orthogonal, falls hψ|φi = 0
David Hilbert
(1862 – 1943)
5.3
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Fourier-Transformation, Übergang zur Variable p = k:
ψ(r)
=
1
(2π
2)3/2
Impulsraum HP :
d3p
p
ψ(p) e i  r
ψ(p)
=
1
(2π
Raum aller Fouriertransformierten ψ(p):
2)3/2
d3r ψ(r)
p
e -i  r
R3 → C
HP ist ebenfalls ein Hilbert-Raum
mit Scalarprodukt:
hψ(p) | φ(p)i ≡
d3p ψ*(p) φ(p)
P Die Fourier-Transformation ist ein Hilbertraum-Isomorphismus zwischen den Räumen HR und HP ,
i.e., eine bijektive lineare Abbildung, die das Skalarprodukt erhält
Parseval-Gleichung →
HR
hψ(r) | φ(r)i = hψ(p) | φ(p)i
FT
QM-Zustände
HP
5.4
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Operatoren im Orts und Impulsraum:
Neben der Addition bzw. skalaren Multiplikation von Wellenfunktionen sind zur Beschreibung
physikalischer Vorgänge weiterer Operationen im Ortsraum bzw. Impulsraum nötig, z. B. die
Differentiation
∇: HR → HR , φ(r) → ∇φ(r)
oder die Multiplikation mit einer Funktion f(r)
Mf : HR → HR , φ(r) → f(r) φ(r)
Erwartungswerte physikalischer Größen “q” haben in HR die allgemeine Form
hqiψ =
d3r ψ*(r) Qψ(r) = hψ | Qψi
mit Q : HR → HR, φ(r) → Qφ(r)
Die für die Quantentheorie relevanten Operationen Q haben die Eigenschaft der Linearität:
Für φ, ψ ∈ HR , λ ∈ C :
Q [φ+ψ] = Q [φ] + Q [ψ]
Q [λφ] =
λ Q [φ]
Dies führt zum Begriff des Operators . . .
5.5
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Operatoren:
Eine lineare Abbildung A: H → H , φ → A φ heißt Operator
Linearität:
A (λ φ + ψ) = λ A φ + A ψ
φ, ψ ∈ H , λ ∈ C
Skalare Multiplikation:
(λ A) φ ≡ λ A φ
Addition von Operatoren: (A + B) φ ≡ A φ + B φ
φ∈H ,λ∈C
Produkte von Operatoren: (A ∗ B) φ ≡ A (B φ)
Funktionen von Operatoren: A: H → H, F: C → C analytische Funktion, F(q) ≡
∞
F(A): H → H , F(A) ≡ ∑ Fn An
∞
∑
n=0
Fn qn
n=0
Kommutator von zwei Operatoren: [A , B] φ ≡ A (B φ) – B (A φ)
Mit Operatoren kann man wie mit komplexen Zahlen rechnen, mit einer Ausnahme:
Operatoren kommutieren i. A. nicht: [A , B] ≠ 0, diese Eigenschaft unterscheidet sie von
gewöhnlichen komplexen Zahlen und spielt eine zentrale Rolle in der Quantentheorie.
BSP:
R: HR → HR , φ(r) → Rφ(r) ≡ r φ (r)
R = Ortsoperator
P: HR → HR , φ(r) → Pφ(r) ≡ -i∇φ(r)
P = Impulsoperator
Kommutator:
[Rν , Pµ]
= i δνµ
([Rν , Pµ]φ)(r) = (Rν(Pµφ))(r) – (Pµ(Rνφ))(r) = -i rν ∂µ φ(r) + i ∂µ (rν φ(r)) ) = i δνµ φ(r)
5.6
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Adjungierte und selbstadjungierte Operatoren
Zwei Operatoren A, B heißen adjungiert, falls gilt:
φ, ψ ∈ H : hψ|Aφi = hBψ|φi
In diesem Fall nennt man B den zu A adjungierten Operator und bezeichnet ihn mit A+.
Für das Beispiel Ortsraum HR:
Beispiel:
Rechenregeln:
d3r ψ*(r) Aφ(r)
A = ∇ ⇒ A+ = -∇
(A + λB)+ = A+ + λ* B+
=
d3r [ A+ψ(r) ]* φ(r)
(folgt mit partieller Integration)
(A B)+ = B+A+
(A+)+ = A
hψ|(A + λB)φi = hψ|Aφi + λhψ|Bφi = hA+ψ|φi + λhB+ψ|φi = hA+ψ|φi + hλ*B+ψ|φi = h(A+ + λ* B+)ψ|φi
hψ| A B φi = hA+ψ| B φi = hB+A+ψ| φi
hψ| A+φi = hA+φ|ψi* = hφ|Aψi* = hAψ|φi
Operatoren mit A = A+ heißen selbstadjungiert (oder hermitesch).
Charles Hermite
(1822 – 1901)
5.7
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BSP:
Rφ(r) ≡ r φ(r), Pφ(r) ≡ -i∇φ(r) sind selbstadjungierte Operatoren auf HR
hψ|Pφi =
d3r ψ*(r) ( -i∇) φ(r)
hψ|Rφi =
partielle Integration
∞
d3r ψ*(r) r φ(r) = hRψ|φi
-∞
Ü
BSP:
=
d3r -( -i∇ ψ*(r)) φ(r) =
d3r ( -i∇ ψ(r))* φ(r) = hPψ|φi
Seien A, B selbstadjungiert: A = A+, B = B+
Folgende Operatoren sind selbstadjungiert: i [A, B], AB + BA , ABA , ABC + CBA
F(A) ≡
5.8
∞
∑
n=0
Fn An mit reellen Koeffizienten Fn
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⇒
F(A) selbstadjungiert
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Dirac-Notation: “Bra” & “Ket” (Paul Dirac 1928)
BSP Ortsraum: φ(x), ψ(x) Wellenfunktionen aus HR , Q ein Operator auf HR
∞
d3r ψ*(r) φ(r)
-∞
φ(r)
∞
d3r ψ*(r) Q φ(r)
-∞
Paul Adrien Maurice Dirac
(1902-1984)
|φi
Nobelpreis 1933
hψ|Q|φi
hψ|φi
Das Objekt hψ| kann man als Vorschrift betrachten die aus einem “Ket”-Vektor |φi
die komplexe Zahl hψ|φi macht: |φi → hψ|φi . Man bezeichnet hψ| als “Bra”-Vektor
Aus
“Bra” hψ| und “Ket” |φi wird Bracket hψ|φi
Algemein:
Elemente eines Hilbertraums H werden wie folgt bezeichnet:
“Bra”-Vektoren sind lineare Funktionale auf H :
|ψi ∈ H
|ψi
“Ket”-Vektoren
hψ| : H → C , |φi → hψ|φi
zu jedem Ket-Vektor |ψi gibt es genau einen Bra-Vektor hψ| und umgekehrt
5.9
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(falls H separabel)
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Projektoren:
|ψi, |φi ∈ H
Betrachte Pψ: H → H , φ → Pψ |φi ≡ |ψihψ|φi
Das legt folgende Identifizierung nahe: Pψ ≡ |ψihψ|
Pψ |ψi = |ψi
Pψ = Pψ Pψ
Ü
hψ|φi = 0
⇒ Pψ |φi = 0
Pψ = Pψ+
verallgemeinerte Projektoren: A ≡ |ψihφ| mit A |χi ≡ |ψihφ|χi
A+ = |φihψ|
Ü
A+A = |φihφ|
A A+ = |ψihψ|
5.10
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Eigenwerte und Eigenzustände
Eigenwerte und Eigenzustände eines Operators: A: H → H
Ein Zustand |φi ∈ H heißt Eigenzustand des Operators A zum Eigenwert a, falls :
A |φi = a |φi
Im Allgemeinen sind Eigenwerte komplex.
a. Eigenwerte eines selbstadjungierten Operators sind reell:
BEH:
A: H → H , A = A+, A |φi = a |φi
Beweis:
a hφ|φi = hφ|A|φi = hAφ|φi
⇒
a reell
= ha φ|φi = a* hφ|φi
⇒ a = a*
b. Eigenzustände eines selbstadjungierten Operators zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal:
BEH:
A = A+, A |φi = aφ |φi , A |ψi = aψ |ψi, aφ ≠ aψ
Beweis:
(aφ–aψ) hψ|φi = hψ|aφφi – haψψ|φi = hψ|A|φi – hAψ|φi
a.
= hψ|A|φi – hψ|A|φi = 0
5.11
⇒ hψ|φi = 0
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⇒
hψ|φi = 0
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Orthonormale Basen:
B ≡ {|ni ∈ H : n ∈ N }
N = Indexmenge: endlich, abzählbar unendlich, Index-Kontinuum
heißt Orthonormal-Basis (ONB) von H falls
Es gilt dann:
=
⇔
|ψi ∈ H
hn| ψi |ni
ψm
ψn ∈ C : |ψi
∑
∑
=
≡
|nihn|ψi =
n∈N
|nihn|
∑
n∈N
∑
ψn |ni
|nihn| |ψi
n∈N
Vollständigkeitskriterium
n∈N
Basis-Darstellung eines Operators A:
|ψi = A |φi
b.
n∈N
1
⇒
hn|mi = δnm
∑
|ψi =
ψm ≡ hm| ψi bzw.
a.
Amn ≡ hm| A |ni heißen Matrixelemente
=
∑
n∈N
Amn φn
Matrizen-Multiplikation
BEW:
|ψi =
∑
hm|ψi |mi
m∈N
5.12
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=
∑
m∈N
hm|A|φi |mi
=
∑
∑
m∈N
n∈N
hm|A|ni hn|φi |mi
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Erwartungswert und Varianz:
Es sei A: H → H ein Operator und |ψi ∈ H :
hAiψ ≡ hψ|A|ψi heißt Erwartungswert von A im Zustand |ψi
Für selbstadjungierte Operatoren A = A+ heißt
Δψ A ≡
BEH:
h (A –hAiψ)2 iψ
Varianz (Unschärfe) von A im Zustand |ψi
A selbstadjungiert
⇒ a.
b.
BEW:
hψ|A|ψi reell
(ΔψA)2 = hA2iψ – hAiψ2 ≥ 0
a. hψ|A|ψi = hAψ|ψi = hψ|A|ψi*
b.
⇒ hψ|A|ψi reell
(ΔψA)2 = hψ| (A –hAiψ)2 |ψi = h(A –hAiψ) ψ| (A –hAiψ) ψi ≥ 0
(ΔψA)2 = hψ| (A –hAiψ)2 |ψi = hψ| A2 + hAiψ2 – 2hAiψA |ψi
= hψ| A2|ψi + hAiψ2hψ|ψi – 2hAiψ hψ|A |ψi
= hA2iψ – hAiψ2
5.13
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Zusammenhang zwischen Erwartungswert, Varianz und Eigenwerten:
{ |ni: n ∈ N } Basis aus Eigenzuständen von A, i.e., A |ni = an |ni
∑
|ψi =
|nihn|ψi
n∈N
wn ≡ |hψ|ni|2 = statistisches Gewicht von |ni im Zustand |ψi
Bemerkung: ist A ein “physikalisch relevanter” Operator so bezeichnet man den index n ∈ N
seiner Eigenbasis (Basis aus Eigenzuständen) als Quantenzahl
BEH:
(1)
1 =
∑
n∈N
(2)
(3)
5.14
hAiψ
⇒
=
Pythagoras
wn
∑
an wn
n∈N
(ΔψA)2 =
∑
n∈N
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|ψi
hAiψ = Mittelwert der Eigenwerte
bezüglich der normierten Verteilung wn
(an–hAiψ)2 wn
|ni
|hn|ψi|
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BEW:
(1)
∑
n∈N
(2)
wn =
hψ|A|ψi =
∑
n∈N
∑
n∈N
(3)
5.15
|hψ|ni|2 =
∑
hψ|nihn|ψi = hψ|ψi = 1
n∈N
hψ|A|nihn|ψi =
∑
n∈N
an hψ|nihn|ψi
=
∑
an w n
n∈N
Verwende (2) mit B ≡ (A –hAiψ)2
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Beispiel Potentialkasten:
Hamilton-Operator
Eigenwerte von H
Eigenbasis von H
2 ∆ + E
H = –
pot
2m
εn = -
2kn2
2m
kn = n
π
L
|ni =
Quantenzahl zu H
L
ε3
π
sin(knx)
L
ε1
0
n ∈ {1,2,...}
Betrachte spezielle Wellenfunktion
ε2
|ψi = sin(θ) |1i + cos(θ) |2i
wn ≡ |hψ|ni|2 = sin2(θ) δn1 + cos2(θ) δn2
hHiψ = sin2(θ) ε1 + cos2(θ) ε2
5.16
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Eigenwerte und Eigenvektoren des Orts – und Impuls-Operators
Ortsraum HR:
R : HR → HR , R ψ(r) =
Impulsraum HP:
r ψ(r)
-i r
P : HR → HR , P ψ(r) = -i∇r ψ(r)
∇r
R : HP → HP , R φ(p) = i∇p φ(p)
ik
P : HP → HP , P φ(p) =
Ü
FT
∇k
p φ(p)
Wirkungsweise von P in HP:
FT [ Pψ(r) ] = FT [ -i∇r ψ(r) ] = -i FT [ ∇r ψ(r) ] =  k φ(k) = p φ(p)
Wirkungsweise von R in HP:
FT [ Rψ(r) ] = FT [ r ψ(r) ] = i ∇k FT [ ψ(r) ] = i∇kφ(k) = i∇pφ(p)
Es zeigt sich:
R und P besitzen keine Eigenvektoren in HR bzw. HP
jedoch in den größeren Räumen H’R und H’P
H’R ⊃ HR , H’R = Raum aller Funktionen R3 → C
(inkl. Dirac’scher Delta-Funktion)
H’P ⊃ HP , H’P = Raum aller Funktionen R3 → C
5.17
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Ü
Eigenvektoren von R und P in H’R:
|r0i ≡ δ(r-r0)
|p0i ≡
1
2π
e
i
R|r0i = R δ(r-r0) = r δ(r-r0) = r0 δ(r-r0) = r0 |r0i
p0
r

