Wird an ein Metall (zB Draht) ein Spannung angelegt, dann befinden

Strom
Wird an ein Metall (z.B. Draht) ein Spannung angelegt, dann befinden sich
beide Enden auf unterschiedlichem Potential und im Metall ergibt sich ein
elektrisches Feld.
In dem Feld werden die Elektronen bewegt. Es ergibt sich ein Ladungsfluss
d.h ein elektrischer Strom.
Die Spannung kann nur aufrecht erhalten werden, wenn durch eine
Spannungsquelle ständig Elektronen nachgeliefert werden, um den
Ladungsfluss aufrecht zu erhalten.
Beispiele für Spannungsquellen:
Batterie:
chemisch freigesetzte Elektronen
Dynamo, Generator:
durch rotierende Magnetfelder bewegte Ladungen
Solarzellen:
In Silizium durch Licht freigesetzte Elektronen
53
Mikroskopische Beschreibung des elektrischen Stroms in Metallen
Metalle besitzen ein periodisches Gitter aus positiven Atomrümpfen.
Die s.g. Elektronen mit der höchsten Energie können sich weitgehend
frei im Metall bewegen.
Ihre Geschwindigkeit ist groß ca. 106 m/s, aber ohne Strom gleich verteilt
in alle Richtungen.
Im elektrischen Feld werden die Elektronen beschleunigt, bis sie nach
τ ≈ 10-14 sec mit Gitterschwingungen, Defekten im periodischen Gitter
oder anderen Elektronen stoßen.
Im zeitlichen Mittel ergibt sich eine konstante Driftgeschwindigkeit vD der
Elektronen in Richtung des elektrischen Feldes.
Die Driftgeschwindigkeit ist vergleichsweise klein
Beispiel: Kupferdraht mit Querschnitt 1mm² und Strom 1Ampere
vD = 4 mm pro Minute
54
Stromdichte
Der Ladungsfluss im Metall ist eine gerichtete Größe.
Definition:
r
Die Stromdichte j ist ein Vektor in Richtung der Driftgeschwindigkeit der
Ladungsträger (bei negativen Ladungen in umgekehrte Richtung).
Der Betrag des Vektors gibt an wieviel Ladung pro Zeit Δt und pro Fläche
A fließt.
Q
Q V
Q A vD Δt Q
j=
=
=
= vD = ρ vD
A Δt V A Δt V A Δt
V
r
r
j = ρ vD
Ladung Q im Volumen
A
r
vD Δt
V = A vD Δt
tritt durch Fläche A
55
Strom
Bei räumlich konstanter Stromdichte tritt durch eine Fläche A der Strom
r r
I = j⋅A
Der Strom ist eine skalare Größe und gibt an, wieviel Ladung pro Zeit
durch die Fläche A insgesamt tritt.
r r
r r r r
Q Q V Q vD ⋅ A Δt Q r r
I=
=
=
= vD ⋅ A = ρ vD ⋅ A = j ⋅ A
Δt V Δt V
Δt
V
r
Mit dem Vektor A der senkrecht auf der Fläche A steht
r
A
Ladung Q im Volumen
r r
V = vD ⋅ A Δt
r
vD Δt
tritt durch Fläche A
56
Steht der Vektor der räumlich konstanten Stromdichte senkrecht auf der
Fläche A, dann ist der Betrag der Stromdichte einfach Strom pro Fläche.
I
j=
A
Im allgemeinen Fall kann die Fläche A beliebig geformt sein und die
Stromdichte ortsabhängig sein. Dann muss der Strom durch Integration
berechnet werden:
r r
I = ∫ j ⋅ dA
A
r
Stromdichte ist eine lokale Größe die am Ort r die Richtung und Stärke des
Ladungstransportes angibt.
Der Strom bezieht sich immer auf eine Fläche bzw. auf ein Objekt mit
vorgegebener Geometrie z.B. Draht.
57
Kontinuitätsgleichung
Fließen durch eine geschlossene Fläche S Ladungen aus dem eingeschlossenen Volumen V heraus, verringert sich die Gesamtladung Q
im Volumen.
