Raute und Pyramide

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P. 1. 10
Raute und Pyramide
Gegeben sind die Punkte A(–8 | – 4 | 1), B(7 | 8 | 17) und C(7 | –16 | –15).
a) Berechnen Sie einen Punkt D so, dass das Viereck ABCD eine Raute ist. (5 P)
b) Kreuzen Sie an, welche Aussagen auf eine Raute zutreffen.
Aussage
wahr
falsch
In einer Raute halbieren sich die Diagonalen.
Jede Raute hat genau zwei gleich lange Seiten.
Jede Raute hat vier gleich große Innenwinkel.
Jede Raute ist ein Parallelogramm.
Aus jeder Raute lässt sich ein Rechteck mit
demselben Flächeninhalt erzeugen.
(5 P)
c) Berechnen Sie den Abstand h der parallelen Rautenseiten.
(4 P)
d) Zeigen Sie, dass der Punkt S(– 0,5 | 8,4 | 4,2) genau senkrecht (bezogen
auf die Ebene, in der die Raute liegt) über dem Mittelpunkt M der
Strecke [AB] liegt.
(4 P)
e) Berechnen Sie das Volumen V der Pyramide ABCDS.
(4 P)
f) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ASC.
(4 P)
g) Bestimmen Sie den Winkel α := SMSC auf 2 Dezimalen genau.
(4 P)
Arbeitszeit: 40 Minuten
Notenschlüssel
Notenpunkte
Punkte
Notenpunkte
Punkte
15
14
13
12
11
10
9
8
30 – 29
28 – 27
26
25
24 – 23
22 – 21
20
19
7
6
5
4
3
2
1
0
18 – 17
16
15 – 14
13
12 – 11
10 – 9
8–7
6–0
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1
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Kompetenzprofil
I
I
I
I
I
I
I
I
Niveau: weiterführend
Fachlicher Bezug: –
Kommunikation: begründen; argumentieren
Problemlösen: Probleme erkunden und zerlegen; Lösungen berechnen
Modellierung: –
Medien: –
Methode: Einzelarbeit
Inhalt in Stichworten: Länge von Vektoren; Raute; Pyramide; Flächeninhalt einer Raute;
Volumen einer Pyramide; Winkel zwischen zwei Vektoren
Autor: Carlo Vöst
Lösung
a) Zuerst muss untersucht werden, welche Strecken, die von den Punkten A, B
und C begrenzt werden, gleich lang sind, denn nur solche Strecken können
die Seiten der Raute sein. Es ergibt sich:
⎛ 7 ⎞ ⎛ −8 ⎞
⎛ 15 ⎞
⏐AB⏐= ⎜⎜ 8 ⎟⎟ − ⎜⎜ − 4 ⎟⎟ = ⎜⎜12 ⎟⎟ = 15 2 + 12 2 + 16 2 = 25
⎝17 ⎠
⎝ 1⎠
⎝16 ⎠
⎛ 7 ⎞ ⎛ −8 ⎞
⎛ 15 ⎞
2
2
⏐AC⏐= ⎜⎜ −16 ⎟⎟ − ⎜⎜ − 4 ⎟⎟ = ⎜⎜ −12 ⎟⎟ = 15 2 + ( −12 ) + ( −16 ) = 25
⎝ −15 ⎠ ⎝ 1⎠
⎝ −16 ⎠
⏐BC⏐=
⎛ 7⎞ ⎛ 7⎞
⎜ −16 ⎟ − ⎜ 8 ⎟
⎜ −15 ⎟ ⎜17 ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
=
⎛ 0⎞
⎜ −24 ⎟
⎜ −32 ⎟
⎝
⎠
=
( −24 ) 2 + ( −32 ) 2 = 40
Also sind [AB] und [AC] die Seiten der Raute
und an den Punkt D kommt man über eine
Vektorkette, z. B.:
⎛ 7 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ −8 ⎞ ⎛ 22 ⎞
d = b + (c − a) = ⎜⎜ 8 ⎟⎟ + ⎜⎜ −16 ⎟⎟ − ⎜⎜ − 4 ⎟⎟ = ⎜⎜ − 4 ⎟⎟
⎝17 ⎠
⎝ −15 ⎠
⎝ 1⎠
⎝ 1⎠
⇒ D(22 | − 4 | 1)
2
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b)
Aussage
wahr
falsch
In einer Raute halbieren sich die Diagonalen.
