6. Übungsblatt zur Theoretischen Physik II (Quantenmechanik) 16

Fakultät für Physik
Prof. Dr. H. W. Diehl
Dr. H. Gollisch
M. Burgsmüller, F. M. Schmidt
6. Übungsblatt zur Theoretischen Physik II
(Quantenmechanik)
Abgabetermin: 26.05.10, 10 Uhr
Briefkasten gegenüber MC351
16
Ein Wellenpaket
Ein Elektron im Vakuum werde beschrieben durch das Wellenpaket
Z ∞
A für |k| ≤ Q
i(k+K)x−iωt
A(k)e
dk mit A(k) =
ψ(x, t) =
0
sonst
−∞
,
wobei A und Q reelle Konstanten sind.
2
p̂
d
ψ = i~ dt
ψ genügt. Welcher Zusammena) Zeigen Sie, dass ψ(x, t) der Schrödinger-Gleichung 2m
hang besteht muss zwischen ω und k dafür bestehen?
b) Bestimmen Sie die Konstante A und den Impulserwartungswert hψ|p̂|ψi.
c) Berechnen Sie ψ(x, t = 0) und die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, 0) =
|ψ(x, t = 0)|2 . Skizzieren Sie ρ(x, 0).
[6 Punkte]
17
Paritätsoperator
Gegeben sei ein quantales, spinloses Teilchen, welches sich in einer Dimension bewegt (x ∈ R). Der
Operator Π̂, der im Zustandsraum des Teilchens der Koordinatentransformation x′ = −x zugeordnet
ist, kann formal durch seine Wirkung im Basissystem |xi des Ortsoperators gemäß Π̂ |xi := | − xi
definiert werden. Π̂ wird als Inversionsoperator bzw. als Paritätsoperator bezeichnet. Zeigen Sie, dass
a) Π̂−1 = Π̂† = Π̂ gilt;
b) Π̂ nur Eigenwerte π = ±1 haben kann;
c) hu|T̂ |vi = 0 ist, falls |ui und |vi Eigenvektoren von Π̂ zum selben Eigenwert π sind und T̂ ein
im Zustandsraum definierter ungerader Operator ist, d.h. ein Operator, für den Π̂ T̂ Π̂† = −T̂
gilt;
d) Ortsoperator x̂ und Impulsoperator p̂ ungerade Operatoren sind, d.h. dass
Π̂ x̂ Π̂† = −x̂ ,
Π̂ p̂ Π̂† = −p̂ ,
gilt.
[6 Punkte]
18
Fouriertransformation eines Operators
Die Wirkung des Operators Â wird in der Impulsdarstellung gemäß
Âψ(k) = f (k) ψ(k)
als Multiplikation mit einem Polynom f (k) erklärt. Bestimmen Sie Â in der Ortsdarstellung.
[4 Punkte]