Mathematik Üben Klasse 5 Geometrie

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Martin Gehstein
Mathematik Üben Klasse 5
Geometrie
Differenzierte Materialien für das ganze
Schuljahr
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Mathematik üben
Klasse 5
Geometrie
Differenzierte Materialien für das
ganze Schuljahr
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Mathematik üben Klasse 5
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Strecken, Geraden, Halbgeraden
Was ist eine Strecke?
Eine Strecke ist eine gerade Linie mit einem Anfangs- und
einem Endpunkt. Die Länge einer Strecke kann man messen.
B
ns
ic
ht
A
Wie misst man eine Strecke?
ur
A
Lege die Null des Lineals auf
den Anfangspunkt (A) der Strecke.
Das Lineal wird deckungsgleich
(bündig) mit der Strecke gelegt.
Am Endpunkt (B) kann man die Länge
auf dem Lineal ablesen. Man schreibt: AB = 3 cm.
M
us
te
Eine Halbgerade ist eine gerade Linie mit einem Anfangspunkt.
Die Halbgerade besitzt keinen Endpunkt. Man nennt sie auch
Strahl.
Eine Halbgerade ist unendlich lang.
A
B
Was ist eine Gerade?
Eine Gerade ist eine gerade Linie ohne Anfangs- und ohne
Endpunkt. Eine Gerade ist unendlich lang.
A
38
B
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
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rz
Was ist eine Halbgerade?
Strecken, Geraden, Halbgeraden
1. Wo sind die Geraden, Strecken und Halbgeraden?
f
b
e
a
ns
ic
c
ht
d
2. Miss die folgenden Strecken und notiere ihre Länge:
a)
c)
rz
ur
A
b)
te
e)
M
us
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d)
3. Zeichne folgende Streckenlängen:
a) 5 cm
b) 7 cm
c) 14 cm
d) 2 cm
e) 3,8 cm
f) 6,5 cm
g) 1,9 cm
h) 7,3 cm
i) 12,1 cm
j) 2 1 cm
k) 13,8 cm
2
4. Eine Schrägseilbrücke wird von schräg
angeordneten Stahlseilen gehalten.
a) Vom Betonpfosten aus bewegt man sich
von innen nach außen. Was passiert
dabei mit den Seillängen?
b) Wo müsste das kürzeste Seil von allen
befestigt werden?
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
39
Strecken, Geraden, Halbgeraden
1. Was versteht man in der Mathematik unter
a) einer Geraden?
b) einer Halbgeraden?
c) einer Strecke?
2. Wie viele Schnittpunkte können 2 verschiedene Geraden besitzen?
3. Zeichne 5 verschiedene Punkte so,
ht
a) dass genau 3 Punkte auf einer Geraden liegen.
b) dass genau 4 Punkte auf einer Geraden liegen.
5. Ein Schiff fährt von A aus direkt zu den
3 Anlegestellen B, C und D und zurück zu A.
ns
ic
4. Auf dem Schulhof der Laisbachschule soll ein Volleyballfeld gezeichnet werden. Wie
schafft man es, gerade Linien zu ziehen? Gib mehrere Möglichkeiten an.
D
10
9
B
7
6
te
5
4
3
M
us
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7. Welche der unten abgebildeten Linien verlaufen gerade? Überprüfe mit dem Lineal.
8. Zeichne 2 Punkte A und B. Zeichne anschließend die Halbgeraden [AB und [BA. Was
haben die beiden Halbgeraden gemeinsam?
40
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
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rz
8
C
A
ur
6. Zeichne das Fadenbild in dein Heft.
A
a) Zeichne alle verschiedenen Fahrmöglichkeiten ein.
b) Wie viele verschiedene Varianten gibt es?
c) Welches ist die kürzeste Strecke?
Beziehungen zwischen Geraden
Wie zeichnet man eine senkrechte Gerade?
Zur Geraden g soll eine Senkrechte h gezeichnet werden.
Lege die Mittellinie des Geodreiecks deckungsgleich mit g und
zeichne h ein.
h
6
ht
7
g
51
7
10 0
g
4
16
20 0
2
1
140
40
1
2
130
50
0
3
120
60
1
ns
ic
150
30
3
g
AR
2
1
3
0
10
80
A
2
C
IE
90
E
DR
EO
-G 550
TO 1
IS
110
70
Was sind parallele Geraden?
te
g
M
us
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rz
ur
Zwei Geraden g und h verlaufen
parallel, wenn sie überall den
gleichen Abstand besitzen.
h
Wie zeichnet man eine parallele Gerade?