Q
I=−
Δt
r
Als Integral lässt sich allgemein schreiben ( dS zeigt nach außen):
r r
dQ d
und
=
ρ dV
I = ∫ j ⋅ dS
∫
dt dt Volumen
Oberfläche
r r
d
⇒
j
⋅
d
S
=
−
ρ dV
∫
∫
dt Volumen
Oberfläche
Kontinuitätsgleichung
Vergleiche mit der Kontinuitätsgleichung für strömende Flüssigkeiten.
58
differentielle Form der Kontinuitätsgleichung
r
Für jeden einzelnen Punkt r im Raum gilt die Kontinuitätsgleichung in ihrer
differentiellen Form:
r r
r
∂
div j (r , t ) = − ρ (r , t )
∂t
Kontinuitätsgleichung
Die Quellstärke (Divergenz) der Stromdichte an einem Punkt ergibt sich
aus der Verringerung der Ladungsdichte an diesem Ort.
ρ
r
j
Die Kontinuitätsgleichung ist Folge der Ladungserhaltung.
Bei strömenden Flüssigkeiten ist die Kontinuitätsgleichung Folge der
Massenerhaltung.
59
Elektrischer Widerstand, Ohmsches Gesetz
Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen in einem Metall ist um so größer,
je größer das elektrische Feld ist.
In der Zeit τ zwischen den Stößen werden die Elektronen beschleunigt
und ändern Ihre Geschwindigkeit im Mittel um
r
r
r r
F
qE
τ
Δv = a τ = τ =
m
m
Diese zusätzliche mittlere Geschwindigkeit in Richtung des Feldes ist die
Driftgeschwindigkeit. Sie ist proportional zur Feldstärke
r
qτ r
vD =
E
m
Also ist auch die Stromdichte proportional zur Feldstärke
r ρ qτ r
j=
E
m
60
Leitfähigkeit
Den Proportionalitätsfaktor nennt man die elektrische Leitfähigkeit σ.
r
r
j =σ E
Sie hängt von den Eigenschaften des Materials ab. Insbesondere ist die
Ladungsträgerdichte ρ und die Stoßzeit τ relevant. Die Ladungsträgerdichte
bezieht sich nur auf die Elektronen, die sich frei im Metall bewegen können.
Bei tiefen Temperaturen ist die Stoßzeit bestimmt durch die Reinheit des
Metalls (wenig Defekte als Streuzentren) bei höheren Temperaturen sind
Stöße mit Gitterschwingungen dominant. Dadurch wird die Leitfähigkeit
temperaturabhängig.
61
Elektrischer Widerstand
An einem Draht mit Querschnittsfläche A und Länge l liegt an den Enden
die Spannung U an. Dadurch ergibt sich im Draht die elektrisches Feldstärke
U
E=
l
Folglich fließt durch den Draht der Strom
I = jA =σ EA =σ
U
A
l
Der Strom ist also proportional zur anliegenden Spannung I =
l
Man kann auch schreiben U =
I
σA
σA
l
U
Den Proportionalitätsfaktor nennt man elektrischen Widerstand
U = RI
Ohmsches Gesetz
62
Der Widerstand ist proportional zur Länge des Drahtes und umgekehrt
proportional zur Fläche des Drahtes
l
R=
σA
Man verwendet anstelle der Leitfähigkeit auch den spezifischen Widerstand
als Materialkonstante
ρ spez =
1
ρspez nicht verwechseln mit der Ladungsdichte ρ !
σ
R = ρ spez
l
A
Bei anderer Geometrie des Leiters ist die Berechnung des Widerstandes
aus dem spezifischen Widerstand u.U. sehr kompliziert.
63
Einheiten für Strom und Widerstand:
Der Strom hat die Einheit Ampere (A). Das Ampere hängt mit den Einheiten
für Ladung und Zeit zusammen:
1 Ampere =
1 Coulomb
1 Sekunde
Das Ampere gehört zu den Basiseinheiten des SI-Systems.