1
2π
P|p0i =
Pe
Eigenvektoren von R und P in H’P:
|r0i ≡
p
1 -i  r0
e
2π
R|r0i =
|p0i ≡ δ(p-p0)
1
2π
-i
Re
i
p0
r

p
r
 0
=
=
1
2π
1
2π
p0 e
r0 e
-i
i
p0
r

∉ HR
= p0 |p0i
FT
p
r
 0
= r0 |r0i
P|p0i = P δ(p-p0) = p δ(p-p0) = p0 δ(p-p0) = p0 |p0i
∉ HP
Resumé: R, P haben keine Eigenvektoren in HR bzw. HP . Jedoch: HR bzw. HP sind in größere
Räume eingebettet, in denen Eigenzustände für R und P existieren. Diese bilden eine Orthonormalbasis:
hr|r´i = δ(r - r´),
d3r |rihr | = 1
hp|p´i = δ(p - p´),
BEW:
hr|ψ(r’)i =
hp|ψ(r)i =
5.18
d3r’ δ(r’-r) ψ(r’) = ψ(r) ⇒
1
2π
d3r
p
-i r
e 
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d3p |pihp | = 1
d3r |rihr|ψ(r’)i =
ψ(r) = φ(p) ⇒
d3r
d3r |ri ψ(r) =
|pihp|ψ(r)i =
1
2π
d3r
e
d3r δ(r’- r) ψ(r) = |ψ(r’)i
i
p
r

