Ferienkurs Quantenmechanik – Sommer 2010

Physikdepartment
Technische Universität München
Christoph Schnarr & Michael Schrapp
Blatt 4 - Lösungsvorschlag
Ferienkurs Quantenmechanik – Sommer 2010
(Näherungsverfahren)
1
Ritzsches Variationsverfahren
Für das angegebene Potential
{
fx
V (x) =
+∞
für x > 0
für x < 0
(1)
führe man das Variationsverfahren unter Verwendung der Versuchsfunktionenschar u(x) mit dem Variationsparameter α durch:
u(x) = xe−αx
Geben Sie die dazugehörige minimierte Energie an.
Geben Sie zudem ein Beispiel an, wo dieses Potential in der Realität auftauchen kann.
Hinweis: Die Formel
∫∞
dx xn e−px =
0
n!
pn+1
kann hilfreich sein.
Lösung:
Für das zu minimierende Energiefunktional gilt:
E(α) =
⟨u(x)|H|u(x)⟩
⟨u(x)|u(x)⟩
Zunächst berechnen wir:
∫∞
⟨u(x)|u(x)⟩
=
dx x2 e−2αx =
0
∫∞
⟨u(x)|H|u(x)⟩
=
−α x
dx x e
1
4α3
(
)
~2 d2
−
+ f x xe−αx
2m dx2
0
=
~2 α
m
∫∞
−2αx
dxxe
~2 α2
−
2m
0
=
⇒
∫∞
dxx e
0
~2
3f
+ 4
8mα 8α
~2 α 2
3f
E(α) =
+
2m
2α
1
2 −2αx
∫∞
+f
0
dxx3 e−2αx
Die Minimierung liefert:
dE(α)
dα
= 0
)1/3
(
3mf
⇒ α0 =
2~2
(
)1/3
9 2f 2 ~2
E(α0 ) =
4
3m
Wählen wir f = mg, so handelt es sich um die potentielle Energie eines Teilchens im homogenen Gravitationsfeld der Erde. Das Teilchen wird bei x = 0 von einer ideal reflektierenden Ebene zurückgeworfen.
2
Störungstheorie 1. Ordnung
Zwei identische Teilchen befinden sich in einem unendlich hohen Potentialtopf mit Wänden bei x = 0
und x = a. Für die Einteilchenwellenfunktion gilt:
√
( nπx )
2
ψn (x) =
sin
a
a
Wir lassen die beiden Teilchen über das Potential
V (x1 , x2 ) = −aV0 δ(x1 − x2 )
schwach miteinander wechselwirken.
1. Berechnen Sie die Grundzustandsenergie in erster Ordnung Störungstheorie.
Lösung:
1. Die Energiekorrektur in 1. Ordnung Störungstheorie lautet:
⟨00| − aV0 δ(x1 − x2 )|00⟩
= −a
∫a ∫a ( )2
( n πx )
( n πx )
2
1
1
2
2
V0 sin2
sin2
δ(x1 − x2 )dx1 dx2
a
a
a
0
= −
4V0
a
0
∫a
sin2
( nπx )
a
sin2
( nπx )
a
dx
0
= −
4V0
a
∫a
sin4
( nπx )
a
dx
0
[
]a
4V0 3
1
1
x−
sin(2ax) +
sin(4ax)
a 8
4a
32
0
4V0 3
= −
·
a 8a
3
= − V0
2
Damit ist die Grundzustandsenergie die Summe der beiden ungestörten Teilchenenergien plus die
Energiekorrektur.
⇒ E00
= −
~2 π 2 2
3
~2 π 2
3
3
2
(1
+
1
)
−
V
=
− V0
E0 = E10 + E20 − V0 =
0
2
2ma2
2
ma2
2
2
3
Eckige Versuchswelle
Gegeben Sei ein Teilchen in einem Potentialkasten mit unendlich hohen Wänden und der Breite L.
{
L − |x| für |x| < L
ψ(x) = A
0
für |x| > L
Als Versuchswellenfunktion sei
(2)
gegeben.
1. Bestimmen Sie die Normierungskonstante A.
2. Schätzen Sie die Grundzustandsenergie ab und vergleichen sie es mit dem exakten Resultat E0 =
π 2 ~2
8mL2 .
Lösung:
1. Es muss ⟨ψ|ψ⟩ = 1 gelten:

A2 
∫0
∫L
(L + x)2 dx +
−L
([
1
(L + x)3
3

(L − x)2 dx = 1
!
0
[
]0
1
+ (L − x)3
3
−L
√
3
⇒A=
2L3
2
A
2. Die Grundzustandsenergie schätzen wir über
Ableitung der Wellenfunktion:


A
′
ψ (x) =
−A


0
ψ ′′ (x)
]L )
= 1
0
E0 = ⟨ψ|H|ψ⟩ ab. Dazu benötigen wir die 1. und 2.
für − L < x < 0
für 0 < x < L
sonst
= Aδ(x + L) − 2Aδ(x) + Aδ(x − L)
(3)
(4)
Man hat es bei der 1. Ableitung mit 3 Unstetigkeitsstellen zu tun. Dabei hat die Ableitung jeweils
einen Sprung. Die Ableitung eines ”Sprungs” entspricht aber gerade einer Delta-Funktion.
Dies liefert:
E0
(
) ∫L
~2
d2
= ⟨ψ|H|ψ⟩ = −
dxψ(x) 2 ψ(x)
2m
dx
−L
= −
A~2
2m
∫L
dxψ(x) [δ(x + L) − 2δ(x) + δ(x − L)]
−L
2
=
=
A2 L~
m
3~2
2mL2
π ~
Vergleichen wir das mit dem exakten Ergebnis (E0 = 8mL
2 ), so sehen wir, dass die durch Variationsrechnung bestimmte Grundzustandsenergie etwas größer als die exakte Energie ist, was mit dem
Ritzschen Prinzip übereinstimmt.
2 2
3
4
Oszillator mit quadratischer Störung
Gegeben sei die Lösung des eindimensionalen harmonischen Oszillators:
b0
H
b 0 |n⟩
H
ϵn
pb2
mω02 2
+
x
b
2m
2
= ϵn |n⟩
(
)
1
= ~ω0 n +
2
=
(5)
(6)
(7)
Nun soll das gestörte System mit dem Hamiltonoperator
b =H
b 0 + Vb
H
(8)
Vb = λ x
b2
(λ > 0).
(9)
(10)
betrachten werden, wobei:
1. Berechnen Sie die Energieverschiebungen in 1. und 2. Ordnung Störungstheorie.
2. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit dem exakten Resultat.
Lösung:
1. Da die ungestörten Zustände {|n⟩} nicht entartet sind, ist die Störungstheorie für nichtentartete
Zustände anzuwenden.
In 1. Ordnung Störungstheorie ist die Energieverschiebung durch den Erwartungswert des Störoperators
mit den ungestörten Zuständen gegeben:
(
)
~λ
1
(1)
2
b
En = ⟨n|V |n⟩ = λ ⟨n|b
x |n⟩ =
n+
(11)
mω0
2
Hierbei ist:
⟨n|b
x2 |n⟩
)
~ ( † †
b
a b
a +b
ab
a+b
a† b
a+b
ab
a† |n⟩
2mω0
)
~ (
⟨n|b
a† b
a† |n⟩ + ⟨n|b
ab
a|n⟩ + ⟨n|b
a† b
a|n⟩ + ⟨n|b
ab
a† |n⟩
2mω0
√
√
√
)
√ √
√ √
~ ( √
⟨n| n + 1 n + 2|n + 2⟩ + ⟨n| n n − 1|n − 2⟩ + ⟨n| n n|n⟩ + ⟨n| n + 1 n + 1|n⟩
2mω0
√
√
√
)
√ √
√ √
~ (√
n + 1 n + 2 ⟨n|n + 2⟩ + n n − 1 ⟨n|n − 2⟩ + n n ⟨n|n⟩ + n + 1 n + 1 ⟨n|n⟩
2mω0
~
(n ⟨n|n⟩ + (n + 1) ⟨n|n⟩)
2mω0
(
)
~
1
n+
mω0
2
= ⟨n|
=
=
=
=
=
4
In der 2. Ordnung Störungstheorie ist die Energieverschiebung gegeben durch:
En(2)
=
∞
∑
| ⟨n|Vb |n′ ⟩ |2
ϵn − ϵn′
′
n ̸=n
=
=
=
=
=
∞
λ2 ∑ | ⟨n|b
x2 |n′ ⟩ |2
~ω0 ′
n − n′
n ̸=n
( † †
) ′ 2
∞
~
†
†
λ2 ∑ | ⟨n| 2mω0 a a + aa + a a + aa |n ⟩ |
~ω0 ′
n − n′
n ̸=n
√ √
√ 2
√
√
√
2
∞
λ2 ~ ∑ | ⟨n| n′ + 1 n′ + 2|n′ + 2⟩ + ⟨n| n′ n′ − 1|n′ − 2⟩ + ⟨n| n′ |n′ ⟩ + ⟨n| n′ + 1 |n′ ⟩ |2
4m2 ω03 ′
n − n′
n ̸=n
[ √
√
]
√
√
n − 2 + 1 n − 2 + 22
n + 2 n + 2 − 12
λ2 ~
+
4m2 ω03
n−n+2
n−n−2
(
)
1
λ2 ~
− 2 3 n+
2m ω0
2
b0 ergibt mit der Störung Vb wieder einen harmonischen Oszillator:
2. Der harmonische Oszillator H
√
2
2
p
b
2λ
mω
b=H
b0 + λb
H
x2 =
(12)
+
x
b2
mit
ω = ω0 1 +
2m
2
mω02
Für diesen Fall sind die exakten Energieeigenwerte bekannt:
√
(
(
)
)
2λ
1
1
n+
En = ~ω n +
= ~ω0 1 +
2
mω02
2
Die Störungstheorie entspricht einer Entwicklung nach Potenzen von λ:
]
[
λ2
λ
−
+
...
En = ~ω0 1 +
mω02
2m2 ω04
= ϵn + En(1) + En(2) + ...
(13)
(14)
(15)
Dies stimmt mit den Energieverschiebungen, welche störungstheoretisch berechnet wurden, überein.
5
5
Asymptotik von WKB-Wellenfunktionen
Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten der WKB-Wellenfunktion tief im klassisch verbotenen Bereich, also im Grenzfall x → ∞, für
1. das lineare Potential V (x) = F · x mit F > 0.
2. das Potential V (x) = 12 mω 2 x2 des harmonischen Oszillators.
Hinweise zu 2.:
•
∫√
x2 − a2 dx =
1
2
√
[ √
(
)]
x x2 − a2 − a2 ln x + x2 − a2 + C
• Entwickeln Sie den Integranden in der Exponentialfunktion für große x
Lösungsidee:
Die angegebenen Potentiale in den allgemeinen Ausdruck für eine exponentiell abfallende WKB-Wellenfunktion