Definition:
Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stroms, der durch
zwei parallele geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von
einem Meter voneinander angeordnete Leiter mit vernachlässigbar kleinem,
kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je einem Meter
Leiterlänge die Kraft 2·10-7 Newton hervorrufen würde.
Näheres dazu im nächsten Kapitel.
64
Der elektrische Widerstand hat die Einheit Ohm (Ω). Sie leitet sich aus den
Einheiten für Strom und Spannung ab.
1 Volt
1 Ohm =
1 Ampere
Die Einheit des spezifischen Widerstandes ist Ohm * Meter, denn
[ρ ]
spez
⎡ A⎤
m2
= ⎢R ⎥ = Ω
=Ωm
m
⎣ l⎦
Die Einheit der Leitfähigkeit ist
⎡ 1 ⎤
1
[σ ] = ⎢ ⎥ =
⎢⎣ ρ spez ⎥⎦ Ω m
65
Beispiel für verschieden Materialien:
ρspez
Material
α
Silber
0.016·10-6 Ω m
4.0 ·10-3
Kupfer
0.017·10-6 Ω m
4.0 ·10-3
Gold
0.027·10-6 Ω m
Aluminium
0.026·10-6 Ω m
4.7 ·10-3
Wolfram
0.050·10-6 Ω m
4.8 ·10-3
Zink
0.059·10-6 Ω m
Messing
0.080·10-6 Ω m
Blei
0.21 ·10-6 Ω m
Konstantan
0.5
·10-6 Ω m
<1 ·10-4
Die Temperaturabhängigkeit wird näherungsweise ausgedrückt durch
ρ spez (T ) = ρ spez (T0 ) ⋅ (1 + α T )
66
Supraleitung:
Bei zahlreichen Metallen verändert sich der Ladungstransport bei sehr
tiefen Temperaturen grundlegend. Unterhalb der s.g. Sprungtemperatur
wird der elektrische Widerstand exakt null.
Li
B
B
C
N
O
F
Ne
Al
Si
P
S
Cl
Ar
Ge
As
Se
Br
Kr
Sb
Te
I
Xe
Bi
Po
At
Rn
0.03
Na
Mg
1.14
K
Rb
Cs
Ca
Sr
Ba
Sc
Ti
V
0.39
5.38
Zr
Nb
Mo
Tc
Ru
0.54
9.50
0.92
7.77
0.51
La
Hf
Ta
W
Re
Os
Ir
6.00
0.12
4.48
0.01
1.40
0.65
0.14
Y
Cr
Mn
Fe
Co
Rh
Ni
Pd
Pt
Cu
Ag
Au
Zn
Ga
0.87
1.09
Cd
In
Sn
0.56
3.40
3.72
Hg
Ti
Pb
4.15
2.39
7.19
Sprungtemperatur in Kelvin
Es gibt zusätzlich viele supraleitende Legierungen und Verbindungen
67
Entdeckung der Supraleitung 1911 von H. Kamerlingh Onnes am
Quecksilber
temperaturabhängiger
elektrischer Widerstand
Im normalleitenden Zustand
Supraleitender Zustand
Sprungtemperatur
68
Mechanismus der Supraleitung:
40 Jahre nach der Entdeckung der Supraleitung wurde eine sehr
erfolgreiche Theorie zur Supraleitung aufgestellt (BCS-Theorie)
Über Verzerrungen des Gitters (Gitterschwingungen) wird eine
anziehende Wechselwirkung von zwei sich genau entgegengesetzt
bewegenden Elektronen erzeugt.
Dadurch binden die Elektronen aneinander mit einer sehr kleinen
Bindungsenergie < 3meV.
Die Paare nennt man Cooper-Paare.
Der Ladungstransport erfolgt über Bewegung der Cooper-Paare.
Bei tiefer Temperatur steht nicht genügend thermische Energie zur
Verfügung um die Bindung der Paare aufzubrechen.
Dadurch finden keine Streuungen wie bei der Normalleitung statt.
69
Experimentelle Beobachtungen an Supraleitern:
Ein kreisförmig fließender Strom im Supraleiter wird auch nach 100000
Jahren nicht merklich gedämpft.
