Aufgaben Ladungen im elektr. und mag. Feld 85

Aufgaben Ladungen im elektr. und mag. Feld
85. Elektronen treten aus einer Glühkathode K aus
und werden durch ein Feld zwischen ihr und der
Anode A (Spannung zwischen K und A beträgt U =
500,0 V) zu letzterer hin beschleunigt. Durch die
Öffnung C in der Anode treten Elektronen in den
Raum ein, in dem zwei Felder wirken:
- ein elektrisches Feld mit der elektrischen
Feldstärke
E = konst. > 0, dessen Feldlinien parallel zur
Zeichenebene verlaufen (in der Skizze
weggelassen), und
- ein magnetisches Feld mit der magnetischen Flussdichte B = 0,012 T, dessen Feldlinien
senkrecht aus der Zeichenebene heraus verlaufen (in der Skizze punktförmig dargestellt).
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit derjenigen Elektronen, die an der Oberfläche der Kathode
keine kinetische Energie hatten, an der Öffnung C?
b) Mit welcher Geschwindigkeit v2 erreichen bei gleicher Spannung solche Elektronen die Öffnung
C, welche die Katodenoberfläche in Richtung C mit der kinetischen Energie E = 3,200 * 10-17 Ws
verließen?
c) Begründen Sie, dass die Kräfte, die auf ein bewegtes Elektron unter dem Einfluss beider Felder
wirken, die gleiche Richtung haben können.
d) Stellen Sie eine Gleichung zur Berechnung des Betrages der Gesamtkraft auf, wenn bekannt
ist, dass sich die Einzelkräfte in der Richtung unterscheiden. (Die Erdanziehung wird
vernachlässigt).
e) Berechnen Sie die notwendige elektrische Feldstärke, damit die Elektronen, die an der
Oberfläche der Kathode keine kinetische Energie hatten, die Anordnung geradlinig durchfliegen.
262. Aus einer Elektronenquelle treten die
Elektronen mit einer Geschwindigkeit v0 senkrecht
in das homogene elektrische Feld eines
Plattenkondensators der Breite 8,0 cm und der
Länge 10,0 cm ein.
An den Plattenkondensator wird eine Spannung
von 12 kV angelegt.
a) Leiten Sie eine allgemeine Gleichung für die
Elektronenbahn im Feld her.
b) Bei welcher Eintrittsgeschwindigkeit erreichen
die Elektronen genau den hinteren Rand der
Platte.
Wie fliegen sie, wenn die Eintrittsgeschwindigkeit größer ist als der berechnete Wert?
Zwischen den Kondensatorplatten soll dem elektrischen Feld ein homogenes Magnetfeld so
überlagert werden, dass die Elektronen der Geschwindigkeit 1,8*107 m/s die Anordnung
unabgelenkt durchfliegen.
c) Wie muss das Magnetfeld orientiert sein?
d) Zeigen Sie, dass der Betrag der magnetischen Flussdichte 8,3 mT sein muss.
e) Erklären Sie, in welche Richtung Elektronen mit einer kleineren Geschwindigkeit
unmittelbar nach dem Einschuss in den Feldbereich abgelenkt werden.
Nun wird die Ablenkspannung ausgeschaltet, so dass nur noch das magnetische Feld
vorhanden ist.
f) Welche Eintrittsgeschwindigkeit müssen die Elektronen haben, um den Feldbereich wieder
verlassen zu können, ohne auf eine Kondensatorplatte zu treffen?
Lösungen
85.
U = 500 V
Geg.:
ges.:
B = 0,012 T
a) v
d) E
me = 9,1094 ⋅1031 kg
e = 1,602 ⋅10 −19 C
Lösung: a) Das Elektron gewinnt im elektrischen Feld an kinetischer Energie. Dabei kann es nur
soviel aufnehmen, wie im elektrischen Feld enthalten sind. Da sich die Masse des
Elektrons bei Vernachlässigung relativistischer Effekte nicht verändert, kann man über
die kinetische Energie die Geschwindigkeit des Elektrons berechnen.
