R - Universität Siegen

Institut für Fluid- und Thermodynamik
Lehrstuhl für
Fluiddynamik und Strömungstechnik
Universität Siegen
Vorlesung
„STRÖMUNGSLEHRE“
Zusammenfassung
WS 2008/2009
Dr.-Ing. Jörg Franke
Institut für Fluid- und Thermodynamik
Universität Siegen
1
Bewegung von Fluiden (= Flüssigkeiten und Gase)
-
Hydro- und Aerostatik
=> Druckverteilung in ruhenden Fluiden
=> Druckverteilung in als Starrkörper rotierenden Fluiden
-
Reibungsfreie Strömungen
=> Euler- und Bernoulli Gleichung
-
Strömungen mit Reibung I
=> Impulssatz
-
Strömungen mit Reibung II
=> Druckverluste in Leitungssystemen, Rohrströmung
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2
Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen
Dynamische Viskosität μ (innere Reibung)
Kinematische Viskosität ν
ν =μ ρ
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Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen
Flüssigkeiten als inkompressibel (ρ = konst.)
Zustandsgleichung für ideale Gase
c
R
p R
= ⋅T R = = c −c ; κ =
m
c
ρ m
P
V
T = absolute Temperatur
R = allgemeine (molare) oder universelle Gaskonstante
R = spezifische Gaskonstante
m = Molmasse in g/mol
cp = spezifische Wärme bei konstantem Druck
cv = spezifische Wärme bei konstantem Volumen
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P
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V
Hydro- und Aerostatik
g
Massenkraft:
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Hydro- und Aerostatik
Druckverteilung in ruhenden, inkompressiblen Fluiden
=> Nur Schwerkraft:
p1 = p2 + ρgh
g
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Hydro- und Aerostatik
Druckverteilung in ruhenden, inkompressiblen Fluiden
=> Anwendung z.B. Berechnung der (Druck-) Kraft
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Hydro- und Aerostatik
Druckverteilung in ruhenden, inkompressiblen Fluiden
⇒ Anwendung z.B. Berechnung der (Druck-) Kraft
(wirkt immer SENKRECHT zur Fläche!)
Druckkraft entweder durch Integration über Fläche, ODER
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Hydro- und Aerostatik
Druckverteilung in ruhenden, inkompressiblen Fluiden
⇒ Anwendung z.B. Berechnung der (Druck-) Kraft
r
F = p ⋅ A p = p + ρ ⋅g⋅ z
D
S
S
1
Fl
p1
Für Moment:
p1
ρFl
h
pS
S
h/2
zS
h/2
p2
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Der Angriffspunkt
dieser Druckkraft Fres
liegt stets unterhalb
des Flächenschwerpunktes
ODER: Moment
durch Integration!
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Hydrostatischer Auftrieb. Druckkraft auf gekrümmte Flächen.
Auf Grund der hydrostatischen Druckverteilung erfährt ein
in eine Flüssigkeit eingetauchter Körper einen AUFTRIEB
(= resultierende Druckkraft auf den Körper!)
FA
cosα =
p2>p1
dA
dA
1
α,β << 1:
dA , dA ≈ dA
1
2
Auftrieb = Gewicht der verdrängten Flüssigkeit
FA = ρ Fl ⋅ g ⋅ VKörper
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Das Archimedische Prinzip gilt auch für teilweise
eingetauchte Körper
ρFl
auf Volumen VI wirkt überall p1
II
FDres= 0
Auftrieb = FDres= ρFl·g·VII
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Hydro- und Aerostatik
Druckverteilung in als Starrkörper rotierenden, inkomp. Fluiden
=> Schwerkraft und Zentrifugalkraft:
g
r 2 = x2 + y2
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Reibungsfreie Strömungen
Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung):
& = ρ1 ⋅ c 1 ⋅ A 1 = ρ 2 ⋅ c 2 ⋅ A 2 = konst m
& = ρ ⋅ c ⋅ A = konst
m
Kräftebilanz längs Stromfaden:
g
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Reibungsfreie Strömungen
dc ∂c
1 ∂p
dz
∂c
=> EULER Gleichung:
=
+ c ⋅ = − ⋅ − g⋅
dt ∂t
ρ ∂s
ds
∂s
Integration längs des Stromfadens => Bernoulli Gleichung:
(1)
s
(2)
2
p
c
dp
+∫
+ g ⋅ z = konst.
2
ρ
Stationärer Fall!
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p
Bestimmung des Integrals
p
dp
∫
b) Isochor:
ρ = konst.
p
∫
dp
ρ
=
∫
dp
ρ
p2 − p1
ρ
(inkompressibel)
=
Δp
ρ
T = konst.
c) Isotherm:
p
ρ
in der Bernoulli-Gleichung
=0
a) Isobar:
ρ
∫
dp
R
p2
= ⋅ T ⋅ ln
p1
m
d) Isentrop:
p
∫
dp
ρ
κ −1
⎤
⎡
κ p1 ⎢ ⎛ p2 ⎞ κ ⎥
=−
⋅ ⋅ 1− ⎜ ⎟
κ − 1 ρ1 ⎢ ⎜⎝ p1 ⎟⎠ ⎥
⎥⎦
⎢⎣
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Reibungsfreie Strömungen
Aus Gleichgewicht senkrecht zum Stromfaden:
Gekrümmte Stromfäden üben Kräfte aufeinander aus!
⇒ Bei parallelen Stromfäden ist Druck quer zum Stromfaden
konstant, WENN keine Schwerkraft! Sonst Druck über
Hydrostatik (=> Bernoullikonstante variiert von Stromfaden
zu Stromfaden).
z
g z
p(z)
p(z)
c
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c
Hier: Strömung
eindimensional,
d.h. Geschw.
und Druck konst.
über Querschnitt!
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Die verschiedenen Druckbegriffe und ihre Messung
--- stationäre, inkompressible Strömung im Schwerefeld
--- Bernoulli-Gleichung liefert Verknüpfung von Druck p
und Geschwindigkeit c längs Stromfaden:
ρ
⋅ c + p + ρ ⋅ g ⋅ z = konst.
2
2
Bezeichnungen:
p = pstat:
ρ
⋅ c = pdyn:
2
p = p0 :
2
statischer Druck
dynamischer Druck
Ruhe-/Gesamtdruck
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Messung des Ruhe- oder Gesamtdruckes
--- mit PITOT-Sonde (Hackensonde)
p0 ; c=0
p0 = pa + ρFl ·g·Δh
pa
ρFl
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Messung des statischen Druckes
---über Wandanbohrung
p
---Druck am Grenzschichtrand
prägt sich der Grenzschicht bis
zur Wand auf
p
Detail der Wandanbohrung:
D = 0,2 – 0,8 mm
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Messung des dynamischen Druckes
--- mit PRANDTL-Rohr (Prandtl-Sonde, Prandtlsches Staurohr)
--- Kombination aus Pitot-Rohr und statischer Drucksonde
Aus Bernoulli-Gl.:
p −p = p
0
stat
ρ
p = ⋅c
2
dyn
pstat
pges=p0
2
dyn
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Strömungen mit Reibung I – Impulssatz
Massenerhaltung in integraler Form:
r r
∂ρ
(
)
⋅
dV
+
ρ
⋅
w
⋅
n
⋅
dA
=
0
∫V ∂t
∫A
Massenänderung
im Innern von V
Massenstrom durch die
Oberfläche A von V
Für stationäre Strömung:
m& resultiere nd
r r
= ∫ ρ ⋅ (w ⋅ n ) ⋅ dA = 0
A
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Impulssatz mit Anwendungen
Vorraussetzung: stationäre Strömungen (Reibung möglich)
r
r
FI + ∑ FA = 0
Nur Daten auf Rand (A) des Kontrollraums (V) notwendig!
• Impulskraft
r
r r r
FI = −∫ ρ ⋅ w ⋅ (w ⋅ n) ⋅ dA
A
ins Innere gerichtet
r
parallel zu w
• Äußere Kräfte (z.B. Gewichtskraft, Druckkraft)
r
r
FD = − ∫ p ⋅ n ⋅ dA
A
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ins Innere gerichtet
r
parallel zu n
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Impulssatz mit Anwendungen
Vorgehensweise:
1. Wahl des Kontrollraums (V) (Erfahrung; gesuchte
Größen freischneiden; gegebene Größen)
2. Eintragen der angreifenden Kräfte
3. Aufstellen des Impulssatzes (Kräftebilanz)
4. Berechnung der einzelnen Kräfte
5. Auflösen nach der gesuchten Kraft (Vektor => Betrag
und Richtung, bzw. Komponenten)
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Rohrkrümmer frei ausblasend
= Kraft infolge pa = ?
Vor.: stationär, inkompressibel, ohne Schwerkraft
Geschwindigkeiten w1, w2 und die Drücke p1, p2 seien bekannt
und konstant über die Querschnitte 1 und 2.
Gesucht: Die Haltekraft FB, mit der der Krümmer in (1) angeflanscht werden muß.
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2. Geändertes Problem:
Rohrkrümmer sei frei ausblasend
Bestimmung der Druckkraft FD3,4 infolge des Außendruckes pa auf
den Krümmermantel:
r
r
= +p a ⋅ n 1 ⋅ A 1 + p a ⋅ n 2 ⋅ A 2
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2. Geändertes Problem:
Rohrkrümmer sei frei ausblasend
Graphische Addition der Kraftvektoren:
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CARNOTscher Stoßdiffusor
= plötzliche Erweiterung
Wirbelwalze
(Rückströmung)
Kontrollraum
A2
A1
ca. 8·D
Frage: Welcher Druckverlust tritt
infolge der plötzlichen Erweiterung auf?
inkompressible Strömung: ρ = konstant
ΔpCarnot
A1 ⎛
A1 ⎞
⎜⎜1 − ⎟⎟
2
= ⋅w
⋅
⋅
⋅
A2 ⎝ A2 ⎠
2 {
2
cm 144244
3
ρ
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2
1
ςV
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Strömungen mit Reibung II – Druckverluste
Vorr.: Stationäre Strömung eines reibungsbehafteten,
inkompressiblen, NEWTONschen Fluids
⇒ Allgemeine Form des Druckverlusts (ohne Schwerkraft)
Δp = p1 − p2 =
ρ
2
⋅ c m2 ⋅ ς V
c m:
ζV:
volumetrischer Mittelwert
der Geschwindigkeit
Verlustkoeffizient
⇒ Allgemeine Form des Druckverlusts (mit Schwerkraft)
Δp = p1 − p2 =
mit:
ρ
2
⋅ cm2 ⋅ ς V ± ρgh
h = Höhendifferenz zwischen 1 und 2
Vorzeichen aus Hydrostatik (cm = 0)
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Strömungen mit Reibung II – Druckverluste
Ausgebildete Rohrströmung (Einbauten wie Krümmer additiv):
-
Laminar (ReD < 2300): HAGEN-POISEUILLE Strömung
ςV =
L
⋅ λlam
D
mit λlam =
c ⋅D
64
und Re D = m
ν
Re D
analytische Berechnung von c(r) und τ(r):
⎛
r2 ⎞
r2 ⎞
Δp R 2 ⎛
c (r ) =
⋅
⋅ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ = c max ⋅ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟
L 4⋅ μ ⎝ R ⎠
⎝ R ⎠
r
x
cmax = 2 ⋅ cm
dc
(
)
τ r = μ = −2cmax
dr
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r
R2
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Strömungen mit Reibung II – Druckverluste
Ausgebildete Rohrströmung (Einbauten wie Krümmer additiv):
-
Turbulent (ReD > 2300): zeitliche Mittelwerte!
Δp = p1 − p2 =
ρ
2
l
ζ V = ⋅ λturb
D
⋅ c ⋅ ζ V mit
2
m
hydraulisch glatte Rohre:
Blasius Formel:
(bis ReD≈105)
λturb =
Prandtl Formel:
(bis ReD≈3·106)
1
λ
0,3164
(Re D )
Re D =
1
4
cm D
ν
= 2 ⋅ log {Re D ⋅ λ turb }− 0,8
turb
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Strömungen mit Reibung II – Druckverluste
Ausgebildete Rohrströmung (Einbauten wie Krümmer additiv):
-
Turbulent (ReD > 2300): zeitliche Mittelwerte!
Δp = p1 − p2 =
ρ
2
⋅ c ⋅ ζ V mit
2
m
l
ζ V = ⋅ λturb
D
raue Rohre (Sandkornrauheit ks):
NIKURADSE
Diagramm
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Klausuren
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Viel Erfolg und DANKE für die – meist – ungeteilte
Aufmerksamkeit.
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