Kleinere Magnetfelder werden aus dem Innern des Supraleiters vollständig
herausgedrängt.
Starke Magnetfelder zerstören den supraleitenden Zustand.
Supraleiter verhalten sich wie perfekte Diamagneten und werden aus
einem inhomogenen Magnetfeld herausgedrängt.
(Meißner-Ochsenfeld Effekt)
Zusätzlich treten viele quantenmechanische Effekte auf.
70
Hochtemperatur-Supraleiter:
1986 wurden metallische Kupferoxid-Verbindungen gefunden die eine sehr
hohe Sprungtemperatur haben Tc > 100K.
rot:
Lanthan, Barium
blau:
Sauerstoff
grün:
Kupfer
Der Mechanismus der Supraleitung in diesen Materialien ist bis heute
nicht verstanden. Die Bindung der Elektronenpaare aneinander ist nicht
alleine über das Gitter vermittelt, vermutlich spielen zusätzlich magnetische
Eigenschaften der Materialien eine Rolle.
71
Elektrische Leitung in Halbleitern:
Bei Halbleitern stehen nur sehr wenig Ladungsträger zur Verfügung.
Elektronen können sich nur mit einer Energie frei bewegen die mindestens
um den Wert ΔE größer ist als die maximale Energie der nicht angeregten
Elektronen. ΔE heißt Bandlücke.
Die Ladungsträger werden nur durch thermische Anregung freigesetzt
oder durch Dotierung hinzugefügt.
freie Bewegungszustände
keine BewegungsZustände möglich
ΔE
Energie
freie Bewegungszustände
Mit Elektronen
besetze
Bewegungszustände
Metall
Halbleiter
dotierter Halbleiter
Isolator
72
Der Widerstand von Halbleitern nimmt mit steigender Temperatur ab,
da mehr Ladungsträger thermisch angeregt werden.
Bei undotierten Halbleitern ist die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit
σ (T ) = σ 0 e
−
ΔE
kT
Bei dotierten Halbleitern werden die Ladungsträger durch Fremdatome
zur Verfügung gestellt und ihre Zahl ist nicht temperaturabhängig.
Durch Streuung der Elektronen bei hoher Temperatur nimmt die Leitfähigkeit
mit steigender Temperatur ab.
73
Elektrische Leistung
Ladungen die eine Potentialdifferenz Δϕ = Spannung U durchlaufen nehmen
die Energie E = q U auf.
Da die Elektronen im Mittel mit konstanter Geschwindigkeit driften, ändern
Sie Ihre mittlere kinetische Energie nicht. Alle aus dem Feld aufgenommene
Energie wird also an Gitterschwingungen abgegeben.
Fließt ein Strom I durch einen Draht zwischen dessen Enden die Spannung
U anliegt, durchläuft im Zeitintervall Δt die Ladungsmenge Q = I Δt
Die Potentialdifferenz U. Dabei wird die Energie ΔE = Q U aufgenommen.
Die Leistung ist P = ΔE / Δt
also
P =U I
Die aus dem elektrischen Feld im Leiter aufgenommene Energie wird in
Wärmeenergie ( = Gitterschwingungen) umgewandelt.
74
Einheit der elektrischen Leistung
Die Verbindung mechanischer und elektrischer Einheiten wird meistens
über die Einheit der Leistung Watt (W) hergestellt.
Einheit der elektrischen Leistung:
Einheit der mechanischen Leistung:
[Pel ] = [U I ] = VA = W
[Pmech ] = [F s / t ] = N m / s = W
Man kann auch die Einheiten der Arbeit vergleichen:
Einheit der elektrischen Arbeit:
Einheit der mechanischen Arbeit:
[Wel ] = [U I t ] = VA s = W s = J
[Wmech ] = [F s] = N m = J
Es ergibt sich der wichtige Zusammenhang:
VAs = Nm=J
74b
Energietransport in Überlandleitungen:
Ein typisches Kraftwerk produziert 100 MW Leistung.
Würde das Kraftwerk 220 V erzeugen, würden ca. P/U = 450 000 A fließen.
