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Brückenkurs Mathematik
Dr. Karl
TH Nürnberg
Zahlen und Symbole … Logarithmen
name Nachname
Copyright ©: Hubert Karl
Alle Rechte vorbehalten. Diese Publikation darf ohne die ausdrückliche schriftliche Genehmigung des Autors weder ganz noch auszugsweise reproduziert werden.
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Brückenkurs Mathematik
Literaturvorschläge:
Für die zu behandelnden Themen gibt es natürlich eine umfangreiche Fachliteratur
die empfohlen werden kann. Die fachlichen Inhalte der ersten beiden Tage sind so
angelegt, dass hierfür noch nicht unbedingt ein Fachbuch notwendig ist. Allerdings
können die nachfolgenden Bücher empfohlen werden, wenn sich herausstellt, dass
einige dieser besprochenen Themen neu sind, bzw. dass sie durch Übungen abgesichert werden sollen.
Ohne Anspruch auf Vollständigkeit kann empfohlen werden:
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Lüdde:
„Mathematik in Übungsaufgaben“
Teubner Verlag Stuttgart, Leipzig ISBN 3-519-00256-6
Stingl, Peter:
„Einstieg in die Mathematik für Fachhochschulen“
Hanser Verlag München,
ISBN 978-3-446-41936-0
Wörle, Helmut:
„Mathematik in Beispielen für Ingenieurschulen“
Bd.1 Elementare Mathematik, Oldenbourg Verlag
Rießinger, Thomas: „Übungsaufgaben zur Mathematik für Ingenieure“
Springer Verlag, ISBN 978-3-540-89209-0
Kreul ; Ziebarth:
„Mathematik leicht gemacht“
Verlag Harri Deutsch, ISBN 978-3-8171-1836-6
Scholz Siegfried:
„Analysis und lineare Algebra für Naturwissenschaftler“
Als kostenloses PDF unter
www.bookboon.com/de/analysis-und-lineare-algebra-ebook
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Zahlen Symbole / Rechenoperationen
1.
Zahlen und Symbole
1.1
Anmerkungen zu mathematischen Beweisen
Die Sätze der Mathematik müssen sich beweisen lassen. Das ist der große Vorteil dieser wissenschaftlichen Disziplin. Als bewiesen gilt eine Aussage dann, wenn sie sich
aus einer anderen (bereits bewiesenen), vorhergehenden, Aussage ableiten lässt.
Auch der Beweis dieser vorhergehenden Aussage stützt sich auf eine bewiesene Aussage die voranging usw. Verfolgt man solche „Beweisketten“ zurück, so kommt man
letztendlich auf Grundannahmen die nicht weiter begründbar sind, die aber jedem
(scheinbar) unmittelbar einleuchten. Diese Grundannahmen nennt man Axiome. Von
den Axiomen soll wenigstens ansatzweise noch einmal die Rede sein.
Ein erstes wichtiges Beweisverfahren ist der konstruktive Beweis. Hier wird ein Verfahren angegeben, das zur Lösung führt (die Lösung wird konstruiert). Bekannt ist ein
Beweis den C.F. Gauß (1777 – 1855) angeblich als Fünfjähriger angegeben hat. Als
ihm in der Schule die Aufgabe gestellt wurde, die Zahlen von 1 bis 60 zusammenzuzählen behauptete er, diese Summe sei S = 1830. Und er bewies seine Behauptung
konstruktiv so: die gesuchte Summe von 1 an einmal aufsteigend und einmal von 60
ab fallend dargestellt liefert
Jedes der untereinanderstehenden Zahlenpaare ergibt zusammenaddiert 61. Demnach
ist die gesamte Summe rechts: „
“ und links: „2S“.
Zusammenfassend haben wir:
und folglich:
.
Ohne dass es gleich bemerkt wird, benutzt dieser Beweis auch die (als bewiesen angesehene) Aussage, dass sich der Wert einer Summe nicht ändert wenn man die Reihenfolge seiner Summanden verändert.
Ein anderes wichtiges Beweisverfahren ist der direkte Beweis. Wie eingangs geschildert beweist man die Richtigkeit einer neuen Aussage dadurch, dass man mit einer
bereits bewiesenen Aussage und mit Hilfe bewiesener mathematischer Sätze die Richtigkeit dieser neuen Aussage beweist.
Versuchen wir uns einmal mit dem Beweis der (neuen) Aussage:
„Das Quadrat einer geraden Zahl ist wieder eine gerade Zahl“.
Hierzu eine Vorbemerkung: die geraden Zahlen sind die Zahlen 2,4,6,8… aber auch
-2, -4, -6,… . Diese lassen sich offenbar immer so darstellen: „
“ wobei
„
„
H. Karl
“ ist. Und jetzt können wir folgendermaßen schließen:
.“
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Brückenkurs Mathematik
Stimmt auch die Aussage:
„Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist wieder eine ungerade Zahl“?
Zum Beweis dieser Aussage, machen wir von der Tatsache Gebrauch, dass sich jede
ungerade Zahl „u“ darstellen lässt als „
+1“ wobei „r“ wie oben eingeführt. Wir
schließen jetzt wie folgt:
Die Richtigkeit dieses Beweises setzt die Gültigkeit er binomischen Formeln voraus
(die wir nochmals besprechen sollten).
Ein weiteres Beweisverfahren ist die Beweismethode der vollständigen Induktion und
der Widerspruchsbeweis. Wir kommen darauf noch zurück.
1.2
Anmerkungen zur Darstellungsart der Mengenlehre
Die Mengenlehre wurde von dem deutschen Mathematiker G. Cantor (1845 - 1918)
begründet. Sie ist eine sehr abstrakte und „unanschauliche“ Disziplin. Umso unverständlicher ist es, dass man über viele Jahre versucht hat, die Mengenlehre den
Schulkindern in der ersten Klassen der Grundschule zu vermitteln. Davon ist heute
(wenn überhaupt) wohl nur noch die Darstellungsart der Mengenlehre geblieben. Diese
ist allerdings manchmal sehr vorteilhaft und wir sollten sie kennenlernen.