3
2
1
0
1
2
3
1 60
20
1
1
2
2
4
0
15 0
3
0
14 0
4
13
50 0
3
3
ARISTO-GEO DREIECK
1550
12
60 0 1
10
70
100
80
90
80
100
70
110
5
6
7
10
170
4
20
16 0
5
3
15 0
0
6
g
4
14 0
0
7
170
10
Zur Geraden g soll eine Parallele h
h
gezeichnet werden.
Auf dem Geodreieck befinden
sich zahlreiche parallele Linien.
Lege eine dieser Linien deckungsgleich
mit g und zeichne h ein.
60 0
12
5030
1
AUSTRI
A
Geometrische Gundbegriffe, Körper und Figuren
41
Beziehungen zwischen Geraden
1. Welche Geraden verlaufen parallel zueinander?
a)
b)
c)
e
a
f
c
b
ht
d
2. Welche Geraden stehen senkrecht zueinander?
a)
b)
c)
ns
ic
x
b
f
y
e
A
a
rz
P
ur
3. Wie groß ist der Abstand des Punktes P von der Geraden g?
te
g
M
us
a) 5 beliebige parallele Geraden zu a.
b) 5 beliebige Geraden, die senkrecht auf a stehen.
5. Zeichne
a) eine Senkrechte zu h durch A.
b) eine Parallele zu h durch A.
c) einen Punkt B, der 3 cm von h entfernt ist.
A
h
42
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
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4. Zeichne eine beliebige Gerade a in dein Heft. Zeichne
Beziehungen zwischen Geraden
1. Welche Geraden verlaufen parallel bzw. senkrecht zueinander?
d
h
e
ht
a
b
g
ns
ic
c
2. Wie groß sind die Abstände von den Eckpunkten zu den gegenüberliegenden Seiten?
a)
b)
c)
C
b
A
b
C
a
a
A
c
B
c
a
c
B
B
ur
A
C
b
A
te
4. Der Schatz liegt in südöstlicher Richtung.
Er ist genau 40 m von der Hauptstraße und
30 m von der Kellergasse entfernt.
Wo genau liegt der Schatz? Der Maßstab
beträgt 1:1 000.
N
W
O
S
M
us
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rz
3. Um 3 Uhr stehen die beiden Zeiger einer Uhr senkrecht aufeinander. Für welche Uhrzeit
trifft dies noch zu?
Hauptstraße
5. In New York verläuft
a) die 42. Straße parallel zur 34. Straße.
Die 34. Straße verläuft senkrecht zur 39. Straße.
Wie verläuft die 39. Straße zur 42. Straße? Tipp: Fertige eine Skizze an.
b) die 60. Straße senkrecht zur 23. Straße.
Die 60. Straße ist parallel zur 56. Straße.
Wie verläuft die 56. Straße zur 23. Straße? Tipp: Fertige eine Skizze an.
Kellergasse
6. Verlaufen die Bahnschienen parallel zueinander? Begründe
deine Entscheidung.
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
43
Figuren
Was ist ein Rechteck?
In einem Rechteck stehen benachbarte
Seiten senkrecht aufeinander.
D
Weitere Eigenschaften:
¾
Gegenüberliegende Seiten sind
parallel und gleich lang.
¾
Die Diagonalen halbieren sich.
A
¾
Alle Winkel sind 90° groß.
C
ht
b
B
ns
ic
a
Was ist ein Quadrat?
D
C
A
Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck.
Alle Seiten sind gleich lang.
ur
b
A
B
rz
a
Was ist ein Parallelogramm?
te
Bei einem Parallelogramm sind
D
gegenüberliegende Seiten parallel
und gleich lang.
Weitere Eigenschaften:
¾
Die Diagonalen halbieren sich.
¾
Gegenüberliegende Winkel
A
a
sind gleich groß.
¾
Benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180°.
44
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
B
D
Was ist eine Raute?
Eine Raute ist ein besonderes
Parallelogramm.
