Geometrische Optik

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Geometrische Optik
Fakultät Maschinenwesen, Institut für Fertigungstechnik, Lehrstuhl für Laser- u. Oberflächentechnik
Anwendungbeispiel der geometrischen Optik :
Bearbeitungsstation, z.B. Schneideinrichtung
Strahlengang,
z.B. optisches System
Strahlungsquelle, z.B. Laser
Geometrische Optik
Folie 1
Geometrische Optik
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Die geometrische Optik oder Strahlenoptik betrachtet elektromagnetische
Wellen im sichtbaren Bereich des Spektrums elektromagnetischer Wellen,
das Licht. Sie beschreibt die Wechselwirkung von Licht mit Objekten, deren
Abmessungen wesentlich größer sind als die Wellenlänge von Licht.
FIR
100
NIR
10-2
V
I
S
10-4
UV
10-6
VUV XR
10-8
FIR
NIR
VIS
UV
VUV
XR
far infrared, fernes Infrarot
near infrared, nahes Infrarot
visible, sichtbarer Bereich
Ultraviolett
Vakuum-UV
X-ray, Röntgenstrahlen
cm
Die geometrische Optik ist eine makroskopische Betrachtungsweise; sie genügt
um die Funktionsweise von (licht)optischen Instrumenten zu beschreiben.
Das Licht wird idealisiert betrachtet: die Wellen- oder Teilchennatur des Lichtes
wird vernachlässigt. Die Strahlenoptik gestattet keine Beschreibung der Beeinflußung von Objekten, die mit Licht in Wechselwirkung standen.
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Folie 2
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Die geometrische oder Strahlenoptik folgt
Vereinfachungen und dem Fermatschen Prinzip :
-
-
Pierre de Fermat
1601 - 1665
Licht kann durch einzelne Strahlen oder Strahlenbündel beschrieben
werden. Ein Strahl beschreibt im homogenen Medium eine gerade,
beliebig dünne, Linie, die sich geradlinig, im inhomogenen Medium
gekrümmt ausbildet. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts
hängt vom Medium ab.
Strahlen stehen senkrecht auf den Phasenflächen eines entsprechenden Wellenmodells.
Die Richtung der Strahlen ist umkehrbar.
Licht legt zwischen einem Ausgangs- und Endpunkt den Weg zurück,
für dessen Überbrückung ein Zeitextremum erforderlich ist.
Der Verlauf von Lichtstrahlen ist unabhängig voneinander; Strahlen können sich schneiden, es gilt das Überlagerungs- o. Superpositionsprinzip.
Wellenoptik
Λ
0
geometrische Optik
Geometrische Optik
Folie 3
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Geometrische Optik : Wechselwirkung von Licht mit Objekten, damit auch
mit Komponenten optischer Systeme, deren Abmessungen wesentlich
größer sind als die Wellenlänge von Licht. Beugungs- und
Interferenzeffekte sind nicht beschreibbar und werden vernachlässigt :
Translation :
Reflektion :
Brechung (Dispersion) :
Einfallslot
einfallender Strahl
optische Achse
Einfallslot
einfallender Strahl
reflektierter Strahl
einfallender Strahl
Einfallwinkel
Reflexionswinkel
Einfallwinkel
Grenzfläche
Grenzfläche
optisches System
Brechungswinkel
Durchgang von Strahlen Richtungsänderung eines
in paraxialer Näherung Strahls durch Umlenkung
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Folie 4
gebrochener
Strahl
Richtungsänderung eines
Strahls durch veränderte
Geschwindigkeit
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Reflexion :
Brechung :
y
y
P1´(x1´,y1´)
P1(x1,y1)