φ(p)
= |ψ(r)i
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Erwartungswerte von R, P:
Betrachte Ortsraum HR :
Ü
hr|ψ(r’)i = d3r’ δ(r’-r) ψ(r’) = ψ(r)
R : HR → HR , R |ψ(r)i =
hRi ≡ hψ(r) | R |ψ(r)i =
d3r ψ*(r) r ψ(r)
r |ψ(r)i
d3r r |ψ(r)|2
=
Eigenwert
von R zum
Eigenvektor |ri
hri
(ΔR)2 ≡ hψ(r) | (R-hRi)2 |ψ(r)i =
Betrachte Impulsraum HP :
hPi ≡ hφ(p) | P |φ(p)i =
P : HP → HP , P |φ(p)i =
d3p φ*(p) p φ(p)
(ΔP)2 ≡ hφ(p) | (P-hPi)2 |φ(p)i =
5.19
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d3r ψ*(r) (r-hRi)2 ψ(r)
=
d3r r |hr| ψ(r)i|2
=
wr
vergl.(2)
d3r (r-hri)2 |ψ(r)|2 = (Δr)2
=
p |φ(p)i
d3p p |φ(p)|2
d3p φ*(p) (p-hPi)2 φ(p)
=
= hpi
d3p (p-hpi)2 |φ(p)|2 = (Δp)2
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Unschärfe-Relation für selbstadjungierte Operatoren:
Es seien A , B : H → H selbstadjungierte Operatoren auf H und |ψi ∈ H :
BEH:
C ≡ i [A , B]
ist selbstadjungiert und es gilt 2 ΔψA ΔψB ≥ |hCiψ|
P BEW:
a.
C+ = -i [A , B]+ = -i (AB)+ + i (BA)+ = -i B+A+ + i A+B+ = -i BA + i AB = i [A , B] = C
⇒ C selbstadjungiert und hCiψ reell
betrachte
|φi ≡
A1 – i λ1B1 |ψi
mit
A1 ≡ A –hAiψ
B1 ≡ B –hBiψ
λ1 ≡
b. λ1 = reell, A1 und B1 selbstadjungiert
5.20
c.
[A1, B1] = [A –hAiψ , B –hBiψ]
d.
(ΔψA)2 = hψ |A12|ψi , (ΔψB)2 = hψ |B12|ψi
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=
hCiψ
|hCiψ |
λ , λ ∈ R
(A –hAiψ)(B –hBiψ) – (B –hBiψ)(A –hAiψ) = [A, B]
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0 ≤
hφ|φi = h(A1 – i λ1B1) ψ | (A1 – i λ1B1) ψi = hψ | (A1 – i λ1B1)+(A1 – i λ1B1) |ψi
b.
b.
= hψ | (A1+ + i λ1B1+)(A1 – i λ1B1) |ψi = hψ | (A1 + i λ1B1)(A1 – i λ1B1) |ψi
c.
= hψ | A12 + λ12 B12 – i λ1 [A1, B1] |ψi = hψ | A12 + λ12 B12 – i λ1 [A, B] |ψi
= hψ | A12 + λ12 B12 – λ1 C |ψi = hψ |A12|ψi + λ12 hψ |B12|ψi – λ1 hψ |C|ψi
d.
= (ΔψA)2 + λ12 (ΔψB)2 – λ1 hψ |C|ψi = (ΔψA)2 + λ2 (ΔψB)2 – λ |hCiψ|
= (ΔψA – λ ΔψB)2 + ( 2ΔψA ΔψB – |hCiψ| ) λ
5.21
Wähle
λ = ΔψA / ΔψB
BSP:
[Rn , Pm] = i  δnm
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≥0
⇒
0 ≤
2ΔψA ΔψB – |hCiψ|
⇒  δnm ≤ 2 ΔψRn ΔψPm
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Produkt-Räume:
Seien HA und HB zwei Hilberträume, |ai ∈ HA , |bi ∈ HB :
Produkt-Zustände:
mit
|ai ⊗ |bi ≡ |ai|bi ≡ |a, bi
λ |ai ⊗ |bi ≡ (λ|ai) ⊗ |bi ≡ |ai ⊗ (λ|bi)
|a1i ⊗ |bi + |a2i ⊗ |bi ≡ (|a1i + |a2i) ⊗ |bi
|ai ⊗ |b1i + |ai ⊗ |b2i ≡ |ai ⊗ (|b1i + |b2i)
h |a1i ⊗ |b1i | |a2i ⊗ |b2i i
≡ ha1|a2ihb1|b2i
Produkt-Raum:
HA ⊗ HB
Bemerkung:
Die meisten Zustände in HA ⊗ HB sind keine Produkte
≡
{ Alle Linear-Kombinationen von Produkten |ai ⊗ |bi }
1 ( |a i ⊗ |b i + |a i ⊗ |b i )
1
1
2
2
2
Solche Zustände heißen verschränkt
z. B. :
5.22
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|ψi ≡
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Es seien A : HA → HA , B : HB → HB Operatoren auf HA bzw. HB :
Produkt-Operator:
A ⊗ B : HA ⊗ HB → HA ⊗ HB
A ⊗ B |ai ⊗ |bi ≡ A |ai ⊗ B |bi
A⊗B
∑
n∈N
cn |ani ⊗ |bni ≡
∑
n∈N
cn A|ani ⊗ B|bni
Natürliche Erweiterung eines Operators A : HA → HA :
A ⊗ 1B |ai ⊗ |bi ≡ A |ai ⊗ |bi
1B ≡ Einheitsoperator auf HB
5.23
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BSP1:
φ(x) ∈ HX = Wellenfunktionen auf der x-Achse
ψ(y) ∈ HY = Wellenfunktionen auf der y-Achse
Produktzustände:
|φ(x)i ⊗ |ψ(y)i ≡ | φ(x) ⋅ ψ(y) i
= Produktwellenfunktion
unkorrelierte Wahrscheinlichkeitsdichten für HX und HY: | φ(x) ⋅ ψ(y)|2 = |φ(x)|2 |ψ(y)|2
Produktraum:
HX ⊗ HY
→
→
φ1(x1), φ2(x2) ∈ H
Produktzustände:
{ Alle Linear-Kombinationen von | φ(x) ⋅ ψ(y) i }
=
{ Alle Wellenfunktionen in der xy-Ebene }
1 ( φ(x) ⋅ ψ(y) + ψ(x) ⋅ φ(y) )
2
verschränkter Zustand:
BSP2:
≡
Wellenfunktionen für ein Teilchen
→
→
→
→
|φ1(x1)i ⊗ |φ2(x2)i ≡ | φ1(x1) φ2(x2) i
= Produktwellenfunktion
unkorrelierte Wahrscheinlichkeitsdichten: | φ1(x1) ⋅ φ2(x2)|2 = |φ1(x1)|2 |φ2(x2)|2
→
Produktraum: H ⊗ H ≡
=
verschränkter Zustand:
5.24
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
→
→
→
→
→
{ Alle Linear-Kombinationen von | φ1(x1) φ2(x2) i }
→
→
{ Alle Wellenfunktionen ψ(x1,x2) für zwei Teilchen }
1 ( φ (x→ ) φ (x→ ) + φ (x→ ) φ (x→ ) )
1 1
2 2
2 1
1 2
2
Andreas Hemmerich 2016 ©
Definition der Observablen
Observable sind selbstadjungierte Operatoren A, für die eine Orthonormalbasis von
Eigenzuständen existiert, i.e.
es gibt eine Basis {|ani ∈ H } (Eigenbasis von A) mit han|ami = δnm , sodass :
A |ani = αn |ani
für alle |ψi ∈ H :
|ψi =
∑
n
han| ψi |ani
Im Allgemeinen sind nicht alle Eigenwerte αn verschieden:
In diesem Fall ist es sinnvoll den Index n durch einen Doppelindex k,i zu ersetzen
A |akii
für alle |ψi ∈ H :
|ψi =
= αk |akii mit
∑
k,i
αk ≠ αk’
haki| ψi |akii
1
=
∑
k,i
|akiihaki|
Die Indizes der Eigenbasen werden als Quantenzahlen bezeichnet
In endlich dimensionalen Hilberträumen ist jeder selbstadjungierte Operator eine Observable
(Symmetrische n-dimensionale Matrizen sind diagonalisierbar)
Basis-Darstellung eines Operators in der Eigenbasis A: Anm ≡ han| A |ami = αn δnm
5.25
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
THEOREM:
Für zwei kommutierende Observablen A, B existiert eine Orthonormalbasis {|cni ∈ H } aus
gemeinsamen Eigenzuständen von A und B:
für alle |ψi ∈ H :
A |cni = αn |cni
BEW:
i)
|ψi =
∑
n
und
hcn|ψi |cni , hcn|cmi = δnm
B |cni = βn |cni
P
|ci Eigenvektor von A zum Egenwert α ⇒ B |ci Eigenvektor von A zum Egenwert α
A B |ci = B A |ci = B α |ci = α B |ci
(*)
Es sei {|cn,νi ∈ H } Eigenbasis von A mit A |cn,νi = αn |cn,νi mit αn ≠ αm für n ≠ m
Alle Eigenvektoren von A zum gleichen Eigenwert αn bilden Sub-Raum Hn
Wegen (*) gilt für alle |cni ∈ Hn dass B |cni ∈ Hn , i.e. B: Hn → Hn
ii) Für |cni ∈ Hn und |cmi ∈ Hm mit n ≠ m folgt: hcn|B|cmi = 0
(αn - αm) hcn|B|cmi = hαncn|B|cmi - hcn|B|αmcmi = hcn|AB|cmi - hcn|BA|cmi = 0
αn,αm reell
5.26
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
[A,B] =0
Andreas Hemmerich 2016 ©
Matrixelemente von A:
H1
H1
hcn,ν|A|cm,µi =
H2
α1E1
En
α2E2
H2
H3
≡ Einheitsmatrix in Hn
α3E3
H1
Matrixelemente von B:
H3
H2
H3
H1
hcn,ν|B|cm,µi =
H2
wegen i), ii)
H3
Die Matrizen in den Sub-Räumen Hn sind hermitesch: hcn,ν|B|cn,ν’i = hcn,ν’|B|cn,νi*
⇒
lineare Algebra
Durch eine Basis-Transformation innerhalb von Hn findet man neue Basisvektoren {|bn,νi ∈ Hn } ,
sodass hbn,ν|B|bn,ν’i diagonal, i.e. hbn,ν|B|bn,ν’i = βn,ν δνν’
Diese Basisvektoren sind gemeinsame Eigenvektoren von A und B
5.27
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Andreas Hemmerich 2016 ©
Störung eines beschränkten Operators:
P
Fragestellung: Wie verändern sich Eigenwerte eines selbstadjungierten Operators A unter
dem Einfluß einer kleinen Störung λ S.
A, S seien beschränkte Operatoren auf H, i.e., 9 positive Konstanten cA, cS :
|hφ|A|ψi|2 < cA hφ|φihψ|ψi, |hφ|S|ψi|2 < cS hφ|φihψ|ψi
für alle φ,ψ ∈ H
A |ai = α |ai , |ai normiert ha|ai = 1
B ≡ A + λ S , λ S bewirke nur eine kleine Störung von A : λ reell positiv, λ << 1
Gesucht: Eigenwert β von B, sodass:
B |bi = β |bi mit |bi ≈ |ai + ε |a’i, ha|a’i = 0, ha’|a’i = 1, ε reell positiv, λ << 1 ⇒ ε << 1
β = hb| B |bi = ha| B |ai + ε ha| B |a’i + ε ha’| B |ai + ε2 ha’| B |a’i
=
ha| A |ai + ε ha| A |a’i + ε ha’| A |ai + ε2 ha’| A |a’i
verwende: A=A+, ha|a’i = 0, A|ai = α |ai
+ λ ha| S |ai + λ εha| S |a’i + λ ε ha’| S |ai + λ ε2 ha’| S |a’i
5.28
=
α + ε2 ha’| A |a’i + λ ha| S |ai + λ ε ha| S |a’i + λ ε ha’| S |ai + λ ε2 ha’| S |a’i
≈
α + λ ha| S |ai = α + ha| λ S |ai
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verwende: ε << 1, λ << 1, |ha’| A |a’i|2 < cA , |ha| S |a’i|2 < cS
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Energie-Operatoren:
ψ(r)
=
1
(2π )3/2
p
i
r
d3p φ(p) e 
φ(p)
Definiere Operator der kinetischen Energie:
=
1
(2π )3/2
Ekin ≡ P2/2m
Im Ortsraum HR:
Ekin ψ(r) =
2

–
∆ ψ(r)
2m
Im Impulsraum HP:
Ekin φ(p) =
(p2/2m) φ(p)
d3r
p
-i
ψ(r) e  r
ist selbstadjungiert
Erwartungswert der kinetischen Energie (betrachte HP)
hEkini ≡ hφ(p) | Ekin | φ(p)i =
d3p
p2
2m
|φ(p)|2
V(r) reelles Potential, F(r) = -∇V(r) Kraftfeld
Definiere Operator der potentiellen Energie:
Epot ≡ V(R)
ist selbstadjungiert
Erwartungswert der potentiellen Energie für Potential V(r) (betrachte HR)
hEpoti ≡
5.29
hψ(r) | Epot | ψ(r)i =
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d3r ψ(r)* V(R) ψ(r) =
d3r V(r) |ψ(r)|2
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Schrödinger-Gleichung als Operator-Gleichung
Freies Teilchen:
∂
ψ(r,t) =
i
∂t
2 ∆ ψ(r,t)
–
2m
E ψ = Ekin ψ
∂
∂t
E
≡ i
P
= -i∇
Ekin = P2/2m
Epot = V(R)
Erweiterung für ein Potential V(r):
Eψ = Hψ , H
∂
ψ(r,t) =
i
∂t
= Ekin + Epot
2
–  ∆ ψ(r,t) +
2m
V(r) ψ(r,t)
H (= Operator der Gesamt-Energie) wird als Hamilton-Operator bezeichnet (in Korrespondenz
zur Hamilton-Funktion der klassischen Mechanik)
Der Hamilton-Operator H ist selbstadjungiert und hat somit reelle Eigenwerte
5.30
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Schrödinger-Gleichung: Stationäre Lösungen
∂
2 ∆ψ(r,t) + V(r) ψ(r,t)
ψ(r,t)
–
=
i
2m
∂t
Separation von Orts und Zeit-Variablen → Ansatz: ψ(r,t) = φ(r) χ(t)
i
(I)
(II)
ε φ(r)
ε χ(t)
=
=
–
2 ∆ φ(r) +
2m
V(r) φ(r)
∂
i
χ(t)
∂t
χ(t)-1
⇒
2
∂
-1  ∆φ(r) + V(r) = ε
–
φ(r)
χ(t) =
2m
∂t
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
⇒
ε t
-i
χ(t) = e 
Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung (sog. stationäre Lösungen) sind
Wellenfunktionen mit zeitlich konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(r,t)|2 = |φ(r)|2 und
scharfem Wert der Energie ε .
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung als Eigenwertgleichung:
ε φ(r)
=
2

∆ φ(r) +
–
2m
ε φ = Hφ ,
V(r) φ(r)
H = Ekin + Epot
Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung sind die Eigenzustände des
Hamilton-Operators zu den möglichen Eigenwerten ε .
5.31
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Schrödinger-Gleichung: allgemeine Struktur der Lösungen
Vorgehensweise: Man bestimmt zunächst alle stationären Lösungen, i.e. Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung: ε |φi = H |φi
Diese sind Eigenzustände des selbstadjungierten Operators H und somit orthonormal.
Die Gesamtheit der Lösungen bildet (in der Regel) eine Orthonormalbasis ONB ≡ {|ni ∈ H }
mit reellen Eigenwerten EV ≡ {εn ∈ R }
(i.e., in der Regel ist H eine Observable)
Für jede Lösung |ni der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung ist |ni exp(-i
Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung.
εn
t) eine