Georg Cantor definierte: „Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche die Elemente einer Menge genannt werden – zu einem Ganzen. “
Ein Beispiel für eine Menge ist: Alle Münzen meiner Münzsammlung. Enthielte diese
Münzsammlung nur: ein Eurostück und fünf 10-Centstücke, dann bestünde diese Menge nur aus 2 Elementen! Man beachte: Eine Menge enthält wohlunterschiedene Objekte.
Bezeichne ich meine Münzsammlung mit dem Buchstaben „M“, dann kann ich in der
Nomenklatur der Mengenlehre auch schreiben
Die Darstellungsart der Mengenlehre hilft uns verschiedene Zahlenarten zu kennzeichnen. Sie sind anschließend dargestellt, zusammen mit ihren üblichen symbolischen
Bezeichnungen wie „ “, „ “ usw.
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Zahlen Symbole / Rechenoperationen
=
= {1,2,3,4,…}
={0,1,2,3,…}
= {…,-2,-1,0,1,2,3,…}
Es ist interessant, sich die rationalen Zahlen genauer anzuschauen!
Rationale Zahlen lassen sich als Bruch von zwei ganzen Zahlen „p“ und „q“
schreiben.
Da man jede ganze Zahl natürlich auch als Bruch darstellen kann (man denke z.B. an
), so folgt zwangsläufig, dass die Menge der rationalen Zahlen die Menge der
ganzen Zahlen enthält. Um dies auszudrücken schreibt man in der Nomenklatur der
Mengenlehre
. Offenbar spielen die rationalen Zahlen in der Naturwissenschaft
und der Technik eine zentrale Rolle.
Interessanterweise gibt es aber auch Zahlen, die sich nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen darstellen lassen. Das sind die irrationalen Zahlen. Ein bekannte irrationale Zahl ist die Kreiszahl . Sie hat unendlich viele Nachkommastellen – und diese
wiederholen sich auch nicht periodisch. Vermehrt man die Menge der rationalen Zahlen um die Menge der irrationalen Zahlen, dann bekommt man die Menge der reellen
Zahlen.
Bevor wir diese Vorbemerkungen verlassen und uns dem elementaren Rechnen mit
rationalen Zahlen (also den Brüchen und damit dem Bruchrechnen) zuwenden, noch
ein paar Bemerkungen zu den irrationalen Zahlen: Wie schon erwähnt, ist die Zahl
eine irrationale Zahl. Der Beweis, dass
irrational ist, gelang aber erst im 19. Jahr-
hundert. Man hat deshalb in früheren Zeiten immer wieder versucht, diese Zahl durch
Brüche nachzubilden.
So gibt z.B. der Grieche Archimedes als Näherungswert an:
und Cl. Ptolemäus:
Japanische Untersuchungen aus dem Jahre 1700:
Tippen Sie diese drei Brüche in Ihren Taschenrechner ein, so werden Sie sehen, dass
damit die Zahl π schon mehr oder weniger gut angenähert ist. Trotzdem bleibt das
grundsätzliche Problem bestehen. Schauen wir uns nochmals den ersten Bruch genauer an!
H. Karl
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Brückenkurs Mathematik
Hier wird also an die Schulmathematik erinnert:
und
meinen das selbe.
Die Berechnung von Hand ausgeführt, ergibt eine rationale Zahl in der
Darstellung als Dezimalzahl (Dezimalbruch).
Nämlich:
=
Schauen wir uns noch eine weitere rationale Zahl an:
ebenfalls die Darstellung als Dezimalzahl. Wir erhalten
und versuchen wir hier
.
Sie sollten beide Berechnungen von Hand durchführen können.
Die Handrechnung lehrt uns folgendes (und das gilt für alle rationalen Zahlen):
Entweder (wie im Falle „p3“) bricht die Division nach endlich vielen Schritten ab, weil
wir im Laufe der Rechnung den Rest Null erhalten,
oder die Dezimaldarstellung wiederholt sich periodisch (wie im Falle „p1“). Und das
muss so sein wie man auch bei p1 sieht: Es gibt nur 6 verschiedene Reste bei der Division. (Rest = 1,…, Rest = 6). Die Zahl „7“ kann kein Rest sein, denn dann könnte
man durch eine höhere Zahl dividieren und die Division würde abbrechen. Wenn spätestens nach 6 durchgeführten Divisionsschritten die Division nicht mit Rest Null abgebrochen ist, wiederholt sich ein bereits einmal erhaltener Rest und die Rechenschritte
beginnen von vorne. Das zeigt auch das Beispiel der Dezimaldarstellung von „p1“:
Nach spätestens 6 Nachkommastellen muss sich die Ziffernfolge wiederholen – mehr
als 6 verschiedene Reste gibt’s eben nicht. Die Wiederholung der Nachkommastellen
kann (in anderen Beispielen) natürlich auch früher beginnen:
Beispiel
. Hier wären 9 Reste möglich (also Wiederholung nach
der 9 Nachkommastelle), aber die Wiederholung beginnt bereits mit der 1. Nachkommastelle.
Fassen wir unsere bisherigen Erkenntnisse zu rationalen Zahlen zusammen: Jede rationale Zahl kann als Bruch von zwei ganzen Zahlen „p“ und „q“ (q
) geschrieben
werden; gleichbedeutend damit kann auch jede rationale Zahl
entweder als endliche Dezimalzahl (endlicher Dezimalbruch) dargestellt werden
(z.B.
)
oder als unendlich periodische Dezimalzahl (unendlich periodischer Dezimalbrach)
dargestellt werden
(z.B.
)
Gilt übrigens auch die Umkehrung? Kann man stets eine Dezimalzahl (endlich oder
unendlich periodisch) in einen Bruch umwandeln? Diese Frage kann positiv beantwortet werden. Wir kommen im nächsten Punkt darauf zurück.
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Zahlen Symbole / Rechenoperationen
2.
Grundlegende Rechenoperationen
2.1
Bruchrechnen
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2.1.1 Elementare Rechenregeln zum Bruchrechnen
Diese Rechenregeln kennen Sie von der Schule her:

Zwei Brüche werden addiert bzw. subtrahiert indem man die beiden Brüche
(die addiert oder subtrahiert werden sollen) zunächst gleichnamig macht. Statt gleichnamig machen, sagt man auch, dass man einen Hauptnenner bestimmt. Anschließend
werden ihre Zähler addiert bzw. subtrahiert. Die allgemeine Regel für diese Rechnungen bei gleichnamigen Brüchen lautet:
Beispiel:
Im vorletzten Schritt haben wir im Zähler und Nenner den Multiplikator „5“ ausgeklammert und gekürzt. Es verbleibt der Nenner „30“.
Wir hätten unsere Rechnung auch gleich mit dem Hauptnenner „30“ durchführen können:
Berechnen sie selber
Die Rechnungen zeigen, dass es vorteilhaft ist, wenn man die Zwischenergebnisse
geeignet kürzt.
Kürzen durch einen Faktor und dividieren mit diesem Faktor meint dasselbe. Wir erwähnen diese scheinbar überflüssige Bemerkung deshalb, weil damit eine wichtige
Erkenntnis für das praktische Rechnen verbunden ist. Betrachten wir dazu das nachfolgende Beispiel:
H. Karl
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Brückenkurs Mathematik
Aber Vorsicht: Division durch „0“ (=Kürzen mit „0“) ist immer verboten!
Dass die Division mit „0“ dazu führt, dass sonst jedes noch so unsinnige Ergebnis möglich ist, zeigt folgendes Beispiel:
liefert:
Hier ist die Problematik natürlich offensichtlich. Oft kommt die Null „getarnt“ in einer
Rechnung vor und man merkt das Problem erst, bei Erhalt eines unsinnigen Ergebnisses (TR steht für Rechnung mit dem Taschenrechner):
Soweit ist alles formal richtig. Setzen wir jetzt das Ergebnis aus der 2. Zeile in die erste
Zeile ein, dann erhalten wir:
Jetzt kürzen wir mit
auf beiden Seite der Gleichung und erhalten:
„
“.
Das unsinnige Ergebnis erhalten wir aufgrund der unerlaubten Kürzung mit
„
auf beiden Seiten der Gleichung.
Zu dieser Problematik noch eine Anmerkung:
Der Ausdruck „ “ ist unsinnig, da aus
folgt, dass „x“ jede Zahl
sein kann.
Nun zu den restlichen Rechenregeln für Brüche:

Zwei Brüche werden multipliziert nach der Vorschrift:

Zwei Brüche werden dividiert nach der Vorschrift:
Man sagt auch: Zwei Brüche werden durcheinander dividiert, indem der erste Bruch „ “
mit dem Kehrwert des zweiten Bruches, also mit „ “ multipliziert wird.
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Zahlen Symbole / Rechenoperationen
Berechnen Sie selber:
An dieser Stelle bietet sich auch das Rechnen mit Doppelbrüchen an:
Eine weitere Rechenaufgabe sei: Berechne den Wert „W“ aus:
Weitere Rechenaufgaben zum Thema „Bruchrechnen“ sollen in den Übungsstunden
durchgerechnet werden.
2.1.2 Über die Umwandlung von unendlichen Dezimalbrüchen in Brüche
Vorbereitend brauchen wir eine Formel die man als die Grenzsumme für die geometrische Reihe bezeichnen könnte und die Sie vermutlich schon einmal in der Schule behandelt haben.
Es geht um die Bestimmung von
wobei „ε“ zunächst eine beliebige reelle Zahl sein darf. „N“ soll eine beliebige natürliche
Zahl sein. Die Angabe der Summenformel hierfür ist konstruktiv.
Wir schreiben:
Subtrahieren wir die beiden Gleichungen voneinander, so erhalten wir:
Also
Lässt man jetzt N→∞ gehen und berücksichtigt, dass für den Fall
der Ausdruck
geht, so erhalten wir für N→∞:
H. Karl
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Brückenkurs Mathematik
Stellen wir uns jetzt als Aufgabe, die unendlich periodische Dezimalzahl z.B.:
durch einen Bruch nachzubilden. Da die Periodizität erst mit der 2. Nachkommastelle
beginnt, betrachten wir:
Somit erhalten wir:
2.2
Prozentrechnen
Von der Schule her kennen Sie sicher die Formel:
Beispiel 1:
Um welchen Betrag (=Prozentwert) vermehrt sich
ein Kapital von 2000€ (= Grundwert) nach einem Jahr bei einem
Jahreszins von 3% (=Prozentsatz)?
Das Ergebnis (Prozentwert = 60€) ist klar.
Offenbar kommt es zunächst nur darauf an, dass wir uns in jedem speziellen Fall klarmachen, was Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert ist und wie man die obige Formel richtig umstellt. Machen wir zunächst hierzu einige Beispiele.
Beispiel 2: Es haben 2 Behälter unterschiedliches Fassungsvermögen.
Behälter 1 hat 5 m3 Fassungsvermögen und Behälter 2 hat 10 m3
Fassungsvermögen. Tatsächlich sind in den Behältern enthalten:
in Behälter 1: 3 m3 und im Behälter 2 sind 4 m3 enthalten.
Berechnen Sie den Nutzungsgrad in %.
Hier entsprechen offenbar die Fassungsvermögen den Grundwerten und die tatsächliche enthaltenen Füllungen den Prozentwerten. Der Nutzungsgrad ist hier offenbar ein
anderes Wort für Prozentsatz.
Wir rechnen also für Behälter 1:
- Nutzungsgrad
Und für Behälter 2: :
- Nutzungsgrad.
Behälter 2 enthält also mehr Flüssigkeit, ist aber weniger genutzt als Behälter 1.
Beispiel 3: Wie viele kg Titan sind in 275 kg Stahl enthalten, wenn der Titangehalt
4% ist? (11kg Titan).
Weitere Beispiele in den Übungen.
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Zahlen Symbole / Rechenoperationen
2.3
Potenzrechnen
Potenzrechnungen erweisen ihren Vorteil für das praktische Rechnen wenn es um die
Behandlung von „unhandlichen“ Größenordnungen geht. Ausführliche Beispiele heute
in den Übungen.
Bekanntlich ist die abkürzende Schreibweise für
(Man nennt „n“ auch den Exponenten und „a“ die Basis.)
Insbesondere gilt sodann
und