Alle Seiten sind gleich lang.
b
C
b
A
a
B
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M
us
C
Figuren
1. Zeichne folgende Figuren:
a) Rechteck: a = 4 cm; b = 3 cm
c) Quadrat: a = 6,4 cm
b) Rechteck: a = 5,7 cm; b = 3,9 cm
d) Quadrat: a = 4,1 cm
2. Zeichne die Parallelogramme zu Ende.
c)
b)
ns
ic
ht
a)
ur
A
3. Welche Figuren sind Rechtecke bzw. sogar Quadrate?
B
C
D
rz
A
te
M
us
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4. Sind die Aussagen wahr oder falsch? Notiere ein w oder f an die jeweilige Stelle.
Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel.
Benachbarte Seiten stehen senkrecht
aufeinander.
Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
5. Zeichne
a) ein Rechteck mit a = 7 cm, b = 5 cm und
b) in die Mitte des Rechtecks ein Quadrat mit a = 3 cm.
6. Zeichne die beiden Muster ab. Wähle für die Quadrate a = 4 cm.
a)
b)
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
45
Figuren
1. Wo treten in deiner Umwelt quadratische oder rechteckige Flächen auf?
Nenne jeweils 3 Beispiele.
2. Welche Figuren sind Rechtecke, Quadrate, Parallelogramme bzw. Rauten?
A
D
C
G
F
H
3. Nenne jeweils 2 Eigenschaften der Figuren.
b) Quadrat
4. Welche Aussagen sind wahr?
d) Raute
b)
d)
f)
h)
Jedes Rechteck ist auch ein Quadrat.
Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm.
Jede Raute ist ein Parallelogramm.
Jede Raute ist ein Rechteck.
ur
Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck.
Jedes Parallelogramm ist ein Rechteck.
Jedes Parallelogramm ist eine Raute.
Jedes Quadrat ist ein Parallelogramm.
rz
a)
c)
e)
g)
c) Parallelogramm
A
a) Rechteck
ns
ic
E
ht
B
5. Zeichne folgende Figuren:
b) Quadrat: a = 2,3 cm
d) Raute: a = 5,6 cm
M
us
6. Florian behauptet: Für Aufgabe 5c gibt es nur eine Lösung. Hat er recht? Begründe.
7. Wie weit sind die Punkte von der gegenüberliegenden Seite entfernt?
D
A
C
B
8. Wie viele verschiedene Parallelogramme
kannst du in der Figur erkennen?
46
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
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te
a) Rechteck: a = 4,7 cm; b = 5,1 cm
c) Parallelogramm: a = 5 cm; b = 3 cm
Körper
Was sind Ecken, Kanten und Flächen?
Jeder Körper wird durch Flächen begrenzt.
Fläche
Die Flächen stoßen an den Kanten
zusammen.
Ecke
ht
Kanten treffen an den Ecken
aufeinander.
ns
ic
Kante
A
Wie unterscheiden sich Quader und Würfel?
Ein Würfel ist ein spezieller
Quader. Seine 6 Flächen
sind gleich groß.
te
rz
ur
Ein Quader besitzt 6 rechteckige
Flächen. Gegenüberliegende
Flächen sind gleich groß. Er
besitzt 12 Kanten und 8 Ecken.
M
us
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Schrägbilder zeichnen
45°
¾
Zeichne die vordere Fläche.
¾
Zeichne die Kanten, die nach hinten verlaufen, im 45°-Winkel
ein. Zeichne hier nur die halbe Länge ein (aus 3 cm wird z. B.
1,5 cm).
¾
Ergänze die noch fehlenden Kanten. Zeichne nicht sichtbare
Linien stets gestrichelt.
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
47
Körper
1. Welche Körper sind hier abgebildet?
A
B
C
D
E
F
2. Betrachte die Tabelle und notiere die einzelnen Körpereigenschaften.
Anzahl Kanten
Würfel
ns
ic
Quader
Anzahl Flächen
ht
Anzahl Ecken
Zylinder
Kegel
Pyramide mit quadratischer
Grundfläche
A
Kugel
ur
3. Melanie hat aus Draht das Kantenmodell eines Quaders
(Länge = 10 cm; Breite = 12 cm; Höhe = 5 cm) gebaut.
Wie viel Draht benötigt sie mindestens?