∂
Die allgemeinste Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung i |φ(t)i = H |φ(t)i
∂t
εn
lautet
|φ(t)i = ∑ |ni exp(-i  t) Cn , wobei Cn beliebige komplexe Zahlen sind.
n
BEW: Für jede Lösung gilt |φ(t)i =
∑
n
Aus H |φ(t)i =
∑ |ni εn Cn(t)
n
|ni Cn(t) mit komplexen Funktionen Cn(t), denn |ni ist Basis.
und i
εn
und somit Cn(t) = Cn exp(-i t)

5.32
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
∂
|φ(t)i =
∂t
∑
n
|ni i
∂
∂
Cn(t) folgt εn Cn(t) = i Cn(t)
∂t
∂t
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Postulate der Quantenmechanik
Q1. Der Zustand eines physikalischen Systems zu einer festen Zeit t wird durch einen normierten
Vektor ψ ∈ H eines Hilbertraums H beschrieben.
Q2. Jeder beobachtbaren physikalischen Größe ist eine Observable A: H → H
zugeordnet.
Q3. Das Ergebnis der Messung einer physikalischen Größe ist ein Eigenwert der zugeordneten
Observablen
Q4. Die Wahrscheinlichkeit im Zustand ψ den Eigenwert α einer Observablen A zu messen ist:
w(α) =
∑
|ha| ψi|2
{a: a ist EV zu α }
Q5. Eine Messung des Eigenwerts α einer Observablen A im Zustand ψ überführt das System
in den neuen (projizierten) Zustand:
Pαψ
mit
hPαψ | Pαψi
Pα|ψi
=
∑
|aiha|ψi
{a: a ist EV zu α }
Pα = Projektor auf den Unterraum
aller Eigenvektoren zum Eigenwert α
Q6. Die zeitliche Entwicklung eines Zustands |ψi wird durch die Schrödinger Gleichung bestimmt:
∂
i |ψi = H |ψi , H ≡ Operator der Gesamt-Energie (Hamilton-Operator)
∂t
5.33
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Andreas Hemmerich 2016 ©
Folgerung
Betrachte eine Serie von unabhängigen Messungen αi, i = 1,... einer Observablen A im Zustand ψ
BEH:
Der mittlere Meßwert α ist der Erwartungswert: hψ | A | ψi
BEW:
Q3
α =
Q4
=
α w(α)
{ Eigenwerte α }
=
∑
hAψ|
α hψ|ai ha|ψi
∑
=
{a ist EV}
=
α |ha|ψi|2
{ Eigenwerte α } { a ist EV zu α }
α |ha|ψi|2
∑
∑
∑
=
hAψ|ai ha|ψi
{a ist EV}
{a ist EV}
∑ ha|ψi |ai
∑
=
hAψ|ψi = hψ|A|ψi
{a ist EV}
Beispiel Ortsmessung:
Q3. → Das Ergebnis einer Ortsmessung ist ein Eigenwert des Ortsoperators R
Q4. → Die Wahrscheinlichkeit im Zustand ψ den Eigenwert r der Observablen R zu messen ist:
w(r)
=
∑
|hr|ψi|2
2
=
|hr|ψi|2
=
d3r’ δ(r’– r)ψ(r’)
=
|ψ(r)|2
{|ri ist EV zu r }
5.34
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Korrespondenz zwischen klassischen Größen und Observablen:
Klassische physikalische Größen lassen sich als Funktion von Ort und Impuls schreiben: A = A(r,p).
Für Funktionen A(r) bzw. A(p) erhält man die korrespondierenden quantenmechanischen Größen
indem man Orts und Impuls-Variable durch die Operatoren R und P ersetzt.
Da [Rν,Pµ] = i δνµ ≠ 0 ist diese Ersetzung für Funktionen A(r,p) nicht eindeutig. In diesem Fall
ist die Ersetzungsvorschrift durch eine Symmetrisierungsregel zu ergänzen:
BSP: A(r, p) = F(rx ⋅ px)
Rx ⋅ Px ist kein selbstadjungierter Operator: (Rx ⋅ Px )+ =
jedoch
Px+ ⋅ Rx+ =
Px ⋅ Rx
≠
Rx ⋅ Px
1 (R ⋅ P + P ⋅ R ) ist selbstadjungiert.
x
x
2 x x
Man ersetzt zunächst rx ⋅ px → {rx , px} ≡ (rx⋅px + px⋅rx)/2 und dann rx , px → Rx, Px
Für komplexere Funktionen A(r,p) ist die Zuordnung eines selbstadjungierten Operators nicht
eindeutig.
BSP: A(r, p) = F(rx ⋅ rx ⋅ px)
Sowohl Rx⋅ Px ⋅ Rx als auch
1 (R ⋅ R ⋅ P + P ⋅ R ⋅ R ) sind selbstadjungiert
x
x
x
2 x x x
Die Quantenmechanik kennt viele Observable, für die es kein klassisches Analogon gibt.
5.35
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Andreas Hemmerich 2016 ©
Ü
Ehrenfest Theorem
A(t) ein Operator auf H und i d |ψi = H |ψi , H ≡ Hamilton-Operator
dt
d hA(t)i = 1 h [A(t), H ] i + h ∂ A(t)i
ψ
ψ
ψ
i
∂t
dt
Im Ortsraum sei i d |ψi = H |ψi mit Hamilton-Operator H ≡ P2/2m + V(R)
dt
d hRi = 1 h P i
ψ
ψ
m
dt
⇒
d hPi = h rV(R) i
ψ
ψ
dt
Falls h rV(R) iψ = rV( hRiψ), bewegt sich hRiψ auf einer Newton’schen Bahn
Achtung, im Allgemeinen ist h rV(R) iψ ≠ rV( hRiψ)
Betrachte ein extrem lokalisiertes Wellenpaket mit |ψ(r)|2 ≈ δ(r – hRiψ)
h rV(R) iψ =
5.36
∞
dr ψ(r)* rV(r) ψ(r) ≈
-∞
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rV( hRiψ )
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6. Elementare Quantensysteme
6.1
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Eindimensionaler harmonischer Oszillator
Klassischer Fall:
m 2 2
p2
m 2 2
ω x
ω x , ω = Schwingungsfrequenz im Potential V(x) =
H(x,p) =
+
2
2m
2
p
x(t) = x0 sin(ωt + θ)
V(x)
p(t) = m ω x0 cos(ωt + θ)
α
x
Definiere einheitenlose Größe:
α ≡
x =
p =
6.2
1
x + i
2ξ
ξ
ξ
p ,
2
ξ ≡

mω = Längeneinheit
(α* + α) ∝ Re(α)
2
i
(α* – α) ∝ Im(α)
2ξ
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x
H(x,p) =
⇒
Phasenraum-Darstellung
ω α*α
α(t) = α(0) eiωt
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Eindimensionaler harmonischer Oszillator
H =
m 2 2
m 2 2
P2
,
ω
=
Schwingungsfrequenz
im
Potential
V(x)
=
ω x
ω
X
+
2
2m
2
Definiere einheitenlose Operatoren:
a ≡
ξ
1
P ,
X + i
2ξ
2
ξ ≡

mω
N ≡ a+a
Ü
Eigenschaften von a bzw. N :
ξ
1
P
X – i
2ξ
2
1)
a+ ≡
2)
X =
3)
[a, a+] = 1
4)
N+ = N
5)
H = ω (N + 1 )
2
6)
2N =
ξ
2
(a+ + a)
P =
2
1 2
2 ∂
X
–
ξ
ξ2
∂x2
adjungierter Operator
i
(a+ – a)
2ξ
V(x)
– 1
BEW: Verwende X+ = X, P+ = P, [X,P] = i
6.3
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Struktur der Eigenwerte und Eigenzustände von N:
7) Sei ψ0 Eigenzustand von N zum Eigenwert c0:
⇒
N ψ0 = c0 ψ0 , hψ0|ψ0i = 1
c0 reell und c0 ≥ 0
ψn ≡
8) Für
P
BEW:
(1 + c0)1/2
ψ0(x) ≡
1
⋅ ⋅ ⋅ (n + c0)1/2
(a+)n ψ0
(Leiter äquidistanter Eigenzustände)
1
1 x
exp
–
2 ξ
π1/4 ξ1/2
7) c0 = hψ0 | N ψ0i =
n=1:
N
a+ψ0
=
ist Eigenzustand zum Eigenwert cn ≡ n + c0
2
gilt: hψ0|ψ0i = 1 , N ψ0 = 0
ha ψ0 | a ψ0i ≥ 0
a+ a
a+ψ0
(3)
= a+(1 + N) ψ0 = (1 + c0) a+ψ0
ha+ψ0|a+ψ0i = ha a+ψ0|ψ0i = h(1 + N) ψ0|ψ0i = (1 + c0)
(3)
8)
6.4
2N ψ0 =
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(6)
2
1 2
∂
2
X – ξ
ξ2
∂x2
– 1 ψ0 = 0
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ε φ = Hφ
Eigenwerte und Eigenzustände von H:
(5),(7)
9)
H ψn = ω (n +
1
) ψn
2
ψ0(x) ≡
(7)
ψn ≡
ε2,ψ2
ε1,ψ1
ε0,ψ0
a+ ψn =
a ψn =
Hn(z) ≡
(n + 1)1/2 ψn+1
6.5
(1)
=
2
1
n!
Hn(x/ξ) ψ0(x)
2n
∂
2z –
∂z
n
1
für
n ≥0
Erzeuger:
erzeugt ein Oszillator-Quant
n1/2
ψn-1
für
n>0
Vernichter:
vernichtet ein Oszillator-Quant
n
ψn
für
n ≥0
Zähl-Operator: zählt die
Anzahl angeregter Oszillator-Quanten
a ψ0 = 0
N ψn =
1
(a+)n ψ0
n!
x
ξ
Hn(z) = Hermite-Polynom n-ter Ordnung
Bedeutung von a+ und a:
10)
1
1
exp
–
2
π1/4 ξ1/2
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Harmonischer Oszillator auf einen Blick:
Eigenwerte:
Eigenzustände:
Grundzustand:
Zeitentwicklung:
Äquidistante Energieniveaus
εn = ω (n + 1 )
2
1
1
ψn(x) =
Hn(z) exp(– z2/ 2) , z = x / ξ
1/4
1/2
n! 2n π ξ
ψn(x,t) =
Allgemeine Lösung:
ψ(x,t)
=
ε3 = 7 ω
2
ε2 = 5 ω
2
ε1 = 3 ω
2
ε0 = 1 ω
2
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1/e - Radius der Aufenthaltswahrscheinlichkeit: ξ
εn
ψn(x) exp(-i t)

a+ ψn =
Erzeuger & Vernichter:
6.6
1
exp(– z2/ 2) ,
1/4
1/2
π ξ
ψ0(x) =
n + 1 ψn+1 ,
∑
n
a ψn =
n ψn-1
χn ψn(x,t)
H3(z) = 8 z3 – 12 z
H2(z) = 4 z2 – 2
H1(z) = 2 z
H0(z) = 1
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Quasi-klassische Zustände:
Die Zustände scharfer Energie ψn sind über das gesamte Potential verschmiert und haben wenig
Ähnlichkeit mit den vertrauten Zuständen des klassischen Oszillators
Im Zustand ψn gilt:
hXin = hψn| X ψni = 0
ΔnX = ξ
hPin = hψn| P ψni = 0
ΔnP =
Δ nX Δ nP =
→

