des Vortrages als PDF

Der Regenbogen
Von H. O. Tittel
Bild 1. Regenbogen über Neunkirchen
Beobachtungen
Sonne von hinten
Regen vor dem Beobachter
Bei hellem Sonnenschein u. kräftigem Schauer Haupt- u. Nebenbogen
Bögen genau kreisrund u. konzentrisch
Mittelpunkt auf Verlängerung des Sonnenstrahls durch Beobachterauge
Je tiefer der Sonnenstand desto höher die Bögen
Beobachterauge auf unendlich eingestellt, d.h. Bögen liegen im Unendlichen
Spektralfarben, umgekehrte Reihenfolge in Haupt- u. Nebenbogen
Aufhellung unter dem Hauptbogen
Abdunkelung zwischen Haupt- u. Nebenbogen
Lichtweg im Regentropfen
Um das Phänomen Regenbogen zu
verstehen, muß man den Weg der
Sonnenstrahlen im einzelnen
Regentropfen zeichnen. Durch die
Oberflächenspannung des Wassers
sind die Tropfen geradezu ideale
Kugeln; die Reibung an der Luft
während ihres freien Falls ändert
daran praktisch nichts. In nebenstehendem Tropfen (Bild 2) ist
seine Äquatorebene mit dem Lichtweg eines beliebigen Strahls in
dieser Ebene gezeichnet. Bei
seinem Eintritt bei A und dem
Austritt bei C erleidet er je eine
Brechung und bei B eine Reflexion. Die zugehörigen Winkel ergeben sich aus dem Brechungs- und
dem Reflexionsgesetz, wobei alle
Winkel vom Einfallslot ab
Bild 2. Lichtweg im
Regentropfen
gemessen werden; das Einfallslot ist die Senkrechte auf der Tangentialebene im Berührungspunkt. Bei A gibt es außer dem eintretenden Strahl auch einen reflektierten und bei B außer
dem reflektierten noch einen austretenden. Beide verlaufen nicht weiter im Tropfen und
tragen daher zum Bauwerk Regenbogen nichts bei; sie sind nur Lichtverluste. Auch bei C
bleibt ein Strahl mit einem gewissen Helligkeitsanteil im Tropfen, er bildet den Nebenregenbogen und wird weiter unten erklärt. Zunächst interessiert der Lichtstrahl, der bei C unter
Brechung den Regentropfen verlässt.
2
Lichtbrechung
Während das Reflexionsgesetz sehr einfach ist, – es gilt Einfallswinkel gleich
Reflexionswinkel -, hängen Einfalls- und Brechungswinkel über die Sinusfunktion
zusammen. Sie sei kurz erklärt.
Zur Sinusfunktion eines Winkels. Bild 3 zeigt einen beliebigen Winkel.
Von irgendeinem Punkt eines seiner Schenkel werde das Lot auf den
anderen Schenkel gefällt, so dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht.
Teilt man die Länge GK der Gegenkathete durch die Hypothenusenlänge H, so ist dieser Quotient unabhängig von der Lage des gefällten
Lotes, ja sogar unabhängig von der Wahl des Schenkels, von dem aus
man das Lot gefällt hat. Wegen dieser Unabhängigkeit hat der Quotient
für jeden Winkel einen eindeutigen Wert, er heißt Sinus dieses Winkels:
Bild 3. Zum Sinus eines Winkels
sin α =
GK
H
Zwei Grenzfälle:
sin 0° = 0, weil GK = 0
sin 90° = 1, weil GK = H.
Das Brechungsgesetz lautet nun
sin α = n sin β ,
n heißt Brechungsindex oder Brechzahl und ist definiert
als das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten in Luft und
dem jeweils angrenzenden Medium. Es ist also
n=
c
c Medium
;
hier n =
c
c H 2O
=
300000 km / sec
=1,33 ,
226000 km / sec
Bild 4. Brechung eines Lichtstrahls
entsprechend dem Übergang Luft – Wasser. Der Brechungsindex ist farbabhängig, man nennt
das Dispersion. Das erklärt, warum der Abknickwinkel beim Übergang ins angrenzende
Medium für jede Farbe anders ist (Bild 4). Licht ist in Luft schneller als in jedem Medium,
d.h. es ist stets n >1.