Damit beim Verbraucher in 10km Entfernung 90% der Energie abgenommen
werden können, dürfen in der Leitung nur PL=10 MW Leistung verloren gehen.
Der Spannungsabfall an der Leitung ist dabei PL/I =UL=22V und folglich der
Leitungswiderstand RL= UL / I = 5 10-5 Ω.
Die Querschnittsfläche müsste A = ρspez·L / RL = 7 m² betragen.
Das Kraftwerk gibt deshalb 220 000 V ab und es fließen nur 450 A.
Bei einem Leitungsquerschnitt von 1cm² ist der Leitungswiderstand
RL= ρspez· L / A = 3.4 Ω. Bei 450 A fallen an der Leitung UL= I · RL= 1500V ab.
In der Leitung gehen also PL = I · UL = 700 kW in Wärme über.
Beim Verbraucher werden also 99.3% der Energie abgenommen.
Effektiver elektrischer Energietransport geht nur in Hochspannungsleitungen.
75
Elektrische Schaltungen mit Widerständen
Als elektrische Schaltungen bezeichnet man Anordnungen, bei denen
elektrische Bauelemente (z.B. Widerstände, Kondensatoren, Transistoren)
über sehr gut leitende Drähte miteinander und mit einer Spannungsquelle
verbunden sind.
Die Widerstände der Drähte werden als vernachlässigbar betrachtet.
Stromkreis mit einem Widerstand:
Durch die Drähte wird die Spannung von der
Spannungsquelle zum Widerstand übertragen.
U
+
-
R
Am Draht ist kein nennenswerter Spannungsabfall.
Deshalb liegt am Widerstand die Spannung U an.
Im Stromkreis fließt der Strom I = U / R .
76
Stromkreis mit zwei in Reihe geschalteten Widerständen:
Die Kontinuitätsgleichung fordert, dass der Strom
ϕa
ϕa
U
durch Drähte und Widerstände an jeder Stelle des
R1
+
-
ϕb
R2
ϕc
ϕc
Stromkreises gleich ist.
Damit durch R1 der Strom I fließt, muss die
Spannung U1 = I · R1 anliegen.
Damit durch R2 der gleiche Strom I fließt, muss die
Spannung U2 = I · R2 anliegen.
Die Spannung U ist die Potentialdifferenz:
U =ϕa −ϕc
U1 ist die Potentialdifferenz U1 = ϕ a − ϕ b
U2 ist die Potentialdifferenz U 2 = ϕ b − ϕ c
Daraus folgt U1 + U 2 = ϕ a − ϕ b + ϕ b − ϕ c = U
77
Es folgt:
R1
U
+
-
U = U1 + U 2 = I R1 + I R2 = I ( R1 + R2 ) = I Rges
Die Widerstände verhalten sich also wie ein
R2
Gesamtwiderstand
Rges = R1 + R2
Im Allgemeinen gilt für viele in Reihe geschaltete Widerstände:
∑R
i
=R
i
78
Kirchhoffsche Maschenregel:
Bei einer Leiterschleife liegen die verschiedenen Leiterabschnitte auf
unterschiedlichen Potentialen.
Die Spannungen an den Bauelementen (z.B. Widerstände und
Spannungsquellen) ergeben sich aus den Potentialdifferenzen.
Summiert man über alle Spannungen in der Schleife mit dem richtigen
Vorzeichen, ergibt sich Null, „weil man am selben Potential ankommt
bei dem man gestartet ist“
ϕa
U2
ϕb
+
U1
ϕe
+
-
ϕc
U3
-
U4
U5
∑U
i
=0
i
ϕd
U1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5 = ϕ a − ϕ b + ϕ b − ϕ c + ϕ c − ϕ d + ϕ d − ϕ e + ϕ e − ϕ a = 0
79
Spannungsabfall an einem Widerstandsdraht:
Bei konstanter Drahtdicke kann man
sich den Draht als viele kleine in Reihe
x
U
+
-
geschaltete Widerstände vorstellen.
L
Die Teillänge x hat den Widerstand
Rx = x / L · R .