Ekin = Eel
m 2
⋅ v = e ⋅U
2
v=
2 ⋅ e ⋅U
m
v = 13,3 ⋅ 10 6
m
s
b) Die Anfangsenergie wird zur elektrischen Energie addiert:
Ekin = E el + E0
m 2
⋅ v = e ⋅U + E0
2
v=
2 ⋅ (e ⋅ U + E0 )
m
v = 15,7 ⋅10 6
m
s
c) Die Kraft des elektrischen Feldes wirkt nach unten. Das magnetische Feld wirkt
senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons (Lorentzkraft) Die Richtung wird mit der
linken-Hand-Regel bestimmt und zeigt nach oben.
d) Auf das Elektron wirkt eine elektrische Kraft nach unten und eine magnetische Kraft
nach oben. Die Gesamtkraft ist die Summe der Kräfte.
Fg = Fel − Fmag
Fg = E ⋅ Q − v ⋅ e ⋅ B
e) Die Elektronen fliegen geradlinig durch die gekreuzten elektrischen und
magnetischen Felder, wenn auf sie keine Kraft wirkt (Trägheitsgesetz) Auf sie wirkt aber
nur dann keine Kraft, wenn die elektrische und die magnetische Kraft gleich groß sind
und sich damit aufheben.
E ⋅ Q = v ⋅ e ⋅B
v ⋅ e ⋅B
e
E = v ⋅B
E=
m
⋅ 0,012 T
s
3 m⋅ V ⋅s
E = 13,3 ⋅106
E = 159,1⋅10
E = 159,1⋅103
s ⋅ m2
V
m
Alle Elektronen mit der oben berechneten Geschwindigkeit fliegen geradlinig durch die
gekreuzten Felder hindurch. Alle anderen werden nach oben oder unten abgelenkt.
Damit wirkt eine solche Anordnung als Geschwindigkeitsfilter für geladene Teilchen und
wird z.B. beim Massenspektrographen eingesetzt. Die Masse der Teilchen spielt dabei
keine Rolle.
Antwort: Die Elektronen haben eine Geschwindigkeit von 13,3*106ms. Bei einer Feldstärke von
159,1*103 V/m fliegen die Elektronen geradlinig durch die gekreuzten Felder.
262.
geg.:
U = 12kV
ges.:
b) v0
b = 8,0 cm
l = 10,0cm
a) Bewegt sich das Elektron außerhalb des elektrischen Feldes, führt es nur
eine gleichförmige, geradlinige Bewegung in x-Richtung aus. Es wirkt keine
Kraft.
Damit wäre die Bewegungsgleichung:
x = v0 ⋅t
v0 ist die Anfangsgeschwindigkeit.
Wenn das Elektron in das elektrische Feld eintritt, spürt es eine Kraft nach
oben. Zusätzlich zu der gleichförmigen Bewegung führt es nun noch eine
beschleunigte Bewegung nach oben aus. Die Bewegung in x- und in y-Richtung
überlagert sich und ergeben eine resultierende Bewegung.
Die gesuchte Gleichung muss den Zusammenhang zwischen x und y
darstellen. Dabei dürfen außer x und y nur gegebene Größen auftauchen.
Für die y-Richtung gilt die Gleichung der gleichmäßig beschleunigten
Bewegung, da im homogenen elektrischen Feld die Kraft auf das Elektron
konstant ist:
y=
a 2
⋅t
2
Zur Vereinigung der beiden Gleichungen stellt man eine nach der Zeit um und
setzt sie in die andere ein:
t=
x
v0
y=
a x2
⋅
2 v 02
Prima. Damit hätten wir die Bewegungsgleichung fast fertig. Man kann den yPunkt bei gegeben x-Punkt berechnen und damit die Bahnkurve zeichnen.
Nur die Beschleunigung ist noch unbekannt und muss mit den gegeben Größen
ausgedrückt werden. Es gilt das Newtonsche Grundgesetz:
F =m⋅a
F
a=
m
Die Masse ist die Elektronenmasse und bekannt. Die Kraft leitet sich aus der
Definition der Feldstärke ab:
F
Q
F =E⋅Q
U
F= ⋅e
d
E=
Das wird eingesetzt:
a=
U⋅ e
m⋅d
und liefert endlich die Bahnkurve:
y=
U⋅ e
2 ⋅ m ⋅ d ⋅ v 20
⋅x2
Dies ist die Gleichung für eine Parabel. Die Größen im Bruch sind alle gegeben,
es gilt y~x².
b) Die eben erstellte Gleichung muss nach der Anfangsgeschwindigkeit v0
umgestellt werden:
U⋅ e
y=
2 ⋅ m ⋅ d ⋅ v 02
⋅x2
U⋅ e
⋅x2
2 ⋅m ⋅ d⋅ y
v 02 =
U⋅ e
⋅x2
2⋅m ⋅d⋅ y
v0 =
Für den Weg in x-Richtung setzt man die Länge der Platte ein und den Weg in
y-Richtung den halben Plattenabstand.