Jede Raute hat genau zwei gleich lange Seiten.
Jede Raute hat vier gleich große Innenwinkel.
Jede Raute ist ein Parallelogramm.
Aus jeder Raute lässt sich ein Rechteck mit
demselben Flächeninhalt erzeugen.
c) Der gesuchte Abstand h ist z. B. das Lot vom
Punkt A auf die Seite [CD].
Anmerkung: Man kann auch von jedem anderen
Eckpunkt der Raute ein Lot auf die gegenüberliegende Seite fällen. Der Abstand h ist immer
derselbe.
Da der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der
Breite AB und der Länge h genauso groß ist wie
der Flächeninhalt der Raute ABCD, erhält man
den Abstand h über die Flächenformel:
A Raute = AB ⋅ h
⇒ h=
A Raute
AB
Der Flächeninhalt
der Raute lässt sich ebenfalls als Vektorprodukt der Vektoren AB und AC berechnen. Somit folgt:
h=
=
A Raute
AB
⎛
0⎞
⎜ 480 ⎟
⎜ −360 ⎟
⎝
⎠
25
⏐AB × AC⏐
=
=
⏐AB⏐
=
⎛ 15 ⎞ ⎛ 15 ⎞
⎜12 ⎟ × ⎜ −12 ⎟
⎜16 ⎟ ⎜ −16 ⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠
15 2 + 12 2 + 16 2
480 2 + ( −360) 2
25
=
600
25
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=
⎛12 ⋅ ( −16) − 16 ⋅ ( −12) ⎞
⎜
16 ⋅ 15 − 15 ⋅ ( −16) ⎟
⎜
15 ⋅ ( −12) − 12 ⋅ 15 ⎟⎠
⎝
25
= 24
3
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d) Berechnung des Mittelpunkts der Strecke [AB]:
⎛ −1⎞ ⎛ − 0,5 ⎞
⎛ ⎛ −8 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎞
m = 12 ⋅ (a + b) = 12 ⋅ ⎜ ⎜⎜ − 4 ⎟⎟ + ⎜⎜ 8 ⎟⎟ ⎟ = 12 ⋅ ⎜⎜ 4 ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⇒ M( − 0,5 | 2 | 9)
⎝ 18 ⎠ ⎝ 9 ⎠
⎝ ⎝ 1⎠ ⎝17 ⎠ ⎠
Der Punkt S liegt genau dann senkrecht (bezogen auf die Ebene ABCD) über
dem Mittelpunkt M der Strecke [AB], wenn [MS] senkrecht auf zwei verschiedenen Richtungsvektoren der Ebene ABCD
steht.
Als Richtungsvektoren der Ebene ABCD können die Vektoren AB und AC gewählt werden.
⎛ − 0,5 ⎞ ⎛ − 0,5 ⎞ ⎛ 0 ⎞
MS = ⎜⎜ 8,4 ⎟⎟ − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ⎜⎜ 6,4 ⎟⎟
⎝ 4,2 ⎠
⎝
9⎠
⎝ − 4,8 ⎠
⎛ 0 ⎞ ⎛ 15 ⎞
MS AB = ⎜⎜ 6,4 ⎟⎟ ⎜⎜12 ⎟⎟ = 0 ⋅15 + 6, 4 ⋅12 + ( − 4,8) ⋅16 = 0
− 4,8
16
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛ 0 ⎞ ⎛ 15 ⎞
MS AC = ⎜⎜ 6,4 ⎟⎟ ⎜⎜ −12 ⎟⎟ = 0 ⋅15 + 6, 4 ⋅ (−12) + ( − 4,8) ⋅ (−16) = 0
− 4,8
−16
⎝
⎠ ⎝
⎠
Da die beiden Skalarprodukte 0 sind, liegt S senkrecht über M.
e) Elementargeometrisch:
Da der Flächeninhalt der Grundfläche ABCD aus Teilaufgabe c bereits bekannt ist, bietet es sich an, das Volumen elementargeometrisch zu berechnen.