Am Teilstück x fällt die Spannung Ux ab
U x = I Rx =
U x
x
⋅ R =U
R L
L
An einem Draht mit konstanter Dicke hat mein einen linearen
Spannungsabfall.
U ( x) =
x
U
L
→ E=
∂U U
=
∂x L
Im Draht ist die Feldstärke und Stromdichte überall gleich.
80
Kirchhoffsche Knotenregel:
Aus der Kontinuitätsgleichung folgt, dass an einem Verbindungspunkt von
mehreren Drähten genauso viel Strom in den Knoten fließt, wie herausfließt,
da im Knoten keine Quelle oder Senke von Ladung ist (div ρ = 0).
Die Summe über alle Ströme am Knoten mit dem richtigen Vorzeichen ist Null.
I1
I3
I2
U1
+
-
∑I
i
=0
i
I1 − I 2 − I 3 = 0
81
Stromkreis mit zwei parallel geschalteten Widerständen:
I ges
U
Für den Strom gilt
+
-
I1
I2
R1
R2
I1 + I 2 = I ges
An beiden Widerständen liegt die gleiche Spannung U an.
Daraus folgt:
I1 + I 2 =
1
1
1
= +
Rges R1 R2
U U
U
+
= I ges =
R1 R2
Rges
Die parallelgeschalteten Widerstände
verhalten sich wie ein Widerstand Rges
82
Wheatstonesche Brückenschaltung:
Der veränderbare Widerstand R4 wird so
U
+
-
I1
I2
eingestellt, dass im Messinstrument kein
R1
R2
Strom fließt. Dann gilt:
ϕb
U = I1 (R1 + R3 )
U = I 2 (R2 + R4 )
R3
R4
U1 = I1 R1
U 2 = I 2 R2
I1
I2
U 3 = I1 R3
U 4 = I 2 R4
ϕa
Wenn U1 = U2 und U3 = U4, dann fließt kein Strom im Instrument, da ϕa = ϕb
Es folgt:
U1
U2
(R1 + R3 ) = (R2 + R4 ) →
U=
R1
R2
(R1 + R3 ) = (R2 + R4 )
R1
R2
→
R3 R4
=
R1 R2
Widerstände können auf diese Weise sehr genau verglichen werden.
83
Strom- und Spannungsmessgeräte:
Zur präzisen Messung zahlreicher physikalischer Größen wird die
Messung auf eine Strom- bzw. Spannungsmessung zurückgeführt.
Die Messdaten können dabei digital (auch vom Computer) erfasst werden.
Präzise elektrische Messgeräte sind daher von zentraler Bedeutung.
Kommerzielle Messgeräte sind mit einer Auflösung von mehr als 8 Stellen
verfügbar. Die Messgenauigkeit ist besser als 10-5.
Herzstück bei der digitalen Messung
ist ein Analog-Digital Wandler
84
Analog-Digital Wandler:
1. Parallelverfahren:
Die Eingangsspannung wird mit N Referenzspannungen verglichen.
Es wird gemessen zwischen welchen beiden Spannungen der Wert liegt.
Die Auflösung ist klein, aber die Messgeschwindigkeit ist sehr hoch.
Für eine Auflösung von 8 bit (256 Schritte) sind 256 Referenzspannungen
nötig. Abtastraten bis über 100MHz sind möglich.
U
+
Uref4
–
+
Uref3
U > Uref2
Umwandlung
in Binärzahl
10
–
+
Uref1
U < Uref3
–
+
Uref2
U < Uref4
U > Uref1
–
0V
85
2. Wägeverfahren:
Erzeugung einer Vergleichsspannung mit einem Digital-Analogwandler.
Suche nach der Binärzahl, die am nächsten an der Eingangsspannung liegt.
U
+
DAWandler
–
SteuerLogik
10110011
0V
Begonnen wird mit dem höchsten Bit:
wenn UDA < U dann Bit = 1 setzen, sonst Bit = 0
Hohe Bits bleiben gesetzt, weiter mit dem nächsten Bit.
Bei N Bit Auflösung werden N Messschritte benötigt.
Mit wenig Aufwand hohe Auflösung erreichbar, etwas langsamer.
