Theoretische Physik III - Universität des Saarlandes

Quantenmechanik I
1
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Theoretische Physik III
- Quantenmechanik I -
Prof. Dr. Manfred Lücke WS 03/04
Universität des Saarlandes
von Ralf Jungmann, Andreas Zell, Andreas Ziehl
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Quantenmechanik I
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© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Quantenmechanik I
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Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung ........................................................................................................................... 6
1.1
Die Quantennatur des Lichtes .................................................................................... 7
1.2
Energieniveaus ......................................................................................................... 10
1.3
Der Begriff des Zustandes........................................................................................ 12
2
Einige Grundideen............................................................................................................ 14
2.1
Photonen und EM-Wellen:....................................................................................... 14
2.2
Teilchen mit m0 ≠ 0 und „Materiewellen“................................................................ 14
2.3
Zustands-(Wellen-) Funktion eines Teilchens ......................................................... 14
2.4
Erwartungswerte....................................................................................................... 16
2.5
Heisenberg’sche Unschärferelation.......................................................................... 16
3
Schrödingergleichung (SG).............................................................................................. 18
3.1
SG für Zustandsfunktion eines Teilchens ................................................................ 18
3.2
Die Kontinuitätsgleichung........................................................................................ 19
3.3
Stationäre Zustände .................................................................................................. 19
4
Eindimensionale Kastenpotentiale ................................................................................... 21
4.1
Allgemeine Lösung der SG für 1D Kastenpotential ................................................ 21
4.2
Potentialtopf – allgemeine Eigenschaften der Zustände .......................................... 22
4.3
Gebundene Zustände des Potentialtopfes................................................................. 23
4.4
Nicht gebundene Zustände – Tunneleffekt .............................................................. 26
4.5
Resonanzzustände - Resonaztunneln ....................................................................... 28
4.6
δ-Potential ................................................................................................................ 29
5
Harmonischer Oszillator .................................................................................................. 32
5.1
Eindimensionaler harmonischer Oszillator .............................................................. 32
5.2
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Oszillatorquanten............................ 33
5.3
Dreidimensionaler isotroper Oszillator .................................................................... 36
5.4
Bewegung im homogenen Magnetfeld .................................................................... 37
6
Hilbertraum der Zustandsvektoren................................................................................... 39
6.1
Erinnerung an euklidischen Vektorraum.................................................................. 39
6.2
Raum der Dirac „bra“ und „ket“ Zustandsvektoren................................................. 40
6.3
Lineare Operatoren................................................................................................... 41
7
Eigenwertgleichungen, Observable, hermitesche Operatoren ......................................... 44
7.1
Eigenwertgleichungen.............................................................................................. 44
7.2
Observable – hermitesche Operatoren ..................................................................... 45
8
Darstellungen im Zustandraum ........................................................................................ 47
8.1
Darstellung von Zustandsvektoren........................................................................... 47
8.2
Darstellung von Operatoren ..................................................................................... 48
8.3
Beispiel: Freies Punktteilchen.................................................................................. 49
9
Das Axiomensystem der Quantenmechanik .................................................................... 52
9.1
Die Postulate ............................................................................................................ 52
9.2
Zeitentwicklung von Zustandsvektoren als unitäre Transformation........................ 54
9.3
Schrödinger- und Heisenbergbild............................................................................. 54
9.4
Ehrenfest’ sches Theorem ........................................................................................ 55
9.5
Unschärferelation und gleichzeitige Messbarkeit von Observablen ........................ 56
9.6
Energie-Zeit Unschärferelation ................................................................................ 56
10
Der Drehimpuls ............................................................................................................ 57
r r r
10.1 Bahndrehimpulsoperator L = R × P ......................................................................... 57
r
10.2 L in Ortsdarstellung ................................................................................................ 58
11
Ein Teilchen im Zentralpotential.................................................................................. 60
11.1 Hamiltonoperator und Konstanten der Bewegung ................................................... 60
Quantenmechanik I
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11.2
11.3
11.4
Die stationäre Schrödingergleichung ....................................................................... 60
„Radiale“ Schrödingergleichung.............................................................................. 61
Gebundene Zustände – diskretes Energiespektrum ................................................. 62
12
Das Wasserstoffatom.................................................................................................... 63
12.1 Reduktion des Zweikörperproblems auf Einkörperproblem.................................... 63
12.2 Relativbewegung von Elektron und Proton ............................................................. 63
12.3 Lösen der radialen Schrödingergleichung (für gebundene Zustände) ..................... 64
12.4 Energiequantisierung................................................................................................ 65
12.5 Energieniveau – spektroskopische Notation ............................................................ 66
12.6 Wellenfunktionen ..................................................................................................... 67
13
Stationäre Theorie der elastischen Streuung ................................................................ 68
13.1 Einschränkungen ...................................................................................................... 69
13.2 Stationäre Streutheorie: Lippmann-Schwinger Gleichung ...................................... 69
13.3 Lippmann-Schwinger Gleichung im Hilbertraum.................................................... 70
13.4 Streuamplitude ......................................................................................................... 71
13.5 Streuquerschnitt (Wirkungsquerschnitt) .................................................................. 73
13.6 Born’ sche Näherung................................................................................................ 74
13.7 Partialwellenzerlegung ............................................................................................. 75
14
Allgemeine Theorie des Drehimpulses ........................................................................ 80
14.1 Definitionen.............................................................................................................. 80
r
14.2 Eigenwerte von J 2 und Jz.......................................................................................... 80
14.3 Addition von zwei Drehimpulsen ............................................................................ 83
14.4 Clebsch-Gordon Gleichung...................................................................................... 84
14.5 Zustände von zwei Drehimpulsen ............................................................................ 85
15
Teilchen mit Spin ½ ..................................................................................................... 87
15.1 Spin ½ - Drehimpulsoperator ................................................................................... 87
15.2 Beschreibung eines Spin ½ Teilchens...................................................................... 89
15.3 Magnetisches Moment ............................................................................................. 90
15.4 Einfacher Zeeman-Effekt ......................................................................................... 91
15.5 Spinpräzession.......................................................................................................... 92
15.6 Spinresonanz ............................................................................................................ 94
15.7 Stern-Gerlach Experiment........................................................................................ 95
15.8 Exkurs: Zwei-Zustandssystem ................................................................................. 95
16
Stationäre Rayleigh-Schrödinger Störungstheorie ....................................................... 99
16.1 Rayleigh-Schrödinger Theorie (ohne Entartung)..................................................... 99
16.2 Beispiele ................................................................................................................. 101
16.3 Rayleigh-Schrödinger Störungstheorie für entartete Zustände .............................. 103
16.4 Beispiel: Linearer Stark-Effekt beim n=2 Niveau des H-Atoms ........................... 104
16.5 Feinstruktur des H-Atoms ...................................................................................... 106
17
Andere Methoden für stationäre Probleme ................................................................ 110
17.1 Born’sche Störungstheorie der Streuung (siehe 13)............................................... 110
17.2 Brillouin-Wigner Störungstheorie.......................................................................... 110
17.3 Rayleigh-Ritz Variationsverfahren ........................................................................ 110
18
Zeitabhängige Störungstheorie................................................................................... 111
18.1 Wechselwirkungsbild ............................................................................................. 111
18.2 Störungstheoretische Lösung der Schrödingergleichung....................................... 112
18.3 Übergangswahrscheinlichkeit ................................................................................ 112
18.4 Die Störung V (t ) = VΘ(t ) ....................................................................................... 113
18.5 Fermi’s Goldene Regel........................................................................................... 115
18.6 Die Störung V (t ) = Θ(t ) Ve − iωt + V + eiωt ................................................................. 115
[
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Quantenmechanik I
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Atom im elektromagnetischen Feld ........................................................................... 118
Atomares Elektron im Feld einer ebenen EM-Welle ............................................. 118
Elektrische Dipolübergänge ................................................................................... 121
Magnetische Dipol- und elektrische Quadrupolübergänge.................................... 122
20
Observable als Erzeugende von kontinuierlichen Transformationen ........................ 123
20.1 Räumliche Translation und Impuls ........................................................................ 123
20.2 Drehungen und Drehimpuls ................................................................................... 124
20.3 Verallgemeinerte Drehungen ................................................................................. 126
20.4 Zeittranslation und Energie .................................................................................... 126
21
Diskrete Transformation ............................................................................................ 127
21.1 Raumspiegelung – Paritätsoperator Π.................................................................... 127
21.2 Bewegungsumkehr – Zeitspiegelungsoperator Θ .................................................. 127
21.3 Permutation identischer Teilchen........................................................................... 127
19.1
19.2
19.3
Quantenmechanik I
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I Einführung in die Quantenmechanik
1 Einleitung
Die klassische Physik beschreibt viele Naturphänomene in ausreichender Weise, und zwar
nicht nur im makroskopischen Bereich (die kinetische Gastheorie ist z.B. eine mikroskopische
Theorie). Dennoch gibt es eine Reihe von physikalischen Sachverhalten, die von ihr nicht
oder nicht zufrieden stellend erklärt werden. Einige davon sind die folgenden:
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
In der Physik makroskopischer Systeme (Gase, Flüssigkeiten, Festkörper):
Energieverteilung der Strahlung eines schwarzen Körpers.
Thermodynamisches Verhalten bei niedrigen Temperaturen (z.B. spezifische
Wärme). Kondensationsphänomene. Suprafluidität. Kohäsionsenergie von
Flüssigkeiten und Festkörpern. Schallphänomene in Festkörpern
(Gitterschwingungen, Phononen). Elektrische Leitfähigkeit (Normal-, Halb-,
Supraleiter). Ferromagnetismus.
In der Chemie und Molekülphysik:
Form und Größe der Moleküle, Molekülspektren. Theorie der chemischen
Bindung: Zustandekommen der homöopolaren Bindung, van - der - WaalsBindung, quantitative Aussagen (Stärke der Bindung). Mechanismus von
Reaktionen (Reaktivität verschiedener Atomsorten).
In der Atomphysik:
Größe und Stabilität der Atome. Ladungsverteilung in Atomen.
Atomspektren: diskretes Spektrum (scharfe Linien) angeregter Atome,
Linienbreite, Linienaufspaltung in elektrischen und magnetischen Feldern
(Stark- bzw. Zeemaneffekt). Wechselwirkung von Licht oder Teilchen mit
Atomen: Photoeffekt, erzwungene Emission bzw. Absorption, Streuung von
Teilchen an Atomen.
In der Kernphysik:
Größe und Stabilität der Kerne. Ladungsverteilung. Kernspektren.
Kernreaktionen: Wechselwirkung von γ -Strahlen oder Teilchen mit Kernen,
radioaktiver Zerfall, Kernspaltung, Kernfusion.
In der Elementarteilchenphysik:
Größe der Elementarteilchen. Elektromagnetische und mechanische
Eigenschaften (Masse, Ladung, Drehimpuls, magnetisches Moment).
Wechselwirkung von Strahlung mit Teilchen (z.B. Comptoneffekt).
Elementarteilchenreaktionen: Streuung, Zerfall, Erzeugung neuer Teilchen.
Die Quantentheorie (Quantenmechanik, QM) kann diese Phänomene (mit Ausnahme des
größten Teils der unter 5 genannten) qualitativ und quantitativ erklären. Die QM ist
keineswegs a priori eine Theorie mikroskopischer Systeme (Ferromagneten oder Supraleiter
sind makroskopische Objekte), sondern ihr Formalobjekt sind beliebige physikalische
Systeme (Elementarteilchen, Kerne, Atome, Moleküle, Festkörper etc.). Die klassische Physik
ist in der QM als Grenzfall enthalten. Der Übergang zu diesem Grenzfall ist allerdings nicht
bei allen Problemen leicht durchzuführen: es gibt Systeme, bei denen er mathematisch nicht
existiert, die also kein klassisches Gegenstück haben.
Die QM ist eine nichtrelativistische Theorie, d.h. die Geschwindigkeiten aller betrachteten
materiellen Objekte müssen klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sein, damit der qm.
Formalismus anwendbar ist. Für die Probleme der Elementarteilchenphysik ist die
nichtrelativistische QM nicht ausreichend. Eine konsequente Inkorporation der Relativitäts-
Quantenmechanik I
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theorie (die in der relativistischen Quantenfeldtheorie versucht wird) ist bis jetzt nur bei
gewissen Problemen gelungen.
Wie jeder Fortschritt in der Physik erfordert auch die Erweiterung der klassischen Physik zur
Quantentheorie eine Erweiterung der Begriffsbildung. Gewisse bisher benützte und vertraute
Begriffe stellen sich als inadäquat oder sogar widerspruchsvoll heraus, wenn neue Phänomene
betrachtet werden sollen, und eine erfolgreiche Beschreibung muss mit einer Kritik des
Begriffsapparates beginnen. Das ist in der Physik ein durchaus normaler ("evolutiver")
Vorgang. Die Tatsache, dass viele Physiker der älteren Generation die QM als "revolutionär"
empfunden haben (was gelegentlich, je nach Einstellung, zu obstinatem Widerwillen oder
unkritischem Enthusiasmus führte), mag darauf zurückzuführen sein, dass die kritisierten
Begriffe besonders vertraut waren. Die Begriffsbildung und der mathematische Apparat der
QM sind als besonders "unanschaulich" verrufen. Die folgenden Kapitel versuchen zu zeigen,
dass diese Meinung unberechtigt ist: die QM kann anhand der Analyse durchaus
"anschaulicher" experimenteller Situationen entwickelt werden, und man kann sich an ihren
Apparat (wie an alle Formalismen) gewöhnen.
In diesem Zusammenhang soll hervorgehoben werden, dass man die Grundgesetze der QM
genauso wenig "abgeleitet" hat, wie etwa die Newton’schen Gesetze oder die Maxwell’schen
Gleichungen. Auch die Entwicklung der QM erfolgte nicht deduktiv, sondern in Form eines
"Lernvorganges by trial and error". Durch ein Zusammenwirken von Intuition, Genialität und
Sachverstand wurden an einigen wenigen Fakten neue Begriffsbildungen und Formalismen
abstrahiert, deren Zweckmäßigkeit und Konsistenz hinterher gezeigt wurden, indem man die
daraus folgenden Aussagen für eine große Klasse von Phänomenen mit dem Experiment
verglich. Ohne allen historischen Umwegen zu folgen, will die folgende Einführung diesen
Aspekt herausstellen.
1.1 Die Quantennatur des Lichtes
Der Beginn der Quantentheorie wird durch die Hypothese markiert, dass die
elektromagnetische Strahlung aus Lichtquanten (Photonen) besteht, also außer ihren
Welleneigenschaften auch eine Teilchenstruktur hat. Max Planck war 1901 bei einer
Untersuchung der Energieverteilung der Strahlung eines schwarzen Körpers zu einer mit dem
Experiment übereinstimmenden Formel gelangt, indem er die für seine Zeit äußerst kühne
Annahme machte, dass Strahlungsenergie der Frequenz ν nur in Portionen emittiert oder
absorbiert werden kann, die ganzzahlige Vielfache von E = hν sind, wobei h = 6,6 l0-34 Joule
sec. = 4 l0-15 eV sec eine Naturkonstante ist. Monochromatische Strahlung besteht daher aus
Quanten (Photonen) dieser Energie.
Es ist amüsant festzustellen, dass man die Quantennatur des Lichtes mit freiem Auge
beobachten kann: Betrachtet man eine sehr schwach beleuchtete Wand, so sieht man sie nicht
gleichmäßig beleuchtet, sondern bemerkt eine sich rasch ändernde "körnige" Struktur. Sie
resultiert aus der "körnigen" Struktur des Lichtes selbst: man beobachtet statistische
Schwankungen in der Anzahl der Photonen, die das Auge in einem gegebenen Zeitintervall
treffen. Bei größerer Helligkeit sind diese Schwankungen relativ so klein, dass sie nicht mehr
gesehen werden.
Starke Evidenz für die Korpuskularstruktur des Lichtes und die Richtigkeit der Planck’schen
Beziehung zwischen der Energie der Photonen und der Frequenz des Lichtes liefern zwei
wichtige Experimente.
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1. Photoeffekt:
Eine mit Licht höherer Frequenz bestrahlte Kathode einer evakuierten Röhre emittiert
Elektronen. Der zuerst von Hertz (1887) beobachtete Effekt wurde 1905 von Einstein
in folgender Weise gedeutet: Absorbiert ein Elektron im Metall der Kathode ein
Photon der Frequenz ν, so verlässt es die Kathode mit der kinetischen Energie
mv 2
= hν − W ≤ hν − φ
2
Dabei ist W die Energie, die es auf dem Weg durch das Metall durch Wechselwirkung
mit anderen Teilchen (bzw. dem Gitter) verliert; das ist günstigstenfalls die
Austrittsarbeit φ. Die Energie des Elektrons kann gemessen werden, indem man
untersucht, welches verzögernde Potential es überwinden kann (Sperrspannung). Das
experimentelle Resultat (Millikan) ist, dass es eine Schwelle gibt: unterhalb einer
bestimmten Grenzfrequenz (die einer Wellenlänge von etwa 6800 Å entspricht) findet
selbst bei sehr hoher Lichtintensität kein Photoeffekt statt, selbst wenn ein
beschleunigendes Potential verwendet wird. Oberhalb der Schwelle steigt der
Photostrom mit abnehmender Verzögerungsspannung an und erreicht einen
(intensitätsabhängigen) Sättigungswert.
Klassisch ist zwar das Zustandekommen des Effektes verständlich: eine
elektromagnetische Welle induziert eine oszillatorische Bewegung der getroffenen
Elektronen (sie werden von der Welle "geschüttelt"). Die Existenz einer
Grenzfrequenz ist nicht verständlich: die Zahl der emittierten Elektronen sollte mit
wachsender Amplitude (d.h. Intensität des Lichtes) zunehmen, da bei größerer
Amplitude mehr Elektronen "losgeschüttelt" werden, sie sollte aber von der Frequenz
unabhängig sein, in krassem Gegensatz zum experimentellen Befund.
Mit der Lichtquantenhypothese ist der experimentelle Befund nicht nur qualitativ,
sondern auch quantitativ verständlich. Die lineare Abhängigkeit der Elektronenenergie
von ν ist experimentell gut bestätigt. Die Steigung der Geraden liefert den Wert von h
in guter Übereinstimmung mit andersartigen Experimenten.
Abbildung 1.1a: Photoeffekt
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2. Comptoneffekt:
Abbildung 1.1b: Comptoneffekt
Streut man γ-Strahlen an Elektronen und trägt die Intensität (Anzahl) der gestreuten
Photonen als Funktion ihrer Energie bei festem Streuwinkel auf, so beobachtet man
bei größeren Winkeln zwei Maxima: eines bei der Energie der einfallenden Photonen
und ein nach kleineren Energien verschobenes Maximum. Durch Untersuchung der
Winkelabhängigkeit der Lage des verschobenen Maximums findet man, dass Energieund Impulssatz für den Zusammenstoß eines Photons mit einem Elektron erfüllt sind:
E γ + E e = Eγ′ + E e′
r
r
r
r
pγ + p e = pγ′ + p e′
r
Dabei ist p e = 0 ; E e = mc 2 für anfangs ruhende Elektronen,
r
Eγ = c pγ
r
E ′γ = c p ′γ
und
Abbildung 1.1c: Intensitäts-Energie-Diagramm
denn das Photon ist ein relativistisches Teilchen der Masse Null. (Allgemein ist für ein
r
freies Teilchen E 2 − p 2 c 2 = m 2 c 4 ). Die unverschobene Spitze entspricht elastischen
Zusammenstößen der γ-Quanten mit ganzen Atomen. Wegen der relativ großen Masse
des Atoms ist der Energieverlust des γ -Quants zu klein, um sich bemerkbar zu
machen.
Nach der klassischen Theorie würde man auch eine Frequenzverschiebung erwarten:
Berechnet man das Verhalten eines Elektrons in einem elektromagnetischen
Wechselfeld, so sieht man, dass das Elektron nicht nur in Schwingung versetzt wird,
sondern außerdem gleichmäßig beschleunigt wird. Die resultierende Streustrahlung in
einer gegebenen Richtung hat wegen des Dopplereffektes eine verschobene Frequenz.
Die Dopplerverschiebung hat aber keinen festen Wert, sondern sollte mit der Zeit
abnehmen. Man würde daher nicht zwei scharfe Maxima, sondern eine breite Kurve
erwarten, in scharfem Gegensatz zum Experiment. Die Erklärung mit Hilfe der
Lichtquantenvorstellung ist nicht nur im Einklang mit dem Experiment, sondern
außerdem besonders einfach: man braucht nur die (relativistische) Kinematik des
elastischen Stoßes von zwei Teilchen.
Die physikalischen Eigenschaften der Photonen sind aus der klassischen
Elektrodynamik zu sehen. Nach dieser transportiert ein Lichtstrahl Energie und
Impuls. Wenn das Licht zirkular polarisiert ist, transportiert der Strahl außerdem
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Drehimpuls. Diese Resultate der Maxwell’schen Theorie können experimentell
geprüft werden: der Impuls kann z.B. als Lichtdruck mit einem an einem
Torsionsfaden aufgehängten Spiegel gemessen werden; der Drehimpuls kann z.B. für
eine Mikrowelle mit einem an einem Faden aufgehängten Absorber nachgewiesen
werden.
Quantitativ resultiert aus den Maxwell’schen Gleichungen: Wird aus einem Lichtstrahl
von einem Absorber pro cm² und Sekunde die Energie E absorbiert, so erhält dieser
E
pro cm² und Sekunde einen Impuls . War der Lichtstrahl zirkular polarisiert, so
c
E
wird auf den Absorber pro cm² und Sekunde der Drehimpuls ±
übertragen. In
2πν
Termen von Photonen bedeutet dies: Ein Photon der Energie E = hν transportiert den
h
hν
Impuls p =
und den Drehimpuls ±
= ±h .
2π
c
Durch die angedeuteten Experimente ist das nicht gesichert, denn sie bestimmen nur
den mittleren Impuls und Drehimpuls. Der Comptoneffekt beweist hingegen die
Richtigkeit der Impulszuordnung für das einzelne Photon. Für den Drehimpuls kann
man die Aussage aus der Drehimpulsänderung angeregter Atomniveaus bei
Abstrahlung oder Absorption eines Lichtquants erschließen, s. u.
1.2 Energieniveaus
Eine wichtige Basis der QM ist die empirische Feststellung, dass gewisse Parameter, durch
die man physikalische Systeme charakterisiert, diskrete Werte annehmen, die durch deutliche
Intervalle getrennt sind. Ein Beispiel dafür sind die Frequenzen des Lichtes, das von
angeregten Atomen ausgesandt wird.
Betrachtet man eine elektrische Entladung in einem Gas, z.B. Quecksilberdampf, und trägt die
Intensität des ausgesandten Lichtes als Funktion der Frequenz ν auf, so findet man ein
Linienspektrum. Es stellt sich heraus, dass zwar der absolute Wert der Intensität von der
Anzahl der Atome in der Entladung abhängt, dass aber die Lage der Linien davon unabhängig
ist und daher ein Charakteristikum der Atomsorte (Quecksilber) darstellt.
Abbildung 1.2a: Linienspektrum einer Entladung
Wir dürfen wohl annehmen, dass alle Hg-Atome gleich aufgebaut sind, und dass man ihre
Wechselwirkung vernachlässigen kann, wenn das Gas genügend verdünnt ist, so dass die
Atome im Mittel genügend weit voneinander entfernt sind. Wir müssen dann die Lage der
Spektrallinien als charakteristisch für das einzelne Atom ansehen.
Wenn das Atom einzelne Photonen der Energie E = hν emittiert (Lichquantenhypothese),
und die Energie erhalten bleibt, so folgt aus der Existenz scharfer Linien, dass die Atome
diskrete Energieniveaus haben: Wenn ein Atom ein Photon emittiert, so verliert es den entsprechenden Energiebetrag. Da die Frequenz der Photonen diskret ist (scharfe Linien),
müssen es auch die Energieniveaus des Atoms gewesen sein.
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Geht also ein Atom von einem angeregten Zustand E1 in einen tieferen E2 über, so strahlt es
ein Photon der Frequenz h ν12= E1 - E2 ab (N. Bohr). Diese Annahme erklärt das RydbergRitz’ sche Kombinationsprinzip (das empirisch gefunden worden war): Für ein Atom
charakteristische Frequenzen erfüllen Beziehungen der Form: ν 13 = ν 12 + ν 23 .
Aus der Bohr’ schen Annahme ist das sofort klar: E1 − E 3 = E1 − E 2 + E 2 − E 3 .
Abbildung 1.2b: Bohr’sche Energieübergänge
Mit der Bohr'schen Hypothese können alle Atomspektren konsistent interpretiert werden. Ein
sehr umfangreiches Tatsachenmaterial (viele Spektrallinien) wird mit Hilfe von
verhältnismäßig wenigen Energieniveaus der einzelnen Atome verständlich. Die Annahme ist
daher zweckmäßig: Sie reduziert das empirische Material beträchtlich.
Quantitativ sind die gemessenen Energiedifferenzen von der Größenordnung eV: die
angeregten Niveaus aller Atome liegen daher um Beträge dieser Größenordnung über dem
Grundniveau.
Der Franck-Hertz-Versuch testet die Vorstellung diskreter Energieniveaus direkt. Die
Versuchsanordnung ist die folgende: Die Glühkathode einer QuecksilberdampfEntladungsröhre emittiert Elektronen, die von einer angelegten Anodenspannung UA
beschleunigt werden. Das Gitter der Röhre liegt gegenüber der Anode auf einer kleinen
1
positiven Spannung Ug (=
V). Gemessen wird der Anodenstrom IA als Funktion der
2
Anodenspannung UA. Das Schaltschema sieht also so aus:
Abbildung 1.2c: Franck-Hertz-Versuch
Wenn die Elektronen das Gas passieren, stoßen sie mit den Quecksilberatomen zusammen.
Verliert ein Elektron bei einem Stoß soviel Energie, dass seine kinetische Energie nach dem
Stoß kleiner als e Ug = 1/2 eV ist, so kann es die Anode nicht erreichen. Das Resultat der
Messung ist die folgende Kurve:
Abbildung 1.2d: I(U)-Diagramm Franck-Hertz-Versuch
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Der Strom nimmt also zunächst zu. Etwas unterhalb von 5 V sinkt er plötzlich ab. Bei höherer
Spannung nimmt er wieder zu usw. Besonders viele Elektronen verlieren daher durch einen
Zusammenstoß mit Hg-Atomen eine Energie von 5 eV. Ein solcher Stoß muss unelastisch
sein, denn diese Energie reicht nicht aus, um das Hg-Atom als Ganzes in Bewegung zu
setzen. Die Energie wird daher zur Anregung des Atoms verwendet: Das Hg-Atom muss
daher einen Anregungszustand von etwa 5 eV haben. Das weitere Verhalten der gemessenen
Kurve stützt die Annahme: Der nächste Abfall entspricht Elektronen, die mit 2 Hg-Atomen
zusammengestoßen sind etc. Der aus dem Experiment bestimmte Wert von 4.9 ± 0.1 eV für
den Anregungszustand stimmt mit dem spektroskopisch bestimmten von 4.886 eV gut
überein. Durch Verbesserung der Apparatur konnten auch höhere Niveaus gemessen werden.
Kernniveaus:
Auch Atomkerne haben diskrete Energieniveaus und daher ein Linienspektrum. Die quantitativen Verhältnisse
sind verschieden: Die Anregungsenergien sind von der
Größenordnung von 100 keV. Man kann die Niveaus
sowohl spektroskopisch (γ-Spektren) als auch durch
Stöße (Proton-Kernstreuung) untersuchen.
Elementarteilchenniveaus:
Auch bei den Elementarteilchen hat man so etwas wie
"angeregte Zustände" gefunden (z.B. solche des Protons
oder des Pions). Die Anregungsenergien liegen in der
Größenordnung GeV (1 GeV = 109 eV). Die Zustände
gehen aber vorzugsweise unter Emissionen von Teilchen
(z.B. Pionen) in den entsprechenden Grundzustand über.
(Da die Relativitätstheorie eine wesentliche Rolle spielt,
reicht die gewöhnliche QM zur Beschreibung dieses
Phänomens nicht aus.)
1.3 Der Begriff des Zustandes
Es gibt kaum Experimente der Atom-, Kern- oder Elementarteilchenphysik, die mit
Einzelobjekten (z.B. einem einzelnen Atom) gemacht werden. Bei der weitaus größten Zahl
der Versuche arbeitet man mit sehr vielen identischen Objekten: man streut z.B. nicht ein
Elektron an einem Proton, sondern einen Elektronenstrahl an einem aus vielen Protonen
bestehenden Target; man misst nicht die Frequenz eines Photons, das von einem
Quecksilberatom ausgesandt wird, sondern diejenige eines Lichtstrahls aus einer
Gasentladung, in der viele solche Atome vorhanden sind. Wie bereits im letzten Abschnitt
erwähnt wurde, erhält man trotzdem eine Information über das einzelne Objekt, da sich die
vielen am Versuch beteiligten Objekte gleich verhalten. Diese Identität der Objekte
(Elektronen, Protonen, Quecksilberatome, Photonen etc.) ist eigentlich per definitionem
gegeben: wir nennen ein Quecksilberatom ein Gebilde, das Eigenschaften hat, die alle
anderen Quecksilberatome auch haben, so dass es von diesen nicht unterscheidbar ist. Wir
treffen also eine Klasseneinteilung, die so gemacht ist, dass die Elemente einer Klasse
ununterscheidbar sind. Ob eine solche Einteilung genügend fein ist, und ob die dafür
verwendeten Merkmale zweckmäßig sind, kann von vornherein nicht entschieden werden,
sondern bedarf einer näheren Untersuchung. Die Klasse "ruhende Quecksilberatome" (mit
allen chemischen und physikalischen Kriterien, die ein ruhendes Hg-Atom charakterisieren)
wird z.B. von dem Moment an nicht mehr genügend gut definiert erscheinen, in dem man
feststellt, dass solche Atome im Grundniveau und in Anregungsniveaus existieren können,
wobei man die letzteren von den ersteren sehr wohl unterscheiden kann. Hingegen scheint es
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kein Kriterium zu geben, nach dem man Hg-Atome im Grundniveau voneinander
unterscheiden kann.
Man beachte, dass eine solche Klasseneinteilung durch die Existenz von Variablen, die
diskrete Werte annehmen können (wie z.B. die Energie bei Energieniveaus von Atomen oder
Kernen) stark erleichtert, wenn nicht überhaupt erst ermöglicht wird. Das heißt nicht, dass
man nur diskrete Variablen für die Klasseneinteilung heranziehen kann (bewegte Hg-Atome
sind von ruhenden unterscheidbar. Die Geschwindigkeit kann kontinuierlich variiert werden).
Gäbe es aber überhaupt keine diskreten Variablen, so erschiene eine solche Klasseneinteilung
jedenfalls unnatürlich, und man käme nicht auf die Idee, damit etwas anfangen zu wollen.
Dieser Begriff der Klasseneinteilung ist für die QM von fundamentaler Bedeutung, denn es
zeigt sich, dass man solche Einteilungen für alle bisher untersuchten atomaren und
subatomaren Systeme treffen kann. Sie ermöglicht eine Aussage über jedes einzelne Objekt
der Klasse, die wir in folgender Weise präzisieren wollen:
Sei eine Klasse von ununterscheidbaren
Objekten in hinreichender Weise so
beschrieben, dass man sie von allen anderen
Klassen unterscheiden kann.
Wir sagen dann: Die Objekte sind in dem
durch diese Beschreibung definierten Zustand.
Diese Begriffsbildung ist von den Energieniveaus (= Energiezuständen) von Atomen
abstrahiert. Die Objekte, um die es sich handelt, können beliebige physikalische Systeme sein
(Elementarteilchen, Atome, Moleküle, Festkörper usw.). Die Merkmale, die die betrachtete
Klasse von allen anderen unterscheidet, charakterisieren den Zustand. Da wir Physik
betreiben, werden wir dafür Zahlwerte beobachtbarer Größen verwenden.
Es kann sich um solche handeln, die auch in der klassischen Physik bedeutungsvoll sind
(Energie, Impuls, Drehimpuls, Ladung usw.), aber auch um rein quantenmechanische Größen
ohne klassisches Gegenstück. Die Werte der Zustandsvariablen können diskret, also
quantisiert sein (z.B. die Energiewerte, welche die unteren Anregungszustände eines Atoms
charakterisieren) oder kontinuierlich (z.B. die Energiewerte eines freien Teilchens).
Ob die Beschreibung eines Zustandes durch die Werte bestimmter Observablen zweckmäßig,
ausreichend und eindeutig ist, kann man, wie schon angedeutet, a priori nie sagen. Man ist nie
sicher, ob man ein wesentliches Merkmal vergessen hat oder nicht. Neue Ergebnisse können
dazu führen, eine Klasseneinteilung zu verfeinern: wenn sich nämlich herausstellt, dass es
zusätzliche Merkmale gibt, die es gestatten, bisher als ununterscheidbar betrachtete Objekte
doch zu unterscheiden (jahrzehntelang glaubte man, dass es nur eine Sorte von Neutrinos gibt;
seit einigen Jahren weiß man, dass es zwei solche Sorten gibt). Es kann sich aber auch
herausstellen, dass eine Unterteilung zu fein war, d.h. nach Gesichtspunkten erfolgte, die sich
später empirisch als sinnlos herausstellen (man sah einige Jahre lang die verschiedenen
Zerfallsmodi des K-Mesons als Zerfälle verschiedener Teilchen an). Die beste Beschreibung
resultiert oft erst nach einem langwierigen Denkprozess, der sowohl durch formale,
theoretische Argumente als auch durch Intuition, Vermutung, Inspiration bestimmt ist
("educated and inspired guess"). Entscheidendes Kriterium ist und bleibt aber die Prüfung
durch das Experiment.
Die QM stellt sich nicht nur die Aufgabe, solche Zustandsvariablen und ihre Werte
aufzusuchen, sondern auch die Zustandsänderungen (Übergänge eines Systems aus einem
Zustand in einen anderen) zu beschreiben, d.h. zu klären, welche Übergänge möglich sind und
welche nicht bzw. mit welcher Häufigkeit Übergänge zustande kommen. Der
quantenmechanische Formalismus wird daher prinzipiell ein Kalkül mit Zuständen und
Observablen sein (die QM ist weder eine Wellen-, noch eine Teilchenmechanik, sondern eine
Theorie von Zuständen).
Quantenmechanik I
14
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2 Einige Grundideen
Hier: Nichtsystematische erste Einführung in einige Konzepte der QM – Details später
2.1 Photonen und EM-Wellen:
Strahlungseigenschaften eines schwarzen Körpers, Photoelektrischer Effekt, Comptoneffekt
zeigten, dass EM-Strahlung wie Teilchen (Photonen) beschrieben werden können.
Teilchenaspekt
E
=
r
p
=
Wellenaspekt
hω
r
hk
Dagegen zeigen Interferenzexperimente z.B. mit Licht am Doppelspalt (Young) den
Wellencharakter:
r
2
2
A(r , t ) = A e iϕ komplexe Amplitude der EM Welle
I ≠ I 1 + I 2 = A1 + A2
I = A1 + A2
2
r
Korpuskel ÅÆ Welle Dualität: A( r , t ) beschreibt den Zustand des Photons zur Zeit t und
r
r
A(r , t ) d 3 r die Wahrscheinlichkeit das Photon im Volumen d 3 r bei r zu finden.
2.2 Teilchen mit m0 ≠ 0 und „Materiewellen“
de Broglie 1929
Teilchen (z.B. Elektronen) zeigen bei manchen Experimenten Wellenverhalten. Z.B.
Interferenz bei Streuung am Gitter; Neutronen gestreut an periodischer Anordnung von
Kernen im Kristallgitter.
(kinetische) Energie E = h ω
r
r
Impuls
p =h k
De Broglie- Wellenlänge:
2π h
=
λ=
k
p
2.3 Zustands-(Wellen-) Funktion eines Teilchens
Statt wie in der klassischen Mechanik Ort und Impuls durch Trajektorien anzugeben, wird der
r
Zustand eines Teilchens durch eine Zustandswellenfunktion Ψ (r , t ) angegeben.
r
Sie enthält alle Informationen über das Teilchen; Ψ (r , t ) ist i.a. komplex!
Statistische Interpretation der Zustandsfunktion:
r 2
r
C Ψ( r , t) d 3 r = Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t in d 3 r um r herum zu finden
Normierungskonstante
infinitesimales
Volumenelement
d 3r
r
r
Quantenmechanik I
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Beachte:
a) Teilchen kann überall dort sein, wo Ψ ≠ 0
b) Zur Beschreibung der Teilchenzustände (∞-viele Zahlen) wird eine Funktion benötigt.
r r
Klassische Mechanik: nur 6 Zahlen r , p .
r 2
Für ein System mit 1 Teilchen: 1 = C ∫ d 3 r Ψ (r , t ) = Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im
Gesamtvolumen zu finden.
r 2 FT
r 2
1
= ∫ d 3 r Ψ ( r , t ) = ∫ d 3 p Ψ ( p, t )
C
Ψ sollte quadratintegrabel sein, d.h. Ψ aus L2
Appendix A:
r
r
mit: p = hk
QM- Fouriertransformation:
r pr
k=
h
d
r
r ⎛ 1 ⎞ 2 d −ikrrr r
Ψ( r ) ⎯⎯→
Ψ
(
p
)=⎜
⎟ ∫ d r e Ψ( r )
FT
⎝ 2πh ⎠
d
rr
r
r
r
⎛ 1 ⎞2 d
ik r
d
p
e
Ψ(p) = Ψ( r ) ←⎯⎯
Ψ(p)
⎜
⎟ ∫
FT
⎝ 2πh ⎠
Eindeutigkeit der FT:
Ψ (r ) ↔ Ψ ( p)
Impuls Æ Ortraum
d
d
r
r
⎛ 1 ⎞2
⎛ 1 ⎞2
FT der Delta – Funktion: δ (r ) ⇔ ⎜
⎟ δ ( p) ↔ ⎜
⎟
⎝ 2πh ⎠
⎝ 2πh ⎠
Einige Relationen:
r
r *
r
Ψ(r ) reell ⇔ (Ψ (p) ) = Ψ (-p)
r
r *
r
Ψ(r ) imaginär ⇔ (Ψ (p) ) = − Ψ (-p)
⎛ ∂
⎜⎜
⎝ ∂xα
n
n
⎞
r
r
⎛ ip ⎞
⎟⎟ Ψ (r ) ↔ ⎜ α ⎟ Ψ ( p )
⎝ h ⎠
⎠
n
⎛ ∂
r
⎛ ixα ⎞
⎜−
⎟ Ψ (r ) ↔ ⎜⎜
⎝ h ⎠
⎝ ∂pα
n
⎞
r
⎟⎟ Ψ ( p )
⎠
pα =ˆ −ih
∂
∂xα
Faltung:
d
r
r r
r
r
⎛ 1 ⎞2 d
⎜
⎟ ∫ d r ′Ψ (r ′)Φ (r − r ′) ↔ Ψ ( p) Φ ( p )
⎝ 2πh ⎠
d
r
r
r r
⎛ 1 ⎞ 2 d ′ r′
Ψ ( r )Φ ( r ) ↔ ⎜
⎟ ∫ d p Ψ ( p )Φ( p − p ′)
⎝ 2πh ⎠
r * r
r * r
d
d
∫ d rΨ (r )Φ (r ) = ∫ d pΨ ( p)Φ ( p)
r 2
r 2
Î Parseval Gleichheit: ∫ d d r Ψ (r ) = ∫ d d p Ψ ( p)
r
r
Φ * (r ) = Φ * (− p )
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2.4 Erwartungswerte
r
r
Bei Kenntnis der Zustandsfunktion Ψ (r , t ) bzw. Ψ (p, t) eines Teilchens lässt sich der
„Erwartungswert“ des Ortes des Teilchens berechnen (C=1, damit ist Ψ normiert).
r r r
d d rΨ * (r , t )r Ψ (r , t )
r
∫
< r >:=
r
d
* r
∫ d rΨ (r , t )Ψ(r , t )
⎧ Erwartungs ⎫
Def.: Orts ⎨
⎬ Wert:
⎩ Mittel ⎭
r r r
d d p Ψ * ( p, t ) pΨ ( p , t )
r
⎧ Erwartungs ⎫
∫
Def.: Impuls ⎨
⎬ Wert: < p >:=
r
d
* r
⎩ Mittel ⎭
∫ d pΨ ( p , t ) Ψ ( p, t )
⎛h r⎞ r
d
* r
Ψ
(
,
)
d
r
r
t
⎜ ∇ ⎟Ψ (r , t )
∫
⎝i ⎠
=
r
d
* r
∫ d rΨ ( r , t ) Ψ ( r , t )
Mittlere quadratische Abweichung (Varianz) ∆A vom Erwartungswert <A>
∆A = < ( A− < A > ) > = < A2 > − < A > 2 ≥ 0
In Experimenten werden Erwartungswerte <A> der Größe A gemessen (streng genommen
Eigenwerte von A).
2
2.5 Heisenberg’sche Unschärferelation
Die Heisenberg’sche Unschärferelation ist eine Folge der Eigenschaft von FT. Aber mit der
r
r
Interpretation < r > = Ortserwartungswert und < p > = Impulserwartungswert folgt für
r
r
mittlere quadratische Abweichung ∆ r und ∆p die Heisenberg’sche Unschärferelation.
h
h
Hier für d=1:
Allg.: ∆xα ∆pα ≥
∆ x∆p ≥
α = 1, K , d
2
2
Formaler Beweis:
Abweichung vom
Mittelwert
Abweichung vom
Mittelwert
2
64748
644744
8
f (a ) := ∫ dx a ( x − < x > )Ψ ( x ) + (h∂ x − i < p > )Ψ ( x ) ≥ 0
Als Funktion vom reellen Parameter a
f (a ) = a 2 ∫ dxΨ * ( x )( x − < x > ) Ψ ( x) + a ∫ dxΨ * ( x )( x − < x > )(h∂ x − i < p > )Ψ ( x)
2
+ c.c.
[
]
+ a{0 ∫ dx (h∂ x + i < p > )Ψ * ( x ) [(h∂ x − i < p > )Ψ ( x)]
1
= a 2 (∆x ) − ah + (∆p ) ≥ 0
2
2
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1. NR.: Term linear in a
a ³ dx< * x x x ! !w x i p ! < ( x) a ³ dx< x x x ! !w x i p ! < * ( x)
ª
º
f
*
< x x x ! < * x f ³ dx< * x >w x x x ! @< x »
a! « ³ dx< x x x ! w x < x «¬
»¼
unendliche Potentialbarriere
a!
>
@
2. NR.: Term in a0
³ dx^! ²w < x w < x i! p ! >< x w < x < x w
³ dx< x > ! ²w 2 p ! i!w p ! @< x *
*
x
x
*
x
2
x
x
@
`
< * x p ! 2 < * x < x 2
x
p ² ! 2 p ! p ! p ! 2
'p 2
3. NR.: Ungleichung:
0 t a! a'x ² 'p ²
Trivial für a<0
Für a>0
2a'x'p t a! a'x 'p ! 1
2
'x'p t a'x 'p 2 2a
2
also betrachte a>0
für alle a>0
Insbesondere für:
'p
!
Ÿ 'x'p t
'x
2
Bei „scharfer“ Ortsmessung - 'x
x x ! ² ! o 0 - ist Impulsunschärfe 'p o f und
umgekehrt. Unschärfen 'x, 'p von gleichzeitiger Orts- und Impulsmessung eines
Teilchenzustandes sind über die HUR verknüpft (keine instrumentelle Messungenauigkeit,
sondern eine grundsätzliche Unschärfe).
Für x-p-Messungen makroskopischer Objekte ist i.a. die HUR irrelevant, da ! sehr viel
kleiner ist als das Produkt der Messfehler mit denen ein Messinstrument behaftet
ist. 'x Inst ˜ 'p Inst
Aber für mikroskopische Objekte ist sie relevant. Z.B. Lokalisierungsenergie eines Teilchens
auf der Länge a:
0
a
x! 0 p!
x² !
'x ² | a
a
!²
p² !
!²
Ÿ E kin
t
4a ²
2m
8ma ²
- vergl. „Nullpunktschwingung“ von Atomen um Ruhelagen p² !
'p ² t
Quantenmechanik I
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3 Schrödingergleichung (SG)
r
Differentialgleichung, deren Lösung die Zustandsfunktion Ψ (r , t ) liefert
Hier nicht historisch entwickelt.
3.1 SG für Zustandsfunktion eines Teilchens
r
r
ih∂ t Ψ (r , t ) = HΨ (r , t )
2
r
r
1 ⎡h
q r r ⎤
(= Hamiltonoperator)
H=
∇ − A(r , t )⎥ + qϕ (r , t ) + U (r , t )
⎢
2m ⎣ i
c
⎦
h
∇ =ˆ Impulsoperator ; q : Ladung des Teilchens
i
r r
r
ϕ (r , t ), A (r , t ) : skalares und Vektorpote ntial das, das geladene Teilchen spürt
r
r
U (r , t ) : potentielle Energie eines Massepunktes bei (r , t )
r
2
Bei Ausquadrierung von [K] beachten, dass ∇ einmal auch auf A wirkt.
⎡
⎤
r
q2 r
hq
hq r
1 ⎢ 2 2
A∇Ψ + 2 A 2 Ψ ⎥ + qϕΨ + UΨ
−h ∇ Ψ−
∇ AΨ −
⎥
ic
2m ⎢
ic 1r 23
c
r
= (∇A )Ψ + A∇Ψ
⎣
⎦
2 2
2
r
r
r
q
h ∇
hq
hq
H =−
A∇ +
−
∇A −
A 2 + qϕ + U
2
imc
2m
2imc
2mc
( )
HΨ =
( )
⎡ h2 2
r
r ⎤ r
∇ + U (r , t )⎥ Ψ (r , t )
SG für ungeladenes Teilchen (q=0): ih∂ t Ψ (r , t ) = ⎢−
2m
⎣14
442444
3⎦
H
Die SG ist zunächst in kartesischen Koordinaten – andere Koordinatensysteme durch
Transformation.
Die SG ist nicht ableitbar (Summe der experimentellen und theoretischen Erfahrungen)
(vergl. Maxwell-Gleichungen oder Hamiltonsches Extremalprinzip)
r
Die SG ist eine lineare, homogene, partielle DGL für Ψ (r , t ) ⇒ Superpositionsprinzip!
Eichinvarianz der SG: Übung!
q
r
r
i χ ( r ,t )
r
r
Ψ ist Lösung für die Potentiale A, ϕ ⇒ Ψ ′(r , t ) = e ch
Ψ (r , t )
r
Lösung der SG für die mit der beliebigen, reellen Funktion χ (r , t ) umgeeichten Potentiale:
r
r r
1
A′ = A + ∇ χ , ϕ ′ = ϕ − ∂ t χ
c
r
r
Die EM-Felder E und B sowie die Form der SG sind invariant bei Potentialumeichung
(TheoII).
Die Zustandswellenfunktion wird aber auf nichttriviale Weise geändert.
Deswegen: Messbar sind nur Größen, die unter Eichtransformation invariant bleiben.
r
r 2
r 2
z.B.: ρ (r , t ) = Ψ (r , t ) = Ψ ′(r , t )
Quantenmechanik I
19
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3.2 Die Kontinuitätsgleichung
r
r 2
Die Kontinuitätsgleichung für die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte ρ (r , t ) = Ψ (r , t )
r
normiert auf 1 = ∫ d 3 r ρ (r , t )
ρd 3 r =ˆ Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in d 3 r zu
finden.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit
ist zeitlich konstant 1.
r r
r
∂ t ρ ( r , t ) + ∇j ( r , t ) = 0 mit der Stromdichte der Wahrscheinlichkeit:
r r
1 ⎡ *⎛ h
q r⎞
q r⎞ *⎤
⎛ h
j (r , t ) =
A
A ⎟Ψ
Ψ
+
Ψ
−
∇
−
Ψ
∇
−
⎜
⎟
⎜
2m ⎢⎣ ⎝ i
c ⎠
c ⎠ ⎥⎦
⎝ i
r
r
r
1 ⎡ ⎛h
q r⎞ ⎤
( A reell) = Re ⎢Ψ * ⎜ ∇ − A ⎟Ψ ⎥ → Hydrodynamik : j = ρ ⋅ v
m ⎣ ⎝i
c ⎠ ⎦
(
(
)
*
)
H
⎛H ⎞
∂t ρ = ∂t Ψ Ψ + Ψ ∂t Ψ = ⎜ Ψ ⎟ Ψ + Ψ* Ψ
ih
⎝ ih ⎠
Nachrechnen mit:
*
*
r r
∂ t ρ = −∇ j
( Gauß )
rr
∂ t ∫ d 3 rρ = − ∫ dA j
j ist eichinvariant genauso wie ρ
A
Zeitliche Änderung der
Aufenthaltwahrscheinlichkeit in V
Wahrscheinlichkeitsstrom
durch A(V)
r
Für V = ganzer Raum: ∂ t ∫ d 3 r = 0 . j (r , t ) ist eichinvariante Größe.
{
1
3.3 Stationäre Zustände
r
Für zeitunabhängige Felder ϕ, A, U (d.h. falls H zeitunabhängig ist)
r
r
Ψ (r , t ) = f (t )Ψ (r )
Î Separationsansatz:
r
r
ih∂ t Ψ (r , t ) HΨ (r , t )
r
r =
f (t )Ψ (r )
f (t )Ψ (r )
r
∂ t f (t )
HΨ (r )
ih
=
r = const. = E
f (t )
Ψ (r )
1r 23
1
424
3
nur t -abhängig
r
r
HΨ (r ) = EΨ (r )
nur r -abhängig
zeitunabhängige SG Æ stationäre SG
Operator
Damit:
∂t f =
E
f → f (t ) = e −iωt f (0 ) mit E = hω
ih
Insgesamt:
E
−i t
r
r
Ψ (r , t ) = e h Ψ (r )
r
Der Eigenwert E des Hamiltonoperators zur Eigenzustandsfunktion Ψ (r ) ist definiert durch
ein Eigenwertproblem.
Quantenmechanik I
r
r
HΨ (r ) = EΨ (r )
20
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r
r
< H >= ∫ d d rΨ * (r , t )HΨ (r , t ) = E
r r
r r
r
r 2
r 2
Auch die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ (r , t ) = Ψ (r , t ) = Ψ (r ) und j (r , t ) = j (r ) sind
Offensichtlich:
zeitunabhängig.
E
−i t
r
r
Deswegen ist Ψ (r , t ) = e h Ψ (r ) im „stationären“ Zustand.
Im Allgemeinen hat ein Eigenwertproblem mehrere Lösungen:
r
r
Hϕ n (r ) = E nϕ n (r ) mit möglicherweise verschiedenen Eigenwerten En und
r
Eigenfunktionen ϕ n (r ) .
Die allgemeine Lösung der (linearen!) SG entsteht durch Superposition.
E
r
r −i n t
Ψ (r , t ) = ∑ cnϕ n (r )e h
(Prüfe durch Einsetzen in die Schrödingergleichung)
n
Eigenwerte können auch kontinuierlich sein!
(H- Atom: zunächst diskret, dann kontinuierlich bei hohen Energien)
Quantenmechanik I
21
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4 Eindimensionale Kastenpotentiale
Hier: Ein Teilchen im stationären Kastenpotential U(x) in a = 1
SG:
⎡ h2 2
⎤
∇ x + U ( x )⎥ Ψ ( x, t )
ih∂ t Ψ ( x, t ) = ⎢−
⎣ 2m
⎦
E
−i t
h
Lösung:
Ψ ( x, t ) = e Ψ ( x ) wobei E und Ψ ( x ) durch die stationäre SG
bestimmt werden:
2m[E − U (x )]Ψ ( x ) = −h 2 ∂ 2x Ψ (x )
4.1 Allgemeine Lösung der SG für 1D Kastenpotential
Abbildung 4.1: Kastenpotentiale
Viele physikalische Effekte der QM sind mit Kastenpotentialen zu erläutern.
Lösung der SG in drei Raumbereichen n = 1,2,3
2m(E − U n )Ψn ( x ) = −h 2 ∂ 2x Ψn (x )
Ψn ( x ) = An e ik n x + Bn e −ik n x
123 1
424
3
→
k n = k n (E ) =
1
2m( E − U n )
h
←
⎧1
⎪ 2m(E − U n ) reell, positiv falls E ≥ U n
kn = ⎨ h
i
⎪
2m(U n − E ) imaginär falls E ≤ U n
⎩ h
Randbedingungen bei x = ± a
für x < -a
⎧Ψ1 ( x )
⎪
Ψ (x ) = ⎨Ψ2 ( x ) für - a ≤ x ≤ a
Zustandsfunktion
⎪ Ψ (x )
für x ≥ a
⎩ 3
Quantenmechanik I
22
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Und ∂ x Ψ ( x ) = Ψ ′( x ) stetig => Gleichung für die komplexen Amplituden An , Bn .
Abkürzung: q n := ak n
Ψ (− a ) = A1e −iq1 + B1e iq1 = A2 e −iq2 + B2 e iq2
[
]
[
a
Ψ ′(− a ) = q1 A1e −iq1 − B1e iq1 = q2 A2 e −iq2 − B2 e iq2
i
Ψ (a ) = A2 e iq2 + B2 e −iq2 = A3e iq3 + B3 e −iq3
[
]
[
]
a
Ψ ′(a ) = q2 A2 e iq2 − B2 e −iq2 = q3 A3 e iq3 − B3 e −iq3
i
Ö
Ö
]
4 lineare Gleichungen für 6
Amplituden, 2 Amplituden
werden durch 2 zusätzliche
Randbedingungen festgelegt
(siehe später)
Amplituden als Funktion von E
Lösung der stationären SG ΨE ( x )
4.2 Potentialtopf – allgemeine Eigenschaften der Zustände
Abbildung 4.2: Potentialtopf
U1 = U 3 = 0 ; U 2 = U = - U
a) Ein gebundener Zustand existiert nur, falls U < E < 0. Gebunden heißt
2
ρ ( x ) = ΨE (x ) → 0 für x → ∞ .
Bew.: Sei E > 0 dann ist k1, k3 reell, positiv in 1 und 3 => erforderlich: A1 = B1 = 0
2
und A3 = B3 = 0 (andernfalls Ψ ( x ) →
/ 0 für x → ∞ ) => A2 = B2 = 0
b) Für gebundene Zustände (E < 0) gilt:
A1 = B3 = 0
i
i
2 m ( − E )x
h
Bew.: Wäre z.B. A1 ≠ 0 so wäre A1e = A1e
= A1e
Wachstum für x → −∞
c) Dann (E < 0, A1 = B3 = 0) sind die Zustände normiert.
ik1 x
∞
−x
1
2 m (− E )
h
exponentielles
− ∫ dx ΨE ( x ) = C < ∞
2
−∞
d) Für E > 0 (ungebundener Zustand) sind Lösungen ΨE ( x ) der stationären SG
uneigentliche Streuzustände. (nicht normierbar weil ΨE ( x ) →
/ 0 für x → ∞ ) Aber
durch Superposition:
∞
Ψ ( x, t ) = ∫ dEC (E )ΨE ( x )e
E
−i t
h
0
∞
[
]
= ∫ dEC (E ) A(E )e ikx + B(E )e −ikx e
0
∞
=
∫ dkχ (k )e
E
−i t
h
;
E(k )
= ω (k )
h
i [kx −ω ( k )t ]
−∞
Es folgt eine Lösung die quadratintegrabel ist.
Quantenmechanik I
23
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4.3 Gebundene Zustände des Potentialtopfes
U < E < 0 , A1 = 0 = B3
a
ak 3 ak1 i
2m E q 3 q1 i q1
!
a
q 2 ak 2
2mE U reell, positiv !
Randbedingungen:
e iq2
§ e iq1
¨
¨ -q1e iq1
¨
¨ 0
¨ 0
©
q2 e
iq2
1 i
d.h. falls
1 i
q2 e
iq2
e iq2
e iq2
q2 e
e iq2
iq2
q2 e
iq2
·§ B1 ·
¸¨ ¸
0 ¸¨ A 2 ¸
0
¸
e iq1 ¸¨ B 2 ¸
¨ ¸
q1e iq1 ¸¹¨© A 3 ¸¹
0
Eine Lösung existiert
nur falls die
Determinante der
Matrix verschwindet.
q1
q2
re 2iq2
q1
q2
Diese Bedingung ist nur für diskrete Werte von E erfüllt (q1, q2 Funktionen von E), d.h.
der Potentialtopf hat nur für diskrete Energiewerte gebundene Zustände.
(Energiequantisierung)
q1 q2 tan q2 für oder
Bedingungen umformen in:
q1 q2 cot an q2 für -
D
D
Fall +:
q1
q2
E
r e 2iE Ÿ
gerade Zustandsfunktion:
<1 x <2 x <3 x Fall -:
1 iD
1 iD
q2
1 r e 2 iE 1
i r e 2 iE 1
1 r e iE e iE
i r e iE e iE
­ sin E
°° cos E für ® cos E
°
für °¯ sin E
k1 x
½
°
e
°
B1
cosk 2 x ¾< x < x cosq 2 °
k x
°¿
B1e 1
B1e
q1
ungerade Zustandsfunktion:
positive Parität Quantenmechanik I
24
Ψ1 ( x ) = − B1e
⎫
⎪
e
⎪
Ψ2 ( x ) = B1
sin (k 2 x ) ⎬Ψ ( x ) = −Ψ (− x )
sin (q2 )
⎪
−k x
⎪⎭
Ψ3 ( x ) = B1e 1
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
k1 x
− q1
(negative Parität )
h2 2
∂ x + U (x ) für einen Potentialtopf invariant unter
2m
einer Paritätsoperation (x → − x ) ist, können die Lösungen Ψ ( x ) der stationären SG so
gewählt werden, dass sie die definite Parität haben (+ oder -). Eine Paritätsoperation
kommutiert mit H: [H , P ] = 0 ⇒ P und H haben gemeinsame Eigenzustände.
Bemerkungen zur Parität: Da H = −
Um die möglichen Energiewerte des Topfes zu bestimmen, d.h. die Werte von q1, q2 muss
die transzendente Gleichung gelöst werden.
a2
2
Hier graphisch approximiert:
dazu zunächst:
q1 + q 22 = 2 2m(− U ) = C 2
h
2
C ist eine den Topf charakterisierende, positive Konstante.
II
II
I
I
Abbildung 4.3a: Energiewerte eine Potentialtopfes
Ψ ( x → ±∞ ) → 0 U < E < 0
q1 = i q1 = i
q2 =
a
− 2mE
h
a
2m(E − U )
h
Quantenmechanik I
Ψ1 ∝ e
k1 x
Ψ3 ∝ e
− k1 x
25
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
⎧cos(k 2 x ) pos.
Parität
Ψ2 ∝ ⎨
⎩sin (k 2 x ) neg.
Es gilt:
a) Für jedes endliche C>0 ∃ mindestens einen gebundenen Zustand (gilt nur für d=1)
b) Der Zustand mit kleinster Energie hat positive Parität – keine Knoten (Nullstellen
in Ψ )
π
c) Für 0 < C <
2
∃ nur einen Zustand „0“ mit positiver Parität.
π
< C < π ∃ einen weiteren Zustand „I“ oberhalb „0“ und zwar mit negativer
2
Parität und einem Knoten.
d) Für
e) Je tiefer der Topf wird (je größer C wird) desto mehr Zustände gibt es und zwar
von unten gesehen mit der Parität +, -, +, -, +,…
f) Zustände I, II heißen angeregte Zustände
g) Grundzustandsenergie E0 > Energie des Topfbodens U
Differenz E0 – U = „Nullpunktsenergie“
Teilchen kann quantenmechanisch nicht ruhig im Topf liegen. Wegen ∆x∆p ≥
ist bei endlichem ∆x auch ∆p endlich.
h
2
h) Für alle Zustände gilt Ψ ( x ) > 0 x > a
Æ endliche Wahrscheinlichkeit, Teilchen außerhalb des Topfes zu finden.
2
! −a
1=
∫ Ψ1 dx +
2
−∞
a
−a
2
−a
1
−2 q
⇒ 2 = ae 1
B1
Waußerhalb =
∞
∫ Ψ2 dx + ∫ Ψ3 dx
2
a
2
⎛
⎜1 + 1 + q1 + q1
⎜
q1 q 22
q 22
⎝
∞
∞
2
∫ Ψ1 dx + ∫ Ψ3 dx = 2B1 ∫ e
−∞
2
2
a
a
⎧0
− 2mE
⎪
h
Waußerhalb = ⎨0
a
⎪1
q2 =
2m(E − U )
⎩
h
q1 =
⎞
⎟
⎟
⎠
− 2 k1 x
1
dx =
a
für m → ∞
für E → ∞
für E → 0
q1 + 1 +
q1
q 22
2
+
q1
3
q 22
klassischer limes
niedrigster Zustand im ∞ - tiefen Topf
(beachte: geht nur wenn auch U →∞ )
schwach gebundener Zustand
Quantenmechanik I
i)
26
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
∞ -tiefer Topf: Limes U → ∞ , E → ∞ , E - U endlich
q1 → ∞ , q2 endlich
Æ Kasten mit undurchdringlichen Wänden
h2 2
Problem =ˆ SG −
∂ x Ψ ( x ) = EΨ ( x ) mit Randbedingung Ψ(± a ) = 0
2m
Achtung: Hier E = Energieabstand vom Topfboden
⎧ 1
⎞
⎛π
cos⎜ nx ⎟
⎪⎪
⎝ 2a ⎠ n = 1,3,K k = nπ
Ψn ( x ) = ⎨ a
2a
⎪ 1 sin ⎛⎜ π nx ⎞⎟ n = 2,4,K
⎪⎩ a ⎝ 2a ⎠
2
Energieniveaus:
En =
1 ⎛ hπ ⎞ 2
2
⎜
⎟ n = E Grund ⋅ n
2m ⎝ 2a ⎠
Abbildung 4.3b: Wellenfunktionen der Energieniveaus
4.4 Nicht gebundene Zustände – Tunneleffekt
Hier:
Abbildung 4.4a: Potentialbarrieren
k1 = k 3 =
1
2mE > 0;
h
⎧1
⎪ h 2m(E − U ) positiv E > U
1
2 m( E − U ) = ⎨
k2 =
1
h
⎪i
2m(U − E ) imaginär E < U
⎩ h
Abbildung 4.4b: Laufrichtungen der Wellen beim Tunneleffekt
Quantenmechanik I
27
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Ψ1 ( x ) = 1 ⋅ e ik1 x + r ⋅ e − ik1x
Ψ2 ( x ) = A2 ⋅ e ik 2 x + B2 ⋅ e −ik 2 x
Ψ3 ( x ) = S ⋅ e ik1x
Einfallende Amplitude:
Reflektierte Amplitude:
transmittierte Amplitude:
Ergebnis:
r = iS
1
r
S
Ψ1 (− a ) = Ψ2 (− a ) , Ψ2 (a ) = Ψ3 (a )
Ψ1′(− a ) = Ψ2′ (− a ) , Ψ2′ (a ) = Ψ3′ (a )
4 Gleichungen für 4 Unbekannte r, A2, B2, S
Randbedingungen:
q 22 − q12
sin (2q 2 )
2q1 q 2
A2 =
q
1 ⎛
S ⎜⎜1 + 1
2 ⎝ q2
⎞ i (q1 − q2 )
⎟⎟e
⎠
B2 =
q
1 ⎛
S ⎜⎜1 − 1
2 ⎝ q2
⎞ i (q1 + q2 )
⎟⎟e
⎠
q 1 = k 1a , q 2 = k 2 a
1
424
3
evtl. imaginär
⎡ (q + q 2 )2 − 2iq2 (q1 − q 2 )2 2iq2 ⎤
1
= e 2iq1 ⎢ 1
−
e
e ⎥
S
4
q
q
4
q
q
1
2
1
2
⎣
⎦
⎡
⎤
q 2 + q 22
= e 2iq1 ⎢cos(2q 2 ) − i 1
sin (2q 2 )⎥
2q1 q 2
⎣
⎦
Reflektionsvermögen R:
2
j
refl. Amplitude
1 2 q 2 − q12
2
= S 2
sin (2q2 )
R = refl = r =
einf. Amplitude
4
q1q2
jeinf
2
Durchlassvermögen D:
j
transm. Amplitude
2
D = trans = S =
jeinf
einf. Amplitude
R+D=1
2
Dies ist eine Folge der Kontinuitätsgleichung;
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte in den Bereichen 1 und 3
⎫
1 ⎡ h
⎤ hk
j3 = Re ⎢Ψ3* ∂ x Ψ3 ⎥ = 1 D
⎪⎪
m ⎣
i
⎦ m
⎬ ⇒ D + R = 1 mit j1 = j3
1 ⎡ *h
⎤ hk1
(1 − R )⎪
j1 = Re ⎢Ψ1 ∂ x Ψ1 ⎥ =
⎪⎭
m ⎣
i
⎦ m
Abbildung 4.4c: Wahrscheinlichkeitsströme
Quantenmechanik I
28
Innerhalb des Potentialbereiches 2 ist:
Ψ2 ( x ) = A2 e ik 2 x + B2 e −ik 2 x =
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
→
←
2 ebene Wellen
1
2m(E − U ) pos.
h
2π
⎧
> λ1 =
U>0
⎪
2π ⎪
k1
Die Wellenlänge λ2 =
⎨
k 2 ⎪< λ = 2π
U<0
⎪⎩ 1 k1
Für E > U, d.h. k 2 =
Abbildung 4.4d: Tunneleffekt
1
2m(E − U ) = i k 2
h
2
d.h. Ψ2 fällt in 2 exponentiell ab!
Für 0 < E < U ⇒ k 2 =
Bemerkungen:
1)
2)
Auch wenn E > U gibt es Reflexion R > 0
klassisch: R = 0, D = 1 d.h. Teilchen fliegt mit Energie E > U
immer über die Barriere bzw. den Topf.
Wenn 0 < E < U ist D > 0
Die Teilchen „tunneln“ durch die Potentialbarriere
Klassisch:
R = 1, D = 0 also vollständige Reflexion
QM:
endlicher Wahrscheinlichkeitsstrom im Gebiet 3
4.5 Resonanzzustände - Resonaztunneln
Durchlassvermögen: D
q 2 + q 22
1
1
= 2 = cos(2q 2 ) − i 1
sin (2q 2 )
D S
2q1 q 2
2
Fall E > U:
Abbildung 4.5a: Fall E > U
Quantenmechanik I
(
29
⎛ q −q
1
= 1 + ⎜⎜
D (E )
⎝ 2q1q 2
2
1
2
2
) ⎞⎟
2
⎟
⎠
D (E ) =
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
⎡ a
⎤
sin 2 ⎢2
2 m( E − U ) ⎥
1 ⎛U ⎞
⎣ h
⎦
sin 2 (2q2 ) = 1 + ⎜ ⎟
U
4⎝ E ⎠
1−
E
1
2
1 ⎛ U ⎞ sin 2 (2q2 )
1+ ⎜ ⎟
4 ⎝ E ⎠ 1− U
14444424444E4
3
2
Oszilliert wegen sin2.
2
1 2⎛ π ⎞ 2
h ⎜ ⎟ n gilt: D = 1, R = 0 (Resonanztunneln)
2m ⎝ 2a ⎠
Das Potential ist komplett durchsichtig für E-Werte, für die ein Kasten mit ∞ - hohen Wänden
folgende Energieniveaus hat:
2
En
2m 2
⎛ π ⎞ 2
2
= 1+ ⎜
⎟ n ; C = 2 a U
U
h
⎝ 2C ⎠
Für 2q 2 = nπ , d.h. für E n = U +
Speziell:
3
C= π
2
En
⎛n⎞
= 1+ ⎜ ⎟
U
⎝3⎠
2
Abbildung 4.5b: Durchlassungsvermögen als Funktion der Energie
4.6 δ-Potential
Abbildung 4.6a: Konstruktion des δ-Potentials
für U =
1
V
2a
limU ( x ) = Vδ ( x )
a →0
V = 2aU = const.
∞
∫ dxU (x ) = V
−∞
Quantenmechanik I
a)
30
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Streuzustände, ungebundene Zustände: (E > 0)
Die alten Formeln im Limes a → 0 mit 2aU = V = const. lauten:
1
2mE → 0
q1 = ak1 = a
h
1
a
− mV → 0
2 m( E − U ) →
q 2 = ak 2 = a
h
h
q 22 ak 22
1
mV
=
= 2 a 2m(E − U ) → − 2
q1
k1
h k1
h k1
q 22 sin (2q 2 )
1
1
ih 2mE
= 1− i
⇒ S=
=
mV
S
q1 2q 2
ih 2mE − mV
1+ i 2
1
424
3
=1
h k1
⎛ q2
⎞ sin (2q 2 )
⎛ mV ⎞
= iS ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ = S − 1
r = iS ⎜⎜ 2 − q1 ⎟⎟
⎝ q1
⎠ 2q 2
⎝ h k1 ⎠
h 2 2mE
2
Durchlässigkeit:
D (E ) = S (E ) = 2
h 2mE + m 2V 2
Abbildung 4.6b: Monotones Wachstum ohne Resonanzen
b)
Gebundene Zustände:
(V < 0 und E > 0)
Abbildung 4.6c: negatives δ-Potential
q1 = q 3 = i
a
2m(− E ) → 0
h
a
2 m( E − U ) → 0
h
a2
2
2
2
C = q1 + q 2 = 2 2m(− U ) → 0
h
q2 =
Quantenmechanik I
Î
31
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
∃ genau einen gebundenen Zustand mit positiver Parität aus „+“-Lösung
∃/ Lösung mit negativer Parität
q1
q2
Bestimmungsgleichung für den gebundenen Zustand:
q1
h 2m(− E )
h 2m(− E )
tan q 2
h2 2
mV2
= 2 =
→
⇒ E0 = −
=
−
1←
k
q2
m(− V )
2 h2
2m
q 2 2m(aE − aU )
hk = 2m(− E ) =
Ψ ( x ) = B1e
−k x
mV
h
B1 = k aus Normierung ∫ dx Ψ ( x ) = 1
2
Abbildung 4.6d: Gebundener Zustand
c)
Randbedingungen für Zustandsfunktionen bei δ-Potentialen:
Es gilt für U ( x ) = Vδ (x )
Ψ (x = 0 − ) = Ψ (x = 0 + )
2mV
Ψ (0 )
h2
für Kastenpotential im Bereich 2
Ψ3 ( x ) = Se ik1 x
Ψ ′(x = 0 + ) − Ψ ′(x = 0 − ) =
Ψ1 ( x ) = e ik1 x + re − ik1x
Ψ1′( x = 0 − ) = ik1 (1 − r )
Ψ3′ ( x = 0 + ) = ik1 S
⎛ imV ⎞
2mV
Ψ ′( x = 0 + ) − Ψ ′( x = 0 − ) = ik1 [S − 1 + r ] = 2ik1 r = 2ik1 ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ S = 2 Ψ (0)
h
⎝ h k1 ⎠ ↑
Ψ (0 )
= tan (q 2 )
Quantenmechanik I
32
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
5 Harmonischer Oszillator
(Wdh. Mechanik)
5.1 Eindimensionaler harmonischer Oszillator
Hier ein Teilchen der Masse m im stationären Potential
Rückstellkraft:
F = −K ⋅ x
K
{
= mω 2
U (x ) =
ω=
Krümmung
des Potentials
Stationäre SG:
(H − E )Ψ (x ) = 0
x
x0
E
ε=
E0
ξ=
Dimensionslose Größen:
NR.:
⎡⎛ ∂ ⎞ 2 ⎤ ⎛ 1 ⎞ 2
⎟⎟
⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎜⎜
∂
x
Länge
⎝
⎠
⎠
⎣⎢
⎦⎥ ⎝
h2
⇒ Länge = 2 2
mω
2
ξ
⎛ h 2 m 2 2
⎞
∂ x + ω x − E ⎟Ψ (x ) = 0
⎜−
2
⎝ 2m
⎠
h
charakteristische Länge
x0 =
mω
hω
charakteristische Energie
E0 =
2
1
h2
⋅
= mω 2 ⋅ Länge 2
2
2m Länge
Länge =
4
(∂
m 2 2
ω x .
2
k
(Oszillatorfrequenz)
m
h
mω
)
− ξ 2 + ε Ψ (ξ ) = 0
Für ξ 2 >> ε gilt
Ψ ′′ ∝ ξ 2 Ψ .
Verhalten der Lösung Ψ(ξ ) für große ξ : Ψ (ξ ) ∝ e
Lösungsansatz:
Ψ (ξ ) = const.⋅ e
- 12 ξ 2
± 12 ξ 2
H (ξ )
(Version mit "+" ∉ L2 )
kein quadratintegrable
Funktionen
Î nicht normierbar
Einsetzen in SG:
∂ ξ2 − 2ξ∂ ξ + ε − 1 H (ξ ) = 0
(
)
Falls ε − 1 = 2n
mit n = 0, 1, 2, 3, K
1⎞
⎛
d.h. für E = hω ⎜ n + ⎟ = E n
2⎠
⎝
Hermite’sche Polynome:
2
2
n
n
H n (ξ ) = (− 1) e ξ (∂ ξ ) e −ξ
H0 = 1
gerade
Hermite’sche DGL
H1 = 2ξ
ungerade
diskrete Energieeigenwerte sind die Lösungen
H 2 = 4ξ 2 − 2
gerade
H 3 = 8ξ 3 − 12ξ
ungerade
H 4 = 16ξ 4 − 48ξ 2 + 12
gerade
Quantenmechanik I
33
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Die Hn sind ein Orthogonalsystem in L2
ȟ2
n
³ dȟ H n ȟ H m ȟ e į n,m ʌ 2 n!
2
1
Skalarprodukt mit Gewicht e ȟ und Norm ʌ 2 n n! 2
=> Zustandsfunktion
2
1 1 x § x·
<n x x0 ʌ 2 n n! 2 e 2 x0 H n ¨¨ ¸¸
© x0 ¹
bilden ein vollständiges Orthonormalsystem in L2 mit:
f
<n x | <m x ³ dx<n x <m x G n,m
f
Jede Lösung der stationären SG ist darstellbar als: < x f
¦ c < x Linearkombination
n
n
n 0
der <n x mit c n < x | <n x .
Die allgemeine Lösung der zeitabhängigen SG lautet:
< x, t f
¦D
n
e
i
En
!
t
<n x n 0
E 0 n!Z , E0 = Grundzustandsenergie
!Z
=
(Nullpunktsenergie)
2
!Z ; nur gebundene Zustände mit Parität (-1)n
Fazit: diskretes Spektrum der Energieeigenwerte E n
Äquidistante Energieniveaus E n 1 E n
Abbildung 5.1: Gebundene Zustände beim harmonischen Oszillator
5.2 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für
Oszillatorquanten
Für die Hermite’ schen Polynome H n [ w
2
[
1n e [ w [ n e [
2
2
, d.h. die Lösungen von
2[w [ 2n H n [ 0 gelten die Rekursionsformeln:
w[ H n
2nH n 1
½
¾ Ÿ w [ H n 2[H n H n 1
2[H n H n 1 2nH n 1 ¿
Aus den Rekursionsformeln für Hn folgen Rekursionsformeln für <n [ :
Quantenmechanik I
34
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
n
n 1
<n 1 <n 1
2
2
a)
[<n
b)
w [ <n
w [ <n
2
n
<n 1 [<n
2
n
n 1
<n 1 <n 1
2
2
1
[ w [ <n
2
n <n 1
a
1
[ w [ <n
2
n 1<n 1
a
Def.:
1
a
2
1
a
[ w [
2
[ w 1
mZx ip 2m!Z
1
[
2m!Z
Vernichtungsoperator
mZx ip Erzeugungsoperator
Impulsoperator: P
i!
w
wx
Im n-ten angeregten Zustand, beschrieben durch die Zustandsfunktion <n , ist die
Anregungsenergie E n E 0 n!Z gegeben durch n Oszillatorquanten („Phononen“), denn:
a<n
n <n 1
Der Operator a angewendet auf <n (Zustandsfunktion vom Zustand n) überführt diesen
Zustand in den Zustand n-1.
Deutung:
„Der Operator a vernichtet einen Oszillatorquant“
„Der Operator a+ erzeugt einen Oszillatorquant“
a <n
n 1<n 1
Einige Eigenschaften:
1) Bezüglich des Skalarproduktes f | g f
³ d[ f [ g [ zweier Funktionen f, g sind a
*
f
und a zueinander adjungiert ( f [ g [ muss im Unendlichen gegen 0 gehen):
f | ag a f | g
+
*
1
f
³ d[ f [ w [ g
1
*
2 f
Analog:
part. I
f | a g
2) Vertauschungsrelationen:
1
[ w [ a
2
1
[ w [ a
2
f x ¦ c n <n x n
f
³ d[ >[ w [ f @ g a
*
2 f
af | g >a, a @:
aa aa 1
f |g
Bew. Direkt mit
Quantenmechanik I
(aa
+
35
)
(
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
)
− a + a f ( x ) = ∑ c n aa + − a + a Ψn ( x )
n
3) Die Eigenwerte der „Quantenzahloperatoren“ N = a + a sind die Zahlen n der
Oszillatorquanten im n-ten Zustand.
+
NΨn = a{
a Ψn = a + n Ψn −1 = n n Ψn = nΨn
Operator
4) Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators:
⎛ +
m
h 2 2 hω 2
hω +
1⎞
ξ − ∂ ξ2 =
∂x =
H = ω 2x2 −
a a + aa + = hω ⎜⎜ a{
a + ⎟⎟
2
2m
2
2
⎝ =N 2 ⎠
(
)
(
)
= hω (N + 12 )
5) Stationäre SG:
HΨ = EΨ
1
hω (N + 2 ) Ψn = hω (n + 12 )Ψn
1424
3
↑
E n = hω (n + 12 )
En
a+a
6) Im Grundzustand Ψ0 ist n = 0 (kein Oszillatorquant)
aΨ0 = 0 also (ξ + ∂ ξ )Ψ0 (ξ ) = 0 ⇔ Ψ0 (ξ ) = const. ⋅ e
− 12 ξ 2
∈ L2
Daraus lassen sich durch Anwendung von a+ sukzessiv die Funktionen Ψn erzeugen:
a + Ψ0 (ξ ) = Ψ1 (ξ )
(a ) Ψ (ξ ) = a
+ 2
+
0
M
(a ) Ψ (ξ ) =
+ n
0
Ψ1 (ξ ) = 2Ψ2 (ξ )
n!Ψn (ξ )
7)
ξ=
1
2
(a
+
)
(
h
a+ + a
2mω
+a → x=
)
mhω
a − a+
2
2
Vorteil dieser Beschreibung des Harmonischen Oszillators: rein algebraische Technik.
∂ξ =
1
(a − a ) → p = 1i
(
+
)
Bsp.: einige Erwartungswerte:
x
n
= (Ψn | xΨn ) =
∞
∫ dx Ψ (x )xΨ (x ) = 0
*
n
n
(Ψn | Ψm ) = δ n,m
−∞
= x0 (Ψn | ξΨn ) =
x0
2
(Ψ | (a + a )Ψ ) = 0
+
n
n
Ebenso:
p =0
Mittlere quadratische Abweichung:
((∆A)
2
= A2 − A
2
)
Quantenmechanik I
36
(
(
)
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
(
)
)
x02
(∆x ) = x Ψn | ξ Ψn = Ψn | a + + a 2 Ψn
2
⎛ 2
⎞ ⎞ x02
x2 ⎛
+⎟
⎟
= 0 ⎜ Ψn | ⎜ a/ + + a/ 2 + a1+4
+ aa
a2
4
3 ⎟Ψn ⎟ = 2 (2n + 1)
⎜
2⎜
2 a + a +1
⎝
⎠ ⎠
⎝
(∆x )2n = h (n + 12 )
mω
(∆p )n2 = (Ψn | p 2 Ψn ) = mh2ω Ψn | (a − a + )2 Ψn = hmω (n + 12 )
2i
1 2
E n = hω (n + 12 ) = mω 2 x 2 =
p
n
n
m
E n = 2 E pot = 2 E kin
Heisenberg’sche Unschärferelation:
(∆x )n (∆p )n = h(n + 12 ) ≥ h im Grundzustand (n = 0) => kleinster möglicher Wert.
2
Produkt der Unschärfen wachsen mit n; nehmen im Grundzustand n=0 kleinstmöglichen Wert
an.
2
n
2
0
2
(
)
5.3 Dreidimensionaler isotroper Oszillator
(
r
m
m
V (r ) = ω 2 r 2 = ω 2 x 2 + y 2 + z 2
2
2
+
+
H = hω a1 a1 + a 2 a 2 + a 3+ a 3 + 32
(
)
)
aα =
2
− 12 ( xr )
r
0
r
Ψ (r ) = C n e
H n1
r
Lösung der stationären SG:
[
3
2
]
r
n
1
2
(ξ
α
( )H ( )H ( )
x
x0
n2
y
x0
)
+ ∂ξ∂α ;
z
n3 x0
ξα =
xα
x0
r
n = (n 1 , n 2 , n 3 )
− 12
C = x π 2 2 2 n 1! n 2 ! n 3 !
Enr = hω (n1 + n2 + n 3 + 32 )
Die Funktionen bilden vollständige orthonormale Systeme, Zustands- und Energieeigenwerte
werden durch 3 Quantenzahlen charakterisiert:
n1, n2, n3
r
n
3
0
n1
n2
n3
Grundzustand: n1 = n2 = n3 = 0
E 0 = hω 32
nicht entartet
1. angeregter Zustand ist 3-fach entartet
E1 = hω (1 + 32 )
n1 n 2 n 3
1 0 0 ⎫
zu einem Energiewert existieren 3 verschiedene Zustände.
⎪
0 1 0 ⎬ E1
0 0 1 ⎪⎭
Quantenmechanik I
37
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
E 2 = hω (2 +
2. angeregter Zustand
n1
2
n2
0
0
0
2
0
1
0
1
1
1
0
3
2
)
n3
0 ⎫
⎪
0 ⎪
2 ⎪⎪
⎬ 6 − fach entartet
0 ⎪
1 ⎪
⎪
1 ⎭⎪
Abbildung 5.3: entartete Energieeigenzustände
5.4 Bewegung im homogenen Magnetfeld
Ladung q im konstanten Magnetfeld Æ Spiralbahn
r
mit
A = (− By ,0,0 )
2
r
1 ⎛ r q r⎞
h 2∇ 2
hq
hq r
q2
H=
−
∇A −
A∇ +
A2
⎜ p − A⎟ = −
2
2m ⎝
c ⎠
2m
2imc
imc
2mc
r
r
HΨ (r ) = EΨ (r )
Stationäre SG:
r
⎡ h 2 ∇ 2 hqB
r
q2B2 2 ⎤ r
−
+
y
∂
+
y ⎥ Ψ (r ) = EΨ (r )
⎢
x
2
imc
2mc
⎣ 2m
⎦
Da in H x und z nicht explizit auftauchen: Fouriertransformation bzgl. x, z.
⎡
⎤
2
⎢ h2 2
⎥
qBk
h
1
qB
⎞
⎛
2
x
(
y + m⎜
k x − ∂ 2y + k z2 ) +
⎟ y − E ⎥ Ψ (k x , y, k z ) = 0
⎢
mc
2 ⎝1mc
⎠
⎢ 2m
⎥
23
2
⎢⎣
⎥⎦
ω
qB
h
hc
y0 =
=
Lamorfrequenz;
charakteristische Länge
ω=
mω
qB
mc
r
B = (0,0, B )
( )
η=
y
y0
⎛
h 2 k z2
⎜⎜ E −
2m
ε := ⎝
hω
2
⎞
⎟⎟
⎠
h 2 k x2
α 2 = 2m
hω
2
Quantenmechanik I
[
38
]
− ε ]φ (ξ ) = 0
⇒ -∂ 2η + α 2 + 2αη + η 2 − ε ϕ (η ) = 0
[− ∂
2
ξ
+ξ2
Energieeigenwerte:
ε = 2n + 1
ξ = η + α ∂ ξ = ∂η
harmonischer Oszillator
d.h.:
ϕ (η ) = ϕ (ξ − α ) = φ (ξ )
h 2 k z2
E n = hω (n + 12 ) +
1424
3 2m
123
Diskrete Energieniveaus
(Landau-Niveaus) für
Bewegung in x-y-Ebene.
(
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Kontinuierliche
Translationsenergie
für Bewegung in
z-Richtung
)
h2 2
k x + k y2 = hω (n + 12 )
2m
Abbildung 5.4: Spiralbahn eines geladenen Teilchens im Magnetfeld
Quantenmechanik I
39
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II Quantentheorie im abstrakten Zustandsraum
6 Hilbertraum der Zustandsvektoren
Zustände quantenmechanischer Systeme werden durch Zustandsvektoren beschrieben, die
Elemente eines linearen Vektorraumes sind. Die Koordinaten eines Zustandsvektors werden
durch Skalarprodukte mit einer Basis berechnet, die nach Zweckmäßigkeitserwägungen
gewählt sind.
6.1 Erinnerung an euklidischen Vektorraum
r
Zustand/Punktlage wird beschrieben durch Zustandsvektor/Lagevektor x (Dirac, siehe
später).
Abbildung 6.1a: Vektoren und Drehung im R3
r
r
Linearer Vektorraum mit reellen Koeffizienten; Zustandsvektor x , y aus dem VR Î
r
r
r r
r r
a x + b y ∈ Raum für a,b aus dem VR. Das Skalarprodukt ist so definiert: x y := x ⋅ y .
r r
r r
Der Zustand (der Punktlage) wird beschrieben durch die Koordinaten en x = xn = en ⋅ x .
r
r
Die Darstellung von x bezüglich der Basis { en }:
r
r r r
r
r r
x = en en x = en xn mit en en = 1
Mit einer Basis (einem Vollständigen Orthonormalen System VONS) lässt sich jeder Vektor
r
x aus dem VR darstellen.
r
Nun zu einem Darstellungswechsel. Darunter versteht man z.B. die Darstellung von x mit
einer anderen Basis:
r
r r r
r
r r
r r r r
x = en′ en′ x = en′ xn′ und en′ x = en′ em em x ⇒ x ′n = U nm ⋅ x m . Unm ist eine
123 123
U nm
xm
Quantenmechanik I
40
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Transformationsmatrix, die eine Drehung beschreibt (orthogonal), der Drehwinkel ist
& &
‘enc | em , der Winkel zwischen alter und neuer Basis. Der Operator A wirkt auf einen
Zustandsvektor (z.B. Drehung)
&
&
&
x o y A x . Für die Koordinaten gilt:
& &
& &
& & &
& & & & &
en x o en y
en | A | x
en | A | em em x und somit xn o y n Anm ˜ xm
xm
Anm
Anm sind die Matrixelemente des Drehoperators.
6.2 Raum der Dirac „bra“ und „ket“ Zustandsvektoren
Quantenmechanische Zustände wie < (keine Wellenfunktion) (z.B. der n-te Energiezustand
des Oszillators, Zustand eines Atoms, Zustand von Elektronen im Metall, …) sind durch
Zustandsvektoren < (ket) oder den dazu dualen Zustandsvektor < (bra) gekennzeichnet.
Die Zuordnung von < zu < ist eindeutig.
­< ½
<: Zustand entspricht ® ¾ Zustandsvektor aus dem VR
¯<¿
Die Zustandsvektoren bilden einen linearen VR mit komplexen Koeffizienten:
1) Seien < und ) aus dem Zustandsraum Î jede Linearkombination
F c1 < c2 < ist dann auch aus dem Zustandsraum wobei c1 und c2 beliebig aus
C. Diese Eigenschaft spiegelt die Superponierbarkeit von Lösungen der Schrödinger
Gleichung wieder.
2) Das Skalarprodukt zwischen den Vektoren < und ) ordnet den beiden Zuständen
< und ) eine komplexe Zahl zu: < )
< < t 0 und < <
Es gilt: < c1) 1 c 2 ) 2
c1) 1 c 2 ) 2 <
*
0 nur für <
)<
*
i.a. komplex, auch ist mit
0 die Norm von < :
< < definiert.
c1 < ) 1 c 2 < ) 2 und
*
c1 ) 1 < c 2 ) 2 < . Die Dirac Wortwahl für bra und ket
stammt von dem englischen Ausdruck für Klammer (bracket).
Der Zustandsraum ist ein linearer Vektorraum mit komplexen Koeffizienten und
Skalarprodukteigenschaften.
c< c < aber c< c * < .
Der Zustand soll eine orthonormierte Basis ^MD
` haben mit
MD M E
G DE , so dass
jeder Vektor < folgendermaßen dargestellt werden kann:
M D x wird auf beiden Seiten ranmultipliziert und aus <
cD M D
¦
D
folgt
1
cD
MD <
Der Zustandsraum ist ein Hilbertraum, wenn gilt:
i. Er ist ein linearer VR mit komplexen Koeffizienten
ii. Das Skalarprodukt ist definiert und die Norm < < aller Vektoren ist
endlich
Quantenmechanik I
41
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
iii. Der Raum ist vollständig, d.h. zu jeder Cauchyfolge <n (Cauchyfolge heißt:
<m <n <m <n H H ! 0 bel. ) gibt es ein < , gegen das <n
Norm
konvergiert, d.h. < <n < <n o 0
iv. Der Raum muss separabel sein Î Separabilität: Basis aus höchstens
abzählbar vielen Vektoren (endliche Basis).
Diese Axiome sind für die meisten quantenmechanischen Systeme erfüllt, so dass i.a.
der Zustandsvektorraum ein Hilbertraum ist. Es werden allerdings auch
Erweiterungen betrachtet wie z.B. Impulseigenzustände M P& , die keine endliche
& &
Norm M P& M P&
G P Pc haben und auch keine abzählbare Basis besitzen.
6.3 Lineare Operatoren
Messbaren physikalischen Größen (Energie, Impuls, Ort, Drehimpuls, Spin, …) werden
Operatoren zugeordnet, die auf Zustandsvektoren wirken.
A
Definition: A ist ein linearer Operator, < 
o
< c A < , d.h. eine Abbildungsvorschrift
mit der Eigenschaft A>c1 <1 c 2 <2
@
c1 A <1 c 2 A <2 mit c1,2 aus C.
Hier nun einige Eigenschaften:
x Addition von Operatoren: A B <
x
A< B<
Multiplikation von Operatoren: AB <
B < i.a. ist AB z BA
A ) mit )
(Matritzenprodukt ist nicht kommutativ), d.h. >A, B @ AB BA z 0
x Zu A adjungierter Operator A+ (zu A hermitesch adjungierter Operator)
Definition von A+: A ) <
) A< <, ) . Nach allgemeiner Definition mit
Skalarprodukt f, Operator g Operator
A B B A , denn
A B ; AB B A ) <
A ) B<
) AB<
AB )
<
f, g Î A A ; CA
C * A ;
Rechenregeln für Zuordnungen:
ket
bra
F
F
cF
cF
AF
AF
Damit lässt sich schreiben: ) F
AF
F c F c F A F AF
­ ) A<
°
®
° A ) <
¯
*
)| A|< ½
°
¾
) | A | < °¿
c* F
F A
) | A | < . Die Pfeile
können nur bei obiger Definition und Zuordnung von bra und ket weggelassen werden.
Quantenmechanik I
42
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
⎛
⎞
⎞
⎛
Im Allgemeinen gilt bei Skalarprodukten: ⎜ f, Operator g ⎟ = ( f , h ) = ⎜ Operator + f , g ⎟ = (e, g )
⎜ 14243 ⎟
⎜ 14243 ⎟
h
e
⎠
⎝
⎝
⎠
Beachte:
Φ A hat die Bedeutung von A + Φ = (A + Φ
(
A Φ hat die Bedeutung von AΦ = Φ A +
)
+
)
+
Aber: A Φ und Φ A sind nicht definiert!!
Weiterhin gilt: Φ | A + | Ψ = Ψ | A | Φ
•
*
Beispiele für Zustandsvektoren und Operatoren:
n = Zustandsvektor des harmonischen Oszillators, der den Eigenwert des
Hamiltonoperators (Energieeigenzustand) mit n Oszillatorquanten beschreibt.
Die Operatoren a, a+ führen den Zustandsvektor über in:
a{+ n = 1n2+31 n + 1 und a n = n n − 1
{
123
Operator
Zahl
Vektor
Vektor
Verschiedene Operatortypen:
(
)
h
a + a+
2mω
h
X n =
n n −1 + n + 1 n +1
2mω
1 mhω
n n −1 − n +1 n +1
Pn =
o Impulsoperator:
2
i
1⎞
⎛
o Hamiltonoperator: H = hω ⎜ a + a + ⎟
2⎠
⎝
1⎞
⎛
H n = E n n mit E n = hω ⎜ n + ⎟
2⎠
⎝
o Hermitesche Operatoren spielen eine fundamentale Rolle in der
Quantenmechanik - physikalische Observable
Definition: A ist hermitescher (selbstadjungierter) Operator, wenn A+=A. Das
Produkt von zwei hermiteschen Operatoren A und B ist nur hermitesch ((AB)+
= AB), falls [A, B] = 0 (sie also kommutieren).
o Ortsoperator:
X =
(
)
(
Beweis: ( AB ) = B + A + = BA
+
=
{
nur, falls [ A, B ]= 0
)
AB
o Projektoren: Sei Ψ Ψ = 1 (Zustandsvektor auf 1 normiert), sonst
Ψ′ =
Ψ
Ψ Ψ
(Normierungsvorgang auf 1).
Nun ist der Operator PΨ = Ψ Ψ ein Projektor, der angewandt auf beliebige
ket Φ eine Projektion auf Ψ bewirkt (beachte: Zustandsvektoren im
Hilbertraum), da PΨ Φ = Ψ Ψ Φ = c Ψ
123
c
Quantenmechanik I
43
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Im R3:
Abbildung 6.3: Projektion im R3
r r
r
r r r
r
z.B. P1 = e1 e1 und P1 x = e1 e1 x = e1 x1
Es gilt: PΨ2 = PΨ = PΨ*
Projektion auf Unterraum, aufgespannt durch orthonormierte Vektoren (im R3
ist das die Projektion eines Vektors in eine Ebene oder von einer Ebene auf
eine Gerade, was jeweils Untervektorräume des R3 sind).
Die orthonormierten (Basis)Vektoren sind: {ϕ n } mit n = 1,…,N. Da sie
orthonormiert sind gilt: ϕ n ϕ m = δ nm .
N
N
N
P = ∑ ϕ n ϕ n und P Ψ = ∑ ϕ n ϕ n Ψ = ∑ cn ϕ n ∈ UVR
123 n=1
n =1
n =1
cn
o Der Einheitsoperator:
Sei {ϕα } ein VONS, ϕ α ϕ β = δ αβ und c β = ϕ β Ψ . Jeder Zustandsvektor
ist darstellbar als Ψ = ∑ cα ϕ α = ∑ ϕ α ϕ α Ψ = 1 Ψ = Ψ .
α
α 4243
1
=:1
1 = ∑ ϕα ϕα
α
Beachte: VONS ist notwendig!
o Unitäre Operatoren: U ist ein unitärer Operator, falls U +U = 1 ⇔ UU + = 1 ,
also U + = U −1 . Unitäre Operatoren lassen das Skalarprodukt invariant:
Ψ Φ = Ψ | U +U | Φ = U
ΨU
Φ = Ψ ′ Φ′
{
{
Ein VONS {ϕα
1 = ∑ ϕα ϕα
Ψ′
Φ′
} wird durch U wieder in ein VONS {ϕα′ } transformiert:
α
UU = ∑U ϕα ϕα U + = ∑ ϕα′ ϕα′
+
α
1 = ∑ ϕ 'α ϕ 'α
α
ϕ 'α = U ϕα
α
Quantenmechanik I
44
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
7 Eigenwertgleichungen, Observable, hermitesche
Operatoren
7.1 Eigenwertgleichungen
A
{
Operator
Ψλ
{
Zustandsvektor
= λ
{ Ψλ
EW ∈ C
Sprechweise: Ψλ ist ein Eigenvektor (EV) von A zu dem Eigenwert (EW) λ. Z.B. die
stationäre Schrödingergleichung: H ΨE = E ΨE . Auch c Ψλ mit c aus C ist Ψλ EV
zum EW λ.
•
Einfacher, nicht entarteter EW λ:
Der EV Ψλ ist bis auf eine Konstante c eindeutig.
•
n-fach entarteter EW λ:
(i )
(i )
(i )
A Ψλ
= λ Ψλ
i = 1,…,n. ∃ n linear unabhängige EVen Ψλ
zum gleichen EW
n
λ. In diesem Fall ist jeder Vektor Φ λ = ∑ ci Ψλ
(i )
EV zum EW λ. Der Satz der
i =1
Ψλ
•
(i )
spannt n-dimensionalen Hilbertraum auf, nämlich den E-Unterraum zum EW
λ.
Eigenwertspektrum des Operators = Menge der EWe von A.
Das EW-Spektrum kann diskret sein – diskrete Sequenz von Zahlen. Es kann auch
kontinuierlich sein, d.h. ∃ ein Kontinuum von EWen des Operators A. Auch teils, teils.
Beispiel: Potentialtopf
Abbildung 7.1: Kastenpotential (1D)
Quantenmechanik I
45
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7.2 Observable – hermitesche Operatoren
Hermitesche Operatoren spielen eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik.
Die den messbaren physikalischen Größen zugeordneten
Operatoren sind:
a) hermitesch
b) ihre Eigenvektoren bilden ein Vollständiges
Orthogonalen System (VOGS)
Dies stellt ein Axiom der Quantenmechanik dar und ist durch Erfahrung gestützt.
Obige Operatoren heißen Observable
Einschub hermitesche Operatoren:
x Alle EWe eines hermiteschen Operators sind reell
Sei A < O < mit A A , dann gilt:
*
§ < | A | < ·
¨
¸ O*
O
¨
¸
< <
< <
©
¹
x EVen von hermiteschen Operatoren zu verschiedenen EWen sind orthogonal
Beweis:
A ) P ) mit P  R wegen hermit. also gilt auch ) A P ) und
< | A| <
O< .
A<
Somit ) | A | <
O ) < . Es gilt: P ) <
O ) < Î wenn µ z O Î
0 Î orthogonal.
) <
Betrachte, der Vollständigkeit wegen, den verallgemeinerten Fall einer Observablen,
die sowohl diskrete EWe ( A <n
a n <n mit n = 1, … und an aus R) mit
normierbaren EVen ( <n <m
G nm ) hat, als auch konstante EWe ( A <O
mit O kontinuierlich in R) mit nicht normierbaren EVen ( <O <O c
<n <O
O <O
G O O c und
0 ). Wir werden an Beispielen sehen, dass bei EWen aus dem Kontinuum,
die EV auf die G – Funktion orthonormierbar sind [vgl. Zustandsfunktion für
nichtgebundene Zustände des Kastenpotentials für E>0].
x EVen bilden ein VOGS
< ¦ <n <n < ³ dO <O <O <
n
x
Einheitsoperator
1 ¦ <n <n ³ dO <O <O
n
sowie PO PO c
x
¦ P ³ dOPO
n
n
G O O cPO
Spektralzerlegung der Observablen A
A ˜ 1 ¦ a n <n <n ³ dOa O <O <O
n
mit Pn Pnc
G nnc Pn und Pn PO
0
Quantenmechanik I
46
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Analog gilt für Funktionen die als Potenzreihe darstellbar sind:
f ( A) = ∑ f (a n )Pn + ∫ dλf (a λ )Pλ
n
∞
Benutzte: f ( A) = ∑ f k A k
k =0
•
Wenn zwei Operatoren A und B kommutieren, [A,B]=0, dann haben sie ein
gemeinsames System von EVen
Beweis: (hier für diskretes, nicht entartetes, EW-Spektrum)
A Ψn = a n Ψn und A(B Ψn ) = a n (B Ψn ) . Ψn ist EV von A zum EW an, d.h.
B Ψn ist ebenfalls EV von A zum selben EW an.
Bei Nichtentartung können sich dann Ψn und B Ψn nur um eine Zahl, bn
unterscheiden, d.h. B Ψn = bn Ψn . Das bedeutet wiederum, dass Ψn auch ein EV
von B zum EW bn ist.
qed.
Für kontinuierliche Spektren folgt das analog.
Für entartete EW-Spektren gibt es zu ein und demselben EW an mehrere EVen
(k )
(k )
Ψn
. Aus der Linearkombination der Ψn
lassen sich EVen von B bilden.
•
Umgekehrt gilt: ∃ ein vollständiges, gemeinsames System von EVen Ψn der
Operatoren A und B Î [A,B] = 0
Beweis: Vollständigkeit Î beliebiger Vektor Ψ = ∑ c n Ψn und
( AB − BA) Ψ
= ∑ c n ( AB − BA) Ψn = ∑ c n
n
•
n
n
(1
a n bn − bn a n )
42
4 44
3
Ψn = 0
qed
= 0 , da Ψn EV von A und B
Definition: Vollständiger Satz von Observablen
Die Menge der hermiteschen Operatoren A, B, …, M, die alle miteinander
kommutieren und bei denen das gemeinsame System von EVen nicht mehr entartet ist,
heißt vollständiger Satz von Observablen. Dann sind EFunktionen durch EWe
charakterisierbar: a, b, …, m
Beispiel: Für eindimensionales Potential entweder x oder p, für 3D Potential entweder
x, y, z oder px, py, pz, für 3D kugelsymmetrisches Potential entweder x, y, z oder px,
r
py, pz oder H, L2 , Lz.
Quantenmechanik I
47
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
8 Darstellungen im Zustandraum
r
r
Im euklidischen R3 wurde ein Vektor x im VONS Σ der Basisvektoren en dargestellt
r
r r r
r
r r
r
durch: x = en en x = en xn wobei x n = en x die Koordinate von x im System Σ ist.
Abbildung 8: Darstellung von Vektoren im R3
8.1 Darstellung von Zustandsvektoren
Im Allgemeinen wählt man zur Darstellung eines Zustandsvektors Ψ eines q.m. Systems
als Basis das VONS der EVen ϕ n , n=1,2,…und/oder ϕ λ (λ = kontinuierlich) einer
Observablen A. Ψ = 1 Ψ = ∑ ϕ n ϕ n Ψ + ∫ dλ ϕ λ ϕ λ Ψ = ∑ c n ϕ n + ∫ dλcλ ϕ λ
123
1
424
3 n
n
cn
cλ
analog dazu:
Ψ = Ψ 1 = ∑ Ψ ϕ n ϕ n + ∫ dλ Ψ ϕ λ ϕ λ
n
ϕ n Ψ bzw. ϕ λ Ψ sind die Zustands“koordinaten“ des Zustandsvektors Ψ bezüglich
der Basis von EVen einer Observablen A.
Basiswechsel: Alternativdarstellung ein und desselben Zustandsvektors Ψ durch eine
andere Basis, z.B.: VONS der EVen einer anderen Observablen A’ {ϕ n′ , ϕ λ′ } . Dadurch
ergibt sich folgende Darstellung: Ψ = ∑ ϕ n′ ϕ n′ Ψ + ∫ dλ ϕ λ′ ϕ λ′ Ψ .
n
Transformation der Zustandskoordinate:
Hier nur für Übergang diskreter Basis {ϕ m
ϕ n′ Ψ = ϕ n′ | ϕ m ϕ m | Ψ
1
424
3
( )
Analog: ϕ n Ψ = ϕ n ϕ m′ ϕ m′ Ψ = U +
Nebenrechnung:
U nm = ϕ n′ ϕ m ; U +
( )
nm
= U mn = ϕ m′ ϕ n
(U mn )* = ( ϕ m′ ϕ n )* = ϕ n ϕ m′
+*
nm
( )
= U+
nm
m
(Summenkonvention)
U nm
(U )
} auf andere diskrete Basis {ϕ ' }.
= ϕ n ϕ m′
nm
ϕ m′ Ψ = (U + )nm cm′
Quantenmechanik I
48
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Zeige: UU + = U +U = 1 . U ist eine unitäre Transformation [im euklidischen Raum R3 eine
orthogonale Transformation mit reellen Matrizen], beachte U + = U T *
Beweis: (UU + ) = U nk (U + ) km = ϕ n′ ϕ k ϕ k ϕ m′ = ϕ n′ ϕ m′ = δ nm , analog U +U
Ψ = 1 Ψ = ∑ ϕ n ϕ n Ψ + ∫ dλ ϕ λ ϕ λ Ψ = ∑ c n ϕ n + ∫ dλ c λ ϕ λ
123
1
424
3 n
n
cn
cλ
Ebenso der Basiswechsel für die Darstellung von bra
+
Ψ = Ψ 1 = Ψ ϕn ϕn
(
U kn
6
47
4
8
= Ψ 1′ = Ψ ϕ n′ ϕ n′ und Ψ ϕ n′ = Ψ ϕ k ϕ k ϕ n′ etc.
Oder auch: Ψ ϕ n′ = ϕ ′n Ψ
) =U
* *
+
nk
ϕ k Ψ = Ψ ϕ k (U T )kn = Ψ ϕ k (U + )kn
*
*
Fazit: Der Basiswechsel entspricht einer unitären Transformation der Zustandskoordinaten
8.2 Darstellung von Operatoren
Hier wieder diskrete Basis (Summenkonvention)
Sei A ein beliebiger Operator
ϕn
⋅|
Φ = AΨ
14243
Vektor = Operator⋅Vektor
Koordinate = Matrix⋅Koordinate’
ϕn Φ = ϕn | A | ϕm ϕm Ψ
14243
Anm
Anm = ϕ n | A | ϕ m = Matrixelement des Operators A bezüglich der Basis {ϕ n
(A )
+
nm
} Zahl aus C.
= ϕ n | A + | ϕ m = ( Amn )
*
( )
Hinweis: A +
nm
= Aϕ n ϕ m = ( ϕ m Aϕ n
) = (A )
*
+
mn
Die Matrixdarstellung des Operators A bezüglich der Basis {ϕ n
} lautet wie folgt:
A = 1 ⋅ A ⋅ 1 = ϕ n ϕ n | A | ϕ m ϕ m = ϕ n Anm ϕ m = Anm ϕ n ϕ m
14243
Anm
Darstellungswechsel (ein und der selbe Operator):
′ ϕ m′ Matrixdarstellung von A bezüglich der Basis {ϕ n′
A = ϕ n′ ϕ n′ | A | ϕ m′ ϕ m′ = ϕ n′ Anm
Verknüpfung der Matrixelemente untereinander?
′ = ϕ n′ | A | ϕ m′ = ϕ n′ ϕ j ϕ j | A | ϕ k ϕ k ϕ m′ = U nj ⋅ A jk ⋅ (U + )km
Anm
bzw. Anm = (U + )nj A′jkU km
}
Quantenmechanik I
49
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8.3 Beispiel: Freies Punktteilchen
r
P2
H=
, keine weiteren Freiheitsgrade.
2m
r r
Observable P, R Operatoren
[Pk , X L ] = h δ kl und [Pk , Pl ] = 0 = [X K , X L ]
i
r
r
Kontinuierliche Basis der EVen ϕ rr des Operators R zum EW r in Ortsdarstellung.
r
r
R ϕ rr = r{ ϕ rr
{
{ EW ∈R 3
Operator
EV
r r
ϕ rr ϕ rr′ = δ (r − r ′) = δ (x − x ′)δ ( y − y ′)δ (z − z ′)
1 = ∫ d 3 r ϕ rr ϕ rr
r
In Literatur: EV ϕrr des Operators R abgekürzt durch
rr
r
rr
r := ϕ rr und R r = r r
r r
r r
r r
r r ′ = δ (r − r ′) und 1 = ∫ d 3 r r r
Beliebige Zustandsvektoren:
r
Ψ = ∫ d 3 r ϕ rr
ϕ rr Ψ
= ∫ d 3 r ϕ rr Ψ (r )
123
KO des Zustandsvektors
Wobei ϕ Ψ = Zustandskoordinate des Zustandsvektors Ψ aus dem Hilbertraum ist, der
r
den Zustand des qm. Systems beschreibt. Ein Vektor x im euklidischen Vektorraum wird
r r
durch 3 Koordinaten xi = ei x , d.h. 3 Zahlen in R, beschrieben. Ein Vektor Ψ aus dem
r
r
Hilbertraum der Zustandsvektoren des qm Systems „freies Teilchen“ wird durch
kontinuierlich viele Koordinaten (unendlich viele Zahlen) ϕ rr Ψ , nämlich durch die
r
Zustands(wellen)Funktion Ψ (r ) = ϕ rr Ψ beschrieben.
Abbildung 8.3: Zustandsfunktion freies Teilchen
Quantenmechanik I
50
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Die Wahrscheinlichkeit, für qm Zustand beschrieben durch Ψ , das Teilchen in d3r zu finden
2
r 2
ist ∫ Ψ (r ) d 3 r = ∫ ϕ rr Ψ d 3 r .
V
V
Basiswechsel: Statt Ortsdarstellung Æ Impulsdarstellung, d.h. Darstellung des
r
r
P
ϕ pr =
Zustandsvektors durch EVen ϕ pr der Observablen p (Impuls) {
{
Operator
r
r r
in Literatur auch ϕ Pr = p , ϕ pr ϕ pv ′ = δ ( p − p ′) .
Eigenvektor
r
r
{p ϕ p
EW ∈ R 3
r
1 = ∫ d 3 p ϕ pr ϕ pr und Ψ = ∫ d 3 p ϕ pr ϕ pr Ψ mit Ψ ( p ) = ϕ pr Ψ .
1
42r4
3
Ψ( p)
Und weiterhin gilt:
3
i rr
r
⎛ 1 ⎞ 2 h p ⋅r
ϕ rr ϕ pr = ϕ pr ϕ rr = ⎜
= Ψ pr (r )
⎟ e
⎝ 2πh ⎠
r
r
Das Skalarprodukt zwischen dem EV R zum EW r und dem EV von
gleich der Wellenfunktion für einen ebenen Wellenzustand mit Impuls
*
r
r
P zum EW p ist
r
p.
Damit gilt ϕ pr Ψ = ∫ d 3 r ϕ pr ϕ rr ϕ rr Ψ
1
42r4
3
1
424
3 12r 3
Ψ( p)
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2πh ⎠
3
Ψ (r )
i r r
2 − p ⋅r
e h
und ϕ rr Ψ = ∫ d 3 p ϕ rr ϕ pr ϕ pr Ψ
12r 3
1
424
31
424
3
Ψ (r )
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2πh ⎠
3
2
i r r
p⋅r
eh
r
Ψ( p)
r
⎧ p Ψ ⎫ ⎧Impuls⎫
Koordinaten ⎨ r
⎬ in ⎨
⎬ darstellung sind über Fouriertransformation verknüpft.
Ψ
r
Orts
⎩
⎭
⎩
⎭
r
r
r
r
r
r r r
Ferner: r = ∫ d 3 p p p r und p = ∫ d 3 r r r p
Logik der Darstellungsstruktur
Quantenmechanischer Zustand entspricht dem Zustandsvektor Ψ
r
⎧⎪ ϕ rr Ψ = Ψ (r ) ⎫⎪
⎧⎪ ϕ rr ⎫⎪
↔⎨
r ⎬ = Koordinate von Ψ bezüglich der Basis ⎨
⎬.
⎪⎩ ϕ pr Ψ = Ψ ( p )⎪⎭
⎪⎩ ϕ pr ⎪⎭
r
r
⎧ R ⎫ ⎧Impuls⎫
Die Wirkung von ⎨ r ⎬ in ⎨
⎬ -darstellung: Betrachte Zustandsvektor P Ψ = Φ und
⎩ P ⎭ ⎩ Orts ⎭
r
r
r
R Ψ = χ die durch Wirkung von P und R auf beliebige Ψ entstehen. Die Koordinaten
r
⎧⎪ Φ = P Ψ ⎫⎪ ⎧Impuls⎫
von ⎨
r
⎬in ⎨
⎬ -darstellung sind:
⎪⎩ χ = R Ψ ⎪⎭ ⎩ Orts ⎭
h r
r
r r
a) r Φ = r | P | Ψ = ∇ r Ψ
12r3
i 12r3
Φ (r )
Ψ (r )
r r
r r r r
Beweis: r | P | Ψ = ∫ d 3 p r | P | p p Ψ
1424
3 1r2r3
r r r
p r p
Ψ( p)
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3
i rr
r ⎡⎛ 1 ⎞ 2 h p⋅r ⎤ h
h r r
⎢
p ⎜
⎟ e ⎥ = ∇[...] = ∇ r p
i
⎢⎣⎝ 2πh ⎠
⎥⎦ i
r r r
r
h
h r
h
= ∇ ∫ d 3 p r p p Ψ = ∇ r Ψ = ∇Ψ (r )
i
i
i
r
r
r
r
r
r
r
∂
h
b) p χ = p | R | Ψ = ∫ d 3 r p | R | Ψ r Ψ = ... = ih r Ψ ( p )
i
∂p
r
r
r
∂
Beweis: p R Ψ = ih r Ψ ( p )
∂p
r
r
Damit folgen die Matrixelemente der Operatoren R und P in Orts- und
Impulsdarstellung
r r r
Nebenrechnung: p r p =
Operator A
Ortsdarstellung
Impulsdarstellung
•
r
R
r r r
r δ (r − r ′)
diagonal
∂
r r
ih r δ ( p − p ′ )
∂p
r r
r r
r r ′ = δ (r − r ′)
3
i rr
i rr
2
p⋅r − p⋅r ′
r r r r
3 ⎛ 1 ⎞
h
′
d
p
r
p
p
r
d
p
e
e h
=
⎜
⎟
∫
∫ ⎝ 2πh ⎠
3
⎛ 1 ⎞
=⎜
⎟
⎝ 2πh ⎠
3
2
i r r r
p (r − r ′ )
3
∫ d pe h
r
P
h
r r
∇δ (r − r ′)
i
r r r
pδ ( p − p ′)
diagonal
r
r
r | A| r′
r
r
p | A | p′
Quantenmechanik I
52
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9 Das Axiomensystem der Quantenmechanik
9.1 Die Postulate
I. Zustand ↔ Zustandsvektor
„Jedem physikalischen System ist ein Hilbertraum H von Zustandsvektoren
zugeordnet, so dass jedem Zustandsvektor | Ψ >∈ H ein Zustand des
physikalischen Systems entspricht. Umgekehrt entspricht jedem Zustand ein
Zustandsvektor. " Postulat I enthält das Superpositionsprinzip:
λ | Ψ > + µ | φ >∈ H ↔
Zustand, wenn | Ψ > und | φ >∈ H
II. Messbare physikalische Größe H ↔ Observable
Jeder messbaren physikalischen Größe ist ein Operator zugeordnet, der auf Zustandsvektoren ∈ H wirkt. Der Operator ist hermitesch, seine Eigenvektoren
bilden eine Basis in H, d. h., er ist eine Observable.
III. Messwerte ↔ Eigenwerte von Observablen
Das Resultat einer Messung einer physikalischen Größe ist ein Eigenwert (EW) der
zugehörigen Observablen.
Beachte: EW-Spektrum reell; Meßresultate sind reelle Zahlen. Falls EW-Spektrum
diskret Î Meßresultate diskret verteilt.
IV. Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten EW zu messen
Der Zustand eines q. m. Systems sei durch Zustandsvektor | Ψ >∈ H beschrieben
mit < Ψ | Ψ >= 1 . Sei W die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Messung der
physikalischen Größe, die der Observablen A zugeordnet ist, ein bestimmter
EW von A gemessen wird:
(i) diskrete, nicht entartete EW:
W (a n ) = < ϕ n | Ψ >
2
(ii) diskrete, entartete EW:
gn
A | ϕ n >= a n | ϕ n >
W (an ) = ∑ < ϕ n | Ψ >
(i )
A | ϕ n(i ) >= a n | ϕ n(i ) >
mit
i = 1, ..., g n
2
i =1
(iii) kontinuierliches EW-Spektrum:
A | ϕ a >= a | ϕ a >
dW (a ) = < ϕ a | Ψ > da = Wahrscheinlichkeit, dass EW im Intervall da.
2
Alle Eigenvektoren seien entweder auf 1 oder auf die δ-Funktion orthonormiert.
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53
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Beispiel: n-ter Energieeigenzustand | Ψn >=| n > eines Teilchens im harmonischen Potential.
Messgröße Ort, Observable X. Mit X | x >= x | x > und
< x | n >= Ψn ( x ) =
( π 2 n! x )
− 12
n
0
Hn
( )e
x
x0
− 12
( )
x 2
x0
;
(x
2
0
=
h
mω
)
folgt dW ( x ) = < x | n > dx.
2
Man beachte die statistische Beschreibung: Eine Gesamtheit von N identischen Realisierungen des Systems wird betrachtet, das sich jeweils im Zustand Ψ befindet. Bei jeder
Realisierung wird gemessen, also N mal. Die relative Häufigkeit des Auftretens des
Messergebnisses an ist die Wahrscheinlichkeit W(an) im Zustand | Ψ > den Wert an zu
messen.
Zahl der Messungen, die a n ergaben
N
W (an ) = lim
N →∞
Wenn der Zustandsvektor | Ψ > Eigenvektor von A ist, z. B. | ϕ n > , so wird bei jeder
Messung der Eigenwert an gemessen. Dann ist W (a n ) = 1 . Erwartungswert von A im
Zustand Ψ >
< A >=< Ψ | A | Ψ >
Für diskrete, nichtentartete EW gilt
< A >= ∑ < Ψ | ϕ n > a n < ϕ n | Ψ > = ∑ a nW (a n )
n
n
V. Messungen reduzieren Zustände
Wird in einer Messung der EW an der Observablen A gemessen, so wird dabei der
Zustandsvektor | Ψ > durch die Messung übergeführt in
Pn | Ψ >
| φn >=
< Ψ | Pn | Ψ >
gn
wobei Pn = ∑ | ϕ n(i ) >< ϕ n(i ) | = Pn2 der Projektor auf den Eigenunterraum von
i =1
EW an ist.
Unmittelbar nach der Messung befindet sich das System im Zustand φn , d. h.
einem Eigenzustand von A.
Bei der theoretischen Beschreibung von Messprozessen treten Probleme auf, die noch
unverstanden und ungelöst sind.
VI. Zeitentwicklung
Die Zeitentwicklung eines Zustandsvektors | Ψ (t ) > erfolgt nach der Schrödinger Gleichung
ih∂ t | Ψ (t ) >= H (t ) | Ψ (t ) > , wobei der Hamiltonoperator H(t) die Observable ist, die der
Gesamtenergie zugeordnet ist.
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9.2 Zeitentwicklung von Zustandsvektoren als unitäre
Transformation
Die Zeitentwicklung von Ψ (t ) als Lösung der Schrödingergleichung [ih∂ t − H (t )] Ψ (t ) = 0
lässt sich durch Anwendung eines unitären Zeitentwicklungsoperators U (t , t ′) auf den
„Anfangszustand“ Ψ (t ′) schreiben als
Ψ (t ')
U (t , t ′) Ψ (t ′) = Ψ (t ) mit dem Anfangswert U (t , t ) = 1
Ψ (t )
Beweis: Einsetzen von U (t , t ′) Ψ (t ′) = Ψ (t ) in die Schrödingergleichung ergibt:
[ih∂ t − H (t )]U (t , t ′) Ψ(t ′) = 0 für beliebige Ψ(t ') , wobei U (t , t ′) die Lösung der
Differentialgleichung [ih∂ t − H (t )]U (t , t ′) = 0 mit den Anfangsbedingungen U (t , t ) = 1 .
Beweis: U ist unitär: benutze die Konstanz der Norm eines Zustandsvektors.
Konstanz der Norm:
+
d
H
⎛d
⎞
⎛d
⎞ ⎛1
⎞
0=
Ψ Ψ =⎜
Ψ ⎟ Ψ + Ψ ⎜ Ψ ⎟=⎜ H Ψ ⎟ Ψ + Ψ| |Ψ
dt
dt24
dt24
ih
⎝1
⎝1
⎠
4
3⎠
4
3⎠ ⎝1ih4243
⎛1
⎞
⎜ H Ψ ⎟
⎝ ih
⎠
+
Ψ (t ) Ψ (t ) = Ψ (t ′) Ψ (t ′)
H
Ψ
ih
−
1
Ψ H Ψ
ih
UΨ UΨ = Ψ (t ′) U + (t , t ′)U (t , t ) Ψ (t ′) = Ψ (t ′) Ψ (t ′) −
1
Ψ | H | Ψ d.h. U +U = 1 .
ih
Ferner gilt U (t , t ′) = U −1 (t ′, t ) bzw. U −1 (t , t ′) = U (t ′, t )
Beweis: t = U (t , t ′) t ′ ⇒ t ′ = U −1 (t , t ′) t ⇔ t = U −1 (t ′, t ) t ′
i
Zeitentwicklungsoperator für infinitesimale Zeitdifferenz U (t + dt , t ) = 1 − H (t )dt
h
⎡ i
⎤
Also Ψ (t + dt ) = ⎢1 − H (t )dt ⎥ Ψ (t )
⎣ h
⎦
Falls H nicht von t abhängt gilt:
−i
H
(t − t ′ )
U (t , t ′) = e h
unitär U +U = 1 und U + = U −1 .
Falls [H (t ), H (t ′)] = 0 ∀t , t ′ (z.B. Operator f(t))
t
U (t , t ′) = e
−
i
dt ′′H ( t ′′ )
h ′
∫
t
im allgemeine Fall aber komplizierter.
9.3 Schrödinger- und Heisenbergbild
Bisher Schrödingerbild: Dynamik des Systems durch Zeitentwicklung der Zustandsvektoren
ΨS (t ) = U S (t , t 0 ) ΨS (t 0 ) (Index S nur zur Unterscheidung von Heiseberg und
⎛ t0
⎞
Schrödingerbild: z.B. U S (t , t 0 ) = exp⎜ − hi ∫ dt ′H S (t ′)⎟ für den Fall, dass [H S (t ), H S (t ')] = 0 ).
⎠
⎝ 0
Durch die unitäre Rücktransformation wird der zeitabhängige Vektor ΨS (t ) zu einem
zeitunabhängigen Vektor ΨH := ΨS (t 0 ) = U + (t , t 0 ) ΨS (t ) transformiert. ΨH ist der
zeitlich konstante Zustandsvektor im Heisenbergbild. Im Schrödingerbild wirken Operatoren
Quantenmechanik I
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As (t ) , die eventuell zeitabhängig sind, auf zeitabhängige Zustandsvektoren.
As (t ) ΨS (t ) = Φ S (t )
As (t )U s (t , t 0 ) ΨS (t 0 ) = U s (t , t 0 ) Φ S (t 0 ) . Auf beiden Seiten mit U-1 von links multiplizieren
1
424
3
1
424
3
ΨH
ΦH
ergibt:
+
AH (t ) ΨH = Φ H , wobei der Operator AH (t ) = U S (t , t 0 ) AS (t )U S (t , t 0 ) in jedem Fall
zeitabhängig ist.
Es gilt:
d
⎛ ∂A (t ) ⎞
ih AH (t ) = [AH (t ), H H (t )] + ih⎜ S ⎟
dt
⎝ ∂t ⎠ H
Vgl.: klassische Mechanik: Zeitabhängigkeit wird ausgedrückt durch Poissonklammern.
d
Insbesondere gilt für AS , der nicht explizit von t abhängt:
AH (t ) = 0 ⇔ [AH , H H ] = 0 .
dt
Für die Zeitentwicklung eines Erwartungswertes
A (t ) = ΨH | AH (t ) | ΨH = ΨS (t ) | AS (t ) | ΨS (t ) gilt:
ih
dA (t )
d
⎛ ∂A (t ) ⎞
A (t ) = ih ΨH | H | ΨH = ΨH | [AH (t ), H H (t )] + ih⎜ S ⎟ | ΨH
dt
dt
⎝ ∂t ⎠ H
= ΨS (t ) | [AS (t ), H S (t )] + ih
∂AS (t )
| ΨS (t )
∂t
(*)
9.4 Ehrenfest’ sches Theorem
r
r
Zeitentwicklung von P und R . Hier wieder im Schrödingerbild (Index S weggelassen).
r
r r
r
P2
H=
+ U R , P und R sind Operatoren, die nicht explizit von t abhängen, wohl aber die
2m
Zustandsvektoren Ψ (t ) .
d r
1 r
R (t ) =
P (t )
dt
m
r
r r
∂ r
P (t ) = − ∇U R (t ) = K R (t )
Ehrenfest
∂t
r
r
r
r
r
⎡ r P2 ⎤
P
i
=
h
Beweis: -benutzte (*) mit ⎢ R,
und
P
,
U
R
=
−
i
h
U
R
⎥
m
⎣ 2m ⎦
r
Der Erwartungswert R (t ) genügt i.a. nicht der Bewegungsgleichung der klassischen
r r
r
r r
r
r
Mechanik, da K R = − ∇U R ≠ − ∇U (r ) rr = Rr = K r = R
()
()
()
[ ( )]
()
()
(
()
)
Beispiel anharmonischer Oszillator: U ( x ) ∝ x 4 und K ( x) ∝ − x 3 dann folgt:
K ( x) ∝ x 3 ≠ x
3
Quantenmechanik I
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9.5 Unschärferelation und gleichzeitige Messbarkeit von
Observablen
1
i[ A, B ] . Hier ∆A =
2
Erwartungswertes A = Ψ | A | Ψ von A im Zustand Ψ
Seien A und B Observable Î ∆A ⋅ ∆B ≥
(A −
A
2
)
= Streuung des
Beweis: Setzte a = A − A und b = B − B hermitesch, sowie Φ = (αa + iβb ) Ψ mit α,β
aus R.
0 ≤ Φ Φ = Ψ | (αa − iβb )(αa + iβb ) | Ψ = Ψ | α 2 a 2 + iαβ (ab − ba ) + β 2 b 2 | Ψ
⎞
⎛
i
[
a, b ] ⎟
⎜ a2
i
2
⎟⎛⎜ α ⎞⎟
= α 2 a 2 + 2αβ [a, b] + β 2 b 2 = (a, b )⎜
⎟⎜ β ⎟
⎜ i
2
b 2 ⎟⎝ ⎠
⎜ [a, b]
⎠
⎝ 2
Die quadratische Form in α,β ist größer/gleich Null, falls det(…) ≥ 0
1
1
2
2
2
2
[a, b] = [A, B]
i[a, b ] und (∆A) (∆B ) ≥ i[A, B ]
4
4
Beachte: A, B sind hermitesch Î i[ A, B] ist hermitesch, d.h. i[A, B ] ist reell. Falls
r
r
i[A, B ] = 0 Î Observable A und B sind gleichzeitig scharf messbar. Für A = R und B = P
a2 b2 ≥
folgt die Unschärferelation.
9.6 Energie-Zeit Unschärferelation
Betrachte obige Relation B = H = Hamiltonoperator. Sei A explizit zeitunabhängig
∆A
1
h d
h
die charakteristische
∆A ⋅ ∆H ≥ i[A, H ] =
A . D.h. τ A ⋅ ∆H ≥ wobei τ A =
d
2
2 dt
2
A
dt
Zeit ist, in der sich der Erwartungswert von A um ∆A geändert hat, also die Zeit, die vergehen
muss, bevor eine Änderung von <A> überhaupt messbar wird. Sei τ die kleinste Zeit für alle
h
Messgrößen A. Dann ist τ ⋅ ∆E ≥ . Beachte den Unterschied zur Unschärferelation von 9.5:
2
Die Zeit ist keine Observable in der QM, sondern ein Parameter (Zahl).
Quantenmechanik I
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III Einfache Einteilchenprobleme
10 Der Drehimpuls
Hier zunächst der Bahndrehimpuls, der im Gegensatz zum inneren (Spin) Drehimpuls ein
klassisches Analogon hat.
r
r
r
10.1 Bahndrehimpulsoperator L = R × P
Li = x j Pk − xk Pj
i,j,k stehen für 1,2,3 und permutieren untereinander
rr
r
r2
L2 = L12 + L22 + L23 = R 2 P 2 − RP + ihRP
( )
Vertauschungsregeln von {Li} folgen aus denen von Xi und Pj
[L , L ] = ihL
i
j
k
Zwei Einzelkomponenten des Bahndrehimpulses sind simultan nicht scharf messbar.
[L , L ] = 0
2
i
Eine Komponente und L2 sind jedoch gleichzeitig scharf messbar (kommensurabel)
Beispiel:
Lx , L y = YPz − ZPy , ZPx − XPz
[
] [
]
[
] [
= [YPz , ZPx ] + [YPx , XPz ] + ZPy , ZPx + ZPy , XPz
1424
3 1424
3
=0
]
=0
Mit [ AB, C ] = A(B, C ) + ( A, C )B
bzw. [A, BC ] = B[A, C ] + [A, B]C folgt:
= Y [Pz , ZPx ] + Z Py , XPz + [Y , ZPX ]Pz + [Z , XPz ]Py
424
3
1
424
3 1
[
]
=0
=0
= Y [Pz , Z ]Px + YZ [Pz , Px ] + X [Z , Pz ]Py + [1
Z2
,3
X ]Pz Py
123
= ih (XPy − YPx )
=0
=0
= ihLz
Analog für andere Komponenten
r
r r r r r r
Ferner kommutiert L mit den skalaren Operatoren R ⋅ R , R ⋅ P , P ⋅ P und Funktionen davon.
r
Grund: L “erzeugt“ Drehungen unter denen Skalare invariant sind (siehe später).
Quantenmechanik I
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r
10.2 L in Ortsdarstellung
r h
Mit P = ∇ folgt:
i
cos ϕ ⎞
h
⎛
Lx = ( y∂ z − z∂ y ) = ih⎜ sin ϕ∂ Θ +
∂ϕ ⎟
i
tan Θ ⎠
⎝
sin ϕ
h
⎞
⎛
L y = (z∂ x − x∂ z ) = ih⎜ − cos ϕ∂ Θ +
∂ϕ ⎟
i
tan Θ ⎠
⎝
h
L z = (x∂ y − y∂ x ) = ih∂ ϕ
i
Dabei wurden die Kugelkoordinaten benutzt:
x = r sin Θ cos ϕ
y = r sin Θ sin ϕ
z = r cos Θ
1
1
⎞
⎛ 2
L2 = −h 2 ⎜ ∂ Θ +
∂Θ +
∂ ϕ2 ⎟ mit Li , L2 = 0 und Li , L j = ihLk
2
tan Θ
sin Θ ⎠
⎝
[
]
[
]
Hinweis:
(x∂ y − y∂ x ) = f (x, y, z ) = f (x(r , Θ,ϕ ), y(r , Θ,ϕ ), z (r , Θ,ϕ ))
= F (r ( x, y, z ), Θ( x, y, z ),ϕ ( x, y, z ))
∂r
∂ϕ
∂Θ
∂Θ +
∂r +
∂ϕ
∂y
∂y
∂y
1
1
1
=
∂ +
∂ +
∂
∂y r ∂y Θ ∂y ϕ
∂r
∂Θ
∂ϕ
1
1
1
=
∂r +
∂Θ +
∂ϕ
sin Θ sin ϕ
r ⋅ cos Θ sin ϕ
r ⋅ sin Θ cosϕ
∂y =
Eigenfunktionen von L² und Lz sind Kugelfunktionen Yl m (Θ,ϕ ) .
Lj wirkt nur auf den Winkel, nicht auf r.
L2Yl m (Θ,ϕ ) = h 2 l (l + 1)Yl m (Θ,ϕ )
Lz Yl m (Θ,ϕ ) = hmYl m (Θ,ϕ )
l = Bahndrehimpulsquantenzahl;
l= 0,1,2,…
m=-l, -l+1, …,0,…, l-1, l
m = Magnetquantenzahl
Kugelfunktionen (spherical harmonics) sind orthonormierte Eigenfunktionen der
hermiteschen Operatoren L² und Lz.
∫ dΩ[Y (Θ,ϕ )] Y (Θ,ϕ ) = δ
m
l
*
m'
l'
δ m ,m ' bilden Basis im Raum der quadratintegrierbaren
l ,l '
Funktionen, die von Θ und ϕ abhängen.
dΩ = dϕ sin ΘdΘ
Quantenmechanik I
59
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Beispiel:
Y00 =
1
4π
Y1±1 = m
3
sin Θe ±iϕ
8π
Y20 =
5
(
3 cos 2 Θ − 1)
16π
Y2±1 = m
15
sin Θ cos Θe ±iϕ
8π
Y2± 2 =
15
sin ²Θe ± 2iϕ
32π
Y10 =
3
cos Θ
4π
Beachte: L² und Lz haben diskrete Eigenwertspektren. Die Eigenwerte h ²l (l + 1) von L² sind
(2l+1)– fach entartet durch die 2l+1 Werte der Magnetquantenzahl m = -l, …, l , die zum
selben Eigenwert von L² gehören.
Geometrische Veranschaulichung – Richtungsquantelung:
r
Drehimpulsvektor L der Länge h l (l + 1) kann nur Richtungen annehmen, so dass Lz = hm .
Abbildung 10.1: Richtungsquantelung
Quantenmechanik I
60
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11 Ein Teilchen im Zentralpotential
11.1 Hamiltonoperator und Konstanten der Bewegung
r
r
P²
H=
+V R
2m
( )
[
]
r
Das Potential hängt nur vom Abstand R ab, Î H , L = [H , L ² ] = 0 = [H , π ]
r
r
(π=Paritätsoperator; π r = − r )
r
r
H kommutiert mit jeder Komponente von L und mit dem Paritätsoperator. Damit sind L und
r
die Parität Konstanten der Bewegung. [H , Π ] = 0 siehe Übung, H , L = 0 da H nur von
r r
r r
Skalaren P ⋅ P und R ⋅ R abhängt und ferner H , L2 = 0
Î H, L², Lz, und π haben gemeinsames System von Eigenvektoren, die eine Basis bilden.
Die zugehörigen physikalischen Größen sind simultan scharf messbar.
[
[
]
]
11.2 Die stationäre Schrödingergleichung
r
r
H Ψ = E Ψ in der Ortsdarstellung Ψ (r ) = r Ψ
r
r
r H Ψ =E r Ψ
r
r
HΨ (r ) = EΨ (r )
r
⎤ r
⎡ h²
⎢⎣ − 2m ∇ ² + V (r )⎥⎦ Ψ (r ) = EΨ (r )
1
1⎛
1
1
⎞
∇ ² = ∂ 2r r + ⎜ ∂ Θ2 +
∂Θ +
∂ ϕ2 ⎟
r
r ² ⎝144tan
²Θ44
Θ424sin
44
44
3⎠
−
in Ortsdarstellung
1
L²
h²
1
⎡ h² 1 2
⎤
⎢⎣ − 2m r ∂ r r + 2mr ² L ² + V (r )⎥⎦ Ψ (r, Θ, ϕ ) = EΨ (r, Θ, ϕ )
Gemeinsame Eigenfunktionen:
H Ψ = EΨ
L² Ψ = h ²l (l + 1)Ψ
Lz Ψ = hmΨ
πΨ = ± Ψ
Faktorisierung:
Ψ (r , Θ,ϕ ) =
R(r ) Yl m (Θ,ϕ ) , da L2 und Lz nur auf Θ und ϕ wirken
{
1
424
3
Radialfunktion Kugelfunktion
⎡ h ² 1 2 h ²l (l + 1)
⎤
Einsetzten ⇒ ⎢ −
∂r r +
+ V (r )⎥ R (r ) = ER (r )
2mr ²
⎣ 2m r
⎦
1
Vereinfachung: R (r ) = u (r )
r
Quantenmechanik I
61
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11.3 „Radiale“ Schrödingergleichung
Für u(r)=rR(r)
⎤
⎡ h² 2
⎢⎣ − 2m ∂ r + Veff (r )⎥⎦u (r ) = Eu (r )
Wobei Veff (r ) = V (r ) +
h ²l (l + 1)
22
mr4
²3
1
4
Zentrifugalpotential
siehe TheoI
⎧∞; r < 0
analog SG für Teilchen d=1 im Potential = ⎨
⎩Veff (r ); r > 0
Potential
~
l (l + 1)
r2
V
V
l=0
l=1
z.B. 2 Gebundener Zustände
r
r
V
l=2
kein gebundener Zustand
r
Abbildung 11.3: Potential in Abhängigkeit von r für verschiedene l
Beachte: Da die radiale SG das „Potential“ +∞ ist für r<0, muss u (r → 0) → 0
Quantenmechanik I
62
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11.4 Gebundene Zustände – diskretes Energiespektrum
Für Veff (r → ∞ ) → 0 lauten die asymptotischen Lösungen der radiale SG wie folgt:
2m(− E )
h²
Î Lösungen sind quadratintegrabel wenn E<0 und c2=0,
d.h. gebundene Zustände nur für E<0
u (r → ∞ ) = c1e − kr + c2 e kr
mit k =
Beachte: Normierbarkeit der Wellenfunktion erfordert
∞
∞
1 = ∫ d ³r Ψ (r , Θ,ϕ ) ² = ∫ drr ² R(r ) ² ∫ dΩ Yl m (Θ,ϕ ) ² = ∫ dr u (r ) ²
1442443 0
0
=1
also die Quadratintegrierbarkeit von u.
E>0: Es gibt keine gebundenen Zustände – nur ein Kontinuum von zeitabhängigen
Streuzuständen
Quantenmechanik I
63
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12 Das Wasserstoffatom
Das Wasserstoffatom ist ein wichtiger Testfall für die QM. Es handelt sich um 2 Teilchen mit
den Massen m1 und m2 die die Ladungen ±e besitzen und mit dem Coulombpotential
wechselwirken.
Hier: Teilchen tragen keinen Spin und werden als punktförmig angenommen.
12.1 Reduktion des Zweikörperproblems auf Einkörperproblem
Wir gehen wie in der klassischen Mechanik
vor:
r
r
r r r
r m1 R1 + m2 R2
Ps = P1 + P2
;
Schwerpunktsoperator Rs =
m1 + m2
r
r
r r r r m2 P1 − m1 P2
mm
mm
Relativoperator R = R1 − R2 P =
m= 1 2 = 1 2
m1 + m2
m1 + m2
M
r2 r2
r2
r2
r
r r
P
P
P
P
H tot = 1 + 2 + V R1 − R2 = s +
+V R = Hs + H
2m1 2m2
2m 1
2m
{
4243
(
)
()
Hs
H
Da Impuls– und Ortsoperator verschiedener Teichen kommutieren:
[ Px , 1{ , X 2 ] = 0 , aber
[∂
Teilchen
x1
]
, X 2 F ( x1 , x2 ) = 0
[
]
r r
folgt: [H s , H ] = 0 und Ps , R = 0
Î Es gibt also eine Basis von Eigenvektoren von Hs und H
r
r r
r
r
Ebenso zerlege Ltot = L1 + L2 = LS + L mit:
r
r r
Bahndrehimpuls des Schwerpunktes: LS = RS × PS
r r r
Bahndrehimpuls der Relativbewegung: L = R × P
12.2 Relativbewegung von Elektron und Proton
r
⎡ P²
⎤
+ V (R )⎥ Ψ (r , Θ,ϕ ) = EΨ (r , Θ,ϕ )
Stationäre SG: ⎢
⎣ 2m
⎦
m=
V (R ) = −
me m p
me + m p
= me
1
⎛m
1+ ⎜ e
⎜m
⎝ p
⎞
⎟
⎟
⎠
, mit
me
1
≈
m p 1800
e²
Î nach §11.3: „radiale“ Schrödingergleichung für Relativbewegung mit
R
Faktorisierung
u (r ) m
Ψ (r , Θ,ϕ ) =
Yl (Θ,ϕ )
r
Quantenmechanik I
64
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⎤
⎡
⎢ h²
e² ⎥
h ²l (l + 1)
− ⎥u (r ) = Eu (r )
⎢− 2m ∂ r ² + 2mr ²
r⎥
1
424
3
⎢
Zentrifugalpotential
⎦
⎣
Charakteristische atomare Längeneinheit: Bohrradius a0 =
o
h²
1
≈ 0,52 A = λCompt
α
me ²
o
h
≈ 3,8 ⋅10 −3 A = Comptonwellenlänge des Elektrons
mc
1
e²
α=
≈
Feinstrukturkonstante
hc 137
1 e² 1 me 4 1
Charakteristische Energieeinheit: E0 =
=
= α ² mc² = h 2πν 0 mit
2 a0 2 h ²
2
Hier λCompt =
me 4
= 3,27 ⋅1015 s −1 = Rydbergkonstante und
4πh 3
E0 = 13,6eV Grundzustandsenergie: -E0
ν0 =
Dimensionslose Größen:
r
E ⎧> 0; E < 0 − geb.Zust.
ρ = ; λ² = − ⎨
a0
E0 ⎩< 0; E > 0 − gestreuterZust.
⎡
2 l (l + 1) ⎤
⇒ ⎢∂ ρ ² − λ ² + −
u (ρ ) = 0 radiale Schrödingergleichung
ρ
ρ ² ⎥⎦
⎣
12.3 Lösen der radialen Schrödingergleichung (für gebundene
Zustände)
Zuerst: asymptotisches Verhalten für ρ → ∞ :
[∂
ρ
² − λ ² ]u (ρ ) = 0 für ρ so groß, dass λ2 >>
u (ρ ) = Ae
Zustand
− λρ
+ Be
λρ
2 l (l + 1)
,
2
ρ
ρ
Î B=0 andernfalls Ψ nicht normierbar, d.h. kein gebundener
Lösungsansatz:
u (ρ ) = e − λρ F (ρ ) mit F (ρ = 0) = u (ρ = 0) = 0
(siehe §11.3)
Potenzreihenansatz: F (ρ ) = ρ s ∑ cν ρ ν mit s>0 und c0≠0
ν =0
Einsetzen in radiale Schrödingergleichung liefert für niedrigste Potenz:
[− l (l + 1) + s (s − 1)]c0 ρ s−2 e − λρ = 0
s2
=3
−l Nicht möglich wegen F (ρ = 0) = 0
⇒ s = l + 1 und 1
Koeffizientenvergleich aller ρ - Potenzen Î Rekursionsformel
cν
(ν + l )λ − 1 (*)
=2
cν −1
ν (ν + 2l + 1)
Î aus vorgegebenem c0 Æ c1 Æ c2 Æ …
Quantenmechanik I
65
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Damit ist die Lösung der radialen Schrödingergleichung bestimmt:
E
u (ρ ) = ρ l +1 ∑ cν ρ ν e − λρ : λ = −
, c0 aus Normierung
E
ν1
=0
0
424
3
Laguerre− Polynome
NR: Berechnung von (*): Benutze: ∂ 2 ( fg ) = (∂ 2 f )g + 2(∂f )(∂g ) + f (∂ 2 g )
n
⎛n⎞
∂ n ( fg ) = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ ∂ n−k f ∂ k g
k =0 ⎝ k ⎠
∂ ² (e − λρ F ) = e − λρ (λ ² − 2λ∂ + ∂ ² )F
∂F = ∑ (ν + s )cν ρ ν + s −1
(
)
ν =0
∂ ² F = ∑ (ν + s )(ν + s − 1)cν ρ ν + s − 2
ν =0
cν [λ ² ρ ν
∑
ν
+s
− 2λ (ν + s )ρ ν + s −1 + (ν + s )(ν + s − 1)ρ ν + s −2
=0
]
− λ ² ρ ν + s + 2 ρ ν + s −1 − l (l + 1)ρ ν + s −2 e − λρ = 0
Niedrigste Ordnung ν = 0, ρ s −2
c0 [s (s − 1) − l (l + 1)]ρ s − 2 e − λρ = 0
Allgemeine Ordnung ρ ν +s − 2
2[1 − λ (ν − 1 + s )]cν −1 + [(ν + s )(ν + s − 1) − l (l + 1)]cν = 0
Mit s=l+1
2[1 − λ (ν + l )]cν −1 + [(ν + l + 1)(ν + l ) − l (l + 1)]cν = 0
1444424444
3
cν
λ (ν + l ) − 1
=2
cν −1
ν (ν + 2l + 1)
c
λ (ν + l + 1) − 1
Bzw. ν +1 = 2
(ν + l )(ν + 2 + 2l )
cν
ν (ν + 2 l +1)
12.4 Energiequantisierung
Nicht alle Energieeigenwerte E, d.h. nicht alle λ, sind bei gebundenen Zuständen realisierbar.
c
2λ
Für beliebige λ würde ν ⎯ν⎯
.
⎯→
→∞
cν −1
ν
∞
D.h.
cν ρ ν ⎯⎯
⎯→ ∝ e λρ
∑
ρ
ν
2
=0
→∞
(keine Normierbarkeit möglich)
Î die Exponentialfunktion divergiert für große ρ- Beiträge von sehr hohen ρ ν
NR:
∞
aν
2λ
1
ν
e 2 λρ = ∑ aν ρ ν mit aν = (2λ )
=
ν!
aν −1 ν
ν =0
Also: Die Reihe
cν ρ ν muss abbrechen, andernfalls entsteht immer eine exponentielle
∑
ν
=0
Divergenz für ρ → ∞ .
Quantenmechanik I
66
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Abbruch, d.h.
cν +1 = 0 und cν ≠ 0 ist möglich bei jedem ν = nr mit nr = 0,1,2,.. Radialquantenzahl
E nr , l
E0 =
cν +1
1
, d.h. Abbruch für diskrete Energien.
=0⇔λ =
cν
nr + l + 1
− E0
E
=
= − 0 = En
Balmer – Formel
2
n²
(nr + l + 1)
1 e² 1
= α ² mc ² ≈ 13,6eV
2 a0 2
n = nr + 1 + l = 1,2,3,... Hauptquantenzahl
12.5 Energieniveau – spektroskopische Notation
E
1
En = − 0
n
n²
Zu fester Drehimpulsquantenzahl l gibt es abzählbar ∞ viele verschiedene Energieniveaus, die
durch nr indiziert sind und die sich gegen E=0- häufen. Jedes Niveau mit festem l ist (2l+1) –
fach entartet – symmetrieentartet – wegen der Drehsymmetrie von H. Es gibt energetisch
entartete Zustände mit verschiedenen Magnetquantenzahlen m=-l,-l+1,…,0,…,l . Für
Coulomb – Potentiale gibt es noch eine zusätzliche „Zufalls“ – Entartung wenn für
verschiedene l und nr die Hauptquantenzahl n=nr+1+l den gleichen Wert hat.
n = nr + 1 + l
λ=
Gesamtentartungsgrad des Zustands En:
n −1
n(n − 1)
g n = ∑ (2l + 1) = 2
+ n = n²
2
l =0
Beweis: Für jedes fixierte n=nr+1+l sind die l- Wertemöglich l=0 (nr =n-1), l=1 (nr=n-2)und
l=n-1 (nr=0)
Eine spektroskopische Notation (Begriff aus der Zeit vor QM) zur Klassifizierung der mit
verschiedenen Energieniveaus verknüpften Linienspektren wurde zur Identifizierung der
Energieniveaus in der QM übernommen:
Korrespondenz:
l
Spektroskopie
0
s
1
p
2
d
3
f
4
g
Abbildung 12.5: Termschema für Coulomb - Potential
Quantenmechanik I
67
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Zustände n, l , m (m hier nicht aufgenommen)
z.B. 2 p = n = 2, l = 1
3 -fach symmetrieentartet (m=-1,0,1) und zufällig
entartet mit 2s
12.6 Wellenfunktionen
Wellenfunktionen werden eindeutig durch n, l, m, d.h. durch Eigenwerte von H, L², Lz
festgelegt.
r
1
E
n = nr + 1 + l
Ψn ,l ,m (r ) = Rn,l (r )Yl m (Θ,ϕ )
= λ² = −
n²
E0
1
Rn ,l (r ) = u n ,l (r ) = N n ,l ρ l e −λρ
F r (ρ )
{
1n2
3
r
Normierung
Laguerre Polynom(Ordnung:n r )
r
Ψn.l ,m (r ) = Rn.l (r )Yl m (Θ,ϕ )
n, l, m
N
ρl
Fnr (ρ )
1, 0, 0
2
a0 ³
1
1
2, 0, 0
1
2a 0 ³
1
2, 1, 0
1
24a0 ³
ρ
⎛ ρ⎞
⎜1 − ⎟
⎝ 2⎠
1
2, 1, ±1
1
24a0 ³
ρ
1
e
−
ρ
n
Yl m (Θ, ϕ )
e−ρ
1
4π
1s
ρ
1
4π
2s
3
cos Θ
4π
2p
e
e
e
−
−
−
2
ρ
2
ρ
2
m
3
sin Θe ±iϕ
8π
a0 ³ Rn,l (r )
n = 1, l = 0 : 2e − ρ
ρ
n = 2, l = 1 :
−
1
ρe 2
24
ρ
n = 2, l = 0 :
Niveau
1 ⎛ ρ ⎞ −2
⎜1 − ⎟e
2⎝ 2⎠
ρ=
r
a0
Abbildung 12.6a: Rn.l (r ) für verschiedene n
Rn,l (ρ → 0) ∝ ρ l
Nur für l=0, d.h. s-Zustände, sind für r Æ0 die Wellenfunktionen endlich!
2p
Quantenmechanik I
68
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
r
Das heißt nicht, dass das Elektron sich im Kern aufhält, da die Wahrscheinlichkeit dW (r ) , das
Elektron im Volumenelement d 3 r = r 2 drdΩ anzutreffen:
r
r
dW (r ) = Ψ (r ) ² d ³r = r ² Rn ,l (r ) ² dr Yl m (Θ,ϕ ) ² dΩ
14243 14
42
44
3
~
dP ( r )
dP ( Ω )
dP(r ) : Wahrscheinlichkeit, Elektron in Kugelschale zwischen r und r+dr zu finden
∝ r 2 (l +1) für kleine rÆ0, bei r=0 auch für l=0
~
dP (Ω ) : Wahrscheinlichkeit, Elektron im Raumwinkel dΩ = sin ΘdΘdϕ zu finden
1
4π
3
cos ² Θ
4π
5
(3 cos ²Θ − 1)²
16π
Abbildung 12.6b: Polardiagramme von Ψl
m
(Θ,ϕ ) ² - Pfeillänge gibt Größe an
Wasserstoffatom im elektromagnetischen Feld:
• Paramagnetismus
• Diamagnetismus
• Zeeman Effekt
• Stark – Effekt
• Feinstruktur des Energieniveaus durch Spin – Bahn WW (siehe später)
• Strahlungsübergänge (siehe später)
13 Stationäre Theorie der elastischen Streuung
Streuung von Teilchen aneinander: Wichtigstes und vielbenutztes Verfahren um
Informationen über WW der Teilchen zu erhalten.
(1’)
(1)
(2’)
(2),(3),(4)
(3’)
Abbildung 13: elastische Streunung
Einfall:
Target:
Ausfall:
Teilchen der Sorte
Teilchen der Sorte
Teilchen der Sorte
(1)
(2), (3), (4)
(1’), (2’), (3’)
i.A. nicht identisch
Quantenmechanik I
69
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
13.1 Einschränkungen
Hier Spezialfall:
a) Einfall: (1); Target: (2); Ausfall: (1) und (2) Æ Streuung, keine Reaktion
b) Spin der Teilchen vernachlässigen
c) Elastische Streuung: Energie wird nicht in inneren Freiheitsgrade der Teilchen
transferiert
d) Teilchen (1) wird nur einmal an einem Targetteilchen (2) gestreut – keine weitere
Streuung an zusätzlichen Teilchen des Targets.
e) Keine Interferenz der von verschiedenen Targetteilchen gestreuten Teilchen (1)
(schließt z.B. kohärente Streuung von Neutronen am Kristallgitter aus)
r r
f) Wechselwirkung zwischen (1) und (2) wird durch Potential V (r1 − r2 ) beschrieben Î
im Schwerpunktsystem entspricht das der Streuung eines Teilchens der reduzierten
r
r r r
mm
Masse m = 1 2 im Potential V (r ) mit r = r1 − r2
m1 + m2
r
g) V (r ) ist „kurzreichweitig“: Æ0 für große r, so dass für große r die Gesamtenergie =
kin. Energie ist.
13.2 Stationäre Streutheorie: Lippmann-Schwinger Gleichung
Mit obigen Einschränkungenrist dasr Streuproblem ein 2-Körper-Problem mit t unabhängigem
r r
P²
P²
Hamilton – Operator H tot = 1 + 2 + V (r1 − r2 ) ,
2m1 2m2
das durch Übergang ins Schwerpunktsystem (s. §12.1) auf ein 1- Körperproblem reduziert
werden kann mit Hamilton – Operator für Relativbewegung:
r
r
h ²∇ ²
+ V (r ) = H 0 + V (r )
H =−
2m
12
3
H0
Stationäre Schrödingergleichung:
h 2k ²
r 2m r
[H 0 + V (rr )]Ψ (rr ) = EΨ (rr )
mit E =
,
U (r ) =
V (r )
h²
2m
(∇² + k ² )Ψ(rr ) = U (rr )Ψ(rr )
Statt direkte Lösung obiger DGL: Umwandlung in Integralgleichung (Lippmann-Schwinger
Gleichung), die approximativ leichter zu lösen ist, mit der Greenfunktion G± (r ) des
Differentialoperators ∇² + k ² .
(∇² + k ² )G± (r ) = δ (rr ) → (− q² + k ² ± iq )G(q ) = 1
r
r
r r
r
r
Ψ (r ) = Ψ0 (r ) + ∫ d ³r ' G± ( r − r ' )U (r ')Ψ (r ')
In E – Dynamik: Quelldichte (ρ)
r
Hier ist Ψ0 beliebige Lösung der homogenen DGL (∇ ² + k ² )Ψ0 (r ) = 0 bei Abwesenheit des
Potentials.
r
r
r r
r
r
Check: (∇ ² + k ² )Ψ (r ) = (∇ ² + k ² )Ψ0 (r ) + ∫ d ³r (∇ ² + k ² )G ( r − r ' )U (r ')Ψ (r ')
144244
3
144
42
444
3
r r
=0
δ (r −r ' )
r
Zustandswellenfunktionen = Überlagerung von Anteil Ψ0 (r ) , der vom Potential nicht
beeinflusst wird und einem Anteil ∫ d ³r ' GUΨ der vom Potential beeinflusst wird.
Quantenmechanik I
70
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
r
D.h. Ψ0 (r ) beschreibt die einfallenden und nicht die gestreuten Teilchen. Falls einfallende
Teilchen keine Impulsstreuung haben, braucht man keine Wellenpakete von verschiedenen
Impulseigenfunktionen zu nehmen, sondern:
rr
3
3
pr
r
r ⎛ 1 ⎞ 2 i h ⎛ 1 ⎞ 2 ikrrr
r
Ψ0 (r ) = ⎜
Impulseigenfunktion zum EW p = hk
⎟ e =⎜
⎟ e
⎝ 2πh ⎠
⎝ 2πh ⎠
Die Greensfunktion ist G± (r ) = −
1 1 ±ikr
e
4π r
r ⎛ 1 ⎞
G± (r ) = ⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
3
rr
2
∞
e iq r
e iqr − e − iqr
⎛ 1 ⎞ 1
³
=
d
q
dq
⎜
⎟
∫ k ² − q² ± iη ⎝ 2π ⎠ ir ∫0 k ² − q² ± iη q
∞
1
qe iqr
=
dq
4π ²ir −∫∞ k ² − q ² ± iη
Physikalisch relevante Lösung ist G+(r):
E
−i t
h
Mit der Zeitabhängigkeit e ergibt 2. Term der Lippmann- Gleichung:
r r
E
± ik r − r '
−i t e
r
r
∝ e h r r U (r ')Ψ (r ')
r −r'
⎧+ ⎫
für ⎨ ⎬ eine
⎩− ⎭
⎧von ⎫ r ⎧aus ⎫
h²k ²
⎨
⎬r ' ⎨ ⎬ laufende Kugelwelle der Energie E =
2m
⎩auf ⎭ ⎩ zu ⎭
⎛ r r hk ⎞
ik ⎜ r − r ' −
t⎟
2m ⎠
⎝
z.B.: ⊕ : e
Damit folgt die Lippmann- Schwinger Gleichung für die Wellenfunktion:
r
r
r r
r
r
Ψ (r ) = Ψ0 (r ) + ∫ d ³r ' G+ ( r − r ' )U (r ')Ψ (r ')
r
pr
i r
h
r r
ik r − r '
r
1 e
e
r
2m r
G+ = −
Ψ0 (r ) =
V (r ')
r r U (r ') =
3
4π r − r '
h
(2πh )2
13.3 Lippmann-Schwinger Gleichung im Hilbertraum
r
r
Gleichung nicht für r Ψ = Ψ (r ) sondern für Zustandsvektor Ψ
SG:
( E ± iη ) Ψ = ( H 0 + V ) Ψ
η →0
(E ± iη − H 0 ) Ψ
=V Ψ
Î LSG: Ψ± = Ψ0 +
1
E ± iη − H 0
V Ψ±
wobei (E ± iη − H 0 ) Ψ0 = 0 d.h. Ψ0 ist EV zu H0 mit EW E
r
z.B.: Ψ0 = p Impulseigenzustand
Beachte: H0 ist Operator, also:
1
E ± iη − H 0
Physikalisch relevante Lösung : ⊕ Ψ+
:= (E ± iη − H 0 )
−1
Quantenmechanik I
71
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Approximative Darstellung durch Iteration:
V1
V2
644
47
444
8 644444444
47
444444444
8
0
V
}
Ordnung
1
1
1
1
Ψ+ = Ψ0 +
V Ψ0 +
V
V
V Ψ0 + ...
E + iη − H
E + iη − H 0 E + iη − H 0 E + iη − H 0
144442440 443
1.BornscheNäherung(s.später)
1. Bornsche Nährung gilt, falls E groß und / oder V klein.
Obige Lippmann- Schwinger Gleichung für Ψ ist äquivalent zur LSG für Wellenfunktion in
1
r
r
r
r
Ortsdarstellung: Ψ± (r ) = r Ψ± = r Ψ0 + ∫ d ³r ' r
E ± iη − H 0
r
r
r r 2m r
r
Ψ± (r ) = Ψ0 (r ) + ∫ d ³r ' G± ( r − r ' ) V (r ')Ψ± (r ')
h4
² 24
1
3
r
r r
r ' r ' V Ψ±
U (r ' )
p2
Ersetzung : H 0 =
2m
r r r r
r p p r'
r !
r r
h² r
1
Zeige:
r
r ' = G± ( r − r ' )
2m
E ± iη − H 0
h²
1
d³p
=
∫
E ± iη − H 0
2m
{
Ersetzung
=
h²
d³p
2m ∫
1
E ± iη −
e
i
r
p r r
(r −r ' )
h
p (2πh )³
2m
2
r
r
h²k ²
mit p = hq; E =
2m
r r r
r r
1
e iq ( r − r ' )
=
d
³
r
= G± ( r − r ' )
∫
(2π )³
k ² ± iη − q ²
13.4 Streuamplitude
r r
hk = p
r
n
r
r
Beobachtungspunkt
r r
r − r'
r
r r
n=
r
r
r'
r
r r
r
Definition: k ' = n k = k
r
Abbildung 13.4: Streuexperiment
r
Sei Potential U (r ) nur im endlichen Raumbereich ≠ 0 Æ entwickle (analog zu
Multipolentwicklung in E – Statik) für r>>r’
Quantenmechanik I
72
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rr
r
2
r r
⎛ r r'
rr '
⎛ r' ⎞
⎛ 1 ⎞⎞
r − r ' = r 1+ ⎜ ⎟ − 2
= r ⎜⎜1 − n + O⎜ 2 ⎟ ⎟⎟
r²
r
⎝r⎠
⎝ r ⎠⎠
⎝
Einsetzten in Lippmann- Schwinger Gleichung:
r
p
i r
h
r r
ik r − r '
r
r
r
e
1
e
r
Ψ p (r ) =
−
d ³r ' r r U (r ')Ψ pr (r ')
3
∫
r − r'
(2πh )2 4π
r
r
Wellenfunktion für Streuproblem, wenn Teilchen mit p = hk einfallen
r
pr
i r
h
rr
r
r
r
e
e ikr ⎛ 1 ⎞
−ikn r '
Ψ pr (r ) ⎯r⎯
⎯
→
+
−
d
³
r
'
e
U (r ')Ψ pr (r ')
⎜
⎟
→∞
3
∫
(2πh )2 r ⎝ 4π ⎠
r
r
p = hk '
rr
r
r 0 e ikr ⎛ 1 ⎞
r
r
− ik ' r '
r +
'
³
'
r Ψ pr ⎯⎯
⎯
→
r
Ψ
−
d
r
e
⎜
⎟
p
{ r ' U (r ') Ψ pr ;
r →∞
∫
1
42
4
3 r ⎝ 4π ⎠
3 r r
r r
=( 2πh ) 2 p ' r '
r p
r
r 0 e ikr
⎯
→
Ψ pr +
r Ψ pr ⎯⎯
r
r →∞
r
⎡ − (2πh ) 2 ⎤ r
r
⎢
⎥ p ' U (r ') Ψ pr
⎣⎢ 4π ⎦⎥
3
r
In der Streutheorie ist es üblich, statt Impulseigenzuständen p Wellenvektoreigenzustände
r
r
r
k zu benutzen.
Zusammenhang: p = hk
3
r r
r r
⎛1⎞
p p ' = δ ( p − p ') = δ ( p x − p x ')δ ( p y − p y ')δ ( p z − p z ') = ⎜ ⎟ δ (k − k ')
⎝h⎠
1
Bem.: δ (ax ) = δ ( x )
a
3
r
r
Mit der Definition k := h 2 p sind dann auch die Zustandsvektoren k auf die δ- Funktion
„normiert“:
r r
r r
k k' =δ k −k'
(
)
3
3
r
pr
3
3
i r
r r
r r
h2
⎛ 1 ⎞ 2 ikrrr
0 r
0 r
h
2
2
r
r
Ferner gilt: r k = Ψk (r ) = ⎜
e
⎟ e , da h r p = h Ψ p (r ) =
3
⎝ 2π ⎠
(2πh )2
3
r
r
r Ψkr = h 2 r Ψ pr
3
r
r
Ψ (r ) = h 2 Ψ pr (r )
r
k
Damit wird die Lippmann- Schwinger Gleichung für große r:
rr
3
⎤
r r
r r 0 e ikr ⎡⎢ (2π ) 2
r
−
r Ψk = r Ψk +
k ' U (r ) Ψkr ⎥
r ⎢ 4π
⎥
⎣
⎦
rr
i
k
r
r
r r ⎤
r
1 ⎡ ikrr e
f k,k ' ⎥
r Ψkr =
e +
3 ⎢
r
⎥⎦
(2π )2 ⎢⎣
r
ebene Welle + vom Target auslaufende ⋅ Streuamplitude
Wellenfunktion Ψkr (r ) =
( )
für rÆ∞
von Einlauf
Kugelwelle
i.A. aus C
Quantenmechanik I
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( )
r r
r
1
(2π )³ k ' U (rr ') Ψkr =Streuamplitude
f k,k ' = −
4π
rr
1
(2π )³∫ d ³r '3 e −ik 'r 'U (rr')Ψk (rr ')
=−
4π
(2π )2
r
r r
r
r
r
r
2m r
U (r ') =
V (r ') ; k ' = n k = k ; Ψkr (r ') = r ' Ψkr
h
r
13.5 Streuquerschnitt (Wirkungsquerschnitt)
Abbildung 13.5: Streuquerschnitt
r
r
r k
r
k'
dFi = dFi dFS = dFS dFS = r ² dΩ = r ² sin ΘdΘdϕ
k
k'
Streuquerschnitt:
Zahl der Teichen die pro Zeit im Raumelement dΩ bei Θ,ϕ gestreut werden
dσ (Θ,ϕ ) =
Zahl der Teichen die pro Zeit und pro Fläche dFi (⊥ k)einströmen
dN S
dt
[Länge²]
=
dN i 1
dt dFi
r r
r r r r r r
const ⋅ j s dFs
j k ; jS k '; ji k
=
r r 1
const ⋅ ji dFi
dFi
r
r
j S dFS
jS
= r
= r r ² dΩ
ji
ji
Wahrscheinlichkeitsstromdichte:
r
3
r 1 ⎡ (0 ) r * h
r
1
k
h
⎤
⎛
⎞
ji = Re ⎢ Ψkr (r ) ∇Ψk0 (r )⎥ = ⎜
⎟
m ⎣
i
⎦ ⎝ 2π ⎠ m
(
)
r
dFi
( )
r r
r
*
r ⎛ 1 ⎞ 3 1 ⎡⎛ e ikr ⎞ h ⎛ e ikr ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ 3 hk ' f k , k '
jS = ⎜
Re ⎢⎜⎜
f ⎟⎟ ∇⎜⎜
f ⎟⎟⎥ = ⎜
⎟
⎟
r²
⎝ 2π ⎠ m ⎢⎣⎝ r ⎠ i ⎝ r ⎠⎥⎦ ⎝ 2π ⎠ m
Differentieller Wirkungsquerschnitt:
r r 2
r
dσ (Θ,ϕ )
3
= f k , k ' = (2π ² ) k ' U Ψkr
dΩ
( )
2
2
r
dFs
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13.6 Born’ sche Näherung
Löse Lippmann- Schwinger Gleichung bis zur Ordnung V1. Dies entspricht der 1. Bornschen
Näherung!
Ψ ≈
{ Ψ0 +
1. BN
1
E + iη − H 0
Ψ0
{
V
anstelle von Ψ
Bei der iterativen Lösung der Lippmann – Schwinger Gleichung werden Therme ~V2 und
höher, ignoriert.
Î
a) Streuamplitude in erster Bornscher Näherung:
r r
(2π )³ kr ' U
f (1) k , k ' = −
4π
( )
r
k{
∫ d ³r
statt Ψkr
r r r
r
1
i (k − k ' )r
d
³
re
U (r )
∫
4π
rr
r
1 2m
iq r
=−
d
³
re
V (r )
∫
4π h ² 142
4 r43
4
r
=−
r r r r
k'U r r k
r r r r r
= ∫ d ³rU (r ) k ' r r k
r r r
q = k −k'
V ( − q )=V *( q )daV ∈ℜ
b) Streuquerschnitt in erster Bornscher Näherung:
r 2
dσ (1) (Θ,ϕ ) ⎛ m ⎞
=⎜
⎟ V (q )
dΩ
⎝ 2πh ² ⎠
2
Aus Messung des Streuquerschnitts:
r
r
⇒ V (q )⇒
Potential bestimmbar
{V (r )
FT
r r r r
k q = k −k'
r
k'
Θ
ϕ
Abbildung 13.6: Darstellung von
r
k = (0,0, k )
c) Zentralpotential: V (r )
;
r
k'
r
r=r
rr
r
r
r r r
Θ
V (q ) = ∫ d ³re − iqr V (r ) = V * (q ) = V (q ) hängt nur von q = k − k ' = 2k sin ab
2
Î Streuamplitude
Quantenmechanik I
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( )
r r
m
m ⎛
Θ⎞
f (1) k , k ' = −
V (q ) = −
V ⎜ 2k sin ⎟ ist reell und hängt nur von k und Θ ab
2πh ²
2πh ² ⎝
2⎠
Θ
über Kombination 2k sin
2
dσ (1) (Θ,ϕ ) ⎛ m ⎞ 2 ⎛
Θ⎞
Θ
Ebenso hängt der Streuquerschnitt
ab.
=⎜
⎟ V ²⎜ 2k sin ⎟ nur von 2k sin
dΩ
2⎠
2
⎝
⎝ 2πh ² ⎠
d) Rutherford Streuformel:
Man geht aus vom Yukawa Potential: V (r ) =
f (1) (q ) = −
V0 −κr
e
r
2m
1
V0
h²
q² + κ ²
2
⎡
⎤
2
⎥
dσ (1) ⎛ 2m ⎞ 2 ⎢
1
1 ⎛ ZZ ' e² ⎞
1
⎥ = ⎜
=⎜
⎟
⎟ V0 ² ⎢
dΩ ⎝ h ² ⎠
⎢ 4k ² sin 2 ⎛ Θ ⎞ + κ ² ⎥ 16 ⎝ E ⎠ sin 4 Θ
⎜ ⎟
⎢
⎥
2
⎝2⎠
⎣
⎦
Im Limes κ → 0 und V0 = ZZ 'e 2 geht das Yukawa Potential über in das Coulomb Potential
e2
ZZ ' . Für diesen Limes folgt dann aus der 1. Bornschen Näherung die Rutherford
r
Streuformel:
dσ (1) 1 ⎛ ZZ ' e² ⎞ 2 1
h²k ²
= ⎜
mit E =
⎟
dΩ 16 ⎝ E ⎠ sin 4 Θ
2m
2
13.7 Partialwellenzerlegung
r
für zentralsymmetrische Potentiale V ( r ) - Drehimpuls ist zeitlich erhalten
Methode:
rr
Darstellung der einfallenden Welle ∝ e ikr und der gestreuten Welle als Überlagerung von
Partialwellen (mit verschiedenen l – Quantenzahlen) = gemeinsame Eigenfunktionen von L²
und H
a) Darstellung einer ebenen Welle durch Partialwellen:
r
Zuerst: Partialwellen eines freien Teilchens = ϕ k(0,l),m (r ) = Rk( 0,l) (r )Yl m (Θ,ϕ )
= Eigenfunktion von H 0 = −
h²k ²
, h ²l (l + 1) und hm
2m
Also:
h ²∇ ²
2m
(V (r → ∞ ) = 0 ) , L² und Lz zu den Eigenwerten
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h²k ² ⎫
⎧
⎪ H 0 − 2m ⎪
⎪
⎪ ( 0) r
⎨ L ² − h ²l (l + 1)⎬ϕ k ,l ,m (r ) = 0
⎪ L − hm
⎪
⎪ z
⎪
⎩
⎭
Rk( 0,l) (r ) =
2k 2
π
jl (ρ ) = Radialfunktion des freien Teilchens, ρ=kr
jl = sphärische Besselfunktion der Ordnung l
j0 (ρ ) =
j1 (ρ ) =
sin ρ
ρ
⎤
1 ⎡ sin ρ
− cos ρ ⎥
⎢
ρ⎣ ρ
⎦
j2 =
3
ρ
j1 − j0
Abbildung 13.7a: sphärische Besselfunktionen
Allgemein:
jl +1 =
2l + 1
ρ
jl ( ρ ) →
jl − jl −1
ρl
für ρ << l
1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2l + 1)
1 ⎛
π⎞
jl (ρ → ∞ ) → sin ⎜ ρ − l ⎟
ρ ⎝
2⎠
r
r
r
Betrachte einfallenden Wellenvektor k = (0,0, k ) mit k =Eigenvektor von H0 und P zum
Asymptotik:
3
3
r
r r
r ⎛ 1 ⎞ 2 ikrrr ⎛ 1 ⎞ 2 ikr cos Θ
h²k ²
und hk ; also r k = Ψkr( 0 ) (r ) = ⎜
Eigenwert
⎟ e =⎜
⎟ e
2m
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
r
Darstellung dieser ebenen Welle durch Partialwellen ϕ k( 0,l),m (r )
∞
3
(2π )2 Ψkr(0) (rr ) = e ikr cos Θ = ∑ i l 4π (2l + 1) π
l =0
Rk( 0,l) (r )Yl 0 (Θ )
1
4 43
4
2k ² 42
r
ϕ k( 0,l), m = 0 ( r )
jl (ρ )
= ∑ i l 4π (2l + 1) jl (ρ )Yl 0 (Θ )
l =0
Quantenmechanik I
77
= ∑ i l (2l + 1) jl (ρ )Pl (cos Θ ) mit
l =0
1
4444244443
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4π 0
Pl (cos Θ ) =
Yl (Θ )
1
424
3
2l + 1
Legendre Polynom
*
Legendre Polynome:
[
1
(3x ² − 1) P3 (x ) = 1 x(5 x ² − 3) Pn (x ) = 1n 1 ∂ nx (x ² − 1)n
2
2
2 n!
Diese Darstellung der ebenen Welle folgt auch aus der Integraldarstellung der sphärischen
Besselfunktionen:
1
1
τ = cos Θ
jl (ρ ) = l ∫ dτPl (τ )e iρτ
2i −1
P0 = 1 P1 (x ) = x
P2 ( x ) =
]
Multiplikation von * mit Pl ' (τ ) und Integration:
1
1
∞
− ∫ dτe iρτ Pl ' (τ ) = ∑ i l (2l + 1) jl (ρ )∫ dτPl (τ )Pl ' (τ )
l =0
−1
−1
14
4244
3
2
δ l ,l '
2 l +1
Asymptotik für r Æ∞:
π ⎞
⎛
⎡
⎤
sin ⎜ ρ − l ⎟
−iρ i π l
iρ − i π l
⎢
⎥
π ( 0)
e
2 ⎠ i e
= ⎢
Rk ,l (r → ∞ ) = jl (ρ → ∞ ) = ⎝
e2 −
e 2 ⎥
2k ²
ρ
2⎢ ρ
ρ 3⎥
1
424
3 1
424
⎣ auslaufende einlaufende ⎦
Kugelwelle
Also ebene Welle für rÆ ∞
3
⎡ e − iρ i π2 l e iρ −i π2 l ⎤ 0
i
(0) r
l
r
(2π )2 Ψk (r ) ⎯⎯
e −
e ⎥Yl (Θ )
⎯→ ∑ i 4π (2l + 1) ⎢
r →∞
ρ
2 l =0
⎣ ρ
⎦
r
b) Darstellung von Ψkr (r ) durch Partialwellen:
r
h ²∇ ²
h²k ²
Ψkr (r ) = Eigenfunktion von H = −
+ V (r ) zum Eigenwert
2m
2m
h²k ² ⎤ r r
⎡ h ²∇ ²
⎢⎣− 2m + V (r ) − 2m ⎥⎦ Ψk (r ) = 0
∞
(2π )2 Ψkr (rr ) = ∑ i l
3
4π (2l + 1)
π
Rk ,l (r )Yl 0 (Θ )
2
²
k
l =0
Beschränkung auf m=0- Zustand, da einlaufende, ebene Welle m=0- Zustand war, und
das Potential V(r) den Drehimpuls Lz nicht ändert. Lz ist Erhaltungsgröße.
rRk ,l (r ) = u k ,l (r ) gegeben durch Lösung der radialen Schrödingergleichung
h²k ² ⎤
⎡ h ² 2 h ²l (l + 1)
⎢⎣− 2m ∂ r + 2mr ² + V (r ) − 2m ⎥⎦u k ,l (r ) = 0
Für rÆ∞, d.h. dort wo Potential V (r → ∞ ) → 0 (und ebenso das Zentrifugalpotential), dort
gilt:
Quantenmechanik I
78
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π
π
i ⎡ e − iρ i 2 l e iρ − i 2 l 2 iδ l ⎤
Rk ,l (r → ∞ ) = ⎢
e −
e e ⎥
2k ²
2⎣ ρ
ρ
⎦
π
Das bei r=0 wirkende Potential verursacht eine Phasenverschiebung 2δ l (k ) der auslaufenden
Kugelwelle relativ zur freien Welle in Rk( 0,l) (r ) [Faktor 2 ist Konvention!]
⎡ e iρ ⎤
Re⎢ ⎥
⎣ρ ⎦
⎡ e iρ 2iδ l ⎤
Re⎢ e ⎥
⎣ρ
⎦
2δl
Abbildung 13.7b: Phasenverschiebung
( e i 2δ l = 1 + 2ie iδ l sin δ l benutzen)
π
2k ²
3
Rk ,l (r → ∞ ) =
π
e iρ
⎛ ⎞ − i 2 l iδ l
Rk( 0,l) ⎜ r{ ⎟ + e{
e sin δ l
und damit
2k ²
ρ
⎝ r →∞ ⎠ ⎛ 1 ⎞l
π
⎜ ⎟
⎝i⎠
⎡
l
e ikr ⎤
⎛1⎞
4π (2l + 1)Yl ( 0 ) (Θ )⎜ ⎟ e iδ l sin δ l
⎥
kr ⎥⎦
⎝i⎠
l =0
⎢⎣
3⎡
e ikr ⎤
= (2π ) 2 ⎢Ψkr( 0 ) (r → ∞ ) + f (k , Θ ) ⎥
kr ⎦
⎣
3
∞
(2π )2 Ψkr (r → ∞ ) = (2π )2 ⎢Ψkr(0) (r → ∞ ) + ∑ i l
Daraus folgt:
c) Streuamplitude:
1 ∞
∑ 4π (2l + 1)e iδl (k )Yl (0) sin δ l (k ) ausgedrückt durch Streuphasen δ l (k ) der
k l =0
Partialwellen zur Drehimpulszahl l.
f (k , Θ ) =
Speziell: Im( f ) für Vorwärtsstreuung (Θ = 0)
1 ∞
Im( f (k , Θ = 0 )) = ∑ (2l + 1)sin ²δ l (k )
k l =0
Quantenmechanik I
79
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d) Streuquerschnitt:
dσ
2
= f (k ,Θ )
dΩ
Totaler Streuquerschnitt: σ = ∫ dΩ
=
1
∑ 4π
k ² l ,l '
=
4π
k²
(2l + 1)(2l '+1)e (δ −δ
l
l =0
)
sin δ l sin δ l ' ∫ dΩYl 0* (Θ )Yl 0'
144244
3
δ l ,l '
∞
∑ (2l + 1)sin ²δ
l'
dσ
2
= ∫ dΩ f (k , Θ )
dΩ
l
≤
4π
k²
∞
∑ (2l + 1)
l =0
e) Optisches Theorem:
σ=
4π
Im( f (k , Θ = 0 ))
k
Gesamtstreuquerschnitt =
4π
Im(Vowärtsstr euamplitude )
k
f) Praktische Anwendung der Partialwellenmethode:
Theorie: V (r)- Modell Î Rk ,l (r ) ⇒ δ l (k )
∀l
dσ
und versuche daraus δ l zu bestimmen (Einschussenergie und
dΩ
Potential so, dass nur wenige Partialwellen angeregt sind) z.B. δ 0 δ1 …
Experiment: Messe
Quantenmechanik I
80
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14 Allgemeine Theorie des Drehimpulses
r
r
Hier: rein algebraische Theorie, die für Bahndrehimpuls L und Spindrehimpuls S
gleichermaßen gültig ist.
14.1 Definitionen
+
Drehimpulsoperator: = Satz von 3 Operatoren J i = J i (i=1,2,3) die die
Vertauschungsrelation [J 1 , J 2 ] = ihJ 3 und zyklisch erfüllen.
Theorie des quantenmechanischen Drehimpulses beruht ausschließlich auf diesen 3
Kommutator- Relationen.
r
+
Ferner: J ² := J x2 + J y2 + J z2 und „Leiteroperator“ J ± := J x ± iJ y (J ± ) = J m nicht hermitesch,
(analog a+, a)
[Jr², J ] = 0 ;
Es gilt: [J z , J ± ] = ±hJ ± ;
[J + , J − ] = 2hJ z
±
r
14.2 Eigenwerte von J 2 und Jz
[
]
r
Es gilt: J ², J i = 0
∀i
r
Während Ji und Jj nicht gleichzeitig scharf messbar sind, ist J 2 und irgendeine Komponente Ji
r
kommensurabel. Lege das Koordinatensystem so, dass die zusätzlich zu J 2 messbare Größe Jz
ist.
r
Problem: Gemeinsame Eigenvektoren von J 2 und Jz und die zugehörigen Eigenwerte
r
J² Ψ = µ Ψ
J z Ψ =ν Ψ
Die Eigenvektoren seien auf Eins normiert: 1 = Ψ Ψ
r
a) Eigenwerte von J 2 sind größer 0:
r
Dies folgt aus: Ψ J ² Ψ = ∑ Ψ J i J i Ψ = ∑ J i Ψ J i Ψ ≥ 0
i
Setzte µ = h ² j ( j + 1) wegen Schreibarbeit.
Setzte ν = mh Eigenwert von Jz
i
h ² wegen [J ² ] = [h ² ]
Vereinfachung der Notation:
r
Ψ = j, m = Eigenvektor von J 2 zum Eigenwert h ² j ( j + 1)
= Eigenvektor von Jz zum Eigenwert hm
Quantenmechanik I
81
2
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2
1⎞ ⎛
1⎞
⎛
b) Es gilt ⎜ m − ⎟ ≤ ⎜ j + ⎟ :
2⎠ ⎝
2⎠
⎝
2
2
2
Hilfe: J + J − = (J x + iJ y )(J x − iJ y ) = J x + J y − i (J x J y − J y J x ) = J ² − J z + hJ z
Damit folgt:
2
0 ≤ J − Ψ J − Ψ = Ψ J + J − Ψ = Ψ J ² − J z + hJ z Ψ = [ j ( j + 1) − m ² + m]h ²
2
1⎞ ⎛
1⎞
⎛
⇒ j ( j + 1) ≥ m² − m bzw. ⎜ j + ⎟ ≥ ⎜ m − ⎟
2⎠ ⎝
2⎠
⎝
2
1⎞ ⎛
1⎞
⎛
c) Es gilt: ⎜ m + ⎟ ≤ ⎜ j + ⎟
2⎠ ⎝
2⎠
⎝
2
2
Dies folgt aus:
2
0 ≤ J + Ψ J + Ψ = Ψ J − J + Ψ = Ψ J x ² + J y + i (J x J y − J y J x ) Ψ = [ j ( j + 1) − m ² − m]h ²
⇒ j ( j + 1) ≥ m² + m
Aus b) und c) folgt:
d) − j ≤ m ≤ j :
Lösung
mmin = − j
mmax = j
j+
m+
1
2
m−
1
2
1
2
Abbildung 14.2a: Zeichnerische Darstellung von − j ≤ m ≤ j
Zur Bestimmung der Eigenwerte j, m benutzen wir eine algebraische Technik wie in
Übungsaufgabe zum hamiltonschen Oszillator.
J z (J − Ψ ) = J − ( J z − h ) Ψ = h(m − 1)(J − Ψ
)
Also ist (J − Ψ ) Eigenvektor von Jz zum Eigenwert h(m − 1) .
D.h. J − j , m = C− ( j , m ) j, m − 1 , wobei auch j , m − 1 auf Eins normiert sein soll. Damit lässt
sich C- bestimmen:
2
j, m J + J − j, m = C− ( j, m ) j, m − 1 j, m − 1
1442443
=1
Quantenmechanik I
82
h ²[ j ( j + 1) − m ² + m] = C − ( j , m )
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
2
Wähle Phase von j , m − 1 so, dass C− ∈ R
d.h.
e) J − j , m = h j ( j + 1) − m(m − 1) j , m − 1
ebenso folgt:
f) J + j , m = h j ( j + 1) − m(m + 1) j , m + 1
J z (J + Ψ ) = J + (h + J z ) Ψ = h(m + 1)(J + Ψ
)
J + j, m = C+ ( j, m) j, m + 1
Bestimme C+ aus j , m J − J + j , m = C + ( j , m )
2
j, m + 1 j, m + 1
1442443
=1
2
h ²[ j ( j + 1) − m(m + 1)] = C + ( j , m )
Wähle Phase von j , m + 1 so, dass C+ ∈ R
Wiederholtes Anwenden von J ± auf j, m erzeugt sukzessive Eigenvektoren von Jz mit
jeweils um ± h veränderten Eigenwerten.
Diese Sequenz der so erzeugten Eigenvektoren muss abbrechen, da die Bedingung
− j ≤ m ≤ j eine Schranke für m ist.
∃ mmax ≤ j mit mmax + 1 > j so, dass:
J + j , mmax = h j ( j + 1) − mmax (mmax + 1) j , mmax + 1
1
424
3 14444244443 14243
letzter
zulässiger
Eigenvektor
0
wegen
Ungleichung
verboten
Î Sequenz bricht bei mmax=j ab
∃ - j ≤ mmin und mmin − 1 < − j so, dass:
J − j , mmin = h j ( j + 1) − mmin (mmin − 1) j , mmin − 1 also mmin=-j
1
424
3 14444244443 14243
letzter
zulässiger
Eigenvektor
0
wegen
Ungleichung
verboten
Das heißt, m nimmt Werte m=-j,-j+1,….,j-1,j an, wobei m sowohl von oberer als auch von
unterer Grenze ausgehend jeweils um eine ganze Zahl erniedrigt bzw. erhöht werden kann
(durch Operation J- bzw. J+)
Quantenmechanik I
83
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Also kann 2j nur eine ganze Zahl sein:
1
j = ⋅ ganze Zahl
2
j-n
-j
k- Schritte
–j+k
n- Schritte
j
Abbildung 14.2b: Sequenzen
j − n = − j + k ⇒ 2 j = n + k = ganze Zahl
Beachte:
Benutzt werden nur Kommutator- Relationen und Hermitizität von J1, J2, J3 d.h. dies sind
auch Resultate für Operatoren mit denselben Kommutator-Relationen.
Beispiel:
Bahndrehimpuls:
r r
J =L
r r
J =S
Spindrehimpuls:
j = l =ganzzahlig
j = s =ganzzahlig (Boson) oder halbzahlig (Fermion) ⋅ h
14.3 Addition von zwei Drehimpulsen
r
r
Gegeben ist ein Zwei-Teilchensystem mit den Drehimpulsoperatoren J 1 und J 2 (1,2
verschiedene quantenmechanische Systeme)
Beispiele:
r
r r
r
• 1 Teilchen (im EM-Feld) mit J 1 = L und J 2 = S
r r
r
r
• 2 Teilchen mit J 1 = L1 und J 2 = L2
r
r r
r
• 2 Teilchen mit J 1 = L1 und J 2 = S 2
Annahme:
Jeder der Drehimpulse genügt der Vertauschungsrelation:
J 1i , J 1 j = ihε ijk J 1k , J 2i , J 2 j = ihε ijk J 2 k
[
]
[
]
[
]
Drehimpulse der verschiedenen Teilchensysteme kommutieren J i1 , J 2 j = 0∀i, j d.h.
gesamter Hilbertraum Η = Η1 ⊗ Η 2
r r
Η 1 ,Η 2 : Hilberträume, in denen jeweils J 1 , J 2 wirken
Ψ = Ψ1 ⊗ Ψ2 = Ψ1 , Ψ2 ∈ H
{ {
∈Η1
∈Η 2
r r
r
r r
Gesamtdrehimpulsoperator: J = J 1 × 12 + 11 × J 2 = J 1 + J 2
r r r
Auch für J = J 1 + J 2 gelten Drehimpulsvertauschungsregeln [J i , J j ] = ihε ijk J k .
Quantenmechanik I
84
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Es gibt 2 mögliche VONS in Η :
r r
a) gemeinsame Eigenvektoren j1 j2 m1m2 von J 12 , J 22 , J 1z , J 2 z , die untereinander kommutieren:
r
⎧ J 12 − h ² j1 ( j1 + 1) ⎫
⎪ r2
⎪
⎪ J 2 − h ² j2 ( j2 + 1)⎪
⎨
⎬ j1 j2 m1m2 = 0
⎪ J 1z − hm1
⎪
⎪ J − hm
⎪
2
⎩ 2z
⎭
r r r
b) gemeinsame Eigenvektoren j1 j2 jm von J 12 , J 22 , J ², J z die untereinander kommutieren:
r
⎧ J 12 − h ² j1 ( j1 + 1) ⎫
⎪ r2
⎪
⎪ J 2 − h ² j 2 ( j2 + 1)⎪
⎨r
⎬ j1 j2 jm = 0
(
)
J
−
j
j
+
h
²
²
1
⎪
⎪
⎪ J − hm
⎪
⎩ z
⎭
[J , Jrr ²] = 0 wegenr Drehimpulsvertauschungsrelation
[Jr , Jr ] = [Jr +rJ , Jr ] = 0r=r[J , Jr r] r r r
[Jr ², rJ ²] = [J ², J + J + 2 J J ] = 2[J , J ]J = 2[J , J ]J
[J , J ²] = r0
Es gilt: [J , J ] = 0
r
r
Aber: [J ², J ] ≠ 0 ≠ [J ², J ]
[Jr ², J ] = 2 Jr [Jr , J ] = ... ≠r 0
z
z
2
1
1z
1
2
1
2z
2
1
1
z
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1i
2i
=0
2
2
2
z
1z
1z
2z
z
1
1z
⎧a ) ⎫
Also zur Wahl ⎨ ⎬ kann nicht
⎩b) ⎭
⎫
⎧J ²
⎬ hinzukommen.
⎨
⎩ J 1z oder J 2 z ⎭
14.4 Clebsch-Gordon Gleichung
Wir haben also zwei verschiedene Maximalsätze von kommensurablen Observablen mit
jeweils gemeinsamen Eigenvektoren, die jeweils eine Basis bilden.
Betrachte unitäre Transformation die beide Basen miteinander verknüpft:
bν = a µ a µ bν
j1 j2 jm
∑
j1 ' j2 ' m1m2
j1 ' j2 ' m1m2 j1 j2 jm
j1 ', j2 '
m1 , m2
Eine Vereinfachung folgt aus:
r
j1 ' j2 ' m1m2 J 12 j1 j2 jm
h ² j1 ' ( j1 '+1) j1 ' j2 ' m1m2 j1 j2 jm = h ² j1 ( j1 + 1) j1 ' j2 ' m1m2 j1 j2 jm
d.h. j1 ' j2 ' m1m2 j1 j2 jm = 0 für j1 ' ≠ j1 und für j2 ' ≠ j2
Ferner:
j1 ' j2 ' m1m2 J z j1 j2 jm = j1 ' j2 ' m1m2 J1z + J 2 z j1 j2 jm = h(m1 + m2 ) j1 ' j2 ' m1m2 j1 j2 jm
= hm j1 ' j2 ' m1m2 j1 j2 jm
Quantenmechanik I
85
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⇒ j1 ' j2 ' m1m2 j1 j2 jm = 0 falls m1+m2 ≠ m
Also insgesamt:
j1 j2 jm = ∑ j1 j2 m1m2 j1 j2 m1m2 j1 j2 jm
14442444
3
m1 , m2
( m1 + m2 = m )
Clebsch −Gordon −
Koeffizient
Clebsch-Gordon-Koeffizient lässt sich explizit für jede Kombination j1,j2 von
Drehimpulsquantenzahlen berechnen.
14.5 Zustände von zwei Drehimpulsen
mh r r
j j2
r
j1
Abbildung 14.5: Projektionen
r r
a) „Längen“ von J 1 , J 2 und Projektionen J1z , J 2 z sind quantisiert
r r r
b) „Längen“ von J 1 , J 2 , J und Projektion J z sind quantisiert
Es gilt: j1 − j2 ≤ j ≤ j1 + j2
(hier nicht bewiesen)
Im Folgenden sei j1, j2 fest vorgegeben (z.B. j1,2 = 1 oder ½)
Verkürzte Notation:
a) j1 j2 m1m2 → m1m2
b) j1 j2 jm → jm
Es gibt (für vorgegebenes j1, j2) N = (2 j1 + 1)(2 j2 + 1) Kombinationen der
Magnetquantenzahlen m1 m2 und ebenso viele Kombinationen von j m.
1. Beispiel:
1
j1 = 1, j2 =
2
1
3
≤ j≤
2
2
⎧ 1 1⎫
a) m1 ∈ {− 1,0,1}, m2 ∈ ⎨− , ⎬
⎩ 2 2⎭
b)
j
m
1
1 1
− ,
2
2 2
3
3 1 1 3
− ,− , ,
2
2 2 2 2
6 verschiedene Zustände
6 verschiedene Zustände
Quantenmechanik I
86
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2. Beispiel:
j1 = j 2 =
1
2
4 verschiedene Zustände
1 1
a) m1m2 = ± ,±
2 2
↑↑ , ↑↓ , ↓↑ , ↓↓
b) jm
j=0,1
j = 0, m = 0
j = 1, m = −1
j = 1, m = 0
j = 1, m = 1
Aus den Clebsch-Gordon-Koeffizienten werden mit der Vereinfachung:
jm = ∑ m1m2 m1m2 jm
14243
m1 , m2
( m1 + m2 =m )
Clebsch −Gordon −
Koeffizient
Für j=0 und m=0 muss m1+m2=0 sein.
j = 0, m = 0 = ↑↓ α + ↓↑ β
α , β Clebsch- Gordon- Koeffizienten
[
]
1
↑↓ − ↓↑ ist Überlagerung von zwei Zuständen in
2
denen beide Spins antiparallel stehen.
Singulettzustand j = 0, m = 0 =
Für j=1, m=1 folgt wegen m1+m2=1: m1=m2=½
j = 1, m = 1 = ↑↑
1⎞
⎛
⎜ m1 + m2 = −1 ⇒ m1 = m2 = − ⎟
2⎠
⎝
j = 1, m = −1 = ↓↓
Für j=1, m=0 (m1+m2=0) folgt:
γ =δ =
j = 1, m = 0 = ↑↓ γ + ↓↑ δ
1
Clebsch- Gordon- Koeffizienten
2
Die drei Triplettzustände lauten:
j = 1, m = 1 = ↑↑
j = 1, m = 0 =
1
2
j = 1, m = −1 = ↓↓
⎧Triplett ⎫
⎨
⎬ Zustände sind
⎩Singulett ⎭
[ ↑↓
+ ↓↑
]
⎧symmetrisch
⎫
⎨
⎬ bei Vertauschung der Einzelspins.
⎩antisymmetrisch ⎭
D.h., bei der Operation m1m2 → m2 m1 gehen die Triplettzustände in sich selbst über, aber
j = 0, m = 0 → − j = 0, m = 0
[( ↑↓ − ↓↑ ) → −( ↑↓ − ↓↑ )]
Quantenmechanik I
87
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15 Teilchen mit Spin ½
Spin = innerer Freiheitsgrad eines Teilchens
Experimente, die Hinweis auf Spinfreiheitsgrade von Teilchen geben:
• Zeemaneffekt: Niveauaufspaltung beim H- Atom im Magnetfeld
• Feinstrukturaufspaltung beim H- Atom (relativistischer Effekt)
• Stern-Gerlach-Experiment Aufspaltung von Atomstrahlen im inhomogenen
Magnetfeld
Fazit der Experimente und der theoretischen Modellen:
r r r r r r
Zur Beschreibung von Elementarteilchen wird nicht nur R, P, H , L = R × P sondern
r
auch der Spindrehimpulsoperator S benötigt.
Hier: Spin ½ : Elektron, Proton, Neutron, µ- Meson, Neutrino,…
15.1 Spin ½ - Drehimpulsoperator
r r
J = S = (S1 , S 2 , S 3 ) ist Drehimpulsoperator mit allen in §14 abgeleiteten Eigenschaften eines
Drehimpulsoperators
r r
r
z.B. [S x , S y ] = ihS z und zyklisch ↔ S × S = ihS
S ² = S12 + S 22 + S 32 kommutiert mit Sα
r
Gemeinsame Eigenvektoren von S ² und S z traditionell gekennzeichnet mit s, m
r
1
1
mit s = und m = ±
S ² − h 2 s (s + 1) s, m = 0
2
2
[s z − hm] s, m = 0
[
]
Also: 2 Vektoren spannen den Hilbertraum aller Spindrehimpulszustände auf. Alle Vektoren
in diesem Hilbertraum sind darstellbar als Linearkombination von
⎫
1
1
s = ,m =
= ↑ = + =1 ⎪
v
2
2
⎪
⎬ Eigenvektor von S ² und Sz
1
1
s = ,m = − = ↓ = − = 2 ⎪
⎪⎭
2
2
(Ebenso gut bilden Eigenvektoren von Sy und Sx eine Basis in diesem 2 dimensionalen
Hilbertraum)
Quantenmechanik I
88
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Es gilt:
h ⎛1
i S z j = ⎜⎜
2 ⎝0
h ⎛0
i S x j = ⎜⎜
2 ⎝1
h ⎛0
i S y j = ⎜⎜
2⎝i
0⎞ h
⎟ = σz
− 1⎟⎠ 2
1⎞ h
⎟= σx
0 ⎟⎠ 2
−i⎞ h
⎟= σy
0 ⎟⎠ 2
h
Die Matrixelemente i Sα j = σ α des Spindrehimpulsoperators Sα in der z- Darstellung,
2
d.h. bezüglich der Eigenvektoren von Sz, sind gegeben durch die Paulimatrizen σ α .
Zur Berechnung der Matrixelemente von Sx, Sy in z-Darstellung benutze Leiteroperator.
⎧⎪h s (s + 1) − m(m ± 1) s, m ± 1 ; m ± 1 ≤ s
S ± = S x ± iS y
S ± s, m = ⎨
⎪⎩0; sonst
S+ ↑ = 0 = S− ↓
S+ ↓ = h ↑
S− ↑ = h ↓
1
(S + + S − )
2
h
Sx 1 = 2
2
h
Sx 2 = 1
2
1
(S + − S − )
2i
h
Sy 1 = i 2
2
h
S y 2 = (− i ) 1
2
Sx =
Sy =
r r
r
Den Kommutator-Relationen der Drehimpulsoperatoren S × S = ihS entsprechend (bzw.
[Sα , S β ] = ihε αβγ Sγ ) lauten die Kommutatoren ihrer Matrizen σr × σr = 2iσr bzw.
[σ
α
,σ β ] = 2iε αβγ σ γ
Eigenschaften der Paulispinmatrizen:
det σ α = −1
S pσ α = 0
σ α σ β = iε αβγ σ γ + δ αβ
1
{
Eigenwerte von σ α = ±1
(*)
2×2Matrix
σ +σ +σ =1
σ α σ β + σ β σ α = 2δ αβ 1
r r
Falls a , b Vektoren (Dimension = 3)
r
r
r
(arσr ) b σr = aα σ α bβ σ β = aα bβ 1δ αβ + iε αβγ σ γ = arb1 + i ar × b σr
2
x
2
y
( )
2
z
[
]
(
)
Ferner: Jede 2 × 2 Matrix M ist darstellbar als Linearkombination von 1,σ x ,σ y ,σ z
rr
M = a0 1 + a σ
Quantenmechanik I
89
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15.2 Beschreibung eines Spin ½ Teilchens
Erinnerung:
r
Teilchen ohne Spin: Der Hilbertraum Η rr wird aufgespannt z.B. durch Eigenvektoren r vom
r
r r
Ortsoperator R Zustände Ψ z.B. in Ortsdarstellung Ψ = ∫ d ³r r r Ψ , wobei
r
r
Ψ (r ) = r Ψ Wellenfunktion.
Hilbertraum für Teilchen mit Spin: Η = Η rr ⊗ Η S : Tensorprodukt von H rr und Raum der
Spinzustände Η S , der aufgespannt ist z.B. durch Eigenvektoren i von S² von Sz. Operatoren
r r r r r
die in Η rr wirken (z.B. R, P, L = R × P …) kommutieren mit Operatoren, die in Η S wirken
r r
(z.B. S , S ², Sα ,... )
rr
rr r r r
Beispiel: LS = R × P S{ = SL
123 wirkt
(
)
wirkt
in Η rr
in Η S
r
r
r
Basisvektoren von Η : r ⊗ i := r , i , Tensorprodukt von Basisvektor r mit Basisvektor
i (aus Spinzustandsraum)
r
v
r
r
Beachte: r , i =Eigenvektor von R (genauer von R ⊗ 1s )zum Eigenwert r und von S z zum
h
.
2
Darstellung eines beliebigen Zustands Ψ des Spin-½-Teilchens:
Eigenwert ±
2
r v
Ψ = ∫ d ³r ∑ r , i r , i Ψ , wobei
12r3
i =1
Ψi ( r )
r
1
v
Ψ12 (r ) = Ψ± (r ) = Ψ↑↓ =Wellenfunktion für Spinquantenzahl m = ±
2
Spinup
⎧
⎫
=Wellenfunktion für ⎨
⎬ -Zustand bzw.
⎩Spindown ⎭
r
r
r ⎛ Ψ1 (r ) ⎞ ⎛ Ψ↑ (r )⎞
Spinorschreibweise Ψ (r ) = ⎜⎜
r ⎟⎟
r ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ Ψ2 (r )⎠ ⎝ Ψ↓ (r )⎠
(
)
r r
r
* r
*
* ⎛Φ ⎞
Skalarprodukt: Ψ Φ = ∑ ∫ d ³r Ψ r , i r , i Φ = ∑ ∫ d ³rΨi (r )Φ i (r ) = ∫ d ³r Ψ1 , Ψ2 ⎜⎜ 1 ⎟⎟
i
i
⎝Φ2 ⎠
Normierung: Ψ Ψ = 1
1
Die Wahrscheinlichkeit dafür, das Teilchen im Spin- up- Zustand( m = + ) in d³r zu finden,
2
r 2
ist Ψ↑ (r ) d ³r .
Die Wahrscheinlichkeit dafür, das Teilchen in d³r zu finden, ist
2
r 2
r 2
r 2
∑ Ψi (r ) d ³r = Ψ↑ (r ) + Ψ↓ (r ) d ³r
i =1
[
]
Quantenmechanik I
90
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Trivialbeispiel:
p² m
+ ω ² x ² mit spinunabhängigem Hamiltonoperator
2m 2
1⎞
⎛
n
Æjedes Energieniveau E n = hω ⎜ n + ⎟ ist 2-fach entartet (H − E n )Ψ↑↓
(x ) = 0 wobei
2⎠
⎝
1
Ψ↑n = Ψ↓n =
Ψn ( x )
2
Aber i.A. wechselwirkt der Spin via magnetischem Moment mit der Umwelt.
Harmonischer Oszillator: H =
15.3 Magnetisches Moment
Zuerst eine Erinnerung an die klassische Physik:
r
Ein klassisches Teilchen mit Ladung q, Masse m und Drehimpuls L erzeugt ein magnetisches
r
q r
Bahnmoment M Bahn =
L . Diese Relation bleibt auch quantenmechanisch gültig:
2mc
r
r
µ
hq
das Bohrmagneton ( = µ B ) bezeichnet.
M Bahn = Bahn L wobei µ Bahn =
h
2mc
Hypothese von Gondsmit und Uhlenbeck (1925):
r
r
µ Spin r
„Mit Spin S ist ein magnetisches Moment M Spin =
S verknüpft. Der
h
Proportionalitätsfaktor µ Spin muss man aus dem Experiment bestimmen.“
Man führt den Landéfaktor g ein und schreibt: µ Spin = g
hq
(,falls Teilchen endliche Ladung
2mc
hat)
⎤
⎡
⎥
⎢
⎢
g Elektron = 2 1 + 2πα + O(α ² )⎥
4 43
4⎥
⎢ 142
Korrektur der
⎢
relativistischen ⎥
QED
⎦
⎣
g Proton ≈ 5,59
µ Neutron
≈ −3,83
g Neutron =
e
h
2mNeutron c
r
⎧Elektron⎫
r ⎧antiparallel⎫
Beim ⎨
⎬ zu S
⎬ ist µ Spin ⎨
⎩parallel ⎭
⎩ Neutron ⎭
1
Proton
Elektron
Beachte: µ Spin
≈
µ Spin
1000
α=
e²
1
Feinstrukturkonstante
≈
hc 137
⎧⎪- e
q⎨
⎪⎩+ e
Wechselwirkungshamiltonoperator für Spin mit Magnetfeld
r
r
q rr
H Spin = − M Spin {
B = −g
SB beschreibt Haupteffekte bei nichtrelativistischen
123 Zahl
2mc
Operator
Bewegungen.
Quantenmechanik I
91
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15.4 Einfacher Zeeman-Effekt
r
Der einfache Zeeman-Effekt tritt beim H- Atom im homogenen Magnetfeld B (ohne SpinBahn- Wechselwirkung) auf.
r
1r r
A=− r×B
2
r
m
1
Hamiltonoperator ( r = 0 = Schwerpunkt ≈ Proton, da e ≈
):
m p 1800
(
)
2
r r
r
r
r
1 ⎛ r q r ⎞ q² r
q r r rr
H=
pA + Ap − M Spin B +
⎜ p − A ⎟ − − M Spin B = H 0 −
4
3
2m ⎝
2mc 14r2
c ⎠
r
r
( r × pr )B
(
q²
c ² Ar 2
2m
1
23
r
r r
= H 0 − M tot B
vernachlässigbar
für kleine M - Felder
)
r
r
r
r
q r
Mit M tot = M Bahn + M Spin =
L + gS und g = g e ≈ 2
2mc
r
qB
=Larmorfrequenz
Für B = (0,0, B ) : H = H 0 − ω L (Lz + 2S z ) mit ω L =
2mc
ω
(für B = 1 Gauß=10-4 Tesla: L ≅ 1,4 ⋅10 6 Hz )
2π
Da H0 mit Lz und Sz kommutiert, haben diese Operatoren ein gemeinsames Sytem von
Eigenvektoren. Daraus folgt für die Schrödingergleichung:
[H 0 − ω L (Lz + 2S z ) − E ] Ψ = 0 in Ortsdarstellung und z- Darstellung:
2
r r
h
Ψ = ∫ d ³r ∑ r , i r , i Ψ ; i S z j = σ z
2
i =1
r
(r ) = 0
[H 0 − ω L Lz − hω Lσ z − E ]Ψ
{
Spinor
Zwei Eigenvektoren bzw. Eigenfunktionen:
⎛1 ⎞
n, l , m ↑ → Ψn,l ,m (r , Θ,ϕ )⎜⎜ ⎟⎟ Spin- up
⎝ 0⎠
⎛ 0⎞
n, l , m ↓ → Ψn,l ,m (r , Θ,ϕ )⎜⎜ ⎟⎟ Spin- down
⎝1 ⎠
j1 , {
j2 , m
{
{1 , m
{2
l
s=
1
2
m
±
1
2
Die Ortsabhängigkeit der ↑- und ↓- Wellenfunktionen sind gleich und gegeben durch die
Eigenfunktionen Ψn ,l ,m (r , Θ,ϕ ) von H0 und Lz zur Hauptquantenzahl n,
Bahndrehimpulsquantenzahl l, Magnetquantenzahl m des Bahndrehimpulses.
Zwei Eigenwerte:
n,l,m↑; n,l,m↓
E=
− E0
⎧+ 1⎫
− hω L m − hω L ⎨ ⎬
123
1
²
n3
⎩−4
12
WW Energie
142
3⎭
r
EW für
B =0
von M
r Bahn
mit B ( −l ≤ n≤l )
WW Energie
r
von M
r Spin
mit B
Zuerst Niveauaufspaltung beim „normalen Zeemaneffekt“ – Wechselwirkung
r
v
M Spin B vernachlässigt.
Quantenmechanik I
92
E
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
m=-1
hωl
m=0
(n=2,l=1)
2p
m=1
1s
(n=1,l=0)
m=0
ω L bzw. B
v
r
Abbildung 15.4a: Energieaufspaltung nur durch Wechselwirkung M Bahn B
m
(-1,↓)
E
↓ →↓
(0, ↓)
(n=2,l=1)
2p
hω L
(-1,↑)=(1, ↓)
(0, ↑)
(1, ↑)
(n=1,l=0)
1s
(0, ↓)
2hω L
(0, ↑)
↑ → ↑
ωL
Abbildung 15.4b: Übergänge durch Photonenemission ohne Spinflip
1s-Grundzustand spaltet in 2 Niveaus auf wegen Spin (exp. Nachweis)
2p-Zustand spaltet in 5 Niveaus auf mit einem 2-fach entarteten
r
Weitere Aufspaltung („Feinstruktur“) wegen relativistischen Effekte, die (auch bei B = 0 ) zu
rr
Wechselwirkung LS („Spin-Bahn-Kopplung“) führen.
15.5 Spinpräzession
r
Bewegung eines Spins (ohne Ortsfreiheitsgrade) im Magnetfeld B .
Hamiltonoperator:
r
r
r
r
q
H = − M Spin B mit M Spin = γS und γ = g
2mc
Zeitentwicklungsoperator U (t ) = e
im Schrödingerbild.
i
− Ht
h
=e
γ rr
i S Bt
h
für Spinzustandsvektoren Ψ (t ) = U (t ) Ψ (0)
Hier nun Heisenbergbild, z-Darstellung: Bewegungsgleichung für Spinoperator
r
r
S H (t ) = U S+ S SU S (t )
r
r
r r
r
r
dS H (t ) r
ih
= S H (t ), H H (t ) = γS H (t )× B = M Spin (t )× B Drehmoment, das das B - Feld auf
dt
r
Moment M Spin ausübt.
[
]
Quantenmechanik I
93
r
r
H H (t ) = −γS H (t )B = U S+ (t )H SU S (t )
(
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
)
r r
= −γihε αβγ S γ Bβ = γih S × B α
r
Wähle Koordinatensystem B = (0,0, B )
qB
( = 2ω L für Elektron)
ω 0 = γB = g
= gω L
2mc
[Sα , H ] = −γ [Sα , S β ]Bβ
⎛ S y (t ) ⎞
⎟
⎜
d r
S H (t ) = ω 0 ⎜ − S x (t )⎟
dt
⎟
⎜
⎠
⎝0
Lösung: Präzession des Spinoperators mit Frequenz ω 0 = gω L
⎛ cos ω0 t sin ω0 t 0 ⎞
r
⎟r
⎜
S H (t ) = ⎜ − sin ω0 t cos ωt 0 ⎟ S H (0 )
⎜
0
0
1 ⎟⎠
⎝
r
r
S H (t = 0 ) = S
Zeitentwicklung des Erwartungswertes:
r
r
r
S (t ) = Ψ (t ) S Ψ (t ) = Ψ (0) S H (t ) Ψ (0)
⎛ cos ω 0 t sin ω 0 t
r
⎜
S (t ) = ⎜ − sin ω 0 t cos ω 0 t
⎜
0
0
⎝
1
↑ +↓ =
z.B. Ψ (0) =
2
+x S y +x = 0 = +x Sz + x
[
]
0⎞
r
⎟
0 ⎟ Ψ (0) S Ψ (0)
1 ⎟⎠
+ x = Eigenvektor von Sx zum Eigenwert +
⎛ cos ω 0 t ⎞
r
⎟
h⎜
S (t ) = ⎜ − sin ω o t ⎟
2⎜
⎟
0
⎠
⎝
y
t=0
x
Abbildung 15.5: Spinpräzession
h
wegen
2
Quantenmechanik I
94
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
15.6 Spinresonanz
Spinflip im Magnetfeld
r
B(t ) = B0 (0,0,1) + B1 (cos ωt ,− sin ωt ,0 )
3
1
424
3 14442444
konstant
rotiert in x − y Ebene
Sei Ψ (t ) = U (t ) Ψ (0) Zustand zur Zeit t, U(t) Zeitentwicklungsoperator
Dann ist P↓ (t ) = ↓ Ψ (t )
2
= ↓ U (t ) Ψ (0 ) die Wahrscheinlichkeit, dass zur Zeit t der Spin2
down- Zustand ↓ = 2 vorliegt.
Ferner ist P↑→↓ (t ) = P1→2 (t ) = ↓ U (t ) ↑
2
= 2 U (t ) 1 die Wahrscheinlichkeit, dass bei
2
Zeitpunkt t der Spin- down- Zustand vorliegt, wenn zum Zeitpunkt t=0 der up- Zustand
↑ = 1 vorlag.
Übungsaufgabe:
P1→2 (t ) =
ω1 ²
⎛Ω ⎞
sin ²⎜ t ⎟ wobei ω 0 = γB0 , ω1 = γB1 und
2
ω1 ² + (ω − ω 0 )
⎝2 ⎠
Ω = ω1 ² + (ω − ω0 )
2
Abbildung 15.6: Spinflip in Abhängigkeit der Zeit
Resonanz: Für ω → ω 0
⎛ω ⎞
P1→2 (t ) ⎯ω⎯
⎯→1sin 2 ⎜ 1 t ⎟
→ω0
⎝ 2 ⎠
Nach Zeit ω1t = π ist P1→2 = 1 , d.h. das Spin ist mit Sicherheit geflipt
Für Flip-Prozess bei Resonanz, ω = ω 0 , entzieht Spin dem rotierenden
Feld Energie hω0 (hier keine Dissipation).
Quantenmechanik I
95
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
15.7 Stern-Gerlach Experiment
(schematisch)
r
r
r
Teilchen mit Spin S und magnetischem Moment M = γS bewegen sich im inhomogenen
Magnetfeld.
Große Masse Æ klassische Scherpunktsbewegung (keine Elektronen) z.B. Atome.
r r
Die Inhomogenität von B (r , t ) bewirkt eine Kraft auf die Teilchen:
r
r r
r
Fz = −∂ z M Spin B (r , t ) = −γS z ∂ z Bz (r , t )
Î verschieden starke Ablenkung je nach „Größe“ von Sz
[
]
z
Abbildung 15.7: Aufbau des Stern- Gerlach- Experiments
Warnung: In Wirklichkeit ist Theorie des Stern-Gerlach-Experiments komplizierter!!
15.8 Exkurs: Zwei-Zustandssystem
Ein Spin – ½ System (ohne weitere Freiheitsgrade) ist äquivalent zu quantenmechanischen
Systemen, die zwei Zustände einnehmen können.
(Siehe Feynmen III, §8-11)
Beispiel: NH3- Maser; ionisiertes H2+; chemische Bindung in einigen
Kohlenwasserstoffverbindungen
Zuerst:
a) Niveauaufspaltung durch Außerdiagonalkopplungen:
Sei H0 ein ungestörter Hamiltonoperator eines Systems, das zwei Zustände annehmen kann.
Die beiden Eigenvektoren von H0 bilden ein VONS:
H 0 1 = ε1 1 H 0 2 = ε 2 2
i j = δ ij
0⎞
⎛ε
⎟⎟ H0 ist diagonal in der Darstellung i
i H 0 j = ⎜⎜ 1
⎝ 0 ε2 ⎠
[H 0 = ε1 1 1 + ε 2 2 2 ]
Betrachte nun zusätzlich eine Störung mit der Kopplung W, so dass H=H0+W gilt.
*
Darstellung von W bezüglich i : W = i i W j j = i Wij j
Wij = W ji
123
Wij
Wir betrachten hier nur den Spezialfall, dass die Störung nur Außerdiagonalelemente
(W11=0=W22) besitzt.
W12 = w
Quantenmechanik I
96
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
w⎞
⎛ε
⎟⎟
H ij = i H j = ⎜⎜ 1*
⎝w ε2 ⎠
Energieeigenwerte von H: H ϕ i = Ei ϕ i
2
ε1 + ε 2
2
2
⎛ ε −ε ⎞
E1 =
± ⎜ 1 2 ⎟ + w = E ± ∆² + w
23
2 ⎠
2
⎝142
12
4
3
E
E=
ε1 + ε 2
2
;∆ =
ε1 − ε 2
2
∆
E1
ε1
2w
E2
ε2
Abbildung 15.8a: Energieniveaus als Funktion des Abstandes ∆ der ungestörten Energieniveaus
ε1 ,ε 2
Falls ∆ >> w : kein merklicher Effekt der Störung auf den Niveaus
Falls w >> ∆ : Aufspaltung ~ 2 w
Für ∆ = 0 , d.h. ε 1 = ε 2 (Entartung im ungestörten System) kreuzen sich die ungestörten
Niveaus („level crossing“). Dort verursacht die Störung W eine Aufspaltung (Aufhebung der
Entartung) der Niveaus („level repulsion“).
b) Oszillationen zwischen den ungestörten Zuständen 1 ↔ 2 :
werden durch die Störung verursacht: Bei W≠0 sind die Zustände 1 und 2 nicht mehr
stationäre Zustände (wohl jedoch die Eigenzustände von H). Da H = H 0 + W zeitunabhängig.
Î Ψ (t ) = e
i
− Ht
h
W2 (t ) = 2 Ψ (t )
Ψ (0) =Zustand zum Zeitpunkt t wenn bei t=0 der Zustand Ψ (t = 0) vorliegt.
2
= 2e
i
− Ht
h
2
Ψ (0 ) =Wahrscheinlichkeit, dass bei t der ungestörte
Energieeigenzustand 2 vorliegt.
W1→2 (t ) = 2 e
i
− Ht
h
Zustand 1 vorlag.
2
1 =Wahrscheinlichkeit, dass bei t der Zustand 2 vorliegt, wenn bei t=0 der
Quantenmechanik I
97
Berechnung:
Benutzte: 1 = ϕ i ϕ i wobei {ϕi
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} das VONS von Eigenvektoren von H ist;
2
H + H 22
⎛ H − H 22 ⎞
k=1,2 mit Eigenwerten E1 = 11
± ⎜ 11
⎟ + H 12
2
2
2
⎝
⎠
H ϕ k = Ek ϕ k
*
H ij = i H 0 + W j = H ji =Matrixelement von H bezüglich des VONS der
Eigenvektoren i von H0.
Mit der Abkürzung:
H + H 22
H − H 22
, ∆ = 11
, hω = ∆ ² + H 12
E = 11
2
2
ist also E1 = E ± hω
2
2
und 2 e
i
− Ht
h
Es gilt: 2 e
1 = 2e
i
− Ht
h
i
− Ht
h
ϕj
⎡
⎤ i
− Et
− i ωt
i ωt ⎥
⎢
ϕ j 1 = 2 ϕ1 ϕ1 1 e + 2 ϕ 2 ϕ 2 1 e e h
⎢ 123 123
123 123 ⎥
b2
a1*
b1*
⎣⎢ a2
⎦⎥
⎤
⎡
*
i
i
⎢
− Et
b1 b2 iωt ⎥ − h Et
*
*
− i ωt
h
1 = a1 a 2 ⎢e + * e ⎥ e
= −2ia1 a 2 sin (ωt )e
a1 a2
⎥
⎢
123
−1
⎦⎥
⎣⎢
Und somit: W1→2 (t ) = Wmax sin 2 (ωt ) Rabi-Formel
Wmax = 4 a1a 2
2
Berechne Koeffizienten: a1, a2, b1, b2, d.h. Matrixelemente U ij = i ϕ j der unitären
{ }
Transformation zwischen dem VONS ϕ j und dem VONS der { i }.
⎛ a b1 ⎞
⎟⎟
U ij = i ϕ j = ⎜⎜ 1
⎝ a2 b2 ⎠
Benutzte ϕ j = i i ϕ j
2
2
2
2
ϕ1 ϕ1 = 1 = a1 + a 2
ϕ 2 ϕ 2 = 1 = b1 + b2
1 a1 + 2 a2 = ϕ1
1 b1 + 2 b2 = ϕ 2
ϕ1 ϕ 2 = 0 = a1*b1 + a 2 *b2
Ferner: H ϕ1 = E1 ϕ1 ⇒ 1 H ϕ1 = E1 1 ϕ1 = H 11a1 + H12 a2 = E1a1
a1 =
H 12 a 2
H a
= 12 2
E1 − H 11 hω − ∆
2
2
a1 =
H 12 a2
2
(hω − ∆ )2
2
Quantenmechanik I
98
2
1
2
a2 = 1 − a1 =
H 12
1+
Mit
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2
(hω − ∆ )2
2
2
H 12 = (hω ) − ∆2 = (hω − ∆ )(hω + ∆ ) folgt
2
⎞
⎛
2
2
⎟
⎜
H 12
H 12
H 12
1
⎟ =
⎜
=
=4
(hω − ∆ )2 ⎜⎜ 1 + hω + ∆ ⎟⎟ (hω )2 ∆ ² + H 12
⎝ hω − ∆ ⎠
2
2
Wmax = 4 a1 a2
2
2
(2 )
Wmax
(1 )
π
0
2
π
π
2
2π
Abbildung 15.8b: W1→2 (t ) in Abhängigkeit von
H 12 = 1 W 2
∆=
H 11 − H 22 ε 1 − ε 2 + W11 − W22
=
2
2
ω
ωt
Quantenmechanik I
99
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IV Approximationsmethoden
16 Stationäre Rayleigh-Schrödinger Störungstheorie
Nur wenige quantenmechanische Probleme sind exakt lösbar. Manche unterscheiden sich nur
„wenig“ von exakt lösbaren Problemen.
Problem: H = H 0 + V , wobei die EVen n und die EWe ε n von H0 bekannt sind.
H 0 n = ε n n , VONS 1 = ∑ n n .
n
Wenn V „klein“ ist, dann unterscheiden sich die Eigenzustände N und EWe En von H nur
wenig von denen von H0.
D.h. wenn eine Kopplungskonstante λ in H = H 0 + λV von 0 auf 1 wächst, dann sollte jeder
EW ε n und EV n von H0 sich zu EW En und EV N von H0+V ändern.
Abbildung 16.1: Änderung der EVen und EWe beim Übergang von λ: 0Æ1
Diese Annahme der kontinuierlichen Entwicklung von EWen und EVen mit wachsendem λ
bedeutet eine Einschränkung der qm Probleme.
Gegenbeispiel: 1d-Potentialtopf
a2
p2
Egebunden = − 2 2mU 2 ↔ H 0 =
+ V ( x) . Das Problem lässt sich nicht störungstheoretisch
h
2m
durch Entwicklung um Zustände und Energien von H0 ableiten.
16.1 Rayleigh-Schrödinger Theorie (ohne Entartung)
Seien EWe E n (λ ) und EVen N von H = H 0 + λV nach λ entwickelbar.
a)
E n = ε n + λE n
(1)
+ λ2 E n
( 2)
+ ...
N = n + λ N (1) + λ2 N ( 2 ) + ...
Der Kopplungsparameter λ dient zur Buchführung der Potenzen von V. Am Ende der
Berechnung wird λ = 1 gesetzt.
b) Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten:
Einsetzen in die stationäre Schrödingergleichung:
[H 0 + λV − En (λ )] N (λ ) = 0 und daraus
[H
0
(
− ε n + λ V − En
(1)
)− λ E
( 2)
2
n
][
]
− ... n + λ N (1) + λ2 N ( 2 ) + ... = 0
Quantenmechanik I
100
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Die Potenzreihe in λ ≡ 0 ergibt, dass jeder Koeffizient null sein muss.
λ0 : (H 0 − ε n ) n = 0
(
)
λ1 : (H 0 − ε n ) N (1) + V − E n (1) n = 0
(
...λk : (H 0 − ε n ) N ( k ) + V − E n
(1)
)N
( k −1)
− En
( 2)
N ( k − 2 ) − ... − E n
Das Skalarprodukt von O(λ ) mit n ergibt: E n
(1)
(k )
n =0
= n |V | n
In erster Ordnung in λ, bzw. V, ist die Energieverschiebung der ungestörten Niveaus
ε n : En − ε n = λ n | V | n + O λ2
( )
Das Skalarprodukt von O (λ ) mit
k
n | V | N ( k −1) = En
(1)
n ergibt:
( 2)
n N ( k −1) + En n N ( k −2) + ... + En
1424
3
14243
=0
En
(k )
= n |V | N
(k )
=0
nn
{
=1
( k −1)
c) Wahl der Normierung von N
Nicht N N = 1 sondern so, dass 1 = n N = n n + λ n N (1) + λ2 n N ( 2 ) + ...
{ 1
424
3
1
424
3
=1
=0
~
N
~
n N ≠ 0 und N =
~
nN
d) Darstellung von N (k ) durch VONS { m
∑m
N (k ) =
m
{
=0
}
m N (k ) = ∑ ' m m N (k )
m
Alle EVen von H 0
m≠n
e) Bestimmung von N (1)
Multipliziere O(λ ) mit m ≠ n , dann folgt
0 = (ε m − ε n ) m N (1) + m | V | n und somit m N (1) = −
m |V | n
(ε m − ε n )
1
Also gilt in Ordnung λ :
m |V | n
N = n + λ∑ ' m
+ O (λ2 )
(ε n − ε m )
m
( )
E n = ε n + λ n | V | n + O λ2
f) Bestimmung von En(2)
En
( 2)
= n | V | N (1) = ∑ ' n | V | m m N (1) = ∑ '
m
m
n |V | m m |V | n
(ε n − ε m )
=∑'
m
n |V | m
2
(ε n − ε m )
Speziell: n = 0: Grundzustand
E0
( 2)
= −∑
m
negativ.
'
0 |V | m
2
(ε m − ε 0 )
≤ 0 , die Korrektur in λ2 zur Grundzustandsenergie ist immer
Quantenmechanik I
101
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
g) Bestimmung von N ( 2 )
Skalarprodukt in O (λ2 ) mit m ≠ n , dann folgt:
m N ( 2) =
[
1
(1)
m | V | N (1) − En m N (1)
εn −εm
]
M
N ( 2) = ∑ ' m
m
1
εn −εm
⎛
m |V | l l |V | n
m |V | n n |V | n
⋅ ⎜⎜ ∑ '
−
εn −εl
εn −εm
⎝ l
⎞
⎟
⎟
⎠
16.2 Beispiele
1) Harmonischer Oszillator:
p2 1
1
H0 =
+ mω 2 x 2 sowie V = δ ⋅ mω 2 x 2 . Etwas geänderte Krümmung des
2m 2
2
Potentials: δ << 1
Abbildung 16.2: Rotes Potential: δ = 1, blaues Potential: δ = 0,5
Dies ist auch exakt zu behandeln indem man folgende Ersetzung vornimmt:
ω → ω 1+ δ .
H = H0 +V
Hier: Störungstheorie für den Grundzustand.
n |V | 0
Φ = 0 +∑' n
+ O(δ 2 )
ε
ε
−
n≠0
n
0
EΦ = ε 0 + 0 | V | 0 + ∑
n≠0
H 0 0 = ε 0 0 und ε 0 =
Es gilt: n | V | 0 = δ
Î Φ = 0 −
δ
4 2
n |V | 0
'
ε0 −εn
hω
mω
2
2
( )
+O δ3
2
2
⎧ 1 für n = 0
2
hω ⎪⎪ 1
2
n| x |0 =δ
⋅⎨
für n = 2
2
2 ⎪
sonst
⎪⎩ 0
( )
2 +O δ 2
Quantenmechanik I
102
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
⎤
hω ⎡ δ δ 2
1+ −
+O δ3 ⎥
⎢
2 ⎣ 2 8
⎦
Vergleich mit der exakten Grundzustandsenergie:
⎤
hω
hω ⎡ δ δ 2
1+ δ =
1+ −
EΦ =
+ ...⎥
⎢
2
2 ⎣ 2 8
⎦
Die Grundzustandsfunktion des ungestörten Oszillators lautet:
2
− 12 − 1 ( x )
h
(0)
Ψ0 ( x) = x 0 = x0 π e 2 x0 mit x0 2 =
.
mω
Die exakte Grundzustandsfunktion des gestörten Oszillators mit ω → ω 1 + δ als
Vergleich mit der Störungstheorie:
2
⎡
⎛ x⎞
⎛ x⎞ ⎤
1
1
( 0)
x 2 = Ψ2 ( x) =
x 0 H 2 ⎜⎜ ⎟⎟ =
x 0 ⎢2 − 4⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
2 2
⎢⎣
⎝ x0 ⎠ 2 2
⎝ x0 ⎠ ⎥⎦
( )
EΦ =
(
)
2) Stark-Effekt beim H-Atom
r
~
H-Atom im homogenen elektrischen Feld E = 0,0, E
r
p2 q2
H0 =
−
mit q = − e und H = H 0 + V
2m R
r r
r
r
~
~
V = − D ⋅ E = − Dz E = −qzE und D = qR : Dipoloperator
Gestörte Energieniveaus:
(
)
2
i | Dz | j
~
~
Ei = ε i − E i | D z | i + E 2 ∑ '
+ K mit ε i : EW von H0, i : Eigenzustand
εi −ε j
j
von H0.
Gebundener Zustand: i = n, l , m mit Wellenfunktion
r
r
m
r i = r n, l , m = Rn ,l (r ) ⋅ Yl (θ ,ϕ ) .
Ungebundener Zustand: i : Zustand aus Kontinuum von Ionisationszuständen.
Alle Eigenzustände von H0, die nicht „zufällig“ entartet sind, haben definierte Parität.
Die „zufällig“ entarteten Zustände sind Überlagerungen von Zuständen mit
verschiedener, definierter Parität. (z.B. n=2 (1. angeregter Zustand) zufällige
Entartung von 2s (n=2, l=0) und 2p Zustand (n=2, l=1) im Coulombfeld.)
Der 1. angeregte Zustand ist eine Überlagerung α n = 2, l = 0, m + β n = 2, l = 1, m
von 2 Zuständen, 2s und 2p, mit definierter aber unterschiedlicher Parität, wobei die
Summe keine definierte Parität hat. Dadurch ist der lineare Stark-Effekt möglich.
Ihn gibt es nur für Zustände ohne definierte Parität, d.h. höchstens bei angeregten
Zuständen des H-Atoms kann i | Dz | i = q i | z | i ≠ 0 sein.
Für Atome mit größerer Ladungszahl ist das elektrische Potential nicht Coulomb (von
punktförmiger Ladungsquelle) Î es gibt keine zufällige Entartung und damit keinen
linearen Stark-Effekt.
Hier: quadratischer Stark-Effekt beim Grundzustand des H-Atoms:
i = 0 = n = 1, l = 0, m = 0
Gestörte Grundzustandsenergie:
α ~
E0 = ε 0 − E 2 , wobei α = Polarisierbarkeit des Grundzustandes.
2
Quantenmechanik I
103
} } }
i | z | 1, 0, 0
n l m
α = −2q 2 ∑ '
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
2
≅ 4,5 ⋅ a0 mit ε 0 = −
3
q2
≅ −13,6eV
2a 0
ε0 −εi
Skizze: Auswertung für gebundene Zustände
1 0
i = n, l , m ; z = r ⋅ cos(θ ); cos(θ )Y00 (θ ) =
Y1 (θ ) dann:
3
i
∞
i | z | 1,0,0 = ∫ dr ⋅ r 2 Rn ,l (r )rR1, 0 (r ) ⋅
0
∞
1
1
dΩYl mY10 =
dr ⋅ r 3 Rn ,1 (r ) R1, 0 (r )
∫
∫
3 14243
30
δ l 1 ⋅δ m 0
16.3 Rayleigh-Schrödinger Störungstheorie für entartete Zustände
Die Rayleigh-Schrödinger Störungstheorie aus 16.1 bricht zusammen, wenn in den Summen
über alle ungestörte EVen von H0 Zustände Φ und Ψ auftauchen, für die ε Φ = ε Ψ ist und
unter Umständen Φ | V | Ψ ≠ 0 , da dann
Φ |V | Ψ
εΦ −εΨ
divergiert. Das kann bei Entartung
passieren.
Sei das ungestörte Niveau ε n g-fach entartet, d.h. es gibt g verschiedene EVen z.B.
α
α
nα mit α = 1,..., g zum gleichen EW ε n = ε n : H 0 nα = ε n nα . Bei Anwesenheit der
Störung V wird die Entartung häufig (teilweise) aufgehoben. Das Niveau ε n spaltet in f ≤ g
verschiedene Unterniveaus auf.
1⎞
⎛
Beispiel: einfacher Zeeman-Effekt. Das 6-fach entartete 2p-Niveau ⎜ n = 2, l =
{1, s =
{ ⎟ spaltet 4
3
2 2⎠
⎝
nichtentartete und ein 2-fach entartetes Niveau auf.
≠0
647
48
n
|
V
| nβ
α
in der Störungsentwicklung ist technischer, nicht
Die Divergenz ∑ '
ε n α −ε n β
n
1424
3
(
)
=0
physikalischer Natur, verursacht durch falsch gewählte EVen nα . nα mit α = 1,…,g sind
EVen von H0 zum gleichen EW ε n .
Ebenso sind Linearkombinationen der nα EVen von H0 zum gleichen EW ε n und sie
spannen auch den Hilbertraum H n0 der EVen von H0 zum EW ε n auf. Also benutzt man in
der Störungsentwicklung statt nα diejenigen nα (α = 1,…g) als EVen von H0 zum EW ε n
für die gilt: nα | V | nβ = 0 , falls α ≠ β. Dann treten keine divergenten Terme mehr in der
Störungsentwicklung auf.
V nβ = Vβ nβ . Wir suchen eine Diagonaldarstellung von V in H n0 . Zur Diagonalisierung
suchen wir eine unitäre Transformation U, die die Störungsmatrix Vα ,β = nα | V | nβ
diagonalisiert. Suche EVen nβ von V:
Quantenmechanik I
104
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
nα | V | nβ = Vβ nα nβ = ∑ nα nν nν | V | nµ nµ nβ = ∑ (U + )αν ⋅ Vνµ ⋅ U µβ
1
424
3 µ ,ν
ν ,µ
δ αβ
U
mit nβ = ∑
µ
µβ
6
47
4
8
nµ n µ n β .
Die Matrixelemente U αβ = nα nβ der Transformationsmatrix sind durch die EVen
⎛
⎜r
⎜c
=⎜ 1
↓
⎜
⎜
⎝
r
ci (i = 1,...g ) der Matrix V αβ : U αβ
⎞
r
r ⎟
c2 K c g ⎟
gegeben.
↓
↓⎟
⎟
⎟
⎠
Fazit: Finde EWe und EVen der Störmatrix V αβ = nα | V | nβ
Î U αβ ⇒ { nα
}
Nebenrechnung:
T
U µβ = nµ nβ und (U µβ ) = nβ nµ = U βµ sowie
(U )
+
µβ
= (U µβ ) = (U βµ ) = nβ nµ
T*
*
*
= nµ nβ
Damit lautet die Störungsentwicklung für das entartete Niveau:
En ,α = ε n + λ nα | V | nα + λ
2
∑
m
N = nα + λ ∑ ' m
m
m | V | nα
εn −εm
'
m | V | nα
εn −εm
2
+ O(λ ) und
+ O(λ2 )
nα | V | nα = Vα : α-te EW der Matrix Vαβ = nα | V | nβ . Da nα | V | nβ = 0 , falls α ≠ β,
treten in den Summen über alle Zustände ≠ nα die Zustände nβ ∈ H n0 nicht mehr auf,
sondern nur die Zustände m von anderen Niveaus. Unter der Störung V spaltet das g-fach
entartete Niveau ε n in Ordnung von λ auf. Die Energieverschiebung nα | V | nα ist endlich
oder auch nicht.
16.4 Beispiel: Linearer Stark-Effekt beim n=2 Niveau des H-Atoms
Energieniveaus des ungestörten H-Atoms mit Hauptquantenzahl n=2 sind (ohne Spin) 4-fach
„zufällig“ entartet. Zustände n, l , m : 2,0,0 ; 2,1,0 , 2,1,1 , 2,1,−1 haben die gleiche Energie
123 144424443
2s
2p
2
q
im ungestörten H-Atom.
8a0
r
r r
~
~
~
Störung: V = − D ⋅ E = − Dz E = − qzE mit E = 0,0, E
a) Berechnung der Matrix 2, l , m | V | 2, l ′, m′ . Diese 4x4 Matrix der Störung im
ε2 = −
(
)
Entartungsunterraum des Niveaus n=2 muss diagonalisiert werden um eine neue Basis
in H n0 zu bestimmen. 2, l , m | V | 2, l ′, m′ = 0 falls m ≠ m’.
Quantenmechanik I
105
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Nebenrechnung:
~
Beweis: [V , Lz ] = 0 = − qE [z , Lz ]
0 = 2, l , m | VLz − LzV | 2, l ′, m′ = h(m'−m ) 2, l , m | V | 2, l ′, m′ . Allgemein: Wenn V mit
Konstanten der Bewegung von H0 kommutiert ([H0,A]=0) Î Die Matrixelemente von V
liegen zwischen Zuständen mit verschiedenen EWen von A = 0.
l ′, m′
l, m
0,0
1,0
1,1
1,-1
0,0
1,0
1,1
1,-1
0
~
γE
0
0
γE
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
~
~
Mit γ = 3qa0 . Da V = − qEz ungerade Parität hat und die Zustände l,l’=0 gerade und
l,l’=1 ungerade Partität haben Î nur Kombinationen l=0, l’=1 bzw. l=1, l’=0 sind
möglich.
∞
[
]
*
~
2, l , m | V | 2, l ′, m′ = − qE ∫ dr ⋅ r 2 ∫ dΩ R2,l (r )Yl m (θ ,ϕ ) r ⋅ cos(θ ) R2,l ′ (r )Yl ′m′ (θ ,ϕ )
1
424
3
0
z
Y (θ ,ϕ ) ∝ cos(θ )
Mit Y (θ ,ϕ ) = const .
~
= ...3qa0 E
0
1
0
0
Y (θ ,ϕ ) ∝ sin(θ )e ± iϕ
±1
1
Da nur 2 Außerdiagonalelemente (von nα | V | nβ ≠ 0 für α ≠ β ) nicht verschwinden,
brauchen wir nur neue Eigenzustände von H0 in 2x2 Unterraum des Zustandes 2,0,0
~⎛ 0 1 ⎞
~
⎟⎟ sind ± γE und die EVen sind
und 2,1,0 mit m=0. Die EWe von γE ⎜⎜
⎝1 0⎠
1 ⎛1⎞
1 ⎛1⎞
⎜⎜ ⎟⎟ und
⎜ ⎟.
2 ⎜⎝ − 1⎟⎠
2 ⎝1⎠
Statt alter Zustände 2,0,0 und 2,1,0 nehme:
1
( 2,0,0 ± 2,1,0 ) als EVen von H0.
2
Dann gilt in Ordnung λ:
E 2, + = ε 2 + λ + | V | + + O (λ2 )
1
42
4
3
~
± =
γE
( )
E 2 , − = ε 2 + λ − | V | − + O λ2
1
42~4
3
−γE
( )
+ λ ⋅ 0 + O (λ )
E 2,1,1 = ε 2 + λ ⋅ 0 + O λ2
E 2,1, −1 = ε 2
2
Quantenmechanik I
106
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Abbildung 16.4: Energieübergänge
~
Falls das Atom vor dem Einschalten von E z.B. in 2,0,0 = 2s Zustand war, dann entwickelt
~
~
sich daraus bei Einschalten von E ein gestörter Zustand für E → 0 der Linearkombinationen
von + und − ist.
~
~
Bei Messung der Energie im gestörten 2,0,0 Zustand wird ε 2 + γE und ε 2 − γE mit gleicher
Wahrscheinlichkeit gemessen.
16.5 Feinstruktur des H-Atoms
2
p2 q2
⎛v⎞
−
Effekte, die aus den relativistischen Korrekturen der Ordnung ⎜ ⎟ zu H 0 =
2m r
⎝c⎠
v
ergeben. Abschätzung von mit Grundzustandsenergie:
c
2
0| p |0
1
q
1
− mc 2α 2 = −
=
− q2 0 | | 0
2
2a 0
2m
r4
1
42
3
1
a0
0 | p2 | 0
1 2
q2
1
1
(Feinstrukturkonstante)
≅ mv ≅
= α 2 mc 2 , α ≈
2m
2
2a 0 2
137
v
1
Also: ≅ α ≅
c
137
2
⎛v⎞
Aus einer Berechnung der relativistischen Korrekturen bis zur Ordnung ⎜ ⎟ in H der
⎝c⎠
Entwicklung der Diracgleichung (einer qm. Gleichung inklusive relativistischen Phänomenen)
ergibt sich der Feinstrukturhamiltonoperator für das H-Atom:
p2 q2
q2
−
,
V (r ) = − , mc 2 : Ruheenergie des Elektrons
H − mc 2 = H 0 + W , H 0 =
2m r
r
r2
r2
2
p 1 p
r 2
W2 =
W = W1 + W2 + W3
⋅ ⋅ 2 2 aus der Entwicklung von (cp ) + mc 2 .
2m 4 m c
2 2
h ∇ V (r )
W3 =
: Darwin Term
8m 2 c 2
13 4 2
1
Es gilt: 2 s | W2 | 2 s = −
α mc und 2 s | W3 | 2 s = α 4 mc 2
16
128
(
)
Quantenmechanik I
107
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a) Spin-Bahn Kopplung
2
q2
1
1
1 dV (r ) r r 1 ⎛ q ⎞ 1 r r
mit
(
)
=
−
V
r
⋅
⋅
L
⋅
S
⋅L⋅S = ⎜
W1 = ⋅ 2 2 ⋅ ⋅
⎟
r
2 m c r
2 ⎝ mc ⎠ r 3
dr
Physikalische Erklärung:
r
p
Das Elektron bewegt sich mit der Geschwindigkeit
im elektrischen Feld
m
r
r
1 dV (r ) r
E=− ⋅
⋅ des Kerns. Bei geradliniger Bewegung „sähe“ das Elektron im
q dr
r
v
p
lautet:
eigenen Ruhesystem ein Magnetfeld das in Ordnung =
c mc
r r
r r
r
v×E
p× E
1
1 dV (r ) r r
1
1 dV (r ) r
B=− 2 =−
=
⋅ ⋅
⋅(p × r ) = −
⋅ ⋅
⋅L.
2
2
2
dr
dr
c
mc
mqc r
mqc r
Der Spin des Elektrons wechselwirkt mit diesem B-Feld gemäß:
r
r
q r r
1
1 dV (r ) r r
⋅ L ⋅ S . Der fehlende Faktor ½ ergibt
W ′ = − M Spin ⋅ B = − ⋅ S ⋅ B = 2 2 ⋅ ⋅
dr
m
m c r
sich, wenn berücksichtigt wird, dass das Elektron sich nicht geradlinig bewegt – das
Bezugssystem des Elektrons rotiert um den Kern Î Thomas Präzession.
Im Folgenden die Feinstruktur des H-Atoms – wegen Spin-Bahn Kopplung
2
r r
1⎛ q ⎞ 1
H = H 0 + ξ (r ) ⋅ L ⋅ S mit ξ (r ) = ⎜
⎟
2 ⎝ mc ⎠ r 3
b) Wahl der Basisvektoren (Vgl. 14.3)
r r r
J = L+S
r
r
Entweder
a) gemeinsame EVen von H 0 , L2 , L z , S 2 , S z → n, l , ml , s, m s
r r r
oder
b) gemeinsame EVen von H 0 , L2 , S 2 , J 2 , J z → n, l , s, j , m j
Die Matrixelemente von H bezüglich a) sind nicht diagonal, weil a)-Zustände nicht
r r
r r
r r
EVen von L ⋅ S sind, da L ⋅ S , S z ≠ 0 , ebenso L ⋅ S , L z ≠ 0 .
r
r r 1 r
r
Aber die b)-Zustände sind EVen von L ⋅ S = J 2 − L2 − S 2 somit
2
2
r
r
⎛
h ⎛
3 ⎞⎞
⎜⎜ L ⋅ S − ⎜ j ( j + 1) − l (l + 1) − ⎟ ⎟⎟ n, l , s, j, m j = 0 .
2 ⎝
4 ⎠⎠
⎝
r r
D.h. Störungsterm L ⋅ S ist diagonal in der b)-Darstellung und braucht bei Entartung
nicht noch diagonalisiert zu werden.
[
]
[
[
]
]
c) Feinstruktur des n=2 – Niveaus
r r
Der Grundzustand n=1, l=0 hat keine FS-Aufspaltung aufgrund der L ⋅ S -Kopplung.
1
1 ⎛ mc 2α 2 ⎞
⎜−
⎟ ist 4-fach entartet:
=
=
ε
ε
n=2: Ungestörtes n=2 Niveau mit 2
1
4
4 ⎜⎝
2 ⎟⎠
2s Niveau:
2p Niveau:
l = 0, ml = 0
l = 1, ml = ±1,0
1 Zustand
3 Zustände
„zufällig“ entartet
Quantenmechanik I
108
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Mit Spinfreiheitsgrad verdoppelt sich jeweils die Zahl der ungestörten Zustände.
1
1
1
l=0
Zwei 2s-Zustände: n = 2, l = 0, s = , j = , m j = ±
→ 2s
2
2
2
n=2
j=½
Sechs 2p-Zustände:
⎧2 p 3
⎧ 3 , 1 ,− 1 ,− 3 ⎫
1
1 ⎧3⎫
n = 2, l = 1, s = , j = l ± = ⎨ 12 ⎬, m s = ⎨ 2 21 21 2 ⎬ → ⎨ 2
2
2 ⎩2⎭
⎩ 2 ,− 2 ⎭
⎩2 p 1 2
l=1
j
l=1
j
Also gibt es vier 2 p 3 2 Zustände und zwei 2 p 12 Zustände.
Die Spin-Bahn Wechselwirkung verursacht in 1. Ordnung keine Verschiebung des
2s 12 Niveaus.
2
r r
1⎛ q ⎞ 1
W1 = ζ ( r ) S ⋅ L mit ζ (r ) = ⎜
⎟
2 ⎝ mc ⎠ r 3
2s und l = 0
⎧
mit n = 2⎨
⎩2 p und l = 1; ml = −1,0,1
n
l
s
2s 12
2
0
1
2 p 12
2
1
1
2 p32
2
1
1
[
j= l±s
2
2
2
1
1
3
2
mj
± 12
2
± 12
2
3
2
, 1 2 ,− 1 2 ,− 3 2
]
r r 1 r
r r
Aus b) EVen von L ⋅ S = J 2 − L2 − S 2
2
⎤
1⎡
= h 2 ⎢ j ( j + 1) − l (l + 1) − s ( s + 1)⎥
123 ⎥
2⎢
3
4
⎣
⎦
W1 verursacht keine Verschiebung des 2s 12 Niveaus
r r
E2 s 1 = ε 2 + λ ⋅ 0 + O λ2 mit L ⋅ S 2s 12 = 0
( )
2
⎛ mc 2α 4 ⎞
⎟⎟ + O λ2
E2 p 1 = ε 2 + λ ⋅ ⎜⎜ −
2
48 ⎠
⎝
r r r
h2 ⎡3
3⎤
1
1
1 1
− 2 − ⎥ = −h 2ζ 2 p
Beweis: n = 2, l = 1, s = , j = , m j | ζ (r ) L ⋅ S | 2,1, , , m j = ζ 2 p
⎢
2
2
2 2
2 ⎣4
4⎦
( )
ζ 2p
E2 p3
∞
2
1⎛ q ⎞ 1
mc 2 4
= ∫ dr ⋅ r Rn=2,l =1 (r ) ⎜
α
⎟ 3 =
2 ⎝ mc ⎠ r
48h 2
0
2
2
⎛ mc 2α 4
= ε 2 + λ ⎜⎜
⎝ 96
2
⎞
⎟⎟ + O λ2
⎠
( )
Quantenmechanik I
109
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⎡
⎤
4
r r r
h2 ⎢3 5
h2
1
3
1 3
3⎥
2 α
ζ
2
n = 2, l = 1, s = , j = , m j | ζ (r ) L ⋅ S | 2,1, , , m j = ζ 2 p
=
=
mc
⋅
−
−
2p
⎥
2
2
2 2
2 ⎢1
2 4
2 43
2
96
44 ⎥
⎢⎣ 42
=1
⎦
1
1⎛ 1
⎞
Î Niveauschema in linearer Ordnung, Störungstheorie für ε 2 = ε 1 = ⎜ − mc 2α 2 ⎟ wegen
4
4⎝ 2
⎠
Spin-Bahn Kopplung.
n=2
Abbildung 16.5: Energieniveaus
Î relative Niveauverschiebung ∝ α 2 = 5 ⋅ 10 −5 .
r r
Weitere Feinstruktureffekte mit gleicher Größenänderung wie von L ⋅ S
H = H 0 + W1 + W2 + W3
2
1⎛ q ⎞ 1 r r
W1 = ⎜
S ⋅ L Spin-Bahn
⎟
2 ⎝ mc ⎠ r 3
r
r 2
r 2
1 p2 ⎛ p ⎞
⎛ p ⎞
2
relativistische
Korrektur
von
W2 = −
+
1
mc
⎜
⎜
⎟
⎟
8 m ⎝ mc ⎠
⎝ mc ⎠
2
r
r
h 2 ∇ 2V (r ) π ⎛ hq ⎞
2 1
= ⎜
W3 =
= −4πδ (r )
⎟ δ (r ) mit ∇
2
2 ⎝ mc ⎠
r
8mc
Ψ | Wn | Ψ
Matrixelemente der Störungen
2
ε1 α
Ψ
3
W1
W2
W3
∑W
n =1
2s 12
2 p 12
2 p 32
0
1
24
1
48
−
13
64
7
−
192
7
−
192
−
1
8
0
0
n
5
64
5
−
64
1
−
64
−
Quantenmechanik I
110
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17 Andere Methoden für stationäre Probleme
RS-Störungstheorie erzeugt komplizierte Ausdrücke, bei denen die Übersicht über die
Struktur der Störungstheorie verloren geht.
17.1 Born’sche Störungstheorie der Streuung (siehe 13)
17.2 Brillouin-Wigner Störungstheorie
BW-Störungstheorie ist ähnlich zur Lippmann-Schwingergleichung im Hilbertraum.
Problem: (E n − H 0 ) N = λ ⋅ V N , gesucht ist N = EV von H = H 0 + λV und zugehöriger
EW En. Bekannt ist: H 0 n = ε n n .
Multiplikation mit m
(E n − ε m ) m
N = λ m | V | N mit der Normierung n N = 1 folgt für m = n
E n − ε n = λ n | V | N vgl. §16.12
Ferner N = n + ∑ ' m m N und N = ∑ i i N
m
i
N = n + λ∑ '
m
m m |V | N
B-W
En − ε m
Î n | H | N = n | H 0 + λV | n + λ ∑ ' n | H 0 + λ V | m
m
E n = ε n + λ n | V | n + λ2 ∑ '
m
m |V | N
En − ε m
n |V | m m |V | N
En − ε m
Rayleigh-Schrödinger Störungstheorie durch Iteration aus BW-Störungstheorie.
17.3 Rayleigh-Ritz Variationsverfahren
Nicht störungstheoretisches Verfahren zur approximativen Berechnung von
Grundzustandsproblemen. Es beruht auf der Tatsache, dass Erwartungswert Ψ | H | Ψ von H
mit beliebigen Ψ größer ist als Grundzustandsenergie E0.
Ψ|H |Ψ
Ψ Ψ
≥ E 0 (= E0 für Ψ = Grundzustand)
EWe
}
Beweis: Wenn H = ∑ N E n N
{
N =EV von H zum EW En
EVen
Ψ | H | Ψ = ∑ Ψ N E n N Ψ ≥ ∑ Ψ N E0 N Ψ = E0 Ψ Ψ
N
N
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111
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Technisches Vorgehen: Wähle Versuchs (trial) funktion (zustand) Ψt , die Parameter
r
r
r
r
enthält. Z.B. r Ψt = Ψt (r , α ) = e − α für Trialgrundzustandswellenfunktion des H-Atoms.
Suche α so, dass
Ψt | H | Ψt
Ψt Ψ t
minimal ist.
Anderer Typ: z.B. Ψt (r , α , β ) = r β e −αr . Suche α und β so, dass der Ausdruck
2
Ψt | H | Ψt
Ψt Ψ t
minimal wird.
18 Zeitabhängige Störungstheorie
Problem: H (t ) = H 0 + λV (t )
VONS von Eigenvektoren n von H 0 sowie Eigenwerte ε n seien bekannt.
V(t) ist eine zeitabhängige Störung, λ ist ein dimensionsloser Kopplungsparameter, λÆ1
Gesucht ist die Lösung Ψ (t ) der Schrödingergleichung ih∂ t Ψ (t ) = [H 0 + λV (t )] Ψ (t )
Methode: Entwicklung von Ψ (t ) in Potenzreihe in λ.
18.1 Wechselwirkungsbild
Das Problem vereinfacht sich, wenn man statt der Schrödingergleichung für Ψ (t ) die DGL
i
~
für Ψ (t ) = e
H0
t
h
Ψ (t ) im „Wechselwirkungsbild“ löst.
~
~
Falls Lösung Ψ (t ) bekannt ist, d.h. alle Koeffizienten c~n (t ) = n Ψ (t ) in der Darstellung
~
Ψ (t ) = ∑ n n Ψ (t ) = ∑ n c~n (t ) vorliegen.
1
424
3 n
n
c~n (t )
Ù Lösung Ψ (t ) = ∑ n n Ψ (t ) = ∑
n
H0
εn
i t
i t
n cn (t ) bekannt, da c~n (t ) = n e h Ψ (t ) = e h cn (t )
n
~
Die Schrödingergleichung für Ψ (t ) lautet:
i
~
~ ~
~
ih∂ t Ψ (t ) = λV (t ) Ψ (t ) wobei V (t ) = e
H0
t
h
V (t )e
−i
H0
t
h
(unitär transformierter Operator) der
Störungsoperator im WW-Bild ist.
Beweis:
H
i 0t
⎡ i H0 t
⎤
ih∂ t ⎢e h Ψ (t ) ⎥ = λe h V (t ) Ψ (t )
⎣
⎦
e
i
H0
t
h
[− H 0 + ih∂ t ] Ψ(t )
= λe
i
H0
t
h
V (t ) Ψ (t ) Î alte Schrödingergleichung
Quantenmechanik I
112
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18.2 Störungstheoretische Lösung der Schrödingergleichung
Es gibt 2 äquivalente Verfahren:
a) Bewegungsgleichung für Entwicklungskoffizienten c~n (t )
~
n SG
⇒ ihc~& (t ) = λV (t )c~ (t )
Summenkonvention
WW Bild
n
nm
m
Gekoppeltes System von linearen DGL 1. Ordnung für
ε
i nt
~
cn (t ) = n Ψ (t )
c~n (t ) = n Ψ (t ) = e h cn (t )
Mit zeitabhängigen Faktoren
ε −ε
i n mt
~
~
Vnm (t ) = n V (t ) m = e h n V (t ) m = eiωnmtVnm (t ) ; hω nm := ε n − ε m
z.B. Potenzreihenansatz
c~n (t , λ ) = c~n(0 ) (t ) + λc~n(1) (t ) + λ ² c~n(2 ) (t )
Einsetzten in DGL Î Sequenz von inhomogenen DGL-Systemen
~
ihc~&n( j +1) (t ) = Vnm (t )c~m( j ) (t ) die sukzessiv zu lösen sind.
b) Approximative Lösung der Schrödingergleichung mittels äquivalenter
Integralgleichung
t
~~
∫ dt 'S G
t0
λ
~
~
~
~
dt 'V (t ') Ψ (t ')
Î Ψ (t ) = Ψ (t 0 ) +
∫
ih t0
t
Höhere Ordnungen in λ werden durch Iteration erreicht:
z.B.:
λ
~
~
~ ~
⎛λ⎞
Ψ (t ) = Ψ (t 0 ) + ∫ dt 'V (t ') Ψ (t 0 ) + ⎜ ⎟
ih t 0
⎝ ih ⎠
t
2 t
t'
t0
t0
~
~
~
∫ dt 'V (t ')∫ dt ' 'V (t ' ') Ψ (t ' ')
18.3 Übergangswahrscheinlichkeit
Problem hierbei:
Das quantenmechanische System möge sich zur Zeit t0 im Eigenzustand i des
ungestörten Hamiltonoperators H0 zum Eigenwert ε i (H 0 i = ε i i
) befinden, aber
ε
i i to
~
Ψ (t 0 ) = i und Ψ (t 0 ) = e h i
Frage:
Wie groß ist die (Übergangs-) Wahrscheinlichkeit Wi →n (t ) zur Zeit t≥t0 das System im
Eigenzustand n des ungestörten Systems zu finden?
Beispiel:
Die Störung (bestehend aus einem elektromagnetischen Feld, z.B. Lichtquelle) koppelt
an Atome an und verursacht eventuell einen Übergang i → n .
Antwort:
Quantenmechanik I
113
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Wi→n (t ) = n Ψ (t ) =Wahrscheinlichkeit das System zum Zeitpunkt t im Zustand n
2
zu finden, wenn es zum Zeitpunkt t0 im Zustand Ψ (t 0 ) = i war.
Das Skalaprodukt n Ψ (t ) wird aus Integralgleichung bis zur linearen Ordnung in λ
berechnet:
λ t
~
~
~ ~
n Ψ (t ) = n Ψ (t 0 ) + ∫ dt ' n V (t ') Ψ (t 0 ) + O(λ ² )
ih t 0
e
i
εn
h
t
n Ψ (t ) = e
i
εn
h
t0
ni +
λ
i
t
∫ dt ' e
ε n −ε i
t'
h3
12
ω ni
ih t 0
n V (t ') i e
i
εi
h
t0
Für n ≠ i ÎÜbergangswahrscheinlichkeit
t
1
Wi→n (t ) = λ ² ∫ dt ' e iωnit ' n V (t ') i
h ² t0
2
In niedrigste Ordnung der Störungstheorie wobei hω ni = ε n − ε i
In V(t) wurde Abhängigkeit von Operatoren und Parametern nicht explizit angezeigt.
18.4 Die Störung V (t ) = VΘ(t )
Das Einschalten einer konstanten Störung kann Übergänge induzieren.
Abbildung 18.4a: Einschalten einer Störung bei t0=0
Vor Einschalten der Störung liegt Zustand Ψ (t 0 ) = i vor.
Wi→n (t ) =
nV i
h²
2
t
∫ dt ' e
0
2
iωni t '
=
Vni
h
2
2
⎛ω ⎞
sin ²⎜ t ⎟
⎝ 2 ⎠;
2
⎛ω ⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
ω = ω ni =
εn −εi
h
;
Vni = n V i
Frage:
Wie groß ist für festes t die Wahrscheinlichkeit, den Zustand n mit Energieabstand
hω = ε n − ε i vom Anfangszustand i zu finden?
Antwort:
Betrachte Wi→ n für festes t als Funktion von ε n bzw. hω .
Quantenmechanik I
114
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Abbildung 18.4b: Wahrscheinlichkeitsverteilung für Zustandsübergang
Für große Zeiten gibt es praktisch nur Übergänge in Zustand mit Energien ε n − ε i ≤ h
2π
,
t
denn der zentrale Peak bei ω = 0 wächst ∝ t² und die Fläche darunter wächst ∝t und
Nebenpeaks werden relativ dazu kleiner. D.h. außerdem, dass während der Zeit ∆t=t-t0 seit
Einschalten mit großer Wahrscheinlichkeit Übergänge zu einem Zustand stattfinden, so dass
die Energieänderung ∆ε = ε n − ε i ist, mit ∆ε∆t ∝ 2πh .
⎛ω ⎞
sin ²⎜ t ⎟
⎝ 2 ⎠ ≅ tπδ ⎛ ω ⎞ = t 2πhδ (ε − ε )
Für lange Zeiten gilt:
⎜ ⎟
n
i
2
⎝2⎠
⎛ω ⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
Funktion:
1 sin ²(Tx )
⎯T⎯
⎯→ δ ( x )
→∞
π Tx ²
1
Fläche Æ1; Breite ∝ → 0
T
Also: Wi→n (t ) ≅ t
2π
2
Vni δ (ε n − ε i )
h
Definition:
Übergangsrate:
dWi →n (t )
=Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit
Γi →n (t ) :
dt
2π
2
Γi →n (t ) ≅
Vni δ (ε n − ε i ) für lange Zeiten
h
Quantenmechanik I
115
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
18.5 Fermi’s Goldene Regel
Für Übergänge ins Kontinuum
Häufig liegen ε i und ε n in Kontinuum von Zuständen
Abbildung 18.5: Zustandskontinuum
Sei Γi→[n ] (t ) =
∑ Γ (t ) die Gesamtübergangsrate für Übergänge in die Zustände n ∈ [...] ,
n∈[K]
i →n
deren Energien ε n ∈ [...] in einem endlichen Intervall um ε i ~ ε n herum liegen. Dann gilt:
Γi →[n ] ≅
{
2π
ε n ,α n V ε i ,α i
h
2
}
ρ (ε n )
Fermi’s Goldene Regel
ε n =ε i
Hier ist ρ (ε ) die Dichte der Energiezustände bei ε
j = ε j ,α j
ε j : Energieeigenwerte vom Zustand j
α j : Alle restlichen Quantenzahlen und Parameter die den
Zustand j charakterisieren.
Exkurs:
Dichte von Energiezuständen:
Es gilt: ∑ f (ε n ) = ∫ dερ (ε ) f (ε ) mit ρ (ε ) =
n∈[K]
[...]
∑ δ (ε − ε ) =Dichte der Energieniveaus
n
n∈[...]
∫ dερ (ε ) = [N] = Gesamtzahlder Zustände im Intervall = ∑[ 1]
K
[K]
n∈ ...
Beweis von Fermi’s Goldener Regel:
2π
2π
2
Γi →[n ] ≅ ∑
Vni δ (ε n − ε i ) →
dερ (ε ) εα n V ε iα i
h ∫
n∈[...] h
2
2π
=
ρ (ε n ) ε n , α n V ε i , α i
ε n =ε i
h
{
2
δ (ε − ε i )
}
18.6 Die Störung V (t ) = Θ(t )[Ve −iωt + V + eiωt ]
V(t)
t
Abbildung 18.6a: zeitabhängige Störung, Oszillation um Mittelwert t=0
Bei t0 = 0 liege wieder Ψ (t 0 ) = i vor.
Übergangswahrscheinlichkeit:
Quantenmechanik I
116
1
Wi →n (t ) = 2
h
mit Ω ± = ω ni ± ω =
∫ dt ' e [V
t
iωni t '
ni
e
− i ωt
+ (V
+
0
ε n − ε i ± hω
h
)
ni
e
i ωt
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
]
2
1 1 − e iΩ − t
1 − e iΩ + t *
= 2
Vni +
Vin
h
Ω−
Ω+
2
und (V + )ni = n | V + | i = (Vin )
*
⎧ 2 ⎛ Ω− ⎞
⎫
⎛Ω ⎞
sin 2 ⎜ + t ⎟
t⎟
⎪ sin ⎜
⎪
1 ⎪
2⎪
2
2 ⎠
2 ⎠
⎝
⎝
Wi→n (t ) = 2 ⎨
Vni +
Vin ⎬ +Mischterme, die für große Zeiten
2
h ⎪ ⎛ Ω− ⎞2
⎛ Ω+ ⎞
⎪
⎜
⎟
⎪⎩ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎪⎭
⎝ 2 ⎠
gegenüber den ersten vernachlässigbar sind
⎫
⎧
⎪⎪
⎪
2π ⎪ 2
2
Vni δ (ε n − ε i − hω ) + Vin δ (ε n − ε i + hω )⎬
Î Übergangsrate: Γi→n (t ) ≅
⎨1
3 14442444
3⎪
h ⎪ 4442444
e Absorption
stimulierte Emission
⎪⎭
⎪⎩ εstimuliert
=
ε
+
h
ω
ε
=
ε
−
h
ω
n
i
n
i
Das ungestörte System wird durch Störung V(t) zu Übergängen stimuliert.
Anfangszustand
Endzustand
i
ε i = ε n + hω
ε n = ε i + hω
hω
n
εn
System gibt Energie hω
ab bei Übergang
i → n
Stimulierte Emission
hω
Endzustand
Anfangszustand
εi
System absorbiert
Energie hω bei
i → n
Übergang
Stimulierte Absorption
Abbildung 18.6b: stimulierte Emission und Absorption
Wenn ε n > ε i Î Absorption (1. Term)
Wenn ε n < ε i Î Emission (2. Term)
n
i
Quantenmechanik I
117
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Fermis Goldene Regel für Übergänge in Zustände n ∈ [K] mit Energien ε n aus endlichem
Energieintervall um ε n = ε i ± hω herum.
(
(
)
)
2π
2
für Emission
Vin ρ (ε n )
ε n =ε i −hω
h
2π
2
für Absorption
Γiabs
Vni ρ (ε n )
→[n ] =
ε n =ε i + hω
h
Γiem
→[n ] =
Emissionsrate für i → [n]
Absorptionsrate n → [i ]
=
⇔ detaillierte Balance
Dichte der Endzustände ρ (ε n ) Dichte der Endzustände ρ (ε i )
i
↓
n
=
i
↑
n
Quantenmechanik I
118
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
19 Atom im elektromagnetischen Feld
Elementare Theorie für Wechselwirkung eines Atoms mit klassischem (nicht quantisiertem)
Feld als Beispiel für zeitabhängige Störung.
19.1 Atomares Elektron im Feld einer ebenen EM-Welle
r
a) ebene Welle: Vektorpotential für ebene Welle mit ω = ck = c k
rr
r r
r rr
r
A(r , t ) = ae i (kr −ωt ) + a * e −i (kr −ωt )
r r
r
r
∇A = 0 k ⋅ a = 0
a = komplexe Amplitude des Vektorpotentials
Eichung:
(Amplitudenvektor)
rr
rr
r
r r
r
r
r
1
E (r , t ) = − ∂ t A(r , t ) = ikae i (kr −ωt ) + c.c. = Re[2{
ika e i (kr −ωt ) ]
r
c
E0
r r
r r i (krrr −ωt )
r r
r r
r
B(r , t ) = ∇ × A(r , t ) = i k × a e
+ c.c.
B0 = 2ik × a
mit
r r r r
r
r r r r
k ⊥ E ⊥ B ⊥ k und E = B ; k , E , B bilden Rechtssystem
Es gilt:
r
r
r
r
r
a und E in z-Richtung, B in x-Richtung, k in y-Richtung
z.B.: a = (0,0, a ) a ∈ C
(
)
Energiedichte der Welle [Energie Volumen]
r
1 ⎡ r r 2 r r 2⎤
1 r r 2
u (r , t ) =
E (r , t ) + B(r , t ) =
E (r , t )
⎥⎦ 4π
8π ⎢⎣
Poyntingvektor =ˆ Energiestromdichte [Geschwindigkeit • Energiedichte]
r
r r
r k
c r r
S (r , t ) =
E × B = cu (r , t )
Abbildung 19.1:
4π Feldorientierung k
2
r
1 r r * 4k 2 r r *
1 ⎛ω ⎞ 2
Mittel über eine Periode: < u (r , t ) >=
E0 ⋅ E0 =
a⋅a =
⎜ ⎟ a
8π
8π
2π ⎝ c ⎠
r
p2
b) Hamiltonoperator: H 0 =
+ U (r ) : Hamiltonoperator eines atomaren Elektrons
2m
im effektiven Potential U (r ) bei Abwesenheit des EM-Feldes.
q2
Für H-Atom U (r ) = −
r
r r
1 ⎛r q
Hamiltonoperator im EM-Feld A(r ,t ) : H =
⎜p−
2m ⎝
c
= H 0 + W (t )
Störhamiltonoperator:
r ⎞2
r
r
A ⎟ + U (r ) − M Spin ⋅ B
⎠
Quantenmechanik I
119
W (t ) = −
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
r
q ⎛⎜ r r r r ⎞⎟ r
q2 r 2
p
A
A
p
M
B
A
⋅
+
⋅
−
⋅
+
{ ⎟
Spin
2
{
mc
2mc ⎜ Operator
2
Ort
1
424
3
⎝
⎠
→0 da kleine
Feldamplitude
=−
r q r r r
q r r
A(r , t ) ⋅ p −
S ⋅ B(r , t )
mc
mc
r r r r
r r
p
⋅
A
=
A
⋅
p
+
p
⋅A
{
123
r r
0
p ⋅[ A⋅ Ψ ]
(
)
wegen Eichung von A
W (t ) = Ve
+ V + e i ωt
r r r
q ikrrr r r
q
V =−
e ap + i k × a ⋅ S = −
a[Pz + ikS x ]e iky
mc
mc
r
r
Wegen a = (0,0, a ) , k = (0, k,0 )
q *
V+ =−
a [Pz − ikS x ]e −iky
mc
− i ωt
[
wobei
[
]
) ]
(
Beachte: p z , e iky = 0
Nach §18.6 versucht bei der periodischen Störung W (t ) = Ve −iωt + V + e iωt
⎧V ⎫
der Term ⎨ + ⎬ Übergänge i → f bei denen das Atom ein Photon
⎩V ⎭
aus dem Feld absorbiert
⎧
⎫
der Energie hω ⎨
⎬.
⎩in das Feld emittiert (stimulierte Emission durch das Feld)⎭
i
Hier:
atomarer Anfangszustand
(initial state)
f
atomarer Endzustand
(final state)
(in 18 war der Endzustand n statt f )
c) Absorptionsquerschnitt:
σ i→ f (ω )
pro Zeit vom Atom durch Übergang i → f absorbierte Energie
Energiestromdichte (des " einfallenden" Feldes)
Energie
⎡
⎤
Zeit
⎢
[σ ] = ⎢ Energie
= Fläche⎥
⎥
⋅ Geschwindigkeit
⎢⎣
⎥⎦
Volumen
σ i → f (ω ) =
σ i→ f (ω ) =
hωΓiabs
→f
cu
hω 2hπ < f | V | i > δ (ε f − ε i − hω )
2
=
c 21π ( ωc ) a
2
2
rr ⎡ r r
⎛
4π 2 h ⎛ q 2 ⎞
ik r a ⋅ p
= 2 ⎜⎜ ⎟⎟ < f | e ⎢ r + i⎜⎜ k ×
m ω ⎝ hc ⎠
⎝
⎣⎢ a
1
2
3
1
=α = 137
Bei jedem Übergang wird hω absorbiert.
r
a
r
a
2
⎞ r⎤
⎟ ⋅ S ⎥ | i > ⋅ δ (ε f − ε i − hω )
⎟
⎠ ⎦⎥
Quantenmechanik I
120
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
d) Abschätzung der relativen Größe der Störbeiträge:
Matrixelement von Pz zwischen gebundenen atomaren Zuständen ist ∝ einiger
die Wellenfunktion jenseits von einigen Bohrradien, a0, schnell gegen 0 abfällt.
[H-Atom:
Rn ,l ∝ e
− nar
0
]
Matrixelement von S x ≈ h2
k < S x > hka0 a0
⇒ Verhältnis
≅
≈
h
λ
< pz >
λ Licht ≅ 5000 Å
a0 ≅ 1 Å
k=
2π
λ
h
a0
, da
Quantenmechanik I
121
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
19.2 Elektrische Dipolübergänge
q
ap z e iky , W (t ) = Ve − iωt + V + e iωt
mc
2
2
2π ⎛
+
⎞
In die Übergangsrate Γi→ f =
⎜ f | V | i δ (ε f − ε i − hω ) + f | V | i δ (ε f − ε i + hω )⎟
⎠
h ⎝
gehen ein: δ-Funktion – Energieerhaltung: ε f = ε i ± hω für Absorption/Emission eines
Hier V = −
Photons beim Übergang i → f , andererseits die Matrixelemente f V i und f V + i . Aus
letzteren folgen:
Auswahlregeln für elektrische Dipolübergänge
q
a f | p z e iky | i „elektrische Dipolnäherung“ im Matrixelement:
f |V | i = −
mc
e iky = 1 + O(ky )
Wellenfunktionen der gebundenen Zustände fallen exponentiell ab auf der Skala einiger
Bohrradien, aber ka0 << 1
Abbildung 19.2: Wellenfunktion bei elektrischen Dipolübergängen
Das elektromagnetische Feld muss, damit es Übergang i → f
machen kann, die Energie
(
)
1
eV − 10eV haben, also λ : 1,2 ⋅10 6 − 1200 Å
100
Auswahlregeln aus Berechnung der Störmatrixelemente in Dipolnäherung:
εi −ε f
q
q
m
f |V | i = −
a j f | Pj | i = −
aj
f | X j H 0 − H 0 X j | i = −a j
q f | X j |i
mc
mc ih
i hc
r
1 r
= − E0 f | D | i
2
r
r
rr
Im Allgemeinen ist a ≠ aez . Dann ist ap zu benutzten.
r
Beachte: ez ist durch Drehimpulsdarstellung von H0 ausgezeichnet.
r
r
ε f −εi
Pj
r 1 r
Es gilt: ih = X j , H 0 und
= ω = ck und ka = E0 sowie D = qX
m
h
2
f | X j | i ≠ 0 nur falls l f = li ± 1 und mf = mi 0,+1,-1.
hω = ε i − ε f im Bereich zwischen
[
]
Auswahlregeln für elektrische Dipolübergänge ∆l = l f − li = ±1 und ∆m = m f − mi = −1,0,1
r r
r
* r
Beweis: f | X j | i = ∫ d 3 r f | X j | r r i = ∫ d 3 rΨ f (r )X j Ψi (r )
r
r
r
m
mit Ψi (r ) = r i = r ni , li , mi = Rni ,li (r )Yli i (Θ,ϕ )
Quantenmechanik I
122
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
(
3
2π
0
1
−1
rY1 und x2 = r sin Θ sin ϕ = i
r Y1 + Y1
4π
3
Auswahlregeln folgen aus Winkelintegralen
z.B. x3 = r cos Θ =
( )
]] (
*
)
z.B. ∫ dΩ Yl f f Y1 Yli i weiter mit Additionstheorem
r
r r
L2 , L2 , X = 2h 2 L2 X − XL2 und
r r
r r
r
2
l ′, m′ | L2 L2 X − XL2 − L2 X − XL2 L2 | l , m = ... = (l + l ′)(l + l ′ + 2) (l − l ′) − 1 l ′, m′ | X | l , m
m
[ [
1, 0 , −1
(
m
) (
)
(
)
)
19.3 Magnetische Dipol- und elektrische Quadrupolübergänge
r
r
q
W (t ) = Ve − iωt + V + e iωt und k = (0, k ,0) sowie a = (0,0, a ) V = −
a( p z + ikS x )e iky
mc
rr
a
p
In Ordnung k0 war V = VeD + O (k ) wobei VeD = − q
mc
In nächster Ordnung der Entwicklung von V nach Potenzen von k gilt:
q
V = VeD − i
ak ( Lx + 2 S x + pz y + zp y ) + O k 2
2
mc
14442444
3
( )
V mD
( )
V = VeD + VmD + VeQ + O k 2
1
1
1
1
Hier: p z y = ( p z y − zp y ) + ( zp y + p z y ) = Lx + ( p z y + zp y )
2
2
2
2
q
VmD = −i
ak ( Lx + 2 S x ) magnetischer Dipol-Wechselwirkungsoperator
2mc
q
VeQ = −i
ak ( p z y + zp y ) elektrischer Quadrupol-Wechselwirkungsoperator
2mc
Auswahlregeln für magnetische Dipolübergänge, verursacht durch VmD:
f | VmD | i ∝ a j f | L j + 2 S j | i und ∆l = 0; ∆mL = ±1,0; ∆ms = ±1,0
1) Lj und Sj verändern nicht die Quantenzahl l
r
r
2) Übergänge mit ∆mL = 0 = ∆ms möglich, falls a = ae z , dann ist f | Lz + 2S z | i ≠ 0 für
msi = msf, da i EV von Lz, Sz.
r
r
3) Übergänge mit ∆mL = ±1; ∆ms = ±1 für z.B. a = al x (oder allgemein mit zirkular
1
polarisierter Welle) f | Lx + 2 S x | i =
f | L+ + L− + 2( S + + S − ) | i ≠ 0 falls
2
∆mL = +1 oder − 1 oder ∆ms = +1 oder − 1
Fazit: Hier nur Absorption und induzierte Emission bei Anwesenheit eines
elektromagnetischen Feldes.
Spontane Emission – Erzeugung eines Photons mit Quantenfeldtheorie (Theo V). Die meisten
optischen Übergänge sind E1 Übergänge mit ∆l = ±1 und die meisten Mikrowellenübergänge
(Radioastronomie) sind M1 Übergänge mit ∆l = 0 .
Speziell: 21cm Übergang zwischen hyperfeinstrukturell aufgespaltenen
Grundzustandsniveaus von H-Atom ist ein M1 Übergang.
Quantenmechanik I
123
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
V Symmetrien
Untersuche Symmetrietransformationen, unter denen das qm System (Hamiltonoperator,
Bewegungsgleichungen) invariant ist.
Klassische Mechanik: L(q, q& ) ist invariant unter der Transformation q → q ′ d.h.
L(q, q& ) = L(q′, q& ′) ⇔ q → q′ ist Symmetrietransformation.
z.B. q ′ = q + a als Translation in einigen Systemen.
20 Observable als Erzeugende von kontinuierlichen
Transformationen
20.1 Räumliche Translation und Impuls
Hier Koordinatentransformation, die einer Translation des Koordinatensystems entspricht
Abbildung 20.1: Koordinatentransformation
Ein und dasselbe Objekt wird in 2 verschiedenen Bezugssystemen beschrieben.
r r r r
′
Der Übergang zwischen beiden ist r → r ′ = r + a eigentlich xi → xi = xi + ai .
r r
r
r r r r
Der Transformation T ( a ) : r → r ′ = T ( a ) r = r + a im euklidischen R3 entspricht eine unitäre
r
Transformation U (a ) im Hilbertraum H der Einteilchenzustandsvektoren
r
r
r r
r r
r → r ′ = U (a ) r = r + a .
r
r
r
Beobachter in Σ misst EW r des Ortsoperators R im Zustand r des Teilchens
r
r
r
Beobachter in Σ’ misst EW r ′ des Ortsoperators R im Zustand r ′ des Teilchens.
i r
r
− Pa
r r
r r
r
Unitarität: r r = r ′ r ′ und es gilt U (a ) = e h
r
„Der Impulsoperator P ist der erzeugende Operator für räumliche Translationen“ (im
Hilbertraum).
Beweis:
e
i rr
− Pa
h
i rr
− Pa r
r
r r
r e
r = ∫ d 3 pe h p p r = ∫ d 3 p p
123
e
i rr
− pr
h
i r r r
− p (a + r )
h
(2πh )
3
2
r r r r
r r
=∫ d 3 p p p r + a = r + a
3
( 2πh )2
i rr
pa
r
r
r
Eigenschaft: U + (a ) = U −1 (a ) = U (− a ) = e h
r
r
i rr
Infinitesimale Trafo: a << 1 :U (a ) = 1 − Pa + O (a 2 )
h
Quantenmechanik I
124
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
i rr
− pa
r
Transformation eines beliebigen Zustandsvektors ∈H: Ψ → Ψ ' = U (a ) Ψ = e h Ψ
Transformation der Wellenfunktion:
r
r
r
r r
r r
Ψ (r ) = r Ψ → r Ψ ' = r U (a ) Ψ = r − a Ψ
r
r
r r
r r
Ψ (r ) → Ψ ' (r ) = Ψ (r − a ) = Ψ T −1 (a )r
r r
r
r
r
Ersetze r durch r + a : Ψ ' (r ') = Ψ (r )
[
]
r
Wert der Wellenfunktion Ψ ' im System Σ' am Ort r '
=
r
Wert der Wellenfunktion Ψ im System Σ am Ort r
r r
r r r
Es gilt a) U + (a )RU (a ) = R + a
r
r r r
b) U + (a )PU (a ) = P
Beweis:
r r
r r r
r r
r r r
U + RU r = U + R r + a = (r + a ) r = R + a r
r r
r r
r r
U + PU p = p p = P p
r r
r r
r r r
Ferner für H P, R : U + H P, R U = H P, R + a
(
( )
( )
)
(
)
r
r r
Falls Hamiltonoperator invariant unter Translation R → R + a
i rr
r r r
r r
− Pa ⎤
⎡
+
h
⇔ H P, R + a = H P, R ⇔ U HU = H ⇔ HU = UH ⇔ [H ,U ] = 0 ⇔ ⎢ H , e
⎥=0
⎣
⎦
rr
r
r
iH
iH
r
t r a − t
⎡ Pa ⎤
a
h
h
zeitlich konstant
⎢ H , ⎥ = 0 ⇔ PHeis (t ) = e P e
a
a
a
⎦
⎣
Erweiterung auf N – Teilchensystem:
i r r
r r⎤
− Ptot a
r
r r
r
r
r
r
⎡ i
h
r1 , r2 ,..., rN → r1 + a, r2 + a,..., rN + a ; U (a ) = exp ⎢− ∑ Pn a ⎥ = e
⎣ h n
⎦
r
r
Forderung, dass Ψ ' (r ') = Ψ (r )
r r
r
r r
r
Ψ ' (r + a ) = Ψ (r ) also r + a Ψ ' = r Ψ
r r r
r
r r r
r
damit r + a U (a ) Ψ = r Ψ , d.h. r + a U (a ) = r
r r r
r
r r
r r
oder U + (a ) r + a = r also r + a = U (a ) r
(
)
( )
20.2 Drehungen und Drehimpuls
Σ
x2’
x2
r
r r ϕ
ϕ = nϕ , n =
r
Σ'
r
r'
r
r
ϕ
ϕ
x1
x1’
r
r
ϕ r
r
r
r'
ϕ
Quantenmechanik I
125
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Der Transformation (in R³)r
r r
r r
r
r r rr
r r
r r r
D(ϕ ) : r → r ' = D(ϕ )r = (eϕ × )r = n (n r ) + (n × r )sin ϕ + n × (n × r )cos ϕ , infinitesimal:
i rr
− Lϕ
r r r r
r ' = r + ϕ × r + O (ϕ 2 ) in R3 entspricht die unitäre Transformation U (ϕ ) = e h in H.
r
r
r
r
Einteilchenzustandsvektoren: r → r ' = U (ϕ ) r = D(ϕ )r
r
Der Drehimpulsoperator L ist erzeugender Operator für Rotationen:
r
r
r
U + (ϕ ) = U −1 (ϕ ) = U (− ϕ )
r
i rr
infinitesimale Transformation: U (ϕ ) = 1 − L ϕ + O (ϕ 2 )
h
r
Transformation beliebiger Zustandvektoren: Ψ → Ψ ' = U (ϕ ) Ψ
Transformation der Wellenfunktion:
r r
r
r
r
r Ψ → r ' Ψ ' = r U (ϕ ) Ψ = D −1 (ϕ )r Ψ
r
r r +
r r +
r
r U (ϕ ) = (U −1 (ϕ ) r ) = D −1 (ϕ )r
r r
r
r
Ψ (r ) → Ψ ' (r ) = Ψ (D −1 (ϕ )r )
r r
r
r
r
r
r
Ersetze r durch r ' : Ψ ' (r ') = Ψ (D −1 (ϕ )r ') = Ψ (D −1 Dr ) = Ψ (r )
(
)
r
Wert der Wellenfunktion Ψ ' im System Σ' am Ort r '
=
r
Wert der Wellenfunktion Ψ im System Σ am Ort r
i rr
− Lϕ
r r
r r
h
Noch zu zeigen: unitäre Transformation U mit U (ϕ ) r = D(ϕ )r ist e
Beweis hier für infinitesimale Transformation:
r r r r r
r r
r r r r r
D(ϕ )r = r + ϕ × r , D −1 (ϕ )r = D(− ϕ )r = r − ϕ × r
r r
r r
r r
r
r r r
r
r ⎡ r i r⎤ r
Ψ ' (r ) = Ψ (D −1 (ϕ )r ) = Ψ (r − ϕ × r ) = [1 − (ϕ × r )∇ ]Ψ (r ) = [1 − ϕ (r × ∇ )]Ψ (r ) = ⎢1 − ϕ L ⎥ Ψ (r )
h ⎦
⎣
r
r
r
r
r
r
i
also: Ψ ' (r ) = r U (ϕ ) Ψ = r 1 − ϕL Ψ
h
r
i rr
d.h. U (ϕ ) = 1 − ϕL für infinitesimale Trafo
h
Nebenrechnung:
(ϕr × rr )∇ = ε αβγ ϕ β rγ ∇α = ϕ β ε βγα rγ ∇α = ϕr (rr × ∇ )
Drehungen in R³ bilden eine Gruppe (z.B. Gruppe der 3x3 orthogonalen
Drehmatrizen Dij mit det(D)=1)
r
r
Zuordnung D(ϕ ) ↔ U (ϕ ) : unitäre Darstellung der Drehgruppe
Es gilt:
r r r
r r
r r r
r r
U + (ϕ )RU (ϕ ) = D (ϕ )R ; U + (ϕ )PU (ϕ ) = D (ϕ )P
Beweis:
r r
r r r
r r r
r
r r
r r
U + RU r = U + R r ' = U + r ' r ' = r ' r = (D (ϕ )r ) r = D(ϕ )R r
(
)
Quantenmechanik I
126
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
r
r r
p2
+ V (R ) )
Falls H P, R (z.B.
2
m
r
r
r r
P2
+
U HU =
+ V D(ϕ )R = H ⇔ HU = UH ⇔ [H ,U ] = 0 ⇔ LHeisenb (t ) zeitlich konstant
2m
( )
(
)
Erweiterung auf N- Teilchen:
r r
r r
r r r
r r
r r
r
r r
r
r
r1 , r2 ,..., rN → r1 ' , r2 ' ,..., rN ' = D(ϕ )r1 , D(ϕ )r2 ,..., D(ϕ )rN = U tot (ϕ ) r1 , r2 ,..., rN
r
r
r
U tot (ϕ ) = U 1 (ϕ ) ⋅ ⋅ ⋅ U N (ϕ ) = e
i rr
− ϕL1
h
⋅e
i rr
− ϕL2
h
⋅⋅⋅ e
i rr
− ϕL N
h
=e
i rr
− ϕLtot
h
N r
r
mit Ltot = ∑ Ln
n =1
20.3 Verallgemeinerte Drehungen
r
im Hilbertraum H, erzeugt durch unitäre Transformationen U (ϕ ) = e
Drehimpuls
i rr
r r
− ϕJ
1
h
Ψ → Ψ' = e
Ψ hier speziell für J = S mit s = .
2
Matrixelemente von U in z-Darstellung 1 = ↑ ; 2 = ↓
rr
i rr
− ϕσ
r
σϕ ⎛ ϕ ⎞
⎛ϕ ⎞
2
= cos⎜ ⎟1 − i
i U j = U ij (ϕ ) = e
sin⎜ ⎟
ϕ
⎝2⎠
⎝2⎠
⎞
⎛ ⎛ϕ ⎞
⎛ϕ ⎞
0
⎟ ⎛ −i ϕ
⎜ cos⎜ ⎟ − i sin ⎜ ⎟
r
2⎠
2⎠
⎝
⎝
⎟ = ⎜e 2
⎜
z.B. ϕ = (0,0,ϕ ) ⇒
⎜
⎛ϕ ⎞
⎛ ϕ ⎞⎟ ⎜
0
cos⎜ ⎟ + i sin⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ 0
⎜
⎝2⎠
⎝ 2 ⎠⎠
⎝
Erst nach Drehung um Winkel 4π wird Spinzustand reproduziert.
⎛1 0⎞
⎟⎟ = −U ij (ϕ = 0 )
U ij (ϕ = 2π ) = −⎜⎜
⎝0 1⎠
i rr
− ϕJ
h
r
wobei J =(Gesamt-)
⎞
0 ⎟
ϕ
i ⎟
e 2 ⎟⎠
20.4 Zeittranslation und Energie
Ψ (t ) → Ψ (t + τ ) = U (t + τ , t ) Ψ (t )
Für zeitunabhängigen Hamiltonoperator: U (t + τ , t ) = U (τ ) = e
−i
H
τ
h
⎯⎯→
1− i
inf
Der Hamiltonoperator ist erzeugender Operator für Zeittranslation.
H- zeitunabhängig Ù Energieerhaltung
E (t + τ ) = Ψ (t + τ ) {
H Ψ (t + τ ) = Ψ (t ) H Ψ (t ) = E (t )
↓
Ψ (t ) e
i
H
τ
h
He
−i
H
τ
h
Ψ (t ) = Ψ (t ) H Ψ (t )
( )
H
τ +Oτ 2
h
Quantenmechanik I
127
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
21 Diskrete Transformation
21.1 Raumspiegelung – Paritätsoperator Π
r
r
r
r
Definition der Raumspiegelung (am Ursprung): Π + RΠ = − R ; Π + PΠ = − P - polare Vektoren
r
r
r
r r
Π + JΠ = J axialer (Pseudo-) Vektor wobei J allgemeiner Drehimpulsoperator inkl J = S (Für
r r r r
J = L = R × P klar).
r
r
r
r
r
r
r → r ' = Π r = − r ; Π p = − p allgemein: Ψ' = Π Ψ
r
r
r
r
bzw.: r Ψ ' = Ψ ' (r ) = r Π Ψ = Ψ (− r )
Π ist unitär: Π 2 = 1 Î Eigenwerte von Π: ±1
r r r
r r r
Π + H R, P, J Π = H − R,− P, J
r r r
r r r
Falls H − R,− P, J = H R, P, J ⇔ [H , Π ] = 0 ⇔ gemeinsame Eigenvektoren
Eigenfunktionen von solchen H sind entweder gerade oder ungerade.
⎧+ ⎫
⎧gerade ⎫
+
Ferner: Eine Observable A, die ⎨
⎬ unter Paritätsoperation ist, d.h. Π AΠ = ⎨ ⎬ A ,
⎩− ⎭
⎩ungerade⎭
⎧gleicher ⎫
hat nur Matrixelemente ≠0 zwischen Zuständen ⎨
⎬ Parität.
⎩ungleicher⎭
Beispiel:
Π + AΠ = − A ⇒ Ψ+ A Ψ+ = Ψ+ Π Π + AΠ Π + Ψ+ = − Ψ+ A Ψ+ (Auswahlregeln!)
(
(
)
)
(
)
)
(
(
)
Anwendungen: Auswahlregeln bei Strahlungsübergängen =0
21.2 Bewegungsumkehr – Zeitspiegelungsoperator Θ
r
r
r
r
r
r
Θ −1 PΘ = − P
Θ −1 JΘ = − J
Definition von Θ: Θ −1 RΘ = R
Wigner: Θ ist „antiunitär“: Θ=UK= Produkt von unitärem Operator U und Operator K, der
komplex konjugiert ist.
K 2 =1
Θ −1 = KU +
Vorsicht: Am besten Θ nur auf Kets wirken lassen: Θ Ψ (nicht Ψ Θ )
[ Φ Θ Ψ ]= [ Φ Θ Ψ ]
Θ[λ Ψ ] = λ Θ Ψ
*
*
Dass Θ antiunitär ist, sieht man:
Θ [X α , Pβ ] { Ψ = ihδ αβ Ψ
Θ −1Θ
⎡
⎤
α −1 ⎥
⎢ΘX α Θ −1 , Θ
P2Θ
4
4
3 ⎥ Θ Ψ = Θ(ihδ αβ Ψ
424
3 1
⎢1
α
−
P
⎣ Xα
⎦
− ihδ αβ Θ Ψ = Θ(ihδ αβ Ψ )
)
21.3 Permutation identischer Teilchen
Betrachte System von N identischen Teilchen, d.h. die durch keinen Meßprozess
unterschieden werden können – z.B. Elementarteilchen
Quantenmechanik I
128
© 2004 Jungmann, Zell, Ziehl
Hamiltonoperator:
⎛r r r r r r
r r r ⎞
H ⎜ R1 , P1 , S1 ; R2 , P2 , S 2 ;K; RN , PN , S N ⎟ = H (1,2,K, N )
424
3 1424
3
14243 ⎟
⎜1
1
2
N
⎝
⎠
Sei P12 der Operator, der die (Variablen der) Teilchen 1 und 2 permutiert, d.h.
P12 H (1,2,K, N )P12−1 = H (2,1,3,K, N )
Beispiel:
2 (spinlosen)
die per Coulombpotential wechselwirken:
r 2 Elektronen
r2
r r
P
P
H (1,2) = 1 + 2 + V R1 − R2 = H (2,1)
2 m 2m
Für identische Teilchen muss gelten H (1,2,3,K, N ) und ferner für jede andere Observable
A(1,2,3,K, N ) = A(2,1,3,K, N ) , d.h. [H , P12 ] = 0 = [A, P12 ] und allgemein H , Pij = 0 = A, Pij
(
)
[
]
Pij: Permutationsoperator von Teilchen 1 und 2.
Es gilt Pij2 = 1 , d.h. die Eigenwerte von Pij sind ±1.
(1)
(2 )
Zuerst: 2 Teilchensystem mit Zustandsvektor Λ = λ1 ⊗ λ2
= λ1 , λ2
r
λ = r , s, m kompletter Satz von Einteilchen Quantenzahlen
r
s1
r
s2
(1)
r
r1
(2)
r
r2
Zustand: λ1 , λ2 = λ1
(1)
r
s1
r
r1
λ2
(2 )
Teilchen 1 mit Eigenschaft λ1
Teilchen 2 mit Eigenschaft λ2
= 1,2
r
s2
(2)
(1)
r
r2
λ2 , λ1 = λ2
(1)
λ1
(2 )
= 2,1
Teilchen 1 mit Eigenschaft λ2
Teilchen 2 mit Eigenschaft λ1
[
]