.
Weiterhin
;
Statt der Multiplikatoren a, b und c darf jede endliche Anzahl von Multiplikatoren verwendet werden.
Beispiel:
= 32

Quotienten
Beispiele:

;
Verschiedene Exponenten
Man beachte in diesem Zusammenhang auch
Sinnvollerweise setzt man auch
.
, da man „a“ beliebig klein setzen darf.
(Kann dies Ihr Taschenrechner?)
2.4
Die binomischen Formeln
2.4.1 Grundgleichungen
Es gilt bekanntlich
H. Karl
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Brückenkurs Mathematik
Die rot markierten Formeln müssen Sie kennen. Falls nicht, dann lernen Sie sie auswendig und vergessen Sie diese niemals.
Mit Hilfe einer diese Binomischen Formeln gelingen kleine Tricks für Kopfrechner. Ohne Taschenrechner und ohne Handrechnung überlegt man sich, dass gilt:
.
2.4.2 Eine weitere Beweistechnik: die vollständige Induktion
Die Beweistechnik der vollständigen Induktion wird in der Mathematik sehr häufig verwendet. Um eine mathematische Behauptung zu beweisen, die von einer „Zählvariablen“ (nennen wir sie „n“) abhängt, geht man dabei so vor:

Man zeigt zunächst, dass die behauptete Aussage für ein (möglichst kleines,
aber festes) n gilt. („Induktionsanfang“)