86
Funktionsweise des benötigten Digital – Analog Wandlers.
R1
I = ∑ Ik
R
128
R
64
R
32
R
16
R
8
R
4
R
2
R
1
–
+
Uout
Uref
0V
Die Schalter werden entsprechend der Bits geschlossen.
Die Strome durch die Widerstände R/1, R/2, ... R/128 addieren sich
(Kirchhoffsche Knotenregel).
Der Verstärker regelt die Ausgangsspannung so, dass über R1 der gleiche
negative Strom in den blauen Knotenpunkt fließt.
Dadurch wird eine Spannung Uout erzeugt, die dem Strom I und damit der
Binärzahl proportional ist.
87
3. Zählverfahren:
Höchste Auflösung, aber langsamstes Verfahren.
Spannungsmessung wird in Zeitmessung umgewandelt
U
+
–
Uref
R1
Stop
Stoppuhr
1011001100010110
Start
0V
Über den Widerstand R1 fließt ein konstanter Strom in den Kondensator
Die Spannung am Kondensator ist
Uc =
It
C
Der Komparator vergleicht mit der zu messenden Spannung und stoppt
den Zähler. Der Zählerstand ist proportional zur Spannung.
Für die nächste Messung wird der Kondensator wieder entladen.
88
Drehspulmessgerät:
Eine vom zu messenden Strom durchflossene Spule erfährt ein
Drehmoment im Magnetfeld.
Gegen die Rückstellkraft einer Spiralfeder wird ein Zeiger ausgelenkt.
Das Drehmoment und damit die Zeigerstellung ist proportional zum Strom.
N
S
89
Innenwiderstand Spannungsmessgeräten (Voltmeter):
Ein Spannungsmessgerät sollte einen möglichst hohen Innenwiderstand
haben, um den zu messenden Stromkreis wenig zu beeinflussen.
I1 + I 2
I1
I1
U
+
-
R1
I1
U
+
-
I2
R1
Der Spannungsmesser misst den Spannungsabfall am Widerstand.
Dazu entnimmt er den Strom
I 2 = U / Ri
Der Innenwiderstand Ri ist eine Eigenschaft des Messgerätes.
Typische Werte für moderne Messgeräte sind 10 MΩ bis 1 GΩ.
Der Strom der durch das Messgerät fliest kann den Stromkreis beeinflussen,
besonders dann, wenn er vergleichbar groß ist wie die anderen Ströme.
90
Innenwiderstand von Strommessgeräten (Amperemeter):
Ein Strommessgerät sollte einen möglichst kleine Innenwiderstand
haben, um den zu messenden Stromkreis wenig zu beeinflussen.
R1
U
I1
R1
+
-
U
I
+
-
Das Strommessgerät misst den Strom in der Leiterschleife.
Dabei erhöht es den Gesamtwiderstand in der Leiterschleife und verringert
dadurch den Strom auf:
I=
U
R1 + Ri
Typische Werte für moderne Messgeräte sind < 1Ω.
91
Voltmeter als Amperemeter und umgekehrt:
Ein Voltmeter lässt sich als Amperemeter verwenden, wenn man den
Spannungsabfall an einem kleinen Widerstand misst:
1Ω
U
I=
U
1Ω
⇒ Ri = 1Ω
Ein Amperemeter lässt sich als Voltmeter verwenden, wenn man den
Strom durch einen hohen Widerstand misst:
1MΩ
I
U = 1 MΩ ⋅ I
⇒ Ri = 1 MΩ
92
Innenwiderstand von Spannungsquellen:
Entnimmt man einer Spannungsquelle einen Strom so bleibt idealerweise
die Spannung konstant.
Bei realen Spannungsquellen nimmt die Spannung etwas ab.
Näherungsweise ist die Abnahme der Spannung proportional zum
entnommenen Strom. Man verwendet daher das Ersatzschaltbild:
Ri
U0
+
-
I
U
Am Innenwiderstand fällt die Spannung U i = Ri I ab.
Die Klemmspannung U ist also
U = U 0 − Ri I
93