Größte Ablenkung
In Bild 5 sind fünf Sonnenstrahlen gezeichnet, die auf die linke Tropfenhälfte unter den
Einfallswinkeln 0° - 90° treffen. Die Strahlen sind nummeriert und ihre Wege im Regentropfen gezeichnet. Um die vollständige Lichtsituation zu erhalten, muß man die Figur um
den Sonnenstrahl durch die Tropfenmitte M rotieren lassen. Es fällt auf, daß der Austrittswinkel δ , gemessen zum einfallenden Sonnenstrahl, von Strahl 1’ bis 4’ ansteigt, dann aber
wieder abfällt, obwohl alle einfallenden Strahlen jenseits von Nr.4 noch flacher auf die
Tropfenoberfläche fallen. Berechnet man die Lichtwege exakt, erhält man in der Tat ein
Maximum der Ablenkung von ca. 42° (hier Strahl 4’), wozu ein Einfallswinkel in der
Tangentialebene der Tropfenoberfläche von etwa 60° gehört (Strahl 4). Läßt man die
3
Bild 5. Es gibt einen größten Austrittswinkel
Bild 6. Strahlenhäufung bei 42°. Aus Lit. 1
Zeichnung um den Strahl 1 – M – 1’ rotieren,
so erkennt man, dass aus dem Regentropfen
ein Lichtkegel rückwärts zur Sonne wieder
austritt, sein Öffnungswinkel ist 2 × 42 ° , also
84°. In Bild 6 sieht man die Gesamtheit der
unendlich dicht nebeneinander liegenden
Sonnenstrahlen mit allen Einfallswinkeln
zwischen 0° und 90°. Es muß es beim Austritt
aus dem Tropfen eine Strahlenhäufung unter
dem Ablenkwinkel 42° geben, denn es tritt
eine Verdichtung auf bei der Annäherung an
diese 42° wie auch bei der Abkehr davon. Der
Mantel des Lichtkegels sendet mehr Licht
zurück als sein Inneres, Bild 7. Infolge verschiedener Brechung für die einzelnen Farben
– der Brechungsindex ist ja farbabhängig Bild 7. Lichtkegel, Mantel besonders hell
hat jede im weißen Sonnenlicht enthaltene Farbe einen anderen Winkel der Maximalablenkung und entsprechend einen eigenen Kegelmantel. Der halbe Öffnungswinkel für den
roten Mantel ist mit 42,3° am größten, der für den violetten am kleinsten, nämlich 40,6°.
Der Regenbogen
Das Licht vom Kegelmantel eines Regentropfens kann nur dann ins Auge des Beobachters
gelangen, wenn letzteres genau auf einer verlängerten Mantellinie liegt, Bild 8. Das trifft für
alle Tropfen zu, die sich gerade auf einem Kreis befinden, dessen Radius im Gesichtsfeld des
Beobachters zwischen 42,3° und 40,6° liegt. Weil die Tropfen frei fallen, sind es ständig
andere, die diesen Kreis einen Augenblick lang bilden. Wegen des stärker rückstrahlenden
Kegelmantels wirken die Tropfen als Lichtquelle und heben sich von ihrem Hintergrund ab.
4
Bild 8. Zur Geometrie. Beobachter, Bogenhöhe, Sonnengegenpunkt
In der Regel kommt der Kreis nicht vollständig zustande, ein Teil liegt unter dem Erdboden;
man sieht nur einen Kreisbogen, den Regenbogen. Ein zweiter Beobachter, der neben, vor
oder hinter dem ersten steht, erhält sein Licht aus anderen Tropfen als dieser. Jeder sieht einen
anderen Regenbogen, aber alle sind gleich; man könnte sie aufeinander legen.