Man macht die Annahme, dass die zu beweisende Behauptung für ein beliebiges „n“ gilt („Induktionsannahme“) und folgert daraus, dass diese Behauptung dann
auch für „n+1“ gültig ist. („Induktionsschluss“).
Diese recht „unanschauliche“ Beweismethode wollen wir an einer bereits bekannten
(und von Gauss bewiesenen; vgl. Punkt 1.1) Formel durchführen. Diesmal aber nicht
für den Sonderfall, dass alle natürlichen Zahlen von 1, …,60 aufaddiert werden, sondern wir geben eine Formel an für die Aufsummierung zu einer beliebigen aber festen
Zahl „n“.
Wir behaupten: Die Summe der ersten „n“ Summanden
berechnet sich nach der Formel
und beweisen durch vollständige Induktion.
„Induktionsanfang“: Wir setzen „n=1“ und überzeugen uns, dass einerseits S =1 gilt
(wenn man einfach in die Summe einsetzt) – andererseits liefert dies auch die Formel:
Für „n=1“ ist die Formel also richtig.
„Induktionsannahme“: Wir nehmen einfach an, die behauptete Beziehung sei richtig. Es
gelte also
„Induktionsschritt“: Wir schreiben den Summenausdruck nochmals an. Allerdings laufen jetzt die Summanden bis ….n+1:
Wir nehmen jetzt an, die in der Induktionsannahme behauptete Formel sei richtig
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Zahlen Symbole / Rechenoperationen
.
Aus der angenommenen Richtigkeit der Formel für beliebiges „n“ folgt auch die Richtigkeit der Formel für „n+1“.
Die Beweismethode der vollständigen Induktion werden wir auch im Zusammenhang
mit dem binomischen Satz brauchen. Und den behandeln wir jetzt.
2.4.3 Der binomische Satz
2.4.3.1 Das Zeichen n! (gelesen „n – Fakultät“)
Damit ist folgendes gemeint:
1!
=1
2!
=1.2
3!
=1.2.3
4!
=1.2.3.4
n!
=1.2.3…n
=
=
=
=
2.1!
3.2!
4.3!
n.(n-1)!
Im Hinblick auf später noch mitzuteilende Zusammenhänge ist es sinnvoll zu setzen:
0! = 1
2.4.3.2 Das Zeichen
(gelesen „n über k“) –
auch „Binominalkoeffizient“ genannt.
Damit ist folgendes gemeint:
Beispiel:
Weiterhin gilt:
.
Man beachte auch die Zwischenergebnisse dieses Beispiels. Offenbar gilt
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Brückenkurs Mathematik
und allgemeiner
.
Natürlich müssen wir das nochmals beweisen. Vgl. Mitschrift zum Vortrag.
Zusammenstellung der Zwischenergebnisse:
Anwendungen
Weiteres Zwischenergebnis (vgl. Vortrag)
2.4.3.3 Formulierung des binomischen Satzes
Andere Darstellung:
Beweis im Rahmen des Vortrags.
2.4.4 Anwendung des binomischen Satzes auf Ausdrücke vom Typ
Hier gilt
Und weiter:
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Zahlen Symbole / Rechenoperationen
2.4.5 Anordnung der Binominalkoeffizienten im Pascalschen Dreieck
Ordnet man die Binominalkoeffizienten in folgender Dreiecksform (Pascalsches Dreieck) an:
usw.
Bzw. ausgerechnet:
Zeile 1:
1
1
Zeile 2:
Zeile 3:
1
1
1
2
3
1
3
1
usw.
Man erkennt, dass (ab der dritten Zeile) sich jeder dieser Binominalkoeffizienten als die
Summe der beiden darüber liegenden Werte ergibt. Bezeichnet „n“ die betrachtete
Zeile und „k“ die betrachtete Spalte, so muss dies wegen
ja
auch so sein.
Aufgabe: Unter Verwendung des Pascalschen Dreiecks gebe man
an.
2.4.6 Anwendungen des binomischen Satzes.
Offenbar gilt für „kleine x – Werte“ („für
“):
Rechenbeispiel hierzu:
Folgerungen: Wegen
und folglich
erhält man nach Wurzelziehen auf beiden Seiten in der letzten Zeile:
Aufgabe: Versuchen Sie selber zu beweisen, dass gilt
Aufgabe: Berechnen Sie näherungsweise
und ohne Taschenrechner.
Weiter Aufgaben in den Rechenübungen.
H. Karl
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Brückenkurs Mathematik
2.5 Wurzelziehen von einfachen und komplizierten Ausdrücken.
2.5.1 Vorbemerkungen
Wenn von der Gleichung
die Unbekannte gesucht ist, dann berechnet sich diese als
.
Die Rechenoperation „Wurzelziehen“ ist offenbar die Umkehrung des Potenzierens.
Beispiel:
Man nennt den Ausdruck unter der Wurzel (im Beispiel „2“) den Radikanden.
Nebenbei sei bemerkt, dass interessanterweise der Ausdruck „
“ eine irrationale Zahl
ist und damit nicht durch einen Bruch dargestellt werden kann. Somit kann
immer
nur näherungsweise als Dezimalzahl dargestellt werden.
Es gilt
. Insgesamt folgen unendlich viele Nachkommastellen,
ohne dass sich diese periodisch wiederholen.
2.5.2 Rechenregeln für das Rechnen mit Wurzeln
Die nachfolgenden Regeln seien aufgelistet. Sie werden in den Vorträgen hergeleitet.
1.
2.
3.
4.
.
Dieselben Regeln in anderer Schreibweise (unter Verwendung der Potenzgesetze):
Ausgehend von
lauten die obigen Regeln
Statt 1:
Statt 2:
Statt 3:
Statt 4:
2.5.3 Rechentechniken für das Rechnen mit Wurzeln