Und nun die Rechnung:
v0 =
12 ⋅103 V ⋅1,602 ⋅10 −19 C
⋅ 0,12 m2
2 ⋅ 9,11⋅10 −31 kg ⋅ 0,08m ⋅ 0,04m
v 0 = 5,7 ⋅107 ms
Bei dieser Geschwindigkeit treffen die Elektronen genau auf die Kante.
Kommen sie schneller, fliegen sie über die Kondensatorplatten hinweg. Durch
die größere Geschwindigkeit ist weniger Zeit, sie zu der Platte hin zu lenken.
Stellt man die Bahnkurve nach x um, ist x~v². Eine größere Geschwindigkeit
bedeutet bei gleichem y, also Plattenabstand, ein größeres x.
c) Die Elektronen durchlaufen die Platten auf geradem Wege, wenn sich die
Kräfte aufheben. Die elektrischen Kräfte ziehen die Elektronen nach oben, also
muss das Magnetfeld so gerichtet sein, dass es eine Kraft nach unten erzeugt.
Nach der Linken-Hand-Regel muss das Magnetfeld in die Zeichenebene
hineingerichtet sein. (Daumen: Elektronen nach rechts, Mittelfinger: Kraft auf
Elektronen nach unten,-> der Zeigefinger zeigt nach hinten.
d) Wenn die Elektronen gerade durch die Anordnung fliegen, muss für sie der
Weg kräftefrei sein. Die beiden Kräfte, elektrische und magnetische sind vom
Betrag her gleich groß. Die magnetische Kraft ist die Lorentzkraft.
FL = Fel
B ⋅ v ⋅ e = e ⋅E
E
v
U
B=
d⋅ v
B=
12 ⋅103 V
0,08m ⋅1,8 ⋅107
B = 8,3mT
B=
e) Wenn die Elektronen langsamer fliegen, ändert sich die elektrische Kraft nicht. Die
magnetische Kraft wird jedoch geringer, so dass die Elektronen nach oben abgelenkt
werden.
Die schnelleren fliegen nach unten, so dass wirklich nur die durchkommen, die die
entsprechende Geschwindigkeit haben. Die Anlage funktioniert als Geschwindigkeitsfilter.
f) Nach dem Abschalten des elektrischen Feldes fliegen die Elektronen auf einer Kreisbahn.
Die Lorentzkraft steht immer senkrecht zur Flugrichtung und wirkt jetzt als Radialkraft. Die
Geschwindigkeit läßt sich über die Gleichheit von Lorentzkraft und Radialkraft berechnen:
FR = FL
m⋅v 2
=B⋅e⋅v
r
B ⋅ e ⋅r
v=
m
Es gibt zwei Möglichkeiten, die Elektronen nicht auf der Kondensatorplatte auftreffen zu
lassen:
1. Die Geschwindigkeit ist so klein, dass die Elektronen vor dem Aufschlagen einen
Halbkreis geschafft haben und aus dem Magnetfeld rückwärts wegfliegen.
2. Die Geschwindigkeit ist so groß, dass der Kreisbogen über den hinteren Rand
hinausreicht und die Elektronen hinter dem Kondensator das Magnetfeld verlassen.
zum 1. Fall:
v1 =
0,83 T ⋅ 1,60 ⋅ 10 −19 C ⋅ 0,02 m
9,11⋅ 10 −31 kg
v 1 = 2,9 ⋅ 10 6
m
s
zum 2. Fall:
Es muss zuerst der neue Radius der Bahn berechnet werden. Es gilt:
(r2 − 4,0 cm)2 + 10,0 2 cm 2 = r22
r22 − 4,0 cm ⋅ r2 + 16,0 cm 2 + 100,0 cm 2 = r22
116 cm = 8 ⋅ r2
r2 = 14,5 cm
Damit lässt sich wie bei 1. die Geschwindigkeit berechnen:
v 2 = 2,1⋅ 10 7
m
s