 x
∫
1
exp − κ(x′ )dx′ 
u(x) = N √
κ(x)
x0
√
mit
V (x) − E
~2
einsetzen und die sich ergebenden Integrale auswerten.
κ=
2m
Lösung:
¯
1. Für das lineare Potential V (x) = F · x mit F > 0 ergibt die Auswertung des Integrals1 :
√
2m
−
~
∫x
√
√
F·
x′
′
− Edx = −
x0
2m 2
3/2
(F x − E)
~ 3F
Die WKB-Wellenfunktion lautet folglich:
u(x) = N
∝
)
√
2 2m
3/2
(F x − E)
exp −
3~F
)
(
1
1/4
(2m (F x − E) /~2 )
( √
1
2 2m
3/2
(F x)
exp −
3~F
x1/4
1 Eine Änderung der unteren Integrationsgrenze x liefert lediglich einen konstanten Faktor, der durch die Normierungs0
konstante N kompensiert werden kann. Deswegen sei der Einfachheit halber hier und im Folgenden angenommen, dass x0
so gewählt ist, dass die Stammfunktion von κ bei x0 verschwindet, sodass die untere Integralgrenze keinen Beitrag liefert.
6
2. Für das Potential des harmonischen Oszillators V (x) = 12 mω 2 x2 kann unter Verwendung des angegebenen Integrals geschrieben werden:
( ∫ √ √
)
N
2m mω 2 x2
u(x) = (
−E
)1/4 exp −
2 2
~
2
2m mω x −E
2
~2
=
=
N
√ √
mω
x2 −
~
N
√ √
mω
x2 −
~
2E
mω 2
2E
mω 2
(
)
∫ √
2E
x2 −
mω 2
{
[ √
)]}
(
√
x
2E
E
2E
2
2
x −
−
ln x + x −
2
mω 2
mω 2
mω 2
mω
exp −
~
mω
exp −
~
Somit folgt:
u(x)
[
(
)]
1
mω x2
E
√ exp −
−
ln
(2x)
~
2
mω 2
x
(
)
mω x2
= xE/~ω−1/2 exp −
~ 2
∝
Der Exponentialterm hat die erwartete Form der Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators.
Damit das auch für den Vorfaktor gilt, muss gelten:
(
)
1
E = n+
~ω
2
Dies entspricht exakt der bekannten Energiequantisierung.
7