Oft hilft das Rationalmachen des Nenners.
Beispiel:
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Zahlen Symbole / Rechenoperationen

Für die numerische Berechnung einer Quadratwurzel wird die Heronsche Formel empfohlen. Sie lautet, wenn man
berechnen will und einen (noch so schlechten
Startwert „x0“, so berechnet sich ein verbesserter (?) Näherungswert x1 für
aus
.
Jetzt kann man x1 auf der rechten Seite der Rekursion einsetzen und ein x2 berechnen
usw. Man kann zeigen, dass die Rekursion
verblüffend schnell gegen einen Fixpunkt läuft. In einem Fixpunkt ergibt sich im Rahmen der Stellenwertigkeit eines Rechners (z.B. eines Taschenrechners), dass sich die
linke Seite der Rekursion nicht mehr von dem xn-Wert auf der rechten Seite unterscheidet. Ein solcher Fixpunkt ist dann eine (sehr gute Näherung) für
.
Aufgabe: Berechnen Sie
mit Hilfe der Heronschen Formel und nehmen Sie als
Startwert x0 = 2. Sie können auch jede andere positive Zahl als Startwert nehmen.
Weitere Aufgaben zu Wurzeln in den Nachmittagsübungen
2.6
Rechenregeln für Logarithmen
2.6.1 Vorbemerkungen zu Logarithmen
Wenn von der Gleichung
die Unbekannte gesucht ist, dann berechnet sich diese als
.
Man nennt den Ausdruck unter dem Logarithmuszeichen (im Beispiel „a“) den
Logarithmand oder den Numerus.
Da ursprünglich ja von
ausgegangen war, nennt man die Zahl, deren unbe-
kannter Exponent gesucht wird: Die Basis. Den Logarithmus zur Basis „10“ nennt man
also
.
Logarithmen können zu beliebigen Basen gesucht werden. Wenn beispielsweise von
der Gleichung
die Unbekannte gesucht ist, dann berechnet sich diese als
.
Hierbei ist e = 2,718281828… eine irrationale Zahl.
Fassen wir nochmals zusammen:
Ist
, dann schreibt man
Man sagt: „a-hoch“ und „loga“ sind zueinander invers.
D.h.:
.
Aber auch:
H. Karl
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Brückenkurs Mathematik
.
.
2.6.2 Rechenregeln für das Rechnen mit Logarithmen

Beachte:



Einfache Rechenbeispiele:
1.
Es seien bekannt:
und
.
Berechne
(Lösung:
)
2.
Berechne
. ( Lösung 2).
3.
Wie berechnet der Taschenrechner z.B.
(Lösungsskizze: Es ist
. Die Berechnung von
gelingt dem TR durch eine Reihenentwicklung. Solche Reihenentwicklungen
werden wir noch besprechen. Auch die anschließende e –Funktion kann mit Hilfe einer
sogenannten Reihenentwicklung ausgewertet werden. Den späteren Stoff vorgreifend
sei darauf hingewiesen, dass gilt:
2.6.3




18
Logarithmen in der Praxis
Der dB – Maßstab in der Elektrotechnik
Lautstärke; das Weber – Fechnersche Gesetz
Ausnutzung in der Astronomie
Der Rechenschieber
).