Der Sonnengegenpunkt
Der Mittelpunkt des Kreises ist der Sonnengegenpunkt G. Das ist der Schnittpunkt des
Sonnenstrahls durch das Beobachterauge mit der „Regenwand“, wobei man sich den Regenschauer aus vielen hintereinander geschichteten Regenwänden vorstellen muß. Daraus folgt
sofort, dass es nicht nur einen sondern viele Sonnengegenpunkte gibt; alle liegen auf einer
Linie, nämlich dem Sonnenstrahl durch das Auge des Beobachters. Im Bild sind sie mit G’
bezeichnet. Das hinterste G’ liegt am hinteren Ende des Schauers. Zu jedem G’ finden sich
Regentropfen, die einen Augenblick lang die Bedingung erfüllen, einen der farbigen Regenbögen zu bilden; der Beobachter sieht sie unter demselben Winkel, also aufeinander, soweit
sie derselben Farbe angehören. In der Skizze ist mit dem Tropfenpaaren z r , z ' r und z v , z ' v ein
Beispiel gegeben. Alle Tropfen, die an derselben Stelle desselben Bogens zur Helligkeit
beitragen, gruppieren sich um denselben Lichtstrahl durch das Beobachterauge (s. Erkl. z.
Bild 11). Derselbe Tropfen beteiligt sich während seines Falls nacheinander an den Bögen
aller Farben.
5
Der Bogenwinkel - Teilkreis, Vollkreis?
Aus den Winkeln in Bild 8 folgt, daß es keinen Regenbogen mehr geben kann, wenn die
Sonne höher steht als 42,3°. Bei diesem Winkel erhebt sich gerade noch die höchste Stelle des
roten Bogens über dem Erdboden, alle anderen Bögen liegen unsichtbar unter Tage. Am
Mittag des 21. Juni steht die Sonne bei uns ca. 62° hoch, einen Regenbogen kann es dann nur
bis zum frühen Vormittag oder ab dem späten Nachmittag geben. Bei Sonnenauf- oder
Untergang kann man einen Bogenwinkel von 180° erleben, einen Halbkreis, und das zu jeder
Jahreszeit. Die Sonnenhöhe entscheidet über den Bogenwinkel. Regnet es in eine tiefe
Schlucht hinein, an deren Rand man steht, so ist ein sogar ein Vollkreis als Regenbogen
möglich. Mancher Pilot müßte einen solchen 360° Grad Bogen schon gesehen haben.
Entfernung des Regenbogens
Kann man zum Regenbogen hingehen, um ihn zu fotografieren, vielleicht gar eine Nahaufnahme machen? Zum Regenschauer kann man gehen und zum Beweis naß werden, der
Regenbogen aber bleibt im Unendlichen. Denn wir sehen jede Stelle des Bogens mit jedem
Auge unter demselben Winkel zur Sonnenrichtung, z. B. den äußeren Rand des roten Bogens
unter 42,5°. Solches Licht ist parallel. Einen Gegenstand in endlicher Entfernung sehen wir
mit jedem Auge unter einem anderen Winkel zu einer festen Bezugsrichtung wie der Normalen auf unserer Stirn. Die Winkeldifferenz, Parallaxe genannt, dient allen Lebewesen mit zwei
Augen zur Entfernungsschätzung. Beim Regenbogen ist die Parallaxe Null, er liegt im Unendlichen. Wer einen Regenbogen fotografieren will, den der Rasensprenger direkt vor ihm
erzeugt, muß auch hier das Objektiv auf Unendlich stellen. Die Wassertropfen in wenigen
Metern Abstand senden Licht wie aus unendlicher Entfernung.
Einfluß der Tropfengröße
Der Lichtweg durch die Regentropfen ist von der Tropfengröße unabhängig, ein Regenbogen
sieht für große und kleine Tropfen gleich aus. Das liegt an Brechungs- und Reflexionsgesetz.
In beiden kommen nur Winkel vor; wie tief das jeweilige Medium ist, geht in die Richtung
reflektierter und gebrochener Lichtstrahlen nicht ein. Und außer diesen beiden Gesetzen wird
nichts benutzt, um den Regenbogen zu verstehen.
Das ändert sich, wenn die Tropfengröße in die Nähe der Lichtwellenlänge (0,4 – 0,8 µ m )
kommt, zehn Mikrometer reichen schon. Nebeltröpfchen sind so klein, und an ihnen wird das
Licht dann gestreut. Es gibt viele Arten von Lichtstreuung, diese heißt Mie-Streuung, benannt
nach einem Physiker, der sie erklärt hat. Die Theorie ist sehr kompliziert, und Mitglieder einer
Hochtourengruppe müssen sie nicht kennen. Die Trennung nach Farben ist bei der MieStreuung nicht annähernd so deutlich wie bei der Brechung. Darum sind „Nebelbögen“ weiß.
Daß es trotzdem zum Bogen kommt, liegt an der Kugelform der Streuzentren, den Tröpfchen;
sie sorgt für Rotationssymmetrie des Streulichtes.
6
Der Nebenbogen
Bild 9. Lichtweg im Wassertropfen bei Haupt- und Nebenbogen
Wo immer ein Lichtstrahl auf die Grenze zweier Medien trifft, gibt es einen reflektierten und
im angrenzenden Medium einen gebrochenen Strahl. Der Strahl, der bei C in Bild 2 infolge
Reflexion noch im Tropfen bleibt, um bei D in Bild 9 unter Brechung auszutreten, gestaltet
den Nebenregenbogen. Wenn C die Stelle mit der Strahlenhäufung beim Austritt aus dem
Tropfen ist, muß auch bei D ein dichtes Strahlenbündel austreten, denn es wird ja von jedem
Strahl bei C ein reflektierter Strahl abgezweigt und nach D geschickt. Der Strahlengang im
Wassertropfen ist für beide Bögen ähnlich, der Unterschied ist eine zusätzliche Reflexion
beim Nebenbogen. Ein Sonnenstrahl, der unter dem Winkel α in den Tropfen eintritt, erzeugt
um C und D herum je einen farbigen Fächer austretender Strahlen, von denen jeder unter eben
diesem Winkel α den Tropfen wieder verlässt. Die Winkel sind dabei vom Einfallslot an der
7
Austrittsstelle gemessen. Läßt man wieder die Skizze um die Sonnenstrahlen rotieren, erhält
man zu jeder Farbe einen Strahlenkegel, und das für Haupt- und Nebenbogen. Alle Öffnungswinkel sind allerdings verschieden. Gemittelt über die Farben mißt der Austritt bei C 42° zur
Sonnenrichtung, der bei D 51°. Entsprechend sind die halben Öffnungswinkel der Kegel 42°
und 51°. Damit erreicht der Nebenregenbogen maximal 51° Höhe, nämlich bei Sonnenaufoder Untergang, und die Sonne darf höchstens 51° hoch stehen.
In Bild 10 ist für den Hauptbogen ein Sonnenstrahl gewählt, der in die linke Tropfenhälfte
eintritt, für den Nebenbogen ein solcher aus der rechten Hälfte. Dadurch treten die Strahlen,
die die beiden Bögen bilden, auf derselben Tropfenseite aus.
Bild 10. Seitenwechsel im Tropfen beim Hauptbogen, kein Wechsel beim Nebenbogen
8
Zwei Unterschiede zwischen Haupt- und Nebenbogen sind noch zu bemerken, nämlich die
geringe Helligkeit des Nebenbogens und seine umgekehrte Farbfolge.
Licht, welches an einer Grenzfläche Wasser – Luft reflektiert wird, hat nur noch wenige
Prozent der Helligkeit des ankommenden Lichtes. Als Folge der zusätzlichen Reflexion muß
darum der Nebenbogen viel dunkler sein als der Hauptbogen. Ein dritter Regenbogen,
entstanden nach eine weiteren Reflexion und Austritt danach, ist fürs Auge nicht mehr
wahrnehmbar.
Die umgekehrten Farbfolgen bei Haupt und Nebenbogen sind aus Bild 9 unmittelbar
ersichtlich. Die geometrische Konstruktion der Lichtstrahlen, wozu man nur Reflexions- und
Brechungsgesetz sowie die Brechzahlen braucht, ergibt auf direktem Weg Austrittsort und
Austrittswinkel für jede Farbe bei beiden Bögen. Interessanter ist jedoch die Rechnung, denn
sie liefert auch noch den Winkel der größten Ablenkung. Denkt man an einen Wanderer, der
an jeder Wegbiegung die Kurskorrektur notiert und später alle addiert, so erhält man für die
Winkel ψ 1 und ψ 2 in Bild 9
ψ 1 = α − β + 180° − 2 β + α − β = 180° + 2α − 4 β
ψ 2 = α − β + 180° − 2β + 180° − 2β + α − β = 360° + 2α − 6β
und für die Winkel δ und ϕ zur Richtung zur Gegensonne
δ = 180° − ψ 1 = 4 β − 2 α
ϕ = ψ 2 − 180° = 180° + 2 α − 6 β .
Den Brechungswinkel β erhält man zu jedem Einfallswinkel α aus dem Brechungsgesetz.
Weiter soll die Rechnung hier nicht geführt werden.
Die Lichtemission eines Tropfens auf dem Weg zum Boden
Bild 11 ist eine Momentaufnahme der Regentropfen senkrecht untereinander oder auch ein
und desselben Tropfen in verschiedenen Höhen, dann also zu verschiedenen Zeiten. An jeder
Stelle emittiert er das gleiche Licht; nicht alle Lichtkegel sind eingezeichnet. In Position 1
erreicht das Licht aus dem Tropfen den Beobachter noch nicht. In Stellung 2 ist der höchste
Nebenbogen, der violette, für den Beobachter sichtbar, in Stellung 3 der blaue, und so
erscheinen ihm nacheinander alle anderen Nebenbögen. Hat der Tropfen auch die Stellung für
den roten durchfallen, so folgt eine Dunkelstrecke, denn zwischen ca. 51° für die farbigen
Nebenbögen und rund 42° für die einzelnen Hauptbögen emittiert der Tropfen ja nichts.
Dieser Dunkelraum hat einen Namen: Alexanders dunkles Band. Man sieht es bei guten
Bedingungen wie in Bild 12 zwischen beiden Bögen. Es sei daran erinnert, daß die Winkel für
den Tropfen mit Bezugsrichtung zur Sonne und für den Beobachter zur Gegensonne
gemessen werden. In Position 4 ist der Regentropfen so tief gefallen, daß dem Beobachter
nacheinander die bunten Hauptregenbögen erscheinen. Unterhalb Stellung 5 ist auch der
flachste Hauptbogen vorbei, und das Licht aus dem Inneren des Strahlenkegels (Bild 3)
erreicht den Beobachter. Es enthält alle Farben und erleuchtet den Raum innerhalb des
violetten Bogens weiß, weil die Farben aus dem Tropfeninneren zu wenig nach Richtung
getrennt sind. Das ist auf den Bildern 1 und 12 gut zu erkennen.
9
Bild 11. Lichtemission desselben Tropfens während seines Falles.
In Bild 11 sind einige Regentropfen auf demselben Lichtstrahl gezeichnet. Damit sie des
Beobachters Lichteindruck verstärken, müssen sie aber quer zu diesem Lichtstrahl ein wenig
versetzt sein, weil ihr Beitrag sonst vom Tropfen davor infolge Brechung abgelenkt wird.
Derart versetzte Tropfen sind im Schauer jedoch stets enthalten, das Licht von einer Stelle des
Regenbogens kommt aus mehr als einem Tropfen.
10
Bild 12. Regenbogen in Nordnorwegen. Dunkelraum zwischen den Bögen u. Aufhellung unter dem Hauptbogen
erkennbar. Aus Literaturangabe 2
Literatur
1. R. Greenler. Rainbows, Halos, and Glories. Cambridge University Press 1980
2. K. Schlegel. Vom Regenbogen zum Polarlicht. Spektrum Verlag 1995
3. M.Vollmer. Physik in unserer Zeit; Bd.26, 1995, Nr.3, S. 111 - 115
4. Wikipedia. Stichwort Regenbogen, dort ausführliche Literaturangaben
11