Die Höhe der Pyramide ist die Länge MS.
⏐MS⏐= 6, 4 2 + ( − 4,8) 2 = 8
VPyramide = 13 ⋅ Grundfläche ⋅ Höhe = 13 ⋅ 600 ⋅ 8 = 1 600
Vektoriell:
Der Flächeninhalt lässt sich auch vektoriell
das
über
Spatprodukt berechnen,
wobei das Vektorprodukt der Vektoren AB und AC ebenfalls aus Teilaufgabe c bekannt ist. Beachten Sie hierbei, dass eine Pyramide mit einem Viereck
als Grundfläche vorliegt und somit der Vorfaktor nicht 16 , sondern 13 ist.
VPyramide = 13 ⋅⏐(AB × AC) AS⏐= 13 ⋅
= 13 ⋅
4
0 ⎞ ⎛ 7,5 ⎞
⎛
⎜ 480 ⎟ ⎜12,4 ⎟
⎜ −360 ⎟ ⎜ 3,2 ⎟
⎠
⎝
⎠ ⎝
0 ⎞ ⎛ − 0,5 − ( −8) ⎞
⎛
⎜ 480 ⎟ ⎜ 8,4 − ( − 4) ⎟
⎜ −360 ⎟ ⎜
4,2 − 1⎟⎠
⎝
⎠ ⎝
= 13 ⋅⏐480 ⋅12, 4 + ( −360) ⋅ 3, 2⏐= 1 600
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f) Der Flächeninhalt
des Dreiecks ASC wird über das Vektorprodukt der Vektoren AS und CS berechnet.
⎛ 7,5 ⎞ ⎛ −7,5 ⎞
A Dreieck ASC = 12 ⋅⏐AS × CS⏐= 12 ⋅ ⎜⎜12,4 ⎟⎟ × ⎜⎜ 24,4 ⎟⎟
⎝ 3,2 ⎠ ⎝ 19,2 ⎠
= 12 ⋅
⎛ 12,4 ⋅ 19,2 − 3,2 ⋅ 24,4 ⎞
⎜ 3,2 ⋅ ( −7,5) − 7,5 ⋅ 19,2 ⎟
⎜ 7,5 ⋅ 24,4 − 12,4 ⋅ ( −7,5) ⎟
⎝
⎠
= 12 ⋅
⎛ 160 ⎞
⎜ −168 ⎟
⎜ 276 ⎟
⎝
⎠
= 12 ⋅ 160 2 + ( −168) 2 + 276 2
= 12 ⋅100 ⋅ 13 = 50 13
g) Der Winkel α wird von den Vektoren SM und SC eingeschlossen.
⎛ 0 ⎞
SM = − MS = ⎜⎜ − 6,4 ⎟⎟
(siehe Teilaufgabe d)
⎝ 4,8 ⎠
⎛ 7,5 ⎞
SC = − CS = ⎜⎜ −24,4 ⎟⎟
⎝ −19,2 ⎠
cos α
⏐SM SC⏐
=
=
⏐SM⏐⋅⏐SC⏐
=
=
(siehe Teilaufgabe f )
( − 6,4) 2 +
⎛
0 ⎞ ⎛ 7,5 ⎞
⎜ − 6,4 ⎟ ⎜ −24,4 ⎟
⎜ 4,8 ⎟ ⎜ −19,2 ⎟
⎠
⎝
⎠ ⎝
4,8 2 ⋅ 7,5 2 + ( −24,4) 2
0 ⋅ 7,5 + ( − 6,4) ⋅ ( −24,4) + 4,8 ⋅ ( −19,2)
8 ⋅ 1 020,25
=
+ ( −19,2) 2
64
8 ⋅ 1 020,25
8
1 020,25
⇒ α = cos −1 ⎛⎜
⎝
8
1 020,25
⎞ ≈ 75,50°
⎟
⎠
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5