Übungsblatt 13 - Uni Oldenburg

Universität Oldenburg
Institut für Physik
Oldenburg, den 26. Juni 2013
Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik
(SoSe 2013, Übungsblatt 13)
http://www.condmat.uni-oldenburg.de/TeachingQM/QM.html
Abgabe: Dienstag, 2. Juli bis 12:00 Uhr
45) Rayleigh–Schrödinger-Störungsrechnung
Benutzen Sie den in der Vorlesung besprochenen Algorithmus der Rayleigh–SchrödingerStörungstheorie, um die Energieeigenwerte eines gestörten“ Hamiltonoperators
”
H = H0 + λV
in dritter Ordnung von V anzugeben. Dabei seien die diskreten Eigenwerte εn des un”
gestörten“ Problems
H0 |ni = εn |ni
nicht entartet.
(2P)
46) Zur Renormierung“ der störungstheoretischen Wellenfunktion
”
Betrachten Sie noch einmal den bereits in Aufgabe 44 behandelten harmonischen Oszillator
mit äußerer Kraft,
1
p2
+ mω 2 x2 − F x ,
H=
2m 2
und zeigen Sie, dass die im Sinne der Wahrscheinlichkeitsinterpretation korrekt normierten, störungstheoretisch konstruierten Eigenfunktionen in zweiter Ordnung von F mit den
exakten Eigenfunktionen
i F
p |ni
|N i = exp −
~ mω 2
übereinstimmen.
(2P)
47) Der Stark-Effekt beim Wasserstoffatom
Bringt man ein Wasserstoffatom in ein homogenes, in z-Richtung orientiertes elektrisches
Feld der Stärke E, so lautet der Hamiltonoperator
H=
p2
e2 1
−
+ eEz .
2m 4πε0 r
a) Erklären Sie, warum für ein Wasserstoffatom im Grundzustand kein linearer Stark-Effekt
(d.h. keine Verschiebung der Grundzustandsenergie in erster Ordnung von E) auftritt.
b) Betrachten Sie nun die vier Zustände |2s0 i, |2p1 i, |2p0 i, |2p−1 i zur Hauptquantenzahl
n = 2. Zeigen Sie, dass die beiden Zustände |2s0 i und |2p0 i einen linearen Stark-Effekt
zeigen, dessen Größe bestimmt wird durch die Eigenwerte der 2 × 2-Matrix
0
h2p0 |eEz|2s0 i
.
h2s0 |eEz|2p0 i
0
Hinweis: Überzeugen Sie sich zunächst, dass Matrixelemente der Störung zwischen Zuständen
mit verschiedenen Eigenwerten von Lz verschwinden, da der Störoperator mit Lz kommutiert.
c) Werten Sie das benötigte Matrixelement aus und berechnen Sie die Größe der Aufspal”
tung“ der Niveaus mit n = 2 in erster Ordnung von E.
(3P)
48) Der anharmonische Oszillator: Störungsrechnung vs. Variationsverfahren
Ein eindimensionaler anharmonischer Oszillator werde beschrieben durch den Hamiltonoperator
1
m2 ω 3 4
p2
+ mω 2 x2 + λ
x
H=
2m 2
~
mit einer dimensionslosen, positiven Konstanten λ.
a) Fassen Sie den quartischen Term als Störung“ auf und berechnen Sie die Matrixelemente
”
des Störoperators in der Basis der Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators, den man
für λ = 0 erhält.
b) Benutzen Sie die Rayleigh–Schrödinger-Störungsrechnung formal (d.h. ohne zu hinterfragen, ob diese Störungsrechnung hier mathematisch gerechtfertigt ist) zur Berechnung der
Energieeigenwerte des anharmonischen Oszillators in zweiter Ordnung von λ.
c) Wie beurteilen Sie die Aussagekraft der Störungstheorie für betragsmäßig kleine, negative
Werte von λ? Wie groß ist der Konvergenzradius der Störungsreihe? Vergleichen Sie die
Größen der Korrekturen zur Grundzustandsenergie in erster und zweiter Ordnung.
d) Benutzen Sie die Versuchsfunktionen uα (x) = exp(−α mωx2 /~) mit α > 0, um die Grundzustandsenergie des anharmonischen Oszillators für den Parameter λ = 1/10 mit Hilfe des
Ritzschen Variationsverfahrens numerisch abzuschätzen. Vergleichen Sie Ihr Resultat mit
dem exakten Wert, E0 = 0.559146 ~ω für λ = 1/10, sowie mit den Ergebnissen der Störungsrechnung in erster und zweiter Ordnung. Überrascht?
(3P)
Hinweis: Die Minimierung des Rayleigh-Quotienten führt auf eine kubische Gleichung vom
Typ y 3 + 3py + 2q = 0. Diese Gleichung besitzt für p3 + q 2 > 0 genau eine reelle Lösung,
nämlich
p
√
−p3
2 −p
ϕ 1/3
y=−
mit sin(ϕ) =
, wobei tan(ψ) = tan
.
sin(2ψ)
2
q