ξ
n +1/2
n +1/2
(n + 1/2) 
nur für n = 0 minimales Unschärfe-Produkt
Frage: was sind die maximal klassischen Zustände, welche die Quantenmechanik zuläßt?
Von solchen quasi-klassischen Zuständen erwartet man
minimale Unschärfe:
ΔX ΔP = /2
oszillierende Erwartungswerte:
hXi ∝ cos(ωt – θ)
hPi =
6.7
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m ∂ hXi
∂t
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2
Definiere “quasi-klassische” Zustände:
11) Zeitentwicklung:
∞
∑
n=0
α n ψ (t)
n
n!
φα
≡
∑
n=0
αn ψ
n
n!
∞ (α e-iωt)n
∑ n! ψn
n=0
|α|2 + iωt
)
φα(t) = exp(–
2
α2
)
φα(t) = exp(–
2
BEW:
α∈ C:
α
)
exp(–
2
∞
εn
ψn(t) = ψn exp(-i  t) = ψn e-inωt e-iωt/2
mit
12) φα(t) ist Eigenzustand des Vernichtungsoperators a zum Eigenwert α(t) = α e-iωt :
BEW:
a φα(t) =
exp(–
|α|2
+ iωt
)
2
∞
∑
n=0
∞
|α|2 + iωt
)∑
= α(t) exp(–
2
n=1
13)
6.8
Ü
α(t)n
n!
a ψn =
α(t)n-1
(n-1)!
ψn-1
exp(–
|α|2
+ iωt
)
2
∞
∑
n=0
α(t)n
n!
n ψn-1
= α(t) φα(t)
Die quasi-klassischen Zustände sind fast orthonormal: |hφα|φβi|2 = exp(–|α – β|2 )
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14) Wahrscheinlichkeit im Zustand φα(t) genau n Oszillator-Quanten zu finden:
hψm|φα(t)i =
11)
Pα(n)
≡
∞ (α e-iωt)n
|α|2 + iωt
)
exp(–
2
|hφα(t)|ψni|2
∑
n!
n=0
2
= exp(– α )
α 2n
n!
hψm|ψni
=
|α|2 + iωt (α e-iωt)m
)
exp(–
2
m!
Poisson Verteilung
→
15) Mittlere Anzahl von Oszillator-Quanten im Zustand φα(t) :
hNiα = |α|2
hNiα = hφα(t)| N φα(t)i = hφα(t)| a+a φα(t)i = ha φα(t)| a φα(t)i = hα(t) φα(t)| α(t) φα(t)i
12)
= |α|2 hφα(t)| φα(t)i = |α|2
16) Unschärfe der Anzahl von Oszillator-Quanten im Zustand φα(t) : ΔαN
=
hNiα
N2 = a+ a a+a = a+a + a+a+a a
3)
hN2iα = hφα(t)| N2 φα(t)i = haφα(t)| a φα(t)i + ha2φα(t)| a2 φα(t)i = |α|2 + |α|4
12)
hNiα2 = |α|4
Pα(n)
15)
ΔαN = hN2iα– hNiα2 = |α| =
15)
hNiα
ΔαN
0
6.9
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
hNiα
n
Andreas Hemmerich 2016 ©
17) Erwartungswerte und Varianzen von X und P im Zustand φα(t), α = |α|eiθ :
Ü
a.
hXiα =
2 ξ |α| cos(ωt – θ) Schwingung mit
b.
hPiα =
m
c.
ΔαX =
d.
∂
hXiα
∂t
ξ
, ΔαP =
2
ΔαX ΔαP = /2
→

2ξ
hängt nicht von Amplitude α ab
8 ξ |α|
minimales Unschärfe-Produkt
BEW:
ξ
hφα(t)| (a+ + a) φα(t)i =
2
a.
hXiα = hφα(t)| X φα(t)i =
=
ξ
hα(t) φα(t)| φα(t)i + hφα(t)| α(t) φα(t)i
2
=
2 ξ |α| cos(ωt – θ)
12)
2)
mit
=
ξ
ha φα(t)| φα(t)i + hφα(t)| a φα(t)i
2
ξ
α*(t) + α(t)
2
=
ξ
α*eiωt + α e-iωt
2
α = |α|eiθ
c. hX2iα = (ξ2/2) ha+a+ + a a + a a+ + a+ aiα = (ξ2/2) hφα(t)| a+a+ + a a + 2 a+a + 1 | φα(t)i
2)
3)
= (ξ2/2) (α*(t)2 + α(t)2 + 2|α|2 + 1)
12)
hXiα2 = (ξ2/2) (α*(t)2 + α(t)2 + 2|α|2 )
6.10
a.
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
→
ΔαX2 = hX2iα – hXiα2 = (ξ2/2)
Andreas Hemmerich 2016 ©
BSP: Monochromatisches Lichtfeld als harmonischer Oszillator
Ü
P
Klassisches monochromatisches Lichtfeld:
E(x,t) = i
ω
2ε0
[
ε(x) α(t) – ε(x)* α*(t)
Amplitude: α(t) = α(0) e-iωt
],
∂
B(x,t) = –
∂t
ist harmonischer Oszillator
ε(x) = räumliche Struktur bzw. Polarisation der Mode: z.B.
Maxwell-Gleichung: Δ + ω
c
Energie:
6.11
H =
ε0
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
2
2
3
E(x,t) d x
E(x,t)
2
ε(x) = 0 , 1 =
+
1
2 µ0
2
ε0 e ikx
ε(x) ε *(x) d3x
3
B(x,t) d x
=
ω α(t)* α(t)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Quantisierung:
ω α* α
H =
ω 1 {α* α + α α*}
2
=
α → a , α* → a+ ,
[a, a+] = 1
Zähl-Operator:
H = ω (a+ a + 12 )
a+ a
zählt die in der Mode ε(x) vorhandenen Photonen
N =
E-Feld-Operator:
E = i
Hamilton-Operator:
ω
2ε0
[
ε(x) a – ε*(x) a+ ]
P =
i
(a+ – a)
2ξ
beim mechanischen Oszillator
Fock-Zustände (Eigenzustände von H):
Man bezeichnet den Grundzustand durch N |0i = 0
n
|ni
≡
a+
|0i
n!
E-Feld-Operator:
⇒
a |ni = n1/2 |n–1i, a+|ni = (n+1)1/2 |n+1i
hn|mi = δnm ,
hn|E|ni = 0
ΔnE2 = hn|E2|ni =
6.12
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
N |ni = n |ni
→ kein mittleres elektrisches Feld im Fock-Zustand
ω
ε(x) ε *(x) (2n+1) ≠ 0 sogar für n = 0 !
2ε0
( h0|E2|0i ≠ 0 → Vakuum-Fluktuationen )
Andreas Hemmerich 2016 ©
Kohärente Zustände (Eigenzustände von a):
Ü Mittleres elektrisches Feld:
≡
|αi
α∈ C:
α2
)
exp(–
2
hα| E |αi =
ΔαE
Ü Varianz des elektrischen Felds:
≡
i
ω
2 ε0
∞
αn
|ni
n!
∑
n=0
[
ε(x) α – ε*(x) α* ]
Roy Glauber (1962)
Nobelpreis 2005
ω
|ε(x)|
2 ε0
hα| E2 |αi – hα| E |αi2 =
unabhängig von Feldamplitude α
Wahrscheinlichkeit im Zustand |αi genau n Photonen zu finden:
Pα(n)
≡
α 2n
= exp(– α )
n!
|hα|ni|2
2
→
hNiα
Pα(n)
Poisson Verteilung
ΔαN
n
0
Ü Mittlere Photonenzahl im Zustand |αi :
hNiα = hα| N |αi = |α|2
Unschärfe der Photonenzahl im Zustand |αi : ΔαN2
⇒
6.13
ΔαN =
hNiα = |α|
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
→
≡ hN2iα– hNiα2
= |α|2
Quantenrauschen des Lasers (Schrotrauschen)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Das Zwei-Niveau-System: ein Paradigma der Quantenmechanik
BSP: Spektrallinien in Atomen und Molekülen, Spin-Resonanzen (Kern-Spin-Tomographie) etc.
|bi, Eb
|2i, E2
|2i, E2
W
|1i, E1
|ai, Ea
H0
Im ungestörten System mit
Hamilton-Operators H0 seien
|1iund |2i stationär mit scharfen Energien E1und E2 .
6.14
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
H = H0 + W
|1i, E1
Rabi-Oszillation
Im System H gibt es neue Eigenzustände |ai, |bi mit
modifizierten Energiewerten Ea und Eb (Energieverschiebung).
Die Zustände |1iund |2i sind nicht mehr stationär.
Präpariert man das System zur Zeit t in |1i oder |2i
so beginnt eine Rabi-Oszillation zwischen beiden Zuständen.
Andreas Hemmerich 2016 ©
Zwei-Niveau-System: ein Model für stimulierte Emission und Absorption
Betrachtung eines Quantensystems mit zwei diskreten Energie-Niveaus |gi und |ai:
b ≡ |giha|
+
b = |aihg|
vernichtet Anregung:
erzeugt Anregung:
b |ai = |gi, b |gi = 0
+
|ai
+
Ea = ω0
b |gi = |ai, b |ai = 0
ω0
Hamilton-Operator:
HA ≡ ω0 b+b
= ω0 |aiha|
|gi
HA |gi = 0
⇒
Eg = 0
HA |ai = ω0 |ai
Matrixelemente in Basis {|gi, |ei}:
Schrödinger Gleichung:
i
hn| HA |mi =
∂
|ψi = HA |ψi
∂t
Alle linearen Überlagerungen
6.15
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
⇒
0
0
0
ω0
|g(t)i = |gi
|a(t)i = |ai e -iω0t
A |g(t)i + B |a(t)i sind Lösungen
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Zwei-Niveau-Atom mit Wechselwirkung
d = µ b + µ* b+
Dipolmoment:
mit
µ ≡ hg| d |ai
hg| d |gi = ha| d |ai
⇒
= 0
Erwartungswert = 0 für {|gi, |ai}
kein permanentes Dipolmoment
hg| d |ai = ha| d |gi* = µ
Matrixelemente in Basis {|gi, |ai}:
Wechselwirkung:
hn| d |mi =
µ
0
µ*
0
W = d E(t) , E(t) = E0 e-iωt + E0* eiωt
Matrixelemente in Basis {|gi, |ai}:
hn| W |mi =
µ E(t)
0
µ*E(t)
0
Schrödinger-Gleichung mit Wechselwirkung in Basis {|gi, |ai}:
∂
i |ψi
∂t
= (HA + W) |ψi
⇔
elektrisches Feld
∂ γ
i
∂t α
=
|ψi = γ(t) |gi + α(t) |ai
µ E(t)
0
µ*E(t) ω0
γ
α
Matrix ist zeitabhängig → Lösung einfacher in einer mitrotierenden Basis !
6.16
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Transformation in eine mitrotierende Basis {|gi, |ai} → {|gi, |bi}:
|bi ≡ |ai e-i(ωt + θ)
|ψi = γ(t) |gi + α(t) |ai
⇒
|ψi = γ(t) |gi + β(t) |bi mit β(t) ≡ α(t) ei(ωt + θ)
Schrödinger-Gleichung ohne Wechselwirkung in mitrotierender Basis R ≡ {|gi, |bi}:
∂
∂
i |ψi = i
( γ(t) |gi + β(t) |bi )
∂t
∂t
.
.
.
= i ( γ(t) |gi + β(t) |bi ) + i β(t) |bi
.
.
= i ( γ(t) |gi + β(t) |bi ) + ω β(t) |bi = HA |ψi
.
.
∂
i
|ψi ≡ i ( γ(t) |gi + β(t) |bi ) = HA |ψi – ω β(t) |bi = ω0 |aiha|ψi – ω |bihb|ψi
∂t R
= ω0 |aiha|ψi – ω |aiha|ψi
= – δ |aiha|ψi , δ ≡ ω – ω0
= HB |ψi mit HB ≡ – δ b+b
|bi
i
∂
|ψi = H |ψi
B
∂t R
⇔
i
∂ γ
∂t β
=
0
0
0
–δ
γ
β
|δ|
|gi
6.17
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Eb = -δ
Eg = 0
Andreas Hemmerich 2016 ©
Dipolmoment:
hg| d |gi = hb| d |bi
= 0
hg| d |bi = hb| d |gi* = µ e-i(ωt + θ)
Matrixelemente in Basis {|gi, |bi}:
hn| d |mi =
µ e-i(ωt + θ)
0
0
µ*ei(ωt + θ)
Wechselwirkung in Basis {|gi, |bi}:
hn| W |mi =
hn| d |mi E(t) =
µ*E(t) ei(ωt + θ)
µ* E(t)
=
0
Schnell oszillierender Term wird vernachlässigt !
Drehwellen-Näherung:
ei(ωt + θ)
µ E(t) e-i(ωt + θ)
0
µ* E0
eiθ
+ µ* E0*
ei(2ωt + θ)
≈
µ* E0
eiθ
!
≡ ωR /2 ≥ 0 reell
(Wähle θ geeignet)
Rabi-Frequenz
⇒
6.18
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hn| W |mi ≈