M
us
5. Zeichne die Würfelnetze zu Ende.
a)
b)
6. Zeichne die Schrägbilder
der Quader zu Ende. a)
48
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
c)
b)
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te
rz
4. Streiche die falschen Würfelnetze durch.
Körper
1. Wo kommen die entsprechenden Körper in unserer Umwelt vor? Nenne jeweils ein
Beispiel für Würfel, Quader, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel.
2. Beantworte die Fragen zu den Köpereigenschaften von Quader, Würfel, Zylinder,
Pyramide, Kegel und Kugel.
a) Welcher Körper besitzt die meisten Flächen?
b) Welcher Körper besitzt die meisten Ecken?
ht
c) Welcher Körper besitzt die meisten Kanten?
ns
ic
3. Erkläre folgende Begriffe:
a) Kanten
b) Ecken
A
4. Auf dem Tisch liegen viele kleine Würfel mit der Kantenlänge 1 cm. Wie viele Würfel
benötigt man, um daraus einen großen Würfel mit der Kantenlänge 3 cm zu bauen?
2 cm
rz
ur
5. Zeichne das Netz des Quaders in dein Heft. Die beiden Mittellinien (gepunktet) sollen
ebenfalls im Netz dargestellt sein.
te
3 cm
6. Zeichne die Schrägbilder folgender Körper:
M
us
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4 cm
a) Würfel: Kantenlänge a = 4 cm
b) Quader: Länge = 6 cm; Breite = 2,5 cm; Höhe = 4 cm
7. Zeichne das Schrägbild der beiden Streichholzschachteln. Die Maße kannst du frei wählen.
8. Yannik behauptet: „Jeder Würfel ist immer auch ein Quader.“ Stimmt das? Begründe.
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
49
Lösungen: Strecken, Geraden, Halbgeraden
1.
Geraden: c, e
Strecken: b, d
Halbgeraden: a, f
2.
a) 15 cm
b) 6 cm
c) 9 cm
d) 4 cm
e) 7 cm
3.
4.
te
us
M
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rz
ur
A
ns
a) Die Seillängen werden immer größer.
b) Es müsste parallel zum Betonpfosten befestigt werden.
ic
ht
Durch Nachmessen überprüfen.
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
Lösungen: Strecken, Geraden, Halbgeraden
1.
a) Eine Gerade besitzt keinen Endpunkt und keinen Anfangspunkt. Sie ist unendlich lang.
b) Eine Halbgerade besitzt einen Anfangs-, aber keinen Endpunkt. Die Halbgerade ist unendlich
lang.
c) Eine Strecke besitzt einen Anfangs- und einen Endpunkt. Deshalb lässt sich auch eine
Streckenlänge angeben.
Die Geraden können einen oder keinen Schnittpunkt besitzen.
3.
ic
ht
2.
A
ns
Hier sind mehrere verschiedene Lösungen möglich, z. B. für b) 4 Punkte auf einer Geraden:
ur
4.
Mit einer Schnur; mit einer langen Holzlatte; mit einem großen Tafellineal; …
a) sh. Zeichnung
b) 6
rz
5.
D
Lösung durch Vergleichen überprüfen.
A
M
7.
C
Alle Linien (a, b, c, d) verlaufen gerade.
8.
Die beiden Halbgeraden haben die Strecke AB gemeinsam.
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
B
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us
6.
te
c) Am kürzesten sind die Strecken A, B, C, D
oder A, D, C, B (sie sind gleich lang).
Lösungen: Beziehungen zwischen Geraden
1.
a) a ll b
b) c nicht parallel zu d
c) e ll f
2.
a) a nicht senkrecht zu b
c) e ⊥ f
b) x nicht senkrecht zu y
3.
ic
ht
1,5 cm
4.
Hier sind viele Lösungen möglich.
5.
ur
A
ns
a)
A
rz
h
te
us
M
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b)
A
h
c) Hier sind viele Lösungen möglich.
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
Lösungen: Beziehungen zwischen Geraden
1.
c ⊥ e; a ll b; h ⊥ g; c ⊥ d; d ll e
2.
a) A zu a: 3,8 cm; B zu b: 2,5 cm; C zu c: 2,5 cm
b) A zu a: 5,1 cm; B zu b: 1,9 cm; C zu c: 2,1 cm
c) A zu a: 1,9 cm; B zu b: 0,8 cm; C zu c: 1,1 cm
ic
ht
3.