´

s1
0
P1(x1,y1)

s1´
P(x,0)
Grenzfläche
s1
0
x
P(x,0)
Grenzfläche

x
s2
P2(x2,y2)
sin 
´
 
sin 
Einfallwinkel = Reflexionswinkel
=
n2
n1
= const.
Snelliussches Brechungsgesetz
Quelle : Stoppe, H. Physik
Geometrische Optik
Folie 5
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Brechung :
Nach dem Fermatschen Prinzip ist der Brechungsindex das Verhältnis
der Geschwindigkeiten von Licht in beiden Medien :
sin 
sin 
=
n2
n1
=
c1
c2
Üblich ist ein Bezug des
Brechungsindex auf die
Lichtgeschwindigkeit im
Vakuum :
c0/c1
n =
c0/c2
 Unter den Bedingungen
der geometrischen Optik für
optisch transparente Medien.
Vakuum
Luft
Eis
Wasser
menschl. Auge
Ethanol
Plexiglas
Kronglas
Quarz
Steinsalz
Flintglas
Rubin
Glas
Geometrische Optik
Folie 6
1,0
1,00029
1,31
1,33
1,35..1,42
1,37
1,49
1,51
1,54
1,54
1,60
1,76
1,5-1,9
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Abhängigkeit der Wechselwirkungen Absorption, Reflexion und Transmission
(A + R + T = 1) von der Wellenlänge; hier Beschränkung auf die Transmission:
am Beispiel von Glas mit einem Brechungsindex n = 1,472:
Geometrische Optik
Folie 7
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Sonderfälle von Reflexion und Brechung :
diffuse Reflexion (Streuung) :
Totalreflexion :
Einfallslot
diffuse Strahlung
Grenzfläche
Grenzfläche
Einfallswinkel

einfallender Strahl
Einfallswinkel < Brechnungswinkel
für  =  (Grenzwinkel) :
sin  =
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Folie 8
1
n
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Beispiel zur Totalreflexion :
Transmission
Reflexion
Geometrische Optik
Folie 9
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Beispiel der Totalreflexion :
Strahlengang in Prismenfeldstechern :
Grenzwinkel  :
Wasser/Luft
Glas/Luft
Kronglas/Luft
48°
45°
42°
Quelle : Zeller/Franke
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Folie 10
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Anwendungsfälle der Reflexion :
ebener Spiegel :
gekrümmter Spiegel : konkav konvex
ebener Spiegel
Gegenstand
sphärischer Spiegel
 Teil einer Kugelfäche
Bild
Parallelstrahl
Brennpunktstrahl
g
Gegenstandsweite
P´
b
Bildweite
Scheitelpunkt
S
O
P

´

M
Krümmungsmittelpunkt
F
O
optische Achse
f
Brennweite
r
Krümmungsradius
Quelle : Stoppe, H. Physik
Geometrische Optik
Folie 11
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Anwendungsfälle der Reflexion :
Kaustik am
Hohlspiegel
Gegenstand
O
Parallelstrahl
P
Brennpunktstrahl
M
Q
Parallelstrahl
Q´
Bild
F
P´
f
Parabolspiegel
b
g
Brennweite
Krümmungsradius
r
Bildweite
Gegenstandsweite
r
1
1
1
Abbildung :
+
=
2
g
b
f
b
PQ
β = P´Q´ = - g
Quelle : Stoppe, H. Physik
Brennweite : f 
Maßstab :
S Scheitelpunkt
O
optische Achse
Geometrische Optik
Folie 12
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Anwendungsfälle der Reflexion :
Kaustik am
Hohlspiegel
Parabolspiegel
Die sphärisch reflektierten
Beispiel der ‘klassischen‘ Kaustik,
Lichtstrahlen bilden eine sog. hervorgerufen an der Innenseite
Kardioide (Herzkurve)
eines polierten Hohlzylinders
Geometrische Optik
Folie 13
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Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes :
Ausbreitungsgeschwindigkeit :
n = n ()
cn = cn ()
Darstellung anhand
der optischen Dispersion
am Prisma :


brechender Winkel

Ablenkungswinkel

Gegenstand

2
Einfallwinkel
O
Brechungsindex : n =
Ausfallwinkel
Q
sin
min

sin
2

2
Ablenkungswinkel :  min = (n -1) 
ne–1
mittlere Dispersion : e = n – n
F
C
Quelle : Stoppe, H. Physik
Geometrische Optik
Folie 14
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Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes :

dn
d
Dispersion :
 =
Hauptbrechzahl o.
Abbesche Zahl :
ne–1
e = n – n
F
C
Linie
C
D
E
F
G
H
K
mit n = n (), cn = cn ()
n d ... n F Brechungsindizes für Spektrallinien
nach Fraunhofer
ne
( = 546,1 nm)
Farbe
 [nm]
rot
643.8469
orange 609,7234
grün
546.0740
blaugrün 479.9914
blau
435.8343
violett 407.8453
violett 403.5642
n()
1,615
1,619
1,623
1,636
1,642
1,649
1,652
 [°]
47,8
48,2
48,6
49,9
50,5
51,2
51,5
Angaben für
Flintglas DF 621362
Quelle : Schröder, G. Technische Optik
Geometrische Optik
Folie 15
Geometrische Optik
Hauptbrechzahl-Dispersion-Diagramm (Abbe-Diagramm) für optische Gläser
Geometrische Optik
Folie 16
Quelle : Schröder, G. Technische Optik
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Quelle : Schröder, G. Technische Optik
Beispiele :
Geometrische Optik
Folie 17
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Anwendungsfälle der Brechung :
sphärische, dünne Linsen, t « r, r´ :
Hauptstrahl
Parallelstrahl
Gegenstand
Brennweite :
P
r
Brennpunktstrahl
Abbildung : 1 = 1 + 1
f
r´
Q´
O
optische Q M F
Achse
F´
f
1
1
1
= (n-1)
+
f
r
r´
M´
Bild
f´
g
b
O
b
PQ
Maßstab :  =
=- g
P´Q´
P´
g
Gegenstandsweite
b
t
Bildweite
bikonvex/konkav plankonvex/konkav konvex~konkav
Quelle : Stoppe, H. Physik
Geometrische Optik
Folie 18
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Anwendungsfälle der Brechung :
brechender Winkel
O
Ablenkungswinkel
r´
r
M
P
Q
g
M´
Krümmungsmittelpunkt
b
Krümmungsradius
Gegenstandsweite
Brennweite :
optische Achse
O
P´
Q´
Bildweite
1
1
1
= (n-1)
f
r + r´
Abbildung : 1 = 1 + 1
f
g
b
Maßstab :
b
PQ
=
=
β P´Q´
g
Quelle : Stoppe, H. Physik
Geometrische Optik
Folie 19
Geometrische Optik
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Linsensysteme :
3-Linsensystem
2-Linsensystem
1-Linsensystem
Quelle : Buran GmbH Hohenwarsleben 2011
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Folie 20
Geometrische Optik
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Abbildungsfehler :
brechender Winkel
O
Ablenkungswinkel
M
M´
optische Achse
O
P´
Farblängenfehler einer
für 2 Wellenlängenbereiche
für 3 Wellenlängenbereich
bikonvexen Sammellinse korrigierte Farblängenfehler
korrigierte Farblängenfehler
eines achromat. Linsensystems eines apochrom. Linsensystems
Quelle : Buran GmbH Hohenwarsleben 2011
Geometrische Optik
Folie 21
Geometrische Optik
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Anwendungsfälle der Brechung :
sphärische, dicke Linsen :
n
Gegenstand
nL
allgemeiner Fall : n = nL = n´
n´
Objektbrennweite :
1 (nL-n´) (nL-n) (nL-n)(nL-n´) t
= nr´ - nr nnL
f
rr´
P
r´
r
Bildbrennweite :
F´
O
Q MF
optische
Achse
S H K
K´ H´
f
M´
S´
O
b
t
f´ = -
n´
f
n
Abbildung :
f´
g
Gegenstandsweite
Q´
P´
Bildweite
Bild
1=
f
f´
+
g
b
Maßstab :  = b n´
nn
Quelle : Stoppe, H. Physik
Geometrische Optik
Folie 22
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Anwendungsfälle der Brechung :
Beschreibung von sphärischen, dicken Linsen mit einem Satz von sechs
Kardinalpunkten auf der optischen Achse :
- erster und zweiter Brennpunkt (Fokus),
- erster und zweiter Hauptpunkt,
- erster und zweiter Knotenpunkt.
 ein vor Eintritt in das System achsenparalleler Strahl schneidet die optische
Achse nach dem System im zweiten Brennpunkt; ein in umgekehrter Richtung
durchlaufender, achsenparalleler Strahl schneidet die optische Achse vor dem
System im ersten Brennpunkt :
P
F´
Q
F
S H
f
H´
Q´
S´
f´
P´
Geometrische Optik
Folie 23
Geometrische Optik
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Anwendungsfälle der Brechung :
 ein in das System eintretender, achsenparalleler Strahl und ein resultierender,
das System verlassender Strahl wird vorwärts bzw. rückwärts fortgeschrieben,
beide schneiden sich in einem Punkt; die Menge der Schnittpunkte für alle
Achsenabstände der eintretenden Strahlen bilden die zweite Hauptebene; der
Schnittpunkt der zweiten Hauptebene mit der optischen Achse ist der zweite
Hauptpunkt :
Hauptpunkte H und H´
 Bestimmung der Hauptpunkte
H und H´per Messung und
Bezug zum Linsenscheitel
Geometrische Optik
Folie 24
Geometrische Optik
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Anwendungsfälle der Brechung :
 ein auf den ersten Knotenpunkt gerichteter (i. a. schiefer) Strahl verlässt das System
unter demselben Winkel vom zweiten Knotenpunkt ausgehend :
Knotenpunkte K und K´
 für paraxiale Strahlen sind sie die Hauptebenen sphärische Flächen, senkrecht zur
optischen Achse durch die Hauptpunkte,
 ist der Brechungsindex des Mediums auf beiden Seiten außerhalb des Systems gleich,
(z. B. Luft), dann sind die Knotenpunkte identisch mit den Hauptpunkten; die
Abstände zwischen Hauptpunkten und Brennpunkten vor und nach dem System
sind gleich.
Geometrische Optik
Folie 25
Geometrische Optik
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Anwendungsfälle der Brechung :
P
sphärische, dünne Linsen, t « r, r´ :
Q´
Q
sog. „Linsenmacherformel“ :
1
1
1
+
=
r
r´
f
F
f
nL
-1
n
f´
F´
P´
P
F´
dicke Linsen :
Q
F
S H
H´
n
t
1
1
1
1- n
+
=
r r´
f´
r
r´
L
n´
f´ = f
n
S´
f´
f
sog. „Linsenmacherformel“ :
Q´
nL
n -1
P´
 Problem : von welchem Punkt aus werden die Brennweiten f und f´ angetragen ?
Geometrische Optik
Folie 26
Geometrische Optik
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Anwendungsfälle der Brechung :
y
P1(x1,y1)
Parallelstrahl  Brennpunktstrahl
Mittelpunktstrahl  Mittelpunktstrahl
Brennpunktstrahl  Parallelstrahl

P(x,0)
s1
0
Grenzfläche

s2
O
x
F
O
Optisches Banksystem :
P2(x2,y2)
sin 
sin 
=
n2
n1
= const.
Snelliussches Brechungsgesetz
Quelle : Stoppe, H. Physik; Dr. Martin Henschke Gerätebau
Geometrische Optik
Folie 27
Geometrische Optik
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Optisches System : Komponenten sind hauptsächlich dünne und dicke Linsen
zusammengesetzte Linsen, ebene, sphärische oder parabolische Spiegel und
Prismen. Die Komponenten bilden eine gemeinsame optische Achse; die
Auslegung eines optischen Systems kann auf der Annahme der paraxialen
Näherung und der Gesetzmäßigkeiten der geometrischen Optik basieren :
Beispiel : zwei dünne Linsen im Abstand e, Gesamtbrennweite f* :
f* =
ff´
f + f´ - e
bei e « f + f´
Geometrische Optik
Folie 28
1
1
1
=
+
f* f
f´
Geometrische Optik
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Konventionen des
Matrixformalismus:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Die Strahlrichtung läuft von links nach rechts, in positiver Richtung
der z-Achse.
Der Radius einer konvexen Fläche ist positiv, R > 0, derjenige einer
konkaven Fläche negativ, R < 0.
Die Steigung ist positiv, wenn sich der Strahl von der Achse entfernt,
negativ, wenn er sich darauf zubewegt.
Eine Gegenstand- oder Bildweite ist positiv (negativ), wenn sie vor
(hinter) dem abbildenden Element liegt.
Gegenstandsgrößen werden oberhalb (unterhalb) der z-Achse positiv
(negativ) gezählt.
Reflektive Optik wird behandelt, indem der Strahlengang nach jedem
Element umgeklappt wird.
Quelle : Meschede Optik, Licht und Laser
Geometrische Optik
Folie 29
Geometrische Optik
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Ausbreitung von
Kugelwellen im
Matrixformalismus:
Paraxiale Näherung:
sin σ ≈ tan σ ≈ σ
R=
x
σ
Quelle : Pedrotti Optik für Ingenieure
Geometrische Optik
Folie 30
Geometrische Optik
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paraxiale Näherung :
 ~ sin  ~ tan 
3,000
Bogenmaß, Sinusfkt., Tangensfkt.
Strahlwinkel gegenüber der opt. Achse
3,500
2,500
2,000
1,500
1,000
0,500
0,000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
Winkel [°]
Geometrische Optik
Folie 31
Geometrische Optik
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Translation :
 Durchgang durch
ein homogenes
Medium
Brechung
(Dispersion) :
 Brechung an einer
sphärischen Fläche
Geometrische Optik
Folie 32
Geometrische Optik
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Reflektion :
 Reflektion an einer
sphärischen Fläche
Geometrische Optik
Folie 33
Geometrische Optik
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Anwendungsfälle der
Translation, Brechung :
sphärische, dicke Linsen :
Geometrische Optik
Folie 34
Geometrische Optik
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Beispiel der Ermittlung
von Strahlverläufen :
50
sphärische, dicke Linse :
hE = 10 mm
 E = 10°
 paraxiale Näherung
 Bogenmaß :
10° = 0,1745
hA = 10,9614 mm
 A = 0,089°
~ 44
10
10°
R 450
0,089°
R 300
Geometrische Optik
Folie 35
10,9614
Geometrische Optik
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Spezialfälle der Systemmatrix :
Geometrische Optik
Folie 36
Geometrische Optik
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ABCD Matrizen für einige optische
Grundelemente.
Aus: Technische Optik: Laser
TU Braunschweig 2004
Geometrische Optik
Folie 37
Geometrische Optik
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Zusammenhang zwischen einer gewöhnlichen Kugelwelle, R(z),
und einem Gaußschen
Strahl, q(z) :
Quelle : Pedrotti Optik für Ingenieure
Geometrische Optik
Folie 38
Geometrische Optik
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Aus: Optik, Licht und Laser, Kap.1, D. Meschede
c 1999 B. G. Teubner Stuttgart Leipzig
Geometrische Optik
Folie 39
Resonatorkenngrößen
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Phasenfronten
0
r
I
Rz
zR
L
z
0
Krümmungsradius der
Phasenfront:
2


z


R

R z  z  1    
 z  

Rayleighlänge:
zR 
 r0

2
Geometrische Optik
Folie 40
Fernfelddivergenz:
0 

 r0
tan  0   0 
r0
zR
Resonatorkenngrößen
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Strahltaille
2r0
2r
Linse
Fokus
2r(z0)
2rf
z
Laser
zR
L
z0
f
z=0
hemifokaler Resonator mit L = 500 mm
Festkörperlaser mit  = 1μm
Geometrische Optik
Folie 41
z0 = 7000 mm
f = 1000 mm
rf = 0,1 mm
Resonatorkenngrößen
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Geometrische Optik
Folie 42
Resonatorkenngrößen
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Größe der Taille

 L g1g2 1  g1g2 
r0   
  g1  g2  2g1g2



g  1
1
1 2
2
R
Krümmungsradius
der Spiegel
R(z) Krümmung der
Phasenfront
L
Resonatorlänge




R
L
R
r0
R(z)
L
Geometrische Optik
Folie 43
Resonatorkenngrößen
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Da “reine Moden” in der Praxis selten vorkommen, wird ein
Strahlpropagationsfaktor K (= Strahlqualitätskennzahl, Modenordnung)
eingeführt.
2/  1
r 

K:  00 00 
r0 0
r0 0 b2
b Beugungsmaßzahl
0 < K 1
(K=1 beugungsbegrenzt)
damit gilt:
r0
r02
zR 

0

1
  z  2 2
r z  r0 1 
 
  K zR  


Anstelle von K wird gelegentlich auch die Größe M² zur Strahlqualitätsdefinition
verwendet. Im Rahmen der für die Praxis relevanten Genauigkeit kann für die
meisten Laser die Umrechnung K 1/M² verwendet werden.
Geometrische Optik
Folie 44
Resonatorkenngrößen
Fakultät Maschinenwesen, Institut für Fertigungstechnik, Lehrstuhl für Laser- u. Oberflächentechnik
Beispiel einer
industriellen
Bikonvexlinse:
Geometrische Optik
Folie 45
Resonatorkenngrößen
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Beispiel einer
industriellen
Kollimationsund
Fokussiereinheit
Kollimationseinheit
Fokussiereinheit
Geometrische Optik
Folie 46
Resonatorkenngrößen
Fakultät Maschinenwesen, Institut für Fertigungstechnik, Lehrstuhl für Laser- u. Oberflächentechnik
TEMm,n
TEM00
TEM10
Moden höherer Ordnung
Falls der Spiegelradius a1, a2 (oder ein entsprechender
Blendenradius) größer ist als der Grundmoderadius
r00 , treten Moden höherer Ordnung auf :
a) Rechtecksymmetrie TEM m,n
Intensitätsverteilung wird durch Gauß-HermitePolynome beschrieben
Hm,n Hermite-Polynome
m,n Zahl der Knoten in x, y - Richtung
m,n = 0,1,2
b) Rotationssymmetrie TEM p,l
Intensitätsverteilung wird durch Gauß-LaguerrePolynome beschrieben
L p,l Laguerre-Polynome
p,l
Zahl der Knoten in x, y - Richtung
p,l = 0,1,2
Geometrische Optik
Folie 47
Resonatorkenngrößen
Fakultät Maschinenwesen, Institut für Fertigungstechnik, Lehrstuhl für Laser- u. Oberflächentechnik
Laguerre‘sche Moden (Rotationssymmetrie)
Strahlradius :
r0  r00  TEM00   b
p=0
I=0
Strahldivergenz :
 0   00  TEM00   b
p=1
I=1
p=2
I=2
Benennung :
TEM p,l
p=3
I=3
Beispiel :
TEM 01
p=4
I=4
b  2p  l  1
Geometrische Optik
Folie 48
Anfahrt Fraunhofer IWS Dresden
Fakultät Maschinenwesen, Institut für Fertigungstechnik, Lehrstuhl für Laser- u. Oberflächentechnik
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