2
ωR
0
ωR 0
(Stärke der Wechselwirkung)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Lösung der Schrödinger-Gleichung in der Basis {|gi, |bi}:
H
=
HB + W
hn| H |mi =
|ψi = γ(t) |gi + β(t) |bi
i
∂
|ψi
∂t
= H |ψi
⇔
E |ψi = H |ψi
⇔
Ü Eigenzustände und Eigenwerte: H |φ±i
E± =
-δ (1 ± Ω ) ,
2
|δ|
E
=
γ
β
ωR
0
ωR –2δ
=

2
0
ωR
=

2
0
ωR
E± |φ±i
Ω ≡ δ2 + ωR2
|φ+i = – sin(ξ) |gi + cos(ξ) |bi
|φ–i =
∂ γ
∂t β
i

2
cos(ξ) |gi + sin(ξ) |bi
mit ξ
≡
1 arctan( ωR )
2
δ
LV = Lichtverschiebung bzw. dynamische Stark-Verschiebung
6.19
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
γ
β
ωR
– 2δ
γ
β
ωR
– 2δ
E+
|φ+i
LV
-δ
|bi
0
|gi
E−
|φ−i
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Allgemeine Lösungen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung:
|ψ(t)i =
A+ |φ+i exp(-i
E+
t)

+ A– |φ–i exp(-i E– t)

A± beliebige complexe Zahlen mit |A+|2 + |A-|2 = 1
Spezielle Lösung
γ(t)
β(t)
=
|ψ(t)i = γ(t) |gi + β(t) |bi
exp(iδt /2 )
mit Anfangsbedingung
|ψ(0)i = |gi
Ω cos(Ωt /2) – iδ sin(Ωt /2)
Ω ≡ δ2 + ωR2
– iωR sin(Ωt /2)
Ω
Rabi-Oszillation:
Besetzung von |bi :
|β(t)|2 =
Besetzung von |gi :
|γ(t)|2
ωR2
δ2
+ ωR
= 1 –
2
|β(t)|2
Das System oszilliert zwischen den Niveaus
|gi und |bi mit der verallgemeinerten Rabi-Frequenz Ω
→ stimulierte Absorption und Emission
6.20
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
|β(t)|2
sin2(Ωt /2)
ωR2
resonant: δ = 0
verstimmt
1
δ2 + ωR2
Ωt
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7. Bahn-Drehimpuls
7.1
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Andreas Hemmerich 2016 ©
Bahn-Drehimpuls:
L
Lx = y pz – z py
Ly = z px – x pz
klassisch: L = r × p
r
Lz = x py – y px
quantenmechanisch:
[Rν , Pµ]
p
= i δνµ i.e., verschiedene Komponenten von Orts– und
Impuls-Operatoren vertauschen ⇒ eindeutige Quantisierungsvorschrift
rν → Rν , pν → Pν
⇒
L = R×P
Mit Rν , Pµ sind auch Lµ selbstadjungiert:
Lx+ = (Y Pz)+ – (Z Py)+ = Pz+Y+ – Py+Z+ = PzY – PyZ = Y Pz – Z Py
Vertauschungsrelationen:
(I)
[Lν , Lµ]
= i ενµκ Lκ
(II)
[L2 , Lµ] = 0
0 falls νµκ nicht alle verschieden
ενµκ ≡ Levi-Civita Symbol
7.2
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=
1 falls νµκ gerade Permutation von xyz
-1 falls νµκ ungerade Permutation von xyz
Andreas Hemmerich 2016 ©
BEW (I):
[Lx , Ly] = [Y Pz – Z Py , Z Px – X Pz ]
= [Y Pz , Z Px ] + [Z Py , X Pz ] – [Y Pz , X Pz ] – [Z Py , Z Px ]
= Y Pz Z Px
– Z Px Y Pz
+
Z Py X Pz – X Pz Z Py
= Y Pz Z Px
– Y Z Pz Px
+
X Z Pz Py – X Pz Z Py
= Y [Pz , Z] Px
+
X [Z , Pz ] Py =
– i Y Px + i X Py = i Lz
[Ly , Lx]
[Ly , Lx]
BEW (I) ⇒ (II):
= -i Lz
= -i Lz
[Ly2 , Lx] = Ly2 Lx – Lx Ly2 = Ly Lx Ly – i LyLz – Lx Ly2 = Lx Ly Ly – i (LyLz + LzLy) – Lx Ly2
= – i (LyLz + LzLy)
[Lz , Lx]
=
i Ly
[Lz2 , Lx] = Lz2 Lx – Lx Lz2 = Lz Lx Lz + i LzLy – Lx Lz2 = Lx Lz Lz + i (LyLz + LzLy) – Lx Lz2
7.3
=
i (LyLz + LzLy)
⇒
[L2 , Lx]
= [Lx2 + Ly2 + Lz2 , Lx] = [Ly2 , Lx] + [Lz2 , Lx] = 0
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Andreas Hemmerich 2016 ©
Eigenwerte und Eigenzustände von Drehimpuls-Operatoren:
BEH:
Für selbstadjungierte Operatoren Lν, ν 2 {x,y,z} , die den Vetauschungsrelationen (I) genügen, gilt:
Mögliche Eigenwerte von L2 sind 2 (+1) mit
 = 0, 12 ,1, 32 , 2.... ganzzahlig oder halbzahlig
Für jeden Wert  gibt es 2 +1 gemeinsame Eigenzustände |, mi von L2 und Lz
mit
m ∈ { -, -+1,..., -1,  }, sodass
L2 |, mi =
2 (+1) |, mi
Lz |, mi =
 m |, mi

2
3/2
1
1/2
0
m
-2 -3/2 -1 -1/2 0 1/2
1 3/2 2
 = 0, 12 ,1, 32 , 2.... ganzzahlig oder halbzahlig
m ∈ { -, -+1,..., -1,  }
7.4
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
BEW: wird in der theoretischen QM durchgeführt
(siehe z.B. Cohen-Tannoudji, Quantum Mechanics I, Wiley)
Die Existenz eines gemeinsamen Systems von Eigenzuständen für L2 , Lz folgt aus [L2 , Lz] = 0.
(Statt L2 , Lz kann man auch andere Paarungen L2 , Lµ betrachten)
Die Eigenvektoren und Eigenwerte lassen sich mit Hilfe geschickt gewählter Leiteroperatoren
rekursiv konstruieren ähnlich wie beim harmonischen Oszillator.
Leiter-Operatoren: L± = Lx ± i Ly
⇒
L++ = L– , [Lz , L±] = ±  L± , [L2 , L±] = 0
L–L+ = L2 - Lz2 - Lz
Ü
L+L– = L2 - Lz2 + Lz
(I) Falls |, mi existiert mit L2 |, mi = 2 (+1) |, mi, Lz |, mi =  m |, mi folgt:
0 ≤ h, m|L–L+|, mi = h, m|L2 - Lz2 -  Lz |, mi = 2 (-m) (+1+m)
0 ≤ h, m|L+L–|, mi = h,
m|L2 -
2
Lz +  Lz |, mi =
2
(+m) (+1-m)
und somit - ≤ m ≤ 
(II) Falls |, mi existiert mit L2 |, mi = 2 (+1) |, mi, Lz |, mi =  m |, mi folgt:
Lz L± |, mi = L± Lz |, mi ±  L±|, mi =  (m±1) L±|, mi
Also ist |, m±1i ≡ L±|, mi [(+1) - m(m±1)]-1/2 Eigenvektor
zu den Eigenwerten  und (m±1) 
7.5
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Varianzen und Mittelwerte von Lx und Ly für |, mi:
BEH:
h, m | Lx |, mi = h, m | Ly |, mi = 0, ΔLx = ΔLy =

2
( (+1) – m2)
BEW:
(1)
i Lx = LyLz – LzLy
⇒
i h, m | Lx |, mi = h, m | LyLz – LzLy |, mi = h, m | LyLz |, mi – h, m | LzLy |, mi
=
(2)
 m h, m | Ly |, mi –
 m h, m | Ly |, mi = 0
ΔLx2 + ΔLy2 = h, m | Lx2 |, mi + h, m | Ly2 |, mi = h, m | L2 – Lz2 |, mi
(1)
=
h, m | L2 – Lz2 |, mi
= h, m | L2 |, mi – h, m | Lz2 |, mi
2
Aus Symmetriegründen: ΔLx =
7.6
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
ΔLy2
⇒ ΔLx
2
=
ΔLy2
=
2 (+1) – 2 m2
2

=
((+1) – m2 )
2
Andreas Hemmerich 2016 ©
Lz
Quantisierung des Drehimpuls:
2
 = 2 : L2 |2, mi =
2 6 |2, mi
Lz |2, mi =
 m |2, mi
m
= -2, -1, 0, 1, 2
Drehimpulsvektoren
präzedieren um z-Achse
1
0
6
-1 
ΔLx = ΔLy =

2
6 – m2
-2 
hLxi = hLyi = 0
Lz
 = 3/2 : L2 |3/2, mi =
Lz |3/2, mi =
m
2 15/4 |3/2, mi
 m |3/2, mi
= -3/2, -1/2, 1/2, 3/2
ΔLx = ΔLy =

2
15/4 – m2
ΔLx2 + ΔLy2
3/2 
15

2
1/2 
-1/2 
-3/2 
hLxi = hLyi = 0
7.7
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Der Bahn-Drehimpuls in Polar-Koordinaten:
Kartesische Koordinaten:
Ly = Z Px – X Pz
Lz = X Py – Y Px
Polar-Koordinaten:
x = r sin(θ)cos(φ)
y = r sin(θ)sin(φ)
Lx,y,z wirken nur auf Winkelvariablen θ, φ.
z = r cos(θ)
(i)
Volumenelement:
d3r
r2
= dx dy dz =
dr dΩ
dΩ = sin(θ) dθ dφ
Ly = Z Px – X Pz = i
cos(φ)
tan(θ)
sin(φ)
tan(θ)
Lz = X Py – Y Px = -i
∂
∂φ
Lx = Y Pz – Z Py = i
z
θ ∈ [0,π]
θ
y
φ
7.8
∂
∂

y
– z
i
∂z
∂y
 z∂ – x∂
=
∂x
∂z
i
 x∂ – y∂
=
∂y
∂x
i
Lx = Y Pz – Z Py =
Ü
(ii)
φ ∈ [0,2π]
x
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Ü (iii)
L 2 = – 2
P2
=
2m
∂2
+
∂θ2
– 2
∆ =
2m
1
∂
tan(θ) ∂θ
∂
∂
sin(φ)
+
∂θ
∂φ
∂
∂
– cos(φ)
∂θ
∂φ
+
– 2 1 ∂2
r
2m r ∂r2
1
∂2
sin2(θ) ∂φ2
+
L2
2m r2
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BEW (i):
Lz = X Py – Y Px =
x = r sin(θ)cos(φ)
y = r sin(θ)sin(φ)
z = r cos(θ)
 x∂ – y∂
∂y
∂x
i
Wende Kettenregel an auf f(x,y,z) = f( x(r,θ,φ) , y(r,θ,φ) , z(r,θ,φ) ) :
∂
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
=
=
+
+
∂φ
∂x ∂φ
∂y ∂φ
∂z ∂φ
=
∂
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
=
=
+
+
∂θ
∂x ∂θ
∂y ∂θ
∂z ∂θ
cos(φ) ∂
∂
+ sin(φ)
∂θ
tan(θ) ∂φ
=
0·
∂
∂x
7.9
–y
∂
∂x
r cos(θ)cos(φ)
z
+ r sin(θ)cos(φ)
∂
∂y
∂
∂y
+ r cos(θ)sin(φ)
∂
∂y
– r sin(θ)
∂
∂y
– r sin(θ)sin(φ)
∂
∂z
∂
∂y
+ r sin(θ)cos(φ)
∂
∂z
∂
∂z
∂
∂
– y
∂z
∂y
= – r cos(θ) (sin2(φ) + cos2(φ))
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
∂
∂x
x
+
∂
∂x
+ r cos(θ) (sin2(φ) + cos2(φ))
=
sin(φ) ∂
∂
– cos(φ)
∂θ
tan(θ) ∂φ
– r sin(θ)sin(φ)
∂
∂x
+
∂
∂
= – z ∂x + x
∂z
0·
Andreas Hemmerich 2016 ©
Eigenzustände des Bahn-Drehimpuls-Operators:
Es gilt:
L2 |, mi =
2 (+1) |, mi
Lz |, mi =
 m |, mi
mit ganzzahligen Werten:  = 0,1,...
und m ∈ { -, -+1,..., -1,  }
Kugelflächenfunktionen
|, mi
m
=Y  (θ,φ)
≡
(-1) +m (2 + 1) ( - m)!
2  !
4π
( + m)!
eimφ
sinm(θ)
d+m
sin2(θ)
+m
d(cos(θ))
 = 1, m = 0,±1
0
Y0 (θ,φ) ≡
1
4π
Lz
m=0
±1
±2
=0
1
Y 1 (θ,φ) ≡
3
cos(θ)
4π
±1
Y 1 (θ,φ)
3
sin(θ) e±iφ
8π
0
≡
=1
0
2
z
-1 

m
|Y  (θ,φ)|2 ist rotationssymmetrisch um z-Achse
7.10
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=2
m
Polar-Diagramme von |Y (θ,φ)|2
Andreas Hemmerich 2016 ©
Schrödinger Gleichung im Zentralpotential:
H =
P2
=
2m
V
⇒
=
→
P2
+ V(R)
2m
– 2
∆ =
2m
Hψ =
– 2 1 ∂2 r
2m r ∂r2
+
Eψ
L2
2m r2
V(r) hängt nur von Radial-Koordinate r ab
H, L2, Lz
kommutieren
⇒
⇒
[ Lq, V ] = 0, q ∈ {x,y,z}
⇒ Es gibt eine gemeinsame Eigen-Basis
ψ(r,θ,φ)
=
R(r) Ym (θ,φ)
L2 Ym (θ,φ) = 2 (+1) Ym (θ,φ)
7.11
Radial-Gleichung:
– 2 1 ∂2
r
2m r ∂r2
R(r) = u(r) / r
– 2 ∂2
2m ∂r2
⇒
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+
+
2 (+1)
2m r2
2 (+1)
2m
r2
+ V(r)
+ V(r)
Zentrifugal-Potential
u(r)
R(r)
=
=
E R(r)
E u(r)
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8. Das Wasserstoff-Atom
8.1
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Andreas Hemmerich 2016 ©
Schrödinger Gleichung im Coulomb-Potential:
V(r) =
Z e2
r
1
–
4πε0
ψnm(r,θ,φ)
=
1
u (r) Ym (θ,φ)
r n
Zentrifugal-Potential
für  = 1
Lösung der Radialgleichung:
– 2 ∂2
2m ∂r2
2 (+1)
+
2m
r2
–
1 Z e2
4πε0 r
un (r) =
effektives Potential
En un (r)
E2
Gebundene Zustände:
En =
En = –
n = 1,2,...
α2
mc2 2 1
Z
2
n2
 = 0,1,.., n-1
e2
α ≡
4πε0 c
≈ 1/137
E1
Coulomb-Potential
Feinstruktur-Konstante
Rn (r) = un (r) / r ≡ Nn e - ρn/2 ρn Ln+, 2 +1(ρn) , ρn ≡ (2Z r / na0) , a0 ≡ Bohr-Radius
Lν,µ(ρ) ≡ (∂/∂ρ)µ eρ (∂/∂ρ)ν e-ρ ρν
Nn
8.2
assoziierte Laguerre-Polynome
≡ Normierungskonstanten
BEW: Theorievorlesung, siehe z.B. Cohen-Tannoudji, Quantum Mechanics I, Wiley
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Andreas Hemmerich 2016 ©
E(r)/|E1| Gesamt-Energie
0
2
4
6
8
Zr/a0
-1
V(r)/|E1| Coulomb-Potential
Warum ist der Grundzustand stabil ? Warum gibt es keine Zustände mit E < E1 ?
Unterhalb der Energie E1 ist der Aufwand an kinetischer Energie für die
Lokalisierung der Wellenfunktion gößer als der Gewinn an potentieller Energie !
Diese Lokalisierungsenergie ist eine fundamentale Konsequenz der Wellennatur der Materie
kinetische Energie:
Δr ≈ r/2 ⇒
Ekin
2
2Δk2
≈
≥
≈
2m
8m Δr2
2
Mindest-Gesamt-Energie: E(r) =
– V(r)
2m r2
8.3
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
bzw.
2
2m r2
E(r)
=
|E1|
a0
Zr
2
-2
a0
Zr
Andreas Hemmerich 2016 ©
Wasserstoff- Wellenfunktionen |ψ|2
1s
hHinm =
Rotations-Symmetrie
um z-Achse !
n=1
hL2inm =
5 a0
(4πε0)2
1
n2
2 (+1)
2p
hHinm
n=2
3p
3s
3d
z
s
x
s:  = 0
p:  = 1
d:  = 2
m=0
m=0
m=0
Spektroskopie-Konvention:
8.4
m Z 2 e4
22
hLzinm = m 
2s
n=3
–
1
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
s: sharp
0
p: principal d: diffuse f: fundamental
1
2
3
p
d
m = 0,±1
m = 0,±1,±2
g,h,i,...
4,5,6,...
Andreas Hemmerich 2016 ©
Strahlungsübergänge:
Bohr:
Atome emittieren oder absorbieren beim Übergang zwischen zwei stationären
Zuständen der Energiewerte Em bzw. En Photonen der Frequenz (Em- En)/
Klassische Physik: Absorption oder Emission von Strahlung erfordert das oszillierende
Dipolmoment einer Antenne
Ladungsverteilung stationärer Zustände symmetrisch bzgl. Ursprung → keine Ladungstrennung
Stationäre Zustände haben kein Dipolmoment
BSP:
z
x
2p, m=0
8.5
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
1s, m=0
Andreas Hemmerich 2016 ©
Jedoch Überlagerung zweier stationärer Zustände kann zu Dipolmoment führen
+
z
=
x
2p, m=0
1s
Frage: Welche Überlagerungen |ψi zweier stationärer Zustände besitzen ein Dipolmoment, i.e.,
→
→
→
einen nicht verschwindenden Erwartungswert hψ|D|ψi des Dipol-Operators D = e R ?
⇒ Strahlungsauswahlregeln für Dipolübergänge
8.6
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Betrachte die Matrixelemente des Dipol-Operators:
→
→
→
Dipol-Operator: D = e R, R = Ortsoperator
→
hn,,m| D |n’,’,m’i
π
=
=
e
2π
e
dθ dφ sin(θ)
0
→
dr dΩ r2 Rn (r) Ym(θ,φ)* r Rn’’ (r) Y’m’(θ,φ)
Ym(θ,φ)* Y’m’(θ,φ)
0
Auswahlregeln:
sin(θ)cos(φ)
sin(θ)sin(φ)
cos(θ)
φ-Integration: Δm = 0,±1
θ-Integration: Δ
= ±1
⇔
∞
dr r2 Rn (r) r Rn’’ (r)
0
→
hn,,m| D |n’,’,m’i ≠ 0
r-Integration: Δn ≠ 0
→
insbesondere erwartungsgemäß: hn,,m| D |n,,mi = 0
8.7
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
→
Dipolmoment verschwindet für stationäre Zustände: hn,,m| D |n,,mi = 0, nicht aber für
Überlagerungen |ψi = A |n’,’,m’i + B |n,,mi zwischen Zuständen |n’,’,m’i, |n,,mi
für die gilt: Δn ≠ 0, Δ = ±1, Δm = 0,±1
Überlagerung von |n’,’,m’i, |n,,mi zur Zeit t=0 :
|ψi = A |n’,’,m’i + B |n,,mi
Für spätere Zeiten t > 0 :
|ψ(t)i = A exp(-iEn’ t /) |n’,’,m’i + B exp(-iEn t /) |n,,mi
→
hψ(t)| D |ψ(t)i
⇒
=
→
hn’,’,m’| D |n,,mi A* B exp( -i(En’ – En) t /)
→
hψ(t)| D |ψ(t)i
+
c.c.
oszilliert mit der Übergangsfrequenz (En’ – En) /
Der Zustand |ψ(t)i kann Photonen der Frequenz (En’ – En) / abstrahlen bzw. aufnehmen
8.8
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Strahlungsübergänge:
Gesamt Hamilton-Operator:
elektromag. Feld
W = D E(t)
W(t)
|gi
H = H0 + W(t)
→ →
|ai
•
|ai,|gi Eigenzustände des atomaren HamiltonOperators H0
Operator des elektrischen Dipolmoments:
→
→
→
D = e R, R = Ortsoperator
Fall 1: Atom im externen elektromag. Feld (z.B. in einem Laserstrahl)
stimulierte Absorption bzw. Emission (periodische Dynamik der Besetzungen der
Zustände |gi, |ai )
Atom für t = 0 in |gi → externes Feld führt zu einer kleinen Beimischung von |ai
→ elektrisches Dipolmoment bildet sich aus → Energieaufnahme aus dem Feld
→ Atom geht über in den Zustand |ai → externes Feld führt zu einer Beimischung von |gi
→ elektrisches Dipolmoment bildet sich aus → Energieabgabe an das Feld
→ Atom geht über in den Zustand |gi → und so weiter ...
• Fall 2:
Atom im elektromag. Feld des Vakuums: hEi = 0, hE2i ≠ 0
spontane Emission falls Atom im angeregten Zustand |ai
Atom für t = 0 in |ai → Vakuumfluktuationen führen zu einer winzigen Beimischung von |gi → elektr. Dipolmoment bildet
sich aus → Emission eines Photons → Atom geht über in den Zustand |gi. Atom bleibt in |gi, da Energieaufnahme aus
dem Vakuumfeld nicht möglich
8.9
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Dipolübergänge im Wasserstoff-Atom:
n=3
n=2
n=1
s
p
d
m = 0,±1
m = 0,±1,±2
Das 2S-Niveau kann aufgrund der Auswahlregeln nicht über einen Dipolübergang zerfallen,
obwohl es nicht den Grundzustand darstellt. Solche Niveaus nennt man metastabil.
Die natürliche Lebensdauer des 2p-Niveaus beträgt 1.06 ns, die des 2s-Niveaus etwa 0.14 sec.
8.10
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
BSP: Überlagerung von [2P, m ∈ {0,±1}] mit [1S]
n=2
Betrachte Überlagerung der Zustände |2,1,mi und |1,0,0i :
zur Zeit t=0 :
|ψi =
1
|2,1,mi
2
+
1 |1,0,0i
2
n=1
s
p
m = 0,±1
Für spätere Zeiten t > 0 :
→
hψ(t)| D |ψ(t)i
=
|ψ(t)i =
→
1
h2,1,0| D |1,0,0i exp( -i(E2–E1) t /)
2
Berechnung der Matrixelemente
π
=
1
1
exp(-iE2 t /) |2,1,mi +
2
2
→
dθ dφ sin(θ) Y0,0(θ,φ) Y1,m(θ,φ)*
0
0
c.c.
h2,1,m| D |1,0,0i =
2π
e
+
exp(-iE1 t /) |1,0,0i
sin(θ)cos(φ)
sin(θ)sin(φ)
cos(θ)
∞
dr r2 R2,1(r) r R1,0(r)
0
IR
8.11
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
=
e
4π
π
IR
→
h2,1,±1| D |1,0,0i =
dθ dφ sin(θ) Y1,m(θ,φ)*
0
e
3
2π
IR
0
1
2
±1
i
0
sin(θ)cos(φ)
sin(θ)sin(φ)
cos(θ)
→
h2,1,0| D |1,0,0i =
e
3
IR
0
0
1
Erwartungswert des Dipolmoments:
|ψm(t)i =
⇒
1
1
exp(-iE2 t /) |2,1,mi +
2
2
→
hψ±1(t)| D |ψ±1(t)i =
→
hψ0(t)| D |ψ0(t)i =
8.12
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
e
3
e
3
exp(-iE1t /) |1,0,0i
IR
IR
1
2
± cos(ωt)
sin(ωt)
0
0
0
cos(ωt)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Überlagerung von [2p, m=0] mit [1s] :
n=2
1
1
exp(-iE2 t /) |2,1,mi +
2
2
|ψ0(t)i =
→
hψ0(t)| D |ψ0(t)i =
e
3
IR
exp(-iE1 t /) |1,0,0i
n=1
s
0
0
cos(ωt)
p
m = 0,±1
Dipolmoment oszilliert linear polarisiert längs z-Achse !
+
z
=
x
2p, m=0
8.13
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
1s
Andreas Hemmerich 2016 ©
Überlagerung von [2p, m=±1] mit [1s] :
n=2
|ψ±1(t)i =
1
exp(-iE2 t /) |2,1,±1i
2
+
1
2
exp(-iE1 t /) |1,0,0i
n=1
s
p
m = 0,±1
e
→
hψ±1(t)| D |ψ±1(t)i =
3
IR
1
2
± cos(ωt)
sin(ωt)
0
Dipolmoment oszilliert (links, rechts) zirkular polarisiert in xy-Ebene !
+
y
=
x
2p, m=±1
8.14
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
1s
Andreas Hemmerich 2016 ©
Schwerpunkts – und Relativ-Koordinaten
Betrachte zwei Teilchen der Massen m1, m2 mit Orts – und Impuls-Operatoren R(1), P(1), R(2), P(2)
Vertauschungsrelationen: [R(i)ν , P(j)µ] = i δνµ δij , ν, µ ∈ {x,y,z} , i , j ∈ {1,2}
Neue Koordinaten: R(s) = Schwerpunkts-Koordinate, R(r) = Relativ-Koordinate
m1R(1) + m2R(2)
R(s) =
P(s) =
m1 + m2
R(r) = R(1) – R(2)
P(1) + P(2)
m2P(1) – m1P(2)
P(r) =
m1 + m2
Es gelten folgende Beziehungen:
(i)
[R(i)ν , P(j)µ] = i δνµ δij , n, m ∈ {x,y,z} , i , j ∈ {r,s}
(ii)
P(1)
(iii)
P(1)
2m1
8.15
m1
=
m1 + m2
P(s) + P(r)
2
2
+
P(2)
2m2
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
=
P(s)
2M
P(2)
2
+
P(r)
2µ
2
=
m2
m1 + m2
P(s) – P(r)
M ≡ m1 + m2
µ ≡ m1 m2 / M
Gesamt-Masse
reduzierte Masse
Andreas Hemmerich 2016 ©
Zwei-Körper-Problem (Massen m1, m2) :
2
2
H =
P(1)
2m1
+
P(2)
2m2
H = H(s) + H(r)
Es folgt
[H(s) , H(r)] = 0
+ V(R(1) – R(2))
H(s)
⇒
P(s)
=
2M
Potential V hänge nur von Relativ-Koordinate ab
2
H(r)
P(r)
=
2µ
2
+
V(R(r))
Es gibt eine gemeinsame Eigen-Basis |φκi:
H(s) |φκi = Eκ(s) |φκi
H(r) |φκi = Eκ(r) |φκi
H
|φκi = (Eκ(s) + Eκ(r)) |φκi
BSP: Wasserstoff-Atom = Proton + Elektron
8.16
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
⇒
Betrachte Ein-Körper-Problem mit
reduzierter Masse µ
Andreas Hemmerich 2016 ©