Für 9 Uhr.
4.
N
O
ns
W
S
ur
A
Hauptstraße
rz
Kellergasse
5.
Schatz
us
6.
M
Überprüft man die Schienen mit dem Geodreieck, so ergibt sich, dass sie nicht parallel zueinander
verlaufen. In Wirklichkeit verlaufen sie jedoch parallel zueinander.
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
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te
a) Die 39. Straße steht senkrecht zur 42. Straße.
b) Die 56. Straße steht senkrecht zur 23. Straße.
Lösungen: Figuren
1.
Lösung durch Nachmessen überprüfen.
2.
a)
c)
ns
ic
ht
b)
Rechtecke: A und B
Quadrate: B
ur
4.
A
3.
w
w
Benachbarte Seiten stehen senkrecht
aufeinander.
w
f
Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
w
w
te
us
5.
M
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rz
Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel.
6.
Lösung durch Nachmessen überprüfen.
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
Lösungen: Figuren
1.
Hier sind nahezu unendlich viele Lösungen möglich.
2.
Rechtecke: A, D, E, F
Parallelogramme: A, B, C, D, E, F, G, H
Quadrate: A, F
Raute: A, C, F
3.
4.
a), d), f) und g) sind wahr.
rz
5.
ur
A
ns
ic
ht
a) Benachbarte Seiten stehen senkrecht aufeinander; gegenüberliegende Seiten sind gleich lang;
gegenüberliegende Seiten verlaufen parallel; die Diagonalen halbieren sich.
b) Alle 4 Seiten sind gleich lang; benachbarte Seiten stehen senkrecht aufeinander;
gegenüberliegende Seiten sind gleich lang; gegenüberliegende Seiten verlaufen parallel; die
Diagonalen halbieren sich.
c) Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang; gegenüberliegende Seiten verlaufen parallel; die
Diagonalen halbieren sich; gegenüberliegende Winkel sind gleich groß; benachbarte Winkel
ergänzen sich zu 180°.
d) Alle 4 Seiten sind gleich lang; gegenüberliegende Seiten verlaufen parallel; die Diagonalen
halbieren sich; gegenüberliegende Winkel sind gleich groß; benachbarte Winkel ergänzen sich
zu 180°.
te
6.
7.
us
Nein, Florian hat nicht recht. Begründung: Man kann verschiedene Parallelogramme zeichnen, die
5 cm lang und 3 cm breit sind, wo aber die Winkelgrößen unterschiedlich sind.
2 cm
M
8.
13 Parallelogramme
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
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Durch Nachmessen überprüfen.
Lösungen: Körper
1.
Würfel: B
Quader: A
Zylinder: F
Kegel: C
Pyramide: E
Kugel: D
2.
Anzahl Kanten
Anzahl Flächen
Würfel
8
12
6
Quader
8
12
6
Zylinder
0
2
3
Kegel
0
1
2
Pyramide mit quadratischer
Grundfläche
5
8
5
Kugel
0
0
1
ns
rz
ur
4.
A
3.
4 · 10 cm + 4 · 12 cm + 4 · 5 cm = 108 cm
Sie braucht dazu mindestens 108 cm Draht.
ic
ht
Anzahl Ecken
5.
c)
us
te
b)
M
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a)
oder
6.
a)
b)
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
Lösungen: Körper
1.
Hier sind unendlich viele Lösungen möglich.
2.
a) Würfel bzw. Quader
b) Würfel bzw. Quader
c) Würfel bzw. Quader
ic
ht
3.
Jeder Körper besteht aus Flächen. Die Flächen stoßen an den Kanten aneinander.
Die Kanten stoßen an den Ecken aneinander.
4.
ns
Man benötigt 27 kleine Würfel.
5.
A
Hier sind viele Lösungen möglich.
6.
b)
8.
Yannik hat recht. Ein Quader besteht aus 6 rechteckigen Flächen. Ein Würfel besteht aus
6 quadratischen Flächen. Da jedes Quadrat auch ein Rechteck ist (die benachbarten Seiten
stehen senkrecht zueinander), ist jeder Würfel auch ein Quader.
Geometrische Grundbegriffe, Körper und Figuren
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M
7.
us
